O conceito de um evento e a probabilidade de um evento. Eventos confiáveis ​​e impossíveis. Definição clássica de probabilidade. Teorema da adição de probabilidade. Teorema da multiplicação de probabilidades. Resolvendo os problemas mais simples de determinação de probabilidade usando a adição de probabilidades.

Diretrizes para o tópico 3.1:

O conceito de um evento e a probabilidade de um evento. Eventos confiáveis ​​e impossíveis. Definição clássica de probabilidades:

O estudo de cada fenômeno na ordem de observação ou experimentação está associado à implementação de um determinado conjunto de condições (testes). Todo resultado ou resultado de um teste é chamado evento.

Se um evento sob determinadas condições pode acontecer ou não, então ele é chamado aleatório. Quando é certo que um evento acontecerá, ele é chamado confiável, e no caso em que isso obviamente não pode acontecer, - impossível.

Os eventos são chamados incompatível, se apenas um deles for possível aparecer de cada vez. Os eventos são chamados articulação, se, em determinadas condições, a ocorrência de um destes eventos não excluir a ocorrência de outro durante o mesmo teste.

Os eventos são chamados oposto, se, nas condições do teste, eles, sendo seus únicos resultados, forem incompatíveis.

A probabilidade de um evento é considerada como uma medida da possibilidade objetiva de ocorrência de um evento aleatório.

Probabilidade eventos é chamada de razão entre o número de resultados eu, favorável à ocorrência de um determinado evento, ao número n de todos os resultados (incompatíveis, apenas possíveis e igualmente possíveis), ou seja,

A probabilidade de qualquer evento não pode ser menor que zero e maior que um, ou seja, . Um evento impossível corresponde a uma probabilidade, e um evento confiável corresponde a uma probabilidade

Exemplo 1. Em uma loteria de 1.000 bilhetes, há 200 ganhadores. Um bilhete é retirado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de este bilhete ser vencedor?

O número total de resultados diferentes é n= 1000. O número de resultados favoráveis ​​à vitória é eu= 200. De acordo com a fórmula, obtemos .

Exemplo 2. Uma bola é retirada de uma urna contendo 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Encontre a probabilidade de a bola ser preta.

Denotemos o evento que consiste no aparecimento de uma bola preta por . Número total de casos. Número de casos eu, favorável à ocorrência do evento, é igual a 3. Pela fórmula, obtemos .

Exemplo 3. De uma urna contendo 12 bolas brancas e 8 bolas pretas, duas bolas são sorteadas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de ambas as bolas serem pretas?

Denotemos o evento que consiste no aparecimento de duas bolas pretas por . Número total de casos possíveis n igual ao número de combinações de 20 elementos (12 + 8) por dois:

Número de casos eu, favorável ao evento, é

Usando a fórmula, encontramos a probabilidade de aparecerem duas bolas pretas:

Teorema da adição de probabilidade. Resolvendo os problemas mais simples de determinação de probabilidade usando o teorema da adição de probabilidade:

Teorema para somar as probabilidades de eventos incompatíveis. A probabilidade de ocorrência de um dos vários eventos incompatíveis entre pares, não importa qual deles, é igual à soma das probabilidades desses eventos:

Teorema para adicionar probabilidades de eventos conjuntos. A probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos dois eventos conjuntos é igual à soma das probabilidades desses eventos sem a probabilidade de sua ocorrência conjunta:

Exemplo 4. Existem 20 peças dispostas aleatoriamente em uma caixa, cinco das quais são padrão. Um trabalhador pega três peças aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das peças retiradas seja padrão.

Obviamente, pelo menos uma das partes tomadas será padrão se ocorrer algum dos três eventos incompatíveis: B- uma parte é padrão, duas não são padronizadas; C- duas peças padronizadas, uma não padronizada e D- três partes são padrão.

Então o evento A pode ser representado como a soma destes três eventos: A = B + C + D. Pelo teorema da adição temos P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Encontre a probabilidade de cada um desses eventos:

Somando os valores encontrados, obtemos

Exemplo 5. Encontre a probabilidade de que um número de dois dígitos escolhido aleatoriamente seja múltiplo de 3 ou 5, ou de ambos.

Deixar A- um evento que consiste no fato de um número escolhido aleatoriamente ser múltiplo de 3, e B- é que é um múltiplo de 5. Vamos descobrir desde A E B eventos conjuntos, então usamos a fórmula:

Há um total de 90 números de dois algarismos: 10, 11, 98, 99. Destes, 30 são múltiplos de 3 (favorecem a ocorrência do evento A); 18 – múltiplos de 5 (favorecem a ocorrência de um evento B) e 6 - múltiplos de 3 e 5 ao mesmo tempo (favorecem a ocorrência do evento AB). Assim, ou seja

Teorema da multiplicação de probabilidade:

Teorema para multiplicar as probabilidades de eventos independentes. A probabilidade de ocorrência conjunta de dois eventos independentes é igual ao produto das probabilidades desses eventos:

A probabilidade de ocorrência de vários eventos independentes no agregado é calculada pela fórmula:

Teorema para multiplicar as probabilidades de eventos dependentes. A probabilidade de ocorrência conjunta de dois eventos dependentes é igual ao produto de um deles pela probabilidade condicional do segundo:

Exemplo 6. Uma urna contém 4 bolas brancas e 8 pretas, a outra contém 3 bolas brancas e 9 pretas. Foi retirada uma bola de cada urna. Encontre a probabilidade de ambas as bolas serem brancas.

Seja o aparecimento de uma bola branca na primeira urna, e seja o aparecimento de uma bola branca na segunda urna. É óbvio que os eventos são independentes. Nós vamos encontrar

Usando a fórmula obtemos:

Perguntas de autoteste no tópico 3.1:

1. O que é um evento?

2. Quais eventos são chamados de confiáveis?

3. Quais eventos são chamados de impossíveis?

4. Defina probabilidade.

5. Formule o teorema da adição de probabilidades.

6. Formule o teorema da multiplicação de probabilidade.

Tarefas para solução independente no tópico 3.1:

1. Uma caixa contém 10 peças em ordem aleatória, das quais 4 são padrão. O inspetor pegou 3 peças aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das partes retiradas seja padrão.

2. Uma urna contém 10 bolas brancas, 15 pretas, 20 azuis e 25 vermelhas. Encontre a probabilidade de a bola sorteada ser: 1) branca; 2) preto ou vermelho.

3. Encontre a probabilidade de que um número de dois dígitos escolhido aleatoriamente seja múltiplo de 4 ou 5, ou de ambos.

4. Um trabalhador faz manutenção em duas máquinas que operam independentemente uma da outra. A probabilidade de a primeira máquina não exigir a atenção de um trabalhador dentro de uma hora é de 0,8, e para a segunda máquina esta probabilidade é de 0,7. Encontre a probabilidade de que dentro de uma hora nenhuma máquina exija a atenção de um trabalhador.

5. A urna contém 6 bolas, 3 das quais são brancas. Duas bolas são sorteadas aleatoriamente, uma após a outra. Calcule a probabilidade de ambas as bolas serem brancas.

6. Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas. Encontre a probabilidade de que três bolas sorteadas aleatoriamente, uma após a outra, sejam pretas.

A soma de todas as probabilidades de eventos no espaço amostral é igual a 1. Por exemplo, se o experimento for lançar uma moeda com Evento A = cara e Evento B = coroa, então A e B representam todo o espaço amostral. Significa, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.

Exemplo. No exemplo proposto anteriormente de cálculo da probabilidade de retirar uma caneta vermelha do bolso do manto (este é o evento A), que contém duas canetas azuis e uma vermelha, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, a probabilidade do oposto evento - desenhar uma caneta azul - será

Antes de passarmos aos teoremas principais, apresentamos dois conceitos mais complexos - a soma e o produto dos eventos. Esses conceitos são diferentes dos conceitos usuais de soma e produto em aritmética. Adição e multiplicação na teoria das probabilidades são operações simbólicas que estão sujeitas a certas regras e facilitam a construção lógica de conclusões científicas.

Quantia vários eventos é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um deles. Ou seja, a soma de dois eventos A e B é chamada de evento C, que consiste na ocorrência do evento A, ou do evento B, ou dos eventos A e B juntos.

Por exemplo, se um passageiro está esperando em uma parada de bonde por uma de duas rotas, então o evento de que ele precisa é o aparecimento de um bonde na primeira rota (evento A) ou de um bonde na segunda rota (evento B), ou o aparecimento conjunto de bondes na primeira e segunda rotas (evento COM). Na linguagem da teoria das probabilidades, isso significa que o evento D necessário ao passageiro consiste na ocorrência do evento A, ou do evento B, ou do evento C, que será escrito simbolicamente na forma:

D=A+B+C

O produto de dois eventosA E EMé um evento que consiste na ocorrência conjunta de eventos A E EM. O produto de vários eventos a ocorrência conjunta de todos esses eventos é chamada.

No exemplo acima com um passageiro, o evento COM(aparecimento conjunto de bondes em duas rotas) é o produto de dois eventos A E EM, que é escrito simbolicamente da seguinte forma:

Digamos que dois médicos examinem separadamente um paciente para identificar uma doença específica. Durante as inspeções, podem ocorrer os seguintes eventos:

Descoberta de doenças pelo primeiro médico ( A);

Não detecção da doença pelo primeiro médico ();

Detecção da doença por um segundo médico ( EM);

Não detecção da doença pelo segundo médico ().

Considere o evento em que a doença será detectada durante os exames exatamente uma vez. Este evento pode ser realizado de duas maneiras:

A doença será descoberta pelo primeiro médico ( A) e não detectará o segundo ();

As doenças não serão detectadas pelo primeiro médico () e serão detectadas pelo segundo ( B).

Vamos denotar o evento em consideração e escrevê-lo simbolicamente:

Considere o evento em que a doença será detectada duas vezes durante os exames (tanto pelo primeiro quanto pelo segundo médico). Vamos denotar este evento por e escrever: .

Denotamos o evento pelo qual nem o primeiro nem o segundo médico descobrem a doença e anotamos: .

Teoremas básicos da teoria das probabilidades

A probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos.

Vamos escrever o teorema da adição simbolicamente:

P(A + B) = P(A)+P(B),

Onde R- a probabilidade do evento correspondente (o evento é indicado entre colchetes).

Exemplo . O paciente apresenta sangramento gástrico. Este sintoma é registrado em caso de erosão ulcerativa de um vaso (evento A), ruptura de varizes do esôfago (evento B), câncer de estômago (evento C), pólipo gástrico (evento D), diátese hemorrágica (evento F), icterícia obstrutiva (evento E) e gastrite final (eventoG).

O médico, com base na análise dos dados estatísticos, atribui um valor de probabilidade a cada evento:

No total, o médico atendeu 80 pacientes com sangramento gástrico (n= 80), dos quais 12 apresentavam erosão ulcerativa do vaso (), no6 - ruptura de varizes do esôfago (), 36 tiveram câncer de estômago () etc

Para solicitar um exame, o médico deseja determinar a probabilidade de o sangramento estomacal estar associado a uma doença estomacal (evento I):

A probabilidade de o sangramento gástrico estar associado a uma doença estomacal é bastante alta, e o médico pode determinar as táticas de exame com base na suposição de uma doença estomacal, justificada em nível quantitativo pela teoria da probabilidade.

Se forem considerados eventos conjuntos, a probabilidade da soma de dois eventos é igual à soma das probabilidades desses eventos sem a probabilidade de sua ocorrência conjunta.

Simbolicamente isso é escrito pela seguinte fórmula:

Se imaginarmos que o evento A consiste em acertar um alvo sombreado com listras horizontais ao atirar, e o evento EM- ao acertar um alvo sombreado com listras verticais, então no caso de eventos incompatíveis, de acordo com o teorema da adição, a probabilidade da soma é igual à soma das probabilidades dos eventos individuais. Se esses eventos forem conjuntos, então existe uma certa probabilidade correspondente à ocorrência conjunta de eventos A E EM. Se você não corrigir a franquia P(AB), ou seja na probabilidade de ocorrência conjunta de eventos, então esta probabilidade será levada em consideração duas vezes, uma vez que a área sombreada pelas linhas horizontais e verticais é parte integrante de ambos os alvos e será levada em consideração tanto no primeiro quanto no segundo termos .

Na Fig. 1 é dada uma interpretação geométrica que ilustra claramente esta circunstância. Na parte superior da figura existem alvos não sobrepostos, que são análogos a eventos incompatíveis, na parte inferior - alvos que se cruzam, que são análogos a eventos conjuntos (com um tiro você pode atingir o alvo A e o alvo B de uma vez só).

Antes de passar ao teorema da multiplicação, é necessário considerar os conceitos de eventos independentes e dependentes e de probabilidades condicionais e incondicionais.

Independente do evento B é um evento A cuja probabilidade de ocorrência não depende da ocorrência ou não ocorrência do evento B.

Dependente do evento B é um evento A cuja probabilidade de ocorrência depende da ocorrência ou não ocorrência do evento B.

Exemplo . Existem 3 bolas na urna, 2 brancas e 1 preta. Ao escolher uma bola aleatoriamente, a probabilidade de escolher uma bola branca (evento A) é igual a: P(A) = 2/3, e uma bola preta (evento B) P(B) = 1/3. Estamos lidando com um padrão de caso, e as probabilidades dos eventos são calculadas estritamente de acordo com a fórmula. Quando o experimento é repetido, as probabilidades de ocorrência dos eventos A e B permanecem inalteradas se após cada escolha a bola for devolvida à urna. Neste caso, os eventos A e B são independentes. Se a bola escolhida no primeiro experimento não for devolvida à urna, então a probabilidade do evento (A) no segundo experimento depende da ocorrência ou não do evento (B) no primeiro experimento. Assim, se no primeiro experimento apareceu o evento B (foi escolhida uma bola preta), então o segundo experimento é realizado se houver 2 bolas brancas na urna e a probabilidade do evento A aparecer no segundo experimento for igual a: P (A) = 2/2 = 1.

Se o evento B não apareceu no primeiro experimento (foi escolhida uma bola branca), então o segundo experimento é realizado se houver uma bola branca e uma preta na urna e a probabilidade de ocorrência do evento A no segundo experimento é igual a: P(A) = 1/2. Obviamente, neste caso, os eventos A e B estão intimamente relacionados e as probabilidades de sua ocorrência são dependentes.

Probabilidade Condicional o evento A é a probabilidade de sua ocorrência, desde que ocorra o evento B. A probabilidade condicional é denotada simbolicamente P(A/B).

Se a probabilidade de um evento ocorrer A não depende da ocorrência do evento EM, então a probabilidade condicional do evento A igual à probabilidade incondicional:

Se a probabilidade de ocorrência do evento A depende da ocorrência do evento B, então a probabilidade condicional nunca pode ser igual à probabilidade incondicional:

Identificar a dependência de vários eventos entre si é de grande importância na resolução de problemas práticos. Por exemplo, uma suposição errônea sobre a independência do aparecimento de certos sintomas no diagnóstico de defeitos cardíacos por meio de um método probabilístico desenvolvido no Instituto de Cirurgia Cardiovascular que leva seu nome. A. N. Bakulev, causou cerca de 50% dos diagnósticos errôneos.

Capítulo 3.

Teoremas básicos da teoria das probabilidades e suas consequências

Teorema para adicionar probabilidades incompatíveis

Eventos

O segundo capítulo mostrou como a probabilidade de um determinado evento aleatório pode ser determinada quando certas condições são atendidas. Como você sabe, operações aritméticas podem ser realizadas com eventos aleatórios, sendo as principais a adição e multiplicação de eventos. A teoria da probabilidade permite, por meio de seus teoremas básicos, encontrar a probabilidade da soma e do produto dos eventos, ou seja, determinar a probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos eventos em consideração ou a probabilidade de ocorrência simultânea desses eventos.

Os principais teoremas da teoria da probabilidade incluem:

1. Teorema da adição de probabilidades.

2. Teorema da multiplicação de probabilidades.

Consideremos o teorema da adição de probabilidades para um caso particular. Vamos fingir que A E EM eventos incompatíveis, e assumiremos que as probabilidades desses eventos são conhecidas ou podem ser encontradas.

Teorema 3.1. A probabilidade de ocorrência de um dos dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos, ou seja,

Prova. Deixar n– o número total de todos os eventos elementares igualmente possíveis do teste em que os eventos podem aparecer A ou EM. Vamos denotar por t-A E televisão número de eventos elementares favoráveis ​​​​a eventos A E EM respectivamente. Desde os eventos A E EM são incompatíveis, então a soma desses eventos A + EM Favor t-A+ televisão eventos elementares. É por isso .

O teorema foi provado.

Consequência. A probabilidade de ocorrência de um dos vários eventos incompatíveis entre pares é igual à soma das probabilidades desses eventos, ou seja,

Prova não é difícil de realizar usando o método de indução matemática.

Exemplo 3.1. Uma caixa contém 8 bolas brancas, 5 pretas e 10 vermelhas. Uma bola é selecionada aleatoriamente. Qual é a probabilidade de esta bola não ser branca?

Solução. Deixe o evento A– escolhendo uma bola preta, EM– escolhendo uma bola vermelha. Então o evento COM = A + EM determina a escolha de uma bola não branca (preta ou vermelha).

De acordo com a fórmula clássica . Pelo Teorema 3.1 finalmente obtemos .■

Exemplo 3.2. A empresa tem duas vagas, para as quais se candidatam três homens e cinco mulheres. Encontre a probabilidade de que entre as pessoas contratadas haja pelo menos um homem se a seleção dos candidatos for feita de forma aleatória.

Solução. Deixe o evento COMé que entre as pessoas contratadas haverá pelo menos um homem. É óbvio que o evento COM ocorrerá quando ocorrer um dos dois eventos incompatíveis a seguir: A– dois homens foram contratados; EM– foram contratados uma mulher e um homem. Por isso, COM = A + EM.

Vamos encontrar as probabilidades dos eventos A E EM, usando a fórmula clássica, obtemos

E .

Eventos A E EM– são inconsistentes, portanto, podemos aplicar o Teorema 3.1. Nós temos. ■

Na resolução do Exemplo 3.2, o único evento possível que não foi considerado foi a contratação de duas mulheres. Vamos denotar pela letra D e encontre sua probabilidade. Aplicando a fórmula clássica, obtemos

.

Não é difícil compreender que os acontecimentos A, EM E D formar um grupo completo para a prova: escolha de duas pessoas entre oito. Vamos encontrar a soma das probabilidades desses eventos: . O resultado obtido pode ser apresentado de forma geral.

Teorema 3.2. A soma das probabilidades de eventos formando um grupo completo é igual a 1.

Prova. Deixe os eventos A 1 , A 2 , …, Um forme um grupo completo para alguns testes. Então, por definição, como resultado deste teste, um dos eventos ocorrerá definitivamente, ou seja, a soma desses eventos é um determinado evento. A probabilidade de um evento confiável é 1. Portanto, a igualdade é verdadeira:

Lembre-se que, pela definição de grupo completo, ele consiste em eventos incompatíveis. Então, pelo corolário do Teorema 3.1, obtemos

O teorema foi provado.

Consequência. A soma das probabilidades de eventos opostos é igual a 1.

Prova segue diretamente do fato de que eventos opostos formam um grupo completo, portanto, pelo Teorema 3.2, a fórmula é válida

(3.3)

Onde A E Ā - eventos opostos.

A investigação foi comprovada.

Na resolução de problemas, a fórmula transformada (3.3) é mais utilizada, nomeadamente

(3.4)

Exemplo 3.3. Dos nove candidatos selecionados para os três cargos, cinco se formaram com louvor. Todos têm a mesma chance de serem selecionados para essas posições. Determine a probabilidade de que entre os selecionados haja pelo menos um com diploma de honra.

Solução. Deixe o evento A significa que entre os candidatos selecionados pelo menos um possui diploma de honra. É óbvio que o evento Ā oposto A será que todas as três pessoas selecionadas não possuem diploma com distinção. Vamos encontrar a probabilidade do evento oposto. Para fazer isso, aplicamos a fórmula clássica, obtemos

.

Usando a fórmula (3.3) encontramos a probabilidade do evento A:

. ■

A solução do Exemplo 3.3 também pode ser obtida de outra forma, mais longa. Não é difícil entender que o evento Aé a soma dos seguintes eventos:

A 1 – entre os selecionados haja apenas um candidato com diploma com distinção;

A 2 – entre os selecionados dois candidatos com diploma com distinção;

A 3 – entre os selecionados três candidatos com diploma com distinção.

Usando a fórmula clássica obtemos

É óbvio que os acontecimentos A 1 , A 2 , A 3 são inconsistentes, portanto podemos aplicar o Teorema 3.3. Por isso

É claro que a primeira solução é muito mais simples.

Nos teoremas e exemplos discutidos acima, foi assumida a incompatibilidade dos eventos aleatórios correspondentes. Naturalmente, pode surgir um problema em que seja necessário encontrar a probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos eventos conjuntos. O Teorema 3.1 não pode ser aplicado neste caso. Existe uma forma mais geral do teorema da adição de probabilidade que utiliza o conceito de probabilidade de um produto de eventos.

Teorema para multiplicar probabilidades de eventos

Vamos considerar algum teste no qual um evento aleatório pode ocorrer A. Se, além da condição de teste, não houver restrições para o evento A não existe, então a probabilidade do evento A chamado probabilidade incondicional. Se algumas condições adicionais forem especificadas, então Probabilidade Condicional este evento. Na maioria das vezes, condições adicionais estão associadas à ocorrência de outro evento aleatório. Assim, ao analisar um determinado fenômeno, pode surgir a questão: a possibilidade de ocorrência de determinado evento afeta A a ocorrência de outro evento aleatório EM e se isso acontecer, como? Por exemplo, a ofensiva EM leva à ocorrência obrigatória de um evento A ou, inversamente, exclui a possibilidade de um evento ocorrer A, ou talvez apenas altere o valor da probabilidade. É fácil entender que se um evento EMé favorável ao evento A, então quando o evento ocorrer EM evento A sempre ocorre, ou se A E EM– dois eventos que são incompatíveis em um determinado teste, então quando o evento ocorre EM evento A nunca acontecerá. No entanto, estes são os chamados casos extremos. O maior interesse surge quando a ocorrência de um evento EM de alguma forma altera (aumenta ou diminui) a probabilidade de um evento ocorrer A, sem transformá-lo em um evento confiável ou impossível sob novas condições. A característica dessa influência de um evento sobre outro é a probabilidade condicional.

Probabilidade Condicional eventos A dado que EM chamada de probabilidade de um evento A, calculado sob a suposição de que o evento EM já aconteceu.

Da mesma forma, podemos determinar a probabilidade condicional de um evento EM, desde que o evento A já aconteceu.

Exemplo 3.4. Suponhamos que haja 6 bolas brancas e 8 bolas pretas em uma urna. Duas bolas são retiradas aleatoriamente da urna, uma após a outra, sem serem substituídas. Encontre a probabilidade de que a segunda bola seja branca se a primeira bola também for sorteada como branca?

Solução . Deixe o evento Aé que a segunda bola será branca e o evento EM que a primeira bola é branca. O problema requer encontrar a probabilidade de um evento A, desde que o evento EM aconteceu, ou seja, encontrar . Se o evento EM aconteceu, então restam 13 bolas na urna, das quais 5 são brancas. Portanto, a probabilidade de tirar uma bola branca de 13, das quais 5 são brancas, é igual a .■

Observemos dois pontos.

Em primeiro lugar, para o evento A não apenas sua probabilidade condicional pode ser encontrada, mas também a chamada probabilidade total do evento, ou seja, a probabilidade de a segunda bola ser branca quando qualquer bola for escolhida primeiro. Encontrar tal probabilidade será discutido no parágrafo 3.4.

Em segundo lugar, a condição do exemplo pode ser alterada para que a cor da primeira bola selecionada não afete a probabilidade do evento ocorrer. A. Assumiremos que as bolas, após fixarem sua cor, são devolvidas à urna. Então, obviamente, a probabilidade do evento A não depende da cor da primeira bola escolhida, ou seja, da ocorrência (ou não ocorrência) de um evento EM. Nesse caso , ou seja probabilidade de um evento A coincide com a probabilidade condicional deste evento. Os próprios eventos A E EM são independentes neste teste.

Dois eventos A E EM são chamados independente, se a probabilidade de ocorrência de cada um deles não depender do aparecimento ou não de outro evento. Caso contrário, os eventos são chamados dependente.

Da definição segue-se que para eventos independentes A E EM as seguintes fórmulas são válidas:

. (3.5)

Vamos obter uma fórmula para encontrar a probabilidade condicional usando a definição clássica. Deixe o teste consistir em n eventos elementares igualmente possíveis. Número de eventos que favorecem o evento A, é igual a t-A; evento EM – televisão; a produção de eventos AB – aba. É obvio que . Desde o evento EM favores televisão resultados, dos quais apenas t-A Favor A, então a probabilidade condicional é igual a

. Finalmente, obtemos

(3.6)

É preciso atentar para o fato de que o denominador da fórmula (3.6) é diferente de zero, pois por condição o evento EM pode acontecer, ou seja, televisão não é igual a zero.

Raciocinando de forma semelhante, podemos obter uma fórmula para a probabilidade condicional de um evento EM: . Mas desde o evento AB não é diferente do evento VA E , então a probabilidade condicional do evento EM pode ser determinado pela fórmula

(3.7)

Nos cursos mais completos de teoria das probabilidades que utilizam a abordagem axiomática, as fórmulas (3.6) e (3.7) são tomadas como a definição de probabilidade condicional, e as fórmulas (3.5) são tomadas como a definição de eventos independentes.

O seguinte teorema de multiplicação de probabilidade segue diretamente das fórmulas (3.6) e (3.7).

Teorema 3.2. A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos aleatórios é igual ao produto da probabilidade de um evento e a probabilidade condicional do outro, calculada sob a suposição de que o primeiro evento já ocorreu, ou seja,

(3.8)

Consequência. A probabilidade de ocorrência simultânea de vários eventos aleatórios é igual ao produto da probabilidade de um evento e as probabilidades condicionais de todos os outros, enquanto a probabilidade de cada evento subsequente é calculada assumindo que todos os eventos anteriores já ocorreram, ou seja,

Exemplo 3.5. Existem 20 bilhetes na loteria, dos quais 5 são vencedores. 3 ingressos são selecionados aleatoriamente, um após o outro, sem retorno. Determine a probabilidade de o primeiro, segundo e terceiro bilhetes serem vencedores.

Solução. Deixe o evento Aé que o bilhete vencedor será escolhido primeiro, o evento EM– que o segundo bilhete será vencedor e, por fim, COM– o terceiro bilhete está ganhando. É óbvio que .

Probabilidade condicional de um evento EM desde que o evento A aconteceu, ou seja, um bilhete vencedor foi selecionado na loteria, igual a (restam 19 ingressos, dos quais 4 são vencedores).

Probabilidade condicional de um evento COM desde que os eventos A E EM aconteceu, ou seja, foram sorteados dois bilhetes vencedores, equivalentes a .

Pelo corolário do Teorema 3.2, a probabilidade do produto é igual a

Deve-se notar que o Problema 3.5 pode ser resolvido usando a fórmula clássica e as fórmulas combinatórias:

.

O Teorema 3.2 é verdadeiro para quaisquer eventos aleatórios A E EM. No caso especial quando eventos A E EM são independentes, a seguinte afirmação é verdadeira.

Teorema 3.3 . Probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos incompatíveis A E EMé igual ao produto das probabilidades desses eventos, ou seja,

Prova. Eventos A E EM– independente. Pelo Teorema 3.2, levando em consideração a fórmula (3.5), obtemos

O teorema foi provado.

Assim, o Teorema 3.3 diz que a probabilidade de um produto de eventos independentes é encontrada pela fórmula (3.9). O inverso também é verdadeiro.

Teorema 3.4. Se a fórmula (3.9) for verdadeira para dois eventos, então esses eventos são independentes.

Apresentamos sem prova diversas propriedades importantes que são válidas para eventos independentes.

1. Se o evento EM não depende de A, então o evento A não depende de EM.

2. Se eventos A E EM- são independentes, então os eventos são independentes A E .

3. Se dois eventos são independentes, então os eventos opostos a eles também são independentes.

O Teorema 3.3 pode ser generalizado para um número finito de eventos. Porém, antes de fazer isso, é necessário nos aprofundarmos mais no conceito de independência de três ou mais eventos.

Para um grupo composto por três ou mais eventos, existe o conceito de independência aos pares e independência no agregado.

Eventos A 1 , A 2 , …, Um são chamados independente aos pares, se quaisquer dois desses eventos forem independentes.

Eventos A 1 , A 2 , …, Um são chamados independente no agregado ( ou simplesmente independente), se eles forem independentes aos pares e cada evento e todos os produtos possíveis de todos os outros forem independentes.

Por exemplo, três eventos A 1 , A 2 , A 3 são coletivamente independentes se os seguintes eventos forem independentes:

A 1 e A 2 , A 1 e A 3 , A 2 e A 3 ,

A 1 e A 2 A 3 , A 2 e A 1 A 3 , A 3 e A 1 A 2 .

Teorema 3.5 . Se os eventos A 1 , A 2 , …, Um são independentes no agregado, então a probabilidade de sua ocorrência simultânea é calculada pela fórmula:

Prova. Vamos mostrar que a fórmula está correta para três eventos. Se houver mais de três eventos, então a validade da fórmula é comprovada pelo método de indução matemática.

Então, vamos mostrar isso. De acordo com as condições do teorema do evento A 1 , A 2 , A Os 3 são coletivamente independentes. Portanto, por exemplo, dois eventos são independentes A 1 A 2 e A 3. De acordo com a fórmula (3.9), obtemos. Por condição de evento A 1 e A 2 também são independentes. Aplicando a fórmula (3.9) ao primeiro fator, finalmente obtemos .

O teorema foi provado.

Deve-se notar que se os eventos são independentes aos pares, então não se segue que eles serão independentes no agregado. E, inversamente, se os eventos são independentes no agregado, então eles, obviamente, por definição, serão independentes aos pares.

Vamos considerar um exemplo de eventos que são independentes entre pares, mas dependentes coletivamente.

Exemplo 3.6. Deixe uma caixa conter 4 cartões idênticos com números escritos neles:

Seleciona aleatoriamente um cartão. Evento A significa que você escolheu uma carta com o número 1, um evento EM assume que a carta selecionada tem o número 2, evento COM– número 3. Descubra se os eventos são A, EM E COM independentes aos pares ou independentes em conjunto.

Solução. Probabilidade de cada evento A, EM E COM podem ser encontrados usando a fórmula clássica (são 4 cartas no total, duas delas têm números 1, 2, 3 respectivamente): .

Vamos mostrar que os eventos A, EM E COM independentes aos pares. Vamos escolher dois eventos quaisquer, por exemplo, A E EM. A probabilidade de seu produto é , já que o aparecimento simultâneo dos números 1 e 2 só pode ocorrer em uma carta em quatro.

Assim, a igualdade é verdadeira . Pelo Teorema 3.4 eventos A E EM independente. Da mesma forma, podemos mostrar a independência dos eventos EM E COM, bem como eventos A E COM. A independência dos pares foi comprovada.

Vamos mostrar que esses eventos não são independentes no agregado. A probabilidade da ocorrência simultânea de todos os três eventos, ou seja, a aparência de todos os três números é igual a , já que apenas uma carta em cada quatro tem todos os três números. O produto das probabilidades do evento é igual a . Por isso, , portanto, não há independência no agregado. ■

Do teorema da multiplicação de probabilidades e do teorema da adição de probabilidades de eventos incompatíveis, segue diretamente o teorema da adição de probabilidades de eventos compatíveis.

Instituição educacional "Estado da Bielorrússia

Academia Agrícola"

Departamento de Matemática Superior

ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES. TESTES INDEPENDENTES REPETIDOS

Palestra para alunos da Faculdade de Gestão de Terras

cursos por correspondência

Gorki, 2012

Adição e multiplicação de probabilidades. Repetido

testes independentes

1. Adição de probabilidades

A soma de dois eventos conjuntos A E EM evento chamado COM, consistindo na ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou EM. Da mesma forma, a soma de vários eventos conjuntos é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um desses eventos.

A soma de dois eventos incompatíveis A E EM evento chamado COM consistindo em uma ocorrência ou evento A ou eventos EM. Da mesma forma, a soma de vários eventos incompatíveis é um evento que consiste na ocorrência de qualquer um desses eventos.

O teorema para somar as probabilidades de eventos incompatíveis é válido: a probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos , ou seja . Este teorema pode ser estendido a qualquer número finito de eventos incompatíveis.

Deste teorema segue:

a soma das probabilidades dos eventos que formam um grupo completo é igual a um;

a soma das probabilidades de eventos opostos é igual a um, ou seja,
.

Exemplo 1 . A caixa contém 2 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis. As bolas são misturadas e uma delas é sorteada aleatoriamente. Qual é a probabilidade de a bola ser colorida?

Solução . Vamos denotar os eventos:

A=(bolinha colorida sorteada);

B=(bola branca sorteada);

C=(bola vermelha sorteada);

D=(bola azul sorteada).

Então A= C+ D. Desde os eventos C, D são inconsistentes, então usaremos o teorema para somar as probabilidades de eventos incompatíveis: .

Exemplo 2 . A urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. 3 bolas são retiradas aleatoriamente da urna. Qual é a probabilidade de serem todos da mesma cor?

Solução . Vamos denotar os eventos:

A=(bolas da mesma cor são sorteadas);

B=(bolas brancas são retiradas);

C=(bolas pretas são retiradas).

Porque A= B+ C e eventos EM E COM são inconsistentes, então pelo teorema da adição de probabilidades de eventos incompatíveis
. Probabilidade de evento EM igual a
, Onde
4,

. Vamos substituir k E n na fórmula e obtemos
Da mesma forma, encontramos a probabilidade do evento COM:
, Onde
,
, ou seja
. Então
.

Exemplo 3 . De um baralho de 36 cartas, 4 cartas são sorteadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que haja pelo menos três ases entre eles.

Solução . Vamos denotar os eventos:

A=(entre as cartas retiradas há pelo menos três ases);

B=(entre as cartas retiradas estão três ases);

C=(entre as cartas retiradas estão quatro ases).

Porque A= B+ C e eventos EM E COM são incompatíveis, então
. Vamos encontrar as probabilidades dos eventos EM E COM:

,
. Portanto, a probabilidade de que entre as cartas sorteadas haja pelo menos três ases é igual a

0.0022.

1. Multiplicando Probabilidades

O trabalho dois eventos A E EM evento chamado COM, consistindo na ocorrência conjunta destes eventos:
. Esta definição se aplica a qualquer número finito de eventos.

Os dois eventos são chamados independente , se a probabilidade de um deles ocorrer não depende de o outro evento ter ocorrido ou não. Eventos , , … , são chamados coletivamente independente , se a probabilidade de ocorrência de cada um deles não depender da ocorrência ou não de outros eventos.

Exemplo 4 . Dois atiradores atiram em um alvo. Vamos denotar os eventos:

A=(o primeiro atirador acertou o alvo);

B=(o segundo atirador acertou o alvo).

Obviamente, a probabilidade de o primeiro atirador acertar o alvo não depende se o segundo atirador acertou ou errou, e vice-versa. Portanto, eventos A E EM independente.

O teorema da multiplicação das probabilidades de eventos independentes é válido: a probabilidade do produto de dois eventos independentes é igual ao produto das probabilidades desses eventos : .

Este teorema também é válido para n eventos coletivamente independentes: .

Exemplo 5 . Dois atiradores atiram no mesmo alvo. A probabilidade de acertar o primeiro atirador é de 0,9 e o segundo é de 0,7. Ambos os atiradores disparam um tiro de cada vez. Determine a probabilidade de que haja dois acertos no alvo.

Solução . Vamos denotar os eventos:

A

B

C=(ambos os atiradores acertarão o alvo).

Porque
e eventos A E EM são independentes, então
, ou seja .

Eventos A E EM são chamados dependente , se a probabilidade de um deles ocorrer depende de outro evento ter ocorrido ou não. Probabilidade de um evento ocorrer A desde que o evento EM já chegou, chama-se Probabilidade Condicional e é designado
ou
.

Exemplo 6 . A urna contém 4 bolas brancas e 7 bolas pretas. As bolas são retiradas da urna. Vamos denotar os eventos:

A=(bola branca sorteada) ;

B=(bola preta sorteada).

Antes de começar a retirar as bolas da urna
. Uma bola foi retirada da urna e era preta. Então a probabilidade do evento A depois do evento EM haverá outro, igual . Isso significa que a probabilidade de um evento A depende do evento EM, ou seja esses eventos serão dependentes.

O teorema da multiplicação das probabilidades de eventos dependentes é válido: a probabilidade de ocorrência de dois eventos dependentes é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, calculada sob a suposição de que o primeiro evento já ocorreu, ou seja ou .

Exemplo 7 . A urna contém 4 bolas brancas e 8 bolas vermelhas. Duas bolas são sorteadas sequencialmente aleatoriamente. Encontre a probabilidade de ambas as bolas serem pretas.

Solução . Vamos denotar os eventos:

A=(bola preta sorteada primeiro);

B=(a segunda bola preta é sorteada).

Eventos A E EM dependente porque
, A
. Então
.

Exemplo 8 . Três atiradores atiram no alvo independentemente um do outro. A probabilidade de acertar o alvo para o primeiro atirador é de 0,5, para o segundo – 0,6 e para o terceiro – 0,8. Encontre a probabilidade de que haja dois acertos no alvo se cada atirador disparar um tiro.

Solução . Vamos denotar os eventos:

A=(serão dois acertos no alvo);

B=(o primeiro atirador acertará o alvo);

C=(o segundo atirador acertará o alvo);

D=(o terceiro atirador acertará o alvo);

=(o primeiro atirador não acertará o alvo);

=(o segundo atirador não acertará o alvo);

=(o terceiro atirador não acertará o alvo).

De acordo com o exemplo
,
,
,

,
,
. Desde então, usando o teorema para somar as probabilidades de eventos incompatíveis e o teorema para multiplicar as probabilidades de eventos independentes, obtemos:

Deixe os eventos
formam um grupo completo de eventos de algum teste, e os eventos A só pode ocorrer com um desses eventos. Se as probabilidades e probabilidades condicionais de um evento são conhecidas A, então a probabilidade do evento A é calculada pela fórmula:

Ou
. Esta fórmula é chamada fórmula de probabilidade total e eventos
hipóteses .

Exemplo 9 . A linha de montagem recebe 700 peças da primeira máquina e 300 peças do segundo. A primeira máquina produz 0,5% de sucata e a segunda - 0,7%. Encontre a probabilidade de que a peça retirada seja defeituosa.

Solução . Vamos denotar os eventos:

A=(a peça retirada estará com defeito);

=(a peça foi feita na primeira máquina);

=(a peça é feita na segunda máquina).

A probabilidade de a peça ser feita na primeira máquina é igual a
. Para a segunda máquina
. De acordo com a condição, a probabilidade de receber uma peça defeituosa feita na primeira máquina é igual a
. Para a segunda máquina esta probabilidade é igual a
. Em seguida, a probabilidade de que a peça retirada seja defeituosa é calculada usando a fórmula de probabilidade total

Se for conhecido que algum evento ocorreu como resultado do teste A, então a probabilidade de que este evento tenha ocorrido com a hipótese
, é igual
, Onde
- probabilidade total de um evento A. Esta fórmula é chamada Fórmula de Bayes e permite calcular as probabilidades de eventos
depois que se soube que o evento A já chegou.

Exemplo 10 . O mesmo tipo de peças automotivas é produzido em duas fábricas e entregue na loja. A primeira fábrica produz 80% do total de peças e a segunda - 20%. Os produtos da primeira fábrica contêm 90% de peças padronizadas e a segunda - 95%. O comprador comprou uma peça e acabou sendo padrão. Encontre a probabilidade de que esta peça tenha sido fabricada na segunda fábrica.

Solução . Vamos denotar os eventos:

A=(peça padrão comprada);

=(a peça foi fabricada na primeira fábrica);

=(a peça foi fabricada na segunda fábrica).

De acordo com o exemplo
,
,
E
. Vamos calcular a probabilidade total do evento A: 0,91. Calculamos a probabilidade de a peça ter sido fabricada na segunda fábrica usando a fórmula de Bayes:

.

Tarefas para trabalho independente

A probabilidade de acertar o alvo para o primeiro atirador é de 0,8, para o segundo – 0,7 e para o terceiro – 0,9. Os atiradores dispararam um tiro cada. Encontre a probabilidade de que haja pelo menos dois acertos no alvo.

A oficina recebeu 15 tratores. Sabe-se que 6 deles precisam substituir o motor e os demais precisam substituir componentes individuais. Três tratores são selecionados aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que a substituição do motor seja necessária para no máximo dois tratores selecionados.

A fábrica de concreto armado produz painéis, dos quais 80% são da mais alta qualidade. Encontre a probabilidade de que de três painéis selecionados aleatoriamente, pelo menos dois sejam da nota mais alta.

Três trabalhadores estão montando rolamentos. A probabilidade de o rolamento montado pelo primeiro trabalhador ser da mais alta qualidade é de 0,7, pelo segundo – 0,8 e pelo terceiro – 0,6. Para controle, foi retirado aleatoriamente um rolamento daqueles montados por cada trabalhador. Encontre a probabilidade de que pelo menos dois deles sejam da mais alta qualidade.

A probabilidade de ganhar o primeiro bilhete de loteria é de 0,2, o segundo é de 0,3 e o terceiro é de 0,25. Existe um ticket para cada edição. Encontre a probabilidade de que pelo menos dois bilhetes ganhem.

O contador realiza cálculos usando três livros de referência. A probabilidade de os dados de seu interesse estarem no primeiro diretório é 0,6, no segundo - 0,7 e no terceiro - 0,8. Encontre a probabilidade de que os dados nos quais o contador está interessado estejam contidos em no máximo dois diretórios.

Três máquinas produzem peças. A primeira máquina produz uma peça da mais alta qualidade com probabilidade 0,9, a segunda com probabilidade 0,7 e a terceira com probabilidade 0,6. Uma parte é retirada aleatoriamente de cada máquina. Encontre a probabilidade de que pelo menos dois deles sejam da mais alta qualidade.

O mesmo tipo de peças é processado em duas máquinas. A probabilidade de produzir uma peça fora do padrão para a primeira máquina é de 0,03, para a segunda – 0,02. As peças processadas são armazenadas em um só lugar. Entre eles, 67% são da primeira máquina e o restante é da segunda. A parte tirada aleatoriamente acabou sendo padrão. Encontre a probabilidade de que tenha sido feito na primeira máquina.

A oficina recebeu duas caixas do mesmo tipo de capacitores. A primeira caixa continha 20 capacitores, dos quais 2 estavam com defeito. A segunda caixa contém 10 capacitores, dos quais 3 estão com defeito. Os capacitores foram colocados em uma caixa. Encontre a probabilidade de que um capacitor retirado aleatoriamente de uma caixa esteja em boas condições.

Três máquinas produzem o mesmo tipo de peças, que são fornecidas a uma esteira comum. Do total de peças, 20% são da primeira máquina, 30% da segunda e 505 da terceira. A probabilidade de produzir uma peça padrão na primeira máquina é de 0,8, na segunda – 0,6 e na terceira – 0,7. A parte tirada acabou sendo padrão. Encontre a probabilidade de que esta peça tenha sido feita na terceira máquina.

A montadora recebe 40% das peças da fábrica para montagem A, e o resto - da fábrica EM. A probabilidade de a peça vir de fábrica A– qualidade superior, igual a 0,8, e de fábrica EM– 0,9. A montadora pegou uma peça ao acaso e ela era de má qualidade. Encontre a probabilidade de que esta peça seja de fábrica EM.

Foram alocados 10 alunos da primeira turma e 8 da segunda para participar de competições esportivas estudantis. A probabilidade de um aluno da primeira turma ser incluído na equipe da academia é de 0,8, e da segunda - 0,7. Um aluno selecionado aleatoriamente foi incluído na equipe. Encontre a probabilidade de ele ser do primeiro grupo.

Teorema da adição de probabilidade

Consideremos eventos aleatórios incompatíveis.

Sabe-se que eventos aleatórios incompatíveis $A$ e $B$ na mesma tentativa têm probabilidades de ocorrência $P\left(A\right)$ e $P\left(B\right)$, respectivamente. Vamos encontrar a probabilidade da soma $A+B$ desses eventos, ou seja, a probabilidade de ocorrência de pelo menos um deles.

Suponhamos que num dado teste o número de todos os eventos elementares igualmente possíveis seja $n$. Destes, os eventos $A$ e $B$ são favorecidos pelos eventos elementares $m_(A) $ e $m_(B) $, respectivamente. Como os eventos $A$ e $B$ são incompatíveis, o evento $A+B$ é favorecido por eventos elementares $m_(A) +m_(B)$. Temos $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\esquerda(A\direita)+P\esquerda(B\direita)$.

Teorema 1

A probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma de suas probabilidades.

Nota 1

Corolário 1. A probabilidade da soma de qualquer número de eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos.

Corolário 2. A soma das probabilidades de um grupo completo de eventos incompatíveis (a soma das probabilidades de todos os eventos elementares) é igual a um.

Corolário 3. A soma das probabilidades de eventos opostos é igual a um, pois formam um grupo completo de eventos incompatíveis.

Exemplo 1

A probabilidade de nunca chover na cidade por algum tempo é $p=0,7$. Encontre a probabilidade $q$ de que durante o mesmo período chova na cidade pelo menos uma vez.

Os acontecimentos “há algum tempo nunca choveu na cidade” e “há algum tempo choveu na cidade pelo menos uma vez” são opostos. Portanto $p+q=1$, de onde $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Vamos considerar eventos aleatórios conjuntos.

Sabe-se que eventos aleatórios conjuntos $A$ e $B$ na mesma tentativa têm probabilidades de ocorrência $P\left(A\right)$ e $P\left(B\right)$, respectivamente. Vamos encontrar a probabilidade da soma $A+B$ desses eventos, ou seja, a probabilidade de ocorrência de pelo menos um deles.

Suponhamos que num dado teste o número de todos os eventos elementares igualmente possíveis seja $n$. Destes, os eventos $A$ e $B$ são favorecidos pelos eventos elementares $m_(A) $ e $m_(B) $, respectivamente. Como os eventos $A$ e $B$ são compatíveis, então do número total de $m_(A) +m_(B) $ eventos elementares, um certo número de $m_(AB) $ favorece tanto o evento $A $ e o evento $B$, ou seja, sua ocorrência conjunta (produção dos eventos $A\cdot B$). Esta quantidade $m_(AB) $ entrou simultaneamente em $m_(A) $ e $m_(B) $ Portanto, o evento $A+B$ é favorecido por $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ eventos elementares. Temos: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\esquerda(A\direita)+P\esquerda(B\direita)-P\esquerda(A\cdot B\ certo)$.

Teorema 2

A probabilidade da soma de dois eventos conjuntos é igual à soma das probabilidades desses eventos menos a probabilidade do seu produto.

Comente. Se os eventos $A$ e $B$ são inconsistentes, então seu produto $A\cdot B$ é um evento impossível, cuja probabilidade $P\left(A\cdot B\right)=0$. Conseqüentemente, a fórmula para somar as probabilidades de eventos incompatíveis é um caso especial da fórmula para somar as probabilidades de eventos conjuntos.

Exemplo 2

Encontre a probabilidade de que, ao lançar dois dados simultaneamente, o número 5 apareça pelo menos uma vez.

Ao lançar dois dados simultaneamente, o número de todos os eventos elementares igualmente possíveis é $n=36$, pois para cada número do primeiro dado podem aparecer seis números do segundo dado. Destes, o evento $A$ - o número 5 caindo no primeiro dado - é realizado 6 vezes, o evento $B$ - o número 5 caindo no segundo dado - também é realizado 6 vezes. De todas as doze vezes, o número 5 aparece uma vez em ambos os dados. Assim, $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

Teorema da multiplicação de probabilidade

Vamos considerar eventos independentes.

Os eventos $A$ e $B$ que ocorrem em duas tentativas consecutivas são chamados independentes se a probabilidade de ocorrência do evento $B$ não depende se o evento $A$ ocorreu ou não.

Por exemplo, suponhamos que haja 2 bolas brancas e 2 bolas pretas em uma urna. O teste é recuperar a bola. O evento $A$ é “a bola branca é sorteada na primeira tentativa”. Probabilidade $P\esquerda(A\direita)=\frac(1)(2) $. Após o primeiro teste, a bola foi recolocada e um segundo teste foi realizado. Evento $B$ -- ``a bola branca é sorteada na segunda tentativa''. Probabilidade $P\esquerda(B\direita)=\frac(1)(2) $. A probabilidade $P\left(B\right)$ não depende se o evento $A$ ocorreu ou não, portanto os eventos $A$ e $B$ são independentes.

Sabe-se que eventos aleatórios independentes $A$ e $B$ de duas tentativas consecutivas têm probabilidades de ocorrência $P\left(A\right)$ e $P\left(B\right)$, respectivamente. Vamos encontrar a probabilidade do produto $A\cdot B$ desses eventos, ou seja, a probabilidade de sua ocorrência conjunta.

Suponhamos que no primeiro teste o número de todos os eventos elementares igualmente possíveis seja $n_(1) $. Destes, o evento $A$ é favorecido por eventos elementares $m_(1)$. Suponhamos também que no segundo teste o número de todos os eventos elementares igualmente possíveis seja $n_(2) $. Destes, o evento $B$ é favorecido por eventos elementares $m_(2)$. Consideremos agora um novo evento elementar, que consiste na ocorrência sequencial de eventos da primeira e da segunda tentativas. O número total de tais eventos elementares igualmente possíveis é igual a $n_(1) \cdot n_(2) $. Como os eventos $A$ e $B$ são independentes, então a partir deste número a ocorrência conjunta do evento $A$ e do evento $B$ (o produto dos eventos $A\cdot B$) é favorecida por $m_(1) \ cdot m_(2) $ eventos. Temos: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\esquerda(A\direita)\cdot P\esquerda(B\direita)$.

Teorema 3

A probabilidade do produto de dois eventos independentes é igual ao produto das probabilidades desses eventos.

Vejamos os eventos dependentes.

Em duas tentativas consecutivas, ocorrem os eventos $A$ e $B$. Um evento $B$ é chamado de dependente de um evento $A$ se a probabilidade de ocorrência de um evento $B$ depende se o evento $A$ ocorreu ou não. Então a probabilidade do evento $B$, que foi calculada sob a condição de que o evento $A$ ocorreu, é chamada de probabilidade condicional do evento $B$ dado $A$ e é denotada por $P\left(B/A\ certo)$.

Por exemplo, suponhamos que haja 2 bolas brancas e 2 bolas pretas em uma urna. O teste é a retirada da bola. O evento $A$ é “a bola branca é sorteada na primeira tentativa”. Probabilidade $P\esquerda(A\direita)=\frac(1)(2) $. Após o primeiro teste, a bola não é recolocada e o segundo teste é realizado. Evento $B$ -- ``a bola branca é sorteada na segunda tentativa''. Se uma bola branca foi sorteada na primeira tentativa, então a probabilidade é $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Se na primeira tentativa foi sorteada uma bola preta, então a probabilidade é $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Assim, a probabilidade do evento $B$ depende se o evento $A$ ocorreu ou não, portanto o evento $B$ depende do evento $A$.

Suponha que os eventos $A$ e $B$ ocorram em duas tentativas consecutivas. Sabe-se que o evento $A$ tem probabilidade de ocorrência $P\left(A\right)$. Sabe-se também que o evento $B$ depende do evento $A$ e sua probabilidade condicional dada $A$ é igual a $P\left(B/A\right)$.

Teorema 4

A probabilidade do produto de um evento $A$ e um evento dependente $B$, ou seja, a probabilidade de sua ocorrência conjunta, pode ser encontrada pela fórmula $P\left(A\cdot B\right)=P\ esquerda(A\direita)\cdot P\esquerda(B/A\direita)$.

A fórmula simétrica $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ também é válida, onde o evento $A$ é assumido como ser dependente do evento $B$.

Para as condições do último exemplo, encontramos a probabilidade de a bola branca ser sorteada em ambas as tentativas. Tal evento é o produto dos eventos $A$ e $B$. Sua probabilidade é igual a $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac(1)(3) =\frac(1)(6) $.