Probability Ang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga elementarya na kinalabasan na paborable sa isang partikular na kaganapan sa bilang ng lahat ng pantay na posibleng resulta ng karanasan kung saan maaaring lumitaw ang kaganapang ito. Ang posibilidad ng kaganapan A ay tinutukoy ng P(A) (dito ang P ay ang unang titik ng salitang Pranses na probabilite - probabilidad). Ayon sa kahulugan
(1.2.1)
kung saan ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan ay paborable sa kaganapan A; - ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na resulta ng eksperimento, na bumubuo ng kumpletong pangkat ng mga kaganapan.
Ang kahulugan ng probabilidad na ito ay tinatawag na classical. Ito ay bumangon sa paunang yugto pagbuo ng probability theory.
Ang posibilidad ng isang kaganapan ay may mga sumusunod na katangian:
1. Ang posibilidad ng isang maaasahang kaganapan ay katumbas ng isa. Tukuyin natin ang isang maaasahang kaganapan sa pamamagitan ng liham. Para sa isang tiyak na kaganapan, samakatuwid
(1.2.2)
2. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero. Ipahiwatig natin ang isang imposibleng kaganapan sa pamamagitan ng liham. Para sa isang imposibleng kaganapan, samakatuwid
(1.2.3)
3. Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay ipinahayag bilang isang positibong numero na mas mababa sa isa. Dahil para sa isang random na kaganapan ang mga hindi pagkakapantay-pantay , o , ay nasiyahan, kung gayon
(1.2.4)
4. Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay
(1.2.5)
Ito ay sumusunod mula sa mga relasyon (1.2.2) - (1.2.4).
Halimbawa 1. Ang isang urn ay naglalaman ng 10 bola na magkapareho ang laki at timbang, kung saan 4 ay pula at 6 ay asul. Isang bola ang nakuha mula sa urn. Ano ang posibilidad na ang iginuhit na bola ay magiging asul?
Solusyon. Isinasaad namin ang kaganapan na "ang iginuhit na bola ay naging asul" sa pamamagitan ng letrang A. Ang pagsusulit na ito ay may 10 pantay na posibleng resulta sa elementarya, kung saan 6 ang pabor sa kaganapang A. Alinsunod sa formula (1.2.1), nakukuha namin 
Halimbawa 2. Ang lahat ng natural na numero mula 1 hanggang 30 ay nakasulat sa magkatulad na mga card at inilalagay sa isang urn. Pagkatapos lubusang i-shuffling ang mga card, isang card ang aalisin sa urn. Ano ang posibilidad na ang numero sa card na kinuha ay multiple ng 5?
Solusyon. Tukuyin natin sa pamamagitan ng A ang kaganapan na "ang numero sa kinuhang card ay multiple ng 5." Sa pagsusulit na ito mayroong 30 pantay na posibleng resulta ng elementarya, kung saan ang kaganapan A ay pinapaboran ng 6 na resulta (ang mga numero 5, 10, 15, 20, 25, 30). Kaya naman, 
Halimbawa 3. Dalawang dice ang itinatapon at ang kabuuan ng mga puntos sa mga tuktok na mukha ay kinakalkula. Hanapin ang posibilidad ng kaganapan B na ang mga tuktok na mukha ng dice ay may kabuuang 9 na puntos.
Solusyon. Sa pagsusulit na ito mayroon lamang 6 2 = 36 na pantay na posibleng resulta sa elementarya. Ang Event B ay pinapaboran ng 4 na resulta: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), samakatuwid 
Halimbawa 4. Ang isang natural na numero na hindi hihigit sa 10 ay pinili nang random Ano ang posibilidad na ang numerong ito ay prime?
Solusyon. Tukuyin natin ang kaganapang "ang piniling numero ay prime" na may titik C. Sa kasong ito, n = 10, m = 4 (mga pangunahing numero 2, 3, 5, 7). Samakatuwid, ang kinakailangang posibilidad 
Halimbawa 5. Dalawang simetriko na barya ang inihagis. Ano ang posibilidad na mayroong mga numero sa itaas na gilid ng parehong mga barya?
Solusyon. Tukuyin natin sa letrang D ang pangyayaring "may numero sa itaas na bahagi ng bawat barya." Sa pagsusulit na ito mayroong 4 na pantay na posibleng elementarya na kinalabasan: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Ang notasyon (G, C) ay nangangahulugan na ang unang barya ay may coat of arms, ang pangalawa ay may numero). Ang Kaganapang D ay pinapaboran ng isang elementarya na kinalabasan (C, C). Dahil m = 1, n = 4, kung gayon 
Halimbawa 6. Ano ang posibilidad na ang isang dalawang-digit na numero na pinili nang random ay may parehong mga numero?
Solusyon. Ang dalawang-digit na numero ay mga numero mula 10 hanggang 99; Mayroong 90 tulad ng mga numero sa kabuuan. Parehong mga numero may 9 na numero (ang mga numerong ito ay 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Dahil sa kasong ito m = 9, n = 90, kung gayon 
,
kung saan ang A ay ang "numero na may magkaparehong mga digit" na kaganapan.
Halimbawa 7. Mula sa mga titik ng salita kaugalian Isang titik ang pinipili nang random. Ano ang posibilidad na ang titik na ito ay magiging: a) isang patinig, b) isang katinig, c) isang titik h?
Solusyon. Ang salitang differential ay may 12 titik, kung saan 5 ay patinig at 7 ay consonants. Mga liham h wala sa salitang ito. Tukuyin natin ang mga pangyayari: A - "titik ng patinig", B - "titik na katinig", C - "titik h". Ang bilang ng mga kanais-nais na resulta sa elementarya: - para sa kaganapan A, - para sa kaganapan B, - para sa kaganapan C. Dahil n = 12, pagkatapos
, At .
Halimbawa 8. Dalawang dice ang itinatapon at ang bilang ng mga puntos sa tuktok ng bawat dice ay nabanggit. Hanapin ang posibilidad na ang parehong dice ay nagpapakita ng parehong bilang ng mga puntos.
Solusyon. Tukuyin natin ang kaganapang ito sa pamamagitan ng letrang A. Ang kaganapan A ay pinapaboran ng 6 elementarya na kinalabasan: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). Ang kabuuang bilang ng mga pantay na posibleng resulta sa elementarya na bumubuo ng kumpletong pangkat ng mga kaganapan, sa kasong ito n=6 2 =36. Nangangahulugan ito na ang kinakailangang posibilidad 
Halimbawa 9. Ang libro ay may 300 na pahina. Ano ang posibilidad na ang isang random na binuksan na pahina ay magkakaroon ng serial number na mahahati sa 5?
Solusyon. Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang lahat ng pantay na posibleng elementarya na mga resulta na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan ay magiging n = 300. Sa mga ito, ang m = 60 ay pumapabor sa paglitaw ng tinukoy na kaganapan. Sa katunayan, ang isang numero na isang multiple ng 5 ay may anyo na 5k, kung saan ang k ay isang natural na numero, at , kung saan 
. Kaya naman, 
, kung saan ang A - ang kaganapang “pahina” ay may sequence number na isang multiple ng 5".
Halimbawa 10. Dalawang dice ang itinatapon at ang kabuuan ng mga puntos sa mga tuktok na mukha ay kinakalkula. Ano ang mas malamang - makakuha ng kabuuang 7 o 8?
Solusyon. Tukuyin natin ang mga kaganapan: A - "7 puntos ay pinagsama", B - "8 puntos ay pinagsama". Ang Event A ay pinapaboran ng 6 na elementarya na kinalabasan: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), at ang event B ay pinapaboran sa pamamagitan ng 5 resulta: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Ang lahat ng pantay na posibleng resulta sa elementarya ay n = 6 2 = 36. Samakatuwid, At .
Kaya, ang P(A)>P(B), ibig sabihin, ang pagkuha ng kabuuang 7 puntos ay isang mas malamang na kaganapan kaysa sa pagkuha ng kabuuang 8 puntos.
Mga gawain
1. Ang natural na bilang na hindi hihigit sa 30 ay pinili nang random Ano ang posibilidad na ang numerong ito ay isang multiple ng 3?
2. Sa urn a pula at b asul na bola, magkapareho sa laki at bigat. Ano ang posibilidad na ang isang bola na nakuha nang random mula sa urn na ito ay magiging asul?
3. Ang isang numero na hindi hihigit sa 30 ay pinili nang random Ano ang posibilidad na ang numerong ito ay isang divisor ng 30?
4. Sa urn A asul at b pulang bola, magkapareho ang laki at timbang. Isang bola ang kinuha sa urn na ito at itabi. Ang bola na ito ay naging pula. Pagkatapos nito, isa pang bola ang iginuhit mula sa urn. Hanapin ang posibilidad na ang pangalawang bola ay pula din.
5. Ang pambansang bilang na hindi hihigit sa 50 ay pinili nang random Ano ang posibilidad na ang numerong ito ay prime?
6. Tatlong dice ang itinatapon at ang kabuuan ng mga puntos sa mga tuktok na mukha ay kinakalkula. Ano ang mas malamang - upang makakuha ng kabuuang 9 o 10 puntos?
7. Tatlong dice ay itinatapon at ang kabuuan ng mga puntos na pinagsama ay kinakalkula. Ano ang mas malamang - upang makakuha ng kabuuang 11 (kaganapan A) o 12 puntos (kaganapan B)?
Mga sagot
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - posibilidad na makakuha ng 9 na puntos sa kabuuan; p 2 = 27/216 - posibilidad na makakuha ng 10 puntos sa kabuuan; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Mga tanong
1. Ano ang tawag sa posibilidad ng isang pangyayari?
2. Ano ang posibilidad ng isang mapagkakatiwalaang pangyayari?
3. Ano ang posibilidad ng isang imposibleng pangyayari?
4. Ano ang mga limitasyon ng posibilidad ng isang random na kaganapan?
5. Ano ang mga limitasyon ng posibilidad ng anumang kaganapan?
6. Anong kahulugan ng probabilidad ang tinatawag na classical?
Pag-usapan natin ang mga problema kung saan lumilitaw ang pariralang "kahit isa". Tiyak na nakatagpo ka ng gayong mga problema sa araling-bahay at mga pagsusulit, at ngayon ay matututunan mo kung paano lutasin ang mga ito. Kakausapin ko muna pangkalahatang tuntunin, at pagkatapos ay isaalang-alang ang isang espesyal na kaso at isulat ang mga formula at halimbawa para sa bawat isa.
Pangkalahatang pamamaraan at mga halimbawa
Pangkalahatang pamamaraan upang malutas ang mga problema kung saan ang pariralang "kahit isa" ay nangyayari ay ang mga sumusunod:
Ngayon tingnan natin ito nang may mga halimbawa. Pasulong!
Halimbawa 1. Ang kahon ay naglalaman ng 25 standard at 6 na may sira na bahagi ng parehong uri. Ano ang posibilidad na sa tatlong random na napiling bahagi, kahit isa ay may depekto?
Direkta kaming kumikilos point by point.
1.
Isinulat namin ang isang kaganapan na ang posibilidad ay dapat matagpuan nang direkta mula sa pahayag ng problema:
$A$ =(Mula sa 3 napiling bahagi kahit isa may sira).
2. Pagkatapos ay ang kabaligtaran na kaganapan ay nabuo tulad ng sumusunod: $\bar(A)$ = (Mula sa 3 napiling detalye wala kahit isa may sira) = (Lahat ng 3 napiling bahagi ay magiging pamantayan).
3. Ngayon kailangan nating maunawaan kung paano hanapin ang posibilidad ng kaganapan $\bar(A)$, kung saan titingnan natin muli ang problema: pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga bagay ng dalawang uri (mga may sira na bahagi at hindi), kung saan ang isang tiyak bilang ng mga bagay ay inilabas at pinag-aralan (may sira o hindi). Ang problemang ito ay nalutas gamit ang klasikal na kahulugan ng posibilidad (mas tiyak, gamit ang hypergeometric probability formula, basahin ang higit pa tungkol dito sa artikulo).
Para sa unang halimbawa, isusulat namin ang solusyon nang detalyado, pagkatapos ay bawasan namin ito (at buong tagubilin at ang mga calculator ay matatagpuan sa link sa itaas).
Una, hanapin natin ang kabuuang bilang ng mga resulta - ito ang bilang ng mga paraan upang pumili ng anumang 3 bahagi mula sa isang batch ng 25+6=31 bahagi sa isang kahon. Dahil ang pagkakasunud-sunod ng pagpili ay hindi mahalaga, inilalapat namin ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ng 31 mga bagay ng 3: $n=C_(31)^3$.
Ngayon ay lumipat tayo sa bilang ng mga resulta na paborable sa kaganapan. Upang gawin ito, ang lahat ng 3 napiling bahagi ay dapat na pamantayan;
Ang posibilidad ay:
$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(C_(25)^3 )(C_(31)^3) = \frac(23 \cdot 24\cdot 25) (29\cdot 30\cdot 31) =\frac(2300)(4495)= 0.512. $$
4. Pagkatapos ang nais na posibilidad:
$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0.512 = 0.488. $$
Sagot: 0.488.
Halimbawa 2. Mula sa isang deck ng 36 na baraha, 6 na baraha ang kinukuha nang random. Hanapin ang posibilidad na sa mga card na kinuha ay magkakaroon ng hindi bababa sa dalawang spade.
1. Itinatala namin ang kaganapan $A$ =(Sa 6 na napiling card ay magkakaroon kahit dalawa lang mga taluktok).
2. Pagkatapos ay ang kabaligtaran na kaganapan ay nabuo tulad ng sumusunod: $\bar(A)$ = (Sa 6 na napiling card ay magkakaroon ng mas mababa sa 2 spade) = (Sa 6 na napiling card ay magkakaroon ng eksaktong 0 o 1 spade, ang natitira sa ibang suit).
Magkomento. Dito ako titigil at gagawa ng munting pangungusap. Bagama't sa 90% ng mga kaso ang diskarteng "pumunta sa kabaligtaran ng kaganapan" ay gumagana nang perpekto, may mga kaso kung saan mas madaling mahanap ang posibilidad ng orihinal na kaganapan. Sa kasong ito, kung direktang hahanapin mo ang posibilidad ng kaganapang $A$, kakailanganin mong magdagdag ng 5 probabilidad, at para sa kaganapang $\bar(A)$ - 2 probabilidad lamang. Ngunit kung ang problema ay "sa 6 na baraha ay hindi bababa sa 5 ang mga taluktok," mababaligtad ang sitwasyon at mas madaling malutas ang orihinal na problema. Kung susubukan kong magbigay muli ng mga tagubilin, sasabihin ko ito. Sa mga gawain kung saan nakikita mo ang "kahit isa", huwag mag-atubiling magpatuloy sa kabaligtaran na kaganapan. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa "hindi bababa sa 2, hindi bababa sa 4, atbp.", kailangan mong malaman kung ano ang mas madaling bilangin.
3. Bumalik kami sa aming problema at hanapin ang posibilidad ng kaganapan $\bar(A)$ gamit ang klasikal na kahulugan ng posibilidad.
Ang kabuuang bilang ng mga resulta (mga paraan upang pumili ng anumang 6 na card sa 36) ay $n=C_(36)^6$ (calculator).
Hanapin natin ang bilang ng mga resultang paborable sa kaganapan. $m_0 = C_(27)^6$ - ang bilang ng mga paraan para piliin ang lahat ng 6 na card ng isang non-peak suit (mayroong 36-9=27 sa mga ito sa deck), $m_1 = C_(9)^1 \cdot C_(27)^5$ - bilang ng mga paraan upang pumili ng 1 card ng spades suit (sa 9) at 5 pang suit (sa 27).
$$ P(\bar(A))=\frac(m_0+m_1)(n)=\frac(C_(27)^6+C_(9)^1\cdot C_(27)^5 )(C_( 36)^6) =\frac(85215)(162316)= 0.525. $$
4. Pagkatapos ang nais na posibilidad:
$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0.525 = 0.475. $$
Sagot: 0.475.
Halimbawa 3. Mayroong 2 puti, 3 itim at 5 pulang bola sa urn. Tatlong bola ang iginuhit nang random. Hanapin ang posibilidad na sa mga iginuhit na bola ay hindi bababa sa dalawa iba't ibang kulay.
1. Itinatala namin ang kaganapan $A$ =(Sa 3 iginuhit na bola kahit dalawa lang iba't ibang kulay). Iyon ay, halimbawa, "2 pulang bola at 1 puti", o "1 puti, 1 itim, 1 pula", o "2 itim, 1 pula" at iba pa, mayroong maraming mga pagpipilian. Subukan natin ang panuntunan ng paglipat sa kabaligtaran na kaganapan.
2. Pagkatapos ay ang kabaligtaran na kaganapan ay nabuo tulad ng sumusunod: $\bar(A)$ = (Lahat ng tatlong bola ay magkapareho ang kulay) = (3 itim na bola o 3 pulang bola ang napili) - mayroon lamang 2 pagpipilian, na nangangahulugang ang pamamaraang ito ng pinapasimple ng solusyon ang mga kalkulasyon. Sa pamamagitan ng paraan, ang lahat ng mga bola puti hindi maaaring mapili, dahil mayroon lamang 2 sa kanila, at 3 bola ang iginuhit.
3. Ang kabuuang bilang ng mga resulta (mga paraan upang pumili ng anumang 3 bola mula sa 2+3+5=10 bola) ay $n=C_(10)^3=120$.
Hanapin natin ang bilang ng mga resultang paborable sa kaganapan. $m = C_(3)^3+C_(5)^3=1+10=11$ - ang bilang ng mga paraan upang pumili ng alinman sa 3 itim na bola (sa 3) o 3 pulang bola (sa 5).
$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(11)(120). $$
4. Kinakailangang posibilidad:
$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- \frac(11)(120)=\frac(109)(120) = 0.908. $$
Sagot: 0.908.
Isang espesyal na kaso. Mga malayang kaganapan
Pumunta pa tayo sa isang klase ng mga problema kung saan ang ilang mga independiyenteng kaganapan ay isinasaalang-alang (natamaan ang mga arrow, nasunog ang mga bombilya, nagsimula ang mga sasakyan, nagkakasakit ang mga manggagawa na may iba't ibang probabilidad, atbp.) at kailangan natin "hanapin ang posibilidad ng hindi bababa sa isang kaganapan na nagaganap". Sa mga pagkakaiba-iba, maaaring ganito ang tunog: "hanapin ang posibilidad na kahit isa sa tatlong tagabaril ay tamaan ang target", "hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isa sa dalawang bus ang dumating sa istasyon sa oras", "hanapin ang posibilidad na ang hindi bababa sa isang elemento sa isang device na gawa sa apat na elemento ay mabibigo sa loob ng isang taon," atbp.
Kung sa mga halimbawa sa itaas ay pinag-uusapan natin ang paggamit ng klasikal na pormula ng posibilidad, narito tayo sa algebra ng mga kaganapan, ginagamit natin ang mga pormula para sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad (maliit na teorya).
Kaya, ang ilang mga independiyenteng kaganapan $A_1, A_2,...,A_n$ ay isinasaalang-alang, ang mga probabilidad ng bawat pangyayari ay kilala at katumbas ng $P(A_i)=p_i$ ($q_i=1-p_i$). Pagkatapos ay ang posibilidad na ang hindi bababa sa isa sa mga kaganapan ay magaganap bilang isang resulta ng eksperimento ay kinakalkula ng formula
$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. \quad(1) $$
Sa mahigpit na pagsasalita, ang formula na ito ay nakuha din sa pamamagitan ng paglalapat ng pangunahing pamamaraan "pumunta sa kabaligtaran na kaganapan". Sa katunayan, hayaan ang $A$=(Hindi bababa sa isang kaganapan mula sa $A_1, A_2,...,A_n$ ang magaganap), pagkatapos ay $\bar(A)$ = (Wala sa mga kaganapan ang magaganap), na nangangahulugang:
$$ P(\bar(A))=P(\bar(A_1) \cdot \bar(A_2) \cdot ... \bar(A_n))=P(\bar(A_1)) \cdot P(\ bar(A_2)) \cdot ... P(\bar(A_n))=\\ =(1-P(A_1)) \cdot (1-P(A_2)) \cdot ... (1-P( A_n))=\\ =(1-p_1) \cdot (1-p_2) \cdot ... (1-p_n)=q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n,\\ $$ mula sa kung saan tayo kunin ang aming formula $$ P(A)=1-P(\bar(A))=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. $$
Halimbawa 4. Ang yunit ay naglalaman ng dalawang independiyenteng bahagi ng pagpapatakbo. Ang mga posibilidad ng pagkabigo ng mga bahagi ay 0.05 at 0.08, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang posibilidad ng pagkabigo ng yunit kung ito ay sapat para sa hindi bababa sa isang bahagi na mabigo.
Kaganapan $A$ =(Nabigo ang node) = (Hindi bababa sa isa sa dalawang bahagi ang nabigo). Ipakilala natin ang mga independiyenteng kaganapan: $A_1$ = (Ang unang bahagi ay nabigo) at $A_2$ = (Ang ikalawang bahagi ay nabigo). Sa pamamagitan ng kundisyon $p_1=P(A_1)=0.05$, $p_2=P(A_2)=0.08$, pagkatapos ay $q_1=1-p_1=0.95$, $q_2=1-p_2=0, $92. Ilapat natin ang formula (1) at makuha ang:
$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2 = 1-0.95\cdot 0.92=0.126. $$
Sagot: 0,126.
Halimbawa 5. Hinahanap ng estudyante ang pormula na kailangan niya sa tatlong sangguniang aklat. Ang posibilidad na ang formula ay nakapaloob sa unang direktoryo ay 0.8, sa pangalawa - 0.7, sa pangatlo - 0.6. Hanapin ang posibilidad na ang formula ay nakapaloob sa kahit isang reference na libro.
Nagpapatuloy kami sa parehong paraan. Isaalang-alang ang pangunahing kaganapan
$A$ =(Ang formula ay nakapaloob sa kahit isang reference na libro). Ipakilala natin ang mga independiyenteng kaganapan:
$A_1$ = (Ang formula ay nasa unang sangguniang aklat),
$A_2$ = (Ang formula ay nasa pangalawang reference book),
$A_3$ = (Ang formula ay nasa ikatlong sangguniang aklat).
Sa pamamagitan ng kundisyon $p_1=P(A_1)=0.8$, $p_2=P(A_2)=0.7$, $p_3=P(A_3)=0.6$, pagkatapos ay $q_1=1-p_1=0 ,2$, $q_2 =1-p_2=0.3$, $q_3=1-p_3=0.4$. Ilapat natin ang formula (1) at makuha ang:
$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 = 1-0.2\cdot 0.3\cdot 0.4=0.976. $$
Sagot: 0,976.
Halimbawa 6. Ang isang manggagawa ay nagpapanatili ng 4 na makina na gumagana nang hiwalay sa isa't isa. Ang posibilidad na sa panahon ng isang shift ang unang makina ay mangangailangan ng atensyon ng isang manggagawa ay 0.3, ang pangalawa - 0.6, ang pangatlo - 0.4 at ang ikaapat - 0.25. Hanapin ang posibilidad na sa panahon ng shift kahit isang makina ay hindi mangangailangan ng atensyon ng isang foreman.
Sa palagay ko naiintindihan mo na ang prinsipyo ng solusyon, ang tanging tanong ay ang bilang ng mga kaganapan, ngunit hindi ito nakakaapekto sa pagiging kumplikado ng solusyon (hindi katulad karaniwang gawain sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad). Mag-ingat lamang, ang mga probabilidad ay ipinahiwatig para sa "ay mangangailangan ng pansin," ngunit ang tanong ng problema ay "kahit isang makina ay HINDI mangangailangan ng pansin." Kailangan mong magpasok ng mga kaganapan na kapareho ng pangunahing isa (sa kasong ito, na may HINDI) upang magamit pangkalahatang pormula (1).
Nakukuha namin:
$A$ = (Sa panahon ng shift kahit isang makina ay HINDI mangangailangan ng atensyon ng isang foreman),
$A_i$ = ($i$-th machine ay HINDI mangangailangan ng atensyon ng master), $i=1,2,3,4$,
$p_1 = 0.7$, $p_2 = 0.4$, $p_3 = 0.6$, $p_4 = 0.75$.
Kinakailangang posibilidad:
$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 \cdot q_4= 1-(1-0.7)\cdot (1-0.4)\cdot (1-0.6)\cdot ( 1-0.75)=0.982 . $$
Sagot: 0.982. Halos tiyak na ang master ay magpapahinga para sa buong shift;)
Isang espesyal na kaso. Mga paulit-ulit na pagsubok
Kaya, mayroon kaming $n$ independyenteng mga kaganapan (o mga pag-uulit ng ilang karanasan), at ang mga probabilidad ng paglitaw ng mga kaganapang ito (o ang paglitaw ng isang kaganapan sa bawat isa sa mga eksperimento) ay pareho na ngayon at katumbas ng $p$. Pagkatapos ang formula (1) ay pinasimple sa anyo:
$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n = 1-q^n. $$
Sa katunayan, kami ay nagpapaliit sa isang klase ng mga problema na tinatawag na "paulit-ulit na independiyenteng mga pagsubok" o "Bernoulli scheme", kung saan ang $n$ na mga eksperimento ay isinasagawa, ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa bawat isa sa kanila ay katumbas ng $p$. Kailangan nating hanapin ang posibilidad na ang kaganapan ay magaganap nang hindi bababa sa isang beses sa $n$ na pag-uulit:
$$ P=1-q^n. \quad(2) $$
Maaari kang magbasa nang higit pa tungkol sa scheme ni Bernoulli sa online na aklat-aralin, at tingnan din ang mga artikulo sa calculator tungkol sa paglutas ng iba't ibang mga subtype ng mga problema (tungkol sa mga shot, mga tiket sa lottery, atbp.). Sa ibaba, tanging mga problema sa "kahit isa" ang tatalakayin.
Halimbawa 7. Hayaan ang posibilidad na ang TV ay hindi nangangailangan ng pagkumpuni sa loob panahon ng warranty, ay katumbas ng 0.9. Hanapin ang posibilidad na sa panahon ng warranty kahit isa sa 3 TV ay hindi mangangailangan ng pagkumpuni.
Sa madaling salita, hindi mo pa nakikita ang solusyon.
Sumulat lang kami mula sa kundisyon: $n=3$, $p=0.9$, $q=1-p=0.1$.
Pagkatapos ay ang posibilidad na sa panahon ng warranty hindi bababa sa isa sa 3 TV ay hindi mangangailangan ng pagkumpuni, ayon sa formula (2):
$$ P=1-0.1^3=1-0.001=0.999 $$
Sagot: 0,999.
Halimbawa 8. 5 independyenteng mga putok ang pinaputok sa isang tiyak na target. Ang posibilidad ng isang hit sa isang shot ay 0.8. Hanapin ang posibilidad na magkaroon ng kahit isang hit.
Muli, nagsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpormal sa problema, pagsusulat ng mga kilalang dami. $n=5$ shot, $p=0.8$ - probability ng hit sa isang shot, $q=1-p=0.2$.
At pagkatapos ay ang posibilidad na magkaroon ng kahit isang hit sa limang shot ay katumbas ng: $$ P=1-0.2^5=1-0.00032=0.99968 $$
Sagot: 0,99968.
Sa palagay ko ang paggamit ng formula (2) ang lahat ay higit pa sa malinaw (huwag kalimutang basahin ang tungkol sa iba pang mga problema na nalutas sa loob ng balangkas ng pamamaraan ni Bernoulli, ang mga link ay nasa itaas). At sa ibaba ay magbibigay ako ng bahagyang mas kumplikadong problema. Ang ganitong mga problema ay hindi gaanong nangyayari, ngunit ang paraan ng paglutas ng mga ito ay dapat ding matutunan. Tara na!
Halimbawa 9. N independyenteng mga eksperimento ang ginagawa, sa bawat isa kung saan ang ilang kaganapan A ay lilitaw na may posibilidad na 0.7. Ilang mga eksperimento ang kailangang gawin upang matiyak ang hindi bababa sa isang paglitaw ng kaganapan A na may posibilidad na 0.95?
Mayroon kaming Bernoulli scheme, $n$ ang bilang ng mga eksperimento, $p=0.7$ ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A.
Kung gayon ang posibilidad na mangyari ang kahit isang event A sa $n$ na mga eksperimento ay katumbas ng formula (2): $$ P=1-q^n=1-(1-0.7)^n=1-0, 3^ n $$ Ayon sa kondisyon, ang posibilidad na ito ay dapat na hindi bababa sa 0.95, samakatuwid:
$$ 1-0.3^n \ge 0.95,\\ 0.3^n \le 0.05,\\ n \ge \log_(0.3) 0.05 = 2.49. $$
Sa pag-round up, nakuha namin na kailangan mong magsagawa ng hindi bababa sa 3 eksperimento.
Sagot: Kailangan mong gumawa ng hindi bababa sa 3 eksperimento.
Dmitry Zhitomirsky, pangkalahatang tagapamahala at tagapagtatag ng ARTCOM SPb
Murphy's Law: "Kung may masamang mangyari, mangyayari ito."
Si Murphy ay isang optimist. May mga pagkakataon sa buhay ng bawat isa na gumagana ang lahat, ngunit huwag mag-alala, lilipas din ito sa lalong madaling panahon! Pagkatapos ng lahat, ayon sa batas ni Murphy, ang pagbuo ng isang negatibong resulta ay hindi nakasalalay sa ating mga hangarin, samakatuwid, kailangan pa rin nating ayusin ang lahat. Paano? Sa kasong ito, maaari mong piliin ang mga kondisyon ng gawain sa iyong sarili. Kung ituturing natin ang gayong problema bilang normal na kasanayan, dapat baguhin ang buong sistema; kahinaan ng mga kawani - maghanap ng mga bagong empleyado; ang ibig sabihin ng mistisismo ay pagpunta sa mga shaman. Kumuha tayo ng isang halimbawa mula sa kamakailang nakaraan: ang lahat ng mga satellite na inilunsad sa kalawakan para sa layunin ng pananaliksik ay nahulog pabalik sa Earth. Pero sa mga ganyan mahahalagang pangyayari Ang paghahanda ay nagaganap sa loob ng maraming taon. Ito ay lohikal na ito ay nagkakahalaga ng pag-iisip tungkol dito kapag ang unang tatlong satellite ay hindi lumipad kahit saan. Ngunit nang walang nagawa, isa na namang trahedya ang natamo namin. Ano ang dapat nating maramdaman tungkol dito? Maghanap ng mga teknikal na problema o dagdagan ang pondo para sa space instrumentation? Tama iyon: lutasin ang problema nang komprehensibo, na nangangahulugang naghahanap ng mga teknikal na bahid at pag-highlight mas maraming pera, at tanggalin ang mga walang prinsipyong empleyado, at magtakda ng mas mahihirap na gawain - kaagad. Gayunpaman, muli batay sa batas ni Murphy, kahit na ito ay maaaring hindi magbigay ng 100% na resulta.
Alalahanin natin ang hindi bababa sa unang bunga ng batas ni Murphy: Ang lahat ay hindi kasing dali ng tila o Ang bawat trabaho ay tumatagal ng mas maraming oras kaysa sa iyong iniisip.
Ang pagsilang ng isang bagong ideya, bilang panuntunan, ay palaging sinamahan ng haka-haka na katibayan ng pagpapatupad nito. Kailangan mo lang itong itulak - maghanap ng manager, magdagdag ng pera sa pamamagitan ng pagkuha ng pautang o mag-promote ng isang website sa Internet. Gayunpaman, kapag sinubukan mo ang lahat, lumalabas na walang gumagana. Sa aming euphoria, nakakaligtaan namin ang isang bagay na pinakamahalaga. Sa kabilang banda, sa sandaling magsimula kaming mag-isip tungkol sa mga problema sa hinaharap, agad naming nawala ang "sense of flight", ang aming inspirasyon - at ang lahat ay huminto sa isang iglap. Samakatuwid, dapat mong palaging makamit ang iyong layunin sa pamamagitan ng pagiging nahuhumaling sa ideya ng iyong sariling hindi maikakaila na tagumpay, paglutas ng mga problema habang lumalabas ang mga ito, habang inaalala na ang isang pala ay maaaring hindi sapat kahit para sa pinakamaliit na butas, kung mayroong isang cobblestone doon. napaka lugar. Pagkatapos ng lahat, ayon sa pangalawang corollary: Sa lahat ng posibleng problema, ang magdudulot ng pinakamaraming pinsala ang mangyayari. . Samakatuwid, dapat mong laging maghanda para sa pinakamasama. Siyempre, kapag nagsisimula ng isang negosyo, kailangan mong maniwala sa iyong sarili, ngunit maunawaan na ito ay isang malaking panganib. At bawat ika-20 kaso halos palaging nagtatapos sa kabiguan, dahil kapag nakakuha ka ng isang bagay, palagi kang nawawalan ng isang bagay. Mahalaga na huwag mawala ang lahat. Samakatuwid, hindi mo kailangang magsimula ng negosyo gamit ang iyong huling pera. Sobrang risky. Sa anumang kaso, kailangan mong mag-ipon para sa pagkain at mga kagamitan upang kapag natapos na ang lahat, maaari mong mantikilya ang iyong tinapay. Nangyayari ang mga trahedya sa lahat ng dako, at sa mas seryosong sukat kaysa sa isang bigong negosyo. Paano ito maiiwasan? Huwag mag-relax! Gumising sa oras sa umaga at agad na pumasok sa trabaho. Hindi mo pa rin maiiwasan ang mga kusang problema, ngunit maaari mong bawasan ang antas ng kanilang paglitaw. Gawin mo lahat ng gusto mo, wag ka lang uupo! Pagkatapos ng lahat, ang ikatlong resulta ng batas ni Murphy ay nagsasabi: Kung naiwan sa kanilang sariling mga aparato, ang mga kaganapan ay malamang na pumunta mula sa masama hanggang sa mas malala pa. Kung huminto ka sa pamamahala ng mga kaganapan na maaari mong maimpluwensyahan, ang tendensya sa pagkasira ay hindi magtatagal. Nag-set up ka ng isang negosyo, at kung sino ang kinuha mo ay iyong negosyo, ang iyong ideya. Kung lalayo ka sa kanya, lahat ay lilipad sa bilis ng kidlat. Sa kabilang panig: Ang bawat solusyon ay lumilikha ng mga bagong problema. Sa sandaling magsimula kaming gumawa ng isang bagay, lumikha kami ng isang materyal na may kakayahang mamuhay ng sarili nitong buhay. Ibig sabihin kung paano maliit na bata, tiyak na bigla itong magiging adulto at magsisimulang manigarilyo, bagama't sa buong pagkabata ay sinubukan mong ipaliwanag dito na ang paninigarilyo ay nakakapinsala. Ang solusyon dito ay ayon lamang kay Taras Bulba: "Isinilang kita, papatayin kita." Minsan ang pagkamatay ng isang negosyo ay mas mahusay kaysa sa lahat ng pagtatangka na iligtas ito. At ang bagay ay maaaring hindi lamang nasa iyo, kundi pati na rin sa katotohanan na ang iyong mga kakumpitensya ay naging mas seryoso at mas maliksi. Ngayon ay nasasaksihan natin ang kumpletong pagbagsak ng Nokia, may katulad na nangyari sa ibang mga kumpanyang sangkot sa mga kagamitan sa komunikasyon. Sa isang punto, napalampas nila na ang mga kumpanyang Koreano ay seryosong kasangkot dito, namuhunan ng maraming pera at agad na inilunsad ang paggawa ng mga bagong produkto. At naisip nila na sila ay magmaneho ng kanilang sariling tatak sa buong buhay nila. Hindi ito nangyayari. Naging mapagmataas sila at nakuha ang kanilang nararapat. Ngayon ang Nokia sa wakas ay naglabas ng bago mga mobile phone, ngunit sinasabi ng mga eksperto na huli na ang lahat. At kahit na ang isang mababang presyo kasama ang isang tatak ay hindi makatipid sa kumpanya. Ito ay isang hakbang pabalik, hindi pasulong. Mayroong napakaraming katulad na mga halimbawa.
Ang iba pang sukdulan ay dapat ding isaalang-alang - ang Japanese Toyota na may pilosopiyang Kaizen, na nagpapahiwatig ng patuloy na pagpapabuti ng mga proseso ng produksyon at pamamahala. Ang pagsasanay ba na ito ay isang panlunas sa lahat? Malamang na hindi, dahil, tulad ng alam mo, ang pinakamahusay ay ang kaaway ng mabuti. Ang bawat bagong bahagi ng kotse ay nangangailangan ng pag-install ng dalawa pang ekstrang bahagi na magkokontrol dito. Ganun din sa negosyo. Ang pagpapabuti ng sistema ay nagpapahiwatig ng walang katapusang paglago nito at pagtaas ng halaga ng mga pondo para sa pagpapanatili. Kung mas malaki ang korporasyon, mas mataas ang pagkakataong mabigo. Kaya naman, sa sandali ng krisis, nakita namin na ang pinakamalaking "Titanics", ang mga itinuturing na hindi masisira, ang unang pumunta sa ilalim. Ito ay dahil kung ano ang pinakamakapangyarihan at perpekto ay hindi perpekto dahil ito ay makapangyarihan. Lahat tayo ay mayroon pa ring mga tagagiling ng karne ng ating lola na nakahiga at nagtatrabaho pa rin, habang, bilang pagkilala sa pag-unlad ng teknolohiya, palagi nating kailangang palitan ang mga electric processor dahil sa walang katapusang mga pagkasira. Lumalabas na mas maliit ang mekanismo, mas maliit ang posibilidad na maging manifestation ng mga batas ni Murphy. Kung tutuusin, kung ang buong conveyor ay binubuo ng dalawang Uzbek na naghahakot ng buhangin mula sa isang dulo ng bakuran patungo sa isa pa, ang posibilidad na masira ang naturang conveyor ay nababawasan nang daan-daang beses kaysa kung ang ilang mga excavator ay gumanap ng parehong mga function.
Lumilitaw ang mga Batas ni Murphy sa lahat ng dako. Mga karagdagang bolts at turnilyo sa panahon ng pagpupulong sasakyang pangkalawakan? Syempre oo! Saan galing ang isa pang tanong. Malinaw na ang iyong nilikha ay nahulog alinman sa mga kamay ng Kulibin o sa mga kamay ng isang slob. Ngunit maging layunin tayo: ang pangalawang opsyon ay mas karaniwan. Gayunpaman, pareho pa rin silang may mga ekstrang piyesa. At ito ang batayan ng batas ni Murphy. Pagpapahayag ng plano sa lahat susunod na tao, sa tuwing mawawalan ka ng bahagi ng iyong naipon na kapital, dahil ang isang bagong tao ay hindi magagawang kunin ang iyong pag-iisip sa anyo kung saan ito umiiral sa iyong ulo, gaano man kahirap ang iyong pagsisikap. Hindi na ito ang kaalaman ng taong iyon, kundi sa iyo, ipinasa sa kanya. Narinig niya pa rin ang mga ito sa kanyang sariling paraan, at ipapatupad din niya ang kanyang narinig sa kanyang sariling paraan, kaya ang mga hindi kinakailangang detalye. Ang pangalawang opsyon ay ang Kulibins, na sadyang lumalabag sa mga patakaran sa kanilang sariling paghuhusga, mula sa kategoryang: "Hindi ko gagawin ang hindi ko gusto." Puro human factor. Ang mga patakaran, tulad ng alam mo, ay umiiral upang sirain, at kung may pagkakataon, tiyak na mangyayari ito. Sa anumang kaso, ang mga naturang aksyon ay ginawa bilang protesta. At kahit na naiintindihan mo na may 300% na posibilidad na matanggal ka sa trabaho pagkatapos ng iyong pagkilos, gagawin mo pa rin ito, na nakakakuha ng hindi kapani-paniwalang buzz. Ang iskandalo ay hindi magiging walang kabuluhan, at ang pagsali ay palaging isang malaking kasiyahan. Kahit na ang iyong rocket ay nahulog, kung paano ito lumipad... gaano kaganda... gaano kabago... Kung isasaalang-alang natin ang negosyo, ito ay malinaw na ito ay isang salungatan sa pagitan ng mahigpit na organisasyon at konstruksiyon, dahil ang mga tao ay hindi maaaring gumana tulad ng mga mekanismo. Ang mga tao ay tao, at kung mas maraming empleyado ang mayroon ka, mas madalas itong mangyari. Ipagdasal mo na hindi mo ito mapansin, ngunit maya-maya ay may papasok pa rin sa iyong opisina at sasabihin sa iyo kung gaano sila kapagod sa sistema. Upang sabihin ang katotohanan, walang silbi na parusahan ang gayong mga tao, ngunit ito ay kinakailangan. Para sa kanila, ang anumang parusa ay hindi kailanman sasaklawin ang kasiyahang natanggap nila sa mismong pagkilos. Gayunpaman, sa pamamagitan ng matalinong pagbuo ng mga taktika sa PR bilang isang masamang halimbawa, maaari mong gawin itong hindi kasiya-siya sa iba, ngunit hanggang sa muling lumitaw ang isang dissenter sa system. At ito ay tiyak na mangyayari muli, nagsisilbing patunay ng batas ni Murphy. Samakatuwid, ang mga empleyado na may hawak na mga posisyon sa pamumuno ay dapat na mapusok, ngunit sa parehong oras ay responsable at disiplinado, dahil ang mga tagapamahala ang kadalasang nahaharap sa pagkilos ng mga batas ni Murphy, kung saan walang kakayahang "lumipad sa itaas ng sitwasyon" at magpakita. pagkamalikhain hindi makakalabas ng walang sakripisyo. Ang isang tao ay dapat na hindi kapani-paniwalang malikhain, dapat na mahahanap ang pinakamaraming bagay hindi karaniwang solusyon at agad na ipatupad ito, nang hindi nababalisa o nakikialam sa pagiging kumplikado ng kasalukuyang sitwasyon, agad na itinatapon ang mga karaniwang solusyon at nag-aalok ng iyong sariling makabago at pinakamabisang diskarte. Kadalasan ang organisasyon ay nagpapahiwatig ng disiplina, ngunit ang isang ganap na disiplinadong tao ay isang cog lamang. Samakatuwid, kapag pumipili ng isang tao para sa posisyon sa pamumuno, bigyang-pansin hindi lamang ang mga kandidato na ganap na nakapasa sa lahat ng iyong mga pagsubok, kundi pati na rin sa mga hindi nakapasa, ngunit nag-iisip na mas orihinal kaysa sa marami, dahil hindi ito itinuro sa paaralan ng pamamahala, ito ay ibinigay mula sa Diyos.
Huwag hayaan ang mga bagay na umabot sa punto ng kalokohan. Kung sa tingin mo ay nagsimula nang kumilos ang makina, pagkatapos ay "gagahasa" ito sa loob ng isa pang linggo, ngunit pagkatapos ay makipag-ugnay pa rin sa isang mekaniko. Huwag subukang ilagay ang cart sa harap ng lokomotibo. Kung ang sitwasyon ay nagsimula nang umunlad sa isang direksyon na hindi kanais-nais para sa iyo, alamin hindi kung paano biglang ihinto ang tren, ngunit kung paano dahan-dahang bawasan ang bilis upang ang paghinto ay malambot hangga't maaari. Pagkatapos ng lahat, ang isang biglaang paghinto, bilang isang panuntunan, ay palaging humahantong sa pagbagsak at pagbagsak. At sa wakas, kung ang "bagyo" ay umabot sa isang hindi kapani-paniwalang sukat, magkaroon ng lakas ng loob na talikuran ang negosyo, hanapin ang lakas upang ibenta ang negosyo hindi para sa kalahati o kahit isang quarter, ngunit para sa isang ikasampu ng kabuuang gastos, upang mayroon kang ang pagkakataong gumawa ng ibang bagay, kung dito ka hindi nagtagumpay. Ikaw ay isang malikhaing tao, mayroon kang pera sa iyong mga kamay. At ang pera ay hindi isang pie sa langit o kahit isang tite, ito ay pera. Kunin ito at mamuhunan sa ibang bagay! Kung kaladkarin mo ang iyong mga paa nang walang hanggan, ikaw ay maiiwan nang walang anuman. Binibigyang-diin lamang ng mga batas ni Murphy na ang mga mahihirap na sitwasyon ay naging, ay, at magiging. At ang kakayahan ng isang tao na makaalis mahirap na mga sitwasyon- ito ay hindi pagsasanay sa isang paaralan ng negosyo, ngunit tanging ang pagkamalikhain ng kanyang sariling isip. Salubongin ang bagyo na nakangiti!
Interviewed by Anna Sayapina
Mga layunin ng aralin:
- Makapagbigay ng mga halimbawa ng mga random na pangyayari.
- Unawain na ang probabilidad ay isang numerical na sukatan ng posibilidad ng isang kaganapan, na ang probabilidad ay isang numerong mula 0 hanggang 1.
- Upang ipakilala ang mga mag-aaral sa ika-8 baitang sa mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.
- Matutong lutasin ang mga simpleng problema gamit ang mga klasikal na formula ng posibilidad.
Teoretikal na materyal
Kahulugan: Teorya mga probabilidad ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng probabilistic at statistical laws.
Halimbawa, gamit ang teoryang ito, maaari mong kalkulahin ang posibilidad na ang isang partikular na estudyante sa klase ay tatawagin sa pisara sa panahon ng klase. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.
Kahulugan: Mga Random na Kaganapan- ito ay mga kaganapan na, sa ilalim ng parehong mga kondisyon, ay maaaring mangyari o hindi.
Isa sa mga tagapagtatag ng matematikal na istatistika, ang Swedish scientist na si Harald Kramer ay sumulat: “Maliwanag, imposibleng magbigay ng eksaktong kahulugan kung ano ang ibig sabihin ng salitang “random.” Ang kahulugan ng salitang ito ay pinakamahusay na naipaliwanag sa pamamagitan ng mga halimbawa." Halimbawa, ang isang random na kaganapan ay maaraw na panahon.
Sa karaniwang kahulugan, ang probabilidad ay isang quantitative assessment ng posibilidad ng isang inaasahang pangyayari na magaganap.
Depinisyon: Ang mga pangyayaring hindi maaaring mangyari sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon ay tinatawag na imposible.
Kahulugan: Ang mga kaganapang tiyak na mangyayari sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon ay tinatawag na maaasahan.
Halimbawa, ang pagtatapos ng isang aralin.
Kaya, ang isang maaasahang kaganapan ay isang kaganapan na nangyayari sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon na may isang daang porsyento na posibilidad(ibig sabihin, nangyayari sa 10 kaso sa 10, sa 100 kaso sa 100, atbp.). Ang isang imposibleng kaganapan ay isang kaganapan na hindi kailanman nangyayari sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon, isang kaganapan na may zero na posibilidad.
Ngunit, sa kasamaang-palad (at marahil sa kabutihang-palad), hindi lahat ng bagay sa buhay ay napakalinaw at tumpak: ito ay palaging magiging (tiyak na kaganapan), hindi ito magiging (imposibleng kaganapan). Kadalasan ay nahaharap tayo sa mga random na kaganapan, ang ilan ay mas malamang, ang iba ay mas malamang. Ginagamit ng mga ordinaryong tao ang mga salitang "mas malamang" o "mas malamang," gaya ng sinasabi nila, sa isang kapritso, umaasa sa tinatawag na sentido komun. Ngunit kadalasan ang gayong mga pagtatantya ay lumalabas na hindi sapat, dahil mahalagang malaman ito kung gaano katagal porsyento marahil ay isang random na kaganapan o ilang beses ang isang random na kaganapan ay mas malamang kaysa sa isa pa. Sa madaling salita, kailangan natin ng tumpak dami mga katangian, kailangan mong matukoy ang posibilidad na may isang numero.
Nagawa na namin ang mga unang hakbang sa direksyong ito. Sinabi namin na ang posibilidad ng paglitaw ng isang maaasahang kaganapan ay nailalarawan bilang isang daang porsyento, at ang posibilidad ng paglitaw ng isang imposibleng kaganapan ay nailalarawan bilang zero. Dahil ang 100% ay katumbas ng 1, sumang-ayon ang mga tao sa mga sumusunod:
1) ang posibilidad ng isang maaasahang kaganapan ay itinuturing na katumbas ng 1;
2) ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay itinuturing na katumbas ng 0.
Paano makalkula ang posibilidad ng isang random na kaganapan? Pagkatapos ng lahat, nangyari ito hindi sinasadya, na nangangahulugang hindi ito sumusunod sa mga batas, algorithm, o formula. Lumalabas na sa mundo ng randomness ang ilang mga batas ay nalalapat na nagpapahintulot sa isa na kalkulahin ang mga probabilidad. Ito ang sangay ng matematika na tinatawag na - teorya ng posibilidad.
CLASSICAL PROBABILITY SCHEME
Upang mahanap ang posibilidad ng kaganapan A kapag nagsasagawa ng ilang eksperimento, dapat mong:
1) hanapin ang bilang N ng lahat ng posibleng resulta ng eksperimentong ito;
2) tanggapin ang pagpapalagay ng pantay na posibilidad (pantay na posibilidad) ng lahat ng mga resultang ito;
3) hanapin ang bilang N(A) ng mga kinalabasan ng eksperimento kung saan nangyari ang kaganapan A;
4) hanapin ang quotient N(A)/N at ito ay magiging katumbas ng probabilidad ng kaganapan A.
Ipaliwanag natin depinisyon na ito sa pamamagitan ng halimbawa. Isaalang-alang ang isang random na dice throwing experiment. Ito ay kilala na ang isang dice ay may 6 na pantay na bilang na panig. Ang kalalabasan ng bawat paghagis ng dice ay isa sa mga numero mula 1 hanggang 6. Sa eksperimentong ito mayroon kaming ilang posibleng resulta n, katumbas ng 6. Italaga natin ang inaasahang resulta na maging numero 5. Dahil mayroon lamang isang numero 5 sa dice, ang bilang ng mga kanais-nais na resulta m ay magiging katumbas ng 1. Gamit ang classical probability formula, madaling kalkulahin na ang posibilidad na makuha ang numero 5 ay 1/6.
Kapansin-pansin na ang klasikal na kahulugan ng probabilidad ay nalalapat lamang sa isang random na kaganapan na may pantay na posibleng resulta. Halimbawa, kung ang isang die ay may hindi pantay na panig, ang ilang mga numero ay mas malamang na i-roll kaysa sa iba. Ang kahulugan ng klasikal na posibilidad ay hindi mailalapat sa kasong ito.
Ang posibilidad ay isang positibong numero sa pagitan ng zero at isa.
Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay 0, dahil ang bilang ng mga kanais-nais na resulta m katumbas ng 0.
Ang posibilidad ng isang maaasahang kaganapan ay 1, dahil ang bilang ng mga kanais-nais na resulta m tumutugma sa bilang ng mga posibleng resulta n.
Praktikal na bahagi
Lutasin ang mga problema:
- Dalawang dice ang itinapon: pula at asul. Isinasaalang-alang ang lahat ng kumbinasyon ng mga numero sa pula at asul na dice na pantay na posible, alamin ang posibilidad na ang mga numero sa pula at asul na dice ay magiging pareho. Kalkulahin natin ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan (kumbinasyon ng mga numero). Ang pulang die ay maaaring magkaroon ng anumang numero mula isa hanggang anim. Para sa bawat isa sa mga opsyong ito mayroong anim na opsyon sa numero sa blue die. Sabihin nating, kung ang pulang die ay nagpapakita ng isang tatlo, ang mga posibleng opsyon ay (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6). (Isulat muna namin ang numero sa pulang die, at pagkatapos ay sa asul.) Sa kabuuan, samakatuwid, magkakaroon ng 6 ґ 6 = 36 na kumbinasyon (mga resulta). Maaari silang isipin sa anyo ng isang talahanayan (tingnan ang flyleaf ng aklat-aralin). Ayon sa kondisyon, ang mga kanais-nais ay ang mga kung saan ang parehong numero ay lumilitaw sa parehong dice. Anim sila at nakatayo sila sa dayagonal ng talahanayan: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6). Kaya, ang proporsyon ng mga kanais-nais na resulta (ang nais na posibilidad) ay 6 sa 36, iyon ay, 1/6.
- Ano ang posibilidad na makakuha ng natural na numero kapag naghagis ng die?
- Ano ang posibilidad na makuha ang numero 9 kapag naghagis ng die?
- Ano ang posibilidad na makakuha ng mga ulo kapag naghagis ng barya?
- Mayroong 55 na mga tiket sa lottery, 7 sa mga ito ay nanalo.
Ano ang posibilidad na manalo kapag bumili ng isang tiket? Ano ang posibilidad na matalo kapag bumili ng isang tiket?
- Takdang-aralin
- Tukuyin ang posibilidad na makakuha ng kakaibang numero kapag naghagis ng die.
- Magbigay ng mga halimbawa ng mga imposibleng pangyayari sa buhay paaralan.
- Mayroong 24 na tiket para sa pagsusulit. Hindi natutunan ni Vasya ang 5 sa kanila.
Ano ang posibilidad na si Vasya ay gumuhit ng isang masuwerteng tiket? Ang mga titik sa salitang MISHA ay pinaghalo at pagkatapos ay inilagay sa random na pagkakasunud-sunod (lahat ng mga permutasyon ay pantay na posibilidad). Ano ang posibilidad na lalabas ang parehong salita? Ang parehong tanong para sa mga salitang MAІІІА at MAMA. Sa katunayan, ang mga formula (1) at (2) ay isang maikling notasyon
kondisyon na posibilidad
Sa kasong ito, kailangan nating kalkulahin ang conditional probability P (purchase completed | purchase planned). Dahil alam natin na ang pamilya ay nagpaplanong bumili, ang sample space ay hindi binubuo ng lahat ng 1000 pamilya, ngunit ang mga nagpaplano lamang na bumili ng wide-screen TV. Sa 250 ganoong pamilya, 200 talaga ang bumili ng TV na ito. Samakatuwid, ang posibilidad na ang isang pamilya ay talagang bibili ng isang malawak na screen na TV kung binalak nilang gawin ito ay maaaring kalkulahin gamit ang sumusunod na formula:
P (purchase finished | purchase planned) = bilang ng mga pamilyang nagplano at bumili ng wide-screen TV / bilang ng mga pamilyang nagpaplanong bumili ng wide-screen TV = 200 / 250 = 0.8
Ang formula (2) ay nagbibigay ng parehong resulta:
saan ang kaganapan A ay ang pamilya ay nagpaplanong bumili ng widescreen TV, at ang kaganapan SA- na bibili talaga siya. Ang pagpapalit ng totoong data sa formula, nakukuha namin:
Puno ng desisyon
Sa Fig. Ang 1 pamilya ay nahahati sa apat na kategorya: ang mga nagplanong bumili ng wide-screen TV at ang mga hindi, gayundin ang mga bumili ng naturang TV at ang mga hindi bumili. Ang isang katulad na pag-uuri ay maaaring isagawa gamit ang isang puno ng desisyon (Larawan 2). Ang puno na ipinapakita sa Fig. 2 ay may dalawang sangay na nauugnay sa mga pamilyang nagplanong bumili ng widescreen TV at mga pamilyang hindi bumili. Ang bawat isa sa mga sangay na ito ay nahahati sa dalawang karagdagang sangay na naaayon sa mga sambahayan na bumili at hindi bumili ng isang widescreen na TV. Ang mga probabilidad na nakasulat sa dulo ng dalawang pangunahing sangay ay ang walang kondisyong probabilidad ng mga pangyayari. A At A'. Ang mga probabilidad na nakasulat sa dulo ng apat na karagdagang sangay ay ang conditional probabilities ng bawat kumbinasyon ng mga kaganapan. A At SA. Ang mga probabilidad na may kondisyon ay kinakalkula sa pamamagitan ng paghahati ng magkasanib na posibilidad ng mga kaganapan sa katumbas na walang kondisyong posibilidad ng bawat isa sa kanila.
kanin. 2. Puno ng desisyon
Halimbawa, upang kalkulahin ang posibilidad na ang isang pamilya ay bibili ng isang malawak na screen na telebisyon kung ito ay nagplano na gawin ito, dapat isa matukoy ang posibilidad ng kaganapan. nakaplano at natapos ang pagbili, at pagkatapos ay hatiin ito sa posibilidad ng kaganapan nakaplanong pagbili. Ang paglipat sa puno ng desisyon na ipinapakita sa Fig. 2, nakukuha namin ang sumusunod (katulad ng naunang) sagot:
Independiyenteng istatistika
Sa halimbawa ng pagbili ng wide-screen TV, ang posibilidad na ang isang random na napiling pamilya ay bumili ng wide-screen TV dahil binalak nilang gawin ito ay 200/250 = 0.8. Alalahanin na ang walang kondisyong posibilidad na ang isang random na napiling pamilya ay bumili ng isang malawak na screen na TV ay 300/1000 = 0.3. Ito ay humahantong sa isang napakahalagang konklusyon. Ang naunang impormasyon na ang pamilya ay nagpaplano ng pagbili ay nakakaimpluwensya sa posibilidad ng pagbili mismo. Sa madaling salita, ang dalawang kaganapang ito ay nakasalalay sa isa't isa. Sa kaibahan sa halimbawang ito, may mga kaganapang independyente sa istatistika na ang mga probabilidad ay hindi nakasalalay sa isa't isa. Ang pagsasarili sa istatistika ay ipinahayag ng pagkakakilanlan: P(A|B) = P(A), Saan P(A|B)- posibilidad ng kaganapan A sa kondisyon na nangyari ang kaganapan SA, P(A)- walang kondisyong posibilidad ng kaganapan A.
Mangyaring tandaan na ang mga kaganapan A At SA P(A|B) = P(A). Kung sa isang talahanayan ng contingency ng mga katangian na may sukat na 2×2, ang kundisyong ito ay nasiyahan para sa hindi bababa sa isang kumbinasyon ng mga kaganapan A At SA, ito ay magiging wasto para sa anumang iba pang kumbinasyon. Sa ating halimbawang mga pangyayari nakaplanong pagbili At natapos ang pagbili ay hindi independyente sa istatistika dahil ang impormasyon tungkol sa isang kaganapan ay nakakaapekto sa posibilidad ng isa pa.
Tingnan natin ang isang halimbawa na nagpapakita kung paano subukan ang istatistikal na kalayaan ng dalawang kaganapan. Tanungin natin ang 300 pamilya na bumili ng widescreen TV kung nasiyahan sila sa kanilang pagbili (Larawan 3). Tukuyin kung ang antas ng kasiyahan sa pagbili at ang uri ng TV ay nauugnay.
kanin. 3. Data na nagpapakilala sa antas ng kasiyahan ng mga mamimili ng mga widescreen na TV
Sa paghusga sa mga datos na ito,
Kasabay nito,
P (customer satisfied) = 240 / 300 = 0.80
Samakatuwid, ang posibilidad na ang customer ay nasiyahan sa pagbili at na ang pamilya ay bumili ng HDTV ay pantay, at ang mga kaganapang ito ay independyente sa istatistika dahil hindi sila nauugnay sa isa't isa.
Panuntunan ng pagpaparami ng posibilidad
Ang formula para sa pagkalkula ng kondisyon na posibilidad ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang posibilidad ng isang pinagsamang kaganapan A at B. Nalutas ang formula (1)
may kaugnayan sa magkasanib na posibilidad P(A at B), nakakakuha tayo ng pangkalahatang tuntunin para sa pagpaparami ng mga probabilidad. Probability ng pangyayari A at B katumbas ng posibilidad ng pangyayari A sa kondisyon na nangyari ang kaganapan SA SA:
(3) P(A at B) = P(A|B) * P(B)
Kunin natin bilang halimbawa ang 80 pamilya na bumili ng widescreen na HDTV na telebisyon (Larawan 3). Makikita sa talahanayan na 64 na pamilya ang nasiyahan sa pagbili at 16 ang hindi. Ipagpalagay natin na ang dalawang pamilya ay random na pinili mula sa kanila. Tukuyin ang posibilidad na masisiyahan ang parehong mga customer. Gamit ang formula (3), nakukuha natin ang:
P(A at B) = P(A|B) * P(B)
saan ang kaganapan A ay ang pangalawang pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili, at ang kaganapan SA- na ang unang pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili. Ang posibilidad na ang unang pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili ay 64/80. Gayunpaman, ang posibilidad na ang pangalawang pamilya ay nasisiyahan din sa kanilang pagbili ay nakasalalay sa tugon ng unang pamilya. Kung ang unang pamilya ay hindi bumalik sa sample pagkatapos ng sarbey (pagpili nang walang pagbabalik), ang bilang ng mga respondent ay mababawasan sa 79. Kung ang unang pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili, ang posibilidad na ang pangalawang pamilya ay masiyahan din ay 63 /79, dahil 63 na lang ang natitira sa mga sample na pamilyang nasiyahan sa kanilang pagbili. Kaya, ang pagpapalit ng tukoy na data sa formula (3), nakukuha natin ang sumusunod na sagot:
P(A at B) = (63/79)(64/80) = 0.638.
Samakatuwid, ang posibilidad na ang parehong pamilya ay nasiyahan sa kanilang mga pagbili ay 63.8%.
Ipagpalagay na pagkatapos ng survey ang unang pamilya ay bumalik sa sample. Tukuyin ang posibilidad na ang parehong pamilya ay masisiyahan sa kanilang pagbili. Sa kasong ito, ang mga posibilidad na ang parehong pamilya ay nasiyahan sa kanilang pagbili ay pareho at katumbas ng 64/80. Samakatuwid, P(A at B) = (64/80)(64/80) = 0.64. Kaya, ang posibilidad na ang parehong pamilya ay nasiyahan sa kanilang mga pagbili ay 64.0%. Ang halimbawang ito ay nagpapakita na ang pagpili ng pangalawang pamilya ay hindi nakasalalay sa pagpili ng una. Kaya, pinapalitan ang conditional probability sa formula (3) P(A|B) probabilidad P(A), nakakakuha tayo ng formula para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan.
Ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan. Kung mga pangyayari A At SA ay independyente sa istatistika, ang posibilidad ng isang kaganapan A at B katumbas ng posibilidad ng pangyayari A, na pinarami ng posibilidad ng kaganapan SA.
(4) P(A at B) = P(A)P(B)
Kung totoo ang panuntunang ito para sa mga kaganapan A At SA, na nangangahulugan na sila ay independyente sa istatistika. Kaya, mayroong dalawang paraan upang matukoy ang istatistikal na kalayaan ng dalawang kaganapan:
- Mga kaganapan A At SA ay independyente sa istatistika sa isa't isa kung at kung lamang P(A|B) = P(A).
- Mga kaganapan A At B ay independyente sa istatistika sa isa't isa kung at kung lamang P(A at B) = P(A)P(B).
Kung sa isang contingency table ng mga katangian na may sukat na 2×2, isa sa mga kundisyong ito ay natutugunan para sa hindi bababa sa isang kumbinasyon ng mga kaganapan A At B, ito ay magiging wasto para sa anumang iba pang kumbinasyon.
Walang kondisyong posibilidad ng isang elementarya na kaganapan
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
kung saan ang mga kaganapan B 1, B 2, ... B k ay kapwa eksklusibo at kumpleto.
Ilarawan natin ang aplikasyon ng formula na ito gamit ang halimbawa ng Fig. 1. Gamit ang formula (5), nakukuha natin ang:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
saan P(A)- ang posibilidad na ang pagbili ay binalak, P(B 1)- ang posibilidad na ang pagbili ay ginawa, P(B 2)- ang posibilidad na hindi nakumpleto ang pagbili.
TEOREM ni BAYES
Isinasaalang-alang ng kondisyonal na posibilidad ng isang kaganapan ang impormasyon na may naganap na iba pang kaganapan. Ang pamamaraang ito ay maaaring magamit kapwa upang pinuhin ang posibilidad na isinasaalang-alang ang bagong natanggap na impormasyon, at upang kalkulahin ang posibilidad na ang naobserbahang epekto ay bunga ng isang partikular na dahilan. Ang pamamaraan para sa pagpino sa mga probabilidad na ito ay tinatawag na Bayes' theorem. Ito ay unang binuo ni Thomas Bayes noong ika-18 siglo.
Ipagpalagay natin na ang kumpanyang nabanggit sa itaas ay nagsasaliksik sa merkado para sa isang bagong modelo ng TV. Noong nakaraan, 40% ng mga TV na ginawa ng kumpanya ay matagumpay, habang 60% ng mga modelo ay hindi nakilala. Bago ipahayag ang pagpapalabas ng isang bagong modelo, maingat na sinasaliksik ng mga espesyalista sa marketing ang merkado at itinatala ang pangangailangan. Noong nakaraan, 80% ng mga matagumpay na modelo ang hinulaang magiging matagumpay, habang 30% ng matagumpay na mga hula ay naging mali. Ang departamento ng marketing ay nagbigay ng isang kanais-nais na forecast para sa bagong modelo. Ano ang posibilidad na ang isang bagong modelo ng TV ay in demand?
Ang teorama ni Bayes ay maaaring hango sa mga kahulugan ng conditional probability (1) at (2). Upang kalkulahin ang posibilidad na P(B|A), kunin ang formula (2):
at palitan sa halip na P(A at B) ang halaga mula sa formula (3):
P(A at B) = P(A|B) * P(B)
Ang pagpapalit ng formula (5) sa halip na P(A), nakukuha natin ang teorema ng Bayes:
kung saan ang mga kaganapan B 1, B 2, ... B k ay kapwa eksklusibo at kumpleto.
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: kaganapan S - In demand ang TV, kaganapan S’ - Hindi in demand ang TV, kaganapan F - kanais-nais na pagbabala, kaganapan F’ - mahinang pagbabala. Ipagpalagay natin na P(S) = 0.4, P(S’) = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S’) = 0.3. Ang paglalapat ng teorama ng Bayes ay nakukuha natin:
Probability ng demand para sa bagong modelo Ang TV, na napapailalim sa isang paborableng pagbabala, ay 0.64. Kaya, ang posibilidad ng kakulangan ng demand na binigyan ng paborableng pagtataya ay 1–0.64=0.36. Ang proseso ng pagkalkula ay ipinapakita sa Fig. 4.
kanin. 4. (a) Mga kalkulasyon gamit ang formula ng Bayes upang matantya ang posibilidad ng demand para sa mga telebisyon; (b) Decision tree kapag nag-aaral ng demand para sa isang bagong modelo ng TV
Tingnan natin ang isang halimbawa ng paggamit ng Bayes' theorem para sa mga medikal na diagnostic. Ang posibilidad na ang isang tao ay magdusa mula sa isang partikular na sakit ay 0.03. Maaaring suriin ng medikal na pagsusuri kung ito ay totoo. Kung ang isang tao ay tunay na may sakit, ang posibilidad ng isang tumpak na diagnosis (nagsasabi na ang tao ay may sakit kapag siya ay talagang may sakit) ay 0.9. Kung ang isang tao ay malusog, ang posibilidad ng isang maling positibong pagsusuri (nagsasabi na ang isang tao ay may sakit kapag siya ay malusog) ay 0.02. Sabihin nating nagbibigay ng positibong resulta ang medikal na pagsusuri. Ano ang posibilidad na ang isang tao ay talagang may sakit? Ano ang posibilidad ng isang tumpak na diagnosis?
Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: kaganapan D - may sakit ang tao, kaganapan D’ - malusog ang tao, kaganapan T - positibo ang diagnosis, kaganapan T’ - negatibo ang diagnosis. Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na P(D) = 0.03, P(D’) = 0.97, P(T|D) = 0.90, P(T|D’) = 0.02. Sa paglalapat ng formula (6), nakukuha natin ang:
Ang posibilidad na may positibong pagsusuri ang isang tao ay talagang may sakit ay 0.582 (tingnan din ang Fig. 5). Pakitandaan na ang denominator ng formula ng Bayes ay katumbas ng posibilidad ng isang positibong diagnosis, i.e. 0.0464.
Naglo-load...
