4.1. MGA RECTANGULAR COORDINATES
Sa topograpiya, ang mga rectangular na coordinate ay pinaka-malawakang ginagamit. Kumuha tayo ng dalawang magkaparehong patayo na linya sa eroplano - OX At OY. Ang mga linyang ito ay tinatawag na coordinate axes, at ang kanilang intersection point ( O) - ang pinagmulan ng mga coordinate.
kanin. 4.1. Mga parihabang coordinate
Ang posisyon ng anumang punto sa eroplano ay madaling matukoy sa pamamagitan ng pagtukoy ng pinakamaikling distansya mula sa mga coordinate axes hanggang sa ibinigay na punto. Ang pinakamaikling distansya ay patayo. Ang mga patayong distansya mula sa mga coordinate axes hanggang sa isang naibigay na punto ay tinatawag na rectangular coordinates ng puntong ito.
Mga linyang parallel sa axis X, ay tinatawag na mga coordinate XA
, at parallel axes Y- mga coordinate saA
.
quarters hugis-parihaba na sistema ang mga coordinate ay binibilang. Ang mga ito ay binibilang sa clockwise mula sa positibong direksyon ng abscissa axis - I, II, III, IV (Larawan 4.1).
Ang mga parihabang coordinate na tinalakay ay ginagamit sa isang eroplano. Dito nila nakuha ang kanilang pangalan flat rectangular coordinate.
Ginagamit ang coordinate system na ito sa maliliit na lugar lupain na kinuha bilang patag.
4.2. ZONAL SYSTEM NG RECTANGULAR GAUSSian COORDINATES
Kung isasaalang-alang ang isyu ng "Projection ng mga topographic na mapa," nabanggit na ang ibabaw ng Earth ay inaasahang papunta sa ibabaw ng isang silindro, na humipo sa ibabaw ng Earth kasama ang axial meridian. Sa kasong ito, hindi ang buong ibabaw ng Earth ang naka-project sa silindro, ngunit isang bahagi lamang nito, na nililimitahan ng 3° longitude sa kanluran at 3° sa silangan mula sa axial meridian. Dahil ang bawat isa sa mga projection ng Gaussian ay lumilipat sa eroplano ng isang fragment lamang ng ibabaw ng Earth, na nililimitahan ng mga meridian sa pamamagitan ng 6° ng longitude, isang kabuuang 60 projection (60 zone) ang dapat isama sa ibabaw ng Earth. Sa bawat isa sa 60 projection, a hiwalay na sistema hugis-parihaba na coordinate.
Sa bawat zone ang axis X ay ang average (axial) meridian ng zone, na matatagpuan 500 km sa kanluran mula sa aktwal na posisyon nito, at ang axis Y- ekwador (Larawan 4.2).
kanin. 4.2. Parihabang coordinate system
sa mga topographic na mapa
Ang intersection ng pinahabang axial meridian sa ekwador ang magiging pinagmulan ng mga coordinate: x = 0, y = 0. Ang punto ng intersection ng ekwador at ang aktwal na gitnang meridian ay may mga coordinate : x = 0, y = 500 km.
Ang bawat zone ay may sariling pinagmulan. Ang mga sona ay binibilang mula sa Greenwich meridian hanggang sa silangan. Ang unang anim na antas na sona ay matatagpuan sa pagitan ng Greenwich meridian at ng meridian na may silangang longitude 6º (axial meridian 3º). Ang pangalawang zone ay 6º silangan. - 12º E (axial meridian 9º). Ikatlong zone - 12º silangan. - 18º silangan (axial meridian 15º). Ikaapat na sona - 18º silangan. - 24º silangan (axial meridian 21º), atbp.
Ang zone number ay ipinahiwatig sa coordinate sa unang digit. Halimbawa, itala sa = 4 525 340
nangangahulugan na ang ibinigay na punto ay nasa ikaapat na zone (unang digit) sa layo 525 340 m mula sa axial meridian ng zone, na matatagpuan sa kanluran ng 500 km.
Upang matukoy ang numero ng zone sa pamamagitan ng mga geographic na coordinate, kailangan mong magdagdag ng 6 sa longitude na ipinahayag sa integer degrees at hatiin ang resultang halaga sa 6. Bilang resulta ng dibisyon, nag-iiwan lamang kami ng isang integer.
Halimbawa. Tukuyin ang bilang ng Gaussian zone para sa isang puntong may silangang longitude na 18º10".
Solusyon. Sa buong bilang ng mga degree ng longitude 18 idinagdag namin ang 6 at hinahati ang kabuuan sa 6
(18 + 6) / 6 = 4.
Ang aming mapa ay nasa ikaapat na sona.
Ang mga paghihirap kapag gumagamit ng zonal coordinate system ay lumitaw sa mga kaso kung saan ang topographic at geodetic na trabaho ay isinasagawa sa mga lugar ng hangganan na matatagpuan sa dalawang katabing (katabing) zone. Ang mga linya ng coordinate ng naturang mga zone ay matatagpuan sa isang anggulo sa bawat isa (Figure 4.3).
Upang maalis ang mga umuusbong na komplikasyon, a zone overlap strip
, kung saan ang mga coordinate ng mga puntos ay maaaring kalkulahin sa dalawang magkatabing sistema. Ang lapad ng overlap strip ay 4°, 2° sa bawat zone.
Ang isang karagdagang grid sa mapa ay inilalapat lamang sa anyo ng mga output ng mga linya nito sa pagitan ng minuto at panlabas na mga frame. Ang digitization nito ay isang pagpapatuloy ng digitization ng mga linya ng grid ng katabing zone. Ang mga karagdagang linya ng grid ay nilagdaan sa labas ng panlabas na frame ng sheet. Dahil dito, sa isang sheet ng mapa na matatagpuan sa eastern zone, kapag kumokonekta sa parehong pangalan na mga output ng karagdagang grid, isang kilometrong grid ng western zone ay nakuha. Gamit ang grid na ito, maaari mong matukoy, halimbawa, ang mga parihaba na coordinate ng isang punto SA sa rectangular coordinate system ng western zone, i.e. rectangular coordinate ng mga puntos A At SA ay makukuha sa isang coordinate system ng western zone.
kanin. 4.3. Mga karagdagang linya ng kilometro sa mga hangganan ng mga zone
Sa isang 1:10,000 scale na mapa, ang karagdagang grid ay nahahati lamang sa mga sheet kung saan ang silangan o kanlurang meridian ng panloob na frame (trapezoid frame) ay ang hangganan ng zone. Hindi inilalapat ang karagdagang grid sa mga topographic na plano.
4.3. PAGTUKOY NG RECTANGULAR COORDINATES GAMIT ANG COMPASS METER
Isang mahalagang elemento topographic na mapa(plano) ay isang parihabang grid. Sa lahat ng mga sheet ng 6-degree na zone na ito, ang grid ay inilalapat sa anyo ng mga hilera ng mga linya, parallel sa axial meridian at equator(Larawan 4.2). Ang mga vertical na linya ng grid ay parallel sa axial meridian ng zone, at ang mga pahalang na linya ay parallel sa equator. Ang mga pahalang na linya ng kilometro ay binibilang mula sa ibaba hanggang sa itaas, at mga patayo - mula kaliwa hanggang kanan.
.
Ang mga pagitan sa pagitan ng mga linya sa mga mapa ng mga kaliskis na 1:200,000 - 1:50,000 ay 2 cm, 1:25,000 - 4 cm, 1:10,000 - 10 cm, na tumutugma sa isang integer na bilang ng mga kilometro sa lupa. Samakatuwid, ang isang hugis-parihaba na mesh ay tinatawag din kilometro, at ang mga linya nito ay kilometro.
Ang mga linya ng kilometro na pinakamalapit sa mga sulok ng frame ng sheet ng mapa ay nilagdaan ng buong bilang ng mga kilometro, ang natitira - kasama ang huling dalawang digit. Inskripsyon 60
65 (tingnan ang Fig. 4.4) sa isa sa mga pahalang na linya ay nangangahulugan na ang linyang ito ay 6065 km ang layo mula sa ekwador (hilaga): inskripsyon 43
07 sa patayong linya ay nangangahulugan na ito ay nasa ikaapat na sona at 307 km silangan mula sa simula ng ordinate counting. Kung ang isang tatlong-digit na numero ay nakasulat sa maliliit na numero malapit sa patayong linya ng kilometro, ang unang dalawa ay nagpapahiwatig ng numero ng zone.
Halimbawa. Kinakailangang matukoy mula sa mapa ang mga rectangular coordinates ng isang terrain point, halimbawa, isang punto ng state geodetic network (GGS) na may markang 214.3 (Fig. 4.4). Una, isulat (sa kilometro) ang abscissa ng timog na bahagi ng parisukat kung saan matatagpuan ang puntong ito (i.e. 6065). Pagkatapos, gamit ang isang panukat na compass at isang linear na sukat, tukuyin ang haba ng patayo Δx= 550 m, pubescent mula sa ibinigay na punto sa linyang ito. Ang resultang halaga (sa kasong ito 550 m) ay idinagdag sa abscissa ng linya. Ang bilang na 6,065,550 ay ang abscissa X
GGS point.
Ang ordinate ng GGS point ay katumbas ng ordinate ng kanlurang bahagi ng parehong parisukat (4307 km), na idinagdag sa haba ng perpendicular Δу= 250 m, sinusukat sa mapa. Ang bilang na 4,307,250 ay ang ordinate ng parehong punto.
Sa kawalan ng panukat na compass, ang mga distansya ay sinusukat gamit ang isang ruler o strip ng papel.
X = 6065550, sa= 4307250
kanin. 4.4. Pagtukoy ng mga rectangular coordinates gamit ang linear scale
4.4. PAGTUKOY NG MGA RECTANGULAR COORDINATES GAMIT ANG COORDINATOMETER
Coordinator
- isang maliit na parisukat na may dalawang patayong gilid. Kasama ang mga panloob na gilid ng mga pinuno ay mga kaliskis, ang haba nito ay katumbas ng haba ng gilid ng mga coordinate na selula ng mapa ng isang naibigay na sukat. Ang mga dibisyon sa coordinate meter ay inililipat mula sa linear scale ng mapa.
Ang pahalang na sukat ay nakahanay sa ilalim na linya ng parisukat (kung saan matatagpuan ang punto), at ang vertical na sukat ay dapat dumaan puntong ito. Tinutukoy ng mga kaliskis ang mga distansya mula sa punto hanggang sa mga linya ng kilometro.
x A = 6135,350 y A = 5577,710
kanin. 4.5. Pagtukoy ng mga rectangular coordinates gamit ang coordinate meter
4.5. PAGLIGAY NG MGA PUNTO SA MAPA SA MGA TIYAK NA RECTANGULAR COORDINATES
Upang mag-plot ng isang punto sa isang mapa ayon sa ibinigay na mga rectangular na coordinate, magpatuloy tulad ng sumusunod: sa talaan ng coordinate, makikita ang dalawang-digit na numero na nagpapaikli sa mga linya ng parihaba na grid. Gamit ang unang numero, matatagpuan ang isang pahalang na linya ng grid sa mapa, at ang isang patayong linya ng grid ay matatagpuan gamit ang pangalawang numero. Ang kanilang intersection ay bumubuo sa timog-kanlurang sulok ng parisukat kung saan matatagpuan ang nais na punto. Sa silangan at kanlurang panig ng parisukat, dalawang pantay na bahagi ang inilatag mula sa timog na bahagi nito, na tumutugma sa sukat ng mapa sa bilang ng mga metro sa abscissa X . Ang mga dulo ng mga segment ay konektado sa pamamagitan ng isang tuwid na linya at dito, mula sa kanlurang bahagi ng parisukat, isang segment na tumutugma sa bilang ng mga metro sa ordinate ay naka-plot sa sukat ng mapa; ang dulo ng segment na ito ay ang nais na punto.
4.6. PAGKUKULALA NG FLAT RECTANGULAR GAUSSian COORDINATES NG HEOGRAPHICAL COORDINATES
Plane rectangular Gaussian coordinate X
At sa
napakahirap iugnay sa mga geographic na coordinate φ
(latitude) at λ
(longitude) na mga punto ibabaw ng lupa. Ipagpalagay na ang ilang mga punto A may mga geographic na coordinate φ
At λ
.
Dahil ang pagkakaiba sa mga longitude ng hangganan ng mga meridian ng zone ay 6°, kung gayon, nang naaayon, para sa bawat isa sa mga zone posible na makuha ang mga longitude ng matinding meridian: 1st zone (0° - 6°), 2nd zone (6° - 12°), 3rd zone (12° - 18°), atbp. Kaya, ayon sa geographic longitude puntos A maaari mong matukoy ang bilang ng zone kung saan matatagpuan ang puntong ito. Kasabay nito, longitude λ
Ang axis ng axial meridian ng zone ay tinutukoy ng formula
λ
OS
= (6°n - 3°),
kung saan n- numero ng zone.
Upang tukuyin ang plane rectangular coordinate X At sa sa pamamagitan ng mga geographic na coordinate φ At λ Gamitin natin ang mga formula na hinango para sa reference na ellipsoid ni Krasovsky (ang reference na ellipsoid ay isang figure na mas malapit hangga't maaari sa figure ng Earth sa bahagi nito kung saan ito matatagpuan estadong ito, o isang pangkat ng mga estado):
X = 6367558,4969 (φ
natutuwa
) − (a 0
− l 2 N)kasalananφ
cosφ
(4.1)
sa(l) = lNcosφ
(4.2)
Ginagamit ng mga formula (4.1) at (4.2) ang sumusunod na notasyon:
y(l) - distansya mula sa punto hanggang sa axial meridian ng zone;
l= (λ - λ
OS
) - ang pagkakaiba sa pagitan ng mga longitude ng tinukoy na punto at ng axial meridian ng zone);
φ
natutuwa
- latitude ng isang punto, na ipinahayag sa radian na sukat;
N = 6399698,902 -
kasi 2φ;
A 0
= 32140,404 -
cos 2
φ;
A 3
= (0,3333333 + 0,001123
cos 2
φ)
kasi 2φ - 0.1666667;
A 4
= (0,25 + 0,00252
kasi 2φ)
kasi 2φ - 0.04166;
A 5
= 0,0083 -
kasi 2φ;
A 6
= (0.166 cos 2 φ - 0.084) cos 2 φ.
y" - ang distansya mula sa axial meridian na matatagpuan sa kanluran ng 500 km.
Ayon sa formula (4.1), ang coordinate value y(l) ay nakuha na may kaugnayan sa axial meridian ng zone, i.e. maaari itong lumabas na may "plus" na mga palatandaan para sa silangang bahagi ng zone o "minus" na mga palatandaan para sa kanlurang bahagi ng zone. Upang itala ang mga coordinate y sa zonal coordinate system, kinakailangan upang kalkulahin ang distansya sa isang punto mula sa axial meridian ng zone, na matatagpuan 500 km sa kanluran (y"sa mesa )
, at isulat ang zone number sa harap ng resultang value. Halimbawa, ang halaga na natanggap ay
y(l)= -303678.774 m sa zone 47.
Pagkatapos
sa= 47 (500000.000 - 303678.774) = 47196321.226 m.
Gumagamit kami ng mga spreadsheet para sa mga kalkulasyon MicrosoftXL
.
Halimbawa. Kalkulahin ang mga parihaba na coordinate ng isang punto na may mga geographic na coordinate:
φ = 47º02"15.0543"N; λ = 65º01"38.2456" silangan.
Sa mesa MicrosoftXL ipasok ang paunang data at mga formula (Talahanayan 4.1).
Talahanayan 4.1.
D |
E |
F |
||||
Parameter |
Mga pagkalkula |
granizo |
||||
φ (deg) |
D2+E2/60+F2/3600 |
|||||
φ (rad) |
RADIAN(C3) |
|||||
Cos 2φ |
||||||
Zone No. |
INTEGER((D8+6)/6) |
|||||
λos (deg) |
||||||
l (deg) |
D11+E11/60+F11/3600 |
|||||
l (rad) |
RADIAN(C12) |
|||||
6399698,902-((21562,267- |
||||||
A 0 |
32140,404-((135,3302- |
|||||
A 4 |
=(0.25+0.00252*C6^2)*C6^2-0.04166 |
|||||
A 6 |
=(0.166*C6^2-0.084)*C6^2 |
|||||
A 3 |
=(0.3333333+0.001123*C6^2)*C6^2-0.1666667 |
|||||
A 5 |
0.0083-((0.1667-(0.1968+0.004*C6^2)*C6^2))*C6^2 |
|||||
6367558.4969*C4-(((C15-(((0.5+(C16+C17*C20))*C20))) *C20*C14)))*C5*C6) |
||||||
=((1+(C18+C19*C20)*C20))*C13*C14*C6 |
||||||
ROUND((500000+C23);3) |
||||||
CONCATENATE(C9;C24) |
Tingnan ang talahanayan pagkatapos ng mga kalkulasyon (Talahanayan 4.2).
Talahanayan 4.2.
Parameter |
Mga pagkalkula |
granizo |
||||
φ (deg, min, seg) |
||||||
φ (degrees) |
||||||
φ (radian) |
||||||
Cos 2φ |
||||||
λ (deg, min, seg) |
||||||
Numero ng zone |
||||||
λos (deg) |
||||||
l (min, seg) |
||||||
l (degrees) |
||||||
l (radian) |
||||||
A 0 |
||||||
A 4 |
||||||
A 6 |
||||||
A 3 |
||||||
A 5 |
||||||
4.7. PAGKUKULANG NG HEOGRAPHICAL COORDINATES GAMIT ANG FLAT RECTANGULAR GAUSSian COORDINATES
Upang malutas ang problemang ito, ginagamit din ang mga formula ng recalculation na nakuha para sa reference na ellipsoid ni Krasovsky.
Ipagpalagay na kailangan nating kalkulahin ang mga geographic na coordinate φ
At λ
puntos A sa pamamagitan ng flat rectangular coordinate nito X At sa, na tinukoy sa zonal coordinate system. Sa kasong ito, ang halaga ng coordinate sa nakasulat na nagpapahiwatig ng numero ng zone at isinasaalang-alang ang paglipat ng axial meridian ng zone sa kanluran ng 500 km.
Pre-by value sa hanapin ang numero ng zone kung saan matatagpuan ang puntong tinutukoy, at gamitin ang zone number upang matukoy ang longitude λ
o ang axial meridian at sa pamamagitan ng distansya mula sa punto hanggang sa axial meridian na tinutukoy sa kanluran, hanapin ang distansya y(l) mula sa isang punto hanggang sa axial meridian ng zone (ang huli ay maaaring magkaroon ng plus o minus sign).
Mga halaga ng geographic coordinate φ
At λ
sa flat rectangular coordinate X At sa natagpuan gamit ang mga formula:
φ = φ X
- z 2 b 2
ρ″ (4.3)
λ = λ 0
+ l (4.4)
l = zρ″ (4.5)
Sa mga formula (4.3) at (4.5):
φ x ″= β″ +(50221746 + cos 2 β)10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = (X / 6367558.4969) ρ″; ρ″ = 206264.8062″ - bilang ng mga segundo sa isang radian
z = У(L) / (Nx сos φx);
N x = 6399698.902 - cos 2 φ x;
b 2 = (0.5 + 0.003369 cos 2 φ x) sin φ x cos φ x;
b 3 = 0.333333 - (0.166667 - 0.001123 cos2 φ x) cos2 φ x;
b 4 = 0.25 + (0.16161 + 0.00562 cos 2 φ x) cos 2 φ x;
b 5 = 0.2 - (0.1667 - 0.0088 cos 2 φ x) cos 2 φ x.
Gumagamit kami ng mga spreadsheet para sa mga kalkulasyon MicrosoftXL
.
Halimbawa. Kalkulahin ang mga geographic na coordinate ng isang punto gamit ang rectangular coordinates:
x = 5213504.619; y = 11654079.966.
Sa mesa MicrosoftXL ipasok ang paunang data at mga formula (Talahanayan 4.3).
Talahanayan 4.3.
|
Tingnan ang talahanayan pagkatapos ng mga kalkulasyon (Talahanayan 4.4).
Talahanayan 4.4.
Parameter |
Pagkalkula |
Hail. |
||||
Numero ng zone* |
||||||
Numero ng zone |
||||||
λoos (deg) |
||||||
y" |
||||||
β rad |
||||||
Cos 2 β |
||||||
φ X " |
||||||
φ X natutuwa |
||||||
φ X |
||||||
Cosφ X |
||||||
Cos 2φ X |
||||||
N X |
||||||
Ν X Cosφ X |
||||||
z 2 |
||||||
b 4 |
||||||
b 2 |
||||||
b 3 |
||||||
b 5 |
||||||
φ |
||||||
l 0 |
||||||
λ |
Kung ang mga kalkulasyon ay ginawa nang tama, kopyahin ang parehong mga talahanayan sa isang sheet, itago ang mga linya ng mga intermediate na kalkulasyon at ang column No., at iwanan lamang ang mga linya para sa pagpasok ng paunang data at mga resulta ng pagkalkula. Pino-format namin ang talahanayan at inaayos ang mga pangalan ng mga column at column sa iyong paghuhusga.
Maaaring ganito ang hitsura ng mga worksheetTalahanayan 4.5.
Mga Tala.
1. Depende sa kinakailangang katumpakan, maaari mong dagdagan o bawasan ang bit depth.
2. Ang bilang ng mga hilera sa talahanayan ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga kalkulasyon. Halimbawa, huwag kalkulahin ang mga radian ng isang anggulo nang hiwalay, ngunit agad na isulat ang mga ito sa formula =SIN(RADIANS(C3)).
3. Pag-ikot sa talata 23 ng talahanayan. 4.1. Gumagawa kami para sa "clutch". Bilang ng mga digit sa rounding 3.
4. Kung hindi mo babaguhin ang format ng mga cell sa mga column na "Grad" at "Min", pagkatapos ay walang mga zero bago ang mga numero. Ang pagbabago ng format dito ay ginawa lamang para sa visual na perception (sa pagpapasya ng may-akda) at hindi nakakaapekto sa mga resulta ng pagkalkula.
5. Upang maiwasan ang aksidenteng makapinsala sa mga formula, dapat mong protektahan ang talahanayan: Service / Protect sheet. Bago protektahan, piliin ang mga cell para sa pagpasok ng orihinal na data, at pagkatapos: Format ng cell / Proteksyon / Protektadong cell - alisan ng tsek ang kahon.
4.8. KAUGNAYAN NG FLAT RECTANGULAR AT POLAR COORDINATE SYSTEMS
Ang pagiging simple ng polar coordinate system at ang posibilidad ng pagbuo nito na may kaugnayan sa anumang punto sa lupain na kinuha bilang isang poste ay humantong sa malawakang paggamit nito sa topograpiya. Upang pagsamahin ang mga polar system ng mga indibidwal na terrain point, kinakailangan na magpatuloy sa pagtukoy ng posisyon ng huli sa isang rectangular coordinate system, na maaaring mapalawak sa isang mas malaking lugar. Ang koneksyon sa pagitan ng dalawang sistema ay itinatag sa pamamagitan ng paglutas ng direkta at kabaligtaran na mga problema sa geodetic.
Direktang geodetic na problema
ay binubuo sa pagtukoy ng mga coordinate ng end point SA
(Larawan 4.4) mga linya AB kasama ang haba nito G pahalang na layoutd
, direksyonα
at mga coordinate ng panimulang punto XA
,
saA
.
kanin. 4.6. Paglutas ng direkta at kabaligtaran na mga problema sa geodetic
Kaya, kung tatanggapin natin ang punto A(Larawan 4.4) sa kabila ng poste ng polar coordinate system, at ang tuwid na linya AB- lampas sa polar axis parallel sa axis OH, pagkatapos ay ang mga polar coordinate ng punto SA kalooban d At α . Kinakailangang kalkulahin ang mga hugis-parihaba na coordinate ng puntong ito sa system HOU.
Mula sa Fig. 3.4 ito ay malinaw na XSA iba sa XA sa dami ( XSA - XA ) = Δ XAB , A saSA iba sa saA sa dami ( saSA - saA ) = Δ saAB . Mga pagkakaiba sa huling coordinate SA at pangunahin A mga punto ng linya AB Δ X at Δ sa tinawag coordinate increments . Ang mga coordinate increment ay orthogonal projection ng linya AB sa coordinate axis. Mga coordinate XSA At saSA maaaring kalkulahin gamit ang mga formula:
XSA
= XA
+ Δ XAB
(4.1)
saSA
= saA
+ Δ saAB
(4.2)
Δ XAB
=dcos α
(4.3)
Δ saAB
= dkasalanan α
(4.4)
Ang tanda ng mga pagtaas ng coordinate ay depende sa anggulo ng posisyon.
Talahanayan 4.1.
Pinapalitan ang halaga ng mga increment Δ XAB at Δ saAB sa mga formula (3.1 at 3.2), nakakakuha kami ng mga formula para sa paglutas ng direktang geodetic na problema:
XSA
= XA
+ dcos α
(4.5)
saSA
= saA
+ dkasalanan α
(4.6)
Inverse geodetic na problema ay binubuo sa pagtukoy ng haba ng pahalang na espasyodat ang direksyon α ng linya AB ayon sa ibinigay na mga coordinate ng panimulang punto nito A (xA, yA) at huling punto B (xB, yB). Ang anggulo ng direksyon ay kinakalkula gamit ang mga binti ng isang tamang tatsulok:
tan α = 
(4.7)
Pahalang na layout d, tinutukoy ng formula:
d = 
(4.8)
Upang malutas ang direkta at kabaligtaran na mga problema sa geodetic, maaari mong gamitin ang mga spreadsheet Microsoft Excel .
Halimbawa.
Binigyang punto A may mga coordinate: XA
= 6068318,25; saA
= 4313450.37. Pahalang na layout (d) sa pagitan ng punto A at tuldok SA katumbas ng 5248.36 m Ang anggulo sa pagitan ng hilagang direksyon ng axis OH at direksyon sa punto SA(anggulo ng posisyon - α
) ay katumbas ng 30º.
Paglalagay ng source data at mga formula sa mga spreadsheet Microsoft Excel (Talahanayan 4.2).
Talahanayan 4.2.
Paunang data |
||
XA |
||
saA |
||
Mga pagkalkula |
||
Δ XAB =d cos α |
B4*COS(RADIANS(B5)) |
|
Δ saAB = d kasalanan α |
B4*SIN(RADIANS(B5)) |
|
XSA |
||
saSA |
||
Talahanayan 4.3.
Paunang data |
||
XA |
||
saA |
||
Mga pagkalkula |
||
Δ XAB =d cos α |
||
Δ saAB = d kasalanan α |
||
XSA |
||
saSA |
||
Halimbawa.
Tinukoy ang mga puntos A At SA may mga coordinate:
XA
= 6068318,25; saA
= 4313450,37;
XSA
= 6072863,46; saSA
= 4313450,37.
Kalkulahin ang pahalang na distansya d sa pagitan ng punto A at tuldok SA, at gayundin ang anggulo α
sa pagitan ng hilagang direksyon ng axis OH at direksyon sa punto SA.
Paglalagay ng source data at mga formula sa mga spreadsheet Microsoft Excel
(Talahanayan 4.4).
Talahanayan 4.4.
Paunang data |
||
XA |
||
saA |
||
XSA |
||
saSA |
||
Mga pagkalkula |
||
ΔxAB |
||
ΔуAB |
||
SQRT(B7^2+B8^2) |
||
Tangent |
||
Arctangent |
||
Degrees |
DEGREES(B11) |
|
Pagpipilian |
KUNG(B12<0;B12+180;B12) |
|
Anggulo ng posisyon (deg) |
KUNG(B8<0;B13+180;B13) |
|
Talahanayan 4.5.
Paunang data |
||
XA |
||
saA |
||
XSA |
||
saSA |
||
Mga pagkalkula |
||
ΔxAB |
||
ΔуAB |
||
Tangent |
||
Arctangent |
||
Degrees |
||
Pagpipilian |
||
Anggulo ng posisyon (deg) |
||
Kung tumugma ang iyong mga kalkulasyon sa mga nasa tutorial, itago ang mga intermediate na kalkulasyon, i-format at protektahan ang talahanayan.
Video
Mga parihabang coordinate
Mga tanong at gawain para sa pagpipigil sa sarili
- Anong mga dami ang tinatawag na rectangular coordinates?
- Sa anong ibabaw ginagamit ang mga rectangular coordinate?
- Ano ang kakanyahan ng zonal rectangular coordinate system?
- Ano ang bilang ng anim na antas na zone kung saan matatagpuan ang lungsod ng Lugansk na may mga coordinate: 48°35′ N. 39°20′ E
- Kalkulahin ang longitude ng axial meridian ng six-degree zone kung saan matatagpuan ang Lugansk.
- Paano kinakalkula ang x at y coordinate sa rectangular Gaussian coordinate system?
- Ipaliwanag ang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga parihaba na coordinate sa isang topographic na mapa gamit ang isang sukatan na kumpas.
- Ipaliwanag ang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga rectangular coordinates sa isang topographic na mapa gamit ang isang coordinate meter.
- Ano ang kakanyahan ng direktang geodetic na problema?
- Ano ang kakanyahan ng inverse geodetic na problema?
- Anong dami ang tinatawag na coordinate increment?
- Tukuyin ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo.
- Paano natin mailalapat ang Pythagorean theorem sa ugnayan sa pagitan ng mga gilid ng isang right triangle sa topograpiya?
Parihabang coordinate system- isang rectilinear coordinate system na may magkaparehong patayo na mga palakol sa isang eroplano o sa kalawakan. Ang pinakasimpleng at samakatuwid ay pinakakaraniwang ginagamit na sistema ng coordinate. Napakadali at diretsong i-generalize sa mga espasyo ng anumang dimensyon, na nag-aambag din sa malawak na aplikasyon nito.
Mga kaugnay na termino: Cartesian karaniwang tinatawag na rectangular coordinate system na may pantay na kaliskis sa mga axes (na pinangalanang Rene Descartes), at pangkalahatang Cartesian coordinate system tinatawag na affine coordinate system (hindi hugis-parihaba).
Encyclopedic YouTube
-
1 / 5
Ang isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang magkaparehong patayo na coordinate axes at O (\displaystyle O), na tinatawag na pinagmulan ng mga coordinate, ang positibong direksyon ay pinili sa bawat axis.
Posisyon ng punto A (\displaystyle A) sa eroplano ay tinutukoy ng dalawang coordinate x (\displaystyle x) At y (\displaystyle y). Coordinate x (\displaystyle x) katumbas ng haba ng segment O B, coordinate y (\displaystyle y)- haba ng segment O C (\displaystyle OC) O B At O C (\displaystyle OC) ay tinutukoy ng mga linyang iginuhit mula sa punto A (\displaystyle A) parallel sa mga palakol Y ' Y (\displaystyle Y"Y) At X ′ X (\displaystyle X"X) ayon sa pagkakabanggit.
Sa coordinate na ito x (\displaystyle x) B (\displaystyle B) namamalagi sa sinag (at hindi sa sinag O X (\displaystyle OX), tulad ng sa figure). Coordinate y (\displaystyle y) isang minus sign ang itinalaga kung ang punto C (\displaystyle C) nakahiga sa sinag. kaya, O X ′ (\displaystyle OX") At O Y ′ (\displaystyle OY") ay ang mga negatibong direksyon ng mga coordinate axes (bawat coordinate axis ay itinuturing bilang isang number axis).
Axis x (\displaystyle x) ay tinatawag na abscissa axis, at ang axis y (\displaystyle y)- ordinate axis. Coordinate x (\displaystyle x) tinawag abscissa puntos A (\displaystyle A), coordinate y (\displaystyle y) - ordinate puntos A (\displaystyle A).
A (x , y) (\displaystyle A(x,\;y)) A = (x , y) (\displaystyle A=(x,\;y))o ipahiwatig na ang mga coordinate ay nabibilang sa isang partikular na punto gamit ang isang index:
x A , x B (\displaystyle x_(A),x_(B))Parihabang coordinate system sa espasyo(sa talatang ito ang ibig nating sabihin ay tatlong-dimensional na espasyo, tungkol sa higit pang mga multidimensional na espasyo - tingnan sa ibaba) ay nabuo ng tatlong magkaparehong patayo na coordinate axes O X (\displaystyle OX), O Y (\displaystyle OY) At OZ (\displaystyle OZ). Ang coordinate axes ay bumalandra sa punto O (\displaystyle O), na tinatawag na pinagmulan ng mga coordinate, sa bawat axis ay pinipili ang isang positibong direksyon, na ipinapahiwatig ng mga arrow, at isang yunit ng pagsukat para sa mga segment sa mga axes. Ang mga yunit ng pagsukat ay karaniwang (hindi kinakailangan) pareho para sa lahat ng mga palakol. O X (\displaystyle OX)- x-axis, O Y (\displaystyle OY)- ordinate axis, OZ (\displaystyle OZ)- axis ng applicator.
Posisyon ng punto A (\displaystyle A) sa espasyo ay tinutukoy ng tatlong coordinate x (\displaystyle x), y (\displaystyle y) At z (\displaystyle z). Coordinate x (\displaystyle x) katumbas ng haba ng segment O B, coordinate y (\displaystyle y)- haba ng segment O C (\displaystyle OC), coordinate z (\displaystyle z)- haba ng segment O D (\displaystyle OD) sa mga piling yunit ng pagsukat. Mga segment O B, O C (\displaystyle OC) At O D (\displaystyle OD) ay tinutukoy ng mga eroplanong iginuhit mula sa punto A (\displaystyle A) parallel sa mga eroplano Y O Z (\displaystyle YOZ), X O Z (\displaystyle XOZ) At X O Y (\displaystyle XOY) ayon sa pagkakabanggit.
Coordinate x (\displaystyle x) tinatawag na abscissa ng punto A (\displaystyle A), coordinate y (\displaystyle y)- ordinate ng punto A (\displaystyle A), coordinate z (\displaystyle z)- ilapat ang punto A (\displaystyle A).
Symbolically ito ay nakasulat tulad nito:
A (x , y , z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) A = (x , y , z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))o mag-link ng coordinate record sa isang partikular na punto gamit ang isang index:
x A , y A , z A (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))Ang bawat axis ay itinuturing bilang isang linya ng numero, ibig sabihin, mayroon itong positibong direksyon, at ang mga puntong nakahiga sa isang negatibong sinag ay itinalaga ng mga negatibong halaga ng coordinate (ang distansya ay kinuha gamit ang isang minus sign). Iyon ay, kung, halimbawa, punto B (\displaystyle B) itabi hindi tulad ng sa larawan - sa beam O X (\displaystyle OX), at sa pagpapatuloy nito sa tapat na direksyon mula sa punto O (\displaystyle O)(sa negatibong bahagi ng axis O X (\displaystyle OX)), pagkatapos ay ang abscissa x (\displaystyle x) puntos A (\displaystyle A) magiging negatibo (minus ang distansya O B). Gayundin para sa iba pang dalawang palakol.
Ang lahat ng mga rectangular coordinate system sa tatlong-dimensional na espasyo ay nahahati sa dalawang klase - mga karapatan(ginamit din ang mga termino positibo, pamantayan) At umalis. Karaniwan, bilang default, sinusubukan nilang gumamit ng mga right-handed coordinate system, at kapag inilalarawan ang mga ito nang graphical, inilalagay din nila ang mga ito, kung maaari, sa isa sa ilang karaniwang (tradisyonal) na posisyon. (Ang Figure 2 ay nagpapakita ng isang right-handed coordinate system.) Imposibleng pagsamahin ang kanan at kaliwang coordinate system sa pamamagitan ng pag-ikot upang ang kaukulang mga axes (at ang kanilang mga direksyon) ay magkasabay. Posibleng matukoy kung aling klase kabilang ang anumang partikular na coordinate system gamit ang right-hand rule, screw rule, atbp. (ang positibong direksyon ng mga axes ay pinili upang kapag ang axis ay pinaikot O X (\displaystyle OX) counterclockwise sa pamamagitan ng 90° ang positibong direksyon nito ay tumutugma sa positibong direksyon ng axis O Y (\displaystyle OY), kung ang pag-ikot na ito ay sinusunod mula sa positibong direksyon ng axis OZ (\displaystyle OZ)).
Rectangular coordinate system sa multidimensional space
Maaaring gamitin ang rectangular coordinate system sa espasyo ng anumang may hangganang dimensyon, sa parehong paraan tulad ng ginagawa para sa three-dimensional na espasyo. Ang bilang ng mga coordinate axes ay katumbas ng sukat ng espasyo (sa seksyong ito ay tukuyin natin ito n).
Upang magtalaga ng mga coordinate, karaniwang hindi sila gumagamit ng magkakaibang mga titik, ngunit ang parehong titik na may isang numerical index. Kadalasan ito ay:
x 1, x 2, x 3, … x n.(\displaystyle x_(1),x_(2),x_(3),\dots x_(n).) Upang tukuyin ang arbitraryo i
Ang ika-coordinate mula sa set na ito ay gumagamit ng letter index: at madalas ang pagtatalaga x i , (\displaystyle x_(i),) ay ginagamit din upang tukuyin ang buong hanay, na nagpapahiwatig na ang index ay tumatakbo sa buong hanay ng mga halaga:.
i = 1 , 2 , 3 , … n (\displaystyle i=1,2,3,\dots n)
Sa anumang dimensyon ng espasyo, ang mga rectangular coordinate system ay nahahati sa dalawang klase, kanan at kaliwa (o positibo at negatibo). Para sa mga multidimensional na espasyo, ang isa sa mga coordinate system ay arbitraryo (conventionally) na tinatawag na right-handed, at ang iba ay right-handed o left-handed, depende sa kung sila ay nasa parehong oryentasyon o hindi.
Mga coordinate ng hugis-parihaba na vector Upang tukuyin ang hugis-parihaba mga coordinate ng vector
(naaangkop para sa kumakatawan sa mga vector ng anumang dimensyon) maaari tayong magpatuloy mula sa katotohanan na ang mga coordinate ng isang vector (nakadirekta na segment), ang simula nito ay nasa pinanggalingan ng mga coordinate, ay nag-tutugma sa mga coordinate ng pagtatapos nito.
- Para sa mga vectors (nakadirekta na mga segment) na ang pinagmulan ay hindi nag-tutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, ang mga rectangular na coordinate ay maaaring matukoy sa isa sa dalawang paraan:
- Maaaring ilipat ang vector upang ang pinagmulan nito ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate). Pagkatapos ang mga coordinate nito ay tinutukoy sa paraang inilarawan sa simula ng talata: ang mga coordinate ng isang vector na isinalin upang ang pinagmulan nito ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate ay ang mga coordinate ng pagtatapos nito.
- Sa halip, maaari mo lamang ibawas ang mga coordinate ng simula nito mula sa mga coordinate ng dulo ng vector (nakadirekta na segment).
Para sa mga rectangular na coordinate, ang konsepto ng isang vector coordinate ay tumutugma sa konsepto ng isang orthogonal projection ng isang vector papunta sa direksyon ng kaukulang coordinate axis.
- Ang lahat ng mga operasyon sa mga vectors ay napakasimpleng nakasulat sa hugis-parihaba na mga coordinate:
(a λ) i = a i λ . n(\displaystyle (\Big ()(\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))(\Big))_(i)=(\frac (a_(i))(\lambda )).)
(Totoo ito para sa anumang dimensyon at kahit na, sa isang par na may mga hugis-parihaba, para sa pahilig na mga coordinate).a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\mga tuldok +a_(n)b_(n))
- a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i , (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)b_(i),)
- isang | = a ⋅ a (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt (\mathbf (a) \cdot \mathbf (a) )))
at ang anggulo sa pagitan ng mga vectors, ∠ (a , b) = a r c c o s a ⋅ b | At isang |.
⋅ | b |, (\displaystyle \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))=\mathrm (arccos) (\frac (\mathbf (a) \cdot \mathbf (b) )(|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |))) At At k (\displaystyle \mathbf (k) ) e x (\displaystyle \mathbf (e)_(x)), e y (\displaystyle \mathbf (e)_(y)) At e z (\displaystyle \mathbf (e)_(z)) Mga simbolo ng arrow (
i → (\displaystyle (\vec (i)))
Para sa mga dimensyon na mas mataas sa 3 (o para sa pangkalahatang kaso, kapag ang dimensyon ay maaaring maging anuman), kadalasan para sa mga unit vector, notation na may mga numerical na indeks ang ginagamit sa halip, kadalasan ito ay
e 1 , e 2 , e 3 , … e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( e) _(n),)saan n- sukat ng espasyo.
Ang isang vector ng anumang dimensyon ay pinalawak ayon sa batayan nito (ang mga coordinate ay nagsisilbing expansion coefficient):
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( e) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\dots +a_(n)\mathbf (e) _(n)) a = ∑ i = 1 n a i e i , (\displaystyle \mathbf (a) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)\mathbf (e) _(i),) Pierre Fermat, gayunpaman, ang kanyang mga gawa ay unang nai-publish pagkatapos ng kanyang kamatayan. Ginamit nina Descartes at Fermat ang coordinate method sa eroplano lamang.Ang coordinate method para sa tatlong-dimensional na espasyo ay unang ginamit ni Leonhard Euler noong ika-18 siglo. Ang paggamit ng mga orts ay tila nagmula noong
Kung nasa zero point ka at iniisip mo kung gaano karaming mga unit ng distansya ang kailangan mong dumiretso sa unahan at pagkatapos ay diretso sa kanan para makarating sa ibang punto, gumagamit ka na ng rectangular Cartesian coordinate system sa eroplano. At kung ang punto ay matatagpuan sa itaas ng eroplano kung saan ka nakatayo, at sa iyong mga kalkulasyon ay nagdaragdag ka ng isang pag-akyat sa punto sa kahabaan ng mga hagdan na mahigpit na paitaas din ng isang tiyak na bilang ng mga yunit ng distansya, kung gayon ay gumagamit ka na ng isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system sa espasyo.
Ang isang ordered system ng dalawa o tatlong intersecting axes na patayo sa isa't isa na may karaniwang pinagmulan (pinagmulan ng mga coordinate) at isang karaniwang yunit ng haba ay tinatawag hugis-parihaba Cartesian coordinate system .
Ang pangalan ng Pranses na matematiko na si René Descartes (1596-1662) ay pangunahing nauugnay sa isang sistema ng coordinate kung saan ang isang karaniwang yunit ng haba ay sinusukat sa lahat ng mga palakol at ang mga palakol ay tuwid. Bilang karagdagan sa hugis-parihaba, mayroon pangkalahatang Cartesian coordinate system (affine coordinate system). Maaari rin itong magsama ng mga palakol na hindi kinakailangang patayo. Kung ang mga palakol ay patayo, kung gayon ang sistema ng coordinate ay hugis-parihaba.
Rectangular Cartesian coordinate system sa isang eroplano ay may dalawang palakol at hugis-parihaba Cartesian coordinate system sa kalawakan - tatlong palakol. Ang bawat punto sa isang eroplano o sa espasyo ay tinutukoy ng isang nakaayos na hanay ng mga coordinate - mga numero na tumutugma sa yunit ng haba ng sistema ng coordinate.
Tandaan na, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, mayroong isang Cartesian coordinate system sa isang tuwid na linya, iyon ay, sa isang dimensyon. Ang pagpapakilala ng mga coordinate ng Cartesian sa isang linya ay isa sa mga paraan kung saan ang anumang punto sa isang linya ay nauugnay sa isang mahusay na tinukoy na tunay na numero, iyon ay, isang coordinate.
Ang coordinate method, na lumitaw sa mga gawa ni Rene Descartes, ay minarkahan ang isang rebolusyonaryong restructuring ng lahat ng matematika. Naging posible na bigyang-kahulugan ang mga algebraic equation (o inequalities) sa anyo ng mga geometric na imahe (graphs) at, sa kabaligtaran, upang maghanap ng mga solusyon sa mga geometric na problema gamit ang analytical formula at system ng mga equation. Oo, hindi pagkakapantay-pantay z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy at matatagpuan sa itaas ng eroplanong ito ng 3 unit.
Gamit ang Cartesian coordinate system, ang pagiging kasapi ng isang punto sa isang naibigay na kurba ay tumutugma sa katotohanan na ang mga numero x At y matugunan ang ilang equation. Kaya, ang mga coordinate ng isang punto sa isang bilog na may sentro sa isang naibigay na punto ( a; b) matugunan ang equation (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Rectangular Cartesian coordinate system sa isang eroplano
Dalawang patayo na axes sa isang eroplano na may isang karaniwang pinagmulan at ang parehong sukat na anyo ng yunit Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano . Ang isa sa mga ax na ito ay tinatawag na axis baka, o x-axis , ang isa pa - ang axis Oy, o y-axis . Ang mga ax na ito ay tinatawag ding coordinate axes. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng Mx At My ayon sa pagkakabanggit, ang projection ng isang arbitrary point M sa axis baka At Oy. Paano makakuha ng mga projection? Dumaan tayo sa punto M baka. Ang tuwid na linyang ito ay bumalandra sa axis baka sa punto Mx. Dumaan tayo sa punto M tuwid na linya patayo sa axis Oy. Ang tuwid na linyang ito ay bumalandra sa axis Oy sa punto My. Ito ay ipinapakita sa larawan sa ibaba.
x At y puntos M tatawagin namin ang mga halaga ng mga nakadirekta na mga segment nang naaayon OMx At OMy. Ang mga halaga ng mga nakadirekta na mga segment na ito ay kinakalkula nang naaayon bilang x = x0 - 0 At y = y0 - 0 . Mga coordinate ng Cartesian x At y puntos M abscissa At ordinate . Ang katotohanan na ang punto M may mga coordinate x At y, ay tinutukoy bilang mga sumusunod: M(x, y) .
Hinahati ng mga coordinate ax ang eroplano sa apat kuwadrante , ang pagnunumero nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Ipinapakita rin nito ang pag-aayos ng mga palatandaan para sa mga coordinate ng mga puntos depende sa kanilang lokasyon sa isang partikular na kuwadrante.
Bilang karagdagan sa Cartesian rectangular coordinates sa isang eroplano, ang polar coordinate system ay madalas ding isinasaalang-alang. Tungkol sa paraan ng paglipat mula sa isang coordinate system patungo sa isa pa - sa aralin polar coordinate system .
Rectangular Cartesian coordinate system sa kalawakan
Ang mga coordinate ng Cartesian sa espasyo ay ipinakilala sa kumpletong pagkakatulad sa mga coordinate ng Cartesian sa eroplano.
Tatlong magkaparehong patayo na axes sa espasyo (coordinate axes) na may iisang pinanggalingan O at may parehong sukat na yunit ang kanilang nabuo Cartesian rectangular coordinate system sa kalawakan .
Ang isa sa mga ax na ito ay tinatawag na axis baka, o x-axis , ang isa pa - ang axis Oy, o y-axis , ang ikatlong - axis Oz, o ilapat ang axis . Hayaan Mx, My Mz- mga projection ng isang di-makatwirang punto M espasyo sa axis baka , Oy isang | Oz ayon sa pagkakabanggit.
Dumaan tayo sa punto M bakabaka sa punto Mx. Dumaan tayo sa punto M eroplanong patayo sa axis Oy. Ang eroplanong ito ay bumalandra sa axis Oy sa punto My. Dumaan tayo sa punto M eroplanong patayo sa axis Oz. Ang eroplanong ito ay bumalandra sa axis Oz sa punto Mz.
Cartesian rectangular coordinate x , y isang | z puntos M tatawagin namin ang mga halaga ng mga nakadirekta na mga segment nang naaayon OMx, OMy At OMz. Ang mga halaga ng mga nakadirekta na mga segment na ito ay kinakalkula nang naaayon bilang x = x0 - 0 , y = y0 - 0 At z = z0 - 0 .
Mga coordinate ng Cartesian x , y isang | z puntos M ay tinatawag nang naaayon abscissa , ordinate At mag-apply .
Ang mga coordinate axes na kinuha sa mga pares ay matatagpuan sa mga coordinate na eroplano xOy , yOz isang | zOx .
Mga problema tungkol sa mga puntos sa isang Cartesian coordinate system
Halimbawa 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa abscissa axis.
Solusyon. Tulad ng sumusunod mula sa teoretikal na bahagi ng araling ito, ang projection ng isang punto papunta sa abscissa axis ay matatagpuan sa abscissa axis mismo, iyon ay, ang axis baka, at samakatuwid ay may abscissa na katumbas ng abscissa ng punto mismo, at isang ordinate (coordinate sa axis Oy, kung saan ang x-axis ay bumalandra sa punto 0), na katumbas ng zero. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntong ito sa x-axis:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Halimbawa 2. Sa Cartesian coordinate system, ang mga puntos ay ibinibigay sa eroplano
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa ordinate axis.
Solusyon. Tulad ng sumusunod mula sa teoretikal na bahagi ng araling ito, ang projection ng isang punto papunta sa ordinate axis ay matatagpuan sa ordinate axis mismo, iyon ay, ang axis Oy, at samakatuwid ay may ordinate na katumbas ng ordinate ng punto mismo, at isang abscissa (coordinate sa axis baka, na kung saan ang ordinate axis ay bumalandra sa punto 0), na katumbas ng zero. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntong ito sa ordinate axis:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Halimbawa 3. Sa Cartesian coordinate system, ang mga puntos ay ibinibigay sa eroplano
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
baka .
baka baka baka, ay magkakaroon ng parehong abscissa bilang ibinigay na punto, at isang ordinate na katumbas ng absolute value sa ordinate ng ibinigay na punto, at kabaligtaran sa sign. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntong simetriko sa mga puntong ito na may kaugnayan sa axis baka :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Halimbawa 4. Tukuyin kung aling mga quadrant (quarters, drawing na may quadrants - sa dulo ng talata na "Rectangular Cartesian coordinate system sa isang eroplano") ay matatagpuan ang isang punto M(x; y) , Kung
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Halimbawa 5. Sa Cartesian coordinate system, ang mga puntos ay ibinibigay sa eroplano
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga puntong simetriko sa mga puntong ito na may kaugnayan sa axis Oy .
Patuloy nating lutasin ang mga problema nang sama-sama
Halimbawa 6. Sa Cartesian coordinate system, ang mga puntos ay ibinibigay sa eroplano
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga puntong simetriko sa mga puntong ito na may kaugnayan sa axis Oy .
Solusyon. I-rotate ang 180 degrees sa paligid ng axis Oy direksyong bahagi mula sa axis Oy hanggang sa puntong ito. Sa figure, kung saan ang mga quadrant ng eroplano ay ipinahiwatig, nakikita namin na ang punto ay simetriko sa ibinigay na isa na may kaugnayan sa axis Oy, ay magkakaroon ng parehong ordinate bilang ang ibinigay na punto, at isang abscissa katumbas ng ganap na halaga sa abscissa ng ibinigay na punto at kabaligtaran sa sign. Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa mga puntong ito na may kaugnayan sa axis Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Halimbawa 7. Sa Cartesian coordinate system, ang mga puntos ay ibinibigay sa eroplano
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga puntos na simetriko sa mga puntong ito na nauugnay sa pinagmulan.
Solusyon. Iniikot namin ang nakadirekta na segment mula sa pinanggalingan patungo sa ibinigay na punto nang 180 degrees sa paligid ng pinanggalingan. Sa figure, kung saan ipinahiwatig ang mga quadrant ng eroplano, makikita natin na ang isang puntong simetriko sa ibinigay na punto na may kaugnayan sa pinagmulan ng mga coordinate ay magkakaroon ng abscissa at ordinate na katumbas ng absolute value sa abscissa at ordinate ng ibinigay na punto, ngunit tapat sa sign. Kaya nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa mga puntong ito na nauugnay sa pinagmulan:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Halimbawa 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga projection ng mga puntong ito:
1) sa isang eroplano Oxy ;
2) sa isang eroplano Oxz ;
3) sa isang eroplano Oyz ;
4) sa abscissa axis;
5) sa ordinate axis;
6) sa applicate axis.
1) Projection ng isang punto sa isang eroplano Oxy ay matatagpuan sa mismong eroplanong ito, at samakatuwid ay may abscissa at ordinate na katumbas ng abscissa at ordinate ng isang naibigay na punto, at isang applicate na katumbas ng zero. Kaya nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito papunta Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Projection ng isang punto sa isang eroplano Oxz ay matatagpuan sa mismong eroplanong ito, at samakatuwid ay mayroong abscissa at applicate na katumbas ng abscissa at applicate ng isang naibigay na punto, at isang ordinate na katumbas ng zero. Kaya nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito papunta Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Projection ng isang punto sa isang eroplano Oyz ay matatagpuan sa mismong eroplanong ito, at samakatuwid ay may ordinate at applicate na katumbas ng ordinate at applicate ng isang naibigay na punto, at isang abscissa na katumbas ng zero. Kaya nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito papunta Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Tulad ng sumusunod mula sa teoretikal na bahagi ng araling ito, ang projection ng isang punto papunta sa abscissa axis ay matatagpuan sa abscissa axis mismo, iyon ay, ang axis baka, at samakatuwid ay may abscissa na katumbas ng abscissa ng punto mismo, at ang ordinate at applicate ng projection ay katumbas ng zero (dahil ang ordinate at applicate axes ay nagsalubong sa abscissa sa punto 0). Nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa abscissa axis:
Ax (4; 0; 0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Ang projection ng isang punto papunta sa ordinate axis ay matatagpuan sa ordinate axis mismo, iyon ay, ang axis Oy, at samakatuwid ay may ordinate na katumbas ng ordinate ng punto mismo, at ang abscissa at applicate ng projection ay katumbas ng zero (dahil ang abscissa at applicate axes ay nagsalubong sa ordinate axis sa punto 0). Nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa ordinate axis:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Ang projection ng isang punto papunta sa applicate axis ay matatagpuan sa applicate axis mismo, iyon ay, ang axis Oz, at samakatuwid ay may applicate na katumbas ng applicate ng point mismo, at ang abscissa at ordinate ng projection ay katumbas ng zero (dahil ang abscissa at ordinate axes ay nagsalubong sa applicate axis sa punto 0). Nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga projection ng mga puntong ito sa applicate axis:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Halimbawa 9. Sa Cartesian coordinate system, ang mga puntos ay ibinibigay sa espasyo
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Hanapin ang mga coordinate ng mga puntong simetriko sa mga puntong ito na may kinalaman sa:
1) eroplano Oxy ;
2) mga eroplano Oxz ;
3) mga eroplano Oyz ;
4) abscissa axes;
5) ordinate axes;
6) ilapat ang mga palakol;
7) pinagmulan ng mga coordinate.
1) "Ilipat" ang punto sa kabilang panig ng axis Oxy Oxy, ay magkakaroon ng abscissa at ordinate na katumbas ng abscissa at ordinate ng isang naibigay na punto, at isang applicate na katumbas ng magnitude sa aplicate ng isang naibigay na punto, ngunit kabaligtaran sa sign. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na nauugnay sa eroplano Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Ilipat" ang punto sa kabilang panig ng axis Oxz sa parehong distansya. Mula sa figure na nagpapakita ng coordinate space, nakikita natin na ang isang punto ay simetriko sa isang ibinigay na kamag-anak sa axis. Oxz, ay magkakaroon ng abscissa at mag-apply na katumbas ng abscissa at applicate ng isang naibigay na punto, at isang ordinate na katumbas ng magnitude sa ordinate ng isang naibigay na punto, ngunit kabaligtaran sa sign. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na nauugnay sa eroplano Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Ilipat" ang punto sa kabilang panig ng axis Oyz sa parehong distansya. Mula sa figure na nagpapakita ng coordinate space, nakikita natin na ang isang punto ay simetriko sa isang ibinigay na kamag-anak sa axis. Oyz, ay magkakaroon ng isang ordinate at isang aplicate na katumbas ng ordinate at isang aplicate ng isang naibigay na punto, at isang abscissa na katumbas ng halaga sa abscissa ng isang naibigay na punto, ngunit kabaligtaran sa sign. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na nauugnay sa eroplano Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Sa pamamagitan ng pagkakatulad na may simetriko na mga punto sa isang eroplano at mga punto sa espasyo na simetriko sa data na may kaugnayan sa mga eroplano, tandaan namin na sa kaso ng simetriko na may paggalang sa ilang axis ng Cartesian coordinate system sa kalawakan, ang coordinate sa axis na may paggalang sa kung saan ang symmetry ay ibinigay ay mananatili ang sign nito, at ang mga coordinate sa iba pang dalawang axes ay magiging pareho sa ganap na halaga bilang mga coordinate ng isang naibigay na punto, ngunit kabaligtaran sa sign.
4) Ang abscissa ay mananatili sa kanyang tanda, ngunit ang ordinate at applicate ay magbabago ng mga palatandaan. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na nauugnay sa abscissa axis:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ang ordinate ay mananatili sa kanyang tanda, ngunit ang abscissa at applicate ay magbabago ng mga palatandaan. Kaya, nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na nauugnay sa ordinate axis:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Pananatilihin ng applicate ang sign nito, ngunit ang abscissa at ordinate ay magbabago ng signs. Kaya, nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na nauugnay sa naaangkop na axis:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa simetrya sa kaso ng mga punto sa isang eroplano, sa kaso ng simetrya tungkol sa pinagmulan ng mga coordinate, lahat ng mga coordinate ng isang punto simetriko sa isang naibigay na isa ay magiging katumbas ng ganap na halaga sa mga coordinate ng isang naibigay na punto, ngunit kabaligtaran sa tanda. Kaya, nakukuha namin ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na simetriko sa data na nauugnay sa pinagmulan.
Pagtukoy sa posisyon ng isang punto sa espasyo
Kaya, ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay maaari lamang matukoy na may kaugnayan sa ilang iba pang mga punto. Ang punto na nauugnay sa kung saan ang posisyon ng iba pang mga punto ay isinasaalang-alang ay tinatawag reference point . Gagamit din kami ng ibang pangalan para sa reference point - punto ng pagmamasid . Karaniwan ang isang reference point (o isang observation point) ay nauugnay sa ilan sistema ng coordinate , na tinatawag na sistema ng sanggunian. Sa napiling reference system, ang posisyon ng BAWAT punto ay tinutukoy ng TATLONG coordinate.
Kanan na Cartesian (o parihabang) coordinate system
Ang sistema ng coordinate na ito ay binubuo ng tatlong magkaparehong patayo na nakadirekta na mga linya, na tinatawag ding coordinate axes , bumalandra sa isang punto (pinagmulan). Ang pinagmulang punto ay karaniwang tinutukoy ng titik O.
Ang mga coordinate axes ay pinangalanan:
1. Abscissa axis – itinalaga bilang OX;
2. Y axis – tinutukoy bilang OY;
3. Ilapat ang axis – itinalaga bilang OZ
Ngayon ipaliwanag natin kung bakit tinatawag na right-handed ang coordinate system na ito. Tingnan natin ang XOY plane mula sa positibong direksyon ng OZ axis, halimbawa mula sa point A, tulad ng ipinapakita sa figure.
Ipagpalagay natin na sinimulan nating paikutin ang OX axis sa paligid ng point O. Kaya - ang tamang coordinate system ay may ganoong katangian na kung titingnan mo ang XOY plane mula sa anumang punto sa positibong semi-axis OZ (para sa amin ito ay point A) , pagkatapos, kapag pinihit ang OX axis ng 90 counterclockwise, ang positibong direksyon nito ay mag-tutugma sa positibong direksyon ng OY axis.
Ang desisyon na ito ay ginawa sa siyentipikong mundo, ngunit maaari lamang nating tanggapin ito kung ano ito.
Kaya, pagkatapos naming magpasya sa sistema ng sanggunian (sa aming kaso, ang kanang kamay na Cartesian coordinate system), ang posisyon ng anumang punto ay inilarawan sa pamamagitan ng mga halaga ng mga coordinate nito o, sa madaling salita, sa pamamagitan ng mga halaga. ng mga projection ng puntong ito sa mga coordinate axes.
Ito ay nakasulat tulad nito: A(x, y, z), kung saan ang x, y, z ay ang mga coordinate ng point A.
Ang isang rectangular coordinate system ay maaaring isipin bilang mga linya ng intersection ng tatlong magkaparehong patayo na eroplano.
Dapat tandaan na maaari mong i-orient ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa espasyo sa anumang paraan na gusto mo, at isang kondisyon lamang ang dapat matugunan - ang pinagmulan ng mga coordinate ay dapat na nag-tutugma sa reference center (o observation point).
Spherical coordinate system
Ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay maaaring ilarawan sa ibang paraan. Ipagpalagay natin na pumili tayo ng rehiyon ng espasyo kung saan matatagpuan ang reference point O (o observation point), at alam din natin ang distansya mula sa reference point hanggang sa isang partikular na punto A. Ikonekta natin ang dalawang puntong ito sa isang tuwid na linyang OA. . Ang linyang ito ay tinatawag radius vector at tinutukoy bilang r. Ang lahat ng mga punto na may parehong halaga ng radius vector ay nasa isang globo, ang gitna nito ay nasa reference point (o observation point), at ang radius ng globong ito ay katumbas, ayon sa pagkakabanggit, sa radius vector.
Kaya, nagiging malinaw sa amin na ang pag-alam sa halaga ng radius vector ay hindi nagbibigay sa amin ng isang hindi malabo na sagot tungkol sa posisyon ng punto ng interes sa amin. Kailangan mo ng DALAWA pang coordinate, dahil upang malinaw na matukoy ang lokasyon ng isang punto, ang bilang ng mga coordinate ay dapat na TATLO.
Susunod, magpapatuloy kami bilang mga sumusunod - gagawa kami ng dalawang magkaparehong patayo na mga eroplano, na, natural, ay magbibigay ng isang linya ng intersection, at ang linyang ito ay magiging walang hanggan, dahil ang mga eroplano mismo ay hindi limitado sa anumang bagay. Magtakda tayo ng isang punto sa linyang ito at italaga ito, halimbawa, bilang punto O1. Ngayon pagsamahin natin ang puntong ito O1 sa gitna ng globo - punto O at tingnan kung ano ang mangyayari?
At ito ay naging isang napaka-kagiliw-giliw na larawan:
· Parehong isa at ang iba pang mga eroplano ay magiging sentral mga eroplano.
· Ang intersection ng mga eroplanong ito sa ibabaw ng globo ay tinutukoy ng malaki mga bilog
· Isa sa mga lupon na ito - arbitraryo, tatawag kami EQUATOR, pagkatapos ay tatawagin ang kabilang bilog PANGUNAHING MERIDIAN.
· Ang linya ng intersection ng dalawang eroplano ay natatanging tutukoy sa direksyon MGA LINYA NG PANGUNAHING MERIDIAN.
Tinutukoy namin ang mga punto ng intersection ng linya ng pangunahing meridian na may ibabaw ng globo bilang M1 at M2
Sa pamamagitan ng gitna ng globo, point O sa eroplano ng pangunahing meridian, gumuhit kami ng isang tuwid na linya na patayo sa linya ng pangunahing meridian. Ang tuwid na linyang ito ay tinatawag POLAR AXIS.
Ang polar axis ay magsalubong sa ibabaw ng globo sa dalawang puntong tinatawag POLES NG SPHERE. Italaga natin ang mga puntong ito bilang P1 at P2.
Pagtukoy sa mga coordinate ng isang punto sa espasyo
Ngayon ay isasaalang-alang natin ang proseso ng pagtukoy ng mga coordinate ng isang punto sa espasyo, at bibigyan din ng mga pangalan ang mga coordinate na ito. Upang makumpleto ang larawan, kapag tinutukoy ang posisyon ng isang punto, ipinapahiwatig namin ang mga pangunahing direksyon kung saan binibilang ang mga coordinate, pati na rin ang positibong direksyon kapag nagbibilang.
1. Itakda ang posisyon sa espasyo ng reference point (o observation point). Tukuyin natin ang puntong ito ng titik O.
2. Bumuo ng sphere na ang radius ay katumbas ng haba ng radius vector ng point A. (Ang radius vector ng point A ay ang distansya sa pagitan ng mga puntos O at A). Ang sentro ng globo ay matatagpuan sa reference point O.
3. Itinakda namin ang posisyon sa espasyo ng EQUATOR plane, at naaayon sa eroplano ng MAIN MERIDIAN. Dapat alalahanin na ang mga eroplanong ito ay magkaparehong patayo at sentral.
4. Ang intersection ng mga eroplano na ito sa ibabaw ng globo ay tumutukoy para sa amin ang posisyon ng bilog ng ekwador, ang bilog ng pangunahing meridian, pati na rin ang direksyon ng linya ng pangunahing meridian at ang polar axis.
5. Tukuyin ang posisyon ng mga pole ng polar axis at ang mga pole ng pangunahing meridian line. (Ang mga pole ng polar axis ay ang mga punto ng intersection ng polar axis sa ibabaw ng globo. Ang mga pole ng linya ng pangunahing meridian ay ang mga punto ng intersection ng linya ng pangunahing meridian na may ibabaw ng globo ).
6. Sa pamamagitan ng punto A at ang polar axis ay gumagawa tayo ng isang eroplano, na tatawagin natin ang eroplano ng meridian ng punto A. Kapag ang eroplanong ito ay bumalandra sa ibabaw ng globo, isang malaking bilog ang makukuha, na tatawagin nating MERIDIAN ng punto A.
7. Ang meridian ng point A ay magsa-intersect sa bilog ng EQUATOR sa isang punto, na itatalaga natin bilang E1
8. Ang posisyon ng punto E1 sa ekwador na bilog ay tinutukoy ng haba ng arko na nakapaloob sa pagitan ng mga puntong M1 at E1. Ang countdown ay COUNTERclockwise. Ang arko ng ekwador na bilog na nakapaloob sa pagitan ng mga punto M1 at E1 ay tinatawag na LONGITUDE ng punto A. Ang longitude ay tinutukoy ng titik .
Isa-isahin natin ang mga intermediate na resulta. Sa ngayon, alam natin ang DALAWA sa TATLONG mga coordinate na naglalarawan sa posisyon ng point A sa espasyo - ito ang radius vector (r) at longitude (). Ngayon ay tutukuyin natin ang ikatlong coordinate. Ang coordinate na ito ay tinutukoy ng posisyon ng point A sa meridian nito. Ngunit ang posisyon ng panimulang punto kung saan nagaganap ang pagbibilang ay hindi malinaw na tinukoy: maaari nating simulan ang pagbilang pareho mula sa poste ng globo (punto P1) at mula sa puntong E1, iyon ay, mula sa punto ng intersection ng mga linya ng meridian. ng punto A at ang ekwador (o sa madaling salita - mula sa linya ng ekwador).
Sa unang kaso, ang posisyon ng point A sa meridian ay tinatawag na POLAR DISTANCE (na tinukoy bilang r) at tinutukoy ng haba ng arko na nakapaloob sa pagitan ng punto P1 (o ang pole point ng globo) at punto A. Ang pagbibilang ay isinasagawa sa kahabaan ng meridian line mula sa punto P1 hanggang sa punto A.
Sa pangalawang kaso, kapag ang countdown ay mula sa linya ng ekwador, ang posisyon ng punto A sa linya ng meridian ay tinatawag na LATITUDE (na tinukoy bilang at tinutukoy ng haba ng arko na nakapaloob sa pagitan ng punto E1 at punto A.
Ngayon ay maaari nating sabihin sa wakas na ang posisyon ng point A sa isang spherical coordinate system ay tinutukoy ng:
· haba ng radius ng globo (r),
haba ng arko ng longitude (),
haba ng arko ng polar distance (p)
Sa kasong ito, ang mga coordinate ng point A ay isusulat tulad ng sumusunod: A(r, , p)
Kung gagamit tayo ng ibang reference system, ang posisyon ng point A sa spherical coordinate system ay matutukoy sa pamamagitan ng:
· haba ng radius ng globo (r),
haba ng arko ng longitude (),
· haba ng arko ng latitude ()
Sa kasong ito, ang mga coordinate ng point A ay isusulat tulad ng sumusunod: A(r, , )
Mga pamamaraan para sa pagsukat ng mga arko
Ang tanong ay lumitaw - paano natin susukatin ang mga arko na ito? Ang pinakasimpleng at pinaka-natural na paraan ay ang direktang sukatin ang mga haba ng mga arko gamit ang isang nababaluktot na pinuno, at posible ito kung ang laki ng globo ay maihahambing sa laki ng isang tao. Ngunit ano ang gagawin kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan?
Sa kasong ito, gagamitin namin ang pagsukat ng RELATIVE arc length. Kukunin natin ang circumference bilang pamantayan, bahagi alin ang arko na interesado kami. Paano ito magagawa?
Upang matukoy Ang mga posisyon ng mga punto sa geodesy ay gumagamit ng spatial rectangular, geodetic at plane rectangular coordinate.
Mga spatial na parihabang coordinate. Ang pinagmulan ng sistema ng coordinate ay matatagpuan sa gitna O ellipsoid ng lupa(Larawan 2.2).
Axis Z nakadirekta kasama ang axis ng pag-ikot ng ellipsoid sa hilaga. Axis X nasa intersection ng equatorial plane na may inisyal na Greenwich meridian. Axis Y nakadirekta patayo sa mga palakol Z At X sa silangan.
Geodetic na mga coordinate. Ang geodetic coordinates ng isang punto ay ang latitude, longitude at taas nito (Larawan 2.2).
Geodetic latitude puntos M tinatawag na anggulo SA, na nabuo sa pamamagitan ng normal sa ibabaw ng ellipsoid na dumadaan sa isang naibigay na punto at ang equatorial plane.
Ang latitude ay sinusukat mula sa ekwador hilaga at timog mula 0° hanggang 90° at tinatawag na hilaga o timog. Ang hilagang latitude ay itinuturing na positibo, at ang southern latitude ay negatibo.
Mga sectional na eroplano ng isang ellipsoid na dumadaan sa axis OZ, ay tinatawag geodetic meridian.
Geodetic longitude puntos M tinatawag na dihedral angle L, na nabuo ng mga eroplano ng inisyal (Greenwich) geodesic meridian at ang geodesic meridian ng isang naibigay na punto.
Ang mga longitude ay sinusukat mula sa prime meridian sa hanay mula 0° hanggang 360° silangan, o mula 0° hanggang 180° silangan (positibo) at mula 0° hanggang 180° kanluran (negatibo).
Geodetic na taas puntos M ang taas nito N sa ibabaw ng ibabaw ng ellipsoid ng lupa.
Ang mga geodetic na coordinate at spatial na rectangular na coordinate ay nauugnay sa mga formula
X =(N+H)cos B cos L,
Y=(N+H)cos B kasalanan L,
Z=[(1- e 2)N+H] kasalanan B,
saan e- unang eccentricity ng meridian ellipse at N-radius ng curvature ng unang vertical Sa kasong ito N=a/(1 - e 2 kasalanan 2 B) 1/2 .
Geodetic at spatial Ang mga parihaba na coordinate ng mga punto ay tinutukoy gamit ang mga pagsukat ng satellite, gayundin sa pamamagitan ng pag-uugnay sa mga ito sa mga geodetic na sukat sa mga puntong may mga kilalang coordinate.
Tandaan na kasama ng Kasama ng geodesics, mayroon ding astronomical latitude at longitude. Astronomical latitude j ay ang anggulo na ginawa ng plumb line sa isang partikular na punto sa eroplano ng ekwador. Astronomical longitude l ay ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ng Greenwich meridian at ng astronomical meridian na dumadaan sa plumb line sa isang partikular na punto. Ang mga coordinate ng astronomya ay tinutukoy sa lupa mula sa mga obserbasyon ng astronomya.
Astronomical coordinate naiiba sa geodesics dahil ang mga direksyon ng mga linya ng plumb ay hindi nag-tutugma sa mga direksyon ng mga normal sa ibabaw ng ellipsoid. Ang anggulo sa pagitan ng direksyon ng normal sa ibabaw ng ellipsoid at ng plumb line sa isang partikular na punto sa ibabaw ng mundo ay tinatawag paglihis ng plumb line.
Ang paglalahat ng geodetic at astronomical coordinate ay ang terminong - heograpikal na coordinate.
Plane rectangular coordinate. Upang malutas ang mga problema ng engineering geodesy, lumipat sila mula sa spatial at geodetic na mga coordinate hanggang sa mas simple - mga flat coordinate, na ginagawang posible na ilarawan ang lupain sa isang eroplano at matukoy ang posisyon ng mga puntos gamit ang dalawang coordinate X At sa.
Dahil ang matambok na ibabaw ng Earth hindi maaaring ilarawan sa isang eroplano nang walang pagbaluktot; ang pagpapakilala ng mga coordinate ng eroplano ay posible lamang sa mga limitadong lugar kung saan ang mga pagbaluktot ay napakaliit na maaari silang mapabayaan. Sa Russia, isang sistema ng mga hugis-parihaba na coordinate ang pinagtibay, ang batayan nito ay isang equiangular na transverse-cylindrical. Gaussian projection. Ang ibabaw ng isang ellipsoid ay inilalarawan sa isang eroplano sa mga bahagi na tinatawag na mga zone. Ang mga zone ay spherical triangles, na napapalibutan ng mga meridian, at umaabot mula sa north pole hanggang sa timog (Larawan 2.3). Ang laki ng zone sa longitude ay 6°. Ang gitnang meridian ng bawat zone ay tinatawag na axial meridian. Ang mga sona ay binibilang mula Greenwich hanggang silangan.
Ang longitude ng axial meridian ng zone na may numerong N ay katumbas ng:
l 0 = 6°× N - 3°.
Ang axial meridian ng sona at ng ekwador ay inilalarawan sa eroplano sa pamamagitan ng mga tuwid na linya (Larawan 2.4). Ang axial meridian ay kinuha bilang abscissa axis x, at ang ekwador ay nasa likod ng ordinate axis y. Ang kanilang intersection (point O) nagsisilbing pinagmulan ng mga coordinate para sa zone na ito.
Para maiwasan negatibong mga halaga ng ordinate, ang mga coordinate ng intersection ay kinuha pantay x 0 = 0, y 0 = 500 km, na katumbas ng axis displacement X 500 km kanluran.
Upang sa pamamagitan ng hugis-parihaba na mga coordinate ng isang punto ay maaaring hatulan ng isa kung saang zone ito matatagpuan, hanggang sa ordinate y ang numero ng coordinate zone ay nakatalaga sa kaliwa.
Hayaan, halimbawa, ang mga coordinate ng isang punto A magkaroon ng form:
x A= 6,276,427 m
y A= 12,428,566 m
Ang mga coordinate na ito ay nagpapahiwatig iyon ang punto A ay matatagpuan sa layong 6276427 m mula sa ekwador, sa kanlurang bahagi ( y < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Para sa spatial na hugis-parihaba, geodetic at flat rectangular coordinate sa Russia, isang pinag-isang coordinate system na SK-95 ay pinagtibay, na naayos sa lupa sa pamamagitan ng mga punto ng geodetic network ng estado at binuo ayon sa satellite at ground measurements noong 1995.
Mga lokal na rectangular coordinate system. Sa panahon ng pagtatayo ng iba't ibang mga bagay, madalas na ginagamit ang mga lokal (kondisyonal) na sistema ng coordinate, kung saan ang mga direksyon ng mga axes at ang pinagmulan ng mga coordinate ay itinalaga batay sa kaginhawaan ng kanilang paggamit sa panahon ng pagtatayo at kasunod na operasyon ng bagay.
Kaya, kapag shooting axis ng istasyon ng tren sa ay nakadirekta sa kahabaan ng axis ng pangunahing riles ng tren sa direksyon ng pagtaas ng picketage, at ang axis X- sa kahabaan ng axis ng gusali ng istasyon ng pasahero.
Sa panahon ng pagtatayo tulay na tumatawid axis X kadalasang pinagsama sa axis ng tulay, at sa axis y napupunta sa isang patayong direksyon.
Sa panahon ng pagtatayo malalaking pang-industriya at sibil na pasilidad ng Axis x At y nakadirekta parallel sa mga axes ng mga gusali sa ilalim ng konstruksiyon.
Naglo-load...
