การแก้สมการจำนวนเต็มและสมการตรรกยะเศษส่วน ระบบสมการตรรกยะทางคณิตศาสตร์ นิยามของสมการตรรกยะที่มีตัวแปรสองตัว

แนวทางของผู้เขียนในหัวข้อนี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ สมการที่มีตัวแปรสองตัวจะเกิดขึ้นครั้งแรกในหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สมการหนึ่งที่มีตัวแปรสองตัวจะมีคำตอบจำนวนอนันต์ สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่งกำหนดให้เป็น ax + by=c ในหลักสูตรของโรงเรียน นักเรียนจะศึกษาระบบสมการสองสมการที่มีตัวแปรสองตัว เป็นผลให้ปัญหาทั้งหมดที่มีเงื่อนไข จำกัด เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ของสมการตลอดจนวิธีการแก้ไขไม่อยู่ในสายตาของครูและนักเรียน

เรากำลังพูดถึงการแก้สมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนธรรมชาติ

ที่โรงเรียน มีการศึกษาจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มในชั้นประถมศึกษาปีที่ 4-6 เมื่อสำเร็จการศึกษา นักเรียนบางคนอาจจำความแตกต่างระหว่างชุดตัวเลขเหล่านี้ไม่ได้

อย่างไรก็ตาม ปัญหาเช่น "แก้สมการของรูปแบบ ax + by=c เป็นจำนวนเต็ม" พบมากขึ้นในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยและในสื่อการสอบ Unified State

การแก้สมการที่ไม่แน่นอนจะพัฒนาความคิดเชิงตรรกะ ความฉลาด และความใส่ใจในการวิเคราะห์

ฉันเสนอให้พัฒนาบทเรียนหลายบทในหัวข้อนี้ ฉันไม่มีคำแนะนำที่ชัดเจนเกี่ยวกับกำหนดเวลาของบทเรียนเหล่านี้ องค์ประกอบบางอย่างสามารถใช้ได้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 (สำหรับชั้นเรียนที่แข็งแกร่ง) บทเรียนเหล่านี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานและพัฒนาหลักสูตรวิชาเลือกขนาดเล็กเกี่ยวกับการฝึกอบรมก่อนอาชีวศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 และแน่นอนว่าสื่อนี้สามารถนำไปใช้ในเกรด 10-11 เพื่อเตรียมตัวสอบได้

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การทำซ้ำและการวางนัยทั่วไปของความรู้ในหัวข้อ “สมการลำดับที่หนึ่งและสอง”
บำรุงความสนใจทางปัญญาในเรื่อง
พัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ สร้างภาพรวม ถ่ายทอดความรู้สู่สถานการณ์ใหม่

บทที่ 1.

ในระหว่างเรียน

1) องค์กร ช่วงเวลา.

2) การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

คำนิยาม. สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวคือสมการของรูปแบบ

mx + ny = k โดยที่ m, n, k คือตัวเลข, x, y คือตัวแปร

ตัวอย่าง: 5x+2y=10

คำนิยาม. การแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวคือคู่ของค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

สมการที่มีตัวแปรสองตัวที่มีคำตอบเหมือนกันเรียกว่าสมการที่เท่ากัน

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

สมการนี้สามารถมีคำตอบได้จำนวนเท่าใดก็ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะรับค่า x ใดๆ และค้นหาค่า y ที่สอดคล้องกัน

ให้ x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

คู่ตัวเลข (2;1); (4;-4) – การแก้สมการ (1)

สมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

3) ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

สมการไม่แน่นอน (ไดโอแฟนไทน์) คือสมการที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว

ในศตวรรษที่ 3 ค.ศ – ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียเขียน "เลขคณิต" ซึ่งเขาขยายชุดตัวเลขให้เป็นจำนวนตรรกยะและแนะนำสัญลักษณ์พีชคณิต

ไดโอแฟนตัสยังพิจารณาปัญหาของการแก้สมการไม่แน่นอนด้วย และเขาได้ให้วิธีการแก้สมการไม่แน่นอนระดับที่ 2 และ 3 ไว้ด้วย

4) ศึกษาเนื้อหาใหม่

คำจำกัดความ: สมการไดโอแฟนไทน์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันลำดับที่หนึ่งซึ่งมีค่าไม่ทราบสองตัว x, y คือสมการที่มีรูปแบบ mx + ny = k โดยที่ m, n, k, x, y Z k0

คำชี้แจง 1.

ถ้าพจน์อิสระในสมการ (1) ไม่สามารถหารด้วยตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลข m และ n ลงตัวได้ สมการ (1) จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง: 34x – 17y = 3

GCD (34; 17) = 17, 3 หารด้วย 17 ไม่ลงตัว จึงไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

ให้ k หารด้วย gcd (m, n) ด้วยการหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมด เราจึงมั่นใจได้ว่า m และ n จะกลายเป็นจำนวนเฉพาะ

คำชี้แจง 2

ถ้า m และ n ของสมการ (1) เป็นจำนวนเฉพาะ สมการนี้จะมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งวิธี

คำชี้แจง 3

ถ้าสัมประสิทธิ์ m และ n ของสมการ (1) เป็นจำนวนเฉพาะ สมการนี้จะมีคำตอบมากมายอย่างไม่สิ้นสุด:

โดยที่ (; ) คือคำตอบใดๆ ของสมการ (1), t Z

คำนิยาม. สมการไดโอแฟนไทน์ที่เป็นเนื้อเดียวกันลำดับที่หนึ่งซึ่งมีค่าไม่ทราบสองตัว x, y คือสมการที่มีรูปแบบ mx + ny = 0 โดยที่ (2)

คำชี้แจง 4

ถ้า m และ n เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นคำตอบใดๆ ของสมการ (2) จะมีรูปแบบ

5) การบ้าน. แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม:

9x – 18ป = 5
x + y= xy
เด็กหลายคนกำลังเก็บแอปเปิ้ล เด็กผู้ชายแต่ละคนเก็บได้ 21 กก. และเด็กผู้หญิงเก็บได้ 15 กก. รวมน้ำหนักได้ 174 กก. มีเด็กผู้ชายกี่คนและเด็กผู้หญิงกี่คนเก็บแอปเปิ้ล?

ความคิดเห็น บทเรียนนี้ไม่มีตัวอย่างการแก้สมการจำนวนเต็ม ดังนั้นเด็ก ๆ จะต้องทำการบ้านตามคำสั่งที่ 1 และการเลือก

บทที่ 2

1) ช่วงเวลาขององค์กร

2) ตรวจการบ้าน

1) 9x – 18ป = 5

5 หารด้วย 9 ไม่ลงตัว ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

โดยใช้วิธีการเลือกคุณจะพบวิธีแก้ปัญหา

คำตอบ: (0;0), (2;2)

3) มาสร้างสมการกัน:

ให้เด็กผู้ชายเป็น x, x Z และเด็กผู้หญิง y, y Z จากนั้นเราจะสร้างสมการ 21x + 15y = 174

นักเรียนหลายคนเขียนสมการแล้วยังแก้สมการไม่ได้

คำตอบ: ชาย 4 คน หญิง 6 คน

3) การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

เมื่อประสบปัญหาในการทำการบ้าน นักเรียนจึงเชื่อมั่นว่าจำเป็นต้องเรียนรู้วิธีการแก้สมการที่ไม่แน่นอน ลองดูบางส่วนของพวกเขา

I. วิธีพิจารณาเศษที่เหลือจากการหาร

ตัวอย่าง. แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม 3x – 4y = 1

ด้านซ้ายของสมการหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นด้านขวาจะต้องหารลงตัว ลองพิจารณาสามกรณี

คำตอบ: ที่ไหน m Z.

วิธีที่อธิบายไว้นั้นสะดวกในการใช้งานหากตัวเลข m และ n ไม่น้อย แต่ก็สามารถแยกย่อยเป็นปัจจัยง่ายๆ ได้

ตัวอย่าง: แก้สมการในจำนวนเต็ม

ให้ y = 4n แล้ว 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) หารด้วย 4

y = 4n+1 จากนั้น 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

y = 4n+2 จากนั้น 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

y = 4n+3 จากนั้น 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

ดังนั้น y = 4n ดังนั้น

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

คำตอบ: โดยที่ n Z

ครั้งที่สอง สมการไม่แน่นอนของระดับที่ 2

วันนี้ในบทเรียนเราจะพูดถึงคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์อันดับสองเท่านั้น

และสมการทุกประเภท เราจะพิจารณากรณีที่สามารถใช้ผลต่างของสูตรกำลังสองหรือวิธีแยกตัวประกอบวิธีอื่นได้

ตัวอย่าง: แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม

13 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นจึงแยกตัวประกอบได้เพียง 4 วิธีเท่านั้น: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

ลองพิจารณากรณีเหล่านี้

คำตอบ: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3)

4) การบ้าน.

ตัวอย่าง. แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม:

(x - y)(x + y)=4


2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
ย = 0	ไม่พอดี	ไม่พอดี

2x = -4	ไม่พอดี	ไม่พอดี
x = -2
ย = 0

คำตอบ: (-2;0), (2;0)

คำตอบ: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

วี)

คำตอบ: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5)

ผลลัพธ์. การแก้สมการจำนวนเต็มหมายความว่าอย่างไร?

คุณรู้วิธีแก้สมการที่ไม่แน่นอนอย่างไร

แอปพลิเคชัน:

แบบฝึกหัดสำหรับการฝึกอบรม

1) แก้โจทย์เป็นจำนวนเต็ม

ก) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
ข) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
ค) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
ง) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2ม., y = 4 + 9ม., ม. Z
จ) 9x – 11ป = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
จ) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ก) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
ชั่วโมง) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) ค้นหาคำตอบที่ไม่เป็นลบของสมการ:

วิธีแก้ปัญหา: Z (2; -1)

วรรณกรรม.

สารานุกรมเด็ก "การสอน", มอสโก, 2515
พีชคณิต-8, N.Ya. Vilenkin, VO “วิทยาศาสตร์”, โนโวซีบีร์สค์, 1992
ปัญหาการแข่งขันตามทฤษฎีจำนวน วี.ยา. กัลคิน, ดี.ยู. ซิชูกอฟ. MSU, VMK, มอสโก, 2548
ปัญหาความยากที่เพิ่มขึ้นในหลักสูตรพีชคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7-9 เอ็น.พี. คอสริกีนา. “การตรัสรู้”, มอสโก, 1991
พีชคณิต 7, Makarychev Yu.N., “การตรัสรู้”

ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ที่เราเผชิญหน้ากันเป็นครั้งแรก สมการที่มีตัวแปรสองตัวแต่มีการศึกษาเฉพาะในบริบทของระบบสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวเท่านั้น นั่นคือสาเหตุที่ปัญหาทั้งหมดซึ่งมีการนำเงื่อนไขบางประการมาใช้กับสัมประสิทธิ์ของสมการที่จำกัดเงื่อนไขเหล่านั้นจึงไม่อยู่ในสายตา นอกจากนี้ วิธีการแก้ปัญหาเช่น "แก้สมการในจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม" ก็ถูกมองข้ามไปเช่นกัน แม้ว่าปัญหาประเภทนี้จะพบบ่อยมากขึ้นในสื่อการสอบ Unified State และในการสอบเข้า

สมการใดจะเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรสองตัว

ตัวอย่างเช่น สมการ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 หรือ xy = 12 เป็นสมการที่อยู่ในตัวแปรสองตัว

พิจารณาสมการ 2x – y = 1 มันจะเป็นจริงเมื่อ x = 2 และ y = 3 ดังนั้นค่าตัวแปรคู่นี้จึงเป็นคำตอบของสมการที่เป็นปัญหา

ดังนั้นการแก้สมการใด ๆ ที่มีตัวแปรสองตัวคือชุดของคู่อันดับ (x; y) ซึ่งเป็นค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการนี้ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

สมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัวสามารถ:

ก) มีทางออกหนึ่งทางตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + 5y 2 = 0 มีคำตอบเฉพาะ (0; 0)

ข) มีหลายโซลูชั่นตัวอย่างเช่น (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 มีคำตอบ 4 แบบ: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); - 2);

วี) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + y 2 + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ช) มีทางแก้มากมายนับไม่ถ้วนตัวอย่างเช่น x + y = 3 ผลเฉลยของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่ผลรวมเท่ากับ 3 ชุดคำตอบของสมการนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ (k; 3 – k) โดยที่ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ตัวเลข.

วิธีการหลักในการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวคือวิธีการที่ใช้นิพจน์การแยกตัวประกอบ การแยกกำลังสองสมบูรณ์ โดยใช้คุณสมบัติของสมการกำลังสอง นิพจน์ที่จำกัด และวิธีการประมาณค่า โดยปกติสมการจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สามารถหาระบบในการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบได้

การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: xy – 2 = 2x – y

สารละลาย.

เราจัดกลุ่มคำศัพท์ตามวัตถุประสงค์ของการแยกตัวประกอบ:

(xy + y) – (2x + 2) = 0 จากแต่ละวงเล็บ เราจะหาตัวประกอบร่วมออกมา:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0 เรามี:

y = 2, x – จำนวนจริงใดๆ หรือ x = -1, y – จำนวนจริงใดๆ

ดังนั้น, คำตอบคือทุกคู่ของแบบฟอร์ม (x; 2), x € R และ (-1; y), y € R

ความเท่ากันของจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)

สารละลาย.

การจัดกลุ่ม:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0 ตอนนี้แต่ละวงเล็บสามารถพับได้โดยใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0

ผลรวมของนิพจน์ที่ไม่ใช่เชิงลบสองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ 3x – 2 = 0 และ 2y – 3 = 0

ซึ่งหมายความว่า x = 2/3 และ y = 3/2

คำตอบ: (2/3; 3/2)

วิธีการประมาณค่า

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการ: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2

สารละลาย.

ในแต่ละวงเล็บเราเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2 ลองประมาณกัน ความหมายของสำนวนในวงเล็บ

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 และ (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ดังนั้นด้านซ้ายของสมการจะมีค่าอย่างน้อย 2 เสมอ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้หาก:

(x + 1) 2 + 1 = 1 และ (y – 2) 2 + 2 = 2 ซึ่งหมายถึง x = -1, y = 2

คำตอบ: (-1; 2)

มาทำความรู้จักกับวิธีอื่นในการแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวในระดับที่สอง วิธีนี้ประกอบด้วยการรักษาสมการดังนี้ กำลังสองเทียบกับตัวแปรบางตัว.

ตัวอย่างที่ 4

แก้สมการ: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0

สารละลาย.

ลองแก้สมการเป็นสมการกำลังสองของ x กัน เรามาค้นหาความแตกต่างกัน:

ง = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . สมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ D = 0 นั่นคือถ้า y = 4 เราแทนค่า y ลงในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่า x = 3

คำตอบ: (3; 4)

บ่อยครั้งอยู่ในสมการที่มีสิ่งไม่รู้สองตัวที่ระบุ ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวแปร.

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม: x 2 + 5y 2 = 20x + 2

สารละลาย.

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ทางด้านขวาของสมการเมื่อหารด้วย 5 จะได้เศษเป็น 2 ดังนั้น x 2 จึงหารด้วย 5 ไม่ลงตัว แต่กำลังสองของ a จำนวนที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัวจะให้เศษเป็น 1 หรือ 4 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นไปไม่ได้และไม่มีวิธีแก้

คำตอบ: ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3

สารละลาย.

เรามาเน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในแต่ละวงเล็บ:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3 ทางด้านซ้ายของสมการมักจะมากกว่าหรือเท่ากับ 3 เสมอ หากมีความเท่าเทียมกัน |x| – 2 = 0 และ y + 3 = 0 ดังนั้น x = ± 2, y = -3

คำตอบ: (2; -3) และ (-2; -3)

ตัวอย่างที่ 7

สำหรับจำนวนเต็มลบทุกคู่ (x;y) จะเป็นไปตามสมการ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, คำนวณผลรวม (x + y) โปรดระบุจำนวนเงินที่น้อยที่สุดในคำตอบของคุณ

สารละลาย.

มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37 เนื่องจาก x และ y เป็นจำนวนเต็ม กำลังสองของมันจึงเป็นจำนวนเต็มด้วย เราจะได้ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสองตัวเท่ากับ 37 ถ้าเราบวก 1 + 36 ดังนั้น:

(x – y) 2 = 36 และ (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 และ (y + 2) 2 = 36

เมื่อแก้ระบบเหล่านี้และพิจารณาว่า x และ y เป็นลบ เราจะพบวิธีแก้ปัญหา: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)

คำตอบ: -17

อย่าสิ้นหวังหากคุณมีปัญหาในการแก้สมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณก็จะจัดการกับสมการต่างๆ ได้

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้สมการในตัวแปรสองตัวใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

คำแนะนำ

วิธีการทดแทนแสดงตัวแปรหนึ่งและแทนที่ลงในสมการอื่น คุณสามารถแสดงตัวแปรใดๆ ได้ตามดุลยพินิจของคุณ ตัวอย่างเช่น เขียน y จากสมการที่สอง:
x-y=2 => y=x-2จากนั้นแทนที่ทุกอย่างลงในสมการแรก:
2x+(x-2)=10 ย้ายทุกอย่างที่ไม่มี “x” ไปทางด้านขวาแล้วคำนวณ:
2x+x=10+2
3x=12 ต่อไป เพื่อให้ได้ x ให้หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3:
x=4 ดังนั้น คุณพบ “x” ค้นหา "ย. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ "x" ลงในสมการที่คุณใช้แทน "y":
ย=x-2=4-2=2
ย=2.

ทำการตรวจสอบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการ:
2*4+2=10
4-2=2
พบสิ่งแปลกปลอมอย่างถูกต้องแล้ว!

วิธีบวกหรือลบสมการ กำจัดตัวแปรใดๆ ได้ทันที ในกรณีของเรา การใช้ “y” จะง่ายกว่า
เนื่องจากในสมการ "y" มีเครื่องหมาย "+" และในสมการที่สอง "-" คุณสามารถดำเนินการบวกได้เช่น พับด้านซ้ายไปทางซ้าย และพับด้านขวาไปทางขวา:
2x+y+(x-y)=10+2แปลง:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4แทนที่ “x” ลงในสมการใดๆ แล้วหา “y”:
2*4+y=10
8+y=10
ย=10-8
y=2 โดยใช้วิธีที่ 1 คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าพบรากถูกต้องหรือไม่

หากไม่มีตัวแปรที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน จำเป็นต้องแปลงสมการเล็กน้อย
ในสมการแรกเรามี “2x” และสมการที่สองเรามีแค่ “x” หากต้องการลด x เมื่อบวกหรือลบ ให้คูณสมการที่สองด้วย 2:
x-y=2
2x-2y=4จากนั้นลบส่วนที่สองออกจากสมการแรก:
2x+y-(2x-2y)=10-4 โปรดทราบว่าหากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ หลังจากเปิดแล้ว ให้เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
หา y=2x โดยแสดงจากสมการใดๆ เช่น
x=4

วิดีโอในหัวข้อ

เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ อาร์กิวเมนต์ x (หรือเวลา t ในปัญหาทางกายภาพ) อาจไม่ชัดเจนเสมอไป อย่างไรก็ตาม นี่เป็นกรณีพิเศษที่เรียบง่ายในการระบุสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งมักจะช่วยให้การค้นหาอินทิกรัลของมันง่ายขึ้น

คำแนะนำ

พิจารณาปัญหาทางฟิสิกส์ที่ส่งผลให้เกิดสมการเชิงอนุพันธ์โดยที่อาร์กิวเมนต์ t หายไป นี่เป็นปัญหาเกี่ยวกับการแกว่งของมวล m ที่แขวนอยู่บนเกลียวที่มีความยาว r ซึ่งอยู่ในระนาบแนวตั้ง จำเป็นต้องมีสมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มหากในตอนแรกไม่มีการเคลื่อนไหวและเอียงจากสภาวะสมดุลด้วยมุม α ควรละเลยแรง (ดูรูปที่ 1a)

สารละลาย. ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือจุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเกลียวไร้น้ำหนักและยืดไม่ได้ที่จุด O แรงสองแรงกระทำต่อจุดนั้น: แรงโน้มถ่วง G=mg และแรงดึงของเกลียว N แรงทั้งสองนี้อยู่ในระนาบแนวตั้ง . ดังนั้น ในการแก้ปัญหา คุณสามารถใช้สมการการเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดรอบแกนนอนที่ผ่านจุด O ได้ สมการการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายมีรูปแบบดังแสดงในรูปที่ 1 1ข. ในกรณีนี้ ฉัน คือโมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัตถุ j คือมุมการหมุนของเกลียวพร้อมกับจุดวัดจากแกนตั้งทวนเข็มนาฬิกา M คือโมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อจุดวัตถุ

คำนวณค่าเหล่านี้ ผม=นาย^2, ม=ม(G)+ม(N) แต่ M(N)=0 เนื่องจากแนวแรงเคลื่อนผ่านจุด O M(G)=-mgrsinj เครื่องหมาย “-” หมายความว่าโมเมนต์แห่งแรงมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการเคลื่อนไหว แทนโมเมนต์ความเฉื่อยและโมเมนต์แรงลงในสมการการเคลื่อนที่ แล้วได้สมการดังแสดงในรูปที่ 1 1 วินาที การลดมวลจะเกิดความสัมพันธ์ขึ้น (ดูรูปที่ 1d) ไม่มีข้อโต้แย้งที่นี่

เราได้เรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองแล้ว ทีนี้มาขยายวิธีการศึกษาไปสู่สมการตรรกยะกัน

การแสดงออกที่มีเหตุผลคืออะไร? เราเจอแนวคิดนี้แล้ว การแสดงออกที่มีเหตุผลเป็นนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร กำลัง และสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น สมการตรรกยะจึงเป็นสมการที่อยู่ในรูปแบบ: , โดยที่ - การแสดงออกอย่างมีเหตุผล

ก่อนหน้านี้เราพิจารณาเฉพาะสมการตรรกยะที่สามารถลดทอนให้เป็นเชิงเส้นได้ ทีนี้ลองดูสมการตรรกยะที่สามารถลดเป็นสมการกำลังสองได้

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: .

สารละลาย:

เศษส่วนจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับ 0 และตัวส่วนไม่เท่ากับ 0

เราได้รับระบบดังต่อไปนี้:

สมการแรกของระบบคือสมการกำลังสอง ก่อนที่จะแก้มัน เรามาหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย 3 กันก่อน เราได้:

เราได้สองราก: ; .

เนื่องจาก 2 ไม่เคยเท่ากับ 0 จึงต้องตรงตามเงื่อนไขสองข้อ: . เนื่องจากไม่มีรากของสมการที่ได้รับข้างต้นตรงกับค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรที่ได้รับเมื่อแก้ไขอสมการที่สอง ทั้งสองจึงเป็นคำตอบของสมการนี้

คำตอบ:.

ลองกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ:

1. เลื่อนพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้ด้านขวาลงท้ายด้วย 0

2. แปลงและลดรูปทางด้านซ้าย นำเศษส่วนทั้งหมดมาเป็นตัวส่วนร่วม

3. เท่ากับเศษส่วนผลลัพธ์เป็น 0 โดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้: .

4. เขียนรากที่ได้มาจากสมการแรกและตอบอสมการที่สองในคำตอบ

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ: .

สารละลาย

ในตอนแรก เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้ 0 ยังคงอยู่ทางด้านขวา เราได้รับ:

ทีนี้ลองนำด้านซ้ายของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม:

สมการนี้เทียบเท่ากับระบบ:

สมการแรกของระบบคือสมการกำลังสอง

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการนี้: . เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ:

เราได้สองราก: ; .

ทีนี้มาแก้อสมการที่สองกัน: ผลคูณของปัจจัยไม่เท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อไม่มีปัจจัยใดเท่ากับ 0

ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ: . เราพบว่ารากทั้งสองของสมการแรก มีเพียงรากเดียวเท่านั้นที่เหมาะสม - 3

คำตอบ:.

ในบทเรียนนี้ เราจำได้ว่านิพจน์ตรรกยะคืออะไร และยังได้เรียนรู้วิธีแก้สมการตรรกยะซึ่งลดเหลือเป็นสมการกำลังสองด้วย

ในบทต่อไป เราจะดูสมการตรรกยะเป็นแบบจำลองของสถานการณ์จริง และยังดูปัญหาการเคลื่อนที่ด้วย

บรรณานุกรม

บาชมาคอฟ M.I. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - อ.: การศึกษา, 2547.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. และอื่นๆ พีชคณิต 8. 5th ed. - อ.: การศึกษา, 2553.
Nikolsky S.M. , Potapov M.A. , Reshetnikov N.N. , Shevkin A.V. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป - อ.: การศึกษา, 2549.