Applicazione

Risoluzione di qualsiasi tipo di equazioni online sul sito per studenti e scolari per consolidare il materiale studiato.. Risoluzione di equazioni online. Equazioni in linea. Esistono equazioni algebriche, parametriche, trascendenti, funzionali, differenziali e altri tipi. Alcune classi di equazioni hanno soluzioni analitiche, che sono convenienti perché non solo danno il valore esatto della radice, ma consentono anche di scrivere la soluzione nella forma. forma di una formula, che può includere parametri. Le espressioni analitiche permettono non solo di calcolare le radici, ma anche di analizzare la loro esistenza e la loro quantità in funzione dei valori dei parametri, cosa spesso ancora più importante per applicazione pratica, rispetto ai valori specifici delle radici. Risolvere equazioni online.. Equazioni online. Risolvere un'equazione è il compito di trovare tali valori degli argomenti in cui viene raggiunta questa uguaglianza. Ulteriori condizioni (intero, reale, ecc.) possono essere imposte sui possibili valori degli argomenti. Risolvere equazioni online.. Equazioni online. Puoi risolvere l'equazione online istantaneamente e con elevata precisione del risultato. Gli argomenti di funzioni specificate (a volte chiamate "variabili") sono chiamati "incognite" nel caso di un'equazione. I valori delle incognite ai quali si ottiene questa uguaglianza sono chiamati soluzioni o radici di questa equazione. Si dice che le radici soddisfino questa equazione. Risolvere un'equazione online significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni (radici) o dimostrare che non esistono radici. Risolvere equazioni online.. Equazioni online. Le equazioni i cui insiemi di radici coincidono si dicono equivalenti o uguali. Anche le equazioni che non hanno radici sono considerate equivalenti. L'equivalenza delle equazioni ha la proprietà della simmetria: se un'equazione è equivalente a un'altra, allora la seconda equazione è equivalente alla prima. L'equivalenza delle equazioni ha la proprietà della transitività: se un'equazione è equivalente a un'altra e la seconda è equivalente a una terza, allora la prima equazione è equivalente alla terza. La proprietà di equivalenza delle equazioni ci consente di effettuare trasformazioni con esse, su cui si basano i metodi per risolverle. Risolvere equazioni online.. Equazioni online. Il sito ti consentirà di risolvere l'equazione online. Le equazioni di cui sono note soluzioni analitiche includono equazioni algebriche non superiori al quarto grado: equazione lineare, equazione quadratica, equazione cubica ed equazione di quarto grado. Le equazioni algebriche di grado superiore nel caso generale non hanno una soluzione analitica, sebbene alcune di esse possano essere ridotte a equazioni di grado inferiore. Le equazioni che includono funzioni trascendentali sono chiamate trascendentali. Tra questi, alcuni sono noti per soluzioni analitiche equazioni trigonometriche, poiché zeri funzioni trigonometriche ben noto. Nel caso generale, quando non è possibile trovare una soluzione analitica, vengono utilizzati metodi numerici. I metodi numerici non forniscono una soluzione esatta, ma consentono solo di restringere l'intervallo in cui si trova la radice ad un certo valore predeterminato. Risolvere equazioni online.. Equazioni online.. Invece di un'equazione online, immagineremo come la stessa espressione formi una relazione lineare, non solo lungo una tangente diritta, ma anche nel punto di flesso del grafico. Questo metodo è indispensabile in ogni momento nello studio della materia. Accade spesso che la risoluzione di equazioni si avvicini al valore finale utilizzando numeri infiniti e scrivendo vettori. È necessario controllare i dati iniziali e questa è l'essenza del compito. Altrimenti, la condizione locale viene convertita in una formula. Inversione in linea retta di una determinata funzione, che il calcolatore dell'equazione calcolerà senza molto ritardo nell'esecuzione, l'offset servirà come privilegio di spazio. Parleremo del successo degli studenti nell'ambiente scientifico. Tuttavia, come tutto quanto sopra, ci aiuterà nel processo di ricerca e, una volta risolta completamente l'equazione, memorizzerà la risposta risultante alle estremità del segmento di linea retta. Le linee nello spazio si intersecano in un punto e questo punto si chiama intersecato dalle linee. L'intervallo sulla riga è indicato come specificato in precedenza. Verrà pubblicato il posto più alto per lo studio della matematica. Assegnando un valore all'argomento da una superficie specificata parametricamente e risolvendo l'equazione online sarà possibile delineare i principi dell'accesso produttivo a una funzione. Il nastro di Möbius, o infinito come viene chiamato, assomiglia a un otto. Questa è una superficie unilaterale, non bilaterale. Secondo il principio generalmente noto a tutti, accetteremo oggettivamente equazioni lineari per la designazione di base così com'è e nel campo di studio. Solo due valori di argomenti dati in sequenza sono in grado di rivelare la direzione del vettore. Supporre che un'altra soluzione alle equazioni online sia molto più che una semplice soluzione significa ottenere come risultato una versione completa dell'invariante. Senza un approccio integrato, è difficile per gli studenti apprendere questo materiale. Ancora per ogni occasione speciale i nostri convenienti e calcolatrice intelligente le equazioni online aiuteranno tutti nei momenti difficili, perché devi solo specificare i parametri di input e il sistema stesso calcolerà la risposta. Prima di iniziare a inserire i dati, avremo bisogno di uno strumento di input, cosa che può essere eseguita senza troppe difficoltà. La stima del numero di ciascuna risposta porterà ad un'equazione quadratica alle nostre conclusioni, ma questo non è così facile da fare, perché è facile dimostrare il contrario. La teoria, per le sue caratteristiche, non è supportata da conoscenze pratiche. Vedere un calcolatore di frazioni nella fase di pubblicazione della risposta non è un compito facile in matematica, poiché l'alternativa di scrivere un numero su un insieme aiuta ad aumentare la crescita della funzione. Tuttavia, sarebbe sbagliato non parlare di insegnamento agli studenti, quindi ciascuno dirà ciò che è necessario fare. L'equazione cubica trovata in precedenza apparterrà di diritto al dominio della definizione e conterrà lo spazio dei valori numerici, nonché delle variabili simboliche. Avendo imparato o memorizzato il teorema, i nostri studenti si metteranno alla prova solo con il lato migliore, e saremo felici per loro. A differenza delle intersezioni di campi multipli, le nostre equazioni online sono descritte da un piano di movimento moltiplicando due e tre linee numeriche combinate. Un insieme in matematica non è definito in modo univoco. La soluzione migliore, secondo gli studenti, è una registrazione completa dell'espressione. Come si è detto nel linguaggio scientifico, l'astrazione delle espressioni simboliche non entra nello stato delle cose, ma la soluzione delle equazioni dà un risultato inequivocabile in tutti i casi conosciuti. La durata della lezione dell'insegnante dipende dalle esigenze di questa proposta. L'analisi ha mostrato la necessità di tutte le tecniche computazionali in molte aree ed è assolutamente chiaro che un calcolatore di equazioni è uno strumento indispensabile nelle mani dotate di uno studente. Un approccio leale allo studio della matematica determina l'importanza di punti di vista provenienti da direzioni diverse. Vuoi identificare uno dei teoremi chiave e risolvere l'equazione in modo tale, a seconda della risposta che ci sarà un'ulteriore necessità della sua applicazione. L’analisi in questo settore sta guadagnando slancio. Cominciamo dall'inizio e ricaviamo la formula. Dopo aver superato il livello di aumento della funzione, la linea lungo la tangente nel punto di flesso porterà sicuramente al fatto che la risoluzione dell'equazione online sarà uno degli aspetti principali nella costruzione dello stesso grafico dall'argomento della funzione. Un approccio amatoriale ha il diritto di essere applicato se questa condizione non contraddice le conclusioni degli studenti. È il compito secondario che mette in secondo piano l'analisi delle condizioni matematiche come equazioni lineari nell'ambito di definizione esistente dell'oggetto. Il netting nella direzione dell'ortogonalità annulla il vantaggio di un unico valore assoluto. Il modulo per la risoluzione delle equazioni online fornisce lo stesso numero di soluzioni se si aprono le parentesi prima con un segno più e poi con un segno meno. In questo caso ci saranno il doppio delle soluzioni e il risultato sarà più accurato. Stabile e calcolatrice corretta equazioni online è il successo nel raggiungere l'obiettivo prefissato nel compito stabilito dall'insegnante. Sembra possibile scegliere il metodo giusto a causa delle differenze significative nelle opinioni dei grandi scienziati. L'equazione quadratica risultante descrive la curva delle linee, la cosiddetta parabola, e il segno determinerà la sua convessità nel sistema di coordinate quadrate. Dall’equazione si ottengono sia il discriminante che le radici stesse secondo il teorema di Vieta. Il primo passo è rappresentare l'espressione come frazione propria o impropria e utilizzare un calcolatore di frazioni. A seconda di ciò, verrà formato il piano per i nostri ulteriori calcoli. La matematica con un approccio teorico sarà utile in ogni fase. Presenteremo sicuramente il risultato come un'equazione cubica, perché nasconderemo le sue radici in questa espressione per semplificare il compito di uno studente universitario. Qualsiasi metodo è buono se adatto ad un'analisi superficiale. Ulteriori operazioni aritmetiche non porteranno ad errori di calcolo. Determina la risposta con una determinata precisione. Usando la soluzione delle equazioni, ammettiamolo: trovare la variabile indipendente di una determinata funzione non è così facile, soprattutto durante il periodo di studio delle rette parallele all'infinito. Considerata l’eccezione, la necessità è del tutto evidente. La differenza di polarità è chiara. Dall'esperienza di insegnamento negli istituti, il nostro insegnante ha imparato la lezione principale in cui le equazioni online venivano studiate in pieno senso matematico. Qui si parlava di sforzi maggiori e di abilità speciali nell'applicazione della teoria. A favore delle nostre conclusioni non si dovrebbe guardare attraverso un prisma. Fino a poco tempo fa, si credeva che un insieme chiuso aumentasse rapidamente sulla regione così com'è e che la soluzione delle equazioni necessitasse semplicemente di essere studiata. Nella prima fase non abbiamo considerato tutto possibili opzioni, ma questo approccio è più giustificato che mai. Azioni extra tra parentesi giustificano alcuni avanzamenti lungo gli assi delle ordinate e delle ascisse, che non possono essere trascurati ad occhio nudo. Nel senso di un ampio aumento proporzionale della funzione, c'è un punto di flesso. Ancora una volta dimostreremo come condizione necessaria verrà applicato durante l'intero intervallo di diminuzione dell'una o dell'altra posizione discendente del vettore. In uno spazio ristretto selezioneremo una variabile dal blocco iniziale del nostro script. Un sistema costruito come base lungo tre vettori è responsabile dell'assenza del momento di forza principale. Tuttavia, il calcolatore dell'equazione ha generato e aiutato a trovare tutti i termini dell'equazione costruita, sia sopra la superficie che lungo linee parallele. Disegniamo un cerchio attorno al punto iniziale. Inizieremo quindi a salire lungo le linee di sezione e la tangente descriverà il cerchio per tutta la sua lunghezza, ottenendo una curva chiamata evolvente. A proposito, raccontiamo un po' di storia di questa curva. Il fatto è che storicamente in matematica non esisteva il concetto di matematica stessa nella sua pura comprensione come lo è oggi. In precedenza, tutti gli scienziati erano impegnati in un compito comune, ovvero la scienza. Più tardi, diversi secoli dopo, quando il mondo scientifico era pieno di una quantità colossale di informazioni, l'umanità identificò tuttavia molte discipline. Rimangono ancora invariati. Eppure, ogni anno, gli scienziati di tutto il mondo cercano di dimostrare che la scienza non ha limiti e che non è possibile risolvere l'equazione se non si ha una conoscenza delle scienze naturali. Potrebbe non essere possibile porvi fine definitivamente. Pensarci è inutile quanto riscaldare l’aria fuori. Troviamo l'intervallo in cui l'argomento, se il suo valore è positivo, determinerà il modulo del valore in una direzione fortemente crescente. La reazione ti aiuterà a trovare almeno tre soluzioni, ma dovrai verificarle. Cominciamo dal fatto che dobbiamo risolvere l'equazione online utilizzando il servizio unico del nostro sito web. Presentiamo entrambe le parti data equazione, clicca sul pulsante “RISOLVI” e otterrai la risposta esatta in pochi secondi. In casi particolari, prendiamo un libro di matematica e ricontrolliamo la nostra risposta, cioè guardiamo solo la risposta e tutto diventerà chiaro. Volerà fuori lo stesso progetto per un parallelepipedo artificiale ridondante. C'è un parallelogramma con i suoi lati paralleli e spiega molti principi e approcci allo studio della relazione spaziale del processo ascendente di accumulo dello spazio cavo nelle formule della forma naturale. Le equazioni lineari ambigue mostrano la dipendenza della variabile desiderata dalla nostra soluzione generale in un dato momento, e dobbiamo in qualche modo derivare e portare la frazione impropria in un caso non banale. Segna dieci punti sulla linea retta e traccia una curva attraverso ciascun punto nella direzione data, con il punto convesso verso l'alto. Senza particolari difficoltà, il nostro calcolatore di equazioni presenterà un'espressione in una forma tale che il controllo della validità delle regole sarà evidente anche all'inizio della registrazione. Il sistema di rappresentazioni speciali della stabilità per i matematici viene prima, a meno che la formula non preveda diversamente. Risponderemo a questo con una presentazione dettagliata di un rapporto sul tema dello stato isomorfo di un sistema plastico di corpi e la risoluzione di equazioni online descriverà il movimento di ciascun punto materiale in questo sistema. A livello di ricerca approfondita, sarà necessario chiarire in dettaglio la questione delle inversioni almeno dello strato inferiore dello spazio. In ordine crescente nella sezione discontinuità della funzione, applicheremo metodo generale un eccellente ricercatore, tra l'altro, il nostro connazionale, e parleremo più avanti del comportamento dell'aereo. A causa delle forti caratteristiche di una funzione definita analiticamente, utilizziamo il calcolatore di equazioni online solo per lo scopo previsto entro i limiti di autorità derivati. Ragionando ulteriormente, concentreremo la nostra recensione sull'omogeneità dell'equazione stessa, ovvero sul fatto che il suo lato destro sia uguale a zero. Assicuriamoci ancora una volta che la nostra decisione in matematica sia corretta. Per evitare di ottenere una soluzione banale, apporteremo alcune modifiche alle condizioni iniziali per il problema della stabilità condizionale del sistema. Creiamo un'equazione quadratica, per la quale scriviamo due voci utilizzando una formula ben nota e troviamo le radici negative. Se una radice è cinque unità più grande della seconda e della terza radice, apportando modifiche all'argomento principale distorciamo così le condizioni iniziali dell'attività secondaria. Per sua stessa natura, qualcosa di insolito in matematica può sempre essere descritto al centesimo più vicino di un numero positivo. Il calcolatore delle frazioni è molte volte superiore ai suoi analoghi su risorse simili nel momento migliore di carico del server. Sulla superficie del vettore velocità che cresce lungo l'asse delle ordinate, tracciamo sette linee, piegate in direzioni opposte l'una all'altra. La commensurabilità dell'argomento della funzione assegnata è superiore alle letture del contatore del saldo di recupero. In matematica possiamo rappresentare questo fenomeno attraverso un'equazione cubica a coefficienti immaginari, così come nella progressione bipolare di linee decrescenti. I punti critici della differenza di temperatura, in molti modi, descrivono il processo di scomposizione di una funzione frazionaria complessa in fattori. Se ti viene chiesto di risolvere un'equazione, non affrettarti a farlo subito, valuta prima sicuramente l'intero piano d'azione e solo dopo accetta il giusto approccio. Ci saranno sicuramente dei benefici. La facilità del lavoro è ovvia, e lo stesso vale in matematica. Risolvi l'equazione online. Tutte le equazioni online rappresentano un certo tipo di record di numeri o parametri e una variabile che deve essere determinata. Calcola proprio questa variabile, ovvero trova valori o intervalli specifici di un insieme di valori ai quali manterrà l'identità. Le condizioni iniziali e finali dipendono direttamente. IN soluzione generale Le equazioni solitamente includono alcune variabili e costanti, impostando le quali otterremo intere famiglie di soluzioni per una determinata formulazione del problema. In generale, ciò giustifica gli sforzi investiti nell'aumento della funzionalità di un cubo spaziale con un lato pari a 100 centimetri. Puoi applicare un teorema o un lemma in qualsiasi fase della costruzione di una risposta. Il sito produce gradualmente un calcolatore di equazioni se è necessario mostrare il valore più piccolo in qualsiasi intervallo di somma dei prodotti. Nella metà dei casi una palla del genere è cava, no in misura maggiore soddisfa i requisiti per impostare una risposta intermedia. Almeno sull'asse delle ordinate nella direzione della rappresentazione vettoriale decrescente, questa proporzione sarà senza dubbio più ottimale dell'espressione precedente. Nell'ora in cui funzioni lineari verrà effettuata un'analisi completa punto per punto, riuniremo infatti tutte le ns numeri complessi e spazi planari bipolari. Sostituendo una variabile nell'espressione risultante, risolverai l'equazione passo dopo passo e fornirai la risposta più dettagliata con elevata precisione. Ancora una volta controlla le tue azioni in matematica in buona forma da parte dello studente. La proporzione nel rapporto delle frazioni ha registrato l'integrità del risultato per tutti aree importanti attività vettoriale nulla. La banalità è confermata alla fine delle azioni completate. Con un compito semplice, gli studenti potrebbero non avere difficoltà se risolvono l'equazione online nel più breve tempo possibile, ma non dimenticare tutte le diverse regole. Un insieme di sottoinsiemi si intersecano in una regione di notazione convergente. IN casi diversi il prodotto non è fattorizzato erroneamente. Sarai aiutato a risolvere l'equazione online nella nostra prima sezione, dedicata ai fondamenti delle tecniche matematiche per sezioni importanti per gli studenti delle università e degli istituti tecnici. Non dovremo aspettare qualche giorno per avere risposte, poiché il processo di migliore interazione dell’analisi vettoriale con la ricerca sequenziale delle soluzioni è stato brevettato all’inizio del secolo scorso. Si scopre che gli sforzi per stabilire rapporti con la squadra circostante non sono stati vani: prima era ovviamente necessario qualcos'altro; Diverse generazioni dopo, gli scienziati di tutto il mondo hanno fatto credere alla gente che la matematica fosse la regina delle scienze. Che si tratti della risposta di sinistra o di quella di destra, i termini esaustivi devono comunque essere scritti su tre righe, poiché nel nostro caso si parlerà sicuramente solo di analisi vettoriale delle proprietà della matrice. Le equazioni non lineari e lineari, insieme alle equazioni biquadratiche, occupano un posto speciale nel nostro libro migliori pratiche calcolare la traiettoria del movimento nello spazio di tutti i punti materiali sistema chiuso. Un'analisi lineare del prodotto scalare di tre vettori consecutivi ci aiuterà a dare vita all'idea. Alla fine di ogni istruzione, l'attività viene semplificata implementando eccezioni numeriche ottimizzate nelle sovrapposizioni dello spazio numerico eseguite. Un giudizio diverso non contrasterà la risposta trovata nella forma arbitraria di un triangolo in un cerchio. L'angolo tra due vettori contiene la percentuale di margine richiesta e la risoluzione di equazioni online spesso rivela una certa radice comune dell'equazione rispetto alle condizioni iniziali. L'eccezione svolge il ruolo di catalizzatore nell'intero inevitabile processo di ricerca di una soluzione positiva nel campo della definizione di una funzione. Se non è detto che non puoi usare un computer, allora un calcolatore di equazioni online è perfetto per i tuoi problemi difficili. Devi solo inserire i tuoi dati condizionali nel formato corretto e il nostro server emetterà una risposta risultante completa nel più breve tempo possibile. Una funzione esponenziale aumenta molto più velocemente di una lineare. I Talmud della letteratura bibliotecaria intelligente lo testimoniano. Eseguirà un calcolo in senso generale come farebbe una data equazione quadratica con tre coefficienti complessi. La parabola nella parte superiore del semipiano caratterizza il moto rettilineo parallelo lungo gli assi del punto. Qui vale la pena menzionare la potenziale differenza nello spazio di lavoro del corpo. In cambio di un risultato non ottimale, il nostro calcolatore di frazioni occupa giustamente la prima posizione nella valutazione matematica della revisione dei programmi funzionali lato server. La facilità d'uso di questo servizio sarà apprezzata da milioni di utenti Internet. Se non sai come usarlo, saremo felici di aiutarti. Vorremmo anche sottolineare ed evidenziare in particolare l'equazione cubica di una serie di problemi della scuola primaria, quando è necessario trovare rapidamente le sue radici e costruire un grafico della funzione su un piano. I gradi più elevati di riproduzione sono uno dei problemi matematici più complessi dell'istituto e per il suo studio vengono stanziati fondi quantità sufficiente ore. Come tutte le equazioni lineari, la nostra non fa eccezione secondo molte regole oggettive; guardala da diversi punti di vista, e risulta semplice e sufficiente per stabilire le condizioni iniziali; L'intervallo di incremento coincide con l'intervallo di convessità della funzione. Risolvere equazioni online. Lo studio della teoria si basa sulle equazioni online di numerose sezioni sullo studio della disciplina principale. Nel caso di un simile approccio a problemi incerti, è molto semplice presentare la soluzione alle equazioni in una forma predeterminata e non solo trarre conclusioni, ma anche prevedere il risultato di una soluzione così positiva. Il servizio ci aiuterà ad apprendere al meglio l'argomento migliori tradizioni matematica, esattamente come è consuetudine in Oriente. IN momenti migliori intervallo di tempo, compiti simili sono stati moltiplicati per un fattore comune di dieci. L'abbondanza di moltiplicazioni di più variabili nel calcolatore di equazioni ha iniziato a moltiplicarsi per variabili qualitative piuttosto che quantitative come la massa o il peso corporeo. Per evitare casi di squilibrio del sistema materiale, è per noi del tutto ovvia la derivazione di un trasformatore tridimensionale sulla banale convergenza di matrici matematiche non degeneri. Completa il compito e risolvi l'equazione nelle coordinate indicate, poiché la conclusione è sconosciuta in anticipo, così come tutte le variabili incluse nel tempo post-spaziale. Per un breve periodo di tempo, sposta il fattore comune oltre le parentesi e dividi per il più grande divisore comune entrambe le parti in anticipo. Da sotto il sottoinsieme coperto di numeri risultante, estrai in modo dettagliato trentatré punti consecutivi in ​​un breve periodo. Nella misura in cui nel miglior modo possibile Risolvere un’equazione online è possibile per ogni studente. Guardando al futuro, diciamo una cosa importante ma fondamentale, senza la quale sarà difficile vivere in futuro. Nel secolo scorso, il grande scienziato notò una serie di modelli nella teoria della matematica. In pratica, il risultato non è stato proprio l’impressione attesa dagli eventi. Tuttavia, in linea di principio, proprio questa soluzione di equazioni online aiuta a migliorare la comprensione e la percezione di un approccio olistico allo studio e al consolidamento pratico del materiale teorico coperto dagli studenti. È molto più semplice farlo durante il tempo di studio.

=

Esempi:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Come risolvere le equazioni esponenziali

Quando risolviamo qualsiasi equazione esponenziale, ci sforziamo di portarla alla forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\), e quindi di effettuare la transizione all'uguaglianza degli esponenti, ovvero:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Per esempio:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Importante! Dalla stessa logica derivano due requisiti per tale transizione:
- numero dentro sinistra e destra dovrebbero essere uguali;
- i gradi a sinistra e a destra devono essere “puri”, cioè non dovrebbero esserci moltiplicazioni, divisioni, ecc.


Per esempio:


Per ridurre l'equazione alla forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) vengono utilizzati e.

Esempio . Risolvi l'equazione esponenziale \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Soluzione:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Sappiamo che \(27 = 3^3\). Tenendo conto di ciò trasformiamo l’equazione.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Per la proprietà della radice \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) otteniamo che \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Successivamente, utilizzando la proprietà del grado \((a^b)^c=a^(bc)\), otteniamo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Sappiamo anche che \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Applicandolo al lato sinistro, otteniamo: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Ora ricorda che: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Questa formula può essere utilizzata anche in retro: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Quindi \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)

Applicando la proprietà \((a^b)^c=a^(bc)\) al lato destro, otteniamo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)

E ora le nostre basi sono uguali e non ci sono coefficienti interferenti, ecc. Quindi possiamo effettuare la transizione.

Esempio . Risolvi l'equazione esponenziale \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Soluzione:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)

Usiamo ancora la proprietà power \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) nella direzione opposta.

\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)

Ora ricorda che \(4=2^2\).

\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\)

Usando le proprietà dei gradi, trasformiamo:
\((2^2)^x=2^(2x)=2^(x2)=(2^x)^2\)
\((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\)

\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)

Osserviamo attentamente l'equazione e vediamo che la sostituzione \(t=2^x\) suggerisce da sola.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)

Tuttavia, abbiamo trovato i valori di \(t\) e abbiamo bisogno di \(x\). Torniamo alle X, effettuando una sostituzione inversa.

\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)

Trasformiamo la seconda equazione utilizzando la proprietà grado negativo

\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)

...e terminiamo la risposta.

\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Risposta : \(-1; 1\).

La domanda rimane: come capire quando utilizzare quale metodo? Questo arriva con l'esperienza. Finché non lo ottieni, usalo raccomandazione generale per risolvere problemi complessi – “se non sai cosa fare, fai quello che puoi”. Cioè, cerca come trasformare l'equazione in linea di principio e prova a farlo: e se succedesse? La cosa principale è effettuare solo trasformazioni basate sulla matematica.

Equazioni esponenziali senza soluzioni

Diamo un'occhiata ad altre due situazioni che spesso confondono gli studenti:
- un numero positivo elevato a potenza è uguale a zero, ad esempio \(2^x=0\);
- un numero positivo elevato alla potenza è uguale a numero negativo, ad esempio \(2^x=-4\).

Proviamo a risolvere con la forza bruta. Se x è un numero positivo, man mano che x cresce, l'intera potenza \(2^x\) non farà altro che aumentare:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Anche di. Rimangono X negative. Ricordando la proprietà \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), controlliamo:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Nonostante il fatto che il numero diminuisca ad ogni passo, non raggiungerà mai lo zero. Quindi il grado negativo non ci ha salvato. Arriviamo ad una conclusione logica:

Un numero positivo in qualsiasi misura rimarrà un numero positivo.

Pertanto, entrambe le equazioni sopra non hanno soluzioni.

Equazioni esponenziali con basi diverse

In pratica, a volte incontriamo equazioni esponenziali con per ragioni diverse, non riducibili tra loro, e allo stesso tempo con gli stessi esponenti. Appaiono così: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), dove \(a\) e \(b\) sono numeri positivi.

Per esempio:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Tali equazioni possono essere facilmente risolte dividendo per uno qualsiasi dei lati dell'equazione (solitamente diviso per il lato destro, ovvero per \(b^(f(x))\). Puoi dividere in questo modo perché un numero positivo è positivo rispetto a qualsiasi potenza (ovvero, non dividiamo per zero).

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Esempio . Risolvi l'equazione esponenziale \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Soluzione:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)

Qui non potremo trasformare un cinque in un tre, o viceversa (almeno senza usare ). Ciò significa che non possiamo arrivare alla forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Tuttavia, gli indicatori sono gli stessi.
Dividiamo l'equazione per il lato destro, cioè per \(3^(x+7)\) (possiamo farlo perché sappiamo che tre non sarà zero in nessun modo).

\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)

Ora ricorda la proprietà \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) e usala a sinistra nella direzione opposta. A destra riduciamo semplicemente la frazione.

\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)

Sembrerebbe che le cose non siano andate meglio. Ma ricorda un'altra proprietà della potenza: \(a^0=1\), in altre parole: "qualsiasi numero elevato a zero è uguale a \(1\)." È vero anche il contrario: “uno può essere rappresentato come un numero qualsiasi elevato a zero”. Approfittiamone rendendo la base a destra uguale a quella a sinistra.

\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)

Voilà! Liberiamoci delle basi.

Stiamo scrivendo una risposta.

Risposta : \(-7\).


A volte l’“identità” degli esponenti non è ovvia, ma un uso abile delle proprietà degli esponenti risolve questo problema.

Esempio . Risolvi l'equazione esponenziale \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Soluzione:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)

L'equazione sembra molto triste... Non solo le basi non possono essere ridotte allo stesso numero (sette non sarà in alcun modo uguale a \(\frac(1)(3)\)), ma anche gli esponenti sono diversi. .. Tuttavia, usiamo l'esponente sinistro due.

\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)

Ricordando la proprietà \((a^b)^c=a^(b·c)\) trasformiamo da sinistra:
\(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).

\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)

Ora, ricordando la proprietà di grado negativo \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), trasformiamo da destra: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)

\(49^(x-2)=3^(x-2)\)

Alleluia! Gli indicatori sono gli stessi!
Agendo secondo lo schema a noi già familiare, risolviamo prima della risposta.

Risposta : \(2\).

Questo è il nome delle equazioni della forma in cui l'incognita è sia nell'esponente che nella base della potenza.

È possibile specificare un algoritmo completamente chiaro per risolvere un'equazione della forma. Per fare questo, devi prestare attenzione al fatto che quando OH) diverso da zero, uno e meno uno, l'uguaglianza dei gradi con le stesse basi (sia positiva che negativa) è possibile solo se gli esponenti sono uguali, cioè tutte le radici dell'equazione saranno le radici dell'equazione f(x) = g(x) Non è vera l'affermazione opposta, quando OH)< 0 e valori frazionari f(x) E g(x) espressioni OH) f(x) E

OH) g(x) perdere il loro significato. Cioè, quando si passa da a f(x) = g(x)(for e possono apparire radici estranee, che devono essere escluse controllando l'equazione originale. E casi un = 0, un = 1, un = -1 devono essere considerati separatamente.

Quindi per soluzione completa equazioni consideriamo i casi:

a(x) = O f(x) E g(x) saranno numeri positivi, allora questa è la soluzione. Altrimenti no

a(x) = 1. Le radici di questa equazione sono anche le radici dell'equazione originale.

a(x) = -1. Se, per un valore di x che soddisfa questa equazione, f(x) E g(x) sono interi della stessa parità (entrambi pari oppure entrambi dispari), allora questa è la soluzione. Altrimenti no

Quando e risolviamo l'equazione f(x)=g(x) e sostituendo i risultati ottenuti nell'equazione originale tagliamo le radici estranee.

Esempi di risoluzione di equazioni di potenza esponenziale.

Esempio n.1.

1) x - 3 = 0, x = 3. perché 3 > 0 e 3 2 > 0, allora x 1 = 3 è la soluzione.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Entrambi gli indicatori sono pari. Questa soluzione è x 3 = 1.

4)x-3? 0 e x? ± 1. x = x 2, x = 0 o x = 1. Per x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - questa soluzione è corretta: x 4 = 0. Per x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - questa soluzione è corretta x 5 = 1.

Risposta: 0, 1, 2, 3, 4.

Esempio n.2.

Per definizione di aritmetica radice quadrata:x-1? 0,x? 1.

1) x - 1 = 0 oppure x = 1, = 0, 0 0 non è una soluzione.

2)x-1 = 1x1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 non rientra in ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - non ci sono radici.

Università statale di Belgorod

DIPARTIMENTO algebra, teoria dei numeri e geometria

Argomento: Equazioni e disequazioni di potenza esponenziali.

Tesi studente della Facoltà di Fisica e Matematica

Supervisore scientifico:

______________________________

Revisore: _______________________________

________________________

Belgorod. 2006


Introduzione 3
Soggetto IO. Analisi della letteratura sul tema della ricerca.
Soggetto II. Funzioni e loro proprietà utilizzate nella risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.
I.1. Funzione potenza e sue proprietà.
I.2. Funzione esponenziale e sue proprietà.
Soggetto III. Risoluzione di equazioni di potenza esponenziale, algoritmo ed esempi.
Soggetto IV. Risoluzione di disuguaglianze esponenziali, piano di soluzione ed esempi.
Soggetto V. Esperienza nella conduzione di lezioni con scolari sull'argomento: "Risoluzione di equazioni e disuguaglianze esponenziali".
V. 1. Materiale didattico.
V. 2. Problemi per soluzione indipendente.
Conclusione. Conclusioni e suggerimenti.
Elenco della letteratura usata.
Applicazioni

Introduzione.

“...la gioia di vedere e capire...”

A. Einstein.

In questo lavoro, ho cercato di trasmettere la mia esperienza di insegnante di matematica, di trasmettere almeno in una certa misura il mio atteggiamento nei confronti del suo insegnamento: un'impresa umana in cui scienza matematica, pedagogia, didattica, psicologia e persino filosofia sono sorprendentemente intrecciate.

Ho avuto l'opportunità di lavorare con ragazzi e laureati, con i bambini ai poli sviluppo intellettuale: quelli che erano iscritti presso uno psichiatra e che erano veramente interessati alla matematica

Ho avuto l'opportunità di risolvere molti problemi metodologici. Proverò a parlare di quelli che sono riuscito a risolvere. Ma anche altri falliscono, e anche in quelli che sembrano risolti sorgono nuove domande.

Ma ancora più importanti dell’esperienza in sé sono le riflessioni e i dubbi dell’insegnante: perché è proprio così, questa esperienza?

E l'estate adesso è diversa e lo sviluppo dell'istruzione è diventato più interessante. "Sotto i Giove" oggi non è la ricerca di un mitico sistema ottimale di insegnamento di "tutti e tutto", ma del bambino stesso. Ma poi – necessariamente – il maestro.

Nel corso scolastico di algebra e ho iniziato l'analisi, classi 10 - 11, con superamento dell'Esame di Stato Unificato per corso Scuola superiore e agli esami di ammissione alle università ci sono equazioni e disuguaglianze contenenti un'incognita nella base e negli esponenti: queste sono equazioni e disuguaglianze esponenziali.

Ricevono poca attenzione a scuola; nei libri di testo non ci sono praticamente compiti su questo argomento. Tuttavia, padroneggiare la tecnica per risolverli, mi sembra, è molto utile: aumenta la mente e creatività studenti, davanti a noi si aprono orizzonti completamente nuovi. Quando risolvono i problemi, gli studenti acquisiscono le prime abilità lavoro di ricerca, la loro cultura matematica si arricchisce e le loro capacità di pensiero logico si sviluppano. Gli scolari sviluppano qualità della personalità come determinazione, definizione degli obiettivi e indipendenza, che saranno loro utili in età avanzata. E c'è anche ripetizione, espansione e profonda assimilazione del materiale educativo.

Ho iniziato a lavorare su questo argomento per la mia ricerca di tesi scrivendo i miei corsi. Nel corso del quale ho studiato e analizzato a fondo la letteratura matematica su questo argomento, ne ho identificati di più metodo adatto Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.

Sta nel fatto che oltre all'approccio generalmente accettato quando si risolvono equazioni esponenziali (la base è considerata maggiore di 0) e quando si risolvono le stesse disuguaglianze (la base è considerata maggiore di 1 o maggiore di 0, ma inferiore a 1) , vengono considerati anche i casi in cui le basi sono negative, uguali a 0 e 1.

L'analisi delle prove scritte degli studenti mostra che la mancanza di copertura della questione del valore negativo dell'argomento di una funzione esponenziale nei libri di testo scolastici causa loro una serie di difficoltà e porta ad errori. E hanno anche problemi nella fase di sistematizzazione dei risultati ottenuti, dove, a causa del passaggio a un'equazione - una conseguenza o una disuguaglianza - una conseguenza, possono apparire radici estranee. Per eliminare gli errori, utilizziamo un test utilizzando l'equazione originale o la disuguaglianza e un algoritmo per risolvere equazioni esponenziali o un piano per risolvere le disuguaglianze esponenziali.

Affinché gli studenti superino con successo gli esami finali e di ammissione, credo che sia necessario prestare maggiore attenzione alla risoluzione di equazioni e disuguaglianze esponenziali in sessioni di formazione, o inoltre in elettivi e club.

Così argomento , Mio tesiè definita come segue: “Equazioni e disuguaglianze di potenza esponenziali”.

Obiettivi di questo lavoro sono:

1. Analizzare la letteratura su questo argomento.

2. Dai analisi completa Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.

3. Fornire un numero sufficiente di esempi di vario tipo su questo argomento.

4. Verificare in aula, nelle classi facoltative e di club come verranno percepiti i metodi proposti per la risoluzione di equazioni e diseguaglianze esponenziali. Fornire raccomandazioni appropriate per lo studio di questo argomento.

Soggetto La nostra ricerca è quella di sviluppare una metodologia per risolvere equazioni e disuguaglianze esponenziali.

Lo scopo e l'oggetto dello studio richiedevano la risoluzione dei seguenti problemi:

1. Studiare la letteratura sull'argomento: "Equazioni e disuguaglianze di potenza esponenziali".

2. Padroneggiare le tecniche per risolvere equazioni e disuguaglianze esponenziali.

3. Selezionare il materiale didattico e sviluppare un sistema di esercizi diversi livelli sul tema: “Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali”.

Durante la ricerca di tesi sono stati analizzati più di 20 lavori sull'uso di vari metodi Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali. Da qui otteniamo.

Piano di tesi:

Introduzione.

Capitolo I. Analisi della letteratura sul tema della ricerca.

Capitolo II. Funzioni e loro proprietà utilizzate nella risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.

II.1. Funzione potenza e sue proprietà.

II.2. Funzione esponenziale e sue proprietà.

Capitolo III. Risoluzione di equazioni di potenza esponenziale, algoritmo ed esempi.

Capitolo IV. Risoluzione di disuguaglianze esponenziali, piano di soluzione ed esempi.

Capitolo V. Esperienza nella conduzione di lezioni con scolari su questo argomento.

1.Materiale formativo.

2.Compiti per una soluzione indipendente.

Conclusione. Conclusioni e suggerimenti.

Elenco della letteratura usata.

Il capitolo I analizza la letteratura

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Innanzitutto, ricordiamo le formule di base dei poteri e le loro proprietà.

Prodotto di un numero UN ricorre su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. un n / un m = un n - m

Equazioni di potenza o esponenziali– si tratta di equazioni in cui le variabili sono espresse in potenze (o esponenti) e la base è un numero.

Esempi di equazioni esponenziali:

In questo esempio, il numero 6 è la base; è sempre in basso e la variabile X grado o indicatore.

Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2x*5=10
16 x - 4 x - 6=0

Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?

Prendiamo una semplice equazione:

2 x = 2 3

Questo esempio può essere risolto anche nella tua testa. Si può vedere che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Vediamo ora come formalizzare questa decisione:

2 x = 2 3
x = 3

Per risolvere tale equazione, abbiamo rimosso motivi identici(cioè due) e ho scritto ciò che restava, questi sono i gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che cercavamo.

Ora riassumiamo la nostra decisione.

Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. È necessario controllare identico se l'equazione ha basi a destra e a sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, cerchiamo opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi diventano le stesse, equiparare gradi e risolvere la nuova equazione risultante.

Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

Cominciamo con qualcosa di semplice.

Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base e equiparare le loro potenze.

x+2=4 Si ottiene l'equazione più semplice.
x=4 – 2
x=2
Risposta: x=2

Nell'esempio seguente puoi vedere che le basi sono diverse: 3 e 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Per prima cosa, spostiamo i nove sul lato destro, otteniamo:

Ora devi creare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2. Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Otteniamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Ora è chiaro che sui lati sinistro e destro le basi sono uguali e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle e uguagliare i gradi.

3x=2x+16 otteniamo l'equazione più semplice
3x - 2x=16
x=16
Risposta: x=16.

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Prima di tutto, guardiamo le basi, basi due e quattro. E abbiamo bisogno che siano uguali. Trasformiamo i quattro usando la formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Aggiungi all'equazione:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Abbiamo fatto un esempio di per gli stessi motivi. Ma gli altri numeri 10 e 24 ci danno fastidio. Cosa farne? Se guardi da vicino puoi vedere che sul lato sinistro abbiamo 2 2x ripetuti, ecco la risposta: possiamo mettere 2 2x tra parentesi:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calcoliamo l'espressione tra parentesi:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividiamo l'intera equazione per 6:

Immaginiamo 4=2 2:

2 2x = 2 2 basi sono uguali, le scartiamo e uguagliamo i gradi.
2x = 2 è l'equazione più semplice. Dividilo per 2 e otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.

Risolviamo l'equazione:

9 x – 12*3 x +27= 0

Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Le nostre basi sono uguali, pari a tre. In questo esempio puoi vedere che le prime tre hanno un grado doppio (2x) della seconda (solo x). In questo caso puoi risolvere metodo di sostituzione. Sostituiamo il numero con il grado più piccolo:

Allora 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Sostituiamo tutte le potenze x nell'equazione con t:

t2 - 12t+27 = 0
Otteniamo un'equazione quadratica. Risolvendo attraverso il discriminante otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Ritornando alla variabile X.

Prendi t1:
t1 = 9 = 3x

Perciò,

3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo da t 2:
t2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Risposta: x1 = 2; x2 = 1.

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