ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์ใดๆ ที่เกิดขึ้นเอง 2 เหตุการณ์ ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น

อนุญาต กและ ในเป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่พิจารณาในการทดสอบนี้ ในกรณีนี้ การเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งอาจส่งผลต่อความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นอีกเหตุการณ์หนึ่ง เช่น การเกิดเหตุการณ์ กสามารถมีอิทธิพลต่อเหตุการณ์ได้ ในหรือในทางกลับกัน เพื่อคำนึงถึงการพึ่งพาเหตุการณ์บางอย่างกับเหตุการณ์อื่น ๆ จึงมีการนำแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขมาใช้

คำนิยาม.หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ในพบภายใต้เงื่อนไขว่าเหตุการณ์นั้น กเกิดขึ้นแล้วจึงเกิดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้น ในเรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ต่างๆ ใน. เพื่อแสดงถึงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ให้ใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: รเอ ( ใน) หรือ ร(ใน / ก).

โน้ต 2. ตรงกันข้ามกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบ "ไม่มีเงื่อนไข" ยังถูกพิจารณาเมื่อมีเงื่อนไขใดๆ สำหรับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์บางอย่าง ในจะหายไป.

ตัวอย่าง. ในโกศมีลูกบอล 5 ลูก รวมทั้งสีแดง 3 ลูกและสีน้ำเงิน 2 ลูก ลูกบอลจะถูกดึงออกจากลูกบอลทีละลูก โดยจะคืนหรือไม่คืนก็ได้ ค้นหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในการจั่วลูกบอลสีแดงเป็นครั้งที่สอง โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องจั่วครั้งแรก: ก) ลูกบอลสีแดง; b) ลูกบอลสีน้ำเงิน

ให้จัดงาน ก– การจับสลากลูกบอลสีแดงครั้งแรกและกิจกรรม ใน– หยิบลูกบอลสีแดงครั้งที่สอง เห็นได้ชัดว่า ร(ก) = 3/5; แล้วในกรณีที่นำลูกบอลออกไปครั้งแรกกลับเข้าโกศ ร(ใน)=3/5. ในกรณีที่ไม่คืนลูกบอลที่ถอดออก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงคือ ร(ใน) ขึ้นอยู่กับว่าบอลใดถูกหยิบขึ้นมาครั้งแรก - สีแดง (เหตุการณ์ ก) หรือสีน้ำเงิน (เหตุการณ์) แล้วในกรณีแรก รเอ ( ใน) = 2 / 4 และในวินาที ( ใน) = 3 / 4.

ทฤษฎีบทสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ซึ่งเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นขึ้นอยู่กับเหตุการณ์อีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งพบภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้น:

ร(ก ∙ บี) = ร(ก) ∙ รเอ ( ใน) . (1.7)

การพิสูจน์. แน่จริงให้ n– จำนวนรวมของผลการทดสอบที่เป็นไปได้และเข้ากันไม่ได้ (ระดับประถมศึกษา) เท่าๆ กัน ปล่อยมันไป n 1 – จำนวนผลลัพธ์ที่เอื้อต่อการแข่งขัน กซึ่งมาก่อน และ ม– จำนวนผลลัพธ์ที่เหตุการณ์เกิดขึ้น ในสมมติว่าเหตุการณ์นั้น กมันมาถึงแล้ว ดังนั้น, มคือจำนวนผลลัพธ์ที่เอื้อต่อเหตุการณ์ ใน.แล้ว เราได้รับ:

เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หลายอย่างที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเหล่านี้และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์อื่นๆ และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ต่อมาแต่ละเหตุการณ์จะคำนวณภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์ก่อนหน้านี้ทั้งหมดได้เกิดขึ้น

ตัวอย่าง.มีนักกีฬา 4 คนในทีมนักกีฬา 10 คน โดยการจับสลากคัดเลือกนักกีฬา 3 คนจากทีม ความน่าจะเป็นที่นักกีฬาที่ได้รับเลือกทั้งหมดจะเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านกีฬาคือเท่าไร?

สารละลาย. เรามาลดปัญหาลงที่โมเดล “โกศ” นั่นก็คือ สมมติว่าในโกศที่บรรจุลูกบอล 10 ลูก จะมีลูกบอลสีแดง 4 ลูก และลูกบอลสีขาว 6 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกจากโกศนี้ (การเลือก ส= 3) ให้จัดงาน กประกอบด้วยการสกัดลูกบอล 3 ลูก ปัญหาสามารถแก้ไขได้สองวิธี: ตามรูปแบบคลาสสิกและตามสูตร (1.9)

วิธีแรกตามสูตรเชิงผสม:

วิธีที่สอง (ตามสูตร (1.9)) ดึงลูกบอล 3 ลูกตามลำดับจากโกศโดยไม่มีการเปลี่ยน อนุญาต ก 1 – ลูกบอลแรกที่หยิบออกมาเป็นสีแดง ก 2 – ลูกบอลที่สุ่มออกมาลูกที่สองเป็นสีแดง ก 3 – ลูกบอลที่หยิบขึ้นมาลูกที่สามเป็นสีแดง ให้จัดงานด้วย กหมายความว่าลูกบอลที่สุ่มออกมาทั้ง 3 ลูกเป็นสีแดง แล้ว: ก = ก 1 ∙ (ก 2 / ก 1) ∙ ก 3 / (ก 1 ∙ ก 2) กล่าวคือ

ตัวอย่าง.ให้จากการสะสมไพ่ ก, ก, พี, ข, โอ, ทีการ์ดจะถูกลบออกตามลำดับทีละครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้คำว่า “คืออะไร” งาน” เมื่อพับตามลำดับเป็นบรรทัดเดียวจากซ้ายไปขวา?

อนุญาต ใน– เหตุการณ์ที่ได้รับคำประกาศ จากนั้นเมื่อใช้สูตร (1.9) เราจะได้:

ร(ใน) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นมีรูปแบบที่ง่ายที่สุดเมื่อผลคูณเกิดขึ้นจากเหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกัน

คำนิยาม.เหตุการณ์ ในเรียกว่า เป็นอิสระจากเหตุการณ์ กถ้าความน่าจะเป็นไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นหรือไม่ กหรือไม่. สองเหตุการณ์เรียกว่าอิสระ (ขึ้นอยู่กับ) หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่เปลี่ยนแปลง (เปลี่ยนแปลง) ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ดังนั้นสำหรับการจัดงานอิสระ พี(บี/ก) = ร(ใน) หรือ = ร(ใน) และสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา ร(ใน/ก)

เหตุการณ์ A เรียกว่า เป็นอิสระจากเหตุการณ์ B ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นหรือไม่ เหตุการณ์ A เรียกว่า ขึ้นอยู่กับจากเหตุการณ์ B ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เปลี่ยนแปลง ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นหรือไม่

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้ว เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A และเขียนแทนด้วย

เงื่อนไขความเป็นอิสระของเหตุการณ์ A จากเหตุการณ์ B สามารถเขียนได้เป็น
.

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่เกิดขึ้นครั้งแรก:

ถ้าเหตุการณ์ A ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ B แล้วเหตุการณ์ B ก็ไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ A นอกจากนี้ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น:

.

ตัวอย่างที่ 14มี 3 กล่อง บรรจุ 10 ชิ้น กล่องแรกประกอบด้วย 8 ส่วนที่สอง - 7 และส่วนที่สาม - 9 ชิ้นส่วนมาตรฐาน ส่วนหนึ่งจะถูกสุ่มหยิบออกมาจากแต่ละกล่อง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนทั้งสามที่นำออกมาจะเป็นมาตรฐาน

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกนำมาจากกล่องแรก (เหตุการณ์ A) มีค่าเท่ากับ
. ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องที่สอง (เหตุการณ์ B) เท่ากับ
. ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องที่สาม (เหตุการณ์ C) มีค่าเท่ากับ
.

เนื่องจากเหตุการณ์ A, B และ C มีความเป็นอิสระร่วมกัน ดังนั้นตามทฤษฎีบทการคูณ ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

ให้เรายกตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทการบวกและการคูณร่วมกัน

ตัวอย่างที่ 15ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อิสระ A 1 และ A 2 เท่ากับ p 1 และ p 2 ตามลำดับ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น (เหตุการณ์ A) ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีเหตุการณ์เหล่านี้เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ (เหตุการณ์ B)

ให้เราแสดงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม และ ถึง q 1 =1-p 1 และ q 2 =1-p 2 ตามลำดับ

เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นถ้าเหตุการณ์ A 1 เกิดขึ้นแต่เหตุการณ์ A 2 ไม่เกิดขึ้น หรือถ้าเหตุการณ์ A 2 เกิดขึ้นแต่เหตุการณ์ A 1 ไม่เกิดขึ้น เพราะฉะนั้น,

เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นหากเหตุการณ์ A เกิดขึ้น หรือหากเหตุการณ์ A 1 และ A 2 เกิดขึ้นพร้อมกัน เพราะฉะนั้น,

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B สามารถกำหนดได้แตกต่างกัน เหตุการณ์ สิ่งที่ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ B คือเหตุการณ์ A 1 และ A 2 จะไม่เกิดขึ้น ดังนั้นเราจึงได้การใช้ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระ

ซึ่งสอดคล้องกับสำนวนที่ได้รับมาก่อนหน้านี้เนื่องจากอัตลักษณ์ยังคงอยู่

7. สูตรความน่าจะเป็นรวม สูตรของเบย์

ทฤษฎีบท 1. สมมุติว่าเหตุการณ์นั้น
รวมกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่โดยสมบูรณ์ (เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าสมมติฐาน) ให้ A เป็นเหตุการณ์ตามอำเภอใจ จากนั้นสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ได้โดยใช้สูตร

การพิสูจน์.เนื่องจากสมมติฐานก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้น , และ ดังนั้น

เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมมติฐานเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ เหตุการณ์จึงเข้ากันไม่ได้เช่นกัน โดยทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

ตอนนี้เราใช้ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นที่เราได้รับ

สูตร (1) เรียกว่าสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด ในรูปแบบย่อสามารถเขียนได้ดังนี้

.

สูตรนี้มีประโยชน์หากความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A คำนวณได้ง่ายกว่าความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 16. มีไพ่ 3 สำรับ 36 ใบ และ 2 สำรับ 52 ใบ เราเลือกหนึ่งสำรับโดยการสุ่มและไพ่หนึ่งใบจากการสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่ถูกจั่วเป็นเอซ

ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ไพ่ที่ถูกจั่วเป็นเอซ ให้เราแนะนำสมมติฐานสองข้อมาพิจารณา:

- ไพ่หนึ่งใบถูกจั่วจากสำรับไพ่ 36 ใบ

- ไพ่หนึ่งใบถูกจั่วจากสำรับไพ่ 52 ใบ

ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เราใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด:

ทฤษฎีบท 2. สมมุติว่าเหตุการณ์นั้น
สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ที่สมบูรณ์ ให้ A เป็นเหตุการณ์ตามอำเภอใจ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของสมมติฐาน สมมติว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรของ Bayes:

การพิสูจน์.จากทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา จะได้ดังนี้

.

เมื่อใช้สูตรความน่าจะเป็นรวม เราได้ (2)

ความน่าจะเป็นของสมมติฐาน
เรียกว่านิรนัยและความน่าจะเป็นของสมมติฐาน
โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้นเรียกว่าหลังเหตุการณ์ สูตรของเบย์เรียกอีกอย่างว่าสูตรความน่าจะเป็นสมมุติฐาน

ตัวอย่างที่ 17. มี 2 ​​โกศ. โกศแรกประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 4 ลูก และโกศที่สองประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 7 ลูกและสีดำ 5 ลูก เราเลือกโกศโดยการสุ่มและดึงลูกบอลหนึ่งลูกจากนั้นสุ่ม กลายเป็นสีดำ (เหตุการณ์ A เกิดขึ้น) จงหาความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลออกจากโกศแรก (การคาดเดา
). จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง (การคาดเดา
).

ลองใช้สูตรของ Bayes:

,

.

ตัวอย่างที่ 18. ที่โรงงาน สลักเกลียวถูกผลิตโดยเครื่องจักร 3 เครื่อง ซึ่งผลิตสลักเกลียวได้ 25%, 35% และ 40% ของทั้งหมดตามลำดับ ข้อบกพร่องในผลิตภัณฑ์ของเครื่องเหล่านี้คือ 5%, 4%, 2% ตามลำดับ สลักเกลียวหนึ่งตัวถูกเลือกจากผลิตภัณฑ์ของทั้งสามเครื่อง ปรากฎว่ามีข้อบกพร่อง (เหตุการณ์ A) จงหาความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรตัวแรก ที่สอง และสามจะคลายสลักเกลียว

อนุญาต
- กรณีที่เครื่องแรกคลายน๊อต
- รถคันที่สอง
- รถคันที่สาม. เหตุการณ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้แบบคู่และก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ลองใช้สูตรเบย์กัน

เป็นผลให้เราได้รับ

,

,

.

จะมีปัญหาให้คุณแก้ไขด้วยตัวเองซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้

ข้อความทั่วไปของปัญหา: ทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างแล้ว และคุณจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์เหล่านี้ ในปัญหาเหล่านี้ จำเป็นต้องมีการดำเนินการที่มีความน่าจะเป็น เช่น การบวกและการคูณของความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ ก- ตีเป็ดนัดแรก กิจกรรม บี- ตีตั้งแต่นัดที่สอง แล้วผลรวมของเหตุการณ์ กและ บี- ตีด้วยนัดแรกหรือนัดที่สองหรือสองนัด

ปัญหาประเภทอื่น มีเหตุการณ์หลายอย่างเกิดขึ้น เช่น การโยนเหรียญสามครั้ง คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะปรากฏทั้งสามครั้ง หรือแขนเสื้อจะปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้ง นี่คือปัญหาการคูณความน่าจะเป็น

การบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

การบวกความน่าจะเป็นจะใช้เมื่อคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของผลรวมหรือผลรวมเชิงตรรกะของเหตุการณ์สุ่ม

ผลรวมของเหตุการณ์ กและ บีแสดงถึง ก + บีหรือ ก ∪ บี. ผลรวมของสองเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เท่านั้น มันหมายความว่าอย่างนั้น ก + บี– เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นในระหว่างการสังเกตเท่านั้น กหรือเหตุการณ์ บีหรือพร้อมกัน กและ บี.

หากเกิดเหตุการณ์ต่างๆ กและ บีมีความไม่สอดคล้องกันและให้ความน่าจะเป็น จากนั้นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดลองหนึ่งครั้งจะคำนวณโดยใช้การบวกความน่าจะเป็น

ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่เข้ากันไม่ได้จะเกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ตัวอย่างเช่น ขณะล่าสัตว์ จะมีการยิงออกไปสองนัด เหตุการณ์ ก– ตีเป็ดนัดแรก เหตุการณ์ ใน– ตีจากนัดที่สอง เหตุการณ์ ( ก+ ใน) – การโจมตีจากนัดแรกหรือนัดที่สองหรือจากสองนัด ดังนั้นหากเกิดเหตุการณ์สองเหตุการณ์ กและ ใน– เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แล้ว ก+ ใน– การเกิดเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์หรือสองเหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 1ในกล่องมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 30 ลูก ได้แก่ สีแดง 10 ลูก สีน้ำเงิน 5 ลูก และสีขาว 15 ลูก คำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสี (ไม่ใช่สีขาว) จะถูกหยิบขึ้นมาโดยไม่มอง

สารละลาย. ให้เราสมมุติว่าเหตุการณ์นั้น ก- “ลูกบอลสีแดงถูกยึด” และเหตุการณ์ ใน- “ลูกบอลสีน้ำเงินถูกหยิบไปแล้ว” จากนั้นเหตุการณ์คือ “ลูกบอลสี (ไม่ใช่สีขาว) ถูกหยิบ” ลองหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กัน ก:

และเหตุการณ์ต่างๆ ใน:

กิจกรรม กและ ใน– เข้ากันไม่ได้ เนื่องจากหากหยิบลูกบอลหนึ่งลูก จะไม่สามารถหยิบลูกบอลที่มีสีต่างกันได้ ดังนั้นเราจึงใช้การบวกความน่าจะเป็น:

ทฤษฎีบทสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์หากเหตุการณ์ประกอบขึ้นเป็นชุดเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ผลรวมของความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 1:

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามก็เท่ากับ 1 เช่นกัน:

เหตุการณ์ตรงข้ามจะก่อให้เกิดชุดเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์คือ 1

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามมักจะระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็ก พีและ ถาม. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

โดยมีสูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามดังนี้

ตัวอย่างที่ 2เป้าหมายในสนามยิงปืนแบ่งออกเป็น 3 โซน ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงบางรายจะยิงไปที่เป้าหมายในโซนแรกคือ 0.15 ในโซนที่สอง – 0.23 ในโซนที่สาม – 0.17 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะเข้าเป้า และความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะพลาดเป้าหมาย

วิธีแก้ไข: ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดนเป้าหมาย:

มาหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะพลาดเป้า:

ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น สามารถพบได้ในหน้า "ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น"

การบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน

เหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์เรียกว่าเหตุการณ์ร่วม หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่รวมถึงการเกิดเหตุการณ์ที่สองในการสังเกตเดียวกัน เช่น เมื่อโยนลูกเต๋าจะมีเหตุการณ์ กโดยถือว่าหมายเลข 4 ได้มีการเปิดตัวและจัดงานแล้ว ใน– การทอยเลขคู่ เนื่องจาก 4 เป็นเลขคู่ ทั้งสองเหตุการณ์จึงเข้ากันได้ ในทางปฏิบัติมีปัญหาในการคำนวณความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้นพร้อมกัน

ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ร่วมความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ร่วมเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ จากนั้นจึงลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ทั้งสองจะเกิดขึ้นร่วมกัน นั่นคือผลคูณของความน่าจะเป็น สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมมีรูปแบบดังนี้:

ตั้งแต่เหตุการณ์ กและ ในเข้ากันได้, เหตุการณ์ ก+ ในเกิดขึ้นหากหนึ่งในสามเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เกิดขึ้น: หรือ เอบี. ตามทฤษฎีบทของการบวกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เราคำนวณได้ดังนี้:

เหตุการณ์ กจะเกิดขึ้นหากหนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เกิดขึ้น: หรือ เอบี. อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นจากเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดเหล่านี้:

เช่นเดียวกัน:

แทนที่นิพจน์ (6) และ (7) ลงในนิพจน์ (5) เราจะได้สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ร่วม:

เมื่อใช้สูตร (8) ควรคำนึงถึงเหตุการณ์นั้นด้วย กและ ในเป็นไปได้:

• เป็นอิสระซึ่งกันและกัน
• พึ่งพาซึ่งกันและกัน

สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นต่อกัน:

สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาซึ่งกันและกัน:

หากเกิดเหตุการณ์ต่างๆ กและ ในไม่สอดคล้องกัน ความบังเอิญจึงเป็นกรณีที่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น ป(เอบี) = 0 สูตรความน่าจะเป็นที่สี่สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือ:

ตัวอย่างที่ 3ในการแข่งรถ เมื่อคุณขับรถคันแรก คุณจะมีโอกาสชนะมากขึ้น และเมื่อคุณขับรถคันที่สอง หา:

• ความน่าจะเป็นที่รถทั้งสองคันจะชนะ
• ความน่าจะเป็นที่รถยนต์อย่างน้อยหนึ่งคันจะชนะ

1) ความน่าจะเป็นที่รถคันแรกจะชนะไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของรถคันที่สองดังนั้นเหตุการณ์ ก(รถคันแรกชนะ) และ ใน(รถคันที่สองจะเป็นผู้ชนะ) – กิจกรรมอิสระ ลองหาความน่าจะเป็นที่รถทั้งสองคันจะชนะ:

2) ค้นหาความน่าจะเป็นที่รถยนต์คันใดคันหนึ่งจากสองคันจะชนะ:

ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น สามารถพบได้ในหน้า "ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น"

แก้ปัญหาการบวกความน่าจะเป็นด้วยตนเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4มีการโยนเหรียญสองเหรียญ เหตุการณ์ ก- การสูญเสียตราแผ่นดินในเหรียญแรก เหตุการณ์ บี- การสูญเสียตราแผ่นดินบนเหรียญที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ค = ก + บี .

การคูณความน่าจะเป็น

การคูณความน่าจะเป็นจะใช้เมื่อต้องคำนวณความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์เชิงตรรกะของเหตุการณ์

ในกรณีนี้ เหตุการณ์สุ่มจะต้องเป็นอิสระจากกัน กล่าวกันว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่สอง

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ กและ ในเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้และคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 5มีการโยนเหรียญสามครั้งติดต่อกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ตราแผ่นดินจะปรากฏทั้งสามครั้ง

สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่ตราอาร์มจะปรากฏในการโยนเหรียญครั้งแรก ครั้งที่สอง และครั้งที่สาม ลองหาความน่าจะเป็นที่ตราอาร์มจะปรากฏทั้งสามครั้ง:

แก้โจทย์ปัญหาการคูณความน่าจะเป็นด้วยตัวเอง แล้วค่อยดูวิธีแก้

ตัวอย่างที่ 6มีลูกเทนนิสใหม่เก้าลูกในกล่อง ในการเล่นจะมีการหยิบลูกบอลสามลูกและหลังจากจบเกมพวกเขาจะนำกลับมา ในการเลือกลูกบอล ลูกบอลที่เล่นจะไม่แยกจากลูกบอลที่ไม่ได้เล่น ความน่าจะเป็นที่หลังจากสามเกมจะไม่มีลูกบอลที่ยังไม่ได้เล่นเหลืออยู่ในกรอบคืออะไร?

ตัวอย่างที่ 7ตัวอักษรรัสเซีย 32 ตัวเขียนบนการ์ดตัวอักษรแบบตัดออก สุ่มหยิบไพ่ห้าใบแล้ววางบนโต๊ะตามลำดับที่ปรากฏ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรจะก่อให้เกิดคำว่า "สิ้นสุด"

ตัวอย่างที่ 8จากไพ่เต็มสำรับ (52 แผ่น) ไพ่สี่ใบจะถูกดึงออกมาพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบนี้จะคนละดอกกัน

ตัวอย่างที่ 9งานเดียวกับตัวอย่างที่ 8 แต่หลังจากถอดการ์ดแต่ละใบแล้วจะถูกส่งกลับไปยังสำรับ

ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งคุณจำเป็นต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น ตลอดจนการคำนวณผลคูณของเหตุการณ์ต่างๆ สามารถพบได้ในหน้า "ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น"

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกันอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จะเกิดขึ้นสามารถคำนวณได้โดยการลบผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามออกจาก 1 นั่นคือโดยใช้สูตร

คำนิยาม. สินค้าหรือทางแยกเหตุการณ์ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ A และ B ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน การกำหนดผลิตภัณฑ์: AB หรือ A B

ตัวอย่าง. การตีเป้าหมายสองครั้งเป็นผลมาจากสองเหตุการณ์ คำตอบของคำถามทั้งสองข้อในตั๋วสอบเป็นผลมาจากสองกิจกรรม

มีการเรียกเหตุการณ์ A และ B เข้ากันไม่ได้หากงานของพวกเขาเป็นงานที่เป็นไปไม่ได้ เช่น เอบี = วี

เหตุการณ์ A - การสูญเสียตราอาร์ม และ B - การสูญเสียตัวเลขระหว่างการโยนเหรียญครั้งเดียวไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ การสร้างสิ่งเหล่านั้นเป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์ A และ B เข้ากันไม่ได้

แนวคิดเรื่องผลรวมและผลคูณของเหตุการณ์มีการตีความทางเรขาคณิตที่ชัดเจน

ข้าว. 6.4. การตีความทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ (a) และผลรวม (b) ของเหตุการณ์ร่วมสองเหตุการณ์

ให้เหตุการณ์ A เป็นเซตของจุดในพื้นที่ A; เหตุการณ์ B คือเซตของจุดในพื้นที่ B พื้นที่แรเงาสอดคล้องกับเหตุการณ์ AB ในรูปที่ 6.4,a; เหตุการณ์ในรูปที่ 6.4,ข.

สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ A และ B เรามี: AB = V (รูปที่ 6.5, a) เหตุการณ์ A+B สอดคล้องกับพื้นที่แรเงาในรูปที่ 6.5, b

ข้าว. 6.5. การตีความทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ (a) และผลรวม (b) ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์

เหตุการณ์ที่เรียกว่า ตรงข้ามหากเข้ากันไม่ได้และโดยรวมแล้วถือเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ กล่าวคือ

ตัวอย่างเช่น ลองยิงหนึ่งนัดไปที่เป้าหมาย: เหตุการณ์ - ผู้ยิงเข้าเป้า, พลาด; โยนเหรียญ: เหตุการณ์ – ​​หัวตก, – จำนวนตก; เด็กนักเรียนเขียนแบบทดสอบ: เหตุการณ์ - ไม่ใช่ข้อผิดพลาดเดียวในการทดสอบ - มีข้อผิดพลาดในการทดสอบ นักเรียนมาสอบ เหตุการณ์ ก - สอบผ่าน - ไม่ผ่านการทดสอบ

มีเด็กชายและเด็กหญิงในชั้นเรียน นักเรียนดี นักเรียนดี นักเรียน C เรียนภาษาอังกฤษและเยอรมัน ให้งาน M เป็นเด็กผู้ชาย O เป็นนักเรียนดีเด่น และ A เป็นนักเรียนภาษาอังกฤษ นักเรียนสุ่มที่เดินออกจากชั้นเรียนสามารถเป็นเด็กผู้ชาย นักเรียนเก่ง และเรียนภาษาอังกฤษได้หรือไม่? นี่จะเป็นผลิตภัณฑ์หรือจุดตัดของเหตุการณ์ MOA

ตัวอย่าง. พวกเขาโยนลูกเต๋า - ลูกบาศก์ที่ทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีหมายเลขด้านข้าง สังเกตตัวเลข (จำนวนจุด) ที่ปรากฏบนขอบด้านบน ให้เหตุการณ์ A เป็นลักษณะของเลขคี่ และเหตุการณ์ B เป็นลักษณะของตัวเลขที่เป็นพหุคูณของสาม ค้นหาผลลัพธ์ที่ประกอบเป็นแต่ละเหตุการณ์: U, A, A+B, AB และระบุความหมายของเหตุการณ์เหล่านั้น

สารละลาย. ผลลัพธ์ – การปรากฏบนขอบด้านบนของตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 ชุดของผลลัพธ์ทั้งหมดประกอบขึ้นเป็นช่องว่างของเหตุการณ์เบื้องต้น เป็นที่แน่ชัดว่า เหตุการณ์ , เหตุการณ์

เหตุการณ์คือการเกิดขึ้นของเลขคี่หรือผลคูณของสาม เมื่อแสดงรายการผลลัพธ์ จะถือว่าแต่ละผลลัพธ์สามารถรวมอยู่ในชุดได้เพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เหตุการณ์คือการปรากฏของทั้งเลขคี่และผลคูณของสาม

ตัวอย่าง.ตรวจการบ้านของนักเรียนสามคนแล้ว ให้เหตุการณ์เป็นเหตุให้งานเสร็จสิ้นโดยนักเรียน เหตุการณ์ต่างๆ มีความหมายว่าอย่างไร และ ?

สารละลาย.เหตุการณ์ – ​​ทำงานให้สำเร็จโดยนักเรียนอย่างน้อยหนึ่งคน เช่น หรือนักเรียนคนใดคนหนึ่ง (หรือคนแรก หรือคนที่สอง หรือคนที่สาม) หรือสองคนใด ๆ หรือทั้งสามคน

เหตุการณ์ - นักเรียนคนใดยังทำงานไม่เสร็จ: ทั้งงานแรก งานที่สอง หรืองานที่สาม เหตุการณ์ – ​​งานเสร็จสิ้นโดยนักเรียนสามคน: คนแรก คนที่สอง และคนที่สาม

เมื่อพิจารณาถึงการเกิดร่วมกันของเหตุการณ์หลายเหตุการณ์ อาจมีกรณีที่การเกิดเหตุการณ์หนึ่งส่งผลต่อความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นอีกเหตุการณ์หนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากวันนั้นมีแดดจัดในฤดูใบไม้ร่วง ก็มีโอกาสน้อยที่สภาพอากาศจะไม่เลวร้าย (ฝนจะเริ่มตก) หากไม่เห็นดวงอาทิตย์ก็มีโอกาสที่ฝนจะตกมีมากขึ้น

คำนิยาม.เหตุการณ์ A เรียกว่า เป็นอิสระจากเหตุการณ์ B ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นหรือไม่ มิฉะนั้น เหตุการณ์ A จะถูกเรียกขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ B สองเหตุการณ์ A และ B จะถูกเรียก เป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของรายการใดรายการหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของรายการอื่น ขึ้นอยู่กับ - อย่างอื่น เหตุการณ์ต่างๆ เรียกว่าเหตุการณ์อิสระแบบคู่ ถ้าเหตุการณ์ทั้งสองเป็นอิสระจากกัน

ทฤษฎีบท. (การคูณความน่าจะเป็น) ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

P(A·B)=พี(A)·P(B)

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับเหตุการณ์จำนวนจำกัดใดๆ โดยที่เหตุการณ์เหล่านั้นต้องเป็นอิสระร่วมกัน กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่นๆ เหล่านี้เกิดขึ้นหรือไม่

ตัวอย่าง. นักเรียนจะต้องสอบสามครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะผ่านการสอบครั้งแรกคือ 0.9 ครั้งที่สองคือ 0.65 และครั้งที่สามคือ 0.35 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบตกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

สารละลาย: ขอให้เราแสดงว่างานนี้เป็นนักเรียนที่สอบไม่ผ่านอย่างน้อยหนึ่งครั้ง จากนั้น P(A) = 1- P(ùA) โดยที่ ùA เป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม: นักเรียนสอบผ่านทั้งหมด เนื่องจากการสอบแต่ละครั้งผ่านไม่ได้ขึ้นอยู่กับการสอบอื่น ดังนั้น P(A)=1-P(ùA)= 1- 0.9*0.65*0.35=0.7953

คำนิยาม. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งคำนวณเมื่อเหตุการณ์ B เกิดขึ้น เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ A ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นของ B และเขียนแทนด้วย P B (A) หรือ P (A/B)

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นที่การเกิดผลคูณของสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่ง และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่สอง ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้น:

Р(А·В)=Р(А)·Р А (В)=Р(В)·Р В (А).(*)

ตัวอย่าง. นักเรียนคนหนึ่งดึงตั๋วหนึ่งใบจากทั้งหมด 34 ใบ สองครั้ง ความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่านคือเท่าใดหากเขาเตรียมตั๋วไว้ 30 ใบและดึงตั๋วไม่สำเร็จในครั้งแรกเป็นเท่าใด

สารละลาย: ให้เหตุการณ์ A แสดงว่าตั๋วที่ไม่สำเร็จถูกดึงออกมาในครั้งแรก และเหตุการณ์ B ก็คือว่าตั๋วที่สำเร็จถูกดึงออกมาเป็นครั้งที่สอง จากนั้น A·B – นักเรียนจะสอบผ่าน (ภายใต้สถานการณ์ที่กำหนด) เหตุการณ์ A และ B ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ เนื่องจาก ความน่าจะเป็นในการเลือกตั๋วที่ประสบความสำเร็จในการพยายามครั้งที่สองนั้นขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของตัวเลือกแรก ดังนั้นเราจึงใช้สูตร (6):

P(A·B) = P(A)·RA(B) = (4/34)*(30/33)= 20/187

โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นที่ได้รับในการแก้ปัญหาคือ µs00.107 เหตุใดความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านจึงต่ำมากหากคุณเรียนรู้ตั๋วได้ 30 ใบจาก 34 ใบและได้รับการทดสอบสองครั้ง!

ทฤษฎีบท. (ทฤษฎีบทการบวกขยาย) ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกัน (ผลิตภัณฑ์):

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

ตัวอย่าง. นักเรียนสองคนกำลังแก้ปัญหา ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนแรกจะแก้ปัญหา (เหตุการณ์ A) คือ 0.9; ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนที่สองจะแก้ปัญหา (เหตุการณ์ B) คือ 0.8 ความน่าจะเป็นที่ปัญหาจะได้รับการแก้ไขเป็นเท่าใด

เมื่อค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จะใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

ให้เราพิจารณาเหตุการณ์สุ่มที่เข้ากันไม่ได้

เป็นที่ทราบกันว่าเหตุการณ์สุ่มที่เข้ากันไม่ได้ $A$ และ $B$ ในการทดลองเดียวกันมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น $P\left(A\right)$ และ $P\left(B\right)$ ตามลำดับ ลองหาความน่าจะเป็นของผลรวม $A+B$ ของเหตุการณ์เหล่านี้ ซึ่งก็คือความน่าจะเป็นที่จะมีอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น

สมมติว่าในการทดสอบที่กำหนด จำนวนเหตุการณ์พื้นฐานที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดคือ $n$ ในจำนวนนี้ กิจกรรม $A$ และ $B$ ได้รับการสนับสนุนจากกิจกรรมระดับประถมศึกษา $m_(A) $ และ $m_(B) $ ตามลำดับ เนื่องจากเหตุการณ์ $A$ และ $B$ เข้ากันไม่ได้ กิจกรรม $A+B$ จึงได้รับการสนับสนุนจากเหตุการณ์พื้นฐาน $m_(A) +m_(B)$ เรามี $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$

ทฤษฎีบท 1

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็น

หมายเหตุ 1

ข้อพิสูจน์ 1.ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จำนวนเท่าใดก็ได้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

ข้อพิสูจน์ 2.ผลรวมของความน่าจะเป็นของกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด (ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์พื้นฐานทั้งหมด) เท่ากับหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 3.ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามจะเท่ากับ 1 เนื่องจากพวกมันรวมกันเป็นกลุ่มของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้โดยสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 1

ความน่าจะเป็นที่ฝนจะไม่ตกในเมืองเป็นระยะเวลาหนึ่งคือ $p=0.7$ ค้นหาความน่าจะเป็น $q$ ที่จะมีฝนตกในเมืองในเวลาเดียวกันอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

เหตุการณ์ "ในเมืองไม่เคยตกสักครั้ง" และ "ในเมืองฝนตกบ้างอย่างน้อยหนึ่งครั้ง" ตรงกันข้าม ดังนั้น $p+q=1$ โดยที่ $q=1-p=1-0.7=0.3$

ลองพิจารณาเหตุการณ์สุ่มร่วมกัน

เป็นที่ทราบกันว่าเหตุการณ์สุ่มร่วม $A$ และ $B$ ในการทดลองเดียวกันมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น $P\left(A\right)$ และ $P\left(B\right)$ ตามลำดับ ลองหาความน่าจะเป็นของผลรวม $A+B$ ของเหตุการณ์เหล่านี้ ซึ่งก็คือความน่าจะเป็นที่จะมีอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น

สมมติว่าในการทดสอบที่กำหนด จำนวนเหตุการณ์พื้นฐานที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดคือ $n$ ในจำนวนนี้ กิจกรรม $A$ และ $B$ ได้รับการสนับสนุนจากกิจกรรมระดับประถมศึกษา $m_(A) $ และ $m_(B) $ ตามลำดับ เนื่องจากเหตุการณ์ $A$ และ $B$ เข้ากันได้ ดังนั้นจากจำนวนเหตุการณ์เบื้องต้น $m_(A) +m_(B) $ ทั้งหมดจึงทำให้ $m_(AB) $ จำนวนหนึ่งสนับสนุนทั้งเหตุการณ์ $A $ และเหตุการณ์ $B$ นั่นคือ การเกิดขึ้นร่วมกัน (การผลิตเหตุการณ์ $A\cdot B$) ปริมาณที่ $m_(AB) $ ป้อนพร้อมกันทั้ง $m_(A) $ และ $m_(B) $ ดังนั้นเหตุการณ์ $A+B$ จึงเป็นที่นิยมโดย $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ เหตุการณ์เบื้องต้น เรามี: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\ ขวา)$

ทฤษฎีบท 2

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วมสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ลบด้วยความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์นั้น

ความคิดเห็น หากเหตุการณ์ $A$ และ $B$ ไม่สอดคล้องกัน ผลคูณของ $A\cdot B$ จะเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ซึ่งความน่าจะเป็นที่ $P\left(A\cdot B\right)=0$ ดังนั้น สูตรการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จึงเป็นกรณีพิเศษของสูตรการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วม

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาความน่าจะเป็นที่เมื่อทอยลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน เลข 5 จะปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน จำนวนเหตุการณ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดคือ $n=36$ เนื่องจากสำหรับแต่ละหมายเลขของการตายครั้งแรก ตัวเลขของการตายครั้งที่สองสามารถปรากฏได้หกหมายเลข ในจำนวนนี้ เหตุการณ์ $A$ - หมายเลข 5 ล้มในการตายครั้งแรก - เกิดขึ้น 6 ครั้ง เหตุการณ์ $B$ - หมายเลข 5 ล้มในการตายครั้งที่สอง - จะดำเนินการ 6 ครั้งเช่นกัน จากทั้งหมดสิบสองครั้ง หมายเลข 5 จะปรากฏครั้งเดียวบนลูกเต๋าทั้งสองลูก ดังนั้น $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น

ลองพิจารณาเหตุการณ์อิสระ

เหตุการณ์ $A$ และ $B$ ที่เกิดขึ้นในการทดลองสองครั้งติดต่อกันจะถูกเรียกว่าเหตุการณ์อิสระ หากความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ $B$ จะไม่เกิดขึ้นขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น

เช่น ให้มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 2 ลูกอยู่ในโกศ การทดสอบคือการดึงลูกบอล เหตุการณ์ $A$ คือ "ลูกบอลสีขาวถูกสุ่มออกมาในการทดลองครั้งแรก" ความน่าจะเป็น $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $ หลังจากการทดสอบครั้งแรก ลูกบอลจะถูกส่งกลับและทำการทดสอบครั้งที่สอง เหตุการณ์ $B$ -- ``ลูกบอลสีขาวถูกสุ่มขึ้นมาในการลองครั้งที่สอง'' ความน่าจะเป็น $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $ ความน่าจะเป็นที่ $P\left(B\right)$ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้นหรือไม่ ดังนั้นเหตุการณ์ $A$ และ $B$ จึงเป็นอิสระจากกัน

เป็นที่ทราบกันดีว่าเหตุการณ์สุ่มอิสระ $A$ และ $B$ ของการทดลองสองครั้งติดต่อกันมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น $P\left(A\right)$ และ $P\left(B\right)$ ตามลำดับ ลองหาความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ $A\cdot B$ ของเหตุการณ์เหล่านี้ ซึ่งก็คือ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นร่วมกัน

สมมติว่าในการทดสอบครั้งแรก จำนวนเหตุการณ์พื้นฐานที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดคือ $n_(1) $ ในจำนวนนี้ เหตุการณ์ $A$ ได้รับการสนับสนุนจากกิจกรรมพื้นฐาน $m_(1)$ ให้เราสมมติด้วยว่าในการทดสอบครั้งที่สอง จำนวนเหตุการณ์พื้นฐานที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมดคือ $n_(2) $ ในจำนวนนี้ เหตุการณ์ $B$ ได้รับการสนับสนุนจากกิจกรรมพื้นฐาน $m_(2)$ ตอนนี้ให้พิจารณาเหตุการณ์เบื้องต้นใหม่ ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นตามลำดับจากการทดลองครั้งแรกและครั้งที่สอง จำนวนรวมของเหตุการณ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันจะเท่ากับ $n_(1) \cdot n_(2) $ เนื่องจากเหตุการณ์ $A$ และ $B$ เป็นอิสระจากกัน จากจำนวนนี้ เหตุการณ์ $A$ และเหตุการณ์ $B$ (ผลคูณของเหตุการณ์ $A\cdot B$) จึงได้รับการสนับสนุนจาก $m_(1) \ cdot m_(2) $ เหตุการณ์ เรามี: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$

ทฤษฎีบท 3

ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

ลองดูเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

ในการทดลองสองครั้งติดต่อกัน มีเหตุการณ์ $A$ และ $B$ เกิดขึ้น เหตุการณ์ $B$ จะถูกเรียกขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ $A$ หากความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ $B$ จะเกิดขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น จากนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $B$ ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขว่าเหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้น เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ $B$ เมื่อให้ $A$ และเขียนแทนด้วย $P\left(B/A\ ขวา)$.

เช่น ให้มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 2 ลูกอยู่ในโกศ การทดสอบคือการเอาลูกบอลออก เหตุการณ์ $A$ คือ "ลูกบอลสีขาวถูกสุ่มออกมาในการทดลองครั้งแรก" ความน่าจะเป็น $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $ หลังจากการทดสอบครั้งแรก ห้ามนำลูกบอลกลับคืน และทำการทดสอบครั้งที่สอง เหตุการณ์ $B$ -- ``ลูกบอลสีขาวถูกสุ่มขึ้นมาในการลองครั้งที่สอง'' หากสุ่มลูกบอลสีขาวในการทดลองครั้งแรก ความน่าจะเป็นคือ $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $ หากในการทดลองครั้งแรกลูกบอลสีดำถูกหยิบออกมา ความน่าจะเป็นคือ $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $ ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $B$ ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้นหรือไม่ ดังนั้นเหตุการณ์ $B$ จึงขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ $A$

สมมติว่าเหตุการณ์ $A$ และ $B$ เกิดขึ้นในการทดลองสองครั้งติดต่อกัน เป็นที่ทราบกันว่าเหตุการณ์ $A$ มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น $P\left(A\right)$ เป็นที่ทราบกันว่าเหตุการณ์ $B$ ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ $A$ และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่กำหนด $A$ จะเท่ากับ $P\left(B/A\right)$

ทฤษฎีบท 4

ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์ $A$ และเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ $B$ ซึ่งก็คือ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นร่วมกัน สามารถหาได้จากสูตร $P\left(A\cdot B\right)=P\ ซ้าย(A\right)\cdot P\ซ้าย(B/A\right)$

สูตรสมมาตร $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ ก็ใช้ได้เช่นกัน โดยที่เหตุการณ์ $A$ ถือว่า ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ $ B$

สำหรับเงื่อนไขของตัวอย่างสุดท้าย เราค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวจะถูกหยิบขึ้นมาในการทดลองทั้งสองครั้ง เหตุการณ์ดังกล่าวเป็นผลมาจากเหตุการณ์ $A$ และ $B$ ความน่าจะเป็นเท่ากับ $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.