ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯ

ಅವಕಾಶ ಎಮತ್ತು INಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವವು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವ ಎಘಟನೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಬಹುದು INಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಇತರರ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಅಂತಹ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇದ್ದರೆ INಈವೆಂಟ್ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಸಂಭವಿಸಿತು, ನಂತರ ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ INಎಂದು ಕರೆದರು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು IN. ಅಂತಹ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಆರ್ಎ ( IN) ಅಥವಾ ಆರ್(IN / ಎ).

ಗಮನಿಸಿ 2. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, "ಬೇಷರತ್ತಾದ" ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ INಕಾಣೆಯಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ 3 ಕೆಂಪು ಮತ್ತು 2 ನೀಲಿ ಸೇರಿದಂತೆ 5 ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಅದರಿಂದ ಮತ್ತು ಹಿಂತಿರುಗಿಸದೆ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ಕೆಂಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: a) ಕೆಂಪು ಚೆಂಡು; ಬಿ) ನೀಲಿ ಚೆಂಡು

ಈವೆಂಟ್ ಇರಲಿ ಎ- ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕೆಂಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ IN- ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ಕೆಂಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಆರ್(ಎ) = 3/5; ನಂತರ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ತೆಗೆದ ಚೆಂಡು ಚಿತಾಭಸ್ಮಕ್ಕೆ ಮರಳಿದಾಗ, ಆರ್(IN)=3/5. ತೆಗೆದ ಚೆಂಡನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸದಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಕೆಂಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಆರ್(IN) ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಯಾವ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಕೆಂಪು (ಈವೆಂಟ್ ಎ) ಅಥವಾ ನೀಲಿ (ಈವೆಂಟ್ ). ನಂತರ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಆರ್ಎ ( IN) = 2/4, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ( IN) = 3 / 4.

ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ

ಸಂಭವಿಸುವ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಮೊದಲ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:

ಆರ್(ಎ ∙ ಬಿ) = ಆರ್(ಎ) ∙ ಆರ್ಎ ( IN) . (1.7)

ಪುರಾವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವಕಾಶ ಎನ್- ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ (ಪ್ರಾಥಮಿಕ) ಪರೀಕ್ಷಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ. ಹೋಗಲಿ ಬಿಡಿ ಎನ್ 1 - ಈವೆಂಟ್‌ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ, ಇದು ಮೊದಲು ಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೀ- ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ INಘಟನೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ ಎಅದು ಬಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೀಈವೆಂಟ್‌ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ IN.ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆ. ಸಂಭವಿಸುವ ಬಹು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಇತರರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಘಟನೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸಿವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. 10 ಕ್ರೀಡಾಪಟುಗಳ ತಂಡದಲ್ಲಿ 4 ಕ್ರೀಡಾ ಮಾಸ್ಟರ್ಸ್ ಇದ್ದಾರೆ. ಬಹಳಷ್ಟು ಡ್ರಾ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ತಂಡದಿಂದ 3 ಕ್ರೀಡಾಪಟುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಯಾದ ಕ್ರೀಡಾಪಟುಗಳು ಕ್ರೀಡೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಸ್ಟರ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು "urn" ಮಾದರಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. 10 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ 4 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು 6 ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ 3 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆಯ್ಕೆ ಎಸ್= 3). ಈವೆಂಟ್ ಇರಲಿ ಎ 3 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (1.9).

ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮೊದಲ ವಿಧಾನ:

ಎರಡನೇ ವಿಧಾನ (ಸೂತ್ರ (1.9) ಪ್ರಕಾರ). 3 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಬದಲಿ ಇಲ್ಲದೆ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಕಾಶ ಎ 1 - ಡ್ರಾ ಮಾಡಿದ ಮೊದಲ ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು, ಎ 2 - ಎರಡನೇ ಡ್ರಾ ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು, ಎ 3 - ಮೂರನೇ ಡ್ರಾ ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು. ಈವೆಂಟ್ ಕೂಡ ಇರಲಿ ಎಎಲ್ಲಾ 3 ಡ್ರಾ ಚೆಂಡುಗಳು ಕೆಂಪು ಎಂದು ಅರ್ಥ. ನಂತರ: ಎ = ಎ 1 ∙ (ಎ 2 / ಎ 1) ∙ ಎ 3 / (ಎ 1 ∙ ಎ 2), ಅಂದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಬಿಡಿ a, a, p, b, o, tಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು ಉದ್ಯೋಗ” ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಡಿಸುವಾಗ?

ಅವಕಾಶ IN- ಘೋಷಿತ ಪದವನ್ನು ಪಡೆದ ಘಟನೆ. ನಂತರ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (1.9), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆರ್(IN) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

ಉತ್ಪನ್ನವು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಾಗ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯವು ಅದರ ಸರಳ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಈವೆಂಟ್ INಎಂದು ಕರೆದರು ಸ್ವತಂತ್ರಘಟನೆಯಿಂದ ಎ, ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಎಅಥವಾ ಇಲ್ಲ. ಎರಡು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ (ಅವಲಂಬಿತ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದಿದ್ದರೆ (ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ). ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ p(B/ಎ) = ಆರ್(IN) ಅಥವಾ = ಆರ್(IN), ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಆರ್(IN/ಎ)

ಈವೆಂಟ್ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವತಂತ್ರಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈವೆಂಟ್ B ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈವೆಂಟ್ B ನಿಂದ. ಈವೆಂಟ್ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವಲಂಬಿತಈವೆಂಟ್ B ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಬದಲಾದರೆ ಈವೆಂಟ್ B ನಿಂದ.

ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು, ಈವೆಂಟ್ B ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಭವಿಸಿದ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಈವೆಂಟ್ B ನಿಂದ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು
.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯ.ಸಂಭವಿಸುವ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಸಂಭವಿಸಿದ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈವೆಂಟ್ A ಈವೆಂಟ್ B ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈವೆಂಟ್ B ಈವೆಂಟ್ A ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೇಲಾಗಿ, ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 14. 10 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 3 ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಿವೆ. ಮೊದಲ ಬಾಕ್ಸ್ 8, ಎರಡನೇ - 7 ಮತ್ತು ಮೂರನೇ - 9 ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೆಗೆದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಭಾಗಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಮೊದಲ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ (ಈವೆಂಟ್ ಎ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
. ಎರಡನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ (ಈವೆಂಟ್ ಬಿ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
. ಮೂರನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಿಂದ (ಈವೆಂಟ್ ಸಿ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
.

A, B ಮತ್ತು C ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಜಂಟಿ ಬಳಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 15.ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳು A 1 ಮತ್ತು A 2 ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ p 1 ಮತ್ತು p 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಈವೆಂಟ್ ಎ). ಈ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಈವೆಂಟ್ ಬಿ).

ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ q 1 =1-p 1 ಮತ್ತು q 2 =1-p 2 ಮೂಲಕ.

ಈವೆಂಟ್ A 1 ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ A 2 ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಈವೆಂಟ್ A 2 ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು A 1 ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದರೆ ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಈವೆಂಟ್ A ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ A 1 ಮತ್ತು A 2 ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಈವೆಂಟ್ B ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಈವೆಂಟ್ B ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಈವೆಂಟ್ ಈವೆಂಟ್ B ಯ ವಿರುದ್ಧವೆಂದರೆ A 1 ಮತ್ತು A 2 ಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರಣ ಇದು ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ

7. ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರ. ಬೇಯ್ಸ್ ಸೂತ್ರ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ
ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸಿ (ಅಂತಹ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಊಹೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಎ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

ಪುರಾವೆ.ಊಹೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ, ನಂತರ , ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ,.

ಊಹೆಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಘಟನೆಗಳು ಸಹ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ

ಈಗ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಫಾರ್ಮುಲಾ (1) ಅನ್ನು ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು

.

ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಬೇಷರತ್ತಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಿಂತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದ್ದರೆ ಸೂತ್ರವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 16. 36 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ 3 ಡೆಕ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 52 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ 2 ಡೆಕ್‌ಗಳಿವೆ. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಡೆಕ್ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅದರಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಡ್ರಾ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಡ್ ಏಸ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಎ ಈವೆಂಟ್ ಆಗಿರಲಿ, ಡ್ರಾ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಡ್ ಎಕ್ಕವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಎರಡು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:

- 36 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ,

- 52 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಡೆಕ್‌ನಿಂದ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ
ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಎ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. ಊಹೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಈವೆಂಟ್ ಎ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಬೇಯ್ಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:

ಪುರಾವೆ.ಅವಲಂಬಿತ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

.

ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು (2) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಊಹೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು
ಪ್ರೈರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು
ಒಂದು ಘಟನೆ ನಡೆದರೆ ಅದನ್ನು ಪೋಸ್ಟರಿಯೊರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇಯಸ್‌ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಊಹೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 17. 2 ಕಲಶಗಳಿವೆ. ಮೊದಲ ಕಲಶವು 2 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 4 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಲಶವು 7 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 5 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಚಿತಾಭಸ್ಮವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿತು (ಈವೆಂಟ್ ಎ ಸಂಭವಿಸಿದೆ). ಮೊದಲ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಊಹೆ
) ಎರಡನೇ ಚಿತಾಭಸ್ಮದಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಊಹೆ
).

ಬೇಯ್ಸ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

,

.

ಉದಾಹರಣೆ 18. ಸ್ಥಾವರದಲ್ಲಿ, ಬೋಲ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮೂರು ಯಂತ್ರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ರಮವಾಗಿ 25%, 35% ಮತ್ತು 40% ಎಲ್ಲಾ ಬೋಲ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಯಂತ್ರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 5%, 4%, 2%. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಯಂತ್ರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಒಂದು ಬೋಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿದೆ (ಈವೆಂಟ್ ಎ). ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ, ಮೂರನೇ ಯಂತ್ರದಿಂದ ಬೋಲ್ಟ್ ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಅವಕಾಶ
- ಮೊದಲ ಯಂತ್ರದಿಂದ ಬೋಲ್ಟ್ ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ಘಟನೆ,
- ಎರಡನೇ ಕಾರು,
- ಮೂರನೇ ಕಾರು. ಈ ಘಟನೆಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಬೇಯಸ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

,

.

ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳೂ ಸಹ ಇರುತ್ತವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ನೀವು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆ: ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇತರ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಂತಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೇಟೆಯಾಡುವಾಗ, ಎರಡು ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈವೆಂಟ್ ಎ- ಮೊದಲ ಹೊಡೆತದೊಂದಿಗೆ ಬಾತುಕೋಳಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದು, ಈವೆಂಟ್ ಬಿ- ಎರಡನೇ ಹೊಡೆತದಿಂದ ಹಿಟ್. ನಂತರ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಮತ್ತು ಬಿ- ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಹೊಡೆತದಿಂದ ಅಥವಾ ಎರಡು ಹೊಡೆತಗಳಿಂದ ಹೊಡೆಯಿರಿ.

ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಹಲವಾರು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಮೂರು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಥವಾ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ತಾರ್ಕಿಕ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದಾಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಮತ್ತು ಬಿಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎ + ಬಿಅಥವಾ ಎ ∪ ಬಿ. ಎರಡು ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ. ಎಂದು ಅರ್ಥ ಎ + ಬಿ- ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆ ಎಅಥವಾ ಘಟನೆ ಬಿ, ಅಥವಾ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ.

ಘಟನೆಗಳು ವೇಳೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಪರಸ್ಪರ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಪ್ರಮೇಯ.ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೇಟೆಯಾಡುವಾಗ, ಎರಡು ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈವೆಂಟ್ ಎ- ಮೊದಲ ಹೊಡೆತದೊಂದಿಗೆ ಬಾತುಕೋಳಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದು, ಈವೆಂಟ್ IN- ಎರಡನೇ ಹೊಡೆತದಿಂದ ಹಿಟ್, ಈವೆಂಟ್ ( ಎ+ IN) – ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಹೊಡೆತದಿಂದ ಅಥವಾ ಎರಡು ಹೊಡೆತಗಳಿಂದ ಹಿಟ್. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ವೇಳೆ ಎಮತ್ತು IN- ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳು, ನಂತರ ಎ+ IN- ಈ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ 30 ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ: 10 ಕೆಂಪು, 5 ನೀಲಿ ಮತ್ತು 15 ಬಿಳಿ. ಬಣ್ಣದ (ಬಿಳಿ ಅಲ್ಲ) ಚೆಂಡನ್ನು ನೋಡದೆಯೇ ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಘಟನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಎ- "ಕೆಂಪು ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ", ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ IN- "ನೀಲಿ ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ." ನಂತರ ಈವೆಂಟ್ "ಬಣ್ಣದ (ಬಿಳಿ ಅಲ್ಲ) ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ." ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎ:

ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳು IN:

ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು ಎಮತ್ತು IN- ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಹಲವಾರು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯ.ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ಆಗಿದೆ.

ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಮತ್ತು q. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,

ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಶೂಟಿಂಗ್ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿನ ಗುರಿಯನ್ನು 3 ವಲಯಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಲಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯತ್ತ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.15, ಎರಡನೇ ವಲಯದಲ್ಲಿ - 0.23, ಮೂರನೇ ವಲಯದಲ್ಲಿ - 0.17. ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎರಡನ್ನೂ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, "ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು" ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಪರಸ್ಪರ ಏಕಕಾಲಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವವು ಅದೇ ವೀಕ್ಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಜಂಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಯಿಸುವಾಗ ಎಸಂಖ್ಯೆ 4 ಅನ್ನು ಹೊರತಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ IN- ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೋಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು. 4 ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಏಕಕಾಲಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ.

ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಪ್ರಮೇಯ.ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಎಮತ್ತು INಹೊಂದಾಣಿಕೆ, ಘಟನೆ ಎ+ INಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಅಥವಾ ಎಬಿ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಈವೆಂಟ್ ಎಎರಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಅಥವಾ ಎಬಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಲವಾರು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಒಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಅಂತೆಯೇ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು (6) ಮತ್ತು (7) ಅನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (5) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸೂತ್ರವನ್ನು (8) ಬಳಸುವಾಗ, ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಮತ್ತು INಆಗಿರಬಹುದು:

• ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ;
• ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸೂತ್ರ:

ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸೂತ್ರ:

ಘಟನೆಗಳು ವೇಳೆ ಎಮತ್ತು INಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅವರ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಯು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ, ಪ(ಎಬಿ) = 0. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ನಾಲ್ಕನೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರ:

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಆಟೋ ರೇಸಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮೊದಲ ಕಾರನ್ನು ಓಡಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ಗೆಲ್ಲುವ ಉತ್ತಮ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಎರಡನೇ ಕಾರನ್ನು ಓಡಿಸಿದಾಗ. ಹುಡುಕಿ:

• ಎರಡೂ ಕಾರುಗಳು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ;
• ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕಾರು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ;

1) ಮೊದಲ ಕಾರು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಎರಡನೇ ಕಾರಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಘಟನೆಗಳು ಎ(ಮೊದಲ ಕಾರು ಗೆಲ್ಲುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು IN(ಎರಡನೇ ಕಾರು ಗೆಲ್ಲುತ್ತದೆ) - ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳು. ಎರಡೂ ಕಾರುಗಳು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

2) ಎರಡು ಕಾರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎರಡನ್ನೂ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, "ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು" ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ, ತದನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈವೆಂಟ್ ಎ- ಮೊದಲ ನಾಣ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ನಷ್ಟ. ಈವೆಂಟ್ ಬಿ- ಎರಡನೇ ನಾಣ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ನಷ್ಟ. ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಿ = ಎ + ಬಿ .

ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಘಟನೆಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬೇಕಾದಾಗ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು. ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವವು ಎರಡನೆಯ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯ.ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಮತ್ತು INಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5.ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಮೂರು ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾಣ್ಯದ ಮೊದಲ ಟಾಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಬಾರಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಬಾರಿಗೆ ಲಾಂಛನವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಒಂಬತ್ತು ಹೊಸ ಟೆನಿಸ್ ಚೆಂಡುಗಳ ಬಾಕ್ಸ್ ಇದೆ. ಆಡಲು, ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆಟದ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ, ಆಡಿದ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಆಡದ ಚೆಂಡುಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೂರು ಪಂದ್ಯಗಳ ನಂತರ ಬಾಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಆಡದ ಚೆಂಡುಗಳು ಉಳಿಯದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಉದಾಹರಣೆ 7.ರಷ್ಯಾದ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ 32 ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಕಟ್-ಔಟ್ ಆಲ್ಫಾಬೆಟ್ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಐದು ಕಾರ್ಡುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷರಗಳು "ಅಂತ್ಯ" ಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 8.ಪೂರ್ಣ ಡೆಕ್ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿಂದ (52 ಹಾಳೆಗಳು), ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸೂಟ್‌ಗಳಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 9.ಉದಾಹರಣೆ 8 ರಲ್ಲಿನ ಅದೇ ಕಾರ್ಯ, ಆದರೆ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಡೆಕ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎರಡನ್ನೂ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಹಲವಾರು ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬೇಕು, "ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು" ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದರೂ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು 1 ರಿಂದ ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಛೇದಕಘಟನೆಗಳು A ಮತ್ತು B ಎಂಬುದು A ಮತ್ತು B ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಪದನಾಮ: AB ಅಥವಾ A B.

ಉದಾಹರಣೆ. ಗುರಿಯನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಹೊಡೆಯುವುದು ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಟಿಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಎರಡೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರವು ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಎಬಿ = ವಿ.

ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಎ - ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬಿ ನಷ್ಟ - ಒಂದು ನಾಣ್ಯದ ಒಂದೇ ಟಾಸ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಷ್ಟವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳ ರಚನೆಯು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ, ಘಟನೆಗಳು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 6.4 ಎರಡು ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ (ಎ) ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ (ಬಿ) ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಈವೆಂಟ್ A ಎ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ; ಈವೆಂಟ್ B ಎಂಬುದು ಪ್ರದೇಶ B ಯಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಮಬ್ಬಾದ ಪ್ರದೇಶವು ಚಿತ್ರ 6.4,a ನಲ್ಲಿನ ಈವೆಂಟ್ AB ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ; ಚಿತ್ರ 6.4 ರಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್, ಬಿ.

ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ A ಮತ್ತು B ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: AB = V (Fig. 6.5, a). ಈವೆಂಟ್ A+B ಚಿತ್ರ 6.5, b ನಲ್ಲಿ ಮಬ್ಬಾದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 6.5 ಎರಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ (ಎ) ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ (ಬಿ) ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ದ, ಅವರು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಅವರು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಘಟನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುರಿಯತ್ತ ಒಂದು ಗುಂಡು ಹಾರಿಸೋಣ: ಈವೆಂಟ್ - ಶೂಟರ್ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಡೆದನು, ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಂಡ; ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಘಟನೆ - ತಲೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ, - ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ; ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ: ಈವೆಂಟ್ - ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ದೋಷವಿಲ್ಲ, - ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳಿವೆ; ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಂದನು: ಈವೆಂಟ್ ಎ - ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದರು, - ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲಿಲ್ಲ.

ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯರು, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಉತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮತ್ತು ಜರ್ಮನ್ ಕಲಿಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಈವೆಂಟ್ ಎಂ ಹುಡುಗನಾಗಿರಲಿ, ಓ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಎ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿರಲಿ. ತರಗತಿಯಿಂದ ಹೊರನಡೆಯುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಹುಡುಗ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮತ್ತು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಕಲಿಯುವವನಾಗಬಹುದೇ? ಇದು MOA ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಛೇದಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅವರು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುತ್ತಾರೆ - ಏಕರೂಪದ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಿದ ಘನ, ಅದರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಗಮನಿಸಿ. ಈವೆಂಟ್ A ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗೋಚರವಾಗಲಿ, ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ B ಮೂರರ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಗೋಚರವಾಗಲಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: U, A, A+B, AB ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಫಲಿತಾಂಶ - 1, 2, 3, 4, 5, 6 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆ. ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಘಟನೆ , ಈವೆಂಟ್ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಈವೆಂಟ್ ಎಂದರೆ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಮೂರರ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈವೆಂಟ್ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಮೂರರ ಗುಣಾಕಾರ ಎರಡರ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಮೂವರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಯಿತು. ಈವೆಂಟ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಿ. ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಅರ್ಥವೇನು: ಮತ್ತು ?

ಪರಿಹಾರ.ಈವೆಂಟ್ - ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ. ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ (ಅಥವಾ ಮೊದಲ, ಅಥವಾ ಎರಡನೇ, ಅಥವಾ ಮೂರನೇ), ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಎರಡು, ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು.

ಈವೆಂಟ್ - ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ: ಮೊದಲನೆಯದು ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯದು ಅಥವಾ ಮೂರನೆಯದು. ಈವೆಂಟ್ - ಮೂರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು: ಮೊದಲನೆಯದು, ಎರಡನೆಯದು ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು.

ಹಲವಾರು ಘಟನೆಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವದ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಇರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶರತ್ಕಾಲದಲ್ಲಿ ದಿನವು ಬಿಸಿಲಿನಾಗಿದ್ದರೆ, ಹವಾಮಾನವು ಕೆಟ್ಟದಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಕಡಿಮೆ (ಅದು ಮಳೆಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ). ಬಿಸಿಲು ಕಾಣಿಸದಿದ್ದರೆ ಮಳೆ ಬರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಈವೆಂಟ್ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವತಂತ್ರಈವೆಂಟ್ B ನಿಂದ, ಈವೆಂಟ್ B ಸಂಭವಿಸಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಈವೆಂಟ್ A ಅನ್ನು ಈವೆಂಟ್ B ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. A ಮತ್ತು B ಎರಡು ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸದಿರುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವಲಂಬಿತ - ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. (ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ) ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

P(A·B)=P(A)·P(B)

ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಇತರ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮೂರು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.9, ಎರಡನೆಯದು 0.65 ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು 0.35. ಅವರು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಫಲರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಎಂದು ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ P(A) = 1- P(ùA), ಅಲ್ಲಿ ùA ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ: ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣನಾಗುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರತಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವುದು ಇತರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಂತರ P(A)=1-P(ùA)= 1- 0.9*0.65*0.35=0.7953.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಈವೆಂಟ್ B ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಈವೆಂಟ್ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಈವೆಂಟ್ ಎ B ಯ ಸಂಭವಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು P B (A) ಅಥವಾ P (A/B) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಮೊದಲ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

Р(А·В)=Р(А)·Р А (В)=Р(В)·Р В (А).(*)

ಉದಾಹರಣೆ. ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು 34 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಟಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಡ್ರಾ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಅವನು 30 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ವಿಫಲವಾದ ಟಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅವನು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣನಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ: ಈವೆಂಟ್ A ಆಗಿರಲಿ, ವಿಫಲವಾದ ಟಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಡ್ರಾ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ B ಅನ್ನು ಯಶಸ್ವಿ ಟಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಎರಡನೇ ಬಾರಿ ಡ್ರಾ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ A·B - ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುತ್ತಾರೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ). ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿ ಟಿಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (6):

P(A·B) = P(A)·RA(B) = (4/34)*(30/33)= 20/187

ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ≈0.107 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು 34 ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ 30 ಅನ್ನು ಕಲಿತರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏಕೆ ಕಡಿಮೆ?!

ಪ್ರಮೇಯ. (ವಿಸ್ತೃತ ಸೇರ್ಪಡೆ ಪ್ರಮೇಯ) ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅವುಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ (ಉತ್ಪನ್ನ) ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇಲ್ಲದೆ:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B).

ಉದಾಹರಣೆ. ಇಬ್ಬರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೊದಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಈವೆಂಟ್ ಎ) 0.9; ಎರಡನೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಈವೆಂಟ್ ಬಿ) 0.8 ಆಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆ ಬಗೆಹರಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಪ್ರಮೇಯ

ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಒಂದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $P\left(A\right)$ ಮತ್ತು $P\left(B\right)$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ $A+B$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $n$ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $m_(A) $ ಮತ್ತು $m_(B) $ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಕಾರಣ, $A+B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗೆ $m_(A) +m_(B)$ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. ನಾವು $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

ಪ್ರಮೇಯ 1

ಎರಡು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ 1

ಫಲಿತಾಂಶ 1.ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 2.ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ (ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ) ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 3.ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನಗರದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಮಳೆ ಬೀಳದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ $p=0.7$ ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಗರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಮಳೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು $q$ ಹುಡುಕಿ.

"ಕೆಲವು ಕಾಲ ನಗರದಲ್ಲಿ ಮಳೆಯಾಗಲಿಲ್ಲ" ಮತ್ತು "ಕೆಲವು ಬಾರಿ ನಗರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಮಳೆಯಾಯಿತು" ಎಂಬ ಘಟನೆಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ $p+q=1$, ಎಲ್ಲಿಂದ $q=1-p=1-0.7=0.3$.

ಜಂಟಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಅದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಜಂಟಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $P\left(A\right)$ ಮತ್ತು $P\left(B\right)$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ $A+B$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $n$ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $m_(A) $ ಮತ್ತು $m_(B) $ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, $m_(A) +m_(B) $ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, $m_(AB) $ನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಈವೆಂಟ್ $A ಎರಡಕ್ಕೂ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ $ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ $B$, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವ (ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆ $A\cdot B$). ಈ ಪ್ರಮಾಣ $m_(AB) $ $m_(A) $ ಮತ್ತು $m_(B) $ ಎರಡನ್ನೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ $A+B$ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳು. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\ ಬಲ )$.

ಪ್ರಮೇಯ 2

ಎರಡು ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನ $A\cdot B$ ಒಂದು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ $P\left(A\cdot B\right)=0$. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಜಂಟಿ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಉರುಳಿಸಿದಾಗ, ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $n=36$ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಡೈನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎರಡನೇ ಡೈನ ಆರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, ಈವೆಂಟ್ $A$ - ಮೊದಲ ಡೈನಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಸಂಖ್ಯೆ 5 - 6 ಬಾರಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈವೆಂಟ್ $B$ - ಎರಡನೇ ಡೈನಲ್ಲಿ ಬೀಳುವ ಸಂಖ್ಯೆ 5 - ಸಹ 6 ಬಾರಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಹನ್ನೆರಡು ಬಾರಿ, ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಎರಡೂ ಡೈಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯ

ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

$B$ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು $A$ ಸಂಭವಿಸಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸತತ ಎರಡು ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ 2 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 2 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳು ಇರಲಿ. ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಚೆಂಡನ್ನು ಹಿಂಪಡೆಯುವುದು. ಈವೆಂಟ್ $A$ "ಮೊದಲ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ." ಸಂಭವನೀಯತೆ $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. ಮೊದಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಂತರ, ಚೆಂಡನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹಾಕಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಈವೆಂಟ್ $B$ -- ``ಎರಡನೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ''. ಸಂಭವನೀಯತೆ $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. $P\left(B\right)$ ಈವೆಂಟ್ $A$ ನಡೆದಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಸತತ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಗಳು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $P\left(A\right)$ ಮತ್ತು $P\left(B\right)$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಈ ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ $A\cdot B$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಮೊದಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $n_(1) $ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, $A$ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು $m_(1)$ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಒಲವು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡನೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು $n_(2) $ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, $B$ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು $m_(2)$ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಒಲವು ಹೊಂದಿದೆ. ಈಗ ಹೊಸ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಂದ ಘಟನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಭವವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯು $n_(1) \cdot n_(2) $ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ $A$ ಮತ್ತು ಈವೆಂಟ್ $B$ (ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ $A\cdot B$) ನ ಜಂಟಿ ಸಂಭವವು $m_(1) \. cdot m_(2) $ ಘಟನೆಗಳು . ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

ಪ್ರಮೇಯ 3

ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅವಲಂಬಿತ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಎರಡು ಸತತ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ, $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. $B$ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು $A$ ಸಂಭವಿಸಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ನಡೆಯಲಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ $B$ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು $A$ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ $A$ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸಿದ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾದ $B$ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು $B$ $A$ ನೀಡಿದ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು $P\left(B/A\) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲ) $.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ 2 ಬಿಳಿ ಮತ್ತು 2 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳು ಇರಲಿ. ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆಯುವುದು. ಈವೆಂಟ್ $A$ "ಮೊದಲ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ." ಸಂಭವನೀಯತೆ $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. ಮೊದಲ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಂತರ, ಚೆಂಡನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈವೆಂಟ್ $B$ -- ``ಎರಡನೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ''. ಮೊದಲ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವನೀಯತೆ $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. ಮೊದಲ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವನೀಯತೆ $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. ಹೀಗಾಗಿ, $B$ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು $A$ ಸಂಭವಿಸಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ $B$ ಈವೆಂಟ್ $A$ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

$A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಎರಡು ಸತತ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. $A$ ಈವೆಂಟ್ $P\left(A\right)$ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಈವೆಂಟ್ $B$ ಈವೆಂಟ್ $A$ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $A$ ನೀಡಲಾದ ಅದರ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು $P\left(B/A\right)$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4

ಈವೆಂಟ್ $A$ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ಈವೆಂಟ್ $B$ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು $P\left(A\cdot B\right)=P\ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಎಡ(A\ಬಲ)\cdot P\left(B/A\right)$.

$P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ $A$ ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ $ B$ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತರಾಗಿರಿ.

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗಾಗಿ, ಎರಡೂ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಘಟನೆಯು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac(1)(3) =\frac(1)(6) $.