Ang konsepto ng isang kaganapan at ang posibilidad ng isang kaganapan. Mga tiyak at imposibleng pangyayari. Ang klasikal na kahulugan ng mga probabilidad. Ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad. Probability Multiplication Theorem. Paglutas ng pinakasimpleng mga problema upang matukoy ang posibilidad gamit ang pagdaragdag ng mga probabilidad.

Mga alituntunin sa paksa 3.1:

Ang konsepto ng isang kaganapan at ang posibilidad ng isang kaganapan. Mga tiyak at imposibleng pangyayari. Klasikong kahulugan ng mga probabilidad:

Ang pag-aaral ng bawat kababalaghan sa pagkakasunud-sunod ng pagmamasid o paggawa ng karanasan ay nauugnay sa pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kondisyon (mga pagsubok). Ang bawat resulta o kinalabasan ng isang pagsubok ay tinatawag kaganapan.

Kung ang isang kaganapan sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon ay maaaring mangyari o hindi mangyari, kung gayon ito ay tinatawag random. Kung sakaling tiyak na maganap ang isang kaganapan, ito ay tinatawag maaasahan, at sa kaso kung kailan tiyak na hindi ito mangyayari, - imposible.

Tinatawag ang mga pangyayari hindi magkatugma kung isa lamang sa kanila ang maaaring lumitaw sa bawat oras. Tinatawag ang mga pangyayari pinagsamang, kung, sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon, ang paglitaw ng isa sa mga kaganapang ito ay hindi humahadlang sa paglitaw ng isa pa sa parehong pagsubok.

Tinatawag ang mga pangyayari kabaligtaran, kung, sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok, sila, bilang ang tanging kinalabasan nito, ay hindi magkatugma.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay isinasaalang-alang bilang isang sukatan ng layunin na posibilidad ng paglitaw ng isang random na kaganapan.

Probability Ang mga kaganapan ay tinatawag na ratio ng bilang ng mga kinalabasan m, pinapaboran ang paglitaw ng kaganapang ito , sa bilang n ng lahat ng kinalabasan (hindi tugma, natatangi at pantay na posible), i.e.

Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay hindi maaaring mas mababa sa zero at mas malaki sa isa, i.e. . Ang isang imposibleng kaganapan ay tumutugma sa isang posibilidad, at isang maaasahang kaganapan ay tumutugma sa isang posibilidad

Halimbawa 1. Sa lottery ng 1000 na tiket, mayroong 200 nanalo. Ang isang tiket ay iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na manalo ang tiket na ito?

Ang kabuuang bilang ng iba't ibang resulta ay n= 1000. Ang bilang ng mga resulta na pumapabor sa pagkapanalo ay m= 200. Ayon sa formula, nakukuha natin ang .

Halimbawa 2. Mula sa isang urn na naglalaman ng 5 puti at 3 itim na bola, isang bola ang kinuha. Hanapin ang posibilidad na ang bola ay itim.

Tukuyin natin ang kaganapang binubuo ng hitsura ng isang itim na bola ni . Ang kabuuang bilang ng mga kaso. Bilang ng mga kaso m, kanais-nais para sa paglitaw ng kaganapan , ay katumbas ng 3. Ayon sa formula, nakukuha namin ang .

Halimbawa 3. Mula sa isang urn na naglalaman ng 12 puti at 8 itim na bola, dalawang bola ang iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na ang parehong bola ay itim?

Tukuyin natin ang kaganapan na binubuo ng hitsura ng dalawang itim na bola bilang . Kabuuang bilang ng mga posibleng kaso n katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 20 elemento (12 + 8) dalawa sa dalawa:

Bilang ng mga kaso m pabor sa kaganapan ay

Gamit ang formula, nakita namin ang posibilidad ng paglitaw ng dalawang itim na bola:

Ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad. Ang solusyon ng pinakasimpleng mga problema upang matukoy ang posibilidad gamit ang probability addition theorem:

Ang karagdagan theorem para sa mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan. Ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa ilang magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan, kahit alin, ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:

Ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng magkasanib na mga kaganapan. Ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa dalawang magkasanib na kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang walang posibilidad ng magkasanib na pangyayari:

Halimbawa 4. 20 bahagi ay random na inilatag sa isang kahon, lima sa mga ito ay pamantayan. Ang manggagawa ay kumukuha ng tatlong bahagi nang random. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isa sa mga bahagi na kinuha ay pamantayan.

Malinaw, hindi bababa sa isa sa mga bahagi na kinuha ay magiging pamantayan kung ang alinman sa tatlong hindi magkatugma na mga kaganapan ay magaganap: B- isang bahagi ay pamantayan, dalawang hindi pamantayan; C- dalawang bahagi ang pamantayan, ang isa ay hindi pamantayan at D- tatlong bahagi ang pamantayan.

Kaya ang kaganapan A ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng tatlong kaganapang ito: A=B+C+D. Sa pamamagitan ng karagdagan teorama, mayroon kami P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Hanapin ang posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito:

Ang pagdaragdag ng mga nahanap na halaga, nakukuha namin

Halimbawa 5. Hanapin ang posibilidad na ang random na piniling dalawang-digit na numero ay magiging multiple ng alinman sa 3 o 5, o pareho sa parehong oras.

Hayaan A- isang kaganapan na binubuo ng katotohanan na ang isang numero na kinuha nang random ay isang multiple ng 3, at B- dahil ito ay isang multiple ng 5. Hanapin natin Since A at B magkasanib na mga kaganapan, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula:

Mayroong 90 dalawang-digit na numero sa kabuuan: 10, 11, 98, 99. Sa mga ito, 30 ay multiple ng 3 (pabor sa simula ng kaganapan A); 18 - multiple ng 5 (pabor sa simula ng kaganapan B) at 6 - mga multiple ng 3 at 5 sa parehong oras (paboran ang simula ng kaganapan AB). Kaya, i.e.

Probability multiplication theorem:

Ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng dalawang independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:

Ang posibilidad ng paglitaw ng ilang mga kaganapan na independiyente sa pinagsama-samang ay kinakalkula ng formula:

Ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga umaasa na kaganapan. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng dalawang umaasa na mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng kondisyon na posibilidad ng pangalawa:

Halimbawa 6. Mayroong 4 na puti at 8 itim na bola sa isang urn, 3 puti at 9 na itim na bola sa isa pa. Isang bola ang kinuha sa bawat urn. Hanapin ang posibilidad na ang parehong mga bola ay puti.

Hayaan ang hitsura ng isang puting bola mula sa unang urn, at maging ang hitsura ng isang puting bola mula sa pangalawang urn. Malinaw, ang mga kaganapan at independyente. Hanapin natin

Ayon sa formula na nakukuha namin:

Mga tanong para sa pagsusuri sa sarili sa paksa 3.1:

1. Ano ang isang kaganapan?

2. Anong mga pangyayari ang tinatawag na maaasahan?

3. Anong mga pangyayari ang tinatawag na imposible?

4. Tukuyin ang posibilidad.

5. Bumuo ng probability addition theorem.

6. Bumuo ng probabilities multiplication theorem.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon sa paksa 3.1:

1. Mayroong 10 bahagi na random na inilagay sa isang kahon, 4 sa mga ito ay pamantayan. Kinuha ng controller ang 3 bahagi nang random. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isa sa mga bahagi na kinuha ay pamantayan.

2. Ang isang urn ay naglalaman ng 10 puti, 15 itim, 20 asul at 25 pulang bola. Hanapin ang posibilidad na ang iginuhit na bola ay magiging: 1) puti; 2) itim o pula.

3. Hanapin ang posibilidad na ang random na napiling dalawang-digit na numero ay magiging multiple ng alinman sa 4 o 5, o pareho sa parehong oras.

4. Ang manggagawa ay nagsisilbi sa dalawang makina na gumagana nang hiwalay sa isa't isa. Ang posibilidad na sa loob ng isang oras ang unang automat ay hindi nangangailangan ng atensyon ng isang manggagawa ay 0.8, at para sa pangalawang automat ang posibilidad na ito ay 0.7. Hanapin ang posibilidad na wala sa automata ang mangangailangan ng atensyon ng manggagawa sa loob ng isang oras.

5. Mayroong 6 na bola sa urn, 3 sa mga ito ay puti. Dalawang bola ang iginuhit nang random nang sunud-sunod. Kalkulahin ang posibilidad na ang parehong mga bola ay puti.

6. Mayroong 10 puti at 6 na itim na bola sa isang urn. Hanapin ang posibilidad na ang tatlong bola na iginuhit nang random na sunud-sunod ay itim.

Ang kabuuan ng lahat ng probabilities ng kaganapan sa sample space ay 1. Halimbawa, kung ang eksperimento ay isang coin toss na may Event A = "heads" at Event B = "tails", ang A at B ay kumakatawan sa buong sample space. Ibig sabihin, P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.

Halimbawa. Sa naunang iminungkahing halimbawa ng pagkalkula ng posibilidad ng pagkuha ng pulang panulat mula sa bulsa ng isang bathrobe (ito ang kaganapan A), kung saan mayroong dalawang asul at isang pulang panulat, P(A) = 1/3 ≈ 0.33, ang ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan - ang pagkuha ng isang asul na panulat - ay magiging

Bago lumipat sa pangunahing theorems, ipinakilala namin ang dalawang mas kumplikadong konsepto - ang kabuuan at ang produkto ng mga kaganapan. Ang mga konseptong ito ay iba sa karaniwang mga konsepto ng kabuuan at produkto sa arithmetic. Ang pagdaragdag at pagpaparami sa teorya ng probabilidad ay mga simbolikong operasyong napapailalim sa ilang mga patakaran at nagpapadali sa lohikal na pagbuo ng mga konklusyong siyentipiko.

kabuuan ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito. Iyon ay, ang kabuuan ng dalawang kaganapan A at B ay tinatawag na kaganapan C, na binubuo sa paglitaw ng alinman sa kaganapan A, o kaganapan B, o mga kaganapan A at B magkasama.

Halimbawa, kung naghihintay ang isang pasahero sa isang hintuan ng tram para sa alinman sa dalawang ruta, ang kaganapang kailangan niya ay ang hitsura ng isang tram ng unang ruta (kaganapan A), o isang tram ng pangalawang ruta (kaganapan B) , o magkasanib na hitsura ng mga tram ng una at pangalawang ruta (kaganapan FROM). Sa language of probability theory, nangangahulugan ito na ang kaganapang D na kinakailangan para sa pasahero ay binubuo sa paglitaw ng alinman sa kaganapan A, o kaganapan B, o kaganapan C, na simbolikong isinulat bilang:

D=A+B+C

Ang produkto ng dalawang kaganapanPERO at AT ay isang pangyayaring binubuo ng magkasanib na paglitaw ng mga pangyayari PERO at AT. Ang produkto ng ilang mga kaganapan ang magkasanib na paglitaw ng lahat ng mga pangyayaring ito ay tinatawag.

Sa halimbawa ng pasahero sa itaas, ang kaganapan MULA SA(pinagsamang hitsura ng mga tram ng dalawang ruta) ay isang produkto ng dalawang kaganapan PERO at AT, na simbolikong isinulat tulad ng sumusunod:

Ipagpalagay na dalawang doktor ang magkahiwalay na sinusuri ang isang pasyente upang matukoy ang isang partikular na sakit. Sa panahon ng inspeksyon, maaaring mangyari ang mga sumusunod na kaganapan:

Ang pagtuklas ng mga sakit ng unang manggagamot ( PERO);

Pagkabigong matukoy ang sakit ng unang doktor ();

Ang pagtuklas ng sakit ng pangalawang doktor ( AT);

Ang hindi pagtuklas ng sakit ng pangalawang doktor ().

Isaalang-alang ang kaganapan na ang sakit ay napansin nang eksaktong isang beses sa panahon ng mga pagsusuri. Maaaring ipatupad ang kaganapang ito sa dalawang paraan:

Ang sakit ay nakita ng unang doktor ( PERO) at hindi mahahanap ang pangalawa ();

Ang mga sakit ay hindi matutukoy ng unang doktor () at matutukoy ng pangalawa ( B).

Tukuyin natin ang kaganapang isinasaalang-alang at isulat ito sa simbolikong paraan:

Isaalang-alang ang kaganapan na ang sakit ay natuklasan sa proseso ng pagsusuri ng dalawang beses (kapwa ng una at pangalawang doktor). Tukuyin natin ang kaganapang ito sa pamamagitan ng at isulat: .

Ang kaganapan, na binubuo sa katotohanan na ang una o ang pangalawang doktor ay hindi nakakakita ng sakit, ay ilalarawan ng at isusulat namin: .

Pangunahing theorems ng probability theory

Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Isulat natin ang addition theorem sa simbolikong paraan:

P(A + B) = P(A) + P(B),

saan R- ang posibilidad ng kaukulang kaganapan (ang kaganapan ay ipinahiwatig sa mga bracket).

Halimbawa . Ang pasyente ay may pagdurugo sa tiyan. Ang sintomas na ito ay naitala sa ulcerative vessel erosion (event A), rupture of esophageal varices (event B), cancer sa tiyan (event C), gastric polyp (event D), hemorrhagic diathesis (event F), obstructive jaundice (event E) at wakasan ang gastritis (kaganapanG).

Ang doktor, batay sa pagsusuri ng istatistikal na data, ay nagtatalaga ng halaga ng posibilidad sa bawat kaganapan:

Sa kabuuan, ang doktor ay mayroong 80 pasyente na may pagdurugo ng tiyan (n= 80), kung saan 12 ay nagkaroon ng ulcerative vessel erosion (), sa6 - pagkalagot ng varicose veins ng esophagus (), 36 ay nagkaroon ng kanser sa tiyan () atbp.

Upang magreseta ng pagsusuri, gustong matukoy ng doktor ang posibilidad na ang pagdurugo ng tiyan ay nauugnay sa sakit sa tiyan (kaganapan I):

Ang posibilidad na ang pagdurugo ng tiyan ay nauugnay sa sakit sa tiyan ay medyo mataas, at maaaring matukoy ng doktor ang mga taktika ng pagsusuri batay sa palagay ng sakit sa tiyan, na nabigyang-katwiran sa isang dami na antas gamit ang teorya ng posibilidad.

Kung isasaalang-alang ang magkasanib na mga kaganapan, ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang walang posibilidad ng magkasanib na pangyayari.

Sa simbolikong paraan, ito ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Kung iisipin natin na ang kaganapan PERO ay binubuo sa pagpindot sa isang target na may kulay na pahalang na mga guhit habang bumaril, at ang kaganapan AT- sa pagpindot sa isang target na may kulay na patayong mga guhit, pagkatapos ay sa kaso ng mga hindi tugmang kaganapan, ayon sa karagdagan theorem, ang posibilidad ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga indibidwal na kaganapan. Kung ang mga kaganapang ito ay magkasanib, kung gayon mayroong ilang posibilidad na tumutugma sa magkasanib na paglitaw ng mga kaganapan PERO at AT. Kung hindi ka magpakilala ng pagwawasto para sa deductible P(AB), ibig sabihin. sa posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng mga kaganapan, kung gayon ang posibilidad na ito ay isasaalang-alang nang dalawang beses, dahil ang lugar na naliliman ng parehong pahalang at patayong mga linya ay isang mahalagang bahagi ng parehong mga target at isasaalang-alang pareho sa una at sa pangalawang summand.

Sa fig. 1 isang geometric na interpretasyon ang ibinigay na malinaw na naglalarawan sa pangyayaring ito. Sa itaas na bahagi ng figure mayroong mga hindi magkakapatong na mga target, na isang analogue ng hindi magkatugma na mga kaganapan, sa ibabang bahagi - intersecting target, na isang analogue ng magkasanib na mga kaganapan (isang shot ay maaaring tumama sa parehong target A at target B nang sabay-sabay. ).

Bago lumipat sa multiplication theorem, kinakailangang isaalang-alang ang mga konsepto ng independiyente at umaasa na mga kaganapan at kondisyon at walang kondisyon na mga probabilidad.

Independent Ang kaganapan B ay isang kaganapan A na ang posibilidad ng paglitaw ay hindi nakasalalay sa paglitaw o hindi paglitaw ng kaganapan B.

adik Ang isang kaganapan B ay isang kaganapan A na ang posibilidad ng paglitaw ay nakasalalay sa paglitaw o hindi paglitaw ng kaganapan B.

Halimbawa . Ang isang urn ay naglalaman ng 3 bola, 2 puti at 1 itim. Kapag pumipili ng bola nang random, ang posibilidad ng pagpili ng puting bola (kaganapan A) ay: P(A) = 2/3, at itim (kaganapan B) P(B) = 1/3. Nakikitungo kami sa isang pamamaraan ng mga kaso, at ang mga probabilidad ng mga kaganapan ay kinakalkula nang mahigpit ayon sa formula. Kapag inulit ang eksperimento, ang mga probabilidad ng paglitaw ng mga kaganapan A at B ay mananatiling hindi nagbabago kung pagkatapos ng bawat pagpipilian ay ibabalik ang bola sa urn. Sa kasong ito, ang mga kaganapan A at B ay independyente. Kung ang bola na pinili sa unang eksperimento ay hindi ibinalik sa urn, ang posibilidad ng kaganapan (A) sa pangalawang eksperimento ay depende sa paglitaw o hindi paglitaw ng kaganapan (B) sa unang eksperimento. Kaya, kung ang kaganapan B ay lumitaw sa unang eksperimento (isang itim na bola ang napili), ang pangalawang eksperimento ay isinasagawa kung mayroong 2 puting bola sa urn at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa pangalawang eksperimento ay: P (A) = 2/2= 1.

Kung sa unang eksperimento ang kaganapan B ay hindi lumitaw (isang puting bola ang napili), ang pangalawang eksperimento ay isinasagawa kung mayroong isang puti at isang itim na bola sa urn at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa pangalawang Ang eksperimento ay: P(A) = 1/2. Malinaw, sa kasong ito, ang mga kaganapan A at B ay malapit na nauugnay at ang mga posibilidad ng kanilang paglitaw ay nakasalalay.

Kondisyon na maaaring mangyari Ang kaganapan A ay ang posibilidad ng paglitaw nito, sa kondisyon na ang kaganapan B ay lumitaw. Ang kondisyong posibilidad ay simbolikong tinutukoy P(A/B).

Kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay naganap PERO ay hindi nakasalalay sa paglitaw ng kaganapan AT, pagkatapos ay ang kondisyon na posibilidad ng kaganapan PERO ay katumbas ng unconditional probability:

Kung ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A ay nakasalalay sa paglitaw ng kaganapan B, kung gayon ang kondisyong posibilidad ay hindi kailanman maaaring maging katumbas ng walang kondisyong posibilidad:

Ang pagsisiwalat ng pag-asa ng iba't ibang mga kaganapan sa kanilang sarili ay may malaking kahalagahan sa paglutas ng mga praktikal na problema. Kaya, halimbawa, isang maling palagay tungkol sa pagsasarili ng paglitaw ng ilang mga sintomas sa pagsusuri ng mga depekto sa puso gamit ang isang probabilistikong pamamaraan na binuo sa Institute of Cardiovascular Surgery. A. N. Bakuleva, sanhi ng humigit-kumulang 50% ng mga maling diagnosis.

Kabanata 3

Pangunahing theorems ng probability theory at mga kahihinatnan mula sa kanila

Pagdaragdag ng teorama para sa hindi pantay na mga probabilidad

mga pangyayari

Sa ikalawang kabanata, ipinakita kung paano matutukoy ng isang tao ang posibilidad ng isang partikular na random na kaganapan sa ilalim ng ilang mga kundisyon. Tulad ng alam mo, na may mga random na kaganapan, maaari kang magsagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, ang pangunahing kung saan ay ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga kaganapan. Ang teorya ng probabilidad ay nagpapahintulot sa paggamit ng mga pangunahing teorema nito upang mahanap ang posibilidad ng kabuuan at produkto ng mga kaganapan, i.e. tukuyin ang alinman sa posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga itinuturing na kaganapan, o ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng mga kaganapang ito.

Ang mga pangunahing theorems ng probability theory ay kinabibilangan ng:

1. Ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad.

2. Teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad.

Isaalang-alang ang probability addition theorem para sa isang partikular na kaso. Magpanggap na tayo PERO at AT hindi magkatugma na mga kaganapan, at ipagpalagay namin na ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito ay kilala o maaaring matagpuan.

Teorama 3.1. Ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e.

Patunay. Hayaan n- ang kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na kaganapan ng pagsusulit, kung saan maaaring lumitaw ang mga kaganapan PERO o AT. Tukuyin sa pamamagitan ng t A at t V bilang ng mga elementarya na kaganapan na paborable sa mga kaganapan PERO at AT ayon sa pagkakabanggit. Mula sa mga pangyayari PERO at AT ay hindi magkatugma, pagkatapos ay ang kabuuan ng mga kaganapang ito PERO + AT pabor t A+ t V mga pangyayari sa elementarya. kaya lang .

Ang teorama ay napatunayan.

Bunga. Ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa ilang magkakapares na hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e.

Patunay Madaling isakatuparan gamit ang paraan ng mathematical induction.

Halimbawa 3.1. Ang isang kahon ay naglalaman ng 8 puti, 5 itim at 10 pulang bola. Isang bola ang random na pinili. Ano ang posibilidad na ang bolang ito ay hindi puti?

Solusyon. Hayaan ang kaganapan PERO- pagpili ng itim na bola, AT– pagpili ng pulang bola. Tapos yung event MULA SA = PERO + AT tinutukoy ang pagpili ng hindi puting bola (itim man o pula).

Ayon sa klasikal na pormula . Sa pamamagitan ng Theorem 3.1 sa wakas ay nakuha natin ang .■

Halimbawa 3.2. Mayroong dalawang bakante sa kompanya, kung saan tatlong lalaki at limang babae ang nag-aplay. Hanapin ang posibilidad na sa mga taong tinanggap ay magkakaroon ng kahit isang tao, kung random na ginawa ang pagpili ng mga aplikante.

Solusyon. Hayaan ang kaganapan MULA SA ay binubuo sa katotohanan na sa mga taong inupahan ay magkakaroon ng kahit isang tao. Malinaw na ang kaganapan MULA SA nangyayari kapag naganap ang isa sa sumusunod na dalawang hindi magkatugmang kaganapan: PERO- dalawang lalaki ang tinanggap; AT- Isang babae at isang lalaki ang tinanggap. Sa ganitong paraan, MULA SA = PERO + AT.

Hanapin natin ang mga probabilidad ng mga pangyayari PERO at AT, gamit ang klasikal na formula, nakukuha namin

at .

Mga Pag-unlad PERO at AT ay hindi pare-pareho, samakatuwid, ang Theorem 3.1 ay maaaring ilapat. Nakukuha namin. ■

Kapag nilulutas ang Halimbawa 3.2, ang tanging posibleng kaganapan na hindi isinasaalang-alang ay ang dalawang babae ay tatanggapin. Tukuyin natin ito ng titik D at hanapin ang posibilidad nito. Ang paglalapat ng klasikal na formula, nakukuha namin

.

Madaling maunawaan na ang mga pangyayari PERO, AT at D bumuo ng isang kumpletong grupo para sa pagsusulit: ang pagpili ng dalawang tao sa walo. Hanapin natin ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga pangyayaring ito: . Ang resulta na nakuha ay maaaring ipakita sa isang pangkalahatang anyo.

Teorama 3.2. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay 1.

Patunay. Hayaan ang mga kaganapan PERO 1 , PERO 2 , …, Isang n bumuo ng isang kumpletong grupo para sa ilang pagsubok. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, bilang isang resulta ng pagsubok na ito, ang isa sa mga kaganapan ay tiyak na mangyayari, i.e. ang kabuuan ng mga pangyayaring ito ay isang tiyak na pangyayari. Ang posibilidad ng isang partikular na kaganapan ay katumbas ng 1. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Alalahanin na, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kumpletong grupo, ito ay binubuo ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan. Pagkatapos, sa pamamagitan ng corollary ng Theorem 3.1, nakuha namin

Ang teorama ay napatunayan.

Bunga. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay 1.

Patunay direktang sumusunod mula sa katotohanan na ang magkasalungat na mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 3.2, ang formula

(3.3)

saan PERO at Ā ay magkasalungat na mga pangyayari.

Ang kahihinatnan ay napatunayan.

Kapag nilulutas ang mga problema, ang binagong formula (3.3) ay mas madalas na ginagamit, ibig sabihin

(3.4)

Halimbawa 3.3. Sa siyam na kandidatong pipiliin para sa tatlong posisyon, lima ang may honors degree. Ang bawat isa ay may parehong pagkakataon na mapili para sa mga posisyong ito. Tukuyin ang posibilidad na sa mga napiling mag-aaral ay magkakaroon ng kahit isa man lang na may honors degree.

Solusyon. Hayaan ang kaganapan PERO nangangahulugan na sa mga napiling kandidato, kahit isa ay may diploma na may karangalan. Malinaw na ang kaganapan Ā kabaligtaran PERO ay binubuo sa katotohanan na ang tatlong napiling tao ay walang honors degree. Hanapin ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan. Upang gawin ito, inilalapat namin ang klasikal na formula, nakukuha namin

.

Gamit ang formula (3.3), makikita natin ang posibilidad ng kaganapan PERO:

. ■

Ang solusyon ng Halimbawa 3.3 ay maaaring makuha sa isa pang mas mahabang paraan. Ito ay madaling maunawaan na ang kaganapan PERO ay ang kabuuan ng mga sumusunod na kaganapan:

PERO 1 – sa mga napili, isang kandidato lamang ang may diploma na may karangalan;

PERO 2 - kabilang sa napiling dalawang kandidato na may diploma na may karangalan;

PERO 3 - kabilang sa napiling tatlong kandidato na may diploma na may karangalan.

Ayon sa klasikal na pormula, nakukuha natin

Malinaw ang mga pangyayari PERO 1 , PERO 2 , PERO 3 ay hindi pare-pareho, kaya ang Theorem 3.3 ay maaaring ilapat. Sa ganitong paraan

Malinaw na ang unang solusyon ay mas simple.

Sa mga theorems at mga halimbawa na isinasaalang-alang sa itaas, ang hindi pagkakapare-pareho ng kaukulang random na mga kaganapan ay ipinapalagay. Naturally, ang isang problema ay maaaring lumitaw kung saan kinakailangan upang mahanap ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga pinagsamang kaganapan. Ang Theorem 3.1 ay hindi mailalapat sa kasong ito. Mayroong mas pangkalahatang anyo ng probability addition theorem, na gumagamit ng konsepto ng probabilidad ng isang produkto ng mga kaganapan.

Teorama ng pagpaparami ng probabilidad ng kaganapan

Hayaang isaalang-alang ang ilang pagsubok, kung saan posible ang paglitaw ng isang random na kaganapan PERO. Kung, bukod sa kondisyon ng pagsubok, walang mga paghihigpit para sa kaganapan PERO ay hindi umiiral, pagkatapos ay ang posibilidad ng isang kaganapan PERO tinawag walang kondisyong posibilidad. Kung ang ilang karagdagang kundisyon ay tinukoy, kung gayon kondisyon na maaaring mangyari kaganapang ito. Kadalasan, ang mga karagdagang kundisyon ay nauugnay sa paglitaw ng isa pang random na kaganapan. Kaya, kapag sinusuri ang isang partikular na kababalaghan, maaaring lumitaw ang tanong: nakakaapekto ba ang posibilidad ng paglitaw ng isang tiyak na kaganapan. PERO paglitaw ng isa pang random na kaganapan AT at kung gayon, paano? Halimbawa, pag-atake AT humahantong sa obligadong pangyayari ng kaganapan PERO o, sa kabaligtaran, hindi kasama ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan PERO, at maaaring baguhin lamang ang halaga ng posibilidad. Ito ay madaling maunawaan na kung ang kaganapan AT ay pabor sa kaganapan PERO, pagkatapos ay kapag nangyari ang kaganapan AT kaganapan PERO laging dumarating, o kung PERO at AT- dalawang kaganapan na hindi tugma sa pagsubok na ito, pagkatapos ay kapag nangyari ang kaganapan AT kaganapan PERO hinding hindi mangyayari. Gayunpaman, ito ang mga tinatawag na extreme cases. Ang pinakamalaking interes arises kapag ang paglitaw ng kaganapan AT kahit papaano ay nagbabago (tumataas o bumababa) ang posibilidad na mangyari ang isang kaganapan PERO nang hindi ito ginagawang maaasahan o imposibleng kaganapan sa ilalim ng mga bagong kundisyon. Ang isang katangian ng gayong impluwensya ng isang kaganapan sa isa pa ay ang kondisyon na posibilidad.

Kondisyon na maaaring mangyari mga pag-unlad PERO sa kondisyon AT tinatawag na probabilidad ng isang pangyayari PERO, kinakalkula sa ilalim ng pagpapalagay na ang kaganapan AT nangyari na.

Katulad nito, maaari nating tukuyin ang kondisyong posibilidad ng isang kaganapan AT, sa kondisyon na ang kaganapan PERO nangyari na.

Halimbawa 3.4. Hayaang mayroong 6 na puti at 8 itim na bola sa urn. Dalawang bola ang random na kinukuha mula sa urn nang sunud-sunod nang hindi ibinabalik ang mga ito. Hanapin ang posibilidad na ang pangalawang bola ay puti kung ang unang bola na iginuhit ay puti din?

Solusyon . Hayaan ang kaganapan PERO ay na ang pangalawang bola ay magiging puti, at ang kaganapan AT na ang unang bola ay puti. Ang gawain ay upang mahanap ang posibilidad ng isang kaganapan PERO, sa kondisyon na ang kaganapan AT nangyari, i.e. hanapin ang . Kung ang kaganapan AT nangyayari, may 13 bola na natitira sa urn, kung saan 5 ay puti. Samakatuwid, ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola sa 13, kung saan 5 ang puti, ay .■

Pansinin natin ang dalawang punto.

Una, para sa kaganapan PERO hindi lamang ang conditional probability nito ang mahahanap, kundi pati na rin ang tinatawag na total probability ng isang event, i.e. ang posibilidad na ang pangalawang bola ay magiging puti kung anumang bola ang unang pipiliin. Ang paghahanap ng ganoong posibilidad ay tatalakayin sa Seksyon 3.4.

Pangalawa, ang kondisyon ng halimbawa ay maaaring mabago upang ang kulay ng unang napiling bola ay hindi makakaapekto sa posibilidad ng kaganapan na maganap. PERO. Ipagpalagay namin na ang mga bola, pagkatapos ayusin ang kanilang kulay, ay ibabalik sa urn. Pagkatapos, malinaw naman, ang posibilidad ng kaganapan PERO ay hindi nakasalalay sa kung anong kulay ang pinili ng unang bola, i.e. mula sa paglitaw (o hindi pangyayari) ng isang kaganapan AT. Sa kasong ito , ibig sabihin. posibilidad ng kaganapan PERO tumutugma sa kondisyon na posibilidad ng kaganapang ito. Ang mga pangyayari mismo PERO at AT ay independyente sa pagsusulit na ito.

Dalawang kaganapan PERO at AT tinawag malaya kung ang posibilidad ng paglitaw ng bawat isa sa kanila ay hindi nakasalalay sa kung may naganap na ibang pangyayari o hindi. Kung hindi, ang mga kaganapan ay tinatawag umaasa.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na para sa mga malayang kaganapan PERO at AT may bisa ang mga formula:

. (3.5)

Kumuha tayo ng formula para sa paghahanap ng conditional probability gamit ang classical definition. Hayaan ang pagsubok n parehong malamang na mga kaganapan sa elementarya. Bilang ng mga kaganapan na pumapabor sa kaganapan PERO, katumbas t A; kaganapan AT – t V; produkto ng mga pangyayari AB – t AB. Ito ay malinaw na at . Simula nung event AT pabor t V kinalabasan, kung saan lamang t A pabor PERO, kung gayon ang kondisyon na posibilidad ay

. Sa wakas, nakuha namin

(3.6)

Kinakailangang bigyang-pansin ang katotohanan na ang denominator sa formula (3.6) ay iba sa zero, dahil sa kondisyon ang kaganapan AT maaaring mangyari, i.e. t V hindi katumbas ng zero.

Sa parehong pagtatalo, makakakuha tayo ng isang formula para sa kondisyon na posibilidad ng isang kaganapan AT: . Pero simula nung event AB walang pinagkaiba sa pangyayari VA at , pagkatapos ay ang kondisyon na posibilidad ng kaganapan AT maaaring matukoy ng formula

(3.7)

Sa pinakakumpleto, gamit ang axiomatic approach, ang mga kurso sa probability theory, ang mga formula (3.6) at (3.7) ay kinuha bilang ang kahulugan ng conditional probability, at ang mga formula (3.5) - para sa kahulugan ng mga independiyenteng kaganapan.

Ang mga formula (3.6) at (3.7) ay direktang nagpapahiwatig ng sumusunod na probability multiplication theorem.

Teorama 3.2. Ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng dalawang random na kaganapan ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isang kaganapan sa pamamagitan ng kondisyon na posibilidad ng isa pa, na kinakalkula sa palagay na ang unang kaganapan ay naganap na, i.e.

(3.8)

Bunga. Ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng ilang mga random na kaganapan ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isang kaganapan at ang kondisyon na posibilidad ng lahat ng iba pa, habang ang posibilidad ng bawat kasunod na kaganapan ay kinakalkula sa pag-aakalang lahat ng nakaraang kaganapan ay naganap na, i.e.

Halimbawa 3.5. Mayroong 20 tiket sa lottery, kung saan 5 ang nanalo. Random na pumili ng 3 tiket nang sunud-sunod nang walang kapalit. Tukuyin ang posibilidad na ang una, pangalawa at pangatlong tiket ay mananalo.

Solusyon. Hayaan ang kaganapan PERO ay ang nanalong tiket ay pipiliin muna, ang kaganapan AT- na ang pangalawang tiket ay mananalo at, sa wakas, MULA SA- nanalo ang pangatlong tiket. Obvious naman yun .

May kondisyong posibilidad ng isang kaganapan AT sa kondisyon na ang kaganapan PERO nangyari, i.e. isang nanalong tiket ang napili mula sa lottery, katumbas ng (kabuuang mga tiket natitira 19, kung saan 4 ang nanalo).

May kondisyong posibilidad ng isang kaganapan MULA SA sa kondisyon na ang mga pangyayari PERO at AT nangyari, i.e. dalawang nanalong tiket ang napili, katumbas ng .

Sa pamamagitan ng corollary sa Theorem 3.2, ang posibilidad ng isang produkto ay

Dapat pansinin na ang Problema 3.5 ay maaaring malutas gamit ang klasikal na formula at combinatorics formula:

.

Ang Theorem 3.2 ay totoo para sa anumang random na mga kaganapan PERO at AT. Sa espesyal na kaso kapag ang mga kaganapan PERO at AT ay independyente, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay.

Teorama 3.3 . Ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan PERO at AT ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e.

Patunay. Mga Pag-unlad PERO at AT- malaya. Sa pamamagitan ng Theorem 3.2, isinasaalang-alang ang formula (3.5), nakuha namin

Ang teorama ay napatunayan.

Kaya, sinasabi ng Theorem 3.3 na ang posibilidad ng isang produkto ng mga independiyenteng kaganapan ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (3.9). Totoo rin ang kabaligtaran.

Teorama 3.4. Kung totoo ang formula (3.9) para sa dalawang kaganapan, ang mga kaganapang ito ay independyente.

Ipakita natin, nang walang patunay, ang ilang mahahalagang katangian na wasto para sa mga independiyenteng kaganapan.

1. Kung ang pangyayari AT hindi nakadepende sa PERO, pagkatapos ay ang kaganapan PERO hindi nakadepende sa AT.

2. Kung ang mga pangyayari PERO at AT ay independiyente, pagkatapos ang mga kaganapan ay independiyente rin PERO at .

3. Kung ang dalawang pangyayari ay independyente, ang magkasalungat na pangyayari ay independiyente rin.

Ang Theorem 3.3 ay maaaring gawing pangkalahatan sa isang tiyak na bilang ng mga kaganapan. Gayunpaman, bago gawin ito, kinakailangan na tumira nang mas detalyado sa konsepto ng pagsasarili ng tatlo o higit pang mga kaganapan.

Para sa isang pangkat na binubuo ng tatlo o higit pang mga kaganapan, mayroong konsepto ng pairwise independence at independence sa pinagsama-samang.

Mga Pag-unlad PERO 1 , PERO 2 , …, Isang n tinawag pairwise independent kung ang alinman sa dalawa sa mga kaganapang ito ay independyente.

Mga Pag-unlad PERO 1 , PERO 2 , …, Isang n tinawag sama-samang independyente ( o simple lang malaya) kung sila ay magkapares na independyente at ang bawat kaganapan at lahat ng posibleng produkto ng lahat ng iba ay independyente.

Halimbawa, tatlong kaganapan PERO 1 , PERO 2 , PERO 3 ay magkahiwalay kung ang mga sumusunod na kaganapan ay independyente:

PERO 1 at PERO 2 , PERO 1 at PERO 3 , PERO 2 at PERO 3 ,

PERO 1 at PERO 2 PERO 3 , PERO 2 at PERO 1 PERO 3 , PERO 3 at PERO 1 PERO 2 .

Teorama 3.5 . Kung mga pangyayari PERO 1 , PERO 2 , …, Isang n ay independyente sa pinagsama-samang, pagkatapos ay ang posibilidad ng kanilang sabay-sabay na paglitaw ay kinakalkula ng formula:

Patunay. Ipakita natin na tama ang formula para sa tatlong kaganapan. Kung mayroong higit sa tatlong mga kaganapan, kung gayon ang bisa ng pormula ay pinatunayan ng pamamaraan ng induction ng matematika.

Kaya ipakita natin iyan. Sa pamamagitan ng kondisyon ng teorama ng kaganapan PERO 1 , PERO 2 , PERO 3 ay sama-samang independyente. Samakatuwid, ang dalawang kaganapan ay independyente, halimbawa PERO 1 PERO 2 at PERO 3 . Ayon sa formula (3.9), nakukuha namin ang . Sa pamamagitan ng kondisyon ng kaganapan PERO 1 at PERO 2 ay nagsasarili rin. Ang paglalapat ng formula (3.9) sa unang salik, sa wakas ay makukuha natin .

Ang teorama ay napatunayan.

Dapat pansinin na kung ang mga kaganapan ay magkapares na independyente, kung gayon hindi ito sumusunod mula dito na sila ay magiging independyente sa kabuuan. At, sa kabaligtaran, kung ang mga kaganapan ay independyente sa pinagsama-samang, kung gayon sila, malinaw naman, sa kahulugan, ay magiging magkapares na independyente.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng mga kaganapan na independiyenteng magkapares, ngunit nakasalalay sa pinagsama-samang.

Halimbawa 3.6. Ipagpalagay na mayroong 4 na magkakaparehong card sa kahon na may mga numerong nakasulat sa mga ito:

Random na pumili ng isang card. Kaganapan PERO nangangahulugan na pumili ka ng card na may numero 1 dito, isang kaganapan AT Ipinapalagay na ang napiling card ay may numero 2, ang kaganapan MULA SA- numero 3. Alamin kung ang mga kaganapan ay PERO, AT at MULA SA independyente o sama-samang independyente.

Solusyon. Ang posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapan PERO, AT at MULA SA ay matatagpuan sa pamamagitan ng klasikal na formula (may kabuuang 4 na card, dalawa sa kanila ang may mga numerong 1, 2, 3, ayon sa pagkakabanggit): .

Ipakita natin na ang mga pangyayari PERO, AT at MULA SA ay pairwise independent. Pumili tayo ng alinmang dalawang kaganapan, halimbawa, PERO at AT. Ang posibilidad ng kanilang produkto, dahil ang sabay-sabay na hitsura ng mga numero 1 at 2 ay maaari lamang sa isang card sa apat.

Kaya, ang pagkakapantay-pantay . Sa pamamagitan ng Theorem 3.4, ang mga kaganapan PERO at AT malaya. Katulad nito, maipapakita ng isa ang pagsasarili ng mga kaganapan AT at MULA SA, pati na rin ang mga kaganapan PERO at MULA SA. Pairwise independence is proved.

Ipakita natin na ang mga kaganapang ito ay hindi independyente sa kabuuan. Ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng lahat ng tatlong mga kaganapan, i.e. ang hitsura ng lahat ng tatlong numero ay katumbas ng , dahil isang card lamang sa apat ang may lahat ng tatlong numero. Ang produkto ng mga probabilidad ng mga pangyayari ay . Sa ganitong paraan, , samakatuwid, walang kalayaan sa pinagsama-samang. ■

Mula sa theorem ng multiplication of probabilities at theorem of addition of probabilities of incompatible events direktang sumusunod sa theorem of addition of probabilities of joint events.

Institusyong Pang-edukasyon "Estado ng Belarus

akademya ng agrikultura"

Kagawaran ng Mas Mataas na Matematika

ADDITION AT MULTIPLICATION OF PROBABILITIES. PAULIT-ULIT NA MGA INDEPENDENTENG PAGSUSULIT

Lecture para sa mga mag-aaral ng Faculty of Land Management

pag-aaral ng distansya

Gorki, 2012

Pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad. Paulit-ulit

mga independiyenteng pagsusulit

1. Pagdaragdag ng mga probabilidad

Ang kabuuan ng dalawang magkasanib na kaganapan PERO at AT tinatawag na isang kaganapan MULA SA, na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapan PERO o AT. Katulad nito, ang kabuuan ng ilang magkasanib na mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito.

Ang kabuuan ng dalawang magkahiwalay na pangyayari PERO at AT tinatawag na isang kaganapan MULA SA, na binubuo ng pangyayari o pangyayari PERO, o mga kaganapan AT. Katulad nito, ang kabuuan ng ilang hindi magkatugma na mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa paglitaw ng alinman sa mga kaganapang ito.

Ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan ay wasto: ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito , ibig sabihin. . Ang theorem na ito ay maaaring palawigin sa anumang may hangganang bilang ng mga hindi tugmang kaganapan.

Mula sa teorama na ito ay sumusunod:

ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong grupo ay katumbas ng isa;

ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas ng isa, i.e.
.

Halimbawa 1 . Ang isang kahon ay naglalaman ng 2 puti, 3 pula at 5 asul na bola. Ang mga bola ay binabalasa at ang isa ay iginuhit nang random. Ano ang posibilidad na ang bola ay may kulay?

Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(natanggal ang kulay ng bola);

B=( iginuhit na puting bola);

C=( iginuhit na pulang bola);

D=(natanggal ang asul na bola).

Pagkatapos A= C+ D. Mula sa mga pangyayari C, D ay hindi magkatugma, pagkatapos ay ginagamit namin ang theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan: .

Halimbawa 2 . Ang isang urn ay naglalaman ng 4 na puting bola at 6 na itim na bola. 3 bola ay iginuhit nang random mula sa urn. Ano ang posibilidad na pareho silang lahat ng kulay?

Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A\u003d (ang mga bola ng parehong kulay ay inalis);

B\u003d (inilabas ang mga puting bola);

C= (inilabas ang mga itim na bola).

kasi A= B+ C at mga pangyayari AT at MULA SA ay hindi magkatugma, pagkatapos ay sa pamamagitan ng theorem ng pagdaragdag ng mga probabilities ng hindi magkatugma na mga kaganapan
. Probability ng Kaganapan AT ay katumbas ng
, saan
4,

. Kapalit k at n sa formula at kumuha
Katulad nito, nakikita natin ang posibilidad ng isang kaganapan MULA SA:
, saan
,
, ibig sabihin.
. Pagkatapos
.

Halimbawa 3 . Mula sa isang deck ng 36 na baraha, 4 na baraha ang iginuhit nang random. Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng hindi bababa sa tatlong ace sa kanila.

Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A\u003d (kabilang sa mga iginuhit na card mayroong hindi bababa sa tatlong aces);

B\u003d (kabilang sa mga iginuhit na card mayroong tatlong aces);

C= (sa mga iginuhit na card ay may apat na aces).

kasi A= B+ C, at ang mga pangyayari AT at MULA SA hindi pare-pareho, kung gayon
. Hanapin natin ang mga probabilidad ng mga pangyayari AT at MULA SA:

,
. Samakatuwid, ang posibilidad na sa mga iginuhit na card ay may hindi bababa sa tatlong aces ay katumbas ng

0.0022.

1. Pagpaparami ng posibilidad

trabaho dalawang pangyayari PERO at AT tinatawag na isang kaganapan MULA SA, na binubuo ng magkasanib na paglitaw ng mga kaganapang ito:
. Ang kahulugang ito ay umaabot sa anumang may hangganang bilang ng mga kaganapan.

Tinatawag ang dalawang pangyayari malaya kung ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi nakasalalay sa kung ang iba pang kaganapan ay naganap o hindi. Mga Pag-unlad , , … , tinawag sama-samang independyente , kung ang posibilidad ng paglitaw ng bawat isa sa kanila ay hindi nakasalalay sa kung ang iba pang mga kaganapan ay naganap o hindi naganap.

Halimbawa 4 . Dalawang arrow ang bumaril sa isang target. Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(natamaan ng unang tagabaril ang target);

B= (natamaan ng pangalawang tagabaril ang target).

Malinaw, ang posibilidad na matamaan ang target ng unang tagabaril ay hindi nakasalalay sa kung ang pangalawang tagabaril ay tumama o hindi nakuha, at vice versa. Samakatuwid, ang mga kaganapan PERO at AT malaya.

Ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay wasto: ang posibilidad ng produkto ng dalawang malayang kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito : .

Ang teorama na ito ay wasto din para sa n mga kaganapang nagsasarili sa pinagsama-samang: .

Halimbawa 5 . Dalawang shooters ang bumaril sa parehong target. Ang posibilidad na matamaan ang unang tagabaril ay 0.9, at ang pangalawa ay 0.7. Magkasabay na nagpaputok ng isang putok ang dalawang bumaril. Tukuyin ang posibilidad na magkakaroon ng dalawang hit sa target.

Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A

B

C=(Ang parehong mga arrow ay tatama sa target).

kasi
, at ang mga pangyayari PERO at AT independyente, kung gayon
, ibig sabihin. .

Mga Pag-unlad PERO at AT tinawag umaasa kung ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa mga ito ay depende sa kung ang iba pang kaganapan ay naganap o hindi. Probability ng isang kaganapan PERO sa kondisyon na ang kaganapan AT nandito na, tinatawag na kondisyon na maaaring mangyari at ipinapahiwatig
o
.

Halimbawa 6 . Ang isang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 7 itim na bola. Kinukuha ang mga bola mula sa urn. Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(natanggal ang puting bola);

B=(tinanggal ang itim na bola).

Bago ka magsimulang gumuhit ng mga bola mula sa urn
. Isang bola ang nakuha mula sa urn at ito ay naging itim. Tapos yung probability ng event PERO pagkatapos ng kaganapan AT ay magiging iba, pantay . Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng isang kaganapan PERO nakadepende sa kaganapan AT, ibig sabihin. ang mga kaganapang ito ay nakasalalay.

Ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga umaasang kaganapan ay wasto: ang posibilidad ng produkto ng dalawang umaasa na mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng kondisyon na posibilidad ng isa pa, na kinakalkula sa palagay na ang unang kaganapan ay naganap na., ibig sabihin. o .

Halimbawa 7 . Ang isang urn ay naglalaman ng 4 na puting bola at 8 pulang bola. Dalawang bola ang kinukuha ng random mula dito. Hanapin ang posibilidad na ang parehong mga bola ay itim.

Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(itim na bola ang unang iginuhit);

B=(Isang itim na bola ang iguguhit pangalawa).

Mga Pag-unlad PERO at AT umaasa kasi
, a
. Pagkatapos
.

Halimbawa 8 . Tatlong arrow ang pumutok sa target nang nakapag-iisa sa isa't isa. Ang posibilidad na matamaan ang target para sa unang tagabaril ay 0.5, para sa pangalawa - 0.6 at para sa pangatlo - 0.8. Hanapin ang posibilidad na dalawang hit ang magaganap kung ang bawat shooter ay magpapaputok ng isang shot.

Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(magkakaroon ng dalawang hit sa target);

B=(natamaan ng unang tagabaril ang target);

C=(Ang pangalawang tagabaril ay tatama sa target);

D=(Ang ikatlong tagabaril ay tatama sa target);

=(hindi tatama sa target ang unang bumaril);

=(hindi tatama sa target ang pangalawang tagabaril);

=(hindi tatama sa target ang pangatlong tagabaril).

Ayon sa halimbawa
,
,
,

,
,
. Dahil , pagkatapos ay ginagamit ang addition theorem para sa mga probabilities ng hindi magkatugma na mga kaganapan at ang theorem para sa pagpaparami ng mga probabilities ng mga independiyenteng kaganapan, nakukuha natin ang:

Hayaan ang mga kaganapan
bumuo ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan ng ilang pagsubok, at ang mga kaganapan PERO maaari lamang mangyari sa isa sa mga kaganapang ito. Kung alam ang mga probabilities at conditional probabilities ng isang event PERO, kung gayon ang posibilidad ng kaganapan A ay kinakalkula ng formula:

O kaya
. Ang formula na ito ay tinatawag na kabuuang pormula ng posibilidad , at ang mga pangyayari
mga hypotheses .

Halimbawa 9 . Ang linya ng pagpupulong ay tumatanggap ng 700 bahagi mula sa unang makina at 300 bahagi mula sa pangalawa. Ang unang makina ay nagbibigay ng 0.5% na pagtanggi, at ang pangalawa - 0.7%. Hanapin ang posibilidad na ang item na kinuha ay may depekto.

Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(Ang item na kinuha ay may depekto);

= (ang bahagi ay ginawa sa unang makina);

= (ang bahagi ay ginawa sa pangalawang makina).

Ang posibilidad na ang bahagi ay ginawa sa unang makina ay
. Para sa pangalawang makina
. Sa pamamagitan ng kondisyon, ang posibilidad na makakuha ng isang may sira na bahagi na ginawa sa unang makina ay katumbas ng
. Para sa pangalawang makina, ang posibilidad na ito ay katumbas ng
. Kung gayon ang posibilidad na ang bahaging kinuha ay may depekto ay kinakalkula ng kabuuang pormula ng posibilidad

Kung ang isang kaganapan ay kilala na naganap bilang isang resulta ng isang pagsubok PERO, pagkatapos ay ang posibilidad na nangyari ang kaganapang ito kasama ng hypothesis
, ay katumbas ng
, saan
- kabuuang posibilidad ng kaganapan PERO. Ang formula na ito ay tinatawag na Formula ng Bayes at nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang mga probabilidad ng mga kaganapan
matapos malaman na ang kaganapan PERO dumating na.

Halimbawa 10 . Ang mga bahagi ng parehong uri para sa mga kotse ay ginawa sa dalawang pabrika at pumunta sa tindahan. Ang unang halaman ay gumagawa ng 80% ng kabuuang bilang ng mga bahagi, at ang pangalawa - 20%. Ang produksyon ng unang halaman ay naglalaman ng 90% ng mga karaniwang bahagi, at ang pangalawa - 95%. Bumili ng isang bahagi ang bumibili at ito ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay ginawa sa pangalawang pabrika.

Solusyon . Tukuyin natin ang mga pangyayari:

A=(bumili ng karaniwang bahagi);

= (ang bahagi ay ginawa sa unang pabrika);

= (Ang bahagi ay ginawa sa pangalawang pabrika).

Ayon sa halimbawa
,
,
at
. Kalkulahin ang kabuuang posibilidad ng isang kaganapan PERO: 0.91. Ang posibilidad na ang bahagi ay ginawa sa pangalawang planta ay kinakalkula gamit ang formula ng Bayes:

.

Mga gawain para sa malayang gawain

Ang posibilidad na matamaan ang target para sa unang tagabaril ay 0.8, para sa pangalawa - 0.7 at para sa pangatlo - 0.9. Nagpaputok ng isang putok ang mga bumaril. Hanapin ang posibilidad na mayroong hindi bababa sa dalawang hit sa target.

Nakatanggap ang repair shop ng 15 traktora. Ito ay kilala na 6 sa kanila ay kailangang palitan ang makina, at ang natitira - upang palitan ang mga indibidwal na bahagi. Tatlong traktor ang random na pinili. Hanapin ang posibilidad na hindi hihigit sa dalawang napiling traktora ang nangangailangan ng pagpapalit ng makina.

Ang planta ng kongkreto ay gumagawa ng mga panel, 80% nito ay may pinakamataas na kalidad. Hanapin ang posibilidad na sa tatlong random na napiling mga panel, hindi bababa sa dalawa ang magiging pinakamataas na grado.

Tatlong manggagawa ang nag-assemble ng mga bearings. Ang posibilidad na ang tindig na binuo ng unang manggagawa ay may pinakamataas na kalidad ay 0.7, ang pangalawa - 0.8, at ang pangatlo - 0.6. Para sa kontrol, ang isang tindig ay kinuha nang random mula sa mga binuo ng bawat manggagawa. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa dalawa sa kanila ang may pinakamataas na kalidad.

Ang posibilidad na manalo sa isang tiket sa lottery ng unang isyu ay 0.2, ang pangalawa - 0.3 at ang pangatlo - 0.25. Mayroong isang tiket para sa bawat isyu. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa dalawang tiket ang manalo.

Ang accountant ay nagsasagawa ng mga kalkulasyon gamit ang tatlong reference na libro. Ang posibilidad na ang data ng interes sa kanya ay nasa unang direktoryo ay 0.6, sa pangalawa - 0.7, at sa pangatlo - 0.8. Hanapin ang posibilidad na ang data ng interes sa accountant ay nakapaloob sa hindi hihigit sa dalawang direktoryo.

Tatlong makina ang gumagawa ng mga bahagi. Ang unang automat ay gumagawa ng isang bahagi ng pinakamataas na kalidad na may posibilidad na 0.9, ang pangalawa ay may posibilidad na 0.7, at ang pangatlo ay may posibilidad na 0.6. Isang item ang kinuha nang random mula sa bawat makina. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa dalawa sa kanila ang may pinakamataas na kalidad.

Ang parehong uri ng mga bahagi ay pinoproseso sa dalawang makina. Ang posibilidad ng paggawa ng isang hindi karaniwang bahagi para sa unang makina ay 0.03, para sa pangalawa - 0.02. Ang mga naprosesong bahagi ay nakasalansan sa isang lugar. Kabilang sa mga ito, 67% ay mula sa unang makina, at ang natitira ay mula sa pangalawa. Ang isang random na kinuhang bahagi ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ito ay ginawa sa unang makina.

Nakatanggap ang workshop ng dalawang kahon ng parehong uri ng mga capacitor. Ang unang kahon ay naglalaman ng 20 capacitor, kung saan 2 ay may depekto. Sa pangalawang kahon mayroong 10 capacitor, kung saan 3 ay may sira. Ang mga capacitor ay inilipat sa isang kahon. Hanapin ang posibilidad na ang isang kapasitor na kinuha nang random mula sa kahon ay mabuti.

Sa tatlong makina, ang parehong uri ng mga bahagi ay ginawa, na pinapakain sa isang karaniwang conveyor. Sa lahat ng detalye, 20% mula sa unang makina, 30% mula sa pangalawa at 505 mula sa pangatlo. Ang posibilidad ng paggawa ng isang karaniwang bahagi sa unang makina ay 0.8, sa pangalawa - 0.6 at sa pangatlo - 0.7. Ang bahaging kinuha ay pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay ginawa sa ikatlong makina.

Ang picker ay tumatanggap ng 40% ng mga bahagi mula sa pabrika para sa pagpupulong PERO, at ang iba pa - mula sa pabrika AT. Ang posibilidad na ang bahagi mula sa pabrika PERO- ang pinakamataas na kalidad, katumbas ng 0.8, at mula sa pabrika AT– 0.9. Ang picker ay random na kumuha ng isang bahagi at ito ay hindi sa pinakamataas na kalidad. Hanapin ang posibilidad na ang bahaging ito ay mula sa pabrika AT.

10 mag-aaral mula sa unang pangkat at 8 mag-aaral mula sa pangalawa ang napiling lumahok sa mga paligsahan sa palakasan ng mga mag-aaral. Ang posibilidad na ang isang mag-aaral mula sa unang pangkat ay makapasok sa pambansang koponan ng akademya ay 0.8, at mula sa pangalawa - 0.7. Isang random na napiling mag-aaral ang napili para sa pambansang koponan. Hanapin ang posibilidad na siya ay mula sa unang pangkat.

Pagdaragdag ng teorama

Isaalang-alang ang hindi magkatugma na mga random na kaganapan.

Alam na ang mga hindi tugmang random na kaganapan na $A$ at $B$ sa parehong pagsubok ay may mga probabilidad na $P\left(A\right)$ at $P\left(B\right)$ ayon sa pagkakabanggit. Hanapin natin ang posibilidad ng kabuuan na $A+B$ ng mga kaganapang ito, ibig sabihin, ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito.

Ipagpalagay na sa pagsusulit na ito ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na kaganapan ay $n$. Sa mga ito, ang mga event na $A$ at $B$ ay pinapaboran ng $m_(A)$ at $m_(B)$ elementary event, ayon sa pagkakabanggit. Dahil ang mga event na $A$ at $B$ ay hindi magkatugma, ang event na $A+B$ ay pinapaboran ng $m_(A) +m_(B)$ elementary event. Mayroon kaming $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\kaliwa(A\kanan)+P\kaliwa(B\kanan)$.

Teorama 1

Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad.

Tandaan 1

Bunga 1. Ang posibilidad ng kabuuan ng anumang bilang ng mga hindi tugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Bunga 2. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan (ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng elementarya na kaganapan) ay katumbas ng isa.

Bunga 3. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas ng isa, dahil sila ay bumubuo ng isang kumpletong grupo ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan.

Halimbawa 1

Ang posibilidad na hindi uulan sa lungsod sa loob ng ilang panahon ay $p=0.7$. Hanapin ang posibilidad na $q$ na sa parehong oras ay uulan sa lungsod kahit isang beses.

Ang mga kaganapan na "sa loob ng ilang panahon ay hindi umulan sa lungsod" at "sa loob ng ilang panahon ay umulan sa lungsod kahit isang beses" ay kabaligtaran. Samakatuwid $p+q=1$, kung saan $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Isaalang-alang ang magkasanib na random na mga kaganapan.

Alam na ang magkasanib na mga random na kaganapan na $A$ at $B$ sa parehong pagsubok ay may mga probabilidad na $P\left(A\right)$ at $P\left(B\right)$ ayon sa pagkakabanggit. Hanapin natin ang posibilidad ng kabuuan na $A+B$ ng mga kaganapang ito, ibig sabihin, ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito.

Ipagpalagay na sa pagsusulit na ito ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na kaganapan ay $n$. Sa mga ito, ang mga event na $A$ at $B$ ay pinapaboran ng $m_(A)$ at $m_(B)$ elementary event, ayon sa pagkakabanggit. Dahil ang mga kaganapang $A$ at $B$ ay magkasanib, kung gayon mula sa kabuuang bilang ng $m_(A) +m_(B) $ elementarya na mga kaganapan, ang isang tiyak na bilang na $m_(AB) $ ay pinapaboran ang parehong kaganapan na $A$ at ang kaganapang $B$, iyon ay, ang kanilang magkasanib na pangyayari (ang produkto ng mga kaganapang $A\cdot B$). Ang dami na ito na $m_(AB)$ ay pumasok sa parehong $m_(A)$ at $m_(B)$. Kaya ang event na $A+B$ ay pinapaboran ng $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ mga pangyayari sa elementarya. Mayroon kaming: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\kaliwa(A\kanan)+P\kaliwa(B\kanan)-P\kaliwa(A\cdot B\ tama)$.

Teorama 2

Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang magkasanib na kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito na binawasan ang posibilidad ng kanilang produkto.

Magkomento. Kung ang mga kaganapang $A$ at $B$ ay hindi magkatugma, ang kanilang produkto na $A\cdot B$ ay isang imposibleng kaganapan na ang posibilidad ay $P\left(A\cdot B\right)=0$. Samakatuwid, ang formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay isang espesyal na kaso ng formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng magkasanib na mga kaganapan.

Halimbawa 2

Hanapin ang posibilidad na kapag ang dalawang dice ay itinapon sa parehong oras, ang numero 5 ay lalabas kahit isang beses.

Kapag naghahagis ng dalawang dice sa parehong oras, ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementary na kaganapan ay katumbas ng $n=36$, dahil ang anim na digit ng pangalawang die ay maaaring mahulog sa bawat digit ng unang dice. Sa mga ito, ang kaganapang $A$ - ang numerong 5 na iginulong sa unang kamatayan - ay nangyayari nang 6 na beses, ang kaganapang $B$ - ang bilang 5 na iginulong sa pangalawang die - ay nagaganap din ng 6 na beses. Sa lahat ng labindalawang beses, ang numero 5 ay lilitaw nang isang beses sa parehong dice. Kaya $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Probability multiplication theorem

Isaalang-alang ang mga independiyenteng kaganapan.

Ang mga kaganapang $A$ at $B$ na nangyari sa dalawang magkasunod na pagsubok ay tinatawag na independiyente kung ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang $B$ ay hindi nakasalalay sa kung ang kaganapang $A$ ay naganap o hindi naganap.

Halimbawa, ipagpalagay na mayroong 2 puti at 2 itim na bola sa isang urn. Ang pagsubok ay upang kunin ang bola. Ang kaganapang $A$ ay "isang puting bola ang iginuhit sa unang pagsubok". Probability $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Pagkatapos ng unang pagsubok, ibinalik ang bola at isinagawa ang pangalawang pagsubok. Kaganapang $B$ -- `` iginuhit na puting bola sa ikalawang pagsubok''. Probability $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Ang posibilidad na $P\left(B\right)$ ay hindi nakasalalay sa kung ang kaganapang $A$ ay naganap o hindi, kaya ang mga kaganapan na $A$ at $B$ ay independyente.

Alam na ang mga independiyenteng random na kaganapan na $A$ at $B$ ng dalawang magkasunod na pagsubok ay may mga probabilidad na $P\left(A\right)$ at $P\left(B\right)$ ayon sa pagkakabanggit. Hanapin natin ang posibilidad ng produktong $A\cdot B$ ng mga kaganapang ito, iyon ay, ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng mga ito.

Ipagpalagay na sa unang pagsubok ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na kaganapan ay $n_(1) $. Sa mga ito, ang $A$ ay pinapaboran ng $m_(1)$ elementarya na mga kaganapan. Ipagpalagay din natin na sa ikalawang pagsubok ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng elementarya na kaganapan ay $n_(2) $. Sa mga ito, ang kaganapang $B$ ay pinapaboran ng $m_(2)$ elementarya na mga kaganapan. Ngayon isaalang-alang ang isang bagong elementarya na kaganapan, na binubuo sa sunud-sunod na paglitaw ng mga kaganapan mula sa una at pangalawang pagsubok. Ang kabuuang bilang ng mga naturang pantay na posibleng pangyayari sa elementarya ay katumbas ng $n_(1) \cdot n_(2) $. Dahil ang mga kaganapang $A$ at $B$ ay independiyente, mula sa bilang na ito ang magkasanib na paglitaw ng kaganapang $A$ at ang kaganapang $B$ (ang mga produkto ng mga kaganapang $A\cdot B$) ay pinapaboran ng $m_( 1) \cdot m_(2) $ kaganapan . Mayroon kaming: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\kaliwa(A\kanan)\cdot P\kaliwa(B\kanan)$.

Teorama 3

Ang posibilidad ng produkto ng dalawang independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Isaalang-alang ang mga nakadependeng kaganapan.

Sa dalawang magkasunod na pagsubok, nangyari ang mga kaganapang $A$ at $B$. Ang isang kaganapang $B$ ay sinasabing nakadepende sa kaganapang $A$ kung ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang $B$ ay nakasalalay sa kung ang kaganapang $A$ ay naganap o hindi. Pagkatapos, ang probabilidad ng kaganapang $B$, na kinakalkula sa ilalim ng kundisyong naganap ang kaganapang $A$, ay tinatawag na conditional probability ng kaganapang $B$ sa ilalim ng kundisyon na $A$ at tinutukoy ng $P\left (B/A\kanan)$.

Halimbawa, ipagpalagay na mayroong 2 puti at 2 itim na bola sa isang urn. Ang pagsubok ay ang pagkuha ng bola. Ang kaganapang $A$ ay "isang puting bola ang iginuhit sa unang pagsubok". Probability $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Pagkatapos ng unang pagsubok, ang bola ay hindi ibabalik at ang pangalawang pagsubok ay isinasagawa. Kaganapang $B$ -- `` iginuhit na puting bola sa ikalawang pagsubok''. Kung ang isang puting bola ay nakuha sa unang pagsubok, ang posibilidad ay $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Kung ang isang itim na bola ay nakuha sa unang pagsubok, ang posibilidad ay $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Kaya, ang posibilidad ng kaganapang $B$ ay nakasalalay sa kung ang kaganapang $A$ ay naganap o hindi, samakatuwid, ang kaganapang $B$ ay nakasalalay sa kaganapang $A$.

Ipagpalagay na ang mga kaganapang $A$ at $B$ ay nangyari sa dalawang magkasunod na pagsubok. Alam na ang kaganapang $A$ ay may posibilidad na mangyari $P\left(A\right)$. Alam din na ang event na $B$ ay nakadepende sa event na $A$ at ang conditional probability nito sa ilalim ng condition na $A$ ay katumbas ng $P\left(B/A\right)$.

Teorama 4

Ang posibilidad ng produkto ng kaganapang $A$ at ang kaganapang $B$ ay nakasalalay dito, iyon ay, ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng mga ito, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula na $P\left(A\cdot B\right)= P\kaliwa(A\kanan)\cdot P\kaliwa(B/A\kanan)$.

Ang simetriko formula na $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ ay valid din, kung saan ang kaganapang $A$ ay ipinapalagay na nakadepende sa kaganapang $ B$.

Para sa mga kondisyon ng huling halimbawa, nakita namin ang posibilidad na ang puting bola ay iguguhit sa parehong mga pagsubok. Ang nasabing kaganapan ay produkto ng mga kaganapang $A$ at $B$. Ang posibilidad nito ay $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.