Sırf cəbri hesablamağa öyrəşdiyimiz bir çox tapşırıq daha asan və daha sürətli həll edilə bilər; funksiya qrafiklərindən istifadə bu işdə bizə kömək edəcəkdir. “Necə ki?” deyirsən. bir şey çəkmək və nə çəkmək lazımdır? İnanın, bəzən daha rahat və asan olur. Başlayaq? Tənliklərdən başlayaq!
Tənliklərin qrafik həlli
Xətti tənliklərin qrafik həlli
Artıq bildiyiniz kimi, xətti tənliyin qrafiki düz xəttdir, ona görə də bu növün adı verilmişdir. Xətti tənlikləri cəbri həll etmək olduqca asandır - biz bütün naməlumları tənliyin bir tərəfinə, bildiyimiz hər şeyi digər tərəfə köçürürük və voila! Kökünü tapdıq. İndi bunu necə edəcəyinizi sizə göstərəcəyəm qrafik olaraq.
Beləliklə, tənlik əldə edirsiniz:
Bunu necə həll etmək olar?
Seçim 1, və ən ümumi olanı naməlumları bir tərəfə, məlumları isə digər tərəfə köçürməkdir, əldə edirik:
İndi quraq. Nə aldınız?
Sizcə tənliyimizin kökü nədir? Düzdür, qrafiklərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatı belədir:
Cavabımız belədir
Qrafik həllin bütün hikməti budur. Asanlıqla yoxlaya bildiyiniz kimi, tənliyimizin kökü ədəddir!
Yuxarıda dediyim kimi, bu, cəbri həllə yaxın olan ən ümumi variantdır, lakin siz onu başqa yolla həll edə bilərsiniz. Alternativ həlli nəzərdən keçirmək üçün tənliyimizə qayıdaq:
Bu dəfə biz heç nəyi yan-yana köçürməyəcəyik, indi olduğu kimi birbaşa qrafikləri quracağıq:
tikilib? Görək!
Bu dəfə həll yolu nədir? Düzdür. Eyni şey - qrafiklərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatı:
Və yenə cavabımız budur.
Gördüyünüz kimi, xətti tənliklərlə hər şey olduqca sadədir. Daha mürəkkəb bir şeyə baxmaq vaxtıdır... Məsələn, kvadrat tənliklərin qrafik həlli.
Kvadrat tənliklərin qrafik həlli
Beləliklə, indi kvadrat tənliyi həll etməyə başlayaq. Tutaq ki, bu tənliyin köklərini tapmaq lazımdır:
Əlbəttə ki, indi diskriminant vasitəsilə və ya Vyeta teoreminə görə saymağa başlaya bilərsiniz, lakin bir çox insanlar əsəbləri üzündən çarpma və ya kvadratlaşdırma zamanı səhvlər edirlər, xüsusən də nümunə böyük rəqəmlərlədirsə və bildiyiniz kimi, siz qazandınız. 'imtahan üçün kalkulyator yoxdur... Ona görə də bu tənliyi həll edərkən bir az dincəlməyə və çəkməyə çalışaq.
Bu tənliyin həlli müxtəlif yollarla qrafik olaraq tapıla bilər. Gəlin müxtəlif variantlara baxaq və siz hansını daha çox bəyəndiyinizi seçə bilərsiniz.
Metod 1. Birbaşa
Bu tənlikdən istifadə edərək sadəcə parabola qururuq:
Bunu tez etmək üçün sizə kiçik bir ipucu verəcəyəm: Parabolanın təpəsini təyin etməklə tikintiyə başlamaq rahatdır. Aşağıdakı düsturlar parabolanın təpəsinin koordinatlarını təyin etməyə kömək edəcək:
Deyəcəksən: “Dur! Düstur diskriminantın tapılması düsturuna çox bənzəyir,” bəli, elədir və bu, onun köklərini tapmaq üçün “birbaşa” parabolun qurulmasının böyük çatışmazlığıdır. Bununla belə, gəlin sona qədər sayaq və sonra bunu necə çox (çox!) daha asan edəcəyinizi sizə göstərəcəyəm!
saydın? Parabolanın təpəsi üçün hansı koordinatları əldə etdiniz? Gəlin bunu birlikdə anlayaq:
Tam eyni cavab? Əla! İndi biz təpənin koordinatlarını bilirik, lakin parabola qurmaq üçün bizə daha çox... nöqtə lazımdır. Sizcə bizə neçə minimum xal lazımdır? Doğru, .
Bilirsiniz ki, parabola öz təpəsinə görə simmetrikdir, məsələn:
Müvafiq olaraq, parabolanın sol və ya sağ qolunda daha iki nöqtəyə ehtiyacımız var və gələcəkdə bu nöqtələri əks tərəfdə simmetrik şəkildə əks etdirəcəyik:
Parabolamıza qayıdaq. Bizim vəziyyətimiz üçün dövr. Bizə daha iki xal lazımdır ki, müsbət olanları götürək, yoxsa mənfi olanları? Hansı məqamlar sizin üçün daha əlverişlidir? Müsbət olanlarla işləmək mənim üçün daha rahatdır, ona görə də hesablayacağam.
İndi üç nöqtəmiz var, onun təpəsinə nisbətən son iki nöqtəni əks etdirərək parabolamızı asanlıqla qura bilərik:
Sizcə tənliyin həlli nədir? Doğrudur, hansı nöqtələrdə, yəni, və. Çünki.
Və belə deyiriksə, o deməkdir ki, o da bərabər olmalıdır, ya da.
Sadəcə? Tənliyi sizinlə mürəkkəb qrafik şəkildə həll etdik, yoxsa daha çox olacaq!
Əlbəttə ki, cavabımızı cəbri olaraq yoxlaya bilərsiniz - Vietanın teoremindən və ya Diskriminantdan istifadə edərək kökləri hesablaya bilərsiniz. Nə aldınız? Eyni? Bax görürsən! İndi çox sadə bir qrafik həllə baxaq, əminəm ki, bunu həqiqətən bəyənəcəksiniz!
Metod 2. Bir neçə funksiyaya bölünür
Gəlin eyni tənliyimizi götürək: , lakin biz onu bir az fərqli yazacağıq, yəni:
Bunu belə yaza bilərik? Biz edə bilərik, çünki transformasiya ekvivalentdir. Gəlin daha da baxaq.
İki funksiyanı ayrıca quraq:
- - qrafik sadə paraboladır, hətta düsturlardan istifadə edərək təpəni təyin etmədən və digər nöqtələri müəyyən etmək üçün cədvəl tərtib etmədən də asanlıqla qura bilərsiniz.
- - qrafik düz xəttdir, hətta kalkulyatora belə müraciət etmədən başınızdakı dəyərləri təxmin edərək asanlıqla qura bilərsiniz.
tikilib? Əldə etdiklərimlə müqayisə edək:
Sizcə, bu halda tənliyin kökləri hansılardır? Doğru! İki qrafikin kəsişməsindən alınan koordinatlar, yəni:
Beləliklə, bu tənliyin həlli belədir:
Sən nə deyirsən? Razılaşın, bu həll üsulu əvvəlkindən daha asandır və hətta diskriminant vasitəsilə kök axtarmaqdan daha asandır! Əgər belədirsə, bu üsuldan istifadə edərək aşağıdakı tənliyi həll etməyə çalışın:
Nə aldınız? Qrafiklərimizi müqayisə edək:
Qrafiklər cavabların belə olduğunu göstərir:
idarə etdin? Əla! İndi bir az daha mürəkkəb tənliklərə, yəni qarışıq tənliklərin həllinə, yəni müxtəlif tipli funksiyaları ehtiva edən tənliklərə baxaq.
Qarışıq tənliklərin qrafik həlli
İndi aşağıdakıları həll etməyə çalışaq:
Əlbəttə ki, ODZ-ni nəzərə almağı unutmadan hər şeyi ortaq məxrəcə gətirə, nəticədə yaranan tənliyin köklərini tapa bilərsiniz, amma yenə də bütün əvvəlki hallarda etdiyimiz kimi, qrafiki həll etməyə çalışacağıq.
Bu dəfə aşağıdakı 2 qrafiki quraq:
- - qrafik hiperboladır
- - qrafik düz bir xəttdir, hətta kalkulyatora belə müraciət etmədən başınızdakı dəyərləri təxmin edərək asanlıqla qura bilərsiniz.
Anladın? İndi tikintiyə başlayın.
Əldə etdiyim budur:
Bu şəklə baxaraq deyin ki, tənliyimizin kökləri nədir?
Düzdü və. Budur təsdiq:
Köklərimizi tənliyə bağlamağa çalışın. baş verdi?
Düzdür! Razılaşın, belə tənlikləri qrafik şəkildə həll etmək xoşdur!
Tənliyi qrafik olaraq özünüz həll etməyə çalışın:
Mən sizə bir ipucu verəcəyəm: tənliyin bir hissəsini sağ tərəfə köçürün ki, qurmaq üçün ən sadə funksiyalar hər iki tərəfdə olsun. İpucu aldınız? Hərəkət edin!
İndi nə əldə etdiyinizə baxaq:
Müvafiq olaraq:
- - kub parabola.
- - adi düz xətt.
Yaxşı, quraq:
Çoxdan yazdığınız kimi, bu tənliyin kökü - .
Bu qədər çox sayda nümunə üzərində işlədikdən sonra əminəm ki, tənlikləri qrafik şəkildə həll etməyin nə qədər asan və tez olduğunu başa düşdünüz. Sistemləri bu şəkildə necə həll edəcəyinizi anlamaq vaxtıdır.
Sistemlərin qrafik həlli
Sistemlərin qrafik həlli tənliklərin qrafik həllindən mahiyyətcə fərqlənmir. Biz də iki qrafik quracağıq və onların kəsişmə nöqtələri bu sistemin kökləri olacaq. Bir qrafik bir tənlikdir, ikinci qrafik başqa bir tənlikdir. Hər şey son dərəcə sadədir!
Ən sadə şeydən - xətti tənliklər sistemlərinin həllindən başlayaq.
Xətti tənliklər sistemlərinin həlli
Tutaq ki, bizdə aşağıdakı sistem var:
Əvvəlcə onu çevirək ki, solda əlaqəli olan hər şey, sağda isə əlaqəli olan hər şey var. Başqa sözlə, bu tənlikləri adi formada funksiya kimi yazaq:
İndi sadəcə iki düz xətt çəkirik. Bizim vəziyyətimizdə həll yolu nədir? Doğru! Onların kəsişmə nöqtəsi! Və burada çox, çox diqqətli olmaq lazımdır! Fikirləşin, niyə? İcazə verin sizə bir ipucu verim: biz bir sistemlə məşğuluq: sistemdə hər ikisi var, həm də... İpucu anladın?
Düzdür! Sistemi həll edərkən, yalnız tənlikləri həll edərkən deyil, hər iki koordinata baxmalıyıq! Digər vacib məqam isə onları düzgün yazmaq və mənanın harada olduğunu, mənasının harada olduğunu qarışdırmamaqdır! Siz yazdınız? İndi hər şeyi ardıcıllıqla müqayisə edək:
Və cavablar: və. Yoxlayın - tapılan kökləri sistemə əvəz edin və qrafik olaraq düzgün həll etdiyimizə əmin olun?
Qeyri-xətti tənliklər sistemlərinin həlli
Bir düz xəttin əvəzinə kvadrat tənliyimiz olarsa necə? Hər şey qaydasındadır! Siz sadəcə düz xətt əvəzinə parabola qurursunuz! İnanma? Aşağıdakı sistemi həll etməyə çalışın:
Növbəti addımımız nədir? Düzdür, onu yazın ki, qrafiklər qurmaq bizim üçün əlverişli olsun:
İndi hər şey xırda şeylər məsələsidir - onu tez qurun və həlliniz budur! Biz qururuq:
Qrafiklər eyni çıxdı? İndi sistemin həllərini şəkildə qeyd edin və müəyyən edilmiş cavabları düzgün yazın!
Mən hər şeyi etmişəm? Qeydlərimlə müqayisə edin:
Hər şey düzdür? Əla! Siz artıq qoz-fındıq kimi bu cür tapşırıqları həll edirsiniz! Əgər belədirsə, sizə daha mürəkkəb bir sistem verək:
Biz nə edirik? Doğru! Sistemi qurmaq üçün rahat olması üçün yazırıq:
Sistem çox mürəkkəb göründüyü üçün sizə bir az ipucu verəcəyəm! Qrafiklər qurarkən onları "daha çox" qurun və ən əsası kəsişmə nöqtələrinin sayına təəccüblənməyin.
Beləliklə, gedək! Exhaled? İndi tikintiyə başlayın!
Belə ki, necə? Gözəl? Neçə kəsişmə nöqtəsi əldə etdiniz? Məndə üç! Qrafiklərimizi müqayisə edək:
Həmçinin? İndi sistemimizin bütün həllərini diqqətlə yazın:
İndi sistemə yenidən baxın:
Təsəvvür edirsiniz ki, bunu cəmi 15 dəqiqəyə həll etdiniz? Razılaşın, riyaziyyat hələ də sadədir, xüsusən ifadəyə baxanda səhv etməkdən qorxmursunuz, sadəcə götürün və həll edin! Sən böyük oğlansan!
Bərabərsizliklərin qrafik həlli
Xətti bərabərsizliklərin qrafik həlli
Son nümunədən sonra hər şeyi edə bilərsiniz! İndi nəfəs alın - əvvəlki bölmələrlə müqayisədə bu, çox, çox asan olacaq!
Həmişə olduğu kimi, xətti bərabərsizliyin qrafik həlli ilə başlayacağıq. Məsələn, bu:
Əvvəlcə ən sadə çevrilmələri həyata keçirək - mükəmməl kvadratların mötərizələrini açın və oxşar terminləri təqdim edin:
Bərabərsizlik ciddi deyil, buna görə də intervala daxil edilmir və həll sağda olan bütün nöqtələr olacaq, çünki daha çox, daha çox və s.
Cavab:
Hamısı budur! Asanlıqla? İki dəyişənli sadə bərabərsizliyi həll edək:
Funksiyanı koordinat sistemində çəkək.
Belə bir cədvəl almısınız? İndi gəlin diqqətlə baxaq, orada hansı bərabərsizliyimiz var? Daha az? Bu o deməkdir ki, düz xəttimizin solunda olan hər şeyi boyayırıq. Daha çox olsaydı nə olardı? Düzdür, onda düz xəttimizin sağ tərəfində olan hər şeyi rəngləyəcəkdik. Bu sadədir.
Bu bərabərsizliyin bütün həlləri narıncı rəngdədir. Budur, iki dəyişənli bərabərsizlik həll olunur. Bu o deməkdir ki, kölgəli sahədən istənilən nöqtənin koordinatları həllərdir.
Kvadrat bərabərsizliklərin qrafik həlli
İndi kvadrat bərabərsizliklərin qrafik həllini başa düşəcəyik.
Ancaq işə başlamazdan əvvəl kvadrat funksiya ilə bağlı bəzi materialları nəzərdən keçirək.
Diskriminant nəyə görə məsuliyyət daşıyır? Düzdür, qrafikin oxa nisbətən mövqeyi üçün (əgər bunu xatırlamırsınızsa, kvadrat funksiyalar haqqında nəzəriyyəni mütləq oxuyun).
Hər halda, sizin üçün kiçik bir xatırlatma:
Yaddaşımızdakı bütün materialı təzələdik, indi işə keçək - bərabərsizliyi qrafik olaraq həll edək.
Dərhal sizə deyim ki, onu həll etmək üçün iki variant var.
Seçim 1
Parabolamızı funksiya olaraq yazırıq:
Düsturlardan istifadə edərək parabolanın təpəsinin koordinatlarını təyin edirik (kvadrat tənlikləri həll edərkən olduğu kimi):
saydın? Nə aldınız?
İndi daha iki fərqli nöqtə götürək və onlar üçün hesablayaq:
Parabolanın bir qolunu qurmağa başlayaq:
Nöqtələrimizi simmetrik olaraq parabolanın başqa qoluna əks etdiririk:
İndi bərabərsizliyimizə qayıdaq.
Bizə müvafiq olaraq sıfırdan kiçik olması lazımdır:
Bərabərsizliyimizdə işarə daha az olduğundan, son nöqtələri istisna edirik - "deşmək".
Cavab:
Uzun yol, hə? İndi eyni bərabərsizlik nümunəsindən istifadə edərək sizə qrafik həllin daha sadə versiyasını göstərəcəyəm:
Seçim 2
Bərabərsizliyimizə qayıdırıq və bizə lazım olan intervalları qeyd edirik:
Razılaşın, bu, daha sürətlidir.
İndi cavabı yazaq:
Cəbri hissəni sadələşdirən başqa bir həlli nəzərdən keçirək, amma əsas odur ki, çaşqınlıq olmasın.
Sol və sağ tərəfləri çarpın:
Aşağıdakı kvadrat bərabərsizliyi özünüz istədiyiniz şəkildə həll etməyə çalışın: .
idarə etdin?
Görün mənim qrafikim necə oldu:
Cavab: .
Qarışıq bərabərsizliklərin qrafik həlli
İndi daha mürəkkəb bərabərsizliklərə keçək!
Bunu necə bəyənirsiniz:
Bu ürpertici, elə deyilmi? Düzünü desəm, bunu cəbri yolla necə həll edəcəyim barədə heç bir fikrim yoxdur... Amma bu lazım deyil. Qrafik olaraq bunda mürəkkəb bir şey yoxdur! Gözlər qorxur, amma əllər edir!
Başlayacağımız ilk şey iki qrafik qurmaqdır:
Hər biri üçün bir cədvəl yazmayacağam - əminəm ki, bunu özünüz mükəmməl edə bilərsiniz (vay, həll etmək üçün çoxlu nümunələr var!).
Sən onu rəngləmisən? İndi iki qrafik qurun.
Rəsmlərimizi müqayisə edək?
Sizinlə eynidir? Əla! İndi gəlin kəsişmə nöqtələrini təşkil edək və nəzəri cəhətdən hansı qrafikin daha böyük olması lazım olduğunu müəyyən etmək üçün rəngdən istifadə edək. Görün axırda nə oldu:
İndi gəlin baxaq ki, bizim seçdiyimiz qrafik hansı qrafikdən daha yüksəkdir? Qələm götürüb bu sahəni rəngləməkdən çəkinməyin! O, bizim mürəkkəb bərabərsizliyimizin həlli olacaq!
Biz ox boyunca hansı intervallarda daha yüksəkdə yerləşmişik? Doğru, . Bu cavabdır!
Yaxşı, indi hər hansı bir tənliyi, istənilən sistemi və daha çox istənilən bərabərsizliyi idarə edə bilərsiniz!
ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA
Funksiya qrafiklərindən istifadə edərək tənliklərin həlli alqoritmi:
- vasitəsilə ifadə edək
- Funksiya növünü təyin edək
- Əldə edilən funksiyaların qrafiklərini quraq
- Qrafiklərin kəsişmə nöqtələrini tapaq
- Cavabı düzgün yazaq (ODZ və bərabərsizlik işarələrini nəzərə alaraq)
- Gəlin cavabı yoxlayaq (kökləri tənlik və ya sistemdə əvəz edin)
Funksiya qrafiklərinin qurulması haqqında ətraflı məlumat üçün “” mövzusuna baxın.
Yaxşı, mövzu bitdi. Əgər bu sətirləri oxuyursansa, deməli, çox gözəlsən.
Çünki insanların yalnız 5%-i nəyisə təkbaşına mənimsəməyi bacarır. Və sona qədər oxusanız, deməli bu 5%-dəsiniz!
İndi ən vacib şey.
Bu mövzuda nəzəriyyəni başa düşdünüz. Və təkrar edirəm, bu... bu sadəcə superdir! Siz artıq yaşıdlarınızın böyük əksəriyyətindən daha yaxşısınız.
Problem ondadır ki, bu kifayət deyil...
Nə üçün?
Vahid Dövlət İmtahanını müvəffəqiyyətlə verdiyinə görə, büdcə ilə kollecə daxil olduğun üçün və ən əsası ömürlük.
Sizi heç nəyə inandırmayacağam, sadəcə bir şey deyəcəm...
Yaxşı təhsil almış insanlar, almayanlardan qat-qat çox qazanırlar. Bu statistikadır.
Ancaq bu, əsas məsələ deyil.
Əsas odur ki, onlar DAHA XOŞBƏXTDİR (belə araşdırmalar var). Bəlkə ona görə ki, onların qarşısında daha çox imkanlar açılır və həyat daha parlaq olur? Bilmirəm...
Amma özünüz düşünün...
Vahid Dövlət İmtahanında başqalarından üstün olmaq və nəticədə... daha xoşbəxt olmaq üçün nə lazımdır?
BU MÖVZUDA MƏSƏLƏLƏRİ HƏLL EDƏK ƏLİNİZİ QAZANIN.
İmtahan zamanı sizdən nəzəriyyə tələb olunmayacaq.
Sizə lazım olacaq zamana qarşı problemləri həll edin.
Əgər onları həll etməmisinizsə (ÇOX!), Hardasa mütləq axmaq səhv edəcəksiniz və ya sadəcə vaxtınız olmayacaq.
İdmanda olduğu kimi - əminliklə qalib gəlmək üçün bunu dəfələrlə təkrarlamaq lazımdır.
Kolleksiyanı istədiyiniz yerdə tapın, mütləq həlləri, ətraflı təhlili ilə və qərar verin, qərar verin, qərar verin!
Tapşırıqlarımızdan istifadə edə bilərsiniz (isteğe bağlı) və biz, əlbəttə ki, onları tövsiyə edirik.
Tapşırıqlarımızdan daha yaxşı istifadə etmək üçün siz hazırda oxuduğunuz YouClever dərsliyinin ömrünü uzatmağa kömək etməlisiniz.
Necə? İki seçim var:
- Bu məqalədəki bütün gizli tapşırıqları açın -
- Dərsliyin bütün 99 məqaləsindəki bütün gizli tapşırıqlara girişi açın - Dərslik alın - 899 RUR
Bəli, bizim dərsliyimizdə 99 belə məqalə var və bütün tapşırıqlara və onlarda olan bütün gizli mətnlərə giriş dərhal açıla bilər.
Bütün gizli tapşırıqlara giriş saytın BÜTÜN ömrü üçün təmin edilir.
Yekun olaraq...
Tapşırıqlarımızı bəyənmirsinizsə, başqalarını tapın. Yalnız nəzəriyyədə dayanmayın.
“Anladım” və “Mən həll edə bilərəm” tamamilə fərqli bacarıqlardır. Hər ikisinə ehtiyacınız var.
Problemləri tapın və həll edin!
Salam. Bu yazıda sizə mümkün yolları göstərməyə çalışacağam qrafiklərdən istifadə edərək kvadrat tənliklərin həlli.
Tutaq ki, x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 tənliyini həll etməliyik. Bu nümunədən istifadə edərək kvadrat tənliyin qrafik həlli variantlarına baxacağıq.
1) Tənliyimizi x 2 = 2x + 3 şəklində təqdim edə bilərik.Sonra eyni koordinat sistemində y = x 2 və y = 2x + 3 funksiyalarının qrafiklərini quraq.Y = x 2 qrafiki Şəkil 1-də göstərilmişdir. , və Şəkil 2-dəki hər iki qrafik.
Şəkil 1 
Şəkil 2
Qrafiklər iki nöqtədə kəsişir, tənliyimiz x = – 1 və x = 3 həllinə malikdir.
2) Amma siz tənliyi başqa cür də təqdim edə bilərsiniz, məsələn, x 2 ‒ 2x = 3 və y = x 2 ‒ 2x və y = 3 funksiyalarının qrafiklərini bir koordinat sistemində qura bilərsiniz. Siz onları Şəkil 3 və 4-də görə bilərsiniz. Şəkil 3-də y = x 2 ‒ 2x qrafiki, Şəkil 4-də isə hər iki y = x 2 ‒ 2x və y = 3 qrafikləri göstərilir.
Şəkil 3 
Şəkil 4
Gördüyümüz kimi, bu iki qrafik də iki nöqtədə kəsişir, burada x = -1 və x = 3. Bu o deməkdir ki, cavab: - 1; 3.
3) Bu x 2 ‒ 3 = 2x tənliyini təmsil etmək üçün başqa bir seçim var. Və yenə eyni koordinat sistemində y = x 2 ‒ 3 və y = 2x funksiyalarının qrafiklərini qururuq. Şəkil 5-də birinci y = x 2 ‒ 3 və Şəkil 6-da hər iki qrafik.
Şəkil 5 
Şəkil 6
Cavab: - 1; 3.
4) y = x 2 ‒ 2x ‒ 3 parabola qura bilərsiniz.
Parabolanın təpə nöqtəsi x 0 = - b/2a = 2/2=1, y 0 = 1 2 ‒ 2 1 ‒ 3 = 1 – 2 – 3 = ‒ 4. Bu (1; ‒ 4) nöqtəsidir. Onda parabolamız x =1 düz xəttinə nisbətən simmetrikdir. Əgər x = 1 düz xəttinə nisbətən simmetrik iki nöqtə götürsək, məsələn: x = - 2 və x = 4, onda qrafikin budaqlarının keçdiyi iki nöqtə alarıq.
Əgər x = -2 olarsa, y =(- 2) 2 ‒ 2(-2) ‒ 3 = 4 + 4 – 3 = 5 olar.
Eynilə x = 4, y = 4 2 ‒ 2 · 4 ‒ 3 = 16 – 8 – 3 = 5. Nəticədə xallar (-2; 5); (1; 4) və (4; 5) müstəvidə işarələyirik və parabola çəkirik, Şəkil 7.
Şəkil 7
Parabola x oxunu 1 və 3 nöqtələrində kəsir. Bunlar x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 tənliyinin kökləridir.
Cavab: – 1 və 3.
5) Və binomialın kvadratını təcrid edə bilərsiniz:
x 2 ‒ 2x ‒ 3= 0
(x 2 ‒ 2x + 1) ‒ 1 ‒ 3= 0
(x -1) 2 - 4 = 0
Sonra bir koordinat sistemində y = (x - 1) 2 və y = 4 funksiyalarının qrafiklərini qurun.Birinci qrafik Şəkil 8-də y = (x - 1) 2, hər iki qrafik isə y = (x - 1)-dir. Şəkil 9-da 2 və y = 4.
Şəkil 8 
Şəkil 9
Onlar həmçinin x = -1, x = 3 olan iki nöqtədə kəsişirlər.
Cavab: - 1; 3.
6) x = 0 x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 tənliyinin kökü olmadığından (əks halda 0 2 – 2 0 –3 = 0 bərabərliyi yerinə yetirilər), onda tənliyin bütün şərtlərini x-ə bölmək olar. Nəticədə x – 2 – 3/x = 0 tənliyini alırıq. 3/x sağa hərəkət edib x – 2 = 3/x tənliyini alaq. Onda y = 3/x funksiyalarının qrafiklərini qura bilərik. və bir koordinat sistemində y = x – 2 .
Şəkil 10-da y = 3/x funksiyasının qrafiki, Şəkil 11-də isə y = 3/x və y = x – 2 funksiyalarının hər iki qrafiki göstərilir.
Şəkil 10 
Şəkil 11
Onlar həmçinin x = -1, x = 3 olan iki nöqtədə kəsişirlər.
Cavab: - 1; 3.
Diqqət etmisinizsə, tənliyi necə iki funksiya kimi təqdim etməyinizdən asılı olmayaraq, həmişə eyni cavabı alacağınızın fərqinə varacaqsınız (təbii ki, ifadələri tənliyin bir tərəfindən digər tərəfinə köçürərkən səhv etməyəcəksiniz). və qrafiklər qurarkən). Buna görə də, tənliyi qrafik şəkildə həll edərkən, qurmaq sizin üçün daha asan olan qrafik funksiyaları təmsil etmək üsulunu seçin. Və daha bir qeyd: tənliyin kökləri tam ədədlər deyilsə, cavab dəqiq olmayacaq.
vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.
Siz artıq 7-ci sinif cəbr kursunda kvadrat tənliklərlə qarşılaşmısınız. Xatırladaq ki, kvadrat tənlik ax 2 + bx + c = 0 formalı tənlikdir, burada a, b, c hər hansı ədədlər (əmsallar) və a . Bəzi funksiyalar və onların qrafikləri haqqında biliklərimizdən istifadə edərək, biz indi “Kvadrat tənliklər” mövzusunun sistemli öyrənilməsini gözləmədən bəzi kvadratik tənlikləri müxtəlif üsullarla həll edə bilirik; Bu üsulları bir kvadrat tənlik nümunəsindən istifadə edərək nəzərdən keçirəcəyik.
Misal. x 2 - 2x - 3 = 0 tənliyini həll edin.
Həll.
I üsul
. § 13-dən alqoritmdən istifadə edərək y = x 2 - 2x - 3 funksiyasının qrafikini quraq:
1) Bizdə: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f(1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Bu o deməkdir ki, parabolanın təpə nöqtəsi (1; -4) nöqtəsidir, parabolanın oxu isə x = 1 düz xəttidir.
2) X oxunda parabolanın oxuna nisbətən simmetrik olan iki nöqtəni götürün, məsələn, x = -1 və x = 3 nöqtələri.
Bizdə f(-1) = f(3) = 0. Koordinat müstəvisində (-1; 0) və (3; 0) nöqtələrini quraq.
3) (-1; 0), (1; -4), (3; 0) nöqtələri vasitəsilə parabola çəkirik (şək. 68).
x 2 - 2x - 3 = 0 tənliyinin kökləri parabolanın x oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləridir; Bu o deməkdir ki, tənliyin kökləri: x 1 = - 1, x 2 - 3.
II üsul. Tənliyi x 2 = 2x + 3 formasına çevirək. Bir koordinat sistemində y - x 2 və y = 2x + 3 funksiyalarının qrafiklərini quraq (şək. 69). Onlar iki A(- 1; 1) və B(3; 9) nöqtələrində kəsişir. Tənliyin kökləri A və B nöqtələrinin absisləridir ki, bu da x 1 = - 1, x 2 - 3 deməkdir.
III üsul . Tənliyi x 2 - 3 = 2x formasına çevirək. Bir koordinat sistemində y = x 2 - 3 və y = 2x funksiyalarının qrafiklərini quraq (şək. 70). Onlar iki A (-1; - 2) və B (3; 6) nöqtələrində kəsişirlər. Tənliyin kökləri A və B nöqtələrinin absisləridir, ona görə də x 1 = - 1, x 2 = 3.
IV üsul.
Tənliyi x 2 -2x 4-1-4 = 0 formasına çevirək
və sonra
x 2 - 2x + 1 = 4, yəni (x - IJ = 4.
Bir koordinat sistemində y = (x - 1) 2 parabola və y = 4 düz xətti quraq (şək. 71). Onlar iki A(-1; 4) və B(3; 4) nöqtələrində kəsişirlər. Tənliyin kökləri A və B nöqtələrinin absisləridir, ona görə də x 1 = -1, x 2 = 3.
V metodu. Tənliyin hər iki tərəfini x üzvünə bölmək, əldə edirik
Bir koordinat sistemində hiperbola və y = x - 2 düz xəttini quraq (şək. 72).
Onlar iki A (-1; -3) və B (3; 1) nöqtələrində kəsişirlər. Tənliyin kökləri A və B nöqtələrinin absisləridir, buna görə də x 1 = - 1, x 2 = 3.
Beləliklə, x 2 - 2x - 3 = 0 kvadrat tənliyini qrafik olaraq beş üsulla həll etdik. Bu üsulların mahiyyətini təhlil edək.
I üsul Funksiyanın x oxu ilə kəsişmə nöqtəsində qrafikini qurun.
II üsul. Tənliyi ax 2 = -bx - c formasına çevirin, y = ax 2 parabolasını və y = -bx - c düz xəttini qurun, onların kəsişmə nöqtələrini tapın (tənliyin kökləri kəsişmə nöqtələrinin absisləridir) , əgər, əlbəttə ki, varsa).
III üsul. Tənliyi ax 2 + c = - bx formasına çevirin, y - ax 2 + c parabolasını və y = -bx düz xəttini qurun (orjinaldan keçir); onların kəsişmə nöqtələrini tapın.
IV üsul. Tam kvadratı təcrid etmək üsulundan istifadə edərək tənliyi formaya çevirin
y = a (x + I) 2 parabolası və x oxuna paralel y = - m düz xətti qurun; parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapın.
V metodu. Tənliyi formaya çevirin
Hiperbola (bu şərtlə ki, hiperboladır) və düz xətti y = - ax - b qurun; onların kəsişmə nöqtələrini tapın.
Qeyd edək ki, ilk dörd üsul ax 2 + bx + c = 0 formasının istənilən tənliklərinə, beşincisi isə yalnız c olanlara aiddir. Praktikada siz verilmiş tənliyə ən uyğun görünən və ya daha çox bəyəndiyiniz (və ya başa düşdüyünüz) metodu seçə bilərsiniz.
Şərh
. Kvadrat tənliklərin qrafik həlli yollarının çoxluğuna baxmayaraq, biz əminik ki, istənilən kvadrat tənliyi həll etmək olar.
Bunu qrafik olaraq həll edə bilərik, yox. Məsələn, x 2 - x - 3 = 0 tənliyini həll etməlisiniz (xüsusən də olana bənzər bir tənliyi götürək.
nümunə hesab olunur). Məsələn, ikinci üsulla həll etməyə çalışaq: tənliyi x 2 = x + 3 formasına çevirin, y = x 2 parabola qurun və
düz xətti y = x + 3, onlar A və B nöqtələrində kəsişir (şəkil 73), yəni tənliyin iki kökü var. Bəs bu köklər nəyə bərabərdir, biz bir rəsm köməyi ilə,
Deyə bilmərik - A və B nöqtələrinin yuxarıdakı nümunədəki kimi "yaxşı" koordinatları yoxdur. İndi tənliyi nəzərdən keçirin
x 2 - 16x - 95 = 0. Gəlin bunu üçüncü yolla həll etməyə çalışaq. Tənliyi x 2 - 95 = 16x formasına çevirək. Burada parabola qurmalıyıq
y = x 2 - 95 və düz xətt y = 16x. Lakin notebook vərəqinin məhdud ölçüsü buna imkan vermir, çünki y = x 2 parabolasını 95 xana aşağı endirmək lazımdır.
Deməli, kvadrat tənliyin həlli üçün qrafik üsullar gözəl və xoşdur, lakin heç bir kvadrat tənliyin həllinə yüz faiz zəmanət vermir. Gələcəkdə bunu nəzərə alacağıq.
>>Riyaziyyat: Tənliklərin qrafik həlli
Tənliklərin qrafik həlli
haqqında biliklərimizi ümumiləşdirək qrafiklər funksiyaları. Aşağıdakı funksiyaların qrafiklərini necə qurmağı öyrəndik:
y =b (x oxuna paralel düz xətt);
y = kx (mənbədən keçən xətt);
y - kx + m (düz xətt);
y = x 2 (parabola).
Bu qrafikləri bilmək, lazım gələrsə, analitikləri əvəz etməyə imkan verəcəkdir model həndəsi (qrafik), məsələn, y = x 2 (iki x və y dəyişəni ilə bərabərliyi təmsil edən) modelinin əvəzinə koordinat müstəvisində parabolanı nəzərdən keçirək. Xüsusilə, bəzən tənliklərin həlli üçün faydalıdır. Bir neçə nümunədən istifadə edərək bunun necə edildiyini müzakirə edək.
A. V. Poqorelov, Həndəsə 7-11 siniflər üçün, Təhsil müəssisələri üçün dərslik
Dərsin məzmunu dərs qeydləri dəstəkləyən çərçivə dərsi təqdimatı sürətləndirmə üsulları interaktiv texnologiyalar Təcrübə edin tapşırıqlar və məşğələlər özünü sınamaq seminarları, təlimlər, keyslər, kvestlər ev tapşırığının müzakirəsi suallar tələbələrin ritorik sualları İllüstrasiyalar audio, video kliplər və multimedia fotoşəkillər, şəkillər, qrafika, cədvəllər, diaqramlar, yumor, lətifələr, zarafatlar, komikslər, məsəllər, kəlamlar, krossvordlar, sitatlar Əlavələr abstraktlar məqalələr maraqlı beşiklər üçün fəndlər dərsliklər əsas və əlavə terminlər lüğəti digər Dərsliklərin və dərslərin təkmilləşdirilməsidərslikdəki səhvlərin düzəldilməsi dərslikdəki fraqmentin, dərsdə yenilik elementlərinin yenilənməsi, köhnəlmiş biliklərin yeniləri ilə əvəz edilməsi Yalnız müəllimlər üçün mükəmməl dərslər il üçün təqvim planı, metodik tövsiyələr, müzakirə proqramları İnteqrasiya edilmiş DərslərBu video dərsdə “Funksiya y=x 2” mövzusu öyrənilmək üçün təklif olunur. Tənliklərin qrafik həlli”. Bu dərs zamanı tələbələr tənliklərin həllinin yeni üsulu ilə - funksiyaların qrafiklərinin xassələri haqqında biliklərə əsaslanan qrafik həll yolu ilə tanış ola biləcəklər. Müəllim y=x 2 funksiyasını qrafik şəkildə necə həll edəcəyini göstərəcək.
Mövzu:Funksiya
Dərs:Funksiya. Tənliklərin qrafik həlli
Tənliklərin qrafik həlli funksiya qrafikləri və onların xassələri haqqında biliklərə əsaslanır. Qrafiklərini bildiyimiz funksiyaları sadalayaq:
1), qrafik ordinat oxundakı bir nöqtədən keçən absis oxuna paralel düz xəttdir. Bir misala baxaq: y=1:
Müxtəlif dəyərlər üçün x oxuna paralel düz xətlər ailəsi alırıq.
2) Düz mütənasiblik funksiyası, bu funksiyanın qrafiki koordinatların başlanğıcından keçən düz xəttdir. Bir misala baxaq:
Biz bu qrafikləri əvvəlki dərslərdə artıq qurmuşuq, yada salaq ki, hər bir xətti qurmaq üçün onu qane edən nöqtəni seçmək və ikinci nöqtə kimi koordinatların mənşəyini götürmək lazımdır.
k əmsalının rolunu xatırlayaq: funksiya artdıqca x oxunun düz xətti ilə müsbət istiqaməti arasındakı bucaq kəskin olur; funksiya azaldıqda x oxunun düz xətti ilə müsbət istiqaməti arasındakı bucaq küt olur. Bundan əlavə, eyni işarəli iki k parametri arasında aşağıdakı əlaqə mövcuddur: müsbət k üçün, nə qədər böyükdürsə, funksiya bir o qədər tez artır, mənfi olanlar üçün isə mütləq dəyərdə k-nin böyük qiymətləri üçün funksiya daha sürətli azalır. .
3) Xətti funksiya. Zaman - ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsini alırıq və bu tip bütün düz xətlər (0; m) nöqtəsindən keçir. Bundan əlavə, funksiya artdıqca düz xətt ilə x oxunun müsbət istiqaməti arasındakı bucaq kəskin olur; funksiya azaldıqda x oxunun düz xətti ilə müsbət istiqaməti arasındakı bucaq küt olur. Və təbii ki, k-nin dəyəri funksiya dəyərinin dəyişmə sürətinə təsir göstərir.
4). Bu funksiyanın qrafiki paraboladır.
Nümunələrə baxaq.
Misal 1 - Tənliyi qrafik şəkildə həll edin:
Biz bu tip funksiyaları bilmirik, ona görə də məlum funksiyalarla işləmək üçün verilmiş tənliyi çevirməliyik:
Tənliyin hər iki tərəfində tanış funksiyaları alırıq:
Funksiyaların qrafiklərini quraq:
Qrafiklərin iki kəsişmə nöqtəsi var: (-1; 1); (2; 4)
Həllin düzgün tapılıb-tapılmadığını yoxlayaq və koordinatları tənliyə əvəz edək:
Birinci nöqtə düzgün tapıldı.
, 
, , , , ,
İkinci məqam da düzgün tapıldı.
Beləliklə, tənliyin həlli və
Əvvəlki nümunəyə bənzər şəkildə davam edirik: verilmiş tənliyi bizə məlum olan funksiyalara çeviririk, onların qrafiklərini qururuq, kəsişmə cərəyanlarını tapırıq və buradan həll yollarını göstəririk.
İki funksiya alırıq:
Qrafiklər quraq:
Bu qrafiklərin kəsişmə nöqtələri yoxdur, yəni verilmiş tənliyin həlli yoxdur
Nəticə: bu dərsdə bizə məlum olan funksiyaları və onların qrafiklərini nəzərdən keçirdik, xassələrini xatırladıq və tənliklərin həllinin qrafik üsuluna baxdıq.
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimoviç E.A. və başqaları.Cəbr 7. 6-cı nəşr. M .: Maarifçilik. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cəbr 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. və başqaları.Cəbr 7.M.: Maarifçilik. 2006
Tapşırıq 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. və başqaları Cəbr 7, № 494, maddə 110;
Tapşırıq 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. və başqaları Cəbr 7, № 495, maddə 110;
Tapşırıq 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. və başqaları Cəbr 7, № 496, maddə 110;
Yüklənir...
