Hoe negatieve machten te berekenen. Machtsverheffing

Graadformules gebruikt in het proces van reductie en vereenvoudiging complexe uitdrukkingen, bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden.

Nummer C is N-de macht van een getal A Wanneer:

Operaties met graden.

1. Vermenigvuldigingsmachten van c dezelfde basis hun indicatoren tellen op:

ben·een n = een m + n .

2. Bij het delen van graden met hetzelfde grondtal worden hun exponenten afgetrokken:

3. Macht van het product van 2 of meer factoren is gelijk aan het product van de machten van deze factoren:

(abc…) n = een n · b n · c n …

4. De graad van een breuk is gelijk aan de verhouding tussen de graden van het deeltal en de deler:

(a/b) n = een n /b n .

5. Als je een macht tot een macht verheft, worden de exponenten vermenigvuldigd:

(een m) n = een m n .

Elke bovenstaande formule is waar in de richting van links naar rechts en omgekeerd.

Bijvoorbeeld. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaties met wortels.

1. De wortel van het product van verschillende factoren is gelijk aan het product van de wortels van deze factoren:

2. De wortel van een verhouding is gelijk aan de verhouding van het deeltal en de deler van de wortels:

3. Wanneer je een wortel tot een macht verheft, volstaat het om het radicaalgetal tot deze macht te verheffen:

4. Als je de wortelgraad vergroot N een keer en tegelijkertijd inbouwen N Als de macht een radicaal getal is, verandert de waarde van de wortel niet:

5. Als je de wortelgraad verkleint N verwijder tegelijkertijd de wortel N-de macht van een radicaal getal, dan verandert de waarde van de wortel niet:

Een graad met een negatieve exponent. De macht van een bepaald getal met een niet-positieve (geheel getal) exponent wordt gedefinieerd als één gedeeld door de macht van hetzelfde getal met een exponent gelijk aan absolute waarde niet-positieve indicator:

Formule ben:een n =een m - n kan niet alleen voor worden gebruikt M> N, maar ook met M< N.

Bijvoorbeeld. A4:een 7 = een 4 - 7 = een -3.

Naar formule ben:een n =een m - n werd eerlijk toen m=n, de aanwezigheid van nul graden is vereist.

Een graad met een nulindex. De macht van elk getal dat niet gelijk is aan nul met een exponent van nul is gelijk aan één.

Bijvoorbeeld. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Graad met een fractionele exponent. Om een ​​reëel getal te verhogen A tot de graad m/n, moet je de root extraheren N e graad van M-de macht van dit getal A.

Met de rekenmachine kunt u online snel een getal tot een macht verheffen. De basis van de graad kan elk getal zijn (zowel gehele getallen als reële getallen). De exponent kan ook een geheel getal of reëel zijn, en kan ook positief of negatief zijn. Houd er rekening mee dat voor negatieve getallen het verheffen tot een niet-gehele macht ongedefinieerd is en dat de rekenmachine daarom een ​​fout rapporteert als u dit probeert.

Graden rekenmachine

Aan de macht komen

Machtsverheffen: 20880

Wat is een natuurlijke macht van een getal?

Het getal p heet de n-de macht van een getal als p gelijk is aan het getal a vermenigvuldigd met zichzelf n keer: p = a n = a·...·a
n - gebeld exponent, en het getal a is graad basis.

Hoe verhef je een getal tot een natuurlijke macht?

Om te begrijpen hoe je moet bouwen verschillende nummers aan natuurlijke krachten, overweeg een paar voorbeelden:

Voorbeeld 1. Verhef het getal drie tot de vierde macht. Dat wil zeggen, het is noodzakelijk om 3 4 te berekenen
Oplossing: zoals hierboven vermeld, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Antwoord: 3 4 = 81 .

Voorbeeld 2. Verhef het getal vijf tot de vijfde macht. Dat wil zeggen, het is noodzakelijk om 5 5 te berekenen
Oplossing: op dezelfde manier, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Antwoord: 5 5 = 3125 .

Om een ​​getal tot een natuurlijke macht te verheffen, hoef je het dus alleen maar n keer met zichzelf te vermenigvuldigen.

Wat is een negatieve macht van een getal?

De negatieve macht -n van a is één gedeeld door a tot de macht n: a -n = .

In dit geval bestaat er alleen een negatieve macht voor getallen die niet nul zijn, omdat er anders een deling door nul zou plaatsvinden.

Hoe verhef je een getal tot een negatieve gehele macht?

Om een ​​getal dat niet nul is tot een negatieve macht te verheffen, moet je de waarde van dit getal tot dezelfde positieve macht berekenen en één delen door het resultaat.

Voorbeeld 1. Verhef het getal twee tot de negatieve vierde macht. Dat wil zeggen, u moet 2 -4 berekenen

Oplossing: zoals hierboven vermeld, 2 -4 = = = 0,0625.

Antwoord: 2 -4 = 0.0625 .

Het verheffen tot een negatieve macht is een van de basiselementen van de wiskunde, die je vaak tegenkomt bij het oplossen van algebraïsche problemen. Hieronder vindt u gedetailleerde instructies.

Hoe je tot een negatieve macht kunt verheffen - theorie

Wanneer we een getal tot een gewone macht verheffen, vermenigvuldigen we de waarde ervan verschillende keren. Bijvoorbeeld 3 3 = 3×3×3 = 27. Bij een negatieve breuk is het tegenovergestelde waar. De algemene vorm van de formule zal zijn volgende weergave: een -n = 1/een n . Om een ​​getal tot een negatieve macht te verheffen, moet je het getal dus delen door het gegeven getal, maar dan door een positieve macht.

Hoe je tot een negatieve macht kunt verheffen - voorbeelden van gewone getallen

Laten we, rekening houdend met de bovenstaande regel, een paar voorbeelden oplossen.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Antwoord: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Antwoord -4 -2 = 1/16.

Maar waarom zijn de antwoorden in het eerste en tweede voorbeeld hetzelfde? Het is een feit dat wanneer een negatief getal wordt verhoogd tot een even macht (2, 4, 6, enz.), het teken positief wordt. Als de graad even was, zou de min blijven:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Hoe te verheffen tot een negatieve macht - getallen van 0 tot 1

Bedenk dat wanneer een getal tussen 0 en 1 wordt verhoogd tot een positieve macht, de waarde afneemt naarmate de macht toeneemt. Dus bijvoorbeeld 0,5 2 = 0,25. 0,25

Voorbeeld 3: Bereken 0,5 -2
Oplossing: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Antwoord: 0,5 -2 = 4

Analyse (volgorde van acties):

• Converteer de decimale breuk 0,5 naar de breuk 1/2. Zo is het makkelijker.
  Verhef 1/2 tot een negatieve macht. 1/(2) -2 . Deel 1 door 1/(2) 2, we krijgen 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Voorbeeld 4: Bereken 0,5 -3
Oplossing: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Voorbeeld 5: Bereken -0,5 -3
Oplossing: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Antwoord: -0,5 -3 = -8

Op basis van het vierde en vijfde voorbeeld kunnen we verschillende conclusies trekken:

• Voor een positief getal in het bereik van 0 tot 1 (voorbeeld 4), verheven tot een negatieve macht, is het niet belangrijk of de macht even of oneven is; de waarde van de uitdrukking zal positief zijn. Tegelijkertijd dan meer graad, hoe groter de waarde.
• Voor een negatief getal in het bereik van 0 tot 1 (voorbeeld 5), verheven tot een negatieve macht, is het niet belangrijk of de macht even of oneven is; de waarde van de uitdrukking zal negatief zijn. In dit geval geldt: hoe hoger de graad, hoe lager de waarde.

Hoe te verheffen tot een negatieve macht - een macht in de vorm van een fractioneel getal

Uitdrukkingen van dit type hebben de volgende vorm: a -m/n, waarbij a een gewoon getal is, m de teller van de graad is, n de noemer van de graad.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld:
Bereken: 8 -1/3

Oplossing (volgorde van acties):

• Laten we de regel onthouden voor het verheffen van een getal tot een negatieve macht. We krijgen: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Merk op dat de noemer het getal 8 in een gebroken macht heeft. De algemene manier om een ​​fractionele macht te berekenen is als volgt: a m/n = n √8 m.
• Dus 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). We krijgen de derdemachtswortel van acht, die gelijk is aan 2. Vanaf hier geldt 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Antwoord: 8 -1/3 = 2

Van school kennen we allemaal de regel over machtsverheffing: elk getal met exponent N is gelijk aan het resultaat van het vermenigvuldigen van dit getal met zichzelf N aantal keren. Met andere woorden, 7 tot de macht 3 is 7 drie keer vermenigvuldigd met zichzelf, dat wil zeggen 343. Een andere regel is dat het verhogen van een hoeveelheid tot de macht 0 één oplevert, en het verhogen van een negatieve hoeveelheid is het resultaat van gewoon verhogen naar de macht als deze even is, en hetzelfde resultaat met een minteken als deze oneven is.

De regels geven ook het antwoord op de vraag hoe je een getal tot een negatieve macht kunt verheffen. Om dit te doen, moet je bouwen op de gebruikelijke manier de vereiste waarde per module van de indicator en deel de eenheid vervolgens door het resultaat.

Uit deze regels wordt duidelijk dat het uitvoeren van echte taken waarbij grote hoeveelheden betrokken zijn, de aanwezigheid vereist van technische middelen. Handmatig kunt u zelf een maximaal bereik van getallen vermenigvuldigen van twintig tot dertig, en dan niet meer dan drie of vier keer. Om nog maar te zwijgen van het delen door het resultaat. Daarom zullen we u, voor degenen die geen speciale technische rekenmachine bij de hand hebben, vertellen hoe u een getal in Excel tot een negatieve macht kunt verheffen.

Problemen oplossen in Excel

Om problemen met machtsverheffen op te lossen, kunt u in Excel een van de twee opties gebruiken.

De eerste is het gebruik van een formule met een standaard “deksel” -teken. Voer de volgende gegevens in de werkbladcellen in:

Op dezelfde manier kunt u de gewenste waarde verhogen tot elke macht - negatief, fractioneel. Laten we het doen volgende stappen en beantwoord de vraag hoe je een getal tot een negatieve macht kunt verheffen. Voorbeeld:

U kunt =B2^-C2 rechtstreeks in de formule corrigeren.

De tweede optie is om de kant-en-klare functie "Graden" te gebruiken, waarvoor twee vereiste argumenten nodig zijn: een getal en een exponent. Om het te gaan gebruiken, plaatst u gewoon het gelijkteken (=) in een vrije cel, waarmee u het begin van de formule aangeeft, en voert u de bovenstaande woorden in. Het enige dat overblijft is het selecteren van twee cellen die aan de bewerking zullen deelnemen (of het handmatig opgeven van specifieke nummers) en op de Enter-toets drukken. Laten we een paar eenvoudige voorbeelden bekijken.

			Formule	Resultaat
			GRAAD(B2;C2)
			GRAAD(B3;C3)	0,002915

Zoals u kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het verheffen van een getal tot een negatieve macht en tot een gewone macht met behulp van Excel. Om dit probleem op te lossen, kunt u immers zowel het bekende "deksel" -symbool als de ingebouwde functie van het programma gebruiken, die gemakkelijk te onthouden is. Dit is een absoluut pluspunt!

Laten we verder gaan met meer complexe voorbeelden. Laten we de regel onthouden over hoe je een getal kunt verheffen tot een negatieve fractionele macht, en we zullen zien dat dit probleem heel gemakkelijk kan worden opgelost in Excel.

Fractionele indicatoren

Kort gezegd is het algoritme voor het berekenen van een getal met een fractionele exponent als volgt.

1. Converteer een breuk naar een juiste of onechte breuk.
2. Verhoog ons getal tot de teller van de resulterende omgezette breuk.
3. Bereken uit het in de vorige paragraaf verkregen getal de wortel, op voorwaarde dat de exponent van de wortel de noemer zal zijn van de breuk die in de eerste fase is verkregen.

Ben het ermee eens dat zelfs als je met kleine getallen en echte breuken werkt, dergelijke berekeningen veel tijd kunnen kosten. Het is goed dat het de Excel-spreadsheetprocessor niet uitmaakt welk getal tot welke macht wordt verheven. Probeer het volgende voorbeeld op een Excel-werkblad op te lossen:

Met behulp van de bovenstaande regels kunt u controleren of de berekening correct is uitgevoerd.

Aan het einde van ons artikel zullen we in de vorm van een tabel met formules en resultaten verschillende voorbeelden presenteren van hoe je een getal tot een negatieve macht kunt verheffen, evenals verschillende voorbeelden van het werken met breuken en machten.

Voorbeeld tafel

Bekijk de volgende voorbeelden in uw Excel-werkblad. Om alles correct te laten werken, moet u een gemengde verwijzing gebruiken bij het kopiëren van de formule. Bepaal het nummer van de kolom met het getal dat wordt verhoogd en het nummer van de rij met de indicator. Uw formule zou er ongeveer zo uit moeten zien: "=$B4^C$3."

Aantal/graad

Houd er rekening mee dat positieve getallen (zelfs niet-gehele getallen) zonder problemen voor elke exponent kunnen worden berekend. Er zijn geen problemen met het verhogen van getallen naar gehele getallen. Maar het verhogen van een negatief getal tot een fractionele macht zal voor u een vergissing blijken te zijn, aangezien het onmogelijk is om de regel te volgen die aan het begin van ons artikel over het verhogen van negatieve getallen is aangegeven, omdat pariteit uitsluitend een kenmerk is van een HEEL getal.

Een getal verheven tot een macht Ze bellen een getal dat meerdere keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd.

Macht van een getal met een negatieve waarde (een) kan op dezelfde manier worden bepaald als hoe de macht van hetzelfde getal met een positieve exponent wordt bepaald (een) . Het vereist echter ook een aanvullende definitie. De formule is gedefinieerd als:

een = (1/een n)

De eigenschappen van negatieve machten van getallen zijn vergelijkbaar met machten met een positieve exponent. Gepresenteerde vergelijking A m/a n= een m-n kan eerlijk zijn als

« Nergens, zoals in de wiskunde, zorgt de helderheid en nauwkeurigheid van de conclusie ervoor dat iemand uit een antwoord kan komen door om de vraag heen te praten.».

A.D. Alexandrov

bij N meer M , en met M meer N . Laten we eens kijken naar een voorbeeld: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Eerst moet je het getal bepalen dat fungeert als definitie van de graad. b=een(-n) . In dit voorbeeld -N is een exponent B - de gewenste numerieke waarde, A - de basis van het diploma in de vorm van een natuurlijke numerieke waarde. Bepaal vervolgens de module, dat wil zeggen de absolute waarde van een negatief getal, dat als exponent fungeert. Bereken de graad van een bepaald getal ten opzichte van een absoluut getal als indicator. De waarde van de graad wordt gevonden door één te delen door het resulterende getal.

Rijst. 1

Beschouw de macht van een getal met een negatieve fractionele exponent. Laten we ons voorstellen dat het getal a een willekeurig positief getal, getallen, is N En M - natuurlijke getallen. Volgens definitie A , die tot de macht wordt verheven - gelijk is aan één gedeeld door hetzelfde getal met een positieve macht (Figuur 1). Als de macht van een getal een breuk is, worden in dergelijke gevallen alleen getallen met positieve exponenten gebruikt.

Het onthouden waard dat nul nooit een exponent van een getal kan zijn (de regel van delen door nul).

De verspreiding van een dergelijk concept als getal werd manipulaties als meetberekeningen, evenals de ontwikkeling van wiskunde als wetenschap. De introductie van negatieve waarden was te danken aan de ontwikkeling van de algebra, die opleverde algemene oplossingen rekenkundige problemen, ongeacht hun specifieke betekenis en initiële numerieke gegevens. In India werden in de 6e tot de 11e eeuw systematisch negatieve getallen gebruikt bij het oplossen van problemen en werden ze op dezelfde manier geïnterpreteerd als vandaag de dag. In de Europese wetenschap werden negatieve getallen op grote schaal gebruikt dankzij R. Descartes, die een geometrische interpretatie gaf van negatieve getallen als de richtingen van segmenten. Het was Descartes die de aanduiding van een getal tot een macht voorstelde, dat als een formule van twee verdiepingen moest worden weergegeven een .

Een getal verheven tot een macht Ze bellen een getal dat meerdere keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd.

Macht van een getal met een negatieve waarde (een) kan op dezelfde manier worden bepaald als hoe de macht van hetzelfde getal met een positieve exponent wordt bepaald (een) . Het vereist echter ook een aanvullende definitie. De formule is gedefinieerd als:

een = (1/een n)

De eigenschappen van negatieve machten van getallen zijn vergelijkbaar met machten met een positieve exponent. Gepresenteerde vergelijking A m/a n= een m-n kan eerlijk zijn als

« Nergens, zoals in de wiskunde, zorgt de helderheid en nauwkeurigheid van de conclusie ervoor dat iemand uit een antwoord kan komen door om de vraag heen te praten.».

A.D. Alexandrov

bij N meer M , en met M meer N . Laten we eens kijken naar een voorbeeld: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Eerst moet je het getal bepalen dat fungeert als definitie van de graad. b=een(-n) . In dit voorbeeld -N is een exponent B - de gewenste numerieke waarde, A - de basis van het diploma in de vorm van een natuurlijke numerieke waarde. Bepaal vervolgens de module, dat wil zeggen de absolute waarde van een negatief getal, dat als exponent fungeert. Bereken de graad van een bepaald getal ten opzichte van een absoluut getal als indicator. De waarde van de graad wordt gevonden door één te delen door het resulterende getal.

Rijst. 1

Beschouw de macht van een getal met een negatieve fractionele exponent. Laten we ons voorstellen dat het getal a een willekeurig positief getal, getallen, is N En M - natuurlijke getallen. Volgens definitie A , die tot de macht wordt verheven - gelijk is aan één gedeeld door hetzelfde getal met een positieve macht (Figuur 1). Als de macht van een getal een breuk is, worden in dergelijke gevallen alleen getallen met positieve exponenten gebruikt.

Het onthouden waard dat nul nooit een exponent van een getal kan zijn (de regel van delen door nul).

De verspreiding van een dergelijk concept als getal werd manipulaties als meetberekeningen, evenals de ontwikkeling van wiskunde als wetenschap. De introductie van negatieve waarden was te danken aan de ontwikkeling van de algebra, die algemene oplossingen voor rekenkundige problemen opleverde, ongeacht hun specifieke betekenis en de originele numerieke gegevens. In India werden in de 6e tot de 11e eeuw systematisch negatieve getallen gebruikt bij het oplossen van problemen en werden ze op dezelfde manier geïnterpreteerd als vandaag de dag. In de Europese wetenschap werden negatieve getallen op grote schaal gebruikt dankzij R. Descartes, die een geometrische interpretatie gaf van negatieve getallen als de richtingen van segmenten. Het was Descartes die de aanduiding van een getal tot een macht voorstelde, dat als een formule van twee verdiepingen moest worden weergegeven een .

Zoals je weet zijn er in de wiskunde niet alleen positieve getallen, maar ook negatieve. Als de kennismaking met positieve machten begint met het bepalen van de oppervlakte van een vierkant, dan is alles met negatieve machten iets ingewikkelder.

Dit moet je weten:

1. Het verheffen van een getal tot een natuurlijke macht is de vermenigvuldiging van een getal (in het artikel zullen we de concepten van getal en cijferequivalent beschouwen) op zichzelf in een hoeveelheid als de exponent (in de toekomst zullen we parallel en eenvoudig het woord gebruiken exponent). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. IN algemeen beeld het ziet er zo uit: m^n = m*m*m*…*m (n keer).
2. Houd er rekening mee dat wanneer een negatief getal tot een natuurlijke macht wordt verheven, het positief wordt als de exponent even is.
3. Het verhogen van een getal tot een exponent van 0 levert één op, op voorwaarde dat het niet gelijk is aan nul. Nul tot de macht nul wordt als ongedefinieerd beschouwd. 17^0 = 1.
4. Het extraheren van de wortel van een bepaalde macht uit een getal is het vinden van een getal dat, wanneer het wordt verhoogd tot de juiste exponent, de gewenste waarde zal opleveren. De derdemachtswortel van 125 is dus 5, aangezien 5^3 = 125.
5. Als je een getal wilt verheffen tot een positieve fractionele macht, dan moet je het getal verheffen tot de noemer-exponent en daaruit de wortel van de teller-exponent halen. 6^5/7 = de zevende wortel van het product 6*6*6*6*6.
6. Als u een getal wilt verhogen naar negatieve indicator, dan moet je de inverse van het gegeven getal vinden. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Een getal modulo nul tot één verheffen tot een negatieve macht

Eerst moeten we het ons herinneren wat is een module. Dit is de afstand op de coördinatenlijn vanaf de waarde die we hebben gekozen tot de oorsprong (nul van de coördinatenlijn). Per definitie kan het nooit negatief zijn.

Waarde groter dan nul

Wanneer de waarde van een cijfer tussen nul en één ligt, geeft een negatieve indicator een toename van het cijfer zelf aan. Dit gebeurt omdat de noemer kleiner wordt, maar positief blijft.

Laten we naar voorbeelden kijken:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Bovendien, hoe groter de module van de indicator, hoe actiever het cijfer groeit. Terwijl de noemer naar nul neigt, neigt de breuk zelf naar plus oneindig.

Waarde kleiner dan nul

Laten we nu eens kijken hoe we tot een negatieve macht kunnen verheffen als het getal kleiner is dan nul. Het principe is hetzelfde als in het vorige deel, maar hier is het teken van de indicator van belang.

Laten we nog eens naar de voorbeelden kijken:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

In dit geval zien we dat module blijft groeien, maar het teken hangt ervan af of de indicator even of oneven is.

Opgemerkt moet worden dat als we een eenheid bouwen, deze altijd op zichzelf zal blijven. Als je een getal min één moet verhogen, dan wordt het bij een even exponent één, en bij een oneven exponent blijft het min één.

Verhogen tot een negatieve gehele macht als de modulus groter is dan één

Voor getallen waarvan de modulus groter is dan één, heeft zijn eigen eigenaardigheden van acties. Allereerst moet je het hele deel van de breuk omzetten in de teller, dat wil zeggen omzetten in een onechte breuk. Als we dat hebben gedaan decimale, dan moet het worden omgezet naar normaal. Dit gebeurt als volgt:

• 6 gehele getallen 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Laten we nu eens kijken hoe we onder deze omstandigheden een getal tot een negatieve macht kunnen verheffen. Al uit het bovenstaande kunnen we raden wat we moeten verwachten van het resultaat van de berekeningen. Omdat de dubbele breuk tijdens vereenvoudigingen wordt omgekeerd, zal de module van de figuur sneller afnemen, hoe groter de module van de exponent.

Laten we eerst eens kijken naar de situatie wanneer het getal dat in de taak wordt gegeven, is positief.

Allereerst wordt het duidelijk dat het eindresultaat groter zal zijn dan nul, omdat het delen van twee positieve altijd een positieve oplevert. Laten we nog eens kijken naar voorbeelden van hoe dit wordt gedaan:

• 6 gehele getallen 1/20 tot de min vijfde macht = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Zoals u kunt zien, veroorzaken de acties geen bijzondere problemen, en al onze aanvankelijke aannames bleken waar te zijn.

Laten we nu eens kijken naar het geval van een negatief cijfer.

Om te beginnen kunnen we aannemen dat als de indicator even is, het resultaat positief zal zijn, als de indicator oneven is, het resultaat negatief zal zijn. Al onze eerdere berekeningen in dit deel worden nu als geldig beschouwd. Laten we nog eens naar voorbeelden kijken:

• -3 hele 1/2 tot de min zesde macht = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Al onze redeneringen bleken dus correct.

Constructie in het geval van een negatieve fractionele exponent

Hier moet je onthouden dat een dergelijke constructie bestaat het extraheren van de wortel van de macht van de noemer uit een getal tot de macht van de teller. Al onze eerdere redeneringen blijven deze keer waar. Laten we onze acties uitleggen met een voorbeeld:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

In dit geval moet u er rekening mee houden dat het extraheren van wortels nodig is hoog niveau is alleen mogelijk in een speciaal geselecteerde vorm en hoogstwaarschijnlijk zul je met nauwkeurige berekeningen het teken van de radicaal (vierkantswortel, kubieke wortel, etc.) niet kunnen verwijderen.

Niettemin moet je, nadat je de voorgaande hoofdstukken in detail hebt bestudeerd, geen problemen verwachten bij schoolberekeningen.

Opgemerkt moet worden dat de beschrijving van dit hoofdstuk ook omvat constructie met een opzettelijk irrationele indicator, bijvoorbeeld als de indicator gelijk is aan minus PI. U moet handelen volgens de hierboven beschreven principes. In dergelijke gevallen worden berekeningen echter zo complex dat alleen krachtige elektronische computers dit kunnen doen.

Conclusie

De actie die we hebben bestudeerd is een van de moeilijkste problemen in de wiskunde(vooral in het geval van fractioneel-rationele of irrationele betekenis). Echter, na gedetailleerd en stap voor stap te hebben bestudeerd deze instructies, je kunt dit zonder problemen volledig automatisch leren doen.