Sommige algebraïsche voorbeelden alleen al kunnen schoolkinderen angst aanjagen. Lange uitdrukkingen zijn niet alleen intimiderend, maar maken berekeningen ook erg moeilijk. Als je probeert onmiddellijk te begrijpen wat volgt, zal het niet lang duren om in de war te raken. Het is om deze reden dat wiskundigen altijd proberen een ‘verschrikkelijk’ probleem zo veel mogelijk te vereenvoudigen en pas daarna beginnen met het oplossen ervan. Vreemd genoeg versnelt deze truc het werkproces aanzienlijk.

Vereenvoudiging is een van de fundamentele punten in de algebra. Als binnen eenvoudige taken Je kunt nog steeds zonder, maar moeilijker te berekenen voorbeelden blijken misschien te moeilijk. Dit is waar deze vaardigheden van pas komen! Bovendien is complexe wiskundige kennis niet vereist: het volstaat om enkele basistechnieken en formules te onthouden en in de praktijk te leren toepassen.

Ongeacht de complexiteit van de berekeningen, het is belangrijk bij het oplossen van welke uitdrukking dan ook volg de volgorde van het uitvoeren van bewerkingen met cijfers:

1. haakjes;
2. machtsverheffen;
3. vermenigvuldiging;
4. divisie;
5. toevoeging;
6. aftrekken.

De laatste twee punten kunnen eenvoudig worden verwisseld en dit heeft geen enkele invloed op het resultaat. Maar het toevoegen van twee aangrenzende getallen als er een vermenigvuldigingsteken naast staat, is absoluut verboden! Het eventuele antwoord is onjuist. Daarom moet u de volgorde onthouden.

Het gebruik van dergelijke

Dergelijke elementen omvatten getallen met een variabele van dezelfde orde of dezelfde graad. Er zijn ook zogenaamde vrije termen die geen letteraanduiding voor het onbekende naast zich hebben.

Het punt is dat er geen haakjes zijn u kunt de uitdrukking vereenvoudigen door soortgelijke op te tellen of af te trekken.

Een paar illustratieve voorbeelden:

• 8x 2 en 3x 2 - beide getallen hebben dezelfde variabele van de tweede orde, dus ze zijn vergelijkbaar en bij optelling vereenvoudigen ze tot (8+3)x 2 =11x 2, terwijl ze bij aftrekking (8-3)x 2 = krijgen 5x 2;
• 4x 3 en 6x - en hier heeft “x” verschillende graden;
• 2y 7 en 33x 7 - bevatten verschillende variabelen, daarom zijn ze, net als in het vorige geval, niet vergelijkbaar.

Een getal ontbinden

Deze kleine wiskundige truc zal je, als je hem op de juiste manier leert gebruiken, je in de toekomst meer dan eens helpen om met een lastig probleem om te gaan. En het is niet moeilijk om te begrijpen hoe het ‘systeem’ werkt: ontbinding is het product van verschillende elementen, waarvan de berekening de oorspronkelijke waarde oplevert. Dus 20 kan worden weergegeven als 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 of op een andere manier.

Opmerking: Factoren zijn altijd hetzelfde als delers. Je moet dus op zoek gaan naar een werkend ‘paar’ voor ontbinding tussen de getallen waarin het origineel deelbaar is zonder rest.

Deze bewerking kan zowel met vrije termen als met getallen in een variabele worden uitgevoerd. Het belangrijkste is om dit laatste tijdens berekeningen niet te verliezen - zelfs niet na ontbinding kan het onbekende niet zomaar ‘nergens heen gaan’. Het blijft op een van de vermenigvuldigers:

• 15x=3(5x);
• 60j 2 = (15j 2)4.

Priemgetallen die alleen door zichzelf of door 1 kunnen worden gedeeld, worden nooit uitgebreid - het heeft geen zin.

Basismethoden voor vereenvoudiging

Het eerste dat opvalt:

• de aanwezigheid van haakjes;
• breuken;
• wortels.

Algebraïsche voorbeelden in het schoolcurriculum worden vaak geschreven met het idee dat ze prachtig vereenvoudigd kunnen worden.

Berekeningen tussen haakjes

Let goed op het bordje voor de beugels! Vermenigvuldiging of deling wordt toegepast op elk element binnenin, en een minteken keert de bestaande “+” of “-” tekens om.

Haakjes worden berekend volgens de regels of met behulp van verkorte vermenigvuldigingsformules, waarna soortgelijke formules worden gegeven.

Breuken verkleinen

Breuken verkleinen Het is ook gemakkelijk. Zelf lopen ze zo nu en dan ‘gewillig weg’, zodra er operaties worden uitgevoerd om zulke leden binnen te halen. Maar je kunt het voorbeeld zelfs daarvoor vereenvoudigen: let op de teller en de noemer. Vaak bevatten ze expliciete of verborgen elementen die onderling herleidbaar zijn. Het is waar dat als je in het eerste geval alleen maar het overbodige hoeft te schrappen, je in het tweede geval zult moeten nadenken, waarbij je een deel van de uitdrukking ter vereenvoudiging in vorm moet brengen. Gebruikte methoden:

• het zoeken naar en plaatsen van de grootste gemene deler van de teller en de noemer;
• waarbij elk bovenste element wordt gedeeld door de noemer.

Wanneer een uitdrukking of een deel ervan zich onder de hoofdmap bevindt, is de primaire taak van vereenvoudiging bijna hetzelfde als bij breuken. Het is noodzakelijk om te zoeken naar manieren om er volledig vanaf te komen of, als dit niet mogelijk is, om het teken dat de berekeningen hindert te minimaliseren. Bijvoorbeeld tot aan de onopvallende √(3) of √(7).

De juiste manier vereenvoudig de radicale uitdrukking – probeer er rekening mee te houden, waarvan sommige buiten het bord worden gedragen. Een illustratief voorbeeld: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Andere kleine trucs en nuances:

• deze vereenvoudigingsoperatie kan worden uitgevoerd met breuken, waarbij deze zowel als geheel als afzonderlijk als teller of noemer uit het teken worden gehaald;
• Een deel van de som of het verschil kan niet worden uitgebreid en verder dan de wortel worden genomen;
• wanneer u met variabelen werkt, houd dan rekening met de graad ervan, deze moet gelijk zijn aan of een veelvoud van de wortel om eruit te kunnen worden gehaald: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• soms is het mogelijk om van de radicale variabele af te komen door deze te verheffen tot een fractionele macht: √(y 3)=y 3/2.

Een machtsuitdrukking vereenvoudigen

Als in het geval van eenvoudige berekeningen met min of plus voorbeelden worden vereenvoudigd door soortgelijke voorbeelden te noemen, hoe zit het dan met het vermenigvuldigen of delen van variabelen met verschillende machten? Ze kunnen gemakkelijk worden vereenvoudigd door twee hoofdpunten te onthouden:

1. Als er een vermenigvuldigingsteken tussen de variabelen staat, tellen de machten op.
2. Wanneer ze door elkaar worden gedeeld, wordt dezelfde macht van de noemer afgetrokken van de macht van de teller.

De enige voorwaarde voor een dergelijke vereenvoudiging is dat beide termen dezelfde basis hebben. Voorbeelden voor de duidelijkheid:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

We merken op dat bewerkingen met numerieke waarden vóór variabelen volgens het gebruikelijke gebeuren wiskundige regels. En als je goed kijkt, wordt het duidelijk dat de krachtelementen van de uitdrukking ‘werken’ op een vergelijkbare manier:

• Een term tot een macht verheffen betekent dat je deze een bepaald aantal keren met zichzelf vermenigvuldigt, d.w.z. x 2 =x×x;
• delen is vergelijkbaar: als je de machten van de teller en de noemer uitbreidt, worden sommige variabelen geannuleerd, terwijl de overige worden 'verzameld', wat gelijk staat aan aftrekken.

Zoals met alles vereist het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen niet alleen kennis van de basisprincipes, maar ook oefening. Na slechts een paar lessen zullen voorbeelden die ooit complex leken, zonder veel moeite worden teruggebracht tot korte en gemakkelijk op te lossen voorbeelden.

Video

Deze video helpt u begrijpen en onthouden hoe uitdrukkingen worden vereenvoudigd.

Heeft u geen antwoord gekregen op uw vraag? Stel een onderwerp voor aan de auteurs.

Expressies, expressieconversie

Krachtuitdrukkingen(uitdrukkingen met krachten) en hun transformatie

In dit artikel zullen we het hebben over het omzetten van uitdrukkingen met machten. Ten eerste zullen we ons concentreren op transformaties die worden uitgevoerd met uitdrukkingen van welke aard dan ook, inclusief machtsuitdrukkingen, zoals het openen van haakjes en het plaatsen van soortgelijke termen. En dan zullen we de transformaties analyseren die specifiek inherent zijn aan uitdrukkingen met graden: werken met het grondtal en de exponent, gebruikmakend van de eigenschappen van graden, enz.

Paginanavigatie.

Wat zijn machtsuitdrukkingen?

De term ‘machtsuitdrukkingen’ komt praktisch niet voor in de wiskundeboeken op school, maar komt vrij vaak voor in verzamelingen problemen, vooral die bedoeld ter voorbereiding op bijvoorbeeld het Unified State Exam en het Unified State Exam. Na analyse van de taken waarbij het nodig is om acties met machtsuitdrukkingen uit te voeren, wordt het duidelijk dat machtsuitdrukkingen worden opgevat als uitdrukkingen die machten in hun invoer bevatten. Daarom kunt u voor uzelf de volgende definitie aanvaarden:

Definitie.

Krachtuitdrukkingen zijn uitdrukkingen die bevoegdheden bevatten.

Laten we geven voorbeelden van machtsuitdrukkingen. Bovendien zullen we ze presenteren op basis van de manier waarop de ontwikkeling van opvattingen van graad tot graad plaatsvindt. natuurlijke indicator tot op zekere hoogte met een reële exponent.

Zoals bekend maakt men in dit stadium eerst kennis met de macht van een getal met een natuurlijke exponent; de eerste eenvoudigste machtsuitdrukkingen van het type 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 verschijnen −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 enz.

Even later wordt de macht van een getal met een gehele exponent bestudeerd, wat leidt tot het verschijnen van machtsuitdrukkingen met gehele getallen negatieve krachten, zoals het volgende: 3 −2 , , een −2 +2 b −3 +c 2 .

Op de middelbare school keren ze terug naar graden. Daar wordt een graad met een rationele exponent geïntroduceerd, die de verschijning van de overeenkomstige machtsuitdrukkingen met zich meebrengt: , , enz. Ten slotte worden graden met irrationele exponenten en uitdrukkingen die deze bevatten in aanmerking genomen: , .

De kwestie beperkt zich niet tot de genoemde machtsuitdrukkingen: verder dringt de variabele door tot in de exponent, en ontstaan ​​​​bijvoorbeeld de volgende uitdrukkingen: 2 x 2 +1 of . En nadat je kennis hebt gemaakt met , verschijnen er uitdrukkingen met machten en logaritmen, bijvoorbeeld x 2·lgx −5·x lgx.

We hebben dus de vraag behandeld wat machtsuitdrukkingen vertegenwoordigen. Vervolgens zullen we leren ze te converteren.

Belangrijkste soorten transformaties van machtsuitdrukkingen

Met machtsuitdrukkingen kunt u alle basisidentiteitstransformaties van uitdrukkingen uitvoeren. U kunt bijvoorbeeld haakjes openen, numerieke uitdrukkingen vervangen door hun waarden, soortgelijke termen toevoegen, enz. Uiteraard is het in dit geval noodzakelijk om de geaccepteerde procedure voor het uitvoeren van acties te volgen. Laten we voorbeelden geven.

Voorbeeld.

Bereken de waarde van de machtsuitdrukking 2 3 ·(4 2 −12) .

Oplossing.

Voer, afhankelijk van de volgorde van uitvoering van acties, eerst de acties tussen haakjes uit. Daar vervangen we eerst de macht 4 2 door de waarde 16 (kijk indien nodig), en ten tweede berekenen we het verschil 16−12=4. Wij hebben 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

In de resulterende uitdrukking vervangen we de macht 2 3 door de waarde 8, waarna we het product 8·4=32 berekenen. Dit is de gewenste waarde.

Dus, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Antwoord:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Voorbeeld.

Vereenvoudig uitdrukkingen met machten 3 een 4 b −7 −1+2 een 4 b −7.

Oplossing.

Uiteraard bevat deze uitdrukking vergelijkbare termen 3·a 4 ·b −7 en 2·a 4 ·b −7 , en we kunnen ze presenteren: .

Antwoord:

3 een 4 b −7 −1+2 een 4 b −7 =5 een 4 b −7 −1.

Voorbeeld.

Druk een uitdrukking uit met machten als product.

Oplossing.

Je kunt de taak aan door het getal 9 voor te stellen als een macht van 3 2 en vervolgens de formule te gebruiken voor verkorte vermenigvuldiging - verschil in vierkanten:

Antwoord:

Er zijn ook een aantal identieke transformaties die specifiek inherent zijn aan machtsuitdrukkingen. We zullen ze verder analyseren.

Werken met grondtal en exponent

Er zijn machten waarvan het grondtal en/of de exponent niet alleen maar getallen of variabelen zijn, maar ook enkele uitdrukkingen. Als voorbeeld geven we de waarden (2+0.3·7) 5−3.7 en (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Wanneer u met dergelijke uitdrukkingen werkt, kunt u zowel de uitdrukking in de basis van de graad als de uitdrukking in de exponent vervangen door een identiek gelijke uitdrukking in de ODZ van de variabelen ervan. Met andere woorden, volgens de ons bekende regels kunnen we afzonderlijk de basis van de graad en afzonderlijk de exponent transformeren. Het is duidelijk dat als resultaat van deze transformatie een uitdrukking zal worden verkregen die identiek gelijk is aan de oorspronkelijke.

Dergelijke transformaties stellen ons in staat uitdrukkingen met bevoegdheden te vereenvoudigen of andere doelen te bereiken die we nodig hebben. In de hierboven genoemde machtsuitdrukking (2+0.3 7) 5−3.7 kunt u bijvoorbeeld bewerkingen uitvoeren met de getallen in het grondtal en de exponent, waardoor u naar de macht 4.1 1.3 kunt gaan. En nadat we de haakjes hebben geopend en soortgelijke termen naar de basis van de graad (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) hebben gebracht, verkrijgen we een machtsuitdrukking meer eenvoudig soort a 2·(x+1) .

Graadeigenschappen gebruiken

Een van de belangrijkste instrumenten voor het transformeren van uitdrukkingen met bevoegdheden zijn gelijkheden die reflecteren. Laten we de belangrijkste herinneren. Voor alle positieve getallen a en b en willekeurig echte cijfers r en s zijn eerlijk volgende eigenschappen graden:

• een r ·a s =een r+s ;
• een r:een s =een r−s ;
• (a·b) r =a ·b r;
• (a:b) r =a r:br;
• (een r) s = een r·s .

Merk op dat voor natuurlijke, gehele en positieve exponenten de beperkingen op de getallen a en b mogelijk niet zo streng zijn. Bijvoorbeeld voor natuurlijke getallen m en n de gelijkheid a m ·a n =a m+n geldt niet alleen voor positief a, maar ook voor negatief a, en voor a=0.

Op school ligt de nadruk bij het transformeren van machtsuitdrukkingen vooral op het vermogen om de juiste eigenschap te kiezen en deze correct toe te passen. In dit geval zijn de bases van graden meestal positief, waardoor de eigenschappen van graden zonder beperkingen kunnen worden gebruikt. Hetzelfde geldt voor de transformatie van uitdrukkingen die variabelen bevatten in de bases van machten - het bereik van toegestane waarden van variabelen is meestal zodanig dat de bases er alleen positieve waarden op aannemen, waardoor u vrijelijk de eigenschappen van machten kunt gebruiken . Over het algemeen moet je jezelf voortdurend afvragen of het in dit geval mogelijk is om enige eigenschap van graden te gebruiken, omdat onnauwkeurig gebruik van eigenschappen kan leiden tot een verkleining van de educatieve waarde en andere problemen. Deze punten worden in detail en met voorbeelden besproken in het artikel transformatie van uitdrukkingen met behulp van eigenschappen van graden. Hier beperken we ons tot het beschouwen van enkele eenvoudige voorbeelden.

Voorbeeld.

Druk de uitdrukking a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 uit als een macht met grondtal a.

Oplossing.

Eerst transformeren we de tweede factor (a 2) −3 met behulp van de eigenschap om een ​​macht tot een macht te verheffen: (een 2) −3 =een 2·(−3) =een −6. De oorspronkelijke machtsuitdrukking zal de vorm aannemen a 2,5 ·a −6:a −5,5. Het is duidelijk dat we nog steeds de eigenschappen van vermenigvuldiging en deling van machten moeten gebruiken met dezelfde basis als die we hebben
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Antwoord:

een 2,5 ·(een 2) −3:een −5,5 =een 2.

Eigenschappen van machten bij het transformeren van machtsuitdrukkingen worden zowel van links naar rechts als van rechts naar links gebruikt.

Voorbeeld.

Zoek de waarde van de machtsuitdrukking.

Oplossing.

De gelijkheid (a·b) r =a r ·b r, toegepast van rechts naar links, stelt ons in staat om van de oorspronkelijke uitdrukking naar een product van de vorm en verder te gaan. En bij het vermenigvuldigen van machten met op dezelfde gronden de indicatoren tellen op: .

Het was mogelijk om de oorspronkelijke uitdrukking op een andere manier te transformeren:

Antwoord:

.

Voorbeeld.

Gegeven de machtsuitdrukking a 1.5 −a 0.5 −6 , voert u een nieuwe variabele t=a 0.5 in.

Oplossing.

De graad a 1,5 kan worden weergegeven als een 0,5 3 en vervolgens, gebaseerd op de eigenschap van de graad tot de graad (ar) s = a r s, toegepast van rechts naar links, deze transformeren naar de vorm (a 0,5) 3. Dus, een 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Nu is het gemakkelijk om een ​​nieuwe variabele t=a 0,5 te introduceren, we krijgen t 3 −t−6.

Antwoord:

t3 −t−6 .

Breuken met machten omrekenen

Machtsuitdrukkingen kunnen breuken met machten bevatten of vertegenwoordigen. Alle basistransformaties van breuken die inherent zijn aan breuken van welke aard dan ook, zijn volledig van toepassing op dergelijke breuken. Dat wil zeggen dat breuken die machten bevatten, kunnen worden gereduceerd, teruggebracht tot een nieuwe noemer, afzonderlijk kunnen worden bewerkt met hun teller en afzonderlijk met de noemer, enz. Om deze woorden te illustreren, overweeg oplossingen voor verschillende voorbeelden.

Voorbeeld.

Vereenvoudig de expressie van macht .

Oplossing.

Deze machtsuitdrukking is een breuk. Laten we werken met de teller en de noemer. In de teller openen we de haakjes en vereenvoudigen we de resulterende uitdrukking met behulp van de eigenschappen van machten, en in de noemer presenteren we soortgelijke termen:

En laten we ook het teken van de noemer veranderen door een minteken voor de breuk te plaatsen: .

Antwoord:

.

Het reduceren van breuken met machten naar een nieuwe noemer gebeurt op dezelfde manier als het reduceren van rationele breuken naar een nieuwe noemer. In dit geval wordt ook een extra factor gevonden en worden de teller en de noemer van de breuk ermee vermenigvuldigd. Bij het uitvoeren van deze actie is het de moeite waard eraan te denken dat reductie naar een nieuwe noemer kan leiden tot een vernauwing van de VA. Om dit te voorkomen is het noodzakelijk dat de aanvullende factor voor geen enkele waarde van de variabelen uit de ODZ-variabelen voor de oorspronkelijke uitdrukking naar nul gaat.

Voorbeeld.

Reduceer de breuken tot een nieuwe noemer: a) tot noemer a, b) naar de noemer.

Oplossing.

a) In dit geval is het vrij eenvoudig om erachter te komen welke extra vermenigvuldiger helpt om het gewenste resultaat te bereiken. Dit is een vermenigvuldiger van a 0,3, aangezien a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Merk op dat in het bereik van toegestane waarden van de variabele a (dit is de verzameling van alle positieve reële getallen), de macht van a 0,3 niet verdwijnt, daarom hebben we het recht om de teller en de noemer van een gegeven te vermenigvuldigen breuk door deze extra factor:

b) Als je de noemer nader bekijkt, zul je ontdekken dat

en als je deze uitdrukking vermenigvuldigt met, krijg je de som van de kubussen en , dat wil zeggen . En dit is de nieuwe noemer waarnaar we de oorspronkelijke breuk moeten herleiden.

Zo vonden we een extra factor. In het bereik van toegestane waarden van de variabelen x en y verdwijnt de uitdrukking niet, daarom kunnen we de teller en de noemer van de breuk ermee vermenigvuldigen:

Antwoord:

A) , B) .

Er is ook niets nieuws aan het reduceren van breuken die machten bevatten: de teller en de noemer worden weergegeven als een aantal factoren, en dezelfde factoren van de teller en de noemer worden gereduceerd.

Voorbeeld.

Reduceer de breuk: a) , B) .

Oplossing.

a) Ten eerste kunnen de teller en de noemer worden verminderd met de getallen 30 en 45, wat gelijk is aan 15. Het is uiteraard ook mogelijk om een ​​reductie uit te voeren met x 0,5 +1 en door . Dit is wat we hebben:

b) In dit geval zijn identieke factoren in de teller en de noemer niet onmiddellijk zichtbaar. Om ze te verkrijgen, moet je voorbereidende transformaties uitvoeren. In dit geval bestaan ​​ze uit het ontbinden van de noemer met behulp van de formule voor het verschil in kwadraten:

Antwoord:

A)

B) .

Het omzetten van breuken naar een nieuwe noemer en het verkleinen van breuken worden vooral gebruikt om dingen met breuken te doen. Acties worden uitgevoerd volgens bekende regels. Bij het optellen (aftrekken) van breuken worden ze gereduceerd tot gemeenschappelijke noemer, waarna de tellers worden opgeteld (afgetrokken), maar de noemer blijft hetzelfde. Het resultaat is een breuk waarvan de teller het product van de tellers is, en de noemer het product van de noemers. Delen door een breuk is vermenigvuldigen met de inverse ervan.

Voorbeeld.

Volg de stappen .

Oplossing.

Eerst trekken we de breuken tussen haakjes af. Om dit te doen, brengen we ze naar een gemeenschappelijke noemer, namelijk , waarna we de tellers aftrekken:

Nu vermenigvuldigen we de breuken:

Uiteraard is het mogelijk om te reduceren met een macht van x 1/2, waarna we dat hebben gedaan .

Je kunt de machtsuitdrukking in de noemer ook vereenvoudigen door de formule voor het verschil in kwadraten te gebruiken: .

Antwoord:

Voorbeeld.

Vereenvoudig de machtsuitdrukking .

Oplossing.

Uiteraard kan deze fractie worden verminderd met (x 2,7 +1) 2, dit geeft de fractie . Het is duidelijk dat er iets anders moet gebeuren met de machten van X. Om dit te doen, transformeren we de resulterende fractie in een product. Dit geeft ons de mogelijkheid om te profiteren van de eigenschap van het verdelen van machten met dezelfde grondslagen: . En aan het einde van het proces gaan we van het laatste product naar de fractie.

Antwoord:

.

En laten we er ook aan toevoegen dat het mogelijk en in veel gevallen wenselijk is om vermenigvuldigers te gebruiken negatieve indicatoren graden worden overgedragen van de teller naar de noemer of van de noemer naar de teller, waardoor het teken van de exponent verandert. Dergelijke transformaties vereenvoudigen vaak verdere acties. Een machtsuitdrukking kan bijvoorbeeld worden vervangen door .

Uitdrukkingen met wortels en machten omzetten

Vaak zijn in uitdrukkingen waarin bepaalde transformaties nodig zijn, naast machten ook wortels met fractionele exponenten aanwezig. Om zo'n uitdrukking om te zetten naar het juiste type In de meeste gevallen is het voldoende om alleen naar de wortels of alleen naar de krachten te gaan. Maar omdat het handiger is om met krachten te werken, gaan ze meestal van wortels naar krachten. Het is echter aan te raden een dergelijke transitie uit te voeren wanneer de ODZ van variabelen voor de oorspronkelijke uitdrukking het mogelijk maakt de wortels te vervangen door machten zonder dat u naar de module hoeft te verwijzen of de ODZ in verschillende intervallen hoeft te splitsen (we hebben dit in detail besproken in het artikel overgang van wortels naar machten en terug Na kennis te hebben gemaakt met de graad met een rationele exponent, wordt een graad met een irrationele exponent geïntroduceerd, waardoor we kunnen praten over een graad met een willekeurige reële exponent. In dit stadium begint de school daarmee studie. exponentiële functie, die analytisch wordt gegeven door een macht, waarvan de basis een getal is, en de exponent een variabele is. We worden dus geconfronteerd met machtsuitdrukkingen die getallen bevatten in de basis van de macht, en in de exponent - uitdrukkingen met variabelen, en natuurlijk ontstaat de behoefte om transformaties van dergelijke uitdrukkingen uit te voeren.

Het moet gezegd worden dat de transformatie van uitdrukkingen van het aangegeven type meestal moet worden uitgevoerd bij het oplossen exponentiële vergelijkingen En exponentiële ongelijkheden , en deze conversies zijn vrij eenvoudig. In de overgrote meerderheid van de gevallen zijn ze gebaseerd op de eigenschappen van de graad en zijn ze voor het grootste deel gericht op het introduceren van een nieuwe variabele in de toekomst. Met de vergelijking kunnen we ze aantonen 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Ten eerste worden machten, waarvan de exponenten de som zijn van een bepaalde variabele (of uitdrukking met variabelen) en een getal, vervangen door producten. Dit geldt voor de eerste en laatste term van de uitdrukking aan de linkerkant:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Vervolgens worden beide zijden van de gelijkheid gedeeld door de uitdrukking 7 2 x, die alleen positieve waarden aanneemt op de ODZ van de variabele x voor de oorspronkelijke vergelijking (dit is een standaardtechniek voor het oplossen van dit soort vergelijkingen, dat zijn we niet als we er nu over praten, dus concentreer je op daaropvolgende transformaties van uitdrukkingen met bevoegdheden ):

Nu kunnen we breuken met machten annuleren, wat geeft .

Ten slotte wordt de verhouding van machten met dezelfde exponenten vervangen door machten van relaties, wat resulteert in de vergelijking , wat gelijkwaardig is . De uitgevoerde transformaties stellen ons in staat een nieuwe variabele te introduceren, die de oplossing tot het origineel reduceert exponentiële vergelijking om een ​​kwadratische vergelijking op te lossen

I.V. Boykov, L.D. Romanova Verzameling van taken ter voorbereiding op het Unified State Exam. Deel 1. Penza 2003.

Elke taal kan dezelfde informatie uitdrukken in verschillende woorden en revoluties. Wiskundige taal is geen uitzondering. Maar dezelfde uitdrukking kan op verschillende manieren gelijkwaardig worden geschreven. En in sommige situaties is een van de vermeldingen eenvoudiger. In deze les zullen we het hebben over het vereenvoudigen van uitdrukkingen.

Mensen communiceren verder verschillende talen. Voor ons belangrijke vergelijking is het paar "Russische taal - wiskundige taal". Dezelfde informatie kan in verschillende talen worden gecommuniceerd. Maar daarnaast kan het in één taal op verschillende manieren worden uitgesproken.

Bijvoorbeeld: “Petya is bevriend met Vasya”, “Vasya is bevriend met Petya”, “Petya en Vasya zijn vrienden”. Anders gezegd, maar hetzelfde. Uit elk van deze zinnen zouden we begrijpen waar we het over hebben.

Laten we eens kijken naar deze zin: "De jongen Petya en de jongen Vasya zijn vrienden." Wij begrijpen wat we bedoelen waar we het over hebben. We houden echter niet van de klank van deze zin. Kunnen we het niet vereenvoudigen, hetzelfde zeggen, maar dan eenvoudiger? "Jongen en jongen" - je kunt één keer zeggen: "De jongens Petya en Vasya zijn vrienden."

“Jongens”... Blijkt uit hun namen niet duidelijk dat het geen meisjes zijn? We verwijderen de ‘jongens’: ‘Petya en Vasya zijn vrienden.’ En het woord ‘vrienden’ kan worden vervangen door ‘vrienden’: ‘Petya en Vasya zijn vrienden.’ Als gevolg hiervan werd de eerste, lange, lelijke zin vervangen door een gelijkwaardige verklaring die gemakkelijker te zeggen en gemakkelijker te begrijpen is. We hebben deze zin vereenvoudigd. Vereenvoudigen betekent het eenvoudiger zeggen, maar de betekenis niet verliezen of verdraaien.

In wiskundige taal gebeurt ongeveer hetzelfde. Eén en hetzelfde kan gezegd worden, maar anders geschreven. Wat betekent het om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen? Dit betekent dat er voor de oorspronkelijke uitdrukking veel gelijkwaardige uitdrukkingen zijn, dat wil zeggen uitdrukkingen die hetzelfde betekenen. En uit al deze verscheidenheid moeten we naar onze mening de eenvoudigste kiezen, of de meest geschikte voor onze verdere doeleinden.

Beschouw bijvoorbeeld de numerieke uitdrukking . Het zal gelijkwaardig zijn aan .

Het zal ook gelijk zijn aan de eerste twee: .

Het blijkt dat we onze uitdrukkingen hebben vereenvoudigd en de kortste equivalente uitdrukking hebben gevonden.

Voor numerieke uitdrukkingen je moet altijd alle acties uitvoeren en de equivalente uitdrukking krijgen in de vorm van een enkel getal.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van een letterlijke uitdrukking . Het zal duidelijk eenvoudiger zijn.

Bij het vereenvoudigen letterlijke uitdrukkingen het is noodzakelijk om alle mogelijke acties uit te voeren.

Is het altijd nodig om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen? Nee, soms is het voor ons handiger om een ​​gelijkwaardige, maar langere inschrijving te hebben.

Voorbeeld: u moet een getal van een getal aftrekken.

Het is mogelijk om te berekenen, maar als het eerste getal zou worden weergegeven door de equivalente notatie: , dan zouden de berekeningen onmiddellijk zijn: .

Dat wil zeggen dat een vereenvoudigde uitdrukking voor ons niet altijd gunstig is voor verdere berekeningen.

Niettemin worden we heel vaak geconfronteerd met een taak die klinkt als ‘vereenvoudig de uitdrukking’.

Vereenvoudig de uitdrukking: .

Oplossing

1) Voer de acties tussen de eerste en tweede haakjes uit: .

2) Laten we de producten berekenen: .

Het is duidelijk dat de laatste uitdrukking een eenvoudiger vorm heeft dan de oorspronkelijke. We hebben het vereenvoudigd.

Om de uitdrukking te vereenvoudigen, moet deze worden vervangen door een equivalent (gelijk).

Om de equivalente uitdrukking te bepalen, hebt u het volgende nodig:

1) voer alle mogelijke acties uit,

2) gebruik de eigenschappen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen om berekeningen te vereenvoudigen.

Eigenschappen van optellen en aftrekken:

1. Commutatieve eigenschap van optelling: het herschikken van de termen verandert de som niet.

2. Combinatieeigenschap van optellen: om een ​​derde getal op te tellen bij de som van twee getallen, kun je de som van het tweede en derde getal optellen bij het eerste getal.

3. De eigenschap van het aftrekken van een som van een getal: om een ​​som van een getal af te trekken, kun je elke term afzonderlijk aftrekken.

Eigenschappen van vermenigvuldigen en delen

1. Commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging: het herschikken van de factoren verandert het product niet.

2. Combinatieeigenschap: om een ​​getal te vermenigvuldigen met het product van twee getallen, kun je het eerst vermenigvuldigen met de eerste factor en vervolgens het resulterende product vermenigvuldigen met de tweede factor.

3. Distributieve eigenschap van vermenigvuldiging: om een ​​getal met een som te vermenigvuldigen, moet je het met elke term afzonderlijk vermenigvuldigen.

Laten we eens kijken hoe we eigenlijk mentale berekeningen uitvoeren.

Berekenen:

Oplossing

1) Laten we ons voorstellen hoe

2) Laten we ons de eerste factor voorstellen als een som van bittermen en de vermenigvuldiging uitvoeren:

3) je kunt je voorstellen hoe en vermenigvuldiging uitvoeren:

4) Vervang de eerste factor door een gelijkwaardige som:

De distributieve wet kan ook worden gebruikt achterkant: .

Volg deze stappen:

1) 2)

Oplossing

1) Voor het gemak kun je de distributieve wet gebruiken, maar alleen in de tegenovergestelde richting: haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes.

2) Laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten

Het is noodzakelijk om linoleum te kopen voor de keuken en de gang. Keukengedeelte -, gang - . Er zijn drie soorten linoleum: voor en roebel voor. Hoeveel kost elk? drie soorten linoleum? (Afb. 1)

Rijst. 1. Illustratie bij de probleemstelling

Oplossing

Methode 1. Je kunt afzonderlijk uitzoeken hoeveel geld het kost om linoleum voor de keuken te kopen, en dan in de gang en de resulterende producten bij elkaar optellen.

Het is bekend dat er in de wiskunde geen manier is om uitdrukkingen te vereenvoudigen. Dit is nodig voor correcte en snelle oplossing een grote verscheidenheid aan problemen, evenals verschillende soorten vergelijkingen. De hier besproken vereenvoudiging impliceert een vermindering van het aantal acties dat nodig is om een ​​doel te bereiken. Hierdoor worden berekeningen merkbaar vereenvoudigd en wordt er aanzienlijk tijd bespaard. Maar hoe kan de uitdrukking worden vereenvoudigd? Hiervoor worden gevestigde wiskundige relaties gebruikt, vaak formules of wetten genoemd, waarmee uitdrukkingen veel korter kunnen worden gemaakt, waardoor berekeningen worden vereenvoudigd.

Het is geen geheim dat het tegenwoordig niet moeilijk is om online uitdrukkingen te vereenvoudigen. Hier zijn links naar enkele van de meest populaire:

Dit is echter niet bij elke uitdrukking mogelijk. Laten we daarom de meer traditionele methoden eens nader bekijken.

De gemene deler eruit halen

In het geval dat een uitdrukking monomialen bevat die dezelfde factoren hebben, kunt u de som van hun coëfficiënten vinden en deze vervolgens vermenigvuldigen met de gemeenschappelijke factor. Deze bewerking wordt ook wel "het verwijderen van de gemeenschappelijke deler" genoemd. Consequent gebruiken deze methode, kunt u de uitdrukking soms aanzienlijk vereenvoudigen. Algebra in zijn geheel is immers gebaseerd op het groeperen en herschikken van factoren en delers.

De eenvoudigste formules voor verkorte vermenigvuldiging

Een van de gevolgen van de eerder beschreven methode zijn de verkorte vermenigvuldigingsformules. Hoe je uitdrukkingen met hun hulp kunt vereenvoudigen, is veel duidelijker voor degenen die deze formules niet eens uit het hoofd hebben geleerd, maar weten hoe ze zijn afgeleid, dat wil zeggen waar ze vandaan komen, en dienovereenkomstig hun wiskundige aard. In principe blijft de voorgaande bewering geldig in alle moderne wiskunde, van het eerste leerjaar tot de hogere cursussen van mechanische en wiskundige faculteiten. Verschil van kwadraten, kwadraat van verschil en som, som en verschil van kubussen - al deze formules worden veel gebruikt in elementaire, maar ook hogere wiskunde in gevallen waarin het nodig is om de uitdrukking te vereenvoudigen om de problemen op te lossen. Voorbeelden van dergelijke transformaties zijn gemakkelijk te vinden in elk schoolboek voor algebra, of, nog eenvoudiger, op het World Wide Web.

Graad wortels

Elementaire wiskunde kent, als je het als geheel bekijkt, niet veel manieren om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen. Diploma's en operaties ermee zijn in de regel voor de meeste studenten relatief eenvoudig. Maar veel moderne schoolkinderen en studenten hebben aanzienlijke problemen als het nodig is een uitdrukking met wortels te vereenvoudigen. En dit is volkomen ongegrond. Omdat de wiskundige aard van wortels niet verschilt van de aard van dezelfde graden, waarmee er in de regel veel minder problemen zijn. Dat is bekend vierkantswortel van een getal, variabele of uitdrukking is niets meer dan hetzelfde getal, dezelfde variabele of uitdrukking tot de macht van de helft, de derdemachtswortel is hetzelfde tot de macht van een derde, enzovoort, afhankelijk van de correspondentie.

Uitdrukkingen vereenvoudigen met breuken

Laten we ook eens kijken naar een veelvoorkomend voorbeeld van hoe u een uitdrukking met breuken kunt vereenvoudigen. In gevallen waarin uitdrukkingen natuurlijke breuken zijn, moet u de gemeenschappelijke factor isoleren van de noemer en de teller, en vervolgens de breuk daarmee verkleinen. Wanneer monomialen identieke factoren hebben die tot machten zijn verheven, is het noodzakelijk ervoor te zorgen dat de machten gelijk zijn bij het optellen ervan.

Vereenvoudiging van fundamentele trigonometrische uitdrukkingen

Wat voor sommigen opvalt, is het gesprek over hoe je een trigonometrische uitdrukking kunt vereenvoudigen. De breedste tak van trigonometrie is misschien wel de eerste fase waarin wiskundestudenten te maken krijgen met enigszins abstracte concepten, problemen en methoden om deze op te lossen. Er zijn hier overeenkomstige formules, waarvan de eerste de fundamentele trigonometrische identiteit is. Met een voldoende wiskundige geest kan men de systematische afleiding van deze identiteit van al het fundamentele volgen trigonometrische identiteiten en formules, inclusief formules voor het verschil en de som van argumenten, dubbele, drievoudige argumenten, reductieformules en vele andere. Natuurlijk mogen we hier de allereerste methoden niet vergeten, zoals het toevoegen van een gemeenschappelijke factor, die samen met nieuwe methoden en formules volop worden gebruikt.

Samenvattend geven we de lezer wat algemeen advies:

• Polynomen moeten worden ontbonden in factoren, dat wil zeggen dat ze moeten worden weergegeven in de vorm van een product van een bepaald aantal factoren: monomialen en polynomen. Als een dergelijke mogelijkheid bestaat, is het noodzakelijk om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten.
• Het is beter om alle verkorte vermenigvuldigingsformules zonder uitzondering te onthouden. Er zijn er niet zo veel, maar ze vormen de basis voor het vereenvoudigen van wiskundige uitdrukkingen. We mogen ook de methode voor het isoleren van perfecte vierkanten in trinomialen niet vergeten omgekeerde actie naar een van de verkorte vermenigvuldigingsformules.
• Alle fracties die in de uitdrukking aanwezig zijn, moeten zo vaak mogelijk worden verkleind. Vergeet echter niet dat alleen de vermenigvuldigers worden verlaagd. In het geval dat de noemer en de teller algebraïsche breuken vermenigvuldigd met hetzelfde getal, dat verschilt van nul, verandert de betekenis van de breuken niet.
• Over het algemeen kunnen alle uitingen worden getransformeerd door acties of in een keten. De eerste methode verdient meer de voorkeur, omdat de resultaten van tussenacties zijn gemakkelijker te verifiëren.
• Heel vaak moeten we in wiskundige uitdrukkingen wortels extraheren. Houd er rekening mee dat de wortels van even machten alleen uit een niet-negatief getal of uitdrukking kunnen worden afgeleid, en dat de wortels van oneven machten uit absoluut alle uitdrukkingen of getallen kunnen worden afgeleid.

We hopen dat ons artikel je in de toekomst zal helpen wiskundige formules te begrijpen en je zal leren hoe je ze in de praktijk kunt toepassen.

Het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen is een van de belangrijkste punten het leren van algebra en een uiterst nuttige vaardigheid voor alle wiskundigen. Met vereenvoudiging kunt u een complexe of lange uitdrukking terugbrengen tot een eenvoudige uitdrukking waarmee u gemakkelijk kunt werken. Basisvaardigheden van vereenvoudiging zijn goed, zelfs voor degenen die niet enthousiast zijn over wiskunde. Door er meerdere te observeren eenvoudige regels, kun je veel van de meest voorkomende soorten algebraïsche uitdrukkingen vereenvoudigen zonder speciale wiskundige kennis.

Stappen

Belangrijke definities

1. Soortgelijke leden. Dit zijn leden met een variabele van dezelfde orde, leden met dezelfde variabelen of vrije leden (leden die geen variabele bevatten). Met andere woorden: vergelijkbare termen omvatten dezelfde variabele in dezelfde mate, omvatten meerdere van dezelfde variabelen, of bevatten helemaal geen variabele. De volgorde van de termen in de uitdrukking doet er niet toe.

   • 3x 2 en 4x 2 zijn bijvoorbeeld vergelijkbare termen omdat ze een variabele van de tweede orde (tot de tweede macht) "x" bevatten. X en x2 zijn echter geen vergelijkbare termen, omdat ze de variabele “x” van verschillende ordes (eerste en tweede) bevatten. Op dezelfde manier zijn -3yx en 5xz geen vergelijkbare termen omdat ze verschillende variabelen bevatten.

2. Factorisatie. Dit is het vinden van getallen waarvan het product naar het oorspronkelijke getal leidt. Elk origineel nummer kan verschillende factoren hebben. Het getal 12 kan bijvoorbeeld worden ontleed in volgende rij factoren: 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4, dus we kunnen zeggen dat de getallen 1, 2, 3, 4, 6 en 12 factoren zijn van het getal 12. Factoren zijn hetzelfde als delers, dat wil zeggen de getallen waardoor het oorspronkelijke getal wordt gedeeld.

   • Als u bijvoorbeeld het getal 20 wilt ontbinden, schrijft u dit als volgt: 4×5.
   • Merk op dat bij het factoriseren rekening wordt gehouden met de variabele. Bijvoorbeeld 20x = 4(5x).
   • Priemgetallen kunnen niet in factoren worden ontbonden, omdat ze alleen deelbaar zijn door zichzelf en 1.

3. Onthoud en volg de volgorde van de handelingen om fouten te voorkomen.

   • Haakjes
   • Rang
   • Vermenigvuldiging
   • Divisie
   • Toevoeging
   • Aftrekken

   Gelijksoortige leden meenemen

   1. Schrijf de uitdrukking op. Protozoa algebraïsche uitdrukkingen(die geen breuken, wortels, enz. bevatten) kunnen in slechts een paar stappen worden opgelost (vereenvoudigd).

      • Vereenvoudig de uitdrukking bijvoorbeeld 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definieer vergelijkbare termen (termen met een variabele van dezelfde orde, termen met dezelfde variabelen of vrije termen).

      • Zoek vergelijkbare termen in deze uitdrukking. De termen 2x en 4x bevatten een variabele van dezelfde orde (eerste). Bovendien zijn 1 en -3 vrije termen (bevatten geen variabele). Dus in deze uitdrukking de termen 2x en 4x zijn vergelijkbaar, en de leden 1 en -3 zijn ook vergelijkbaar.

   3. Geef vergelijkbare leden. Dit betekent dat u ze moet optellen of aftrekken en de uitdrukking moet vereenvoudigen.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Herschrijf de uitdrukking, rekening houdend met de gegeven termen. U krijgt een eenvoudige uitdrukking met minder termen. De nieuwe uitdrukking is gelijk aan de oorspronkelijke.

      • In ons voorbeeld: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, dat wil zeggen dat de oorspronkelijke expressie vereenvoudigd is en gemakkelijker om mee te werken.

   5. Volg de volgorde van handelingen bij het meenemen van soortgelijke leden. In ons voorbeeld was het gemakkelijk om vergelijkbare termen op te geven. In het geval van complexe uitdrukkingen waarin termen tussen haakjes staan ​​en breuken en wortels voorkomen, is het echter niet zo eenvoudig om dergelijke termen te gebruiken. Volg in deze gevallen de volgorde van de handelingen.

      • Beschouw bijvoorbeeld de uitdrukking 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Hier zou het een vergissing zijn om 3x en 2x onmiddellijk als soortgelijke termen te definiëren en deze te geven, omdat het noodzakelijk is eerst de haakjes te openen. Voer daarom de bewerkingen uit volgens hun volgorde.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 +x 2 + 8 - 3x. Nu Als de uitdrukking alleen optel- en aftrekkingsbewerkingen bevat, kunt u vergelijkbare termen gebruiken.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Haal de vermenigvuldiger tussen haakjes

   1. Zoek de grootste gemene deler (GCD) van alle coëfficiënten van de uitdrukking. GCD is grootste aantal, waardoor alle coëfficiënten van de uitdrukking worden gedeeld.

      • Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking 9x 2 + 27x - 3. In dit geval is GCD = 3, aangezien elke coëfficiënt van deze uitdrukking deelbaar is door 3.

   2. Deel elke term van de uitdrukking door ggd. De resulterende termen zullen kleinere coëfficiënten bevatten dan in de oorspronkelijke uitdrukking.

      • In ons voorbeeld deelt u elke term in de uitdrukking door 3.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Het resultaat was een uitdrukking 3x 2 + 9x - 1. Het is niet gelijk aan de oorspronkelijke uitdrukking.

   3. Schrijf de oorspronkelijke uitdrukking op als gelijk aan het product van ggd en de resulterende uitdrukking. Dat wil zeggen: plaats de resulterende uitdrukking tussen haakjes en haal de ggd uit de haakjes.

      • In ons voorbeeld: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Vereenvoudiging van breukuitdrukkingen door de factor tussen haakjes te plaatsen. Waarom simpelweg de vermenigvuldiger tussen haakjes zetten, zoals eerder werd gedaan? Vervolgens leert u hoe u complexe uitdrukkingen, zoals breukuitdrukkingen, kunt vereenvoudigen. In dit geval kan het plaatsen van de factor tussen haakjes helpen om de breuk (van de noemer) kwijt te raken.

      • Beschouw bijvoorbeeld de fractionele uitdrukking (9x 2 + 27x - 3)/3. Gebruik factoring om deze uitdrukking te vereenvoudigen.
        • Zet de factor 3 tussen haakjes (zoals je eerder deed): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Merk op dat er nu een 3 in zowel de teller als de noemer staat. Dit kan worden gereduceerd tot de uitdrukking: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Omdat elke breuk met het getal 1 in de noemer eenvoudigweg gelijk is aan de teller, wordt de oorspronkelijke breukuitdrukking vereenvoudigd tot: 3x 2 + 9x - 1.

   Aanvullende vereenvoudigingsmethoden

4. Laten we een eenvoudig voorbeeld bekijken: √(90). Het getal 90 kan in de volgende factoren worden verwerkt: 9 en 10, en vanaf 9 kunnen we de vierkantswortel (3) nemen en 3 onder de wortel vandaan halen.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Uitdrukkingen vereenvoudigen met machten. Sommige uitdrukkingen bevatten bewerkingen voor het vermenigvuldigen of delen van termen met machten. In het geval van het vermenigvuldigen van termen met dezelfde grondtal worden hun bevoegdheden opgeteld; in het geval van het delen van termen met dezelfde grondtal, worden hun graden afgetrokken.

   • Beschouw bijvoorbeeld de uitdrukking 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). In het geval van vermenigvuldigen tel je de machten bij elkaar op, en in het geval van delen trek je ze af.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 +x2
   • Hieronder volgt een uitleg van de regels voor het vermenigvuldigen en delen van termen met machten.
     • Het vermenigvuldigen van termen met machten is gelijk aan het vermenigvuldigen van termen met zichzelf. Omdat bijvoorbeeld x 3 = x × x × x en x 5 = x × x × x × x × x, dan x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), of x8.
     • Op dezelfde manier is het delen van termen met graden gelijk aan het delen van termen op zichzelf. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Omdat vergelijkbare termen in zowel de teller als de noemer kunnen worden gereduceerd, blijft het product van twee “x”, of x 2 , in de teller.

• Onthoud altijd de tekens (plus of min) vóór de termen van de uitdrukking, omdat veel mensen moeite hebben met het kiezen van het juiste teken.
• Vraag om hulp als dat nodig is!
• Het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen is niet eenvoudig, maar als je het eenmaal onder de knie hebt, is het een vaardigheid die je de rest van je leven kunt gebruiken.