Belgorodo valstybinis universitetas

SKYRIUS algebra, skaičių teorija ir geometrija

Tema: Eksponentinės galios lygtys ir nelygybės.

Diplominis darbas fizikos ir matematikos fakulteto studentas

Mokslinis vadovas:

______________________________

Recenzentas: ___________________________________

________________________

Belgorodas. 2006 m

Įvadas			3
Tema aš.	Literatūros tyrimo tema analizė.
Tema II.	Funkcijos ir jų savybės, naudojamos sprendžiant eksponentines lygtis ir nelygybes.
	I.1.	Galios funkcija ir jos savybės.
	I.2.	Eksponentinė funkcija ir jos savybės.
Tema III.	Eksponentinių galių lygčių sprendimas, algoritmas ir pavyzdžiai.
Tema IV.	Eksponentinių nelygybių sprendimas, sprendimo planas ir pavyzdžiai.
Tema V.	Patirtis vedant pamokas su moksleiviais tema: „Eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimas“.
V. 1.	Mokomoji medžiaga.
V. 2.	Savarankiško sprendimo problemos.
Išvada.	Išvados ir pasiūlymai.
Naudotos literatūros sąrašas.
Programos

Įvadas.

„...matymo ir supratimo džiaugsmas...“

A. Einšteinas.

Šiame darbe stengiausi perteikti savo, kaip matematikos mokytojo, patirtį, bent kiek perteikti savo požiūrį į jos mokymą – žmogaus veiklą, kurioje stebėtinai persipina matematikos mokslas, pedagogika, didaktika, psichologija ir net filosofija.

Turėjau galimybę dirbti su vaikais ir absolventais, kai vaikai stovėjo prie stulpų intelektualinis vystymasis: tie, kurie buvo užsiregistravę pas psichiatrą ir kurie tikrai domėjosi matematika

Turėjau galimybę išspręsti daugybę metodinių problemų. Pabandysiu pakalbėti apie tuos, kuriuos pavyko išspręsti. Tačiau dar daugiau nepavykusių ir net tuose, kurie, atrodo, buvo išspręsti, kyla naujų klausimų.

Tačiau dar svarbesni už pačią patirtį yra mokytojo apmąstymai ir abejonės: kodėl būtent taip, ši patirtis?

Ir vasara dabar kitokia, ir švietimo plėtra tapo įdomesnė. „Po Jupiteriais“ šiandien ieškoma ne mitinės optimalios „visų ir visko“ mokymo sistemos, o paties vaiko. Bet tada – būtinai – mokytojas.

Mokykliniame algebros kurse ir pradėjo analizuoti, 10 - 11 klasėms, išlaikant vieningą valstybinį kurso egzaminą vidurinę mokyklą o ant stojamųjų egzaminų į universitetus yra lygtys ir nelygybės, kurių bazėje yra nežinomasis ir rodikliai – tai eksponentinės lygtys ir nelygybės.

Jiems mokykloje skiriama mažai dėmesio, vadovėliuose praktiškai nėra užduočių šia tema. Tačiau jų sprendimo technikos įvaldymas, man atrodo, labai naudingas: didina psichikos ir kūrybiškumas studentų, prieš mus atsiveria visiškai nauji horizontai. Spręsdami problemas mokiniai įgyja pirmųjų įgūdžių tiriamasis darbas, praturtėja jų matematinė kultūra, vystosi loginio mąstymo gebėjimai. Mokiniai išsiugdo tokias asmenybės savybes kaip ryžtas, tikslo siekimas, savarankiškumas, kurios jiems pravers vėlesniame gyvenime. Taip pat yra mokomosios medžiagos kartojimas, išplėtimas ir gilus įsisavinimas.

Šią temą pradėjau dirbti savo baigiamajame darbe rašydamas kursinį darbą. Kurio metu giliai išstudijavau ir išanalizavau matematinę literatūrą šia tema, daugiausiai išsiaiškinau tinkamas metodas sprendžiant eksponentinės galios lygtis ir nelygybes.

Tai slypi tame, kad be visuotinai priimto požiūrio sprendžiant eksponenlines lygtis (bazė imama didesnė nei 0) ir sprendžiant tas pačias nelygybes (bazė imama didesnė nei 1 arba didesnė nei 0, bet mažesnė nei 1) , taip pat nagrinėjami atvejai, kai bazės yra neigiamos, lygios 0 ir 1.

Išanalizavus mokinių egzaminų raštu darbus matyti, kad mokykliniuose vadovėliuose neaprėpiamas klausimas apie neigiamą eksponentinės funkcijos argumento reikšmę, jiems kyla nemažai sunkumų ir atsiranda klaidų. Taip pat jie turi problemų gautų rezultatų sisteminimo stadijoje, kur dėl perėjimo prie lygties – pasekmė ar nelygybės – pasekmė, gali atsirasti pašalinių šaknų. Siekdami pašalinti klaidas, naudojame testą naudojant pradinę lygtį arba nelygybę ir eksponentinių lygčių sprendimo algoritmą arba eksponentinių nelygybių sprendimo planą.

Kad studentai sėkmingai išlaikytų baigiamuosius ir stojamuosius egzaminus, manau, būtina daugiau dėmesio skirti eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimui. treniruočių sesijos, arba papildomai pasirenkamuose dalykuose ir būreliuose.

Taigi tema , mano baigiamasis darbas apibrėžiamas taip: „Eksponentinės galios lygtys ir nelygybės“.

Tikslai šio darbo yra:

1. Išanalizuoti literatūrą šia tema.

2. Duok pilna analizė sprendžiant eksponentinės galios lygtis ir nelygybes.

3. Pateikite pakankamai įvairių pavyzdžių šia tema.

4. Pasitikrinti pamokose, pasirenkamosiose ir klubinėse pamokose, kaip bus suvokiami siūlomi eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimo metodai. Pateikite tinkamas rekomendacijas, kaip studijuoti šią temą.

Tema Mūsų tyrimas yra sukurti eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimo metodiką.

Tyrimo tikslas ir dalykas reikalavo išspręsti šias problemas:

1. Išstudijuokite literatūrą tema: „Eksponentinės galios lygtys ir nelygybės“.

2. Įvaldyti eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimo būdus.

3. Pasirinkti mokymo medžiagą ir sukurti pratimų sistemą skirtingų lygių tema: „Eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimas“.

Baigiamojo darbo tyrimo metu buvo išanalizuota daugiau nei 20 darbų apie naudojimą įvairių metodų sprendžiant eksponentinės galios lygtis ir nelygybes. Iš čia gauname.

Baigiamojo darbo planas:

Įvadas.

I skyrius. Literatūros analizė tiriama tema.

II skyrius. Funkcijos ir jų savybės, naudojamos sprendžiant eksponentines lygtis ir nelygybes.

II.1. Galios funkcija ir jos savybės.

II.2. Eksponentinė funkcija ir jos savybės.

III skyrius. Eksponentinių galių lygčių sprendimas, algoritmas ir pavyzdžiai.

IV skyrius. Eksponentinių nelygybių sprendimas, sprendimo planas ir pavyzdžiai.

V skyrius. Užsiėmimų su moksleiviais vedimo šia tema patirtis.

1.Mokomoji medžiaga.

2. Savarankiško sprendimo užduotys.

Išvada. Išvados ir pasiūlymai.

Naudotos literatūros sąrašas.

I skyriuje analizuojama literatūra

Eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Kas atsitiko eksponentinė lygtis? Tai lygtis, kurioje yra nežinomieji (x) ir išraiškos su jais rodikliai kai kurie laipsniai. Ir tik ten! Tai svarbu.

Štai jums pavyzdžių eksponentinės lygtys :

3 x 2 x = 8 x+3

Atkreipkite dėmesį! Laipsnių pagrindu (žemiau) - tik skaičiai. IN rodikliai laipsniai (aukščiau) - daugybė išraiškų su X. Jei staiga lygtyje X atsiranda kur nors kitur nei indikatorius, pavyzdžiui:

tai jau bus mišraus tipo lygtis. Tokios lygtys neturi aiškių jų sprendimo taisyklių. Kol kas jų nesvarstysime. Čia mes susidorosime su sprendžiant eksponentines lygtis gryniausia forma.

Tiesą sakant, net grynos eksponentinės lygtys ne visada išsprendžiamos aiškiai. Bet yra tam tikrų tipų eksponentinės lygtys, kurias galima ir reikia išspręsti. Tai yra rūšys, kurias mes apsvarstysime.

Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas.

Pirma, išspręskime kažką labai paprasto. Pavyzdžiui:

Net ir be jokių teorijų, paprastu pasirinkimu aišku, kad x = 2. Nieko daugiau, tiesa!? Jokia kita X reikšmė neveikia. Dabar pažvelkime į šios sudėtingos eksponentinės lygties sprendimą:

Ką mes padarėme? Mes, tiesą sakant, tiesiog išmetėme tuos pačius pagrindus (trigubas). Visiškai išmestas. Ir gera žinia ta, kad mes pataikėme vinį į galvą!

Iš tiesų, jei eksponentinėje lygtyje yra kairė ir dešinė identiškas skaičiai bet kokiais laipsniais, šie skaičiai gali būti pašalinti ir rodikliai gali būti išlyginti. Matematika leidžia. Belieka išspręsti daug paprastesnę lygtį. Puiku, tiesa?)

Tačiau prisiminkime tvirtai: Bazes galite pašalinti tik tada, kai baziniai numeriai kairėje ir dešinėje yra puikiai atskirti! Be jokių kaimynų ir koeficientų. Tarkime lygtyse:

2 x +2 x+1 = 2 3 arba

dviejų negalima pašalinti!

Na, mes įvaldėme svarbiausią dalyką. Kaip pereiti nuo piktų eksponentinių išraiškų prie paprastesnių lygčių.

"Tokie laikai!" - sakai tu. „Kas ves tokią primityvią testų ir egzaminų pamoką!?

turiu sutikti. Niekas to nepadarys. Tačiau dabar žinote, kur siekti sprendžiant sudėtingus pavyzdžius. Jis turi būti įvestas į formą, kurioje kairėje ir dešinėje yra tas pats pagrindinis numeris. Tada viskas bus lengviau. Tiesą sakant, tai yra matematikos klasika. Imame originalų pavyzdį ir paverčiame jį norimu mus protas. Žinoma, pagal matematikos taisykles.

Pažvelkime į pavyzdžius, kuriems reikia šiek tiek papildomų pastangų, kad juos sumažintume iki paprasčiausių. Paskambinkime jiems paprastos eksponentinės lygtys.

Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.

Sprendžiant eksponentines lygtis, pagrindinės taisyklės yra veiksmai su laipsniais. Be žinių apie šiuos veiksmus niekas neveiks.

Prie veiksmų su laipsniais reikia pridėti asmeninį stebėjimą ir išradingumą. Ar mums reikia tų pačių bazinių skaičių? Taigi pavyzdyje jų ieškome aiškia arba šifruota forma.

Pažiūrėkime, kaip tai daroma praktiškai?

Pateiksime pavyzdį:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pirmas akylas žvilgsnis yra į pagrindu. Jie... Jie skirtingi! Du ir aštuoni. Tačiau dar per anksti nusiminti. Laikas tai prisiminti

Du ir aštuoni yra laipsnio giminės.) Visiškai įmanoma parašyti:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jei prisiminsime formulę iš operacijų su laipsniais:

(a n) m = a nm ,

tai puikiai veikia:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Pradinis pavyzdys pradėjo atrodyti taip:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Perkeliame 2 3 (x+1)į dešinę (niekas neatšaukė elementarių matematikos operacijų!), gauname:

2 2x = 2 3 (x+1)

Tai praktiškai viskas. Pagrindo pašalinimas:

Mes išsprendžiame šį monstrą ir gauname

Tai teisingas atsakymas.

Šiame pavyzdyje mums padėjo dviejų galių žinojimas. Mes nustatyta aštuoniose yra užšifruoti du. Ši technika (bendrųjų pagrindų šifravimas pagal skirtingi skaičiai) yra labai populiarus eksponentinių lygčių metodas! Taip, ir logaritmais. Jūs turite mokėti atpažinti kitų skaičių galias skaičiais. Tai labai svarbu sprendžiant eksponenlines lygtis.

Faktas yra tai, kad bet kokį skaičių padidinti iki bet kokios galios nėra problema. Padauginkite, net ant popieriaus, ir viskas. Pavyzdžiui, kiekvienas gali pakelti 3 iki penktos laipsnio. 243 pasiseks, jei žinai daugybos lentelę.) Bet eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia ne kelti į laipsnį, o atvirkščiai... Sužinok koks skaičius iki kokio laipsnio slepiasi po skaičiumi 243, arba, tarkim, 343... Joks skaičiuotuvas čia nepadės.

Kai kurių skaičių galias reikia žinoti iš matymo, tiesa... Pasipraktikuojame?

Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Atsakymai (žinoma, netvarkoje!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jei atidžiai pažiūrėsite, pamatysite keistas faktas. Atsakymų yra žymiai daugiau nei užduočių! Na, būna... Pavyzdžiui, 2 6, 4 3, 8 2 – tai visi 64.

Tarkime, kad atkreipėte dėmesį į informaciją apie susipažinimą su skaičiais.) Taip pat priminsiu, kad eksponentinėms lygtims spręsti naudojame visi matematinių žinių fondą. Įskaitant jaunesniųjų ir vidurinių klasių atstovus. Jūs neįstojote tiesiai į vidurinę mokyklą, tiesa?)

Pavyzdžiui, sprendžiant eksponentines lygtis dažnai padeda bendrojo koeficiento dėjimas iš skliaustų (sveiki 7 klasei!). Pažiūrėkime į pavyzdį:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ir vėl pirmas žvilgsnis – į pamatus! Skiriasi laipsnių pagrindai... Trys ir devyni. Ir mes norime, kad jie būtų vienodi. Na, šiuo atveju noras visiškai išsipildo!) Nes:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Taikant tas pačias taisykles, susijusias su laipsniais:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Puiku, galite užsirašyti:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. O kas toliau!? Trijų išmesti negalima... Aklavietė?

Visai ne. Prisiminkite universaliausią ir galingiausią sprendimo taisyklę visi matematikos užduotys:

Jei nežinai, ko tau reikia, daryk, ką gali!

Žiūrėk, viskas susitvarkys).

Kas yra šioje eksponentinėje lygtyje Gali daryti? Taip, kairėje pusėje jis tiesiog prašosi būti išimamas iš skliaustų! Bendras daugiklis 3 2x aiškiai tai rodo. Pabandykime, tada pamatysime:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Pavyzdys vis gerėja ir gerėja!

Mes prisimename, kad norint pašalinti pagrindus, mums reikia gryno laipsnio, be jokių koeficientų. Skaičius 70 mus trikdo. Taigi abi lygties puses padaliname iš 70, gauname:

Oi! Viskas pagerėjo!

Tai yra galutinis atsakymas.

Tačiau pasitaiko, kad taksi važiavimas tuo pačiu pagrindu pasiekiamas, tačiau jų pašalinti neįmanoma. Tai atsitinka kitų tipų eksponentinėse lygtyse. Įvaldykime šį tipą.

Kintamojo pakeitimas sprendžiant eksponentines lygtis. Pavyzdžiai.

Išspręskime lygtį:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pirma – kaip įprasta. Pereikime prie vienos bazės. Į dvikovą.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Gauname lygtį:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ir čia mes pakabiname. Ankstesni metodai neveiks, kad ir kaip žiūrėtumėte. Turėsime iš savo arsenalo ištraukti dar vieną galingą ir universalų metodą. Tai vadinama kintamasis pakeitimas.

Metodo esmė stebėtinai paprasta. Vietoj vienos sudėtingos piktogramos (mūsų atveju - 2 x) rašome kitą, paprastesnę (pavyzdžiui - t). Toks, atrodytų, beprasmis pakeitimas veda prie nuostabių rezultatų!) Viskas tiesiog tampa aišku ir suprantama!

Taigi tegul

Tada 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

Mūsų lygtyje visus laipsnius x pakeičiame t:

Na, ar tau išaiškėjo?) Ar jau pamiršote kvadratines lygtis? Išspręsdami per diskriminantą, gauname:

Čia svarbiausia nesustoti, kaip atsitinka... Tai dar ne atsakymas, mums reikia x, o ne t. Grįžkime prie X, t.y. atliekame atvirkštinį pakeitimą. Pirmiausia t 1:

Todėl

Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo iš t 2:

Hm... 2 x kairėje, 1 dešinėje... Problema? Visai ne! Užtenka prisiminti (iš operacijų su galiomis, taip...), kad vienetas yra bet koks skaičių iki nulio laipsnio. Bet koks. Ką reikės, mes sumontuosime. Mums reikia dviejų. Priemonės:

Tai dabar. Turime 2 šaknis:

Tai yra atsakymas.

At sprendžiant eksponentines lygtis pabaigoje kartais baigiesi kažkokia nepatogia išraiška. Tipas:

Septynių negalima paversti dviem naudojant paprastą laipsnį. Jie ne giminaičiai... Kaip mes galime būti? Kažkas gali susipainioti... Bet žmogus, kuris šioje svetainėje perskaitė temą "Kas yra logaritmas?" , tik taupiai nusišypso ir tvirta ranka užrašo visiškai teisingą atsakymą:

Vieningo valstybinio egzamino „B“ užduotyse tokio atsakymo negali būti. Ten reikalingas konkretus skaičius. Tačiau atliekant užduotis „C“ tai lengva.

Šioje pamokoje pateikiami dažniausiai pasitaikančių eksponentinių lygčių sprendimo pavyzdžiai. Pabrėžkime pagrindinius dalykus.

Praktinis patarimas:

1. Pirmiausia žiūrime pagrindu laipsnių. Svarstame, ar įmanoma juos pagaminti identiški. Pabandykime tai padaryti aktyviai naudodami veiksmai su laipsniais. Nepamirškite, kad skaičiai be x taip pat gali būti konvertuojami į laipsnius!

2. Bandome suvesti eksponentinę lygtį į formą, kai kairėje ir dešinėje yra identiškas skaičiai bet kokiais laipsniais. Mes naudojame veiksmai su laipsniais Ir faktorizavimas. Ką galima suskaičiuoti skaičiais, tą ir skaičiuojame.

3. Jei antrasis patarimas neveikia, pabandykite naudoti kintamąjį pakeitimą. Rezultatas gali būti lygtis, kurią galima lengvai išspręsti. Dažniausiai – kvadratas. Arba trupmeninė dalis, kuri taip pat sumažinama iki kvadrato.

4. Už sėkmingas sprendimas Eksponentinėms lygtims reikia žinoti kai kurių skaičių galias „iš akies“.

Kaip įprasta, pamokos pabaigoje esate kviečiami šiek tiek apsispręsti.) Patys. Nuo paprasto iki sudėtingo.

Išspręskite eksponentines lygtis:

Sunkiau:

2 x+3 – 2 x+2 – 2 x = 48

9 x – 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Raskite šaknų produktą:

2 3 + 2 x = 9

Ar pavyko?

Na tada sudėtingiausias pavyzdys(vis dėlto nusprendžiau mintyse...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Kas įdomesnio? Tada čia jums blogas pavyzdys. Gana viliojanti dėl padidėjusio sunkumo. Leiskite užsiminti, kad šiame pavyzdyje jus gelbsti išradingumas ir universaliausia visų matematinių problemų sprendimo taisyklė.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Paprastesnis pavyzdys, skirtas atsipalaiduoti):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ir desertui. Raskite lygties šaknų sumą:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Taip, taip! Tai mišraus tipo lygtis! Ko šioje pamokoje nesvarstėme. Kam juos apsvarstyti, juos reikia išspręsti!) Šios pamokos visiškai pakanka lygčiai išspręsti. Na, reikia išradingumo... Ir tegul tau padeda septinta klasė (tai užuomina!).

Atsakymai (netvarkingi, atskirti kabliataškiais):

1; 2; 3; 4; nėra sprendimų; 2; -2; -5; 4; 0.

Ar viskas pavyksta? Puiku.

Ar yra problemų? Jokio klausimo! Specialiajame 555 skyriuje visos šios eksponentinės lygtys išspręstos naudojant išsamius paaiškinimus. Kas, kodėl ir kodėl. Ir, žinoma, yra papildomos vertingos informacijos apie darbą su visomis eksponentinėmis lygtimis. Ne tik šie.)

Paskutinis įdomus klausimas, kurį reikia apsvarstyti. Šioje pamokoje dirbome su eksponentinėmis lygtimis. Kodėl aš čia nepasakiau nė žodžio apie ODZ? Beje, lygtyse tai labai svarbus dalykas...

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Pasiruošimo galutiniam testui etape aukštųjų mokyklų studentai turi patobulinti savo žinias tema „Eksponentinės lygtys“. Pastarųjų metų patirtis rodo, kad tokios užduotys moksleiviams kelia tam tikrų sunkumų. Todėl aukštųjų mokyklų studentai, nepaisant jų pasirengimo lygio, turi gerai įsisavinti teoriją, prisiminti formules ir suprasti tokių lygčių sprendimo principą. Išmokę susidoroti su tokio tipo problemomis, abiturientai gali tikėtis aukštų balų laikydami vieningą valstybinį matematikos egzaminą.

Pasiruoškite egzaminui su Shkolkovo!

Peržiūrėdami medžiagą, kurią jie apėmė, daugelis studentų susiduria su formulių, reikalingų lygtims spręsti, problema. Mokyklinis vadovėlis ne visada po ranka, ir pasirinkimas reikalinga informacija apie temą internete užtrunka ilgai.

Švietimo portalas Shkolkovo kviečia studentus naudotis mūsų žinių baze. Visiškai įgyvendiname naujas metodas pasiruošimas paskutiniam testui. Studijuodami mūsų svetainėje galėsite atpažinti žinių spragas ir atkreipti dėmesį į būtent tas užduotis, kurios kelia daugiausiai sunkumų.

Shkolkovo mokytojai surinko, susistemino ir pristatė viską, kas reikalinga sėkmingam darbui išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą medžiaga paprasčiausia ir prieinamiausia forma.

Pagrindiniai apibrėžimai ir formulės pateikiami skyriuje „Teorinis pagrindas“.

Norint geriau suprasti medžiagą, rekomenduojame pasipraktikuoti atliekant užduotis. Atidžiai peržiūrėkite šiame puslapyje pateiktus eksponentinių lygčių ir sprendimų pavyzdžius, kad suprastumėte skaičiavimo algoritmą. Po to atlikite užduotis skyriuje „Katalogai“. Galite pradėti nuo paprasčiausių užduočių arba pereiti tiesiai prie sudėtingų eksponentinių lygčių su keliais nežinomaisiais arba . Mūsų svetainėje esanti pratimų duomenų bazė nuolat pildoma ir atnaujinama.

Pavyzdžius su indikatoriais, kurie jums sukėlė sunkumų, galite įtraukti į „Mėgstamiausius“. Tokiu būdu galite greitai juos rasti ir aptarti sprendimą su savo mokytoju.

Norėdami sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą, kiekvieną dieną mokykitės Shkolkovo portale!

Pavyzdžiai:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kaip išspręsti eksponentines lygtis

Sprendžiant bet kurią eksponentinę lygtį, mes stengiamės ją pateikti į formą \(a^(f(x))=a^(g(x))\), tada pereiname prie eksponentų lygybės, tai yra:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Pavyzdžiui:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Svarbu! Remiantis ta pačia logika, tokiam perėjimui keliami du reikalavimai:
- numeris in kairė ir dešinė turi būti vienodi;
- laipsniai kairėje ir dešinėje turi būti „gryni“, tai yra, neturėtų būti daugybos, dalybos ir pan.

Pavyzdžiui:

Norėdami sumažinti lygtį iki formos \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ir yra naudojami.

Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Sprendimas:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Žinome, kad \(27 = 3^3\). Atsižvelgdami į tai, transformuojame lygtį.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Pagal šaknies savybę \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) gauname, kad \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Toliau, naudodami laipsnio savybę \((a^b)^c=a^(bc)\, gauname \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Taip pat žinome, kad \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Pritaikius tai kairėje pusėje, gauname: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1) = 3^ (x + 0,5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Dabar atsiminkite, kad: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ši formulė taip pat gali būti naudojama atvirkštinė pusė: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tada \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Pritaikę savybę \((a^b)^c=a^(bc)\) dešinėje pusėje, gauname: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		O dabar mūsų bazės lygios ir nėra trukdančių koeficientų ir pan. Taigi galime pereiti.
		Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Sprendimas: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Mes vėl naudojame galios savybę \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) priešinga kryptimi. \(4^x4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Dabar atsiminkite, kad \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Naudodami laipsnių savybes transformuojame: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Atidžiai žiūrime į lygtį ir matome, kad pakaitalas \(t=2^x\) rodo save. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Tačiau radome \(t\) reikšmes ir mums reikia \(x\). Grįžtame prie X, pakeisdami atvirkštinį. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Antrąją lygtį transformuojame naudodami savybę neigiamas laipsnis… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...ir mes sprendžiame iki atsakymo. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Atsakymas : \(-1; 1\). Lieka klausimas – kaip suprasti, kada kurį metodą naudoti? Tai ateina su patirtimi. Kol gausi, naudokis bendra rekomendacija išspręsti sudėtingas problemas – „jei nežinai, ką daryti, daryk tai, ką gali“. Tai yra, paieškokite, kaip galite iš esmės transformuoti lygtį, ir pabandykite tai padaryti – o jei kas nutiks? Svarbiausia yra atlikti tik matematiškai pagrįstas transformacijas. Eksponentinės lygtys be sprendinių Pažvelkime į dar dvi situacijas, kurios dažnai klaidina mokinius: - teigiamas laipsnio skaičius lygus nuliui, pavyzdžiui, \(2^x=0\); - teigiamas laipsnio skaičius yra lygus neigiamas skaičius, pavyzdžiui, \(2^x=-4\). Pabandykime išspręsti brutalia jėga. Jei x yra teigiamas skaičius, tada, kai x auga, visa galia \(2^x\) tik padidės: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Taip pat pagal. Liko neigiami X. Prisimindami savybę \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), patikriname: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Nepaisant to, kad su kiekvienu žingsniu skaičius mažėja, jis niekada nepasieks nulio. Taigi neigiamas laipsnis mūsų neišgelbėjo. Mes darome logišką išvadą: Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu išliks teigiamu skaičiumi. Taigi abi aukščiau pateiktos lygtys neturi sprendinių. Eksponentinės lygtys su skirtingais pagrindais Praktikoje kartais susiduriame su eksponentinės lygtys su skirtingais pagrindais, kurios nėra redukuojamos viena į kitą, ir tuo pačiu su tais pačiais eksponentais. Jie atrodo taip: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kur \(a\) ir \(b\) yra teigiami skaičiai. Pavyzdžiui: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Tokias lygtis galima nesunkiai išspręsti padalijus iš bet kurios lygties kraštinės (dažniausiai padalijama iš dešinės pusės, tai yra iš \(b^(f(x))\). Galite padalyti taip, nes teigiamas skaičius yra teigiamas bet kuriai galiai (tai yra, mes nedalijame iš nulio). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Sprendimas: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Čia negalėsime penkių paversti trimis arba atvirkščiai (bent jau nenaudodami). Tai reiškia, kad negalime pasiekti formos \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Tačiau rodikliai yra vienodi. Padalinkime lygtį iš dešinės pusės, tai yra iš \(3^(x+7)\) (galime tai padaryti, nes žinome, kad trys jokiu laipsniu nebus nulis). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Dabar atsiminkite savybę \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) ir naudokite ją iš kairės priešinga kryptimi. Dešinėje mes tiesiog sumažiname trupmeną. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Atrodytų, viskas negerėjo. Tačiau atminkite dar vieną galios savybę: \(a^0=1\), kitaip tariant: „bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus \(1\).“ Taip pat yra priešingai: „vienas gali būti pavaizduotas kaip bet koks skaičius iki nulio laipsnio“. Pasinaudokime tuo, padarydami pagrindą dešinėje taip pat kaip ir kairėje. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Atsikratykime pagrindų. Rašome atsakymą. Atsakymas : \(-7\). Kartais eksponentų „vienodumas“ nėra akivaizdus, ​​tačiau sumaniai panaudojus eksponentų savybes ši problema išsprendžiama. Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sprendimas: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lygtis atrodo labai liūdnai... Ne tik bazių negalima redukuoti iki vienodo skaičiaus (septyni jokiu būdu nebus lygūs \(\frac(1)(3)\)), bet ir rodikliai skiriasi. .. Tačiau vartokime kairįjį laipsnį deuce. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Prisimindami savybę \((a^b)^c=a^(b·c)\) transformuojame iš kairės: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Dabar, prisimindami neigiamo laipsnio savybę \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformuojame iš dešinės: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleliuja! Rodikliai tokie patys! Veikdami pagal mums jau žinomą schemą, išsprendžiame prieš atsakymą. Atsakymas : \(2\).

Pradinis lygis

Eksponentinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Sveiki! Šiandien su jumis aptarsime, kaip išspręsti lygtis, kurios gali būti tiek elementarios (ir tikiuosi, kad perskaičius šį straipsnį beveik visos tokios bus jums), ir tas, kurios paprastai pateikiamos „užpildymui“. Matyt, kad pagaliau užmigtų. Bet aš pasistengsiu padaryti viską, kas įmanoma, kad dabar jūs nepatektumėte į bėdą susidūrę su tokio tipo lygtimis. Nebeplaksiu, bet tuoj atidarysiu maža paslaptis: šiandien mes mokysimės eksponentinės lygtys.

Prieš pradėdamas analizuoti jų sprendimo būdus, iš karto pateiksiu jums keletą klausimų (gana nedidelių), kuriuos turėtumėte pakartoti prieš imdami pulti šią temą. Taigi, norint gauti geriausias rezultatas, Prašau, kartoti:

1. Savybės ir
2. Sprendimas ir lygtys

Pasikartojo? Nuostabu! Tada jums nebus sunku pastebėti, kad lygties šaknis yra skaičius. Ar tu tiksliai supranti, kaip aš tai padariau? Ar tai tiesa? Tada tęskime. Dabar atsakykite į mano klausimą, kas yra lygus trečiajai galiai? Tu visiškai teisus: . Kokia dviejų galia yra aštuoni? Teisingai – trečias! Nes. Na, o dabar pabandykime išspręsti šią problemą: Leiskite man vieną kartą padauginti skaičių iš savęs ir gauti rezultatą. Kyla klausimas, kiek kartų aš padauginau iš savęs? Žinoma, galite tai patikrinti tiesiogiai:

\begin(lygiuoti) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( lygiuoti)

Tada galite daryti išvadą, kad aš padauginau iš savęs kartų. Kaip dar galite tai patikrinti? Štai kaip: tiesiogiai pagal laipsnio apibrėžimą: . Bet, pripažink, jei paklausčiau, kiek kartų reikia du padauginti iš savęs, kad gautum, tarkime, atsakytum: aš savęs neapgausiu ir dauginsiu iš savęs, kol nepamėlsiu. Ir jis būtų visiškai teisus. Nes kaip tu gali trumpai surašykite visus veiksmus(o trumpumas yra talento sesuo)

kur – tai tie patys "laikai", kai dauginate iš savęs.

Manau, kad žinote (o jei nežinote, skubiai, labai skubiai pakartokite laipsnius!), kad tada mano problema bus parašyta tokia forma:

Kaip galite pagrįstai daryti išvadą, kad:

Taigi, nepastebėta, užsirašiau paprasčiausią eksponentinė lygtis:

Ir net radau jį šaknis. Ar nemanote, kad viskas yra visiškai nereikšminga? Manau lygiai taip pat. Štai jums dar vienas pavyzdys:

Bet ką daryti? Juk jo negalima parašyti kaip (protingo) skaičiaus laipsnio. Nenusiminkime ir pastebėkime, kad abu šie skaičiai puikiai išreiškiami to paties skaičiaus galia. Kurią? Teisingai:. Tada pradinė lygtis transformuojama į formą:

Kur, kaip jau supratote,. Daugiau nedelskime ir užsirašykime apibrėžimas:

Mūsų atveju:.

Šios lygtys išsprendžiamos redukuojant jas į formą:

po to sprendžiama lygtis

Tiesą sakant, tai padarėme ankstesniame pavyzdyje: gavome taip: Ir mes išsprendėme paprasčiausią lygtį.

Atrodo, nieko sudėtingo, tiesa? Pirmiausia pasitreniruokime su paprasčiausiais pavyzdžiai:

Dar kartą matome, kad dešinę ir kairę lygties puses reikia pavaizduoti kaip vieno skaičiaus laipsnius. Tiesa, tai jau buvo padaryta kairėje, bet dešinėje yra skaičius. Bet tai gerai, nes mano lygtis stebuklingai pavirs tokia:

Ką aš čia turėjau panaudoti? Kokia taisykle? Taisyklė "laipsniai laipsniais" kuriame rašoma:

Ką daryti, jei:

Prieš atsakydami į šį klausimą, užpildykime šią lentelę:

Mums nesunku pastebėti, kad kuo mažesnė, tuo mažesnė reikšmė, tačiau nepaisant to, visos šios reikšmės yra didesnės už nulį. IR TAIP VISADA BUS!!! Ta pati savybė galioja VISIEMS PAGRINDAI SU JOKIU RODIKLIU!! (bet kuriai ir). Tada ką galime padaryti apie lygtį? Štai kas tai yra: tai neturi šaknų! Kaip ir bet kuri lygtis neturi šaknų. Dabar pasitreniruokime ir Išspręskime paprastus pavyzdžius:

Patikrinkime:

1. Čia nieko iš jūsų nereikės, išskyrus laipsnių savybių išmanymą (ką, beje, paprašiau pakartoti!) Paprastai viskas veda į mažiausią bazę: , . Tada pradinė lygtis bus lygiavertė tokiai: Viskas, ko man reikia, yra naudoti galių savybes: Dauginant skaičius su tais pačiais pagrindais, laipsniai pridedami, o dalinant – atimami. Tada gausiu: Na, dabar ramia sąžine pereisiu nuo eksponentinės lygties prie tiesinės: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(lygiuoti)

2. Antrame pavyzdyje turime būti atsargesni: bėda ta, kad kairėje pusėje mes niekaip negalime pavaizduoti to paties skaičiaus kaip laipsnio. Šiuo atveju kartais tai naudinga vaizduoja skaičius kaip laipsnių sandaugą su skirtingais pagrindais, bet tais pačiais eksponentais:

Kairioji lygties pusė atrodys taip: ką tai mums davė? Štai kas: Skaičius su skirtingais pagrindais, bet tuos pačius rodiklius galima padauginti.Šiuo atveju bazės padauginamos, tačiau indikatorius nesikeičia:

Mano situacijoje tai duos:

\begin (lygiuoti)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(lygiuoti)

Neblogai, tiesa?

3. Man nepatinka, kai be reikalo vienoje lygties pusėje turiu du terminus, o kitoje – nė vieno (kartais, žinoma, tai pateisinama, bet dabar ne toks atvejis). Perkelsiu minuso terminą į dešinę:

Dabar, kaip ir anksčiau, viską parašysiu trijų galių atžvilgiu:

Pridedu laipsnius kairėje ir gaunu lygiavertę lygtį

Galite lengvai rasti jo šaknį:

4. Kaip ir trečiame pavyzdyje, minuso terminas yra dešinėje pusėje!

Mano kairėje beveik viskas gerai, išskyrus ką? Taip, „neteisingas laipsnis“ mane trikdo. Bet aš galiu lengvai tai išspręsti parašydamas: . Eureka - kairėje visos bazės skirtingos, bet visi laipsniai vienodi! Tuoj padauginkime!

Čia vėl viskas aišku: (jei nesuprantate, kaip stebuklingai gavau paskutinę lygybę, padarykite minutės pertraukėlę, atsikvėpkite ir dar kartą labai atidžiai perskaitykite laipsnio savybes. Kas sakė, kad galite praleisti a. laipsnis su neigiamu laipsniu? Na, čia aš apie tą patį, kaip niekas). Dabar gausiu:

\begin (lygiuoti)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9) = -1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(lygiuoti)

Čia yra keletas problemų, kurias galite praktikuoti, į kurias pateiksiu tik atsakymus (bet „mišria“ forma). Išspręskite juos, patikrinkite, o jūs ir aš tęsime savo tyrimus!

Pasiruošę? Atsakymai kaip tai:

1. bet koks skaičius

Gerai, gerai, aš juokavau! Štai keletas sprendimų eskizų (kai kurie labai trumpi!)

Ar nemanote, kad neatsitiktinai viena trupmena kairėje yra kita „apversta“? Būtų nuodėmė nepasinaudoti tuo:

Ši taisyklė labai dažnai naudojama sprendžiant eksponentines lygtis, gerai atsiminkite!

Tada pradinė lygtis taps tokia:

Tai nusprendęs kvadratinė lygtis, gausite šias šaknis:

2. Kitas sprendimas: padalyti abi lygties puses kairėje (arba dešinėje) esančia išraiška. Padalinkite iš to, kas yra dešinėje, tada gaunu:

Kur (kodėl?!)

3. Net nenoriu kartotis, viskas jau tiek daug "sukramtyta".

4. ekvivalentas kvadratinei lygčiai, šaknys

5. Turite naudoti formulę, pateiktą pirmoje užduotyje, tada gausite:

Lygtis virto trivialia tapatybe, kuri tinka bet kuriam. Tada atsakymas yra bet koks tikrasis skaičius.

Na, dabar jūs pasipraktikavote spręsti paprastos eksponentinės lygtys. Dabar noriu pateikti keletą realaus gyvenimo pavyzdžių, kurie padės suprasti, kam jie iš esmės reikalingi. Pateiksiu du pavyzdžius. Vienas iš jų yra gana kasdienis, tačiau kitas greičiausiai bus mokslinis, o ne praktinis.

1 pavyzdys (prekybos) Tegul turi rublius, bet nori juos paversti rubliais. Bankas siūlo jums paimti šiuos pinigus iš jūsų metine norma su mėnesinių palūkanų kapitalizavimu (mėnesio kaupimas). Kyla klausimas, kiek mėnesių reikia atidaryti indėlį, kad pasiektumėte reikiamą galutinę sumą? Gana kasdieniška užduotis, ar ne? Nepaisant to, jo sprendimas yra susijęs su atitinkamos eksponentinės lygties sudarymu: Tegul - pradinė suma, - galutinė suma, - palūkanų norma per laikotarpį, - laikotarpių skaičius. Tada:

Mūsų atveju (jei norma metinė, tai skaičiuojama mėnesiui). Kodėl jis padalintas į? Jei nežinote atsakymo į šį klausimą, prisiminkite temą ""! Tada gauname šią lygtį:

Šią eksponentinę lygtį galima išspręsti tik naudojant skaičiuotuvą (jo išvaizda užuominos apie tai, o tam reikia logaritmų išmanymo, su kuriais susipažinsime šiek tiek vėliau), ką ir padarysiu:... Taigi, norint gauti milijoną, reikės įnešti mėnesiui ( ne labai greitai, tiesa?).

2 pavyzdys (gana mokslinis). Nepaisant jo tam tikros „izoliacijos“, rekomenduoju atkreipti į jį dėmesį: jis reguliariai „paslysta į vieningą valstybinį egzaminą!! (problema paimta iš „tikrosios“ versijos) Radioaktyvaus izotopo skilimo metu jo masė mažėja pagal dėsnį, kur (mg) – pradinė izotopo masė, (min.) – laikas, praėjęs nuo pradinis momentas (min.) yra pusinės eliminacijos laikas. Pradiniu laiko momentu izotopo masė yra mg. Jo pusinės eliminacijos laikas yra min. Po kiek minučių izotopo masė bus lygi mg? Viskas gerai: mes tiesiog paimame ir pakeičiame visus duomenis į mums pasiūlytą formulę:

Padalinkime abi dalis „tikėkimės“, kad kairėje gausime ką nors virškinamo:

Na, mums labai pasisekė! Jis yra kairėje, tada pereikime prie lygiavertės lygties:

Kur yra min.

Kaip matote, eksponentinės lygtys praktiškai pritaikomos. Dabar noriu parodyti kitą (paprastą) būdą, kaip išspręsti eksponenlines lygtis, pagrįstą bendro koeficiento išėmimu iš skliaustų ir terminų grupavimu. Neišsigąskite mano žodžių, jūs jau susidūrėte su šiuo metodu 7 klasėje, kai studijavote daugianarius. Pavyzdžiui, jei reikėjo atsižvelgti į išraišką:

Sugrupuokime: pirmą ir trečią terminus, taip pat antrą ir ketvirtą. Akivaizdu, kad pirmasis ir trečiasis yra kvadratų skirtumas:

o antrasis ir ketvirtasis turi bendrą koeficientą iš trijų:

Tada pradinė išraiška yra lygiavertė šiai:

Iš kur gauti bendrą veiksnį nebėra sunku:

Vadinasi,

Apytiksliai taip darysime spręsdami eksponentines lygtis: ieškokite terminų „bendrumo“ ir išimkite jį iš skliaustų, o tada - kad ir kaip būtų, tikiu, kad mums pasiseks =)) Pavyzdžiui:

Dešinėje toli gražu nėra septynių laipsnis (patikrinau!) O kairėje - šiek tiek geriau, jūs, žinoma, galite „nupjauti“ koeficientą a nuo antrojo pirmojo termino, o tada spręsti. su tuo, ką turite, bet būkime apdairesni su jumis. Nenoriu susidurti su trupmenomis, kurios neišvengiamai susidaro „renkantis“, todėl ar neturėčiau jos išimti? Tada aš neturėsiu jokių frakcijų: kaip sakoma, vilkai pamaitinti, o avys saugios:

Apskaičiuokite išraišką skliausteliuose. Stebuklingai, stebuklingai taip išeina (keista, nors ko dar turėtume tikėtis?).

Tada šiuo koeficientu sumažiname abi lygties puses. Mes gauname: , iš.

Štai sudėtingesnis pavyzdys (tikrai gana):

Kokia problema! Mes čia neturime vieno bendro pagrindo! Nelabai aišku, ką dabar daryti. Padarykime tai, ką galime: pirma, perkelkime „keturiukus“ į vieną pusę, o „penketukus“ – į kitą:

Dabar išimkime „bendrą“ kairėje ir dešinėje:

Tai kas dabar? Kokia nauda iš tokios kvailos grupės? Iš pirmo žvilgsnio visiškai nesimato, bet pažiūrėkime giliau:

Na, o dabar įsitikinsime, kad kairėje turime tik išraišką c, o dešinėje - visa kita. Kaip tai darome? Štai kaip: pirmiausia padalykite abi lygties puses iš (taip atsikratytume eksponento dešinėje), o tada padalykite abi puses iš (taip atsikratytume skaitinio koeficiento kairėje). Galiausiai gauname:

Neįtikėtina! Kairėje pusėje turime išraišką, o dešinėje – paprastą išraišką. Tada iš karto darome tokią išvadą

Štai dar vienas pavyzdys, kurį galite sustiprinti:

Pateiksiu trumpą jo sprendimą (nevargindamas savęs paaiškinimais), pabandysiu pats suprasti visas sprendimo „subtilybes“.

Dabar apie galutinį aptrauktos medžiagos konsolidavimą. Pabandykite patys išspręsti šias problemas. Pateiksiu tik trumpas rekomendacijas ir patarimus, kaip jas išspręsti:

1. Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų: Kur:
2. Pateikime pirmąją išraišką forma: , padalinkite abi puses iš ir gaukite tai
3. , tada pradinė lygtis transformuojama į formą: Na, o dabar užuomina – paieškok, kur tu ir aš jau išsprendėme šią lygtį!
4. Įsivaizduokite, kaip, kaip, ah, gerai, tada padalinkite abi puses iš, kad gautumėte paprasčiausią eksponentinę lygtį.
5. Ištraukite jį iš skliaustų.
6. Ištraukite jį iš skliaustų.

EKSPONENTINĖS LYGTYBĖS. VIDURIO LYGIS

Manau, kad perskaičius pirmąjį straipsnį, kuriame buvo kalbama apie kas yra eksponentinės lygtys ir kaip jas išspręsti, jūs įvaldėte būtino minimumožinios, reikalingos paprastiems pavyzdžiams spręsti.

Dabar pažvelgsiu į kitą eksponentinių lygčių sprendimo būdą, tai yra

„naujo kintamojo įvedimo metodas“ (arba pakeitimas). Jis sprendžia daugumą „sudėtingų“ uždavinių eksponentinių lygčių (ir ne tik lygčių) tema. Šis metodas yra vienas iš dažniausiai naudojamų praktikoje. Pirmiausia rekomenduoju susipažinti su tema.

Kaip jau supratote iš pavadinimo, šio metodo esmė yra įvesti tokį kintamojo pasikeitimą, kad jūsų eksponentinė lygtis stebuklingai virstų tokia, kurią galėsite lengvai išspręsti. Išsprendus šią labai „supaprastintą lygtį“, jums belieka atlikti „atvirkštinį pakeitimą“: tai yra, grįžti iš pakeisto į pakeistą. Iliustruojame tai, ką ką tik pasakėme, labai paprastu pavyzdžiu:

1 pavyzdys:

Ši lygtis išspręsta naudojant „paprastą pakaitalą“, kaip matematikai ją niekinamai vadina. Tiesą sakant, pakeitimas čia yra akivaizdžiausias. Reikia tik tai pamatyti

Tada pradinė lygtis pavirs tokia:

Jei papildomai įsivaizduosime, kaip, tada visiškai aišku, ką reikia pakeisti: žinoma, . Kas tada tampa pradine lygtimi? Štai kas:

Jo šaknis galite lengvai rasti patys: . Ką dabar turėtume daryti? Atėjo laikas grįžti prie pradinio kintamojo. Ką pamiršau paminėti? Būtent: pakeičiant tam tikrą laipsnį nauju kintamuoju (ty pakeičiant tipą), man bus įdomu tik teigiamos šaknys! Jūs pats galite lengvai atsakyti kodėl. Taigi jūs ir aš nesame suinteresuoti, bet antroji šaknis mums tinka:

Tada iš kur.

Atsakymas:

Kaip matote, ankstesniame pavyzdyje pakaitalas tiesiog prašė mūsų rankų. Deja, taip būna ne visada. Tačiau nepereikime tiesiai prie liūdnų dalykų, o pasipraktikuokime su dar vienu pavyzdžiu su gana paprastu pakeitimu

2 pavyzdys.

Aišku, kad greičiausiai turėsime atlikti pakeitimą (tai yra mažiausia iš galių, įtrauktų į mūsų lygtį), tačiau prieš įvedant pakeitimą, mūsų lygtis turi būti tam „paruošta“, būtent: , . Tada galite pakeisti, todėl gaunu tokią išraišką:

O siaubas: kubinė lygtis su visiškai siaubingomis formulėmis jai išspręsti (na, kalbant bendras vaizdas). Tačiau nenusiminkim iš karto, o pagalvokime, ką turėtume daryti. Siūlysiu sukčiauti: žinome, kad norėdami gauti „gražų“ atsakymą, turime jį gauti kaip trijų galių (kodėl taip, ane?). Pabandykime atspėti bent vieną mūsų lygties šaknį (pradėsiu spėlioti laipsniais iš trijų).

Pirmas spėjimas. Ne šaknis. Deja ir ak...

.
Kairė pusė lygi.
Dešinė pusė:!
Valgyk! Atspėjo pirmą šaknį. Dabar viskas bus lengviau!

Ar žinote apie "kampo" padalijimo schemą? Žinoma, jūs naudojate jį, kai dalijate vieną skaičių iš kito. Tačiau mažai žmonių žino, kad tą patį galima padaryti ir su daugianariais. Yra viena nuostabi teorema:

Taikant mano situaciją, tai man sako, kad ji be likučio dalijasi iš. Kaip vykdomas padalijimas? Štai kaip:

Žiūriu, iš kurio monomio turėčiau padauginti, kad gaučiau Clearly, tada:

Gautą išraišką atėmiau iš, gaunu:

Iš ko man reikia padauginti, kad gaučiau? Aišku, kad tada aš gausiu:

ir vėl atimkite gautą išraišką iš likusios:

Na paskutinis žingsnis, padauginkite iš ir atimkite iš likusios išraiškos:

Hurray, dalyba baigėsi! Ką sukaupėme privačiai? Žinoma:.

Tada gavome tokį pradinio daugianario išplėtimą:

Išspręskime antrąją lygtį:

Jis turi šaknis:

Tada pradinė lygtis:

turi tris šaknis:

Žinoma, paskutinę šaknį atmesime, nes ji mažesnė už nulį. Ir pirmieji du po atvirkštinio pakeitimo suteiks mums dvi šaknis:

Atsakymas: ..

Aš visiškai nenorėjau jūsų gąsdinti šiuo pavyzdžiu, mano tikslas buvo parodyti, kad nors mes turėjome gana paprastą pakeitimą, jis vis dėlto lėmė gana sudėtinga lygtis, kurio sprendimas iš mūsų pareikalavo tam tikrų ypatingų įgūdžių. Na, niekas nuo to neapsaugotas. Tačiau pakeitimas šiuo atveju buvo gana akivaizdus.

Štai pavyzdys su šiek tiek mažiau akivaizdžiu pakeitimu:

Visiškai neaišku, ką turėtume daryti: problema ta, kad mūsų lygtyje yra dvi skirtingos bazės o vieno pamato negalima gauti iš kito pakėlus jį iki bet kokio (protingo, natūraliai) laipsnio. Tačiau ką mes matome? Abi bazės skiriasi tik ženklu, o jų sandauga yra kvadratų skirtumas, lygus vienetui:

Apibrėžimas:

Taigi, mūsų pavyzdyje esantys skaičiai yra konjuguoti.

Šiuo atveju protingas žingsnis būtų Padauginkite abi lygties puses iš konjuguoto skaičiaus.

Pavyzdžiui, įjungta, tada kairioji lygties pusė taps lygi, o dešinė. Jei pakeisime, mūsų pradinė lygtis taps tokia:

tada jos šaknys, ir tai atsimindami mes tai suprantame.

Atsakymas: ,.

Paprastai pakeitimo metodo pakanka daugeliui „mokyklinių“ eksponentinių lygčių išspręsti. Šios užduotys paimtos iš vieningo valstybinio egzamino C1 (padidintas sudėtingumo lygis). Jūs jau esate pakankamai raštingas, kad galėtumėte savarankiškai išspręsti šiuos pavyzdžius. Duosiu tik reikiamą pakaitalą.

1. Išspręskite lygtį:
2. Raskite lygties šaknis:
3. Išspręskite lygtį:. Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui:

O dabar keletas trumpų paaiškinimų ir atsakymų:

1. Čia mums užtenka pastebėti, kad... Tada pradinė lygtis bus lygiavertė šiai: Šią lygtį galima išspręsti pakeičiant Atlikite tolesnius skaičiavimus patys. Galų gale jūsų užduotis bus sumažinta iki paprastų trigonometrinių problemų sprendimo (priklausomai nuo sinuso ar kosinuso). Panašių pavyzdžių sprendimus apžvelgsime kituose skyriuose.
2. Čia netgi galite apsieiti be pakeitimų: tiesiog perkelkite poskyrį į dešinę ir pavaizduokite abi bazes per dviejų laipsnius: , tada eikite tiesiai į kvadratinę lygtį.
3. Trečioji lygtis taip pat išspręsta gana standartiškai: įsivaizduokime, kaip. Tada, pakeisdami, gauname kvadratinę lygtį: tada,

   Jūs jau žinote, kas yra logaritmas, tiesa? Ne? Tada skubiai perskaitykite temą!

   Pirmoji šaknis akivaizdžiai nepriklauso segmentui, bet antroji neaiški! Bet mes sužinosime labai greitai! Nuo tada (tai yra logaritmo savybė!) Palyginkime:

   Atimkite iš abiejų pusių, tada gausime:

   Kairė pusė gali būti pavaizduota taip:

   padauginkite abi puses iš:

   tada galima padauginti iš

   Tada palyginkite:

   nuo tada:

   Tada antra šaknis priklauso reikiamam intervalui

   Atsakymas:

Kaip matote, parenkant eksponentinių lygčių šaknis, reikia gana giliai išmanyti logaritmų savybes, todėl patariu būti kuo atsargesniems sprendžiant eksponentines lygtis. Kaip suprantate, matematikoje viskas yra tarpusavyje susiję! Kaip sakė mano matematikos mokytojas: „matematika, kaip ir istorija, negali būti perskaityta per vieną naktį“.

Kaip taisyklė, visi Sunkumas sprendžiant uždavinius C1 yra būtent lygties šaknų pasirinkimas. Praktikuokime su dar vienu pavyzdžiu:

Akivaizdu, kad pati lygtis išspręsta gana paprastai. Atlikdami pakaitalą, pradinę lygtį sumažiname iki šios:

Pirmiausia pažvelkime į pirmąją šaknį. Palyginkime ir: nuo tada. (logaritminės funkcijos savybė, at). Tada aišku, kad pirmoji šaknis nepriklauso mūsų intervalui. Dabar antroji šaknis: . Tai aišku (kadangi funkcija at didėja). Belieka palyginti ir...

nuo tada, tuo pačiu metu. Tokiu būdu galiu „įvaryti kaištį“ tarp ir. Šis kaištis yra skaičius. Pirmoji išraiška mažesnė, o antroji didesnė. Tada antroji išraiška yra didesnė už pirmąją, o šaknis priklauso intervalui.

Atsakymas:.

Galiausiai pažvelkime į kitą lygties pavyzdį, kai pakeitimas yra gana nestandartinis:

Iš karto pradėkime nuo to, ką galima padaryti, o ką – iš principo galima, bet geriau to nedaryti. Viską galite įsivaizduoti per trijų, dviejų ir šešių galias. Prie ko tai prives? Tai nieko neprives: laipsnių kratinys, iš kurio kai kurių bus gana sunku atsikratyti. Ko tada reikia? Atkreipkime dėmesį, kad a Ir ką tai mums duos? Ir tai, kad šio pavyzdžio sprendimą galime redukuoti iki gana paprastos eksponentinės lygties! Pirma, perrašykime savo lygtį taip:

Dabar padalinkime abi gautos lygties puses iš:

Eureka! Dabar galime pakeisti, gauname:

Na, dabar jūsų eilė spręsti demonstracines problemas, o aš jas pateiksiu tik trumpus komentarus, kad nenuklystumėte! Sėkmės!

1. Sunkiausia! Taip sunku čia pamatyti pakaitalą! Tačiau nepaisant to, šis pavyzdys gali būti visiškai išspręstas naudojant išryškinant ištisą aikštę. Norėdami tai išspręsti, pakanka pažymėti, kad:

Tada čia yra jūsų pakaitalas:

(Atkreipkite dėmesį, kad pakeitimo metu negalime išmesti neigiamos šaknies!!! Kodėl manote?)

Dabar, norėdami išspręsti pavyzdį, turite išspręsti tik dvi lygtis:

Abu juos galima išspręsti „standartiniu pakeitimu“ (bet antrasis viename pavyzdyje!)

2. Pastebėkite tai ir pakeiskite.

3. Išskaidykite skaičių į kopirminius veiksnius ir supaprastinkite gautą išraišką.

4. Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš (arba, jei norite) ir pakeiskite arba.

5. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai ir yra konjuguoti.

EKSPONENTINĖS LYGTYBĖS. PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Be to, pažiūrėkime kitu būdu - sprendžiant eksponentines lygtis logaritmo metodu. Negaliu sakyti, kad eksponentinių lygčių sprendimas šiuo metodu yra labai populiarus, tačiau kai kuriais atvejais tik tai gali paskatinti mus teisingas sprendimas mūsų lygtis. Jis ypač dažnai naudojamas sprendžiant vadinamąsias „ mišrios lygtys": tai yra tie, kuriuose atliekamos skirtingų tipų funkcijos.

Pavyzdžiui, formos lygtis:

bendruoju atveju tai galima išspręsti tik imant abiejų pusių logaritmus (pavyzdžiui, iki pagrindo), kuriuose pradinė lygtis pavirs į tokia:

Pažvelkime į tokį pavyzdį:

Aišku, kad pagal logaritminės funkcijos ODZ mus tik domina. Tačiau tai išplaukia ne tik iš logaritmo ODZ, bet ir dėl dar vienos priežasties. Manau, jums nebus sunku atspėti, kuris iš jų.

Paimkime abiejų lygties pusių logaritmą į bazę:

Kaip matote, mūsų pradinės lygties logaritmas greitai atvedė mus prie teisingo (ir gražaus!) atsakymo. Praktikuokime su dar vienu pavyzdžiu:

Čia taip pat nėra nieko blogo: paimkime abiejų lygties pusių logaritmą į pagrindą, tada gausime:

Pakeiskime:

Tačiau mes kažko praleidome! Ar pastebėjote, kur aš padariau klaidą? Juk tada:

kuris neatitinka reikalavimo (pagalvokite, iš kur jis atsirado!)

Atsakymas:

Pabandykite užrašyti toliau pateiktų eksponentinių lygčių sprendimą:

Dabar palyginkite savo sprendimą su šiuo:

1. Suveskime abiejų pusių logaritmą į pagrindą, atsižvelgdami į tai:

(antra šaknis mums netinka dėl pakeitimo)

2. Logaritmas iki pagrindo:

Pakeiskime gautą išraišką į tokią formą:

EKSPONENTINĖS LYGTYBĖS. TRUMPAS APRAŠYMAS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Eksponentinė lygtis

Formos lygtis:

paskambino paprasčiausia eksponentinė lygtis.

Laipsnių savybės

Požiūriai į sprendimą

• Veda į tuo pačiu pagrindu
• Sumažinimas iki to paties laipsnio
• Kintamasis pakeitimas
• Supaprastinkite išraišką ir pritaikykite vieną iš aukščiau pateiktų dalykų.