Esempi:
\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)
Come risolvere le equazioni esponenziali
Quando risolviamo qualsiasi equazione esponenziale, ci sforziamo di portarla alla forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\), e quindi di effettuare la transizione all'uguaglianza degli esponenti, ovvero:
\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
Per esempio:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
Importante! Dalla stessa logica derivano due requisiti per tale transizione:
- numero dentro sinistra e destra dovrebbero essere uguali;
- i gradi a sinistra e a destra devono essere “puri”, cioè non dovrebbero esserci moltiplicazioni, divisioni, ecc.
Per esempio:
Per ridurre l'equazione alla forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) vengono utilizzati e.
Esempio
. Risolvi l'equazione esponenziale \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Soluzione:
\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Sappiamo che \(27 = 3^3\). Tenendo conto di ciò trasformiamo l’equazione. |
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\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Per la proprietà della radice \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) otteniamo che \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Successivamente, utilizzando la proprietà del grado \((a^b)^c=a^(bc)\), otteniamo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\). |
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\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Sappiamo anche che \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Applicandolo al lato sinistro, otteniamo: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\). |
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\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Ora ricorda che: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Questa formula può essere utilizzata anche in retro: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Quindi \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\). |
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\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\) |
Applicando la proprietà \((a^b)^c=a^(bc)\) al lato destro, otteniamo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\). |
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\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\) |
E ora le nostre basi sono uguali e non ci sono coefficienti interferenti, ecc. Quindi possiamo effettuare la transizione. |
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Esempio
. Risolvi l'equazione esponenziale \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Risposta : \(-1; 1\). La domanda rimane: come capire quando utilizzare quale metodo? Questo arriva con l'esperienza. Finché non lo ottieni, usalo raccomandazione generale per risolvere problemi complessi – “se non sai cosa fare, fai quello che puoi”. Cioè, cerca come trasformare l'equazione in linea di principio e prova a farlo: e se succedesse? La cosa principale è effettuare solo trasformazioni basate sulla matematica. Equazioni esponenziali senza soluzioniDiamo un'occhiata ad altre due situazioni che spesso confondono gli studenti: Proviamo a risolvere con la forza bruta. Se x è un numero positivo, man mano che x cresce, l'intera potenza \(2^x\) non farà altro che aumentare: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) Anche di. Rimangono X negative. Ricordando la proprietà \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), controlliamo: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) Nonostante il fatto che il numero diminuisca ad ogni passo, non raggiungerà mai lo zero. Quindi il grado negativo non ci ha salvato. Arriviamo ad una conclusione logica: Un numero positivo in qualsiasi misura rimarrà un numero positivo.Pertanto, entrambe le equazioni sopra non hanno soluzioni. Equazioni esponenziali con basi diverseIn pratica, a volte incontriamo equazioni esponenziali con per ragioni diverse, non riducibili tra loro, e allo stesso tempo con gli stessi esponenti. Appaiono così: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), dove \(a\) e \(b\) sono numeri positivi. Per esempio: \(7^(x)=11^(x)\) Tali equazioni possono essere facilmente risolte dividendo per uno qualsiasi dei lati dell'equazione (solitamente diviso per il lato destro, ovvero per \(b^(f(x))\). Puoi dividere in questo modo perché un numero positivo è positivo rispetto a qualsiasi potenza (ovvero, non dividiamo per zero). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Esempio
. Risolvi l'equazione esponenziale \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Risposta : \(-7\). A volte l’“identità” degli esponenti non è ovvia, ma un uso abile delle proprietà degli esponenti risolve questo problema. Esempio
. Risolvi l'equazione esponenziale \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Risposta : \(2\). |
Questo è il nome delle equazioni della forma in cui l'incognita è sia nell'esponente che nella base della potenza.
È possibile specificare un algoritmo completamente chiaro per risolvere un'equazione della forma. Per fare questo, devi prestare attenzione al fatto che quando OH) diverso da zero, uno e meno uno, l'uguaglianza dei gradi con le stesse basi (sia positiva che negativa) è possibile solo se gli esponenti sono uguali, cioè tutte le radici dell'equazione saranno le radici dell'equazione f(x) = g(x) Non è vera l'affermazione opposta, quando OH)< 0 e valori frazionari f(x) E g(x) espressioni OH) f(x) E
OH) g(x) perdere il loro significato. Cioè, quando si passa da a f(x) = g(x)(for e possono apparire radici estranee, che devono essere escluse controllando l'equazione originale. E casi un = 0, un = 1, un = -1 devono essere considerati separatamente.
Quindi per soluzione completa equazioni consideriamo i casi:
a(x) = O f(x) E g(x) saranno numeri positivi, allora questa è la soluzione. Altrimenti no
a(x) = 1. Le radici di questa equazione sono anche le radici dell'equazione originale.
a(x) = -1. Se, per un valore di x che soddisfa questa equazione, f(x) E g(x) sono interi della stessa parità (entrambi pari oppure entrambi dispari), allora questa è la soluzione. Altrimenti no
Quando e risolviamo l'equazione f(x)=g(x) e sostituendo i risultati ottenuti nell'equazione originale tagliamo le radici estranee.
Esempi di risoluzione di equazioni di potenza esponenziale.
Esempio n.1.
1) x - 3 = 0, x = 3. perché 3 > 0 e 3 2 > 0, allora x 1 = 3 è la soluzione.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Entrambi gli indicatori sono pari. Questa soluzione è x 3 = 1.
4)x-3? 0 e x? ± 1. x = x 2, x = 0 o x = 1. Per x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - questa soluzione è corretta: x 4 = 0. Per x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - questa soluzione è corretta x 5 = 1.
Risposta: 0, 1, 2, 3, 4.
Esempio n.2.
Per definizione di aritmetica radice quadrata:x-1? 0,x? 1.
1) x - 1 = 0 oppure x = 1, = 0, 0 0 non è una soluzione.
2)x-1 = 1x1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 non rientra in ODZ.
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - non ci sono radici.
Università statale di Belgorod
DIPARTIMENTO algebra, teoria dei numeri e geometria
Argomento: Equazioni e disequazioni di potenza esponenziali.
Tesi studente della Facoltà di Fisica e Matematica
Supervisore scientifico:
______________________________
Revisore: _______________________________
________________________
Belgorod. 2006
Introduzione | 3 | ||
Soggetto IO. | Analisi della letteratura sul tema della ricerca. | ||
Soggetto II. | Funzioni e loro proprietà utilizzate nella risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali. | ||
I.1. | Funzione potenza e sue proprietà. | ||
I.2. | Funzione esponenziale e sue proprietà. | ||
Soggetto III. | Risoluzione di equazioni di potenza esponenziale, algoritmo ed esempi. | ||
Soggetto IV. | Risoluzione di disuguaglianze esponenziali, piano di soluzione ed esempi. | ||
Soggetto V. | Esperienza nella conduzione di lezioni con scolari sull'argomento: "Risoluzione di equazioni e disuguaglianze esponenziali". | ||
V. 1. | Materiale didattico. | ||
V. 2. | Problemi per soluzione indipendente. | ||
Conclusione. | Conclusioni e suggerimenti. | ||
Elenco della letteratura usata. | |||
Applicazioni |
Introduzione.
“...la gioia di vedere e capire...”
A. Einstein.
In questo lavoro, ho cercato di trasmettere la mia esperienza di insegnante di matematica, di trasmettere almeno in una certa misura il mio atteggiamento nei confronti del suo insegnamento: un'impresa umana in cui scienza matematica, pedagogia, didattica, psicologia e persino filosofia sono sorprendentemente intrecciate.
Ho avuto l'opportunità di lavorare con ragazzi e laureati, con i bambini ai poli sviluppo intellettuale: quelli che erano iscritti presso uno psichiatra e che erano veramente interessati alla matematica
Ho avuto l'opportunità di risolvere molti problemi metodologici. Proverò a parlare di quelli che sono riuscito a risolvere. Ma anche altri falliscono, e anche in quelli che sembrano risolti sorgono nuove domande.
Ma ancora più importanti dell’esperienza in sé sono le riflessioni e i dubbi dell’insegnante: perché è proprio così, questa esperienza?
E l'estate adesso è diversa e lo sviluppo dell'istruzione è diventato più interessante. "Sotto i Giove" oggi non è la ricerca di un mitico sistema ottimale di insegnamento di "tutti e tutto", ma del bambino stesso. Ma poi – necessariamente – il maestro.
Nel corso scolastico di algebra e ho iniziato l'analisi, classi 10 - 11, con superamento dell'Esame di Stato Unificato per corso Scuola superiore e agli esami di ammissione alle università ci sono equazioni e disuguaglianze contenenti un'incognita nella base e negli esponenti: queste sono equazioni e disuguaglianze esponenziali.
Ricevono poca attenzione a scuola; nei libri di testo non ci sono praticamente compiti su questo argomento. Tuttavia, padroneggiare la tecnica per risolverli, mi sembra, è molto utile: aumenta la mente e creatività studenti, davanti a noi si aprono orizzonti completamente nuovi. Quando risolvono i problemi, gli studenti acquisiscono le prime abilità lavoro di ricerca, la loro cultura matematica si arricchisce e le loro capacità di pensiero logico si sviluppano. Gli scolari sviluppano qualità della personalità come determinazione, definizione degli obiettivi e indipendenza, che saranno loro utili in età avanzata. E c'è anche ripetizione, espansione e profonda assimilazione del materiale educativo.
Ho iniziato a lavorare su questo argomento per la mia ricerca di tesi scrivendo i miei corsi. Nel corso del quale ho studiato e analizzato a fondo la letteratura matematica su questo argomento, ne ho identificati di più metodo adatto Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.
Sta nel fatto che oltre all'approccio generalmente accettato quando si risolvono equazioni esponenziali (la base è considerata maggiore di 0) e quando si risolvono le stesse disuguaglianze (la base è considerata maggiore di 1 o maggiore di 0, ma inferiore a 1) , vengono considerati anche i casi in cui le basi sono negative, uguali a 0 e 1.
L'analisi delle prove scritte degli studenti mostra che la mancanza di copertura della questione del valore negativo dell'argomento di una funzione esponenziale nei libri di testo scolastici causa loro una serie di difficoltà e porta ad errori. E hanno anche problemi nella fase di sistematizzazione dei risultati ottenuti, dove, a causa del passaggio a un'equazione - una conseguenza o una disuguaglianza - una conseguenza, possono apparire radici estranee. Per eliminare gli errori, utilizziamo un test utilizzando l'equazione originale o la disuguaglianza e un algoritmo per risolvere equazioni esponenziali o un piano per risolvere le disuguaglianze esponenziali.
Affinché gli studenti superino con successo gli esami finali e di ammissione, credo che sia necessario prestare maggiore attenzione alla risoluzione di equazioni e disuguaglianze esponenziali in sessioni di formazione, o inoltre in elettivi e club.
Così argomento , Mio tesiè definita come segue: “Equazioni e disuguaglianze di potenza esponenziali”.
Obiettivi di questo lavoro sono:
1. Analizzare la letteratura su questo argomento.
2. Dai analisi completa Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.
3. Fornire un numero sufficiente di esempi di vario tipo su questo argomento.
4. Verificare in aula, nelle classi facoltative e di club come verranno percepiti i metodi proposti per la risoluzione di equazioni e diseguaglianze esponenziali. Fornire raccomandazioni appropriate per lo studio di questo argomento.
Soggetto La nostra ricerca è quella di sviluppare una metodologia per risolvere equazioni e disuguaglianze esponenziali.
Lo scopo e l'oggetto dello studio richiedevano la risoluzione dei seguenti problemi:
1. Studiare la letteratura sull'argomento: "Equazioni e disuguaglianze di potenza esponenziali".
2. Padroneggiare le tecniche per risolvere equazioni e disuguaglianze esponenziali.
3. Selezionare il materiale didattico e sviluppare un sistema di esercizi diversi livelli sul tema: “Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali”.
Durante la ricerca di tesi sono stati analizzati più di 20 lavori sull'uso di vari metodi Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali. Da qui otteniamo.
Piano di tesi:
Introduzione.
Capitolo I. Analisi della letteratura sul tema della ricerca.
Capitolo II. Funzioni e loro proprietà utilizzate nella risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.
II.1. Funzione potenza e sue proprietà.
II.2. Funzione esponenziale e sue proprietà.
Capitolo III. Risoluzione di equazioni di potenza esponenziale, algoritmo ed esempi.
Capitolo IV. Risoluzione di disuguaglianze esponenziali, piano di soluzione ed esempi.
Capitolo V. Esperienza nella conduzione di lezioni con scolari su questo argomento.
1.Materiale formativo.
2.Compiti per una soluzione indipendente.
Conclusione. Conclusioni e suggerimenti.
Elenco della letteratura usata.
Il capitolo I analizza la letteratura
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Innanzitutto, ricordiamo le formule di base dei poteri e le loro proprietà.
Prodotto di un numero UN ricorre su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. un n / un m = un n - m
Equazioni di potenza o esponenziali– si tratta di equazioni in cui le variabili sono espresse in potenze (o esponenti) e la base è un numero.
Esempi di equazioni esponenziali:
In questo esempio, il numero 6 è la base; è sempre in basso e la variabile X grado o indicatore.
Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2x*5=10
16 x - 4 x - 6=0
Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?
Prendiamo una semplice equazione:
2 x = 2 3
Questo esempio può essere risolto anche nella tua testa. Si può vedere che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Vediamo ora come formalizzare questa decisione:
2 x = 2 3
x = 3
Per risolvere tale equazione, abbiamo rimosso motivi identici(cioè due) e ho scritto ciò che restava, questi sono i gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che cercavamo.
Ora riassumiamo la nostra decisione.
Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. È necessario controllare identico se l'equazione ha basi a destra e a sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, cerchiamo opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi diventano le stesse, equiparare gradi e risolvere la nuova equazione risultante.
Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi:
Cominciamo con qualcosa di semplice.
Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base e equiparare le loro potenze.
x+2=4 Si ottiene l'equazione più semplice.
x=4 – 2
x=2
Risposta: x=2
Nell'esempio seguente puoi vedere che le basi sono diverse: 3 e 9.
3 3x - 9x+8 = 0
Per prima cosa, spostiamo i nove sul lato destro, otteniamo:
Ora devi creare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2. Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Otteniamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Ora è chiaro che sui lati sinistro e destro le basi sono uguali e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle e uguagliare i gradi.
3x=2x+16 otteniamo l'equazione più semplice
3x - 2x=16
x=16
Risposta: x=16.
Diamo un'occhiata al seguente esempio:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Prima di tutto, guardiamo le basi, basi due e quattro. E abbiamo bisogno che siano uguali. Trasformiamo i quattro usando la formula (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Aggiungi all'equazione:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Abbiamo fatto un esempio di per gli stessi motivi. Ma gli altri numeri 10 e 24 ci danno fastidio. Cosa farne? Se guardi da vicino puoi vedere che sul lato sinistro abbiamo 2 2x ripetuti, ecco la risposta: possiamo mettere 2 2x tra parentesi:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Calcoliamo l'espressione tra parentesi:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Dividiamo l'intera equazione per 6:
Immaginiamo 4=2 2:
2 2x = 2 2 basi sono uguali, le scartiamo e uguagliamo i gradi.
2x = 2 è l'equazione più semplice. Dividilo per 2 e otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.
Risolviamo l'equazione:
9 x – 12*3 x +27= 0
Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Le nostre basi sono uguali, pari a tre. In questo esempio puoi vedere che le prime tre hanno un grado doppio (2x) della seconda (solo x). In questo caso puoi risolvere metodo di sostituzione. Sostituiamo il numero con il grado più piccolo:
Allora 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Sostituiamo tutte le potenze x nell'equazione con t:
t2 - 12t+27 = 0
Otteniamo un'equazione quadratica. Risolvendo attraverso il discriminante otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Ritornando alla variabile X.
Prendi t1:
t1 = 9 = 3x
Perciò,
3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2
È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo da t 2:
t2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Risposta: x1 = 2; x2 = 1.
Sul sito puoi porre domande di tuo interesse nella sezione AIUTA A DECIDERE, ti risponderemo sicuramente.
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