Gemeenschappelijke breuken vermenigvuldigen
Laten we eens kijken naar een voorbeeld.
Stel dat er $\frac(1)(3)$ een deel van een appel op een bord ligt. We moeten het $\frac(1)(2)$-gedeelte ervan vinden. Het benodigde deel is het resultaat van het vermenigvuldigen van de breuken $\frac(1)(3)$ en $\frac(1)(2)$. Het resultaat van de vermenigvuldiging van twee gewone breuken is een gewone breuk.
Twee gewone breuken vermenigvuldigen
Regel voor het vermenigvuldigen van gewone breuken:
Het resultaat van het vermenigvuldigen van een breuk met een breuk is een breuk waarvan de teller gelijk is aan het product van de tellers van de breuken die worden vermenigvuldigd, en de noemer is gelijk aan het product van de noemers:
Voorbeeld 1
Voer de vermenigvuldiging uit van gewone breuken $\frac(3)(7)$ en $\frac(5)(11)$.
Oplossing.
Laten we de regel gebruiken voor het vermenigvuldigen van gewone breuken:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Antwoord:$\frac(15)(77)$
Als het vermenigvuldigen van breuken resulteert in een reduceerbare of onechte breuk, moet je deze vereenvoudigen.
Voorbeeld 2
Vermenigvuldig de breuken $\frac(3)(8)$ en $\frac(1)(9)$.
Oplossing.
Voor het vermenigvuldigen van gewone breuken gebruiken we de regel:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Als resultaat kregen we een reduceerbare breuk (gebaseerd op deling door $3$. Deel de teller en de noemer van de breuk door $3$, we krijgen:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Korte oplossing:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Antwoord:$\frac(1)(24).$
Wanneer u breuken vermenigvuldigt, kunt u de tellers en noemers verkleinen totdat u hun product vindt. In dit geval worden de teller en de noemer van de breuk ontleed in eenvoudige factoren, waarna de herhalende factoren worden geannuleerd en het resultaat wordt gevonden.
Voorbeeld 3
Bereken het product van de breuken $\frac(6)(75)$ en $\frac(15)(24)$.
Oplossing.
Laten we de formule gebruiken voor het vermenigvuldigen van gewone breuken:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Uiteraard bevatten de teller en de noemer getallen die in paren kunnen worden herleid tot de getallen $2$, $3$ en $5$. Laten we de teller en de noemer ontbinden in eenvoudige factoren en een reductie maken:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Antwoord:$\frac(1)(20).$
Bij het vermenigvuldigen van breuken kun je de commutatieve wet toepassen:
Een gewone breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal
De regel voor het vermenigvuldigen van een gewone breuk met natuurlijk getal:
Het resultaat van het vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal is een breuk waarin de teller gelijk is aan het product van de teller van de vermenigvuldigde breuk met het natuurlijke getal, en de noemer gelijk is aan de noemer van de vermenigvuldigde breuk:
waar $\frac(a)(b)$ een gewone breuk is, is $n$ een natuurlijk getal.
Voorbeeld 4
Vermenigvuldig de breuk $\frac(3)(17)$ met $4$.
Oplossing.
Laten we de regel gebruiken voor het vermenigvuldigen van een gewone breuk met een natuurlijk getal:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Antwoord:$\frac(12)(17).$
Vergeet niet het resultaat van de vermenigvuldiging te controleren aan de hand van de reduceerbaarheid van de breuk of aan de hand van een onechte breuk.
Voorbeeld 5
Vermenigvuldig de breuk $\frac(7)(15)$ met het getal $3$.
Oplossing.
Laten we de formule gebruiken voor het vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Door te delen door het getal $3$) kunnen we bepalen dat de resulterende breuk kan worden verminderd:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Het resultaat was een onjuiste breuk. Laten we het hele onderdeel selecteren:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Korte oplossing:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Breuken kunnen ook worden verkleind door de getallen in de teller en de noemer te vervangen door hun ontbindingen in priemfactoren. In dit geval zou de oplossing als volgt kunnen worden geschreven:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Antwoord:$1\frac(2)(5).$
Bij het vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal kun je de commutatieve wet gebruiken:
Breuken delen
De delingsoperatie is het omgekeerde van vermenigvuldigen en het resultaat is een breuk waarmee je de bekende breuk moet vermenigvuldigen om te krijgen beroemd werk twee fracties.
Twee gewone breuken delen
Regel voor het delen van gewone breuken: Het is duidelijk dat de teller en de noemer van de resulterende breuk kunnen worden ontbonden en gereduceerd:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Als resultaat krijgen we een onechte breuk, waaruit we het hele deel selecteren:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Antwoord:$1\frac(5)(9).$
In de middelbare en middelbare schoolcursussen behandelden de leerlingen het onderwerp ‘Breuken’. Dit concept is echter veel breder dan wat in het leerproces wordt gegeven. Tegenwoordig kom je het concept van een breuk vrij vaak tegen, en niet iedereen kan een uitdrukking berekenen, bijvoorbeeld het vermenigvuldigen van breuken.
Wat is een breuk?
Historisch gezien zijn fractionele getallen ontstaan uit de noodzaak om te meten. Zoals de praktijk laat zien, zijn er vaak voorbeelden van het bepalen van de lengte van een segment en het volume van een rechthoekige rechthoek.
In eerste instantie maken de studenten kennis met het concept van een aandeel. Als je bijvoorbeeld een watermeloen in 8 delen verdeelt, krijgt elke persoon een achtste van de watermeloen. Dit ene deel van acht wordt een aandeel genoemd.
Een aandeel gelijk aan de helft van welke waarde dan ook wordt de helft genoemd; ⅓ - derde; ¼ - een kwart. Records van de vorm 5/8, 4/5, 2/4 worden genoemd gewone breuken. Een gemeenschappelijke breuk is verdeeld in een teller en een noemer. Daartussen bevindt zich de breukbalk of breukbalk. De breuklijn kan worden getekend als een horizontale of als een schuine lijn. In dit geval geeft dit het deelteken aan.
De noemer geeft aan in hoeveel gelijke delen de hoeveelheid of het object is verdeeld; en de teller is hoeveel identieke aandelen er worden genomen. De teller staat boven de breuklijn, de noemer eronder.
Het is het handigst om gewone breuken op een coördinatenstraal weer te geven. Als een enkel segment in 4 gelijke delen wordt verdeeld, wordt elk deel aangeduid met een Latijnse letter, dan kan het resultaat worden verkregen visueel hulpmiddel. Punt A toont dus een aandeel gelijk aan 1/4 van het gehele eenheidssegment, en punt B markeert 2/8 van een bepaald segment.
Soorten breuken
Breuken kunnen gewone, decimale en gemengde getallen zijn. Bovendien kunnen breuken worden onderverdeeld in juist en oneigenlijk. Deze classificatie is meer geschikt voor gewone breuken.
Een echte breuk is een getal waarvan de teller kleiner is dan de noemer. Dienovereenkomstig is een onechte breuk een getal waarvan de teller groter is dan de noemer. Het tweede type wordt meestal geschreven als een gemengd getal. Deze uitdrukking bestaat uit een geheel getal en een breukgedeelte. Bijvoorbeeld 1½. 1 is een geheel getal, ½ is een gebroken deel. Als u echter enkele manipulaties met de uitdrukking moet uitvoeren (breuken delen of vermenigvuldigen, verkleinen of converteren), wordt het gemengde getal omgezet in een onechte breuk.
Een correcte breukuitdrukking is altijd kleiner dan één, en een onjuiste breuk is altijd groter dan of gelijk aan 1.
Wat deze uitdrukking betreft, bedoelen we een record waarin elk getal wordt weergegeven, waarvan de noemer van de breukuitdrukking kan worden uitgedrukt in termen van één met meerdere nullen. Als de breuk juist is, is het gehele deel in decimale notatie gelijk aan nul.
Om een decimale breuk te schrijven, moet u eerst het hele deel schrijven, dit met een komma van de breuk scheiden en vervolgens de breukuitdrukking schrijven. Houd er rekening mee dat de teller na de komma hetzelfde aantal digitale tekens moet bevatten als er nullen in de noemer staan.
Voorbeeld. Druk de breuk 7 21 / 1000 uit in decimale notatie.
Algoritme voor het omzetten van een onechte breuk naar een gemengd getal en omgekeerd
Het is onjuist om een onechte breuk in het antwoord op een probleem te schrijven, dus moet deze worden omgezet in een gemengd getal:
- deel de teller door de bestaande noemer;
- V specifiek voorbeeld onvolledig quotiënt - geheel;
- en de rest is de teller van het gebroken deel, waarbij de noemer ongewijzigd blijft.
Voorbeeld. Converteer onechte breuk naar gemengd getal: 47/5.
Oplossing. 47: 5. Het gedeeltelijke quotiënt is 9, de rest = 2. Dus 47/5 = 9 2/5.
Soms moet je een gemengd getal voorstellen als een onechte breuk. Dan moet je het volgende algoritme gebruiken:
- het gehele deel wordt vermenigvuldigd met de noemer van de breukuitdrukking;
- het resulterende product wordt opgeteld bij de teller;
- het resultaat wordt in de teller geschreven, de noemer blijft ongewijzigd.
Voorbeeld. Vertegenwoordig het getal in gemengde vorm als onechte breuk: 9 8/10.
Oplossing. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 is de teller.
Antwoord: 98 / 10.
Breuken vermenigvuldigen
Op gewone breuken kunnen verschillende algebraïsche bewerkingen worden uitgevoerd. Om twee getallen te vermenigvuldigen, moet je de teller met de teller vermenigvuldigen, en de noemer met de noemer. Bovendien is het vermenigvuldigen van breuken met verschillende noemers verschilt niet van het product van breuken met dezelfde noemers.
Het komt voor dat je na het vinden van het resultaat de breuk moet verkleinen. Het is absoluut noodzakelijk om de resulterende uitdrukking zoveel mogelijk te vereenvoudigen. Je kunt natuurlijk niet zeggen dat een onechte breuk in een antwoord een fout is, maar het is ook moeilijk om het een correct antwoord te noemen.
Voorbeeld. Zoek het product van twee gewone breuken: ½ en 20/18.
Zoals uit het voorbeeld blijkt, wordt na het vinden van het product een reduceerbare breuknotatie verkregen. Zowel de teller als de noemer worden in dit geval gedeeld door 4 en het resultaat is het antwoord 5/9.
Decimale breuken vermenigvuldigen
Het product van decimale breuken verschilt in principe behoorlijk van het product van gewone breuken. Het vermenigvuldigen van breuken gaat dus als volgt:
- twee decimale breuken moeten onder elkaar worden geschreven, zodat de meest rechtse cijfers onder elkaar staan;
- je moet de geschreven getallen vermenigvuldigen, ondanks de komma's, dat wil zeggen als natuurlijke getallen;
- tel het aantal cijfers achter de komma in elk getal;
- in het resultaat dat wordt verkregen na vermenigvuldiging, moet je vanaf de rechterkant zoveel digitale symbolen tellen als er in de som van beide factoren achter de komma zitten, en een scheidingsteken plaatsen;
- als er minder getallen in het product zitten, dan moet je er zoveel nullen voor schrijven om dit getal te dekken, een komma plaatsen en het hele deel gelijk aan nul optellen.
Voorbeeld. Bereken het product van twee decimale breuken: 2,25 en 3,6.
Oplossing.
Gemengde breuken vermenigvuldigen
Om het product van twee gemengde breuken te berekenen, moet je de regel voor het vermenigvuldigen van breuken gebruiken:
- gemengde getallen omzetten in onechte breuken;
- vind het product van de tellers;
- vind het product van noemers;
- noteer het resultaat;
- vereenvoudig de uitdrukking zoveel mogelijk.
Voorbeeld. Zoek het product van 4½ en 6 2/5.
Een getal vermenigvuldigen met een breuk (breuken met een getal)
Naast het vinden van het product van twee breuken en gemengde getallen, zijn er taken waarbij je met een breuk moet vermenigvuldigen.
Dus, om het product te vinden decimale en een natuurlijk getal heb je nodig:
- schrijf het getal onder de breuk zodat de meest rechtse cijfers boven elkaar liggen;
- vind het product ondanks de komma;
- in het resulterende resultaat scheidt u het gehele deel van het breukdeel met behulp van een komma, waarbij u vanaf de rechterkant het aantal cijfers telt dat zich achter de komma in de breuk bevindt.
Om een gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je het product van de teller en de natuurlijke factor vinden. Als het antwoord een breuk oplevert die kan worden verminderd, moet deze worden omgezet.
Voorbeeld. Bereken het product van 5/8 en 12.
Oplossing. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Antwoord: 7 1 / 2.
Zoals je in het vorige voorbeeld kunt zien, was het nodig om het resulterende resultaat te verkleinen en de onjuiste breukuitdrukking om te zetten in een gemengd getal.
Bij het vermenigvuldigen van breuken gaat het ook om het vinden van het product van een getal in gemengde vorm en een natuurlijke factor. Om deze twee getallen te vermenigvuldigen, moet je het hele deel van de gemengde factor vermenigvuldigen met het getal, de teller met dezelfde waarde vermenigvuldigen en de noemer ongewijzigd laten. Indien nodig moet u het resulterende resultaat zoveel mogelijk vereenvoudigen.
Voorbeeld. Vind het product van 9 5 / 6 en 9.
Oplossing. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Antwoord: 88 1 / 2.
Vermenigvuldiging met de factoren 10, 100, 1000 of 0,1; 0,01; 0,001
Uit de vorige paragraaf volgt de volgende regel. Om een decimale breuk te vermenigvuldigen met 10, 100, 1000, 10.000, enz., moet u de komma met net zoveel cijfers naar rechts verplaatsen als er nullen staan na de één in de factor.
Voorbeeld 1. Zoek het product van 0,065 en 1000.
Oplossing. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Antwoord: 65.
Voorbeeld 2. Zoek het product van 3,9 en 1000.
Oplossing. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Antwoord: 3900.
Als u een natuurlijk getal en 0,1 moet vermenigvuldigen; 0,01; 0,001; 0,0001, enz., moet u de komma in het resulterende product met zoveel cijfers naar links verplaatsen als er nullen vóór één staan. Indien nodig wordt vóór het natuurlijke getal een voldoende aantal nullen geschreven.
Voorbeeld 1. Zoek het product van 56 en 0,01.
Oplossing. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Antwoord: 0,56.
Voorbeeld 2. Zoek het product van 4 en 0,001.
Oplossing. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Antwoord: 0,004.
Het vinden van het product van verschillende breuken zou dus geen problemen moeten veroorzaken, behalve misschien het berekenen van het resultaat; in dit geval kun je gewoon niet zonder een rekenmachine.
We zullen de vermenigvuldiging van gewone breuken in verschillende mogelijke opties overwegen.
Een gewone breuk vermenigvuldigen met een breuk
Dit is het eenvoudigste geval waarin u het volgende moet gebruiken regels voor het vermenigvuldigen van breuken.
Naar vermenigvuldig breuk met breuk, nodig:
- vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en schrijf hun product in de teller van de nieuwe breuk;
- vermenigvuldig de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk en schrijf hun product in de noemer van de nieuwe breuk;
- Breuken met gelijke noemers optellen
- Breuken met verschillende noemers optellen
Voordat u tellers en noemers gaat vermenigvuldigen, moet u controleren of de breuken kunnen worden verkleind. Door breuken in berekeningen te verminderen, worden uw berekeningen veel eenvoudiger.
Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal
Om een breuk te maken vermenigvuldigen met een natuurlijk getal U moet de teller van de breuk met dit getal vermenigvuldigen en de noemer van de breuk ongewijzigd laten.
Als het resultaat van vermenigvuldiging resulteert in een onechte breuk, vergeet dan niet om er een gemengd getal van te maken, dat wil zeggen: markeer het hele deel.
Gemengde getallen vermenigvuldigen
Om gemengde getallen te vermenigvuldigen, moet je ze eerst in onechte breuken omzetten en vervolgens vermenigvuldigen volgens de regel voor het vermenigvuldigen van gewone breuken.
Een andere manier om een breuk met een natuurlijk getal te vermenigvuldigen
Soms is het bij het maken van berekeningen handiger om een andere methode te gebruiken om een gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen.
Om een breuk met een natuurlijk getal te vermenigvuldigen, moet je de noemer van de breuk delen door dit getal, en de teller hetzelfde laten.
Zoals uit het voorbeeld blijkt, is deze versie van de regel handiger in gebruik als de noemer van de breuk deelbaar is door een natuurlijk getal zonder rest.
Bewerkingen met breuken
Breuken met gelijke noemers optellen
Er zijn twee soorten optelling van breuken:
Laten we eerst de optelling van breuken met gelijke noemers leren. Alles is hier eenvoudig. Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten. Laten we bijvoorbeeld de breuken en optellen. Voeg de tellers toe en laat de noemer ongewijzigd:
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza aan pizza toevoegt, krijg je pizza:
Voorbeeld 2. Voeg breuken en toe.
Nogmaals, we tellen de tellers bij elkaar op en laten de noemer ongewijzigd:
Het antwoord bleek een onechte breuk te zijn. Wanneer het einde van de taak is bereikt, is het gebruikelijk om onechte breuken te verwijderen. Om van een onechte breuk af te komen, moet je het hele deel ervan selecteren. In ons geval is het hele deel gemakkelijk te isoleren: twee gedeeld door twee is één:
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we ons een pizza herinneren die in twee delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je één hele pizza:
Voorbeeld 3. Voeg breuken en toe.
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je pizza:
Voorbeeld 4. Zoek de waarde van een expressie 
Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. De tellers moeten worden opgeteld en de noemer moet ongewijzigd blijven:
Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza aan een pizza toevoegt en meer pizza's toevoegt, krijg je 1 hele pizza en meer pizza's.
Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het optellen van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:
- Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer hetzelfde laten;
- Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan benadrukken.
- Zoek de LCM van de noemers van breuken;
- Deel de LCM door de noemer van elke breuk en verkrijg een extra factor voor elke breuk;
- Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met hun aanvullende factoren;
- Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben;
- Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, selecteer dan het hele deel ervan;
- Breuken met gelijke noemers aftrekken
- Breuken met verschillende noemers aftrekken
Breuken met verschillende noemers optellen
Laten we nu leren hoe we breuken met verschillende noemers kunnen optellen. Bij het optellen van breuken moeten de noemers van de breuken hetzelfde zijn. Maar ze zijn niet altijd hetzelfde.
Breuken kunnen bijvoorbeeld worden opgeteld omdat ze dezelfde noemers hebben.
Maar breuken kunnen niet meteen worden opgeteld, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.
Er zijn verschillende manieren om breuken tot dezelfde noemer te herleiden. Vandaag zullen we er slechts één bekijken, omdat de andere methoden voor een beginner misschien ingewikkeld lijken.
De essentie van deze methode is dat we eerst zoeken naar het kleinste gemene veelvoud (LCM) van de noemers van beide breuken. De LCM wordt vervolgens gedeeld door de noemer van de eerste breuk om de eerste aanvullende factor te verkrijgen. Hetzelfde doen ze met de tweede breuk: de LCM wordt gedeeld door de noemer van de tweede breuk en er wordt een tweede extra factor verkregen.
De tellers en noemers van de breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als gevolg van deze acties veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen.
Voorbeeld 1. Laten we de breuken en optellen
Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.
Allereerst vinden we het kleinste gemene veelvoud van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 6
LCM (2 en 3) = 6
Laten we nu terugkeren naar breuken en . Deel eerst de LCM door de noemer van de eerste breuk en verkrijg de eerste extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 6 door 3 en we krijgen 2.
Het resulterende getal 2 is de eerste extra vermenigvuldiger. We schrijven het op tot de eerste breuk. Om dit te doen, trekt u een kleine schuine lijn over de breuk en noteert u de extra factor die erboven staat:
Hetzelfde doen we met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk en krijgen de tweede extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Deel 6 door 2 en we krijgen 3.
Het resulterende getal 3 is de tweede extra vermenigvuldiger. We schrijven het op in de tweede breuk. We maken opnieuw een kleine schuine lijn over de tweede breuk en noteren de extra factor die erboven staat:
Nu hebben we alles klaar voor toevoeging. Het blijft nodig om de tellers en noemers van de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:
Kijk goed naar wat we zijn tegengekomen. We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:
Hiermee is het voorbeeld voltooid. Het blijkt toe te voegen.
Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza aan een pizza toevoegt, krijg je één hele pizza en nog een zesde deel van een pizza:
Het herleiden van breuken tot dezelfde (gemene) noemer kan ook met behulp van een afbeelding worden weergegeven. Door de breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze twee breuken worden weergegeven door dezelfde stukken pizza. Het enige verschil is dat ze deze keer in gelijke delen worden verdeeld (herleid tot dezelfde noemer).
De eerste tekening vertegenwoordigt een breuk (vier van de zes), en de tweede tekening vertegenwoordigt een breuk (drie van de zes). Als we deze stukken toevoegen, krijgen we (zeven van de zes). Deze breuk is ongepast, dus hebben we het hele deel ervan gemarkeerd. Als resultaat kregen we (een hele pizza en nog een zesde pizza).
Houd er rekening mee dat we dit voorbeeld te gedetailleerd hebben beschreven. IN onderwijsinstellingen Het is niet gebruikelijk om zo gedetailleerd te schrijven. U moet snel de LCM van beide noemers en aanvullende factoren kunnen vinden, en de gevonden aanvullende factoren snel kunnen vermenigvuldigen met uw tellers en noemers. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld als volgt moeten schrijven:
Maar er zit ook een andere kant aan de medaille. Als je in de eerste fasen van het studeren van wiskunde geen gedetailleerde aantekeningen maakt, beginnen dit soort vragen te verschijnen. “Waar komt dat getal vandaan?”, “Waarom veranderen breuken ineens in totaal andere breuken? «.
Om het optellen van breuken met verschillende noemers makkelijker te maken, kun je de volgende stapsgewijze instructies gebruiken:
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie 
.
Laten we het diagram gebruiken dat we hierboven hebben gegeven.
Stap 1. Zoek de LCM voor de noemers van de breuken
Zoek de LCM voor de noemers van beide breuken. De noemers van de breuken zijn de getallen 2, 3 en 4. Voor deze getallen moet je de LCM vinden:
Stap 2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en verkrijg een extra factor voor elke breuk
Verdeel de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 2. Deel 12 door 2 en we krijgen 6. We hebben de eerste extra factor 6. We schrijven deze boven de eerste breuk:
Nu delen we de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 12 door 3, we krijgen 4. We krijgen de tweede extra factor 4. We schrijven deze boven de tweede breuk:
Nu delen we de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de derde breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We krijgen de derde extra factor 3. We schrijven deze boven de derde breuk:
Stap 3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van de breuken met hun aanvullende factoren
We vermenigvuldigen de tellers en noemers met hun aanvullende factoren:
Stap 4. Voeg breuken toe met dezelfde noemers
We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. Het enige dat overblijft is het optellen van deze breuken. Voeg het toe:
De toevoeging paste niet op één regel, dus hebben we de resterende uitdrukking naar de volgende regel verplaatst. In de wiskunde is dit toegestaan. Wanneer een uitdrukking niet op één regel past, wordt deze naar de volgende regel verplaatst en is het noodzakelijk om een gelijkteken (=) aan het einde van de eerste regel en aan het begin van de nieuwe regel te plaatsen. Het gelijkteken op de tweede regel geeft aan dat dit een voortzetting is van de uitdrukking die op de eerste regel stond.
Stap 5. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, markeer dan het hele deel ervan
Ons antwoord bleek een onechte breuk te zijn. We moeten een heel deel ervan onder de aandacht brengen. Wij benadrukken:
Wij kregen antwoord
Breuken met gelijke noemers aftrekken
Er zijn twee soorten aftrekkingen van breuken:
Laten we eerst leren hoe we breuken met gelijke noemers kunnen aftrekken. Alles is hier eenvoudig. Om een andere breuk van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, maar laat de noemer hetzelfde.
Laten we bijvoorbeeld de waarde van de expressie vinden. Om dit voorbeeld op te lossen, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer hetzelfde laten. Laten we dit doen:
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza’s uit een pizza snijdt, krijg je pizza’s:
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van de uitdrukking.
Nogmaals, trek van de teller van de eerste breuk de teller van de tweede breuk af en laat de noemer hetzelfde:
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je pizza’s uit een pizza snijdt, krijg je pizza’s:
Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie 
Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. Van de teller van de eerste breuk moet je de tellers van de resterende breuken aftrekken:
Het antwoord was een onechte breuk. Als het voorbeeld voltooid is, is het gebruikelijk om de onechte breuk weg te laten. Laten we de onechte breuk in het antwoord verwijderen. Om dit te doen, selecteren we het volledige onderdeel:
Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het aftrekken van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:
Breuken met verschillende noemers aftrekken
U kunt bijvoorbeeld een breuk van een breuk aftrekken omdat de breuken dezelfde noemers hebben. Maar je kunt geen breuk van een breuk aftrekken, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.
De gemeenschappelijke noemer wordt gevonden met behulp van hetzelfde principe dat we hebben gebruikt bij het optellen van breuken met verschillende noemers. Zoek eerst de LCM van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste aanvullende factor verkregen, die boven de eerste breuk wordt geschreven. Op dezelfde manier wordt de LCM gedeeld door de noemer van de tweede breuk en wordt een tweede extra factor verkregen, die boven de tweede breuk wordt geschreven.
De breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als gevolg van deze bewerkingen worden breuken met verschillende noemers omgezet in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken.
Voorbeeld 1. Zoek de betekenis van de uitdrukking:
Eerst vinden we de LCM van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 12
LCM (3 en 4) = 12
Laten we nu terugkeren naar breuken en
Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 12 door 3 en je krijgt 4. Schrijf een vier boven de eerste breuk:
Hetzelfde doen we met de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. Schrijf een drie over de tweede breuk:
Nu zijn we klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:
We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:
Wij kregen antwoord
Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza uit een pizza snijdt, krijg je pizza
Dit is de gedetailleerde versie van de oplossing. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld korter moeten oplossen. Zo’n oplossing zou er als volgt uit kunnen zien:
Het herleiden van breuken tot een gemeenschappelijke noemer kan ook worden weergegeven met behulp van een afbeelding. Door deze breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze breuken worden weergegeven door dezelfde pizzapunten, maar deze keer worden ze in gelijke delen verdeeld (herleid tot dezelfde noemer):
De eerste foto toont een breuk (acht van de twaalf), en de tweede foto toont een breuk (drie van de twaalf). Door drie stukken uit acht stukken te snijden, krijgen we vijf stukken uit twaalf. De breuk beschrijft deze vijf stukken.
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie 
Deze breuken hebben verschillende noemers, dus eerst moet je ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.
Laten we de LCM van de noemers van deze breuken vinden.
De noemers van de breuken zijn de getallen 10, 3 en 5. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Nu vinden we voor elke breuk aanvullende factoren. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van elke breuk.
Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. LCM is het getal 30, en de noemer van de eerste breuk is het getal 10. Deel 30 door 10, we krijgen de eerste extra factor 3. We schrijven deze boven de eerste breuk:
Nu vinden we een extra factor voor de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 30 door 3, we krijgen de tweede extra factor 10. We schrijven deze boven de tweede breuk:
Nu vinden we een extra factor voor de derde breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de derde breuk is het getal 5. Deel 30 door 5, we krijgen de derde extra factor 6. We schrijven deze boven de derde breuk:
Nu is alles klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:
We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld afmaken.
Het vervolg van het voorbeeld past niet op één regel, dus verplaatsen we het vervolg naar de volgende regel. Vergeet het gelijkteken (=) op de nieuwe regel niet:
Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, en alles lijkt bij ons te passen, maar het is te omslachtig en lelijk. Het zou nodig zijn om het eenvoudiger en esthetisch aantrekkelijker te maken. Wat kan er gedaan worden? Je kunt deze breuk inkorten. Bedenk dat het verminderen van een breuk het delen van de teller en de noemer door de grootste gemene deler van de teller en de noemer is.
Om een breuk correct te verkleinen, moet je de teller en de noemer delen door de grootste gemene deler (GCD) van de getallen 20 en 30.
GCD moet niet worden verward met NOC. De meest voorkomende fout van veel beginners. GCD is de grootste gemene deler. Wij vinden dat dit een fractie reduceert.
En LCM is het kleinste gemene veelvoud. We vinden het om breuken naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer te brengen.
Nu zullen we de grootste gemene deler (GCD) van de getallen 20 en 30 vinden.
We vinden dus GCD voor de nummers 20 en 30:
GCD (20 en 30) = 10
Nu keren we terug naar ons voorbeeld en delen de teller en de noemer van de breuk door 10:
Wij kregen een prachtig antwoord
Een breuk vermenigvuldigen met een getal
Om een breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je de teller van de gegeven breuk met dat getal vermenigvuldigen en de noemer hetzelfde laten.
Voorbeeld 1. Vermenigvuldig een breuk met het getal 1.
Vermenigvuldig de teller van de breuk met het getal 1
De opname kan worden opgevat als een halve tijdsbesteding. Als je bijvoorbeeld één keer pizza neemt, krijg je pizza
Uit de vermenigvuldigingswetten weten we dat als het vermenigvuldigtal en de factor worden verwisseld, het product niet zal veranderen. Als de uitdrukking wordt geschreven als , zal het product nog steeds gelijk zijn aan . Nogmaals, de regel voor het vermenigvuldigen van een geheel getal en een breuk werkt:
Deze notatie kan worden opgevat als het nemen van de helft van één. Als er bijvoorbeeld 1 hele pizza is en we nemen de helft ervan, dan hebben we pizza:
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie
Vermenigvuldig de teller van de breuk met 4
De uitdrukking kan worden opgevat als vier keer twee kwartalen nemen. Als u bijvoorbeeld 4 pizza's neemt, krijgt u twee hele pizza's
En als we de vermenigvuldiger en de vermenigvuldiger verwisselen, krijgen we de uitdrukking . Het zal ook gelijk zijn aan 2. Deze uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van twee pizza's uit vier hele pizza's:
Breuken vermenigvuldigen
Om breuken te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan markeren.
Voorbeeld 1. Zoek de waarde van de uitdrukking.
Wij kregen antwoord. Het is raadzaam deze fractie te verkleinen. De breuk kan met 2 worden verminderd. Dan zal de uiteindelijke oplossing de volgende vorm aannemen:
De uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van een pizza uit een halve pizza. Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:
Hoe kun je tweederde van deze helft halen? Eerst moet je deze helft in drie gelijke delen verdelen:
En neem er twee uit deze drie stukken:
Wij gaan pizza maken. Onthoud hoe pizza eruit ziet als deze in drie delen is verdeeld:
Eén stuk van deze pizza en de twee stukken die we hebben genomen, hebben dezelfde afmetingen:
Met andere woorden, waar we het over hebben ongeveer dezelfde grootte pizza. Daarom is de waarde van de uitdrukking
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie
Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk, en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:
Het antwoord was een onechte breuk. Laten we het hele deel ervan benadrukken:
Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie
Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, maar het zou goed zijn als deze werd ingekort. Om deze breuk te verkleinen, moet deze worden gedeeld door de ggd van de teller en de noemer. Laten we dus de ggd van de nummers 105 en 450 vinden:
GCD voor (105 en 150) is 15
Nu delen we de teller en de noemer van ons antwoord door ggd:
Een geheel getal weergeven als een breuk
Elk geheel getal kan als een breuk worden weergegeven. Het getal 5 kan bijvoorbeeld worden weergegeven als . Dit zal de betekenis van vijf niet veranderen, aangezien de uitdrukking ‘het getal vijf gedeeld door één’ betekent, en dit is, zoals we weten, gelijk aan vijf:
Wederzijdse cijfers
Nu zullen we er kennis mee maken interessant onderwerp in de wiskunde. Het heet ‘omgekeerde getallen’.
Definitie. Omkeren naar nummer A is een getal dat, vermenigvuldigd met A geeft er een.
Laten we deze definitie vervangen in plaats van de variabele A nummer 5 en probeer de definitie te lezen:
Omkeren naar nummer 5 is een getal dat, vermenigvuldigd met 5 geeft er een.
Is het mogelijk een getal te vinden dat, vermenigvuldigd met 5, één oplevert? Het blijkt mogelijk te zijn. Laten we ons vijf voorstellen als een breuk:
Vermenigvuldig deze breuk vervolgens met zichzelf, verwissel gewoon de teller en de noemer. Met andere woorden, vermenigvuldig een breuk met zichzelf, alleen ondersteboven:
Wat zal er als gevolg hiervan gebeuren? Als we dit voorbeeld blijven oplossen, krijgen we er een:
Dit betekent dat het omgekeerde van het getal 5 het getal is, want als je 5 vermenigvuldigt, krijg je er één.
Het omgekeerde van een getal kan ook voor elk ander geheel getal worden gevonden.
- het omgekeerde van 3 is een breuk
- het omgekeerde van 4 is een breuk
Je kunt ook het omgekeerde getal voor elke andere breuk vinden. Om dit te doen, draait u het gewoon om.
Breuken met gelijke noemers optellen
Er zijn twee soorten optelling van breuken:
- Breuken met gelijke noemers optellen
- Breuken met verschillende noemers optellen
Laten we eerst de optelling van breuken met gelijke noemers leren. Alles is hier eenvoudig. Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten. Laten we bijvoorbeeld de breuken en optellen. Voeg de tellers toe en laat de noemer ongewijzigd:
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza aan pizza toevoegt, krijg je pizza:
Voorbeeld 2. Voeg breuken en toe.
Het antwoord bleek een onechte breuk te zijn. Wanneer het einde van de taak is bereikt, is het gebruikelijk om onechte breuken te verwijderen. Om van een onechte breuk af te komen, moet je het hele deel ervan selecteren. In ons geval is het hele deel gemakkelijk te isoleren: twee gedeeld door twee is één:
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we ons een pizza herinneren die in twee delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je één hele pizza:
Voorbeeld 3. Voeg breuken en toe.
Nogmaals, we tellen de tellers bij elkaar op en laten de noemer ongewijzigd:
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je pizza:
Voorbeeld 4. Zoek de waarde van een expressie 
Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. De tellers moeten worden opgeteld en de noemer moet ongewijzigd blijven:
Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza aan een pizza toevoegt en meer pizza's toevoegt, krijg je 1 hele pizza en meer pizza's.
Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het optellen van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:
- Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten;
Breuken met verschillende noemers optellen
Laten we nu leren hoe we breuken met verschillende noemers kunnen optellen. Bij het optellen van breuken moeten de noemers van de breuken hetzelfde zijn. Maar ze zijn niet altijd hetzelfde.
Breuken kunnen bijvoorbeeld worden opgeteld omdat ze dezelfde noemers hebben.
Maar breuken kunnen niet meteen worden opgeteld, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.
Er zijn verschillende manieren om breuken tot dezelfde noemer te herleiden. Vandaag zullen we er slechts één bekijken, omdat de andere methoden voor een beginner misschien ingewikkeld lijken.
De essentie van deze methode is dat eerst de LCM van de noemers van beide breuken wordt doorzocht. De LCM wordt vervolgens gedeeld door de noemer van de eerste breuk om de eerste aanvullende factor te verkrijgen. Hetzelfde doen ze met de tweede breuk: de LCM wordt gedeeld door de noemer van de tweede breuk en er wordt een tweede extra factor verkregen.
De tellers en noemers van de breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als gevolg van deze acties veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen.
Voorbeeld 1. Laten we de breuken en optellen
Allereerst vinden we het kleinste gemene veelvoud van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 6
LCM (2 en 3) = 6
Laten we nu terugkeren naar breuken en . Deel eerst de LCM door de noemer van de eerste breuk en verkrijg de eerste extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 6 door 3 en we krijgen 2.
Het resulterende getal 2 is de eerste extra vermenigvuldiger. We schrijven het op tot de eerste breuk. Om dit te doen, trekt u een kleine schuine lijn over de breuk en noteert u de extra factor die erboven staat:
Hetzelfde doen we met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk en krijgen de tweede extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Deel 6 door 2 en we krijgen 3.
Het resulterende getal 3 is de tweede extra vermenigvuldiger. We schrijven het op in de tweede breuk. We maken opnieuw een kleine schuine lijn over de tweede breuk en noteren de extra factor die erboven staat:
Nu hebben we alles klaar voor toevoeging. Het blijft nodig om de tellers en noemers van de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:
Kijk goed naar wat we zijn tegengekomen. We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:
Hiermee is het voorbeeld voltooid. Het blijkt toe te voegen.
Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza aan een pizza toevoegt, krijg je één hele pizza en nog een zesde deel van een pizza:
Het herleiden van breuken tot dezelfde (gemene) noemer kan ook met behulp van een afbeelding worden weergegeven. Door de breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze twee breuken worden weergegeven door dezelfde stukken pizza. Het enige verschil is dat ze deze keer in gelijke delen worden verdeeld (herleid tot dezelfde noemer).
De eerste tekening vertegenwoordigt een breuk (vier van de zes), en de tweede tekening vertegenwoordigt een breuk (drie van de zes). Als we deze stukken toevoegen, krijgen we (zeven van de zes). Deze breuk is ongepast, dus hebben we het hele deel ervan gemarkeerd. Als resultaat kregen we (een hele pizza en nog een zesde pizza).
Houd er rekening mee dat we dit voorbeeld te gedetailleerd hebben beschreven. In onderwijsinstellingen is het niet gebruikelijk om zo gedetailleerd te schrijven. U moet snel de LCM van beide noemers en aanvullende factoren kunnen vinden, en de gevonden aanvullende factoren snel kunnen vermenigvuldigen met uw tellers en noemers. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld als volgt moeten schrijven:
Maar er zit ook een andere kant aan de medaille. Als je in de eerste fasen van het studeren van wiskunde geen gedetailleerde aantekeningen maakt, beginnen dit soort vragen te verschijnen. “Waar komt dat getal vandaan?”, “Waarom veranderen breuken ineens in totaal andere breuken? «.
Om het optellen van breuken met verschillende noemers makkelijker te maken, kun je de volgende stapsgewijze instructies gebruiken:
- Zoek de LCM van de noemers van breuken;
- Deel de LCM door de noemer van elke breuk en verkrijg een extra factor voor elke breuk;
- Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met hun aanvullende factoren;
- Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben;
- Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, selecteer dan het hele deel ervan;
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie .
Laten we de hierboven gegeven instructies gebruiken.
Stap 1. Zoek de LCM van de noemers van de breuken
Zoek de LCM van de noemers van beide breuken. De noemers van breuken zijn de getallen 2, 3 en 4
Stap 2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en verkrijg een extra factor voor elke breuk
Verdeel de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 2. Deel 12 door 2 en we krijgen 6. We hebben de eerste extra factor 6. We schrijven deze boven de eerste breuk:
Nu delen we de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 12 door 3, we krijgen 4. We krijgen de tweede extra factor 4. We schrijven deze boven de tweede breuk:
Nu delen we de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de derde breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We krijgen de derde extra factor 3. We schrijven deze boven de derde breuk:
Stap 3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van de breuken met hun aanvullende factoren
We vermenigvuldigen de tellers en noemers met hun aanvullende factoren:
Stap 4. Voeg breuken toe met dezelfde noemers
We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. Het enige dat overblijft is het optellen van deze breuken. Voeg het toe:
De toevoeging paste niet op één regel, dus hebben we de resterende uitdrukking naar de volgende regel verplaatst. In de wiskunde is dit toegestaan. Wanneer een uitdrukking niet op één regel past, wordt deze naar de volgende regel verplaatst en is het noodzakelijk om een gelijkteken (=) aan het einde van de eerste regel en aan het begin van de nieuwe regel te plaatsen. Het gelijkteken op de tweede regel geeft aan dat dit een voortzetting is van de uitdrukking die op de eerste regel stond.
Stap 5. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, markeer dan het hele deel ervan
Ons antwoord bleek een onechte breuk te zijn. We moeten een heel deel ervan onder de aandacht brengen. Wij benadrukken:
Wij kregen antwoord
Breuken met gelijke noemers aftrekken
Er zijn twee soorten aftrekkingen van breuken:
- Breuken met gelijke noemers aftrekken
- Breuken met verschillende noemers aftrekken
Laten we eerst leren hoe we breuken met gelijke noemers kunnen aftrekken. Alles is hier eenvoudig. Om een andere breuk van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, maar laat de noemer hetzelfde.
Laten we bijvoorbeeld de waarde van de expressie vinden. Om dit voorbeeld op te lossen, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer ongewijzigd laten. Laten we dit doen:
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza’s uit een pizza snijdt, krijg je pizza’s:
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van de uitdrukking.
Nogmaals, trek van de teller van de eerste breuk de teller van de tweede breuk af en laat de noemer ongewijzigd:
Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je pizza’s uit een pizza snijdt, krijg je pizza’s:
Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie 
Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. Van de teller van de eerste breuk moet je de tellers van de resterende breuken aftrekken:
Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het aftrekken van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:
- Om een andere breuk van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer ongewijzigd laten;
- Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan benadrukken.
Breuken met verschillende noemers aftrekken
U kunt bijvoorbeeld een breuk van een breuk aftrekken omdat de breuken dezelfde noemers hebben. Maar je kunt geen breuk van een breuk aftrekken, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.
De gemeenschappelijke noemer wordt gevonden met behulp van hetzelfde principe dat we hebben gebruikt bij het optellen van breuken met verschillende noemers. Zoek eerst de LCM van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste aanvullende factor verkregen, die boven de eerste breuk wordt geschreven. Op dezelfde manier wordt de LCM gedeeld door de noemer van de tweede breuk en wordt een tweede extra factor verkregen, die boven de tweede breuk wordt geschreven.
De breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als gevolg van deze bewerkingen worden breuken met verschillende noemers omgezet in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken.
Voorbeeld 1. Zoek de betekenis van de uitdrukking:
Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.
Eerst vinden we de LCM van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 12
LCM (3 en 4) = 12
Laten we nu terugkeren naar breuken en
Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 12 door 3 en je krijgt 4. Schrijf een vier boven de eerste breuk:
Hetzelfde doen we met de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. Schrijf een drie over de tweede breuk:
Nu zijn we klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:
We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:
Wij kregen antwoord
Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza uit een pizza snijdt, krijg je pizza
Dit is de gedetailleerde versie van de oplossing. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld korter moeten oplossen. Zo’n oplossing zou er als volgt uit kunnen zien:
Het herleiden van breuken tot een gemeenschappelijke noemer kan ook worden weergegeven met behulp van een afbeelding. Door deze breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze breuken worden weergegeven door dezelfde pizzapunten, maar deze keer worden ze in gelijke delen verdeeld (herleid tot dezelfde noemer):
De eerste foto toont een breuk (acht van de twaalf), en de tweede foto toont een breuk (drie van de twaalf). Door drie stukken uit acht stukken te snijden, krijgen we vijf stukken uit twaalf. De breuk beschrijft deze vijf stukken.
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie 
Deze breuken hebben verschillende noemers, dus eerst moet je ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.
Laten we de LCM van de noemers van deze breuken vinden.
De noemers van de breuken zijn de getallen 10, 3 en 5. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Nu vinden we voor elke breuk aanvullende factoren. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van elke breuk.
Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. LCM is het getal 30, en de noemer van de eerste breuk is het getal 10. Deel 30 door 10, we krijgen de eerste extra factor 3. We schrijven deze boven de eerste breuk:
Nu vinden we een extra factor voor de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. De LCM is het getal 30, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 30 door 3, we krijgen de tweede extra factor 10. We schrijven deze boven de tweede breuk:
Nu vinden we een extra factor voor de derde breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de derde breuk is het getal 5. Deel 30 door 5, we krijgen de derde extra factor 6. We schrijven deze boven de derde breuk:
Nu is alles klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:
We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld afmaken.
Het vervolg van het voorbeeld past niet op één regel, dus verplaatsen we het vervolg naar de volgende regel. Vergeet het gelijkteken (=) op de nieuwe regel niet:
Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, en alles lijkt bij ons te passen, maar het is te omslachtig en lelijk. We moeten het eenvoudiger maken. Wat kan er gedaan worden? Je kunt deze breuk inkorten.
Om een breuk te verkleinen, moet je de teller en de noemer delen door (GCD) van de getallen 20 en 30.
We vinden dus de ggd van de nummers 20 en 30:
Nu keren we terug naar ons voorbeeld en delen de teller en de noemer van de breuk door de gevonden ggd, dat wil zeggen door 10
Wij kregen antwoord
Een breuk vermenigvuldigen met een getal
Om een breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je de teller van de gegeven breuk met dat getal vermenigvuldigen en de noemer hetzelfde laten.
Voorbeeld 1. Vermenigvuldig een breuk met het getal 1.
Vermenigvuldig de teller van de breuk met het getal 1
De opname kan worden opgevat als een halve tijdsbesteding. Als je bijvoorbeeld één keer pizza neemt, krijg je pizza
Uit de vermenigvuldigingswetten weten we dat als het vermenigvuldigtal en de factor worden verwisseld, het product niet zal veranderen. Als de uitdrukking wordt geschreven als , zal het product nog steeds gelijk zijn aan . Nogmaals, de regel voor het vermenigvuldigen van een geheel getal en een breuk werkt:
Deze notatie kan worden opgevat als het nemen van de helft van één. Als er bijvoorbeeld 1 hele pizza is en we nemen de helft ervan, dan hebben we pizza:
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie
Vermenigvuldig de teller van de breuk met 4
Het antwoord was een onechte breuk. Laten we het hele deel ervan benadrukken:
De uitdrukking kan worden opgevat als vier keer twee kwartalen nemen. Als u bijvoorbeeld 4 pizza's neemt, krijgt u twee hele pizza's
En als we de vermenigvuldiger en de vermenigvuldiger verwisselen, krijgen we de uitdrukking . Het zal ook gelijk zijn aan 2. Deze uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van twee pizza's uit vier hele pizza's:
Breuken vermenigvuldigen
Om breuken te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan markeren.
Voorbeeld 1. Zoek de waarde van de uitdrukking.
Wij kregen antwoord. Het is raadzaam deze fractie te verkleinen. De breuk kan met 2 worden verminderd. Dan zal de uiteindelijke oplossing de volgende vorm aannemen:
De uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van een pizza uit een halve pizza. Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:
Hoe kun je tweederde van deze helft halen? Eerst moet je deze helft in drie gelijke delen verdelen:
En neem er twee uit deze drie stukken:
Wij gaan pizza maken. Onthoud hoe pizza eruit ziet als deze in drie delen is verdeeld:
Eén stuk van deze pizza en de twee stukken die we hebben genomen, hebben dezelfde afmetingen:
Met andere woorden, we hebben het over pizza van dezelfde grootte. Daarom is de waarde van de uitdrukking
Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie
Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk, en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:
Het antwoord was een onechte breuk. Laten we het hele deel ervan benadrukken:
Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie
Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk, en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:
Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, maar het zou goed zijn als deze werd ingekort. Om deze breuk te verkleinen, moet je de teller en de noemer van deze breuk delen door de grootste gemene deler (GCD) van de getallen 105 en 450.
Laten we dus de ggd van de nummers 105 en 450 vinden:
Nu delen we de teller en de noemer van ons antwoord door de ggd die we nu hebben gevonden, dat wil zeggen door 15
Een geheel getal weergeven als een breuk
Elk geheel getal kan als een breuk worden weergegeven. Het getal 5 kan bijvoorbeeld worden weergegeven als . Dit zal de betekenis van vijf niet veranderen, aangezien de uitdrukking ‘het getal vijf gedeeld door één’ betekent, en dit is, zoals we weten, gelijk aan vijf:
Wederzijdse cijfers
Nu zullen we kennis maken met een zeer interessant onderwerp in de wiskunde. Het heet ‘omgekeerde getallen’.
Definitie. Omkeren naar nummerA is een getal dat, vermenigvuldigd metA geeft er een.
Laten we deze definitie vervangen in plaats van de variabele A nummer 5 en probeer de definitie te lezen:
Omkeren naar nummer 5 is een getal dat, vermenigvuldigd met 5 geeft er een.
Is het mogelijk een getal te vinden dat, vermenigvuldigd met 5, één oplevert? Het blijkt mogelijk te zijn. Laten we ons vijf voorstellen als een breuk:
Vermenigvuldig deze breuk vervolgens met zichzelf, verwissel gewoon de teller en de noemer. Met andere woorden, laten we de breuk met zichzelf vermenigvuldigen, alleen ondersteboven:
Wat zal er als gevolg hiervan gebeuren? Als we dit voorbeeld blijven oplossen, krijgen we er een:
Dit betekent dat het omgekeerde van het getal 5 het getal is, want als je 5 vermenigvuldigt, krijg je er één.
Het omgekeerde van een getal kan ook voor elk ander geheel getal worden gevonden.
Je kunt ook het omgekeerde getal voor elke andere breuk vinden. Om dit te doen, draait u het gewoon om.
Een breuk delen door een getal
Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:
Laten we het gelijkelijk over twee verdelen. Hoeveel pizza krijgt elke persoon?
Te zien is dat na het verdelen van de helft van de pizza twee gelijke stukken werden verkregen, die elk een pizza vormen. Dus iedereen krijgt een pizza.
Het delen van breuken gebeurt met behulp van reciproque getallen. Met wederkerige getallen kunt u deling vervangen door vermenigvuldiging.
Om een breuk door een getal te delen, moet je de breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.
Met behulp van deze regel zullen we de verdeling van onze helft van de pizza in twee delen opschrijven.
Je moet de breuk dus delen door het getal 2. Hier is het deeltal de breuk en de deler het getal 2.
Om een breuk te delen door het getal 2, moet je deze breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler 2. Het omgekeerde van de deler 2 is de breuk. Je moet dus vermenigvuldigen met
Gewone fractionele getallen ontmoeten schoolkinderen voor het eerst in de 5e klas en begeleiden hen hun hele leven, omdat het in het dagelijks leven vaak nodig is om een object niet als geheel, maar in afzonderlijke delen te beschouwen of te gebruiken. Begin dit onderwerp te bestuderen - aandelen. Aandelen zijn gelijke delen, waarin dit of dat object is verdeeld. Het is immers niet altijd mogelijk om bijvoorbeeld de lengte of prijs van een product in een geheel getal uit te drukken; er moet rekening worden gehouden met delen of aandelen van een bepaalde maatstaf. Gevormd uit het werkwoord "splitsen" - in delen verdelen, en met Arabische wortels, ontstond het woord "fractie" zelf in de Russische taal in de 8e eeuw.
Fractionele uitdrukkingen worden lange tijd beschouwd als de moeilijkste tak van de wiskunde. In de 17e eeuw, toen de eerste wiskundeboeken verschenen, werden ze ‘gebroken getallen’ genoemd, wat voor mensen erg moeilijk te begrijpen was.
Moderne uitstraling eenvoudige fractionele resten, waarvan de delen gescheiden zijn door een horizontale lijn, werden voor het eerst gepromoot door Fibonacci - Leonardo van Pisa. Zijn werken dateren uit 1202. Maar het doel van dit artikel is om de lezer eenvoudig en duidelijk uit te leggen hoe gemengde breuken met verschillende noemers worden vermenigvuldigd.
Breuken met verschillende noemers vermenigvuldigen
In eerste instantie is het de moeite waard om te bepalen soorten breuken:
- juist;
- onjuist;
- gemengd.
Vervolgens moet je onthouden hoe gebroken getallen met dezelfde noemers worden vermenigvuldigd. De regel zelf van dit proces is gemakkelijk zelfstandig te formuleren: het resultaat van vermenigvuldiging eenvoudige breuken met dezelfde noemers is een breukuitdrukking, waarvan de teller het product is van de tellers, en de noemer het product is van de noemers van deze breuken. Dat wil zeggen dat de nieuwe noemer in feite het kwadraat is van een van de bestaande.
Bij het vermenigvuldigen eenvoudige breuken met verschillende noemers voor twee of meer factoren verandert de regel niet:
A/B * C/D = een*c / b*d.
Het enige verschil is dat het resulterende getal onder de breuklijn het product zal zijn van verschillende getallen en uiteraard het kwadraat van één. numerieke expressie het is onmogelijk om het te benoemen.
Het is de moeite waard om de vermenigvuldiging van breuken met verschillende noemers te overwegen met behulp van voorbeelden:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
In de voorbeelden worden methoden gebruikt voor het reduceren van fractionele expressies. Je kunt alleen tellergetallen verkleinen met noemergetallen die naast elkaar liggen, boven of onder de breuklijn.
Naast eenvoudige breuken bestaat er het concept van gemengde breuken. Een gemengd getal bestaat uit een geheel getal en een gebroken deel, dat wil zeggen dat het de som is van deze getallen:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Hoe werkt vermenigvuldigen?
Ter overweging worden diverse voorbeelden gegeven.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
In het voorbeeld wordt de vermenigvuldiging van een getal met gebruikt gewoon fractioneel deel, kan de regel voor deze actie worden geschreven als:
A* B/C = een*b /C.
In feite is zo'n product de som van identieke fractionele resten, en het aantal termen geeft dit natuurlijke getal aan. Speciaal geval:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Er is een andere oplossing voor het vermenigvuldigen van een getal met een fractionele rest. Je hoeft alleen maar de noemer te delen door dit getal:
D* e/F = e/f: d.
Deze techniek is handig om te gebruiken wanneer de noemer wordt gedeeld door een natuurlijk getal zonder rest of, zoals ze zeggen, door een geheel getal.
Converteer gemengde getallen naar onechte breuken en verkrijg het product op de eerder beschreven manier:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Dit voorbeeld omvat een manier om een gemengde breuk weer te geven als een onechte breuk, deze kan ook worden weergegeven als algemene formule:
A BC = a*b+ c / c, waarbij de noemer van de nieuwe breuk wordt gevormd door het hele deel met de noemer te vermenigvuldigen en op te tellen met de teller van de oorspronkelijke fractionele rest, en de noemer blijft hetzelfde.
Dit proces werkt ook in achterkant. Om het hele deel en de fractionele rest te scheiden, moet je de teller van een onechte breuk delen door de noemer met behulp van een "hoek".
Onechte breuken vermenigvuldigen geproduceerd op een algemeen aanvaarde manier. Wanneer u onder een enkele breuklijn schrijft, moet u de breuken indien nodig verkleinen om de getallen met deze methode te verkleinen en het berekenen van het resultaat gemakkelijker te maken.
Er zijn veel helpers op internet om zelfs complexe wiskundige problemen in verschillende programmavarianten op te lossen. Voldoende hoeveelheid Dergelijke diensten bieden hun hulp bij het berekenen van de vermenigvuldiging van breuken met verschillende getallen in de noemers - zogenaamde online rekenmachines voor het berekenen van breuken. Ze kunnen niet alleen vermenigvuldigen, maar ook alle andere eenvoudige rekenkundige bewerkingen uitvoeren met gewone breuken en gemengde cijfers. Het is gemakkelijk om mee te werken; u vult de juiste velden op de websitepagina in, selecteert het teken van de wiskundige bewerking en klikt op ‘berekenen’. Het programma berekent automatisch.
Het onderwerp rekenkundige bewerkingen met breuken is relevant in het hele onderwijs van middelbare en middelbare scholieren. Op de middelbare school beschouwen ze niet langer de eenvoudigste soort, maar gehele fractionele expressies, maar de eerder verkregen kennis van de regels voor transformatie en berekeningen wordt in de oorspronkelijke vorm toegepast. Een goed beheerste basiskennis geeft het volste vertrouwen in succesvolle beslissing de moeilijkste taken.
Concluderend is het zinvol om de woorden van Lev Nikolajevitsj Tolstoj te citeren, die schreef: “De mens is een fractie. Het ligt niet in de macht van de mens om zijn teller – zijn verdiensten – te vergroten, maar iedereen kan zijn noemer verkleinen – zijn mening over zichzelf, en met deze verlaging dichter bij zijn perfectie komen.
Laden...
