Ga naar het youtube kanaal van onze website om op de hoogte te blijven van alle nieuwe videolessen.

Laten we eerst de basisformules van machten en hun eigenschappen onthouden.

Product van een getal A n keer op zichzelf voorkomt, kunnen we deze uitdrukking schrijven als a a … a=a n

1. een 0 = 1 (een ≠ 0)

3. een n een m = een n + m

4. (een n) m = een nm

5. een n b n = (ab) n

7. een n / een m = een n - m

Machts- of exponentiële vergelijkingen– dit zijn vergelijkingen waarin de variabelen in machten (of exponenten) staan, en de basis een getal is.

Voorbeelden van exponentiële vergelijkingen:

In dit voorbeeld is het getal 6 het grondtal; het staat altijd onderaan, en de variabele X graad of indicator.

Laten we meer voorbeelden geven van exponentiële vergelijkingen.
2 x *5=10
16x - 4x - 6=0

Laten we nu eens kijken hoe exponentiële vergelijkingen worden opgelost?

Laten we een eenvoudige vergelijking nemen:

2 x = 2 3

Dit voorbeeld kan zelfs in je hoofd worden opgelost. Het blijkt dat x=3. Om de linker- en rechterkant gelijk te maken, moet je immers het getal 3 plaatsen in plaats van x.
Laten we nu eens kijken hoe we deze beslissing kunnen formaliseren:

2 x = 2 3
x = 3

Om een ​​dergelijke vergelijking op te lossen, hebben we verwijderd identieke gronden(dat wil zeggen tweeën) en schreef op wat er over was, dit zijn graden. We hebben het antwoord gekregen waar we naar op zoek waren.

Laten we nu onze beslissing samenvatten.

Algoritme voor het oplossen van de exponentiële vergelijking:
1. Moet controleren hetzelfde of de vergelijking rechts en links bases heeft. Als de redenen niet dezelfde zijn, zoeken we naar opties om dit voorbeeld op te lossen.
2. Nadat de bases hetzelfde zijn geworden, gelijkstellen graden en los de resulterende nieuwe vergelijking op.

Laten we nu een paar voorbeelden bekijken:

Laten we beginnen met iets eenvoudigs.

De basissen aan de linker- en rechterkant zijn gelijk aan het getal 2, wat betekent dat we de basis kunnen weggooien en hun graden gelijk kunnen stellen.

x+2=4 De eenvoudigste vergelijking wordt verkregen.
x=4 – 2
x=2
Antwoord: x=2

In het volgende voorbeeld kun je zien dat de bases verschillend zijn: 3 en 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Verplaats eerst de negen naar de rechterkant, we krijgen:

Nu moet je dezelfde basis maken. We weten dat 9=3 2. Laten we de machtsformule (a n) m = a nm gebruiken.

3 3x = (3 2) x+8

We krijgen 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nu is het duidelijk dat aan de linker- en rechterkant de bases hetzelfde zijn en gelijk zijn aan drie, wat betekent dat we ze kunnen weggooien en de graden gelijk kunnen stellen.

3x=2x+16 krijgen we de eenvoudigste vergelijking
3x - 2x=16
x=16
Antwoord: x=16.

Laten we eens kijken naar het volgende voorbeeld:

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Allereerst kijken we naar de honken, honken twee en vier. En we hebben ze nodig om hetzelfde te zijn. We transformeren de vier met behulp van de formule (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

En we gebruiken ook één formule a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Voeg aan de vergelijking toe:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Om dezelfde redenen hebben we een voorbeeld gegeven. Maar we hebben last van de andere nummers 10 en 24. Wat moeten we ermee? Als je goed kijkt, zie je dat we aan de linkerkant 2 2x herhaald hebben, hier is het antwoord - we kunnen 2 2x tussen haakjes zetten:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Laten we de uitdrukking tussen haakjes berekenen:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

We delen de hele vergelijking door 6:

Laten we ons 4=2 2 voorstellen:

2 2x = 2 2 basen zijn hetzelfde, we gooien ze weg en stellen de graden gelijk.
2x = 2 is de eenvoudigste vergelijking. Deel het door 2 en we krijgen
x = 1
Antwoord: x = 1.

Laten we de vergelijking oplossen:

9 x – 12*3 x +27= 0

Laten we transformeren:
9 x = (3 2) x = 3 2x

We krijgen de vergelijking:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Onze bases zijn hetzelfde, gelijk aan drie. In dit voorbeeld kun je zien dat de eerste drie twee keer (2x) een graad hebben dan de tweede (slechts x). In dit geval kunt u het oplossen vervangingsmethode. We vervangen het getal door de kleinste graad:

Dan 3 2x = (3 x) 2 = t 2

We vervangen alle x-machten in de vergelijking door t:

t2 - 12t+27 = 0
We krijgen kwadratische vergelijking. Als we de discriminant oplossen, krijgen we:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Terugkomend op de variabele X.

Neem t1:
t1 = 9 = 3x

Dat is,

3 x = 9
3 x = 3 2
x1=2

Er werd één wortel gevonden. Wij zijn op zoek naar de tweede van t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x2 = 1
Antwoord: x 1 = 2; x2 = 1.

Op de website kunt u al uw vragen stellen in de rubriek HELP DECIDE, wij zullen u zeker antwoorden.

Kom bij de groep

Eerste level

Graad en zijn eigenschappen. Uitgebreide gids (2019)

Waarom zijn graden nodig? Waar heb je ze nodig? Waarom zou je de tijd nemen om ze te bestuderen?

Om alles te leren over graden, waar ze voor zijn, hoe je je kennis kunt gebruiken Alledaagse leven lees dit artikel.

En natuurlijk zal kennis van graden je dichter bij succes brengen passeren van de OGE of het Unified State Exam en toelating tot de universiteit van je dromen.

Laten we gaan laten we gaan!)

Belangrijke notitie! Als je gobbledygook ziet in plaats van formules, wis dan je cache. Om dit te doen, drukt u op CTRL+F5 (op Windows) of Cmd+R (op Mac).

EERSTE LEVEL

Machtsverheffen is een wiskundige bewerking, net als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Nu zal ik alles in mensentaal in zeer korte tijd uitleggen eenvoudige voorbeelden. Wees voorzichtig. De voorbeelden zijn elementair, maar leggen belangrijke zaken uit.

Laten we beginnen met optellen.

Er valt hier niets uit te leggen. Je weet alles al: we zijn met z’n achten. Iedereen heeft twee flessen cola. Hoeveel cola is er? Dat klopt - 16 flessen.

Nu vermenigvuldiging.

Hetzelfde voorbeeld met cola kan anders worden geschreven: . Wiskundigen zijn sluwe en luie mensen. Ze merken eerst enkele patronen op en bedenken dan een manier om ze sneller te ‘tellen’. In ons geval merkten ze dat elk van de acht mensen hetzelfde aantal colaflesjes had en bedachten ze een techniek die vermenigvuldiging heet. Mee eens, het wordt als gemakkelijker en sneller beschouwd dan.

Dus om sneller, gemakkelijker en foutloos te tellen, hoeft u het alleen maar te onthouden tafel van vermenigvuldiging. Natuurlijk kun je alles langzamer, moeilijker en met fouten doen! Maar…

Hier is de tafel van vermenigvuldiging. Herhalen.

En nog een, mooiere:

Welke andere? sluwe trucjes Zijn de rekeningen uitgevonden door luie wiskundigen? Rechts - een getal tot een macht verheffen.

Een getal tot een macht verheffen

Als je een getal vijf keer met zichzelf moet vermenigvuldigen, zeggen wiskundigen dat je dat getal tot de vijfde macht moet verheffen. Bijvoorbeeld, . Wiskundigen herinneren zich dat twee tot de vijfde macht... En ze lossen dergelijke problemen in hun hoofd op - sneller, gemakkelijker en zonder fouten.

Het enige wat u hoeft te doen is onthoud wat in kleur is gemarkeerd in de tabel met machten van getallen. Geloof me, dit zal je leven een stuk gemakkelijker maken.

Trouwens, waarom wordt het de tweede graad genoemd? vierkant cijfers, en de derde - kubus? Wat betekent het? Zeer goede vraag. Nu heb je zowel vierkanten als kubussen.

Voorbeeld uit het echte leven #1

Laten we beginnen met het kwadraat of de tweede macht van het getal.

Stel je een vierkant zwembad voor van één meter bij één meter. Het zwembad bevindt zich in uw datsja. Het is warm en ik wil heel graag zwemmen. Maar... het zwembad heeft geen bodem! Je moet de bodem van het zwembad bedekken met tegels. Hoeveel tegels heb je nodig? Om dit te bepalen, moet u het bodemgedeelte van het zwembad kennen.

U kunt eenvoudig door met uw vinger te wijzen berekenen dat de bodem van het zwembad uit kubussen van meter bij meter bestaat. Als je tegels van één meter bij één meter hebt, heb je stukjes nodig. Het is gemakkelijk... Maar waar heb je zulke tegels gezien? De tegel zal hoogstwaarschijnlijk cm bij cm zijn, en dan word je gemarteld door ‘met je vinger te tellen’. Dan moet je vermenigvuldigen. Dus aan de ene kant van de bodem van het zwembad passen we tegels (stukjes) en aan de andere kant ook tegels. Vermenigvuldig met en je krijgt tegels ().

Is het je opgevallen dat we, om de oppervlakte van de zwembadbodem te bepalen, hetzelfde getal met zichzelf hebben vermenigvuldigd? Wat betekent het? Omdat we hetzelfde getal vermenigvuldigen, kunnen we de techniek van machtsverheffen gebruiken. (Als je maar twee getallen hebt, moet je ze natuurlijk nog steeds vermenigvuldigen of tot een macht verheffen. Maar als je er veel hebt, dan is het veel gemakkelijker om ze tot een macht te verheffen en zijn er ook minder fouten in de berekeningen Voor het Unified State Exam is dit erg belangrijk).
Dus dertig tot de tweede macht is (). Of we kunnen zeggen dat het dertig kwadraat zal zijn. Met andere woorden: de tweede macht van een getal kan altijd als een vierkant worden weergegeven. En omgekeerd: als je een vierkant ziet, is dit ALTIJD de tweede macht van een getal. Een vierkant is een afbeelding van de tweede macht van een getal.

Voorbeeld uit het echte leven #2

Hier is een taak voor je: tel hoeveel vierkantjes er op het schaakbord zijn met behulp van het kwadraat van het getal... Aan de ene kant van de cellen en ook aan de andere kant. Om hun aantal te berekenen, moet je acht met acht vermenigvuldigen, of... als je merkt dat een schaakbord een vierkant met een zijde is, dan kun je vierkant acht maken. Je krijgt cellen. () Dus?

Voorbeeld uit het echte leven #3

Nu de derde macht of de derde macht van een getal. Hetzelfde zwembad. Maar nu moet je uitvinden hoeveel water er in dit zwembad moet worden gegoten. U moet het volume berekenen. (Volumes en vloeistoffen worden overigens gemeten in Kubieke meters. Onverwacht toch?) Teken een zwembad: een bodem van een meter en een diepte van een meter en probeer te tellen hoeveel kubussen van een meter bij een meter er in jouw zwembad passen.

Wijs gewoon met uw vinger en tel! Eén, twee, drie, vier...tweeëntwintig,drieëntwintig...Hoeveel heb je er gekregen? Niet verloren? Is het moeilijk om met je vinger te tellen? Zodat! Neem een ​​voorbeeld van wiskundigen. Ze zijn lui, dus merkten ze dat je, om het volume van het zwembad te berekenen, de lengte, breedte en hoogte met elkaar moet vermenigvuldigen. In ons geval zal het volume van het zwembad gelijk zijn aan kubussen... Makkelijker, toch?

Stel je nu eens voor hoe lui en sluw wiskundigen zijn als ze dit ook vereenvoudigden. We hebben alles teruggebracht tot één actie. Ze merkten dat de lengte, breedte en hoogte gelijk zijn en dat hetzelfde getal met zichzelf wordt vermenigvuldigd... Wat betekent dit? Dit betekent dat u kunt profiteren van het diploma. Dus wat je ooit met je vinger telde, doen ze in één handeling: drie in blokjes is gelijk. Het is als volgt geschreven: .

Het enige dat overblijft is onthoud de gradentabel. Tenzij je natuurlijk net zo lui en sluw bent als wiskundigen. Als je graag hard werkt en fouten maakt, kun je met je vinger blijven tellen.

Om je er eindelijk van te overtuigen dat graden zijn uitgevonden door opgevers en sluwe mensen om hun levensproblemen op te lossen, en niet om problemen voor jou te creëren, zijn hier nog een paar voorbeelden uit het leven.

Voorbeeld uit het echte leven #4

Je hebt een miljoen roebel. Aan het begin van elk jaar verdient u voor elk miljoen dat u verdient nog een miljoen. Dat wil zeggen, elk miljoen dat je hebt, verdubbelt aan het begin van elk jaar. Hoeveel geld heb je over jaren? Als je nu zit en 'met je vinger telt', dan ben je een heel hardwerkend persoon en... dom. Maar hoogstwaarschijnlijk geef je binnen een paar seconden antwoord, omdat je slim bent! Dus, in het eerste jaar - twee vermenigvuldigd met twee... in het tweede jaar - wat gebeurde er, met nog eens twee, in het derde jaar... Stop! Je hebt gemerkt dat het getal keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Dus twee tot de vijfde macht is een miljoen! Stel je nu voor dat je een wedstrijd hebt en degene die het snelst kan tellen, krijgt deze miljoenen... Het is de moeite waard om de macht van getallen te onthouden, vind je niet?

Voorbeeld uit het echte leven #5

Je hebt een miljoen. Aan het begin van elk jaar verdien je voor elk miljoen dat je verdient er nog twee. Geweldig toch? Elk miljoen wordt verdrievoudigd. Hoeveel geld heb je over een jaar? Laten we tellen. Het eerste jaar - vermenigvuldig met, dan het resultaat met nog een... Het is al saai, omdat je alles al hebt begrepen: drie wordt vermenigvuldigd met zichzelf. Dus tot de vierde macht is het gelijk aan een miljoen. Je hoeft alleen maar te onthouden dat drie tot de vierde macht of is.

Nu weet je dat je je leven een stuk gemakkelijker zult maken door een getal tot een macht te verheffen. Laten we eens nader bekijken wat u met diploma's kunt doen en wat u erover moet weten.

Termen en concepten... om geen verwarring te veroorzaken

Laten we dus eerst de concepten definiëren. Wat denk je, wat is een exponent? Het is heel eenvoudig: het is het getal dat "bovenaan" de macht van het getal staat. Niet wetenschappelijk, maar duidelijk en gemakkelijk te onthouden...

Nou ja, tegelijkertijd, wat een dergelijke graadbasis? Nog eenvoudiger: dit is het nummer dat zich hieronder, aan de basis, bevindt.

Hier is een tekening voor de goede orde.

Wel binnen algemeen beeld, om te generaliseren en beter te onthouden... Een graad met een grondtal “ ” en een exponent “ ” wordt gelezen als “tot op de graad” en wordt als volgt geschreven:

Macht van een getal met natuurlijke exponent

Je raadt het waarschijnlijk al: omdat de exponent dat is natuurlijk nummer. Ja, maar wat is het natuurlijk nummer? Elementair! Natuurlijke getallen zijn de getallen die worden gebruikt bij het tellen bij het opsommen van objecten: één, twee, drie... Als we objecten tellen, zeggen we niet: ‘min vijf’, ‘min zes’, ‘min zeven’. We zeggen ook niet: “een derde”, of “nul komma vijf”. Dit zijn geen natuurlijke getallen. Welke cijfers zijn dit volgens jou?

Getallen als “min vijf”, “min zes”, “min zeven” verwijzen naar hele getallen. Over het algemeen omvatten gehele getallen alle natuurlijke getallen, getallen die tegengesteld zijn aan natuurlijke getallen (dat wil zeggen, genomen met een minteken) en getallen. Nul is gemakkelijk te begrijpen: het is wanneer er niets is. Wat betekenen negatieve (“minus”) getallen? Maar ze zijn vooral uitgevonden om schulden aan te geven: als je een saldo op je telefoon hebt in roebels, betekent dit dat je de operator roebels verschuldigd bent.

Alle breuken zijn rationale getallen. Hoe zijn ze ontstaan, denk je? Erg makkelijk. Enkele duizenden jaren geleden ontdekten onze voorouders dat ze geen natuurlijke getallen hadden om lengte, gewicht, oppervlakte, enz. te meten. En ze kwamen met rationele nummers... Interessant, nietwaar?

Er zijn ook irrationele getallen. Wat zijn deze cijfers? Kortom, eindeloos decimale. Als u bijvoorbeeld de omtrek van een cirkel deelt door de diameter, krijgt u een irrationeel getal.

Samenvatting:

Laten we het concept definiëren van een graad waarvan de exponent een natuurlijk getal is (dat wil zeggen geheel getal en positief).

1. Elk getal tot de eerste macht is gelijk aan zichzelf:
2. Een getal kwadrateren betekent het met zichzelf vermenigvuldigen:
3. Een getal tot een derde vermenigvuldigen betekent het drie keer met zichzelf vermenigvuldigen:

Definitie. Een getal verheffen tot een natuurlijke macht betekent dat je het getal vermenigvuldigt met zichzelf:
.

Eigenschappen van graden

Waar kwamen deze eigendommen vandaan? Ik zal het je nu laten zien.

Laten we eens kijken: wat is het En ?

A-prioriteit:

Hoeveel vermenigvuldigers zijn er in totaal?

Het is heel eenvoudig: we hebben vermenigvuldigers aan de factoren toegevoegd, en het resultaat zijn vermenigvuldigers.

Maar per definitie is dit een macht van een getal met een exponent, dat wil zeggen: , en dat is wat bewezen moest worden.

Voorbeeld: Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing:

Voorbeeld: Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing: Het is belangrijk om dit in onze regel op te merken Nodig er moeten dezelfde redenen zijn!
Daarom combineren we de krachten met de basis, maar het blijft een aparte factor:

alleen voor het product van machten!

Dat kun je in geen geval schrijven.

2. Dat is alles e macht van een getal

Laten we, net als bij de vorige eigenschap, kijken naar de definitie van graad:

Het blijkt dat de uitdrukking keer op keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat dit volgens de definitie de e-macht van het getal is:

In wezen kan dit worden genoemd: “de indicator tussen haakjes zetten.” Maar je kunt dit nooit in totaal doen:

Laten we de verkorte vermenigvuldigingsformules onthouden: hoe vaak wilden we schrijven?

Maar dit is tenslotte niet waar.

Macht met negatieve basis

Tot nu toe hebben we alleen besproken wat de exponent zou moeten zijn.

Maar wat moet de basis zijn?

In bevoegdheden van natuurlijke indicator de basis kan zijn elk nummer. We kunnen inderdaad alle getallen met elkaar vermenigvuldigen, of ze nu positief, negatief of zelfs zijn.

Laten we eens nadenken over welke tekens ("" of "") graden van positieve en negatieve getallen zullen hebben?

Is het getal bijvoorbeeld positief of negatief? A? ? Bij de eerste is alles duidelijk: hoeveel positieve getallen we ook met elkaar vermenigvuldigen, het resultaat zal positief zijn.

Maar de negatieve zijn iets interessanter. We herinneren ons de eenvoudige regel uit het 6e leerjaar: “min voor min geeft een plus.” Dat wil zeggen, of. Maar als we vermenigvuldigen, werkt het.

Bepaal zelf welk teken de volgende uitdrukkingen zullen hebben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Is het je gelukt?

Hier zijn de antwoorden: Ik hoop dat alles duidelijk is in de eerste vier voorbeelden? We kijken eenvoudigweg naar het grondtal en de exponent en passen de juiste regel toe.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In voorbeeld 5) is alles ook niet zo eng als het lijkt: het maakt immers niet uit waar de basis gelijk aan is - de graad is gelijk, wat betekent dat het resultaat altijd positief zal zijn.

Nou ja, behalve als de basis nul is. De basis is niet gelijk, toch? Uiteraard niet, aangezien (omdat).

Voorbeeld 6) is niet meer zo eenvoudig!

6 voorbeelden om te oefenen

Analyse van de oplossing 6 voorbeelden

Wat zien we hier als we de achtste macht negeren? Laten we het programma van groep 7 niet vergeten. Weet je nog? Dit is de formule voor verkorte vermenigvuldiging, namelijk het verschil in kwadraten! We krijgen:

Laten we goed naar de noemer kijken. Het lijkt veel op een van de tellerfactoren, maar wat is er mis? De volgorde van de termen is verkeerd. Als ze zouden worden teruggedraaid, zou de regel van toepassing kunnen zijn.

Maar hoe doe je dat? Het blijkt heel eenvoudig: de even graad van de noemer helpt ons hierbij.

Op magische wijze veranderden de termen van plaats. Dit ‘fenomeen’ is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes gemakkelijk veranderen.

Maar het is belangrijk om te onthouden: alle borden veranderen tegelijkertijd!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

Geheel we noemen de natuurlijke getallen, hun tegenpolen (dat wil zeggen, genomen met het teken " ") en het getal.

positief integer, en het is niet anders dan natuurlijk, dan ziet alles er precies zo uit als in de vorige sectie.

Laten we nu naar nieuwe gevallen kijken. Laten we beginnen met een indicator gelijk aan.

Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één:

Laten we ons zoals altijd de vraag stellen: waarom is dit zo?

Laten we een graad met een basis overwegen. Neem bijvoorbeeld en vermenigvuldig met:

Dus vermenigvuldigden we het getal met, en we kregen hetzelfde als het was: . Met welk getal moet je vermenigvuldigen zodat er niets verandert? Dat klopt, op. Middelen.

We kunnen hetzelfde doen met een willekeurig getal:

Laten we de regel herhalen:

Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één.

Maar op veel regels bestaan ​​uitzonderingen. En hier is het ook daar - dit is een getal (als basis).

Aan de ene kant moet het in elke graad gelijk zijn - hoeveel je nul ook met zichzelf vermenigvuldigt, je krijgt nog steeds nul, dit is duidelijk. Maar aan de andere kant moet het, zoals elk getal tot de macht nul, gelijk zijn. Dus hoeveel hiervan is waar? De wiskundigen besloten er niet bij betrokken te raken en weigerden nul tot de macht nul te verheffen. Dat wil zeggen, nu kunnen we niet alleen door nul delen, maar het ook tot de macht nul verheffen.

Laten we verder gaan. Naast natuurlijke getallen en getallen omvatten gehele getallen ook negatieve getallen. Om te begrijpen wat een negatieve graad is, gaan we doen zoals de vorige keer: vermenigvuldig een normaal getal met hetzelfde getal in negatieve graad:

Vanaf hier kunt u eenvoudig aangeven wat u zoekt:

Laten we nu de resulterende regel in willekeurige mate uitbreiden:

Laten we dus een regel formuleren:

Een getal met een negatieve macht is het omgekeerde van hetzelfde getal met een positieve macht. Maar op het zelfde moment De basis kan niet nul zijn:(omdat je niet kunt delen door).

Laten we het samenvatten:

I. De uitdrukking is niet gedefinieerd in de casus. Als dan.

II. Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één: .

III. Een getal dat niet gelijk is aan nul tot een negatieve macht is het omgekeerde van hetzelfde getal tot een positieve macht: .

Taken voor onafhankelijke oplossing:

Zoals gewoonlijk voorbeelden van onafhankelijke oplossingen:

Analyse van problemen voor onafhankelijke oplossing:

Ik weet het, ik weet het, de cijfers zijn beangstigend, maar bij het Unified State Exam moet je op alles voorbereid zijn! Los deze voorbeelden op of analyseer hun oplossingen als u ze niet kunt oplossen. Op het examen leert u er gemakkelijk mee omgaan!

Laten we doorgaan met het uitbreiden van het bereik van getallen die “geschikt” zijn als exponent.

Laten we nu eens overwegen rationele nummers. Welke getallen worden rationeel genoemd?

Antwoord: alles dat kan worden weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn, en.

Om te begrijpen wat het is "fractionele graad", beschouw de breuk:

Laten we beide kanten van de vergelijking verheffen tot een macht:

Laten we nu de regel onthouden "graad tot graad":

Welk getal moet verheven worden tot een macht om te verkrijgen?

Deze formulering is de definitie van de wortel van de e graad.

Laat me je eraan herinneren: de wortel van de e-macht van een getal () is een getal dat, wanneer het tot een macht wordt verheven, gelijk is aan.

Dat wil zeggen, de wortel van de e-macht is de omgekeerde werking van het verheffen tot een macht: .

Het blijkt dat. Uiteraard dit speciaal geval kan worden uitgebreid: .

Nu voegen we de teller toe: wat is het? Het antwoord is eenvoudig te verkrijgen met behulp van de power-to-power-regel:

Maar kan de basis een willekeurig getal zijn? De wortel kan immers niet uit alle getallen worden afgeleid.

Geen!

Laten we de regel onthouden: elk getal tot een even macht is een positief getal. Dat wil zeggen, het is onmogelijk om zelfs wortels uit negatieve getallen te halen!

Dit betekent dat dergelijke getallen niet kunnen worden verheven tot een fractionele macht met een even noemer, dat wil zeggen dat de uitdrukking geen betekenis heeft.

Hoe zit het met de uitdrukking?

Maar hier ontstaat een probleem.

Het getal kan bijvoorbeeld worden weergegeven in de vorm van andere, reduceerbare breuken, of.

En het blijkt dat het bestaat, maar niet bestaat, maar dit zijn slechts twee verschillende records van hetzelfde nummer.

Of nog een voorbeeld: één keer, dan kun je het opschrijven. Maar als we de indicator anders opschrijven, komen we opnieuw in de problemen: (dat wil zeggen, we hebben een heel ander resultaat!).

Om dergelijke paradoxen te vermijden, overwegen we alleen positieve basisexponent met fractionele exponent.

Dus als:

• - natuurlijk nummer;
• - geheel getal;

Voorbeelden:

Rationele exponenten zijn erg handig voor het transformeren van uitdrukkingen met wortels, bijvoorbeeld:

5 voorbeelden om te oefenen

Analyse van 5 voorbeelden voor training

Nou, nu komt het moeilijkste deel. Nu gaan we het uitzoeken graad met irrationele exponent.

Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als die voor een graad met een rationale exponent, met uitzondering van die

Irrationele getallen zijn immers per definitie getallen die niet als breuk kunnen worden weergegeven, waarbij en gehele getallen zijn (dat wil zeggen dat irrationele getallen allemaal reële getallen zijn, behalve rationale getallen).

Bij het bestuderen van graden met natuurlijke, gehele en rationele exponenten creëerden we elke keer een bepaald ‘beeld’, ‘analogie’ of beschrijving in meer vertrouwde termen.

Een graad met een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd;

...getal tot de macht nul- dit is als het ware een getal dat één keer met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat ze nog niet zijn begonnen het te vermenigvuldigen, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een bepaald "leeg getal" , namelijk een getal;

...negatief geheel getal- het is alsof er een “omgekeerd proces” heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen dat het getal niet met zichzelf is vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Trouwens, in de wetenschap wordt vaak een diploma met een complexe indicator gebruikt, dat wil zeggen dat de indicator niet eens is echt nummer.

Maar op school denken we niet aan zulke moeilijkheden; op het instituut krijg je de kans om deze nieuwe concepten te begrijpen.

WAAR WE ZEKER ZIJN DAT JE GAAT! (als je dergelijke voorbeelden leert oplossen :))

Bijvoorbeeld:

Beslis voor jezelf:

Analyse van oplossingen:

1. Laten we beginnen met de gebruikelijke regel om een ​​macht tot een macht te verheffen:

Kijk nu naar de indicator. Herinnert hij je nergens aan? Laten we ons de formule herinneren voor de verkorte vermenigvuldiging van het verschil in vierkanten:

In dit geval,

Het blijkt dat:

Antwoord: .

2. We reduceren breuken in exponenten tot dezelfde vorm: beide decimalen of beide gewone decimalen. We krijgen bijvoorbeeld:

Antwoord: 16

3. Niets bijzonders, we gebruiken de gebruikelijke eigenschappen van graden:

GEVORDERD NIVEAU

Bepaling van de graad

Een graad is een uitdrukking van de vorm: , waarbij:

• — graadbasis;
• - exponent.

Graad met natuurlijke indicator (n = 1, 2, 3,...)

Een getal verheffen tot de natuurlijke macht n betekent dat je het getal keer met zichzelf vermenigvuldigt:

Graad met een gehele exponent (0, ±1, ±2,...)

Als de exponent dat is positief integer nummer:

Bouw tot nul graden:

De uitdrukking is onbepaald, omdat enerzijds dit in elke graad is, en anderzijds elk getal tot de e graad dit is.

Als de exponent dat is negatief geheel getal nummer:

(omdat je niet kunt delen door).

Nogmaals over nullen: de uitdrukking is niet gedefinieerd in het geval. Als dan.

Voorbeelden:

Macht met rationele exponent

• - natuurlijk nummer;
• - geheel getal;

Voorbeelden:

Eigenschappen van graden

Laten we, om het gemakkelijker te maken om problemen op te lossen, proberen te begrijpen: waar komen deze eigenschappen vandaan? Laten we ze bewijzen.

Laten we eens kijken: wat is en?

A-prioriteit:

Dus aan de rechterkant van deze uitdrukking krijgen we het volgende product:

Maar per definitie is het een macht van een getal met een exponent, dat wil zeggen:

QED

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : .

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : Het is belangrijk om dit in onze regel op te merken Nodig er moeten dezelfde redenen zijn. Daarom combineren we de krachten met de basis, maar het blijft een aparte factor:

Een andere belangrijke notitie: deze regel is - alleen voor het product van machten!

Dat kun je in geen geval schrijven.

Laten we, net als bij de vorige eigenschap, kijken naar de definitie van graad:

Laten we dit werk als volgt hergroeperen:

Het blijkt dat de uitdrukking keer op keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat dit volgens de definitie de e-macht van het getal is:

In wezen kan dit worden genoemd: “de indicator tussen haakjes zetten.” Maar je kunt dit nooit in totaal doen: !

Laten we de verkorte vermenigvuldigingsformules onthouden: hoe vaak wilden we schrijven? Maar dit is tenslotte niet waar.

Macht met een negatieve basis.

Tot nu toe hebben we alleen besproken hoe het zou moeten zijn inhoudsopgave graden. Maar wat moet de basis zijn? In bevoegdheden van natuurlijk indicator de basis kan zijn elk nummer .

We kunnen inderdaad alle getallen met elkaar vermenigvuldigen, of ze nu positief, negatief of zelfs zijn. Laten we eens nadenken over welke tekens ("" of "") graden van positieve en negatieve getallen zullen hebben?

Is het getal bijvoorbeeld positief of negatief? A? ?

Bij de eerste is alles duidelijk: hoeveel positieve getallen we ook met elkaar vermenigvuldigen, het resultaat zal positief zijn.

Maar de negatieve zijn iets interessanter. We herinneren ons de eenvoudige regel uit het 6e leerjaar: “min voor min geeft een plus.” Dat wil zeggen, of. Maar als we vermenigvuldigen met (), krijgen we - .

En zo gaat het tot in het oneindige door: bij elke volgende vermenigvuldiging verandert het teken. We kunnen het volgende formuleren eenvoudige regels:

1. zelfs graad, - getal positief.
2. Een negatief getal, ingebouwd vreemd graad, - getal negatief.
3. Een positief getal, in welke mate dan ook, is een positief getal.
4. Nul tot elke macht is gelijk aan nul.

Bepaal zelf welk teken de volgende uitdrukkingen zullen hebben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Is het je gelukt? Hier zijn de antwoorden:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Ik hoop dat alles duidelijk is in de eerste vier voorbeelden? We kijken eenvoudigweg naar het grondtal en de exponent en passen de juiste regel toe.

In voorbeeld 5) is alles ook niet zo eng als het lijkt: het maakt immers niet uit waar de basis gelijk aan is - de graad is gelijk, wat betekent dat het resultaat altijd positief zal zijn. Nou ja, behalve als de basis nul is. De basis is niet gelijk, toch? Uiteraard niet, aangezien (omdat).

Voorbeeld 6) is niet meer zo eenvoudig. Hier moet je uitzoeken wat minder is: of? Als we dat onthouden, wordt dat duidelijk, wat betekent dat de basis kleiner is dan nul. Dat wil zeggen, we passen regel 2 toe: het resultaat zal negatief zijn.

En opnieuw gebruiken we de definitie van graad:

Alles is zoals gewoonlijk - we schrijven de definitie van graden op en verdelen ze door elkaar, verdelen ze in paren en krijgen:

Voordat we naar de laatste regel kijken, laten we een paar voorbeelden oplossen.

Bereken de uitdrukkingen:

Oplossingen :

Wat zien we hier als we de achtste macht negeren? Laten we het programma van groep 7 niet vergeten. Weet je nog? Dit is de formule voor verkorte vermenigvuldiging, namelijk het verschil in kwadraten!

We krijgen:

Laten we goed naar de noemer kijken. Het lijkt veel op een van de tellerfactoren, maar wat is er mis? De volgorde van de termen is verkeerd. Als ze omgekeerd zouden worden, zou regel 3 van toepassing kunnen zijn, maar hoe? Het blijkt heel eenvoudig: de even graad van de noemer helpt ons hierbij.

Als je het vermenigvuldigt, verandert er niets, toch? Maar nu komt het zo uit:

Op magische wijze veranderden de termen van plaats. Dit ‘fenomeen’ is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes gemakkelijk veranderen. Maar het is belangrijk om te onthouden: Alle borden veranderen tegelijkertijd! Je kunt het niet vervangen door slechts één nadeel te veranderen dat we niet leuk vinden!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

Dus nu de laatste regel:

Hoe gaan we het bewijzen? Natuurlijk, zoals gewoonlijk: laten we het concept van diploma uitbreiden en vereenvoudigen:

Laten we nu de haakjes openen. Hoeveel letters zijn er in totaal? maal door vermenigvuldigers - waar doet dit je aan denken? Dit is niets meer dan een definitie van een operatie vermenigvuldiging: Er waren daar alleen vermenigvuldigers. Dat wil zeggen, dit is per definitie een macht van een getal met een exponent:

Voorbeeld:

Graad met irrationele exponent

Naast informatie over graden voor het gemiddelde niveau, analyseren we de graad met een irrationele exponent. Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als voor een graad met een rationale exponent, met de uitzondering: irrationele getallen zijn immers per definitie getallen die niet als breuk kunnen worden weergegeven, waarbij en gehele getallen zijn (dat wil zeggen irrationele getallen zijn alle reële getallen behalve rationale getallen).

Bij het bestuderen van graden met natuurlijke, gehele en rationele exponenten creëerden we elke keer een bepaald ‘beeld’, ‘analogie’ of beschrijving in meer vertrouwde termen. Een graad met een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd; een getal tot de macht nul is als het ware een getal dat één keer met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen, ze zijn nog niet begonnen het te vermenigvuldigen, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een bepaalde “leeg getal”, namelijk een getal; een graad met een geheel getal negatieve exponent - het is alsof er een "omgekeerd proces" heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen dat het getal niet met zichzelf is vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Het is uiterst moeilijk om een ​​graad met een irrationele exponent voor te stellen (net zoals het moeilijk is om een ​​vierdimensionale ruimte voor te stellen). Het is eerder een puur wiskundig object dat wiskundigen hebben gemaakt om het concept van graad uit te breiden naar de hele ruimte van getallen.

Trouwens, in de wetenschap wordt vaak een graad met een complexe exponent gebruikt, dat wil zeggen dat de exponent niet eens een reëel getal is. Maar op school denken we niet aan zulke moeilijkheden; op het instituut krijg je de kans om deze nieuwe concepten te begrijpen.

Dus wat doen we als we een irrationele exponent zien? Wij doen ons best om er vanaf te komen! :)

Bijvoorbeeld:

Beslis voor jezelf:

1)

2)

3)

Antwoorden:

1. Laten we de formule voor het verschil in vierkanten onthouden. Antwoord: .
2. We reduceren de breuken tot dezelfde vorm: beide decimalen of beide gewone. Wij krijgen bijvoorbeeld: .
3. Niets bijzonders, we gebruiken de gebruikelijke eigenschappen van graden:

SAMENVATTING VAN DE SECTIE EN BASISFORMULES

Rang heet een uitdrukking van de vorm: , waarbij:

Graad met een gehele exponent

een graad waarvan de exponent een natuurlijk getal is (dat wil zeggen geheel getal en positief).

Macht met rationele exponent

graad, waarvan de exponent negatieve en fractionele getallen is.

Graad met irrationele exponent

een graad waarvan de exponent een oneindige decimale breuk of wortel is.

Eigenschappen van graden

Kenmerken van graden.

• Negatief getal verhoogd naar zelfs graad, - getal positief.
• Negatief getal verhoogd naar vreemd graad, - getal negatief.
• Een positief getal, in welke mate dan ook, is een positief getal.
• Nul is gelijk aan elke macht.
• Elk getal tot de macht nul is gelijk.

NU HEB JE HET WOORD...

Wat vind je van het artikel? Schrijf hieronder in de reacties of je het leuk vond of niet.

Vertel ons over uw ervaringen met het gebruik van diploma-eigenschappen.

Misschien heeft u vragen. Of suggesties.

Schrijf in de reacties.

En succes met je examens!

I. Werk N factoren, die allemaal gelijk zijn A genaamd N-de macht van het getal A en wordt aangewezen AN.

Voorbeelden. Schrijf het product als een diploma.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Oplossing.

1) mmmm=m 4, aangezien, per definitie van een graad, het product is van vier factoren, die elk gelijk zijn M, zullen vierde macht van m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. De actie waarmee het product van verschillende gelijke factoren wordt gevonden, wordt machtsverheffing genoemd. Het getal dat tot een macht wordt verheven, wordt het grondtal van de macht genoemd. Het getal dat aangeeft tot welke macht het grondtal wordt verhoogd, wordt de exponent genoemd. Dus, AN- rang, A– de basis van de graad, N– exponent. Bijvoorbeeld:

2 3 — het is een diploma. Nummer 2 is het grondtal van de graad waaraan de exponent gelijk is 3 . Graad waarde 2 3 gelijk aan 8, omdat 2 3 =2·2·2=8.

Voorbeelden. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder de exponent.

5) 4 3; 6) een3b2c3; 7) een 3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Oplossing.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) een 3 b 2 c 3 = aaabbcccc; 7) een 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. en 0=1 Elk getal (behalve nul) tot de macht nul is gelijk aan één. Bijvoorbeeld 25 0 =1.
IV. een 1 =eenElk getal tot de eerste macht is gelijk aan zichzelf.

V. ben∙ een= ben + N Bij het vermenigvuldigen van machten met dezelfde grondtallen blijft het grondtal hetzelfde, evenals de exponenten gevouwen

Voorbeelden. Makkelijker maken:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 + b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Oplossing.

9) a·a 3 ·a 7=een 1+3+7 =een 11; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1+b2+3 =1+b5;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. ben: een= ben - NBij het delen van machten met hetzelfde grondtal blijft het grondtal hetzelfde en wordt de exponent van de deler afgetrokken van de exponent van het deeltal.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

12) een 8:a3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12)een 8:een 3=een 8-3 =een 5; 13)m11:m4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (ben) N= een mn Wanneer je een macht tot een macht verheft, blijft het grondtal hetzelfde en worden de exponenten vermenigvuldigd.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

15) (een 3) 4; 16) (c5) 2.

15) (een 3) 4=een 3·4 =een 12 ; 16) (c5) 2=c 5 2 =c 10.

opmerking, wat, aangezien het product niet verandert door het herschikken van de factoren, Dat:

15) (een 3) 4 = (een 4) 3; 16) (c5) 2 = (c2) 5 .

VI II. (a∙b) n =een n ∙b n Wanneer je een product tot een macht verheft, wordt elk van de factoren tot die macht verheven.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 5 6 ; 19) 0,25 2 40 2.

Oplossing.

17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX. Wanneer je een breuk tot een macht verheft, worden zowel de teller als de noemer van de breuk tot die macht verheven.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

Oplossing.

Pagina 1 van 1 1

De macht wordt gebruikt om de bewerking van het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf te vereenvoudigen. In plaats van schrijven kunt u bijvoorbeeld schrijven 4 5 (\displaystyle 4^(5))(een verklaring voor deze overgang wordt gegeven in het eerste deel van dit artikel). Graden maken het gemakkelijker om lang of lang te schrijven complexe uitdrukkingen of vergelijkingen; machten zijn ook gemakkelijk op te tellen en af ​​te trekken, wat resulteert in een vereenvoudigde uitdrukking of vergelijking (bijvoorbeeld 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Opmerking: als u moet beslissen exponentiële vergelijking(in zo'n vergelijking staat het onbekende in de exponent), lees.

Stappen

Eenvoudige problemen oplossen met graden

Vermenigvuldig het grondtal van de exponent een aantal keren met zichzelf, gelijk aan de exponent. Als je een machtsprobleem met de hand moet oplossen, herschrijf de macht dan als een vermenigvuldigingsoperatie, waarbij de basis van de macht met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Bijvoorbeeld het behalen van een diploma 3 4 (\displaystyle 3^(4)). In dit geval moet de basis van macht 3 4 keer met zichzelf worden vermenigvuldigd: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Hier zijn andere voorbeelden:

Vermenigvuldig eerst de eerste twee getallen. Bijvoorbeeld, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Maak je geen zorgen: het berekeningsproces is niet zo ingewikkeld als het op het eerste gezicht lijkt. Vermenigvuldig eerst de eerste twee vieren en vervang ze vervolgens door het resultaat. Soortgelijk:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Vermenigvuldig het resultaat (16 in ons voorbeeld) met het volgende getal. Elk volgend resultaat zal proportioneel toenemen. In ons voorbeeld vermenigvuldig je 16 met 4. Zo:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Ga door met het vermenigvuldigen van het resultaat van de eerste twee getallen met het volgende getal totdat je je definitieve antwoord krijgt. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de eerste twee getallen en vermenigvuldigt u vervolgens het resulterende resultaat met het volgende getal in de reeks. Deze methode is geldig voor elke graad. In ons voorbeeld zou u het volgende moeten krijgen: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Los de volgende problemen op. Controleer je antwoord met een rekenmachine.

   • 8 2 (\ Displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Zoek op uw rekenmachine naar de sleutel met het label "exp" of " x n (\displaystyle x^(n))", of "^". Met deze toets verhef je een getal tot een macht. Het is bijna onmogelijk om handmatig een graad te berekenen met een grote indicator (bijvoorbeeld de graad 9 15 (\displaystyle 9^(15))), maar de rekenmachine kan deze taak gemakkelijk aan. In Windows 7 kan de standaardrekenmachine naar de engineeringmodus worden geschakeld; Om dit te doen, klikt u op “Beeld” -> “Techniek”. Om naar de normale modus te schakelen, klikt u op “Beeld” -> “Normaal”.

   • Controleer je antwoord met zoekmachine(Google of Yandex). Gebruik de "^"-toets op het toetsenbord van uw computer om de uitdrukking in de zoekmachine in te voeren, die onmiddellijk het juiste antwoord zal weergeven (en mogelijk soortgelijke uitdrukkingen zal voorstellen die u kunt bestuderen).

   Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen van machten

   1. Je kunt alleen graden optellen en aftrekken als ze dezelfde grondtal hebben. Als u machten met dezelfde grondtallen en exponenten moet optellen, kunt u de optelbewerking vervangen door de vermenigvuldigingsbewerking. Gezien de uitdrukking bijvoorbeeld 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Vergeet niet dat de graad 4 5 (\displaystyle 4^(5)) kan in de vorm worden weergegeven 1 * 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Dus, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(waarbij 1 +1 =2). Dat wil zeggen, tel het aantal vergelijkbare graden en vermenigvuldig vervolgens die graad met dit getal. In ons voorbeeld verhef je 4 tot de vijfde macht en vermenigvuldig je het resulterende resultaat met 2. Houd er rekening mee dat de optelbewerking kan worden vervangen door de vermenigvuldigingsbewerking, bijvoorbeeld: 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Hier zijn andere voorbeelden:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Bij het vermenigvuldigen van machten met dezelfde basis hun indicatoren worden opgeteld (de basis verandert niet). Gezien de uitdrukking bijvoorbeeld x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). In dit geval hoeft u alleen maar de indicatoren toe te voegen, waarbij de basis ongewijzigd blijft. Dus, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Hier is een visuele uitleg van deze regel:

      Bij het verheffen van een macht tot een macht worden de exponenten vermenigvuldigd. Er wordt bijvoorbeeld een diploma uitgereikt. Omdat exponenten worden vermenigvuldigd, dus (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Het punt van deze regel is dat je vermenigvuldigt met machten (x 2) (\displaystyle (x^(2))) vijf keer op zichzelf. Soortgelijk:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Omdat de basis hetzelfde is, tellen de exponenten eenvoudigweg op: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Een macht met een negatieve exponent moet worden omgezet in een breuk (omgekeerde macht). Het maakt niet uit als je niet weet wat een wederzijdse graad is. Als je een diploma krijgt met een negatieve exponent, b.v. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), schrijf deze graad in de noemer van de breuk (zet 1 in de teller) en maak de exponent positief. In ons voorbeeld: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Hier zijn andere voorbeelden:

      Bij het delen van graden met hetzelfde grondtal worden hun exponenten afgetrokken (het grondtal verandert niet). De delingsoperatie is het tegenovergestelde van de vermenigvuldigingsoperatie. Gezien de uitdrukking bijvoorbeeld 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Trek de exponent in de noemer af van de exponent in de teller (verander het grondtal niet). Dus, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • De macht in de noemer kan als volgt worden geschreven: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Onthoud dat een breuk een getal (macht, uitdrukking) is met een negatieve exponent.

   4. Hieronder staan ​​enkele uitdrukkingen die u zullen helpen bij het leren oplossen van problemen met exponenten. De gegeven uitdrukkingen hebben betrekking op het materiaal dat in deze sectie wordt gepresenteerd. Om het antwoord te zien, selecteert u eenvoudigweg de lege ruimte na het gelijkteken.

   Problemen met fractionele exponenten oplossen

   Een macht met een fractionele exponent (bijvoorbeeld ) wordt omgezet in een wortelbewerking. In ons voorbeeld: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Hier maakt het niet uit welk getal in de noemer van de fractionele exponent staat. Bijvoorbeeld, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- is dus de vierde wortel van “x”. x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Als de exponent een onechte breuk is, kan de exponent in twee machten worden ontleed om de oplossing van het probleem te vereenvoudigen. Hier is niets ingewikkelds aan - onthoud gewoon de regel van het vermenigvuldigen van machten. Er wordt bijvoorbeeld een diploma uitgereikt. Zet zo'n macht om in een wortel waarvan de macht gelijk is aan de noemer van de fractionele exponent, en verhef deze wortel vervolgens tot een macht gelijk aan de teller van de fractionele exponent. Om dit te doen, onthoud dat 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). In ons voorbeeld:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Sommige rekenmachines hebben een knop om exponenten te berekenen (u moet eerst het grondtal invoeren, vervolgens op de knop drukken en vervolgens de exponent invoeren). Het wordt aangegeven als ^ of x^y.
   3. Onthoud dat elk getal tot de eerste macht gelijk is aan zichzelf, bijvoorbeeld 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Bovendien is elk getal vermenigvuldigd of gedeeld door één gelijk aan zichzelf, b.v. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) En 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Weet dat de macht 0 0 niet bestaat (zo'n macht heeft geen oplossing). Als je zo'n graad probeert op te lossen op een rekenmachine of op een computer, krijg je een foutmelding. Maar onthoud dat elk getal tot de macht nul bijvoorbeeld 1 is: 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. IN hogere wiskunde, die werkt met denkbeeldige getallen: e een ik X = c O s een X + ik s ik n een X (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Waar ik = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e is een constante die ongeveer gelijk is aan 2,7; a is een willekeurige constante. Het bewijs van deze gelijkheid is te vinden in elk leerboek over hogere wiskunde.

   Waarschuwingen

   • Naarmate de exponent toeneemt, neemt de waarde ervan enorm toe. Dus als het antwoord u verkeerd lijkt, kan het in werkelijkheid juist zijn. U kunt dit testen door een willekeurige exponentiële functie te plotten, zoals 2 x.