Veel mensen denken dat exponentiële ongelijkheden iets complex en onbegrijpelijks zijn. En dat het leren oplossen ervan bijna een grote kunst is, die alleen de Uitverkorenen kunnen begrijpen...
Complete onzin! Exponentiële ongelijkheden zijn eenvoudig. En ze worden altijd eenvoudig opgelost. Nou ja, bijna altijd. :)
Vandaag zullen we dit onderwerp van binnen en van buiten bekijken. Deze les zal erg nuttig zijn voor degenen die dit gedeelte van de schoolwiskunde net beginnen te begrijpen. Laten we beginnen met eenvoudige taken en we gaan verder met complexere kwesties. Er zal vandaag geen hard werk zijn, maar wat je gaat lezen zal voldoende zijn om de meeste ongelijkheden op allerlei soorten tests en tests op te lossen. zelfstandig werk. En ook op dit examen van jou.
Laten we, zoals altijd, beginnen met een definitie. Een exponentiële ongelijkheid is elke ongelijkheid die een exponentiële functie bevat. Met andere woorden, het kan altijd worden gereduceerd tot een ongelijkheid van de vorm
\[((a)^(x)) \gt b\]
Waarbij de rol van $b$ een gewoon getal kan zijn, of misschien iets moeilijkers. Voorbeelden? Ja graag:
\[\begin(uitlijnen) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\eind(uitlijnen)\]
Ik denk dat de betekenis duidelijk is: er is een exponentiële functie $((a)^(x))$, deze wordt met iets vergeleken en vervolgens gevraagd om $x$ te vinden. In bijzonder klinische gevallen kunnen ze in plaats van de variabele $x$ een functie $f\left(x \right)$ plaatsen en daardoor de ongelijkheid een beetje compliceren :)
Natuurlijk kan de ongelijkheid in sommige gevallen ernstiger lijken. Hier bijvoorbeeld:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Of zelfs dit:
Over het algemeen kan de complexiteit van dergelijke ongelijkheden heel verschillend zijn, maar uiteindelijk zijn ze nog steeds terug te brengen tot de eenvoudige constructie $((a)^(x)) \gt b$. En we zullen op de een of andere manier zo'n constructie bedenken (in vooral klinische gevallen, als er niets in je opkomt, zullen logaritmen ons helpen). Daarom zullen we je nu leren hoe je zulke eenvoudige constructies kunt oplossen.
Eenvoudige exponentiële ongelijkheden oplossen
Laten we iets heel eenvoudigs bekijken. Dit is bijvoorbeeld:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Uiteraard kan het getal aan de rechterkant herschreven worden als een macht van twee: $4=((2)^(2))$. De oorspronkelijke ongelijkheid kan dus in een zeer handige vorm worden herschreven:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
En nu jeuken mijn handen om de tweeën in de bases van de machten te “doorstrepen” om het antwoord $x \gt 2$ te krijgen. Maar voordat we iets doorstrepen, laten we de machten van twee onthouden:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Zoals u kunt zien, geldt dat hoe groter het getal in de exponent, hoe groter het uitgangsgetal. “Bedankt, Kap!” roept een van de studenten uit. Is het anders? Helaas gebeurt het. Bijvoorbeeld:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ rechts))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Ook hier is alles logisch: wat meer graad, hoe vaker het getal 0,5 met zichzelf wordt vermenigvuldigd (dat wil zeggen in tweeën gedeeld). De resulterende reeks getallen neemt dus af en het verschil tussen de eerste en tweede reeks zit alleen in de basis:
- Als de basis van graad $a \gt 1$, dan zal naarmate de exponent $n$ toeneemt, het getal $((a)^(n))$ ook toenemen;
- En omgekeerd: als $0 \lt a \lt 1$, zal het getal $((a)^(n))$ afnemen naarmate de exponent $n$ toeneemt.
Als we deze feiten samenvatten, krijgen we de belangrijkste verklaring waarop de hele beslissing is gebaseerd exponentiële ongelijkheden:
Als $a \gt 1$, dan is de ongelijkheid $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ gelijk aan de ongelijkheid $x \gt n$. Als $0 \lt a \lt 1$, dan is de ongelijkheid $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ gelijk aan de ongelijkheid $x \lt n$.
Met andere woorden: als de basis groter is dan één, kun je deze eenvoudig verwijderen - het ongelijkheidsteken verandert niet. En als de basis kleiner is dan één, dan kan deze ook worden verwijderd, maar tegelijkertijd moet je het ongelijkheidsteken veranderen.
Houd er rekening mee dat we de opties $a=1$ en $a\le 0$ niet hebben overwogen. Omdat in deze gevallen onzekerheid ontstaat. Laten we zeggen hoe we een ongelijkheid van de vorm $((1)^(x)) \gt 3$ kunnen oplossen? Eén voor elke macht zal er weer één opleveren - we zullen er nooit drie of meer krijgen. Die. er zijn geen oplossingen.
Met negatieve redenen is alles nog interessanter. Beschouw bijvoorbeeld deze ongelijkheid:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
Op het eerste gezicht is alles eenvoudig:
Rechts? Maar nee! Het is voldoende om een paar even en een paar oneven getallen te vervangen in plaats van $x$ om er zeker van te zijn dat de oplossing onjuist is. Kijk eens:
\[\begin(uitlijnen) & x=4\Pijl naar rechts ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Pijl naar rechts ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Pijl naar rechts ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Pijl naar rechts ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Zoals je ziet wisselen de borden elkaar af. Maar er zijn ook fractionele bevoegdheden en andere onzin. Hoe zou u bijvoorbeeld $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (min twee tot de macht zeven) berekenen? Echt niet!
Daarom nemen we voor de zekerheid aan dat in alle exponentiële ongelijkheden (en trouwens ook in vergelijkingen) $1\ne a \gt 0$ is. En dan is alles heel eenvoudig opgelost:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Pijl naar rechts \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(uitlijnen) \rechts.\]
Onthoud in het algemeen nogmaals de hoofdregel: als de basis in een exponentiële vergelijking groter is dan één, kun je deze eenvoudigweg verwijderen; en als de basis kleiner is dan één, kan deze ook worden verwijderd, maar het teken van ongelijkheid zal veranderen.
Voorbeelden van oplossingen
Laten we dus eens kijken naar een paar eenvoudige exponentiële ongelijkheden:
\[\begin(uitlijnen) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\eind(uitlijnen)\]
De primaire taak is in alle gevallen hetzelfde: de ongelijkheden terugbrengen tot de eenvoudigste vorm $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Dit is precies wat we nu met elke ongelijkheid gaan doen, en tegelijkertijd zullen we de eigenschappen van graden en exponentiële functies herhalen. Dus, laten we gaan!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Wat kun je hier doen? Welnu, aan de linkerkant hebben we al een indicatieve uitdrukking: er hoeft niets te worden veranderd. Maar aan de rechterkant is er een soort onzin: een breuk en zelfs een wortel in de noemer!
Laten we echter de regels voor het werken met breuken en machten onthouden:
\[\begin(uitlijnen) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\eind(uitlijnen)\]
Wat betekent het? Ten eerste kunnen we de breuk gemakkelijk wegwerken door er een macht met een negatieve exponent van te maken. En ten tweede, aangezien de noemer een wortel heeft, zou het leuk zijn om er een macht van te maken - dit keer met een fractionele exponent.
Laten we deze acties achtereenvolgens toepassen op de rechterkant van de ongelijkheid en kijken wat er gebeurt:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Vergeet niet dat wanneer je een graad tot een macht verheft, de exponenten van deze graden bij elkaar optellen. En in het algemeen is het bij het werken met exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden absoluut noodzakelijk om op zijn minst de eenvoudigste regels te kennen voor het werken met machten:
\[\begin(uitlijnen) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\eind(uitlijnen)\]
Eigenlijk hebben we zojuist de laatste regel toegepast. Daarom zal onze oorspronkelijke ongelijkheid als volgt worden herschreven:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rechtspijl ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Nu zijn we van de twee aan de basis af. Omdat 2 > 1 blijft het ongelijkheidsteken hetzelfde:
\[\begin(uitlijnen) & x-1\le -\frac(1)(3)\Pijl naar rechts x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Dat is de oplossing! De grootste moeilijkheid ligt helemaal niet in de exponentiële functie, maar in de competente transformatie van de oorspronkelijke uitdrukking: je moet deze zorgvuldig en snel naar de eenvoudigste vorm brengen.
Beschouw de tweede ongelijkheid:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Ja, ja. Ze wachten hier op ons decimalen. Zoals ik al vaak heb gezegd, moet je in alle uitdrukkingen met machten decimalen weglaten - dit is vaak de enige manier om een snelle en eenvoudige oplossing te zien. Hier zullen we ons ontdoen van:
\[\begin(uitlijnen) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ rechts))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Pijl naar rechts ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\eind(uitlijnen)\]
Ook hier hebben we de eenvoudigste ongelijkheid, en zelfs met een grondtal van 1/10, d.w.z. minder dan één. Welnu, we verwijderen de bases en veranderen tegelijkertijd het teken van "minder" in "meer", en we krijgen:
\[\begin(uitlijnen) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\eind(uitlijnen)\]
We hebben het uiteindelijke antwoord ontvangen: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Let op: het antwoord is precies een verzameling, en in geen geval een constructie van de vorm $x \lt -1$. Want formeel is zo’n constructie helemaal geen verzameling, maar een ongelijkheid ten opzichte van de variabele $x$. Ja, het is heel eenvoudig, maar het is niet het antwoord!
Belangrijke opmerking. Deze ongelijkheid zou op een andere manier kunnen worden opgelost: door beide partijen te reduceren tot een macht met een basis groter dan één. Kijk eens:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Pijl naar rechts ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Pijl rechts ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Na zo'n transformatie krijgen we opnieuw een exponentiële ongelijkheid, maar met een grondtal van 10 > 1. Dit betekent dat we de tien eenvoudigweg kunnen doorstrepen - het teken van de ongelijkheid zal niet veranderen. Wij krijgen:
\[\begin(uitlijnen) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\eind(uitlijnen)\]
Zoals je ziet was het antwoord precies hetzelfde. Tegelijkertijd hebben we onszelf behoed voor de noodzaak om het bord te veranderen en in het algemeen alle regels te onthouden :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Laat je hierdoor echter niet afschrikken. Wat er ook in de indicatoren staat, de technologie voor het oplossen van de ongelijkheid zelf blijft hetzelfde. Laten we daarom eerst opmerken dat 16 = 2 4. Laten we de oorspronkelijke ongelijkheid herschrijven, rekening houdend met dit feit:
\[\begin(uitlijnen) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(uitlijnen)\]
Hoera! We hebben de gebruikelijke kwadratische ongelijkheid! Het teken is nergens veranderd, aangezien de basis twee is - een getal groter dan één.
Nullen van een functie op de getallenlijn
We rangschikken de tekens van de functie $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - uiteraard zal de grafiek een parabool zijn met vertakkingen naar boven, dus er zullen “pluspunten” zijn "aan de zijkanten. We zijn geïnteresseerd in het gebied waar de functie kleiner is dan nul, d.w.z. $x\in \left(2;5 \right)$ is het antwoord op het oorspronkelijke probleem.
Beschouw ten slotte nog een andere ongelijkheid:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Opnieuw zien we een exponentiële functie met een decimale breuk aan de basis. Laten we deze breuk omzetten in een gewone breuk:
\[\begin(uitlijnen) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Pijl naar rechts \\ & \Pijl naar rechts ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(uitlijnen)\]
In dit geval hebben we de eerder gegeven opmerking gebruikt: we hebben de basis teruggebracht tot het getal 5 > 1 om onze verdere oplossing te vereenvoudigen. Laten we hetzelfde doen met de rechterkant:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Laten we de oorspronkelijke ongelijkheid herschrijven, rekening houdend met beide transformaties:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rechtspijl ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
De bases aan beide zijden zijn hetzelfde en overschrijden één. Er zijn geen andere termen aan de rechter- en linkerkant, dus we “schrapen” eenvoudigweg de vijven en krijgen een heel eenvoudige uitdrukking:
\[\begin(uitlijnen) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Hier moet u voorzichtiger zijn. Veel studenten houden ervan om simpelweg te extraheren vierkantswortel van beide zijden van de ongelijkheid en schrijf zoiets als $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Dit mag je in geen geval doen, aangezien de wortel van een exact vierkant gelijk is aan module, en in geen geval de originele variabele:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\links| x\rechts|\]
Het werken met modules is echter niet de meest prettige ervaring, toch? Wij gaan dus niet werken. In plaats daarvan verplaatsen we eenvoudigweg alle termen naar links en lossen we de gebruikelijke ongelijkheid op met behulp van de intervalmethode:
$\begin(uitlijnen) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(uitlijnen)$
We markeren opnieuw de verkregen punten op de getallenlijn en kijken naar de tekens:
Let op: de stippen zijn gearceerd Omdat we een niet-strikte ongelijkheid aan het oplossen waren, zijn alle punten in de grafiek gearceerd. Het antwoord zal daarom zijn: $x\in \left[ -1;1 \right]$ is geen interval, maar een segment.
In het algemeen zou ik willen opmerken dat er niets ingewikkelds is aan exponentiële ongelijkheden. De betekenis van alle transformaties die we vandaag hebben uitgevoerd, komt neer op een eenvoudig algoritme:
- Vind de basis waartoe we alle niveaus zullen terugbrengen;
- Voer de transformaties zorgvuldig uit om een ongelijkheid van de vorm $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ te verkrijgen. Natuurlijk kunnen er in plaats van de variabelen $x$ en $n$ nog veel meer zijn complexe functies, maar de betekenis zal niet veranderen;
- Streep de basis van graden door. In dit geval kan het ongelijkheidsteken veranderen als de grondtal $a \lt 1$.
In feite is dit een universeel algoritme voor het oplossen van al dergelijke ongelijkheden. En al het andere dat ze je over dit onderwerp zullen vertellen, zijn slechts specifieke technieken en trucs die de transformatie zullen vereenvoudigen en versnellen. We zullen het nu over een van deze technieken hebben. :)
Rationalisatiemethode
Laten we een andere reeks ongelijkheden bekijken:
\[\begin(uitlijnen) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Wat is er zo speciaal aan hen? Ze zijn licht. Hoewel, hou op! Is het getal π tot een bepaalde macht verheven? Welke onzin?
Hoe verhoog je het getal $2\sqrt(3)-3$ tot een macht? Of $3-2\sqrt(2)$? De probleemschrijvers dronken duidelijk te veel meidoorn voordat ze aan het werk gingen :)
In feite is er niets engs aan deze taken. Laat me je eraan herinneren: een exponentiële functie is een uitdrukking van de vorm $((a)^(x))$, waarbij de grondtal $a$ een willekeurig positief getal is, behalve één. Het getal π is positief, dat weten we al. De getallen $2\sqrt(3)-3$ en $3-2\sqrt(2)$ zijn ook positief - dit is gemakkelijk te zien als je ze met nul vergelijkt.
Het blijkt dat al deze ‘angstaanjagende’ ongelijkheden niet anders worden opgelost dan de hierboven besproken eenvoudige? En worden ze op dezelfde manier opgelost? Ja, dat klopt helemaal. Aan de hand van hun voorbeeld zou ik echter één techniek willen overwegen die enorm veel tijd bespaart bij zelfstandig werk en examens. We zullen het hebben over de methode van rationalisatie. Dus aandacht:
Elke exponentiële ongelijkheid van de vorm $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ is equivalent aan de ongelijkheid $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ rechts) \gt 0 $.
Dat is de hele methode. :) Dacht je dat er een soort ander spel zou zijn? Niets van dien aard! Maar dit simpele feit, letterlijk in één regel geschreven, zal ons werk enorm vereenvoudigen. Kijk eens:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Naar beneden \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Er zijn dus geen exponentiële functies meer! En u hoeft niet te onthouden of het bord verandert of niet. Maar het ontstaat nieuw probleem: wat te doen met de verdomde vermenigvuldiger \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? We weten niet wat de exacte waarde van het getal π is. De kapitein lijkt echter te verwijzen naar het voor de hand liggende:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\circa 3,14... \gt 3\Pijl naar rechts \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Over het algemeen gaat het ons niet echt om de exacte waarde van π - het is alleen belangrijk dat we begrijpen dat $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. dit is een positieve constante, en we kunnen beide kanten van de ongelijkheid erdoor delen:
\[\begin(uitlijnen) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(uitlijnen)\]
Zoals je kunt zien, moesten we op een gegeven moment delen door min één - en het teken van ongelijkheid veranderde. Aan het einde heb ik de kwadratische trinominaal uitgebreid met behulp van de stelling van Vieta - het is duidelijk dat de wortels gelijk zijn aan $((x)_(1))=5$ en $((x)_(2))=-1$ . Dan is alles besloten klassieke methode intervallen:
Ongelijkheid oplossen met behulp van de intervalmethode Alle punten worden verwijderd omdat de oorspronkelijke ongelijkheid strikt is. We zijn geïnteresseerd in het gebied met negatieve waarden, dus het antwoord is $x\in \left(-1;5 \right)$. Dat is de oplossing.
Laten we verder gaan met de volgende taak:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Alles is hier over het algemeen eenvoudig, omdat er aan de rechterkant een eenheid is. En we herinneren ons dat één een willekeurig getal is verheven tot de macht nul. Zelfs als dit nummer dat is irrationele uitdrukking, links op de basis staand:
\[\begin(uitlijnen) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \rechts))^(0)); \\\eind(uitlijnen)\]
Laten we rationaliseren:
\[\begin(uitlijnen) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Het enige dat overblijft is het achterhalen van de tekens. De factor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ bevat niet de variabele $x$ - het is slechts een constante, en we moeten het teken ervan achterhalen. Houd hiervoor rekening met het volgende:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Naar beneden \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]
Het blijkt dat de tweede factor niet alleen een constante is, maar een negatieve constante! En als je erdoor deelt, verandert het teken van de oorspronkelijke ongelijkheid in het tegenovergestelde:
\[\begin(uitlijnen) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(uitlijnen)\]
Nu wordt alles volkomen duidelijk. De wortels van de vierkante trinominaal aan de rechterkant zijn: $((x)_(1))=0$ en $((x)_(2))=2$. We markeren ze op de getallenlijn en kijken naar de tekens van de functie $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Het geval waarin we geïnteresseerd zijn in zij-intervallen Wij zijn geïnteresseerd in de intervallen gemarkeerd met een plusteken. Het enige dat overblijft is het antwoord opschrijven:
Laten we verder gaan met het volgende voorbeeld:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ rechts))^(16-x))\]
Welnu, alles is hier volkomen duidelijk: de basen bevatten machten van hetzelfde getal. Daarom zal ik alles kort opschrijven:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Naar beneden \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(uitlijnen) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ links(16-x \rechts))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(uitlijnen)\]
Zoals je kunt zien, moesten we tijdens het transformatieproces vermenigvuldigen negatief getal, dus het teken van ongelijkheid is veranderd. Helemaal aan het einde heb ik opnieuw de stelling van Vieta toegepast om de kwadratische trinominaal in factoren te ontbinden. Het resultaat zal het volgende zijn: $x\in \left(-8;4 \right)$ - iedereen kan dit verifiëren door een getallenlijn te tekenen, de punten te markeren en de tekens te tellen. Ondertussen gaan we verder met de laatste ongelijkheid uit onze “set”:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Zoals je kunt zien, staat er aan de basis weer een irrationeel getal en aan de rechterkant weer een eenheid. Daarom herschrijven we onze exponentiële ongelijkheid als volgt:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ rechts))^(0))\]
We passen rationalisatie toe:
\[\begin(uitlijnen) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Het is echter heel duidelijk dat $1-\sqrt(2) \lt 0$, aangezien $\sqrt(2)\ca. 1,4... \gt 1$. Daarom is de tweede factor opnieuw een negatieve constante, waarin beide kanten van de ongelijkheid kunnen worden verdeeld:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Naar beneden \ \\eind(matrix)\]
\[\begin(uitlijnen) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Ga naar een andere basis
Een apart probleem bij het oplossen van exponentiële ongelijkheden is het zoeken naar de ‘juiste’ basis. Helaas is het op het eerste gezicht van een taak niet altijd duidelijk wat je als basis moet nemen en wat je moet doen afhankelijk van de mate van deze basis.
Maar maak je geen zorgen: er is hier geen sprake van magie of ‘geheime’ technologie. In de wiskunde kan elke vaardigheid die niet kan worden gealgoritiseerd, gemakkelijk door oefening worden ontwikkeld. Maar hiervoor zul je problemen moeten oplossen verschillende niveaus complexiteit. Bijvoorbeeld zoals dit:
\[\begin(uitlijnen) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ einde(uitlijnen)\]
Moeilijk? Eng? Het is gemakkelijker dan een kip op het asfalt slaan! Laten we het proberen. Eerste ongelijkheid:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Nou, ik denk dat alles hier duidelijk is:
We herschrijven de oorspronkelijke ongelijkheid en reduceren alles tot grondtal twee:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Pijl naar rechts \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Ja, ja, je hebt het goed gehoord: ik heb zojuist de hierboven beschreven rationalisatiemethode toegepast. Nu moeten we zorgvuldig te werk gaan: we hebben een fractioneel-rationele ongelijkheid (dit is een ongelijkheid met een variabele in de noemer), dus voordat we iets gelijkstellen aan nul, moeten we alles naar nul brengen. gemeenschappelijke noemer en elimineer de constante factor.
\[\begin(uitlijnen) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(uitlijnen)\]
Nu gebruiken we de standaardintervalmethode. Tellernullen: $x=\pm 4$. De noemer gaat alleen naar nul als $x=0$. Er zijn in totaal drie punten die op de getallenlijn moeten worden gemarkeerd (alle punten zijn vastgezet omdat het ongelijkheidsteken strikt is). Wij krijgen:
Meer moeilijk geval: drie wortels Zoals u wellicht kunt raden, markeert de arcering de intervallen waarop de uitdrukking aan de linkerkant negatieve waarden aanneemt. Daarom zal het uiteindelijke antwoord twee intervallen tegelijk bevatten:
De uiteinden van de intervallen zijn niet in het antwoord opgenomen omdat de oorspronkelijke ongelijkheid strikt was. Er is geen verdere verificatie van dit antwoord vereist. In dit opzicht zijn exponentiële ongelijkheden veel eenvoudiger dan logaritmische ongelijkheden: geen ODZ, geen beperkingen, enz.
Laten we verder gaan met de volgende taak:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Er zijn hier ook geen problemen, omdat we al weten dat $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, dus de hele ongelijkheid kan als volgt worden herschreven:
\[\begin(uitlijnen) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Pijl naar rechts ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(uitlijnen)\]
Let op: in de derde regel besloot ik geen tijd te verspillen aan kleinigheden en alles onmiddellijk te delen door (−2). Minul ging naar de eerste schijf (nu zijn er overal plussen), en twee werden verminderd met een constante factor. Dit is precies wat u moet doen bij het voorbereiden van echte berekeningen voor onafhankelijk en testwerk - u hoeft niet elke actie en transformatie te beschrijven.
Vervolgens komt de bekende methode van intervallen in beeld. Tellernullen: maar die zijn er niet. Omdat de discriminant negatief zal zijn. Op zijn beurt wordt de noemer alleen opnieuw ingesteld als $x=0$ - net als de vorige keer. Welnu, het is duidelijk dat de breuk rechts van $x=0$ positieve waarden zal aannemen, en links - negatief. Omdat we geïnteresseerd zijn in negatieve waarden, is het uiteindelijke antwoord: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
Wat moet je doen met decimale breuken in exponentiële ongelijkheden? Dat klopt: doe ze weg en verander ze in gewone. Hier zullen we vertalen:
\[\begin(uitlijnen) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Pijl naar rechts ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ links(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Pijl naar rechts ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\rechts))^(x)). \\\eind(uitlijnen)\]
Dus wat hebben we gevonden in de fundamenten van exponentiële functies? En we hebben twee onderling inverse getallen:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Pijl naar rechts ((\left(\frac(25)(4) \ rechts))^(x))=((\links(((\links(\frac(4)(25) \rechts))^(-1)) \rechts))^(x))=((\ links(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
De oorspronkelijke ongelijkheid kan dus als volgt worden herschreven:
\[\begin(uitlijnen) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \rechts))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\eind(uitlijnen)\]
Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tellen de exponenten natuurlijk op, wat in de tweede regel gebeurde. Daarnaast vertegenwoordigden we de eenheid rechts, ook als macht in basis 4/25. Het enige dat overblijft is het rationaliseren van:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Pijl naar rechts \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Merk op dat $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, d.w.z. de tweede factor is een negatieve constante, en als je deze deelt, verandert het ongelijkheidsteken:
\[\begin(uitlijnen) & x+1-0\le 0\Pijl naar rechts x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right). \\\end(uitlijnen)\]
Tenslotte de laatste ongelijkheid uit de huidige “set”:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
In principe is het idee van de oplossing hier ook duidelijk: alle exponentiële functies die in de ongelijkheid zijn opgenomen, moeten worden teruggebracht tot basis “3”. Maar hiervoor zul je een beetje moeten sleutelen aan wortels en krachten:
\[\begin(uitlijnen) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\eind(uitlijnen)\]
Rekening houdend met deze feiten kan de oorspronkelijke ongelijkheid als volgt worden herschreven:
\[\begin(uitlijnen) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\eind(uitlijnen)\]
Let op de tweede en derde regel van de berekeningen: voordat je iets met de ongelijkheid doet, zorg ervoor dat je deze in de vorm brengt waar we het vanaf het begin van de les over hadden: $((a)^(x)) \ Het ((a)^(n))$. Zolang je links of rechts een aantal linkshandige factoren, extra constanten, enz. hebt, er kan geen rationalisatie of “doorstreping” van gronden worden uitgevoerd! Talloze taken zijn verkeerd uitgevoerd doordat men dit simpele feit niet heeft begrepen. Zelf observeer ik dit probleem voortdurend bij mijn studenten wanneer we net beginnen met het analyseren van exponentiële en logaritmische ongelijkheden.
Maar laten we terugkeren naar onze taak. Laten we het deze keer zonder rationalisatie proberen. Laten we niet vergeten: de basis van de graad is groter dan één, dus de triples kunnen eenvoudigweg worden doorgestreept - het ongelijkheidsteken zal niet veranderen. Wij krijgen:
\[\begin(uitlijnen) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(uitlijnen)\]
Dat is het. Uiteindelijk antwoord: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Een stabiele expressie isoleren en een variabele vervangen
Concluderend stel ik voor om nog vier exponentiële ongelijkheden op te lossen, die al behoorlijk moeilijk zijn voor onvoorbereide studenten. Om ermee om te gaan, moet je de regels voor het werken met graden onthouden. In het bijzonder door gemeenschappelijke factoren buiten haakjes te zetten.
Maar het belangrijkste is om te leren begrijpen wat er precies tussen haakjes kan worden gezet. Zo'n uitdrukking wordt stabiel genoemd - deze kan worden aangeduid met een nieuwe variabele en zo de exponentiële functie wegnemen. Laten we dus eens kijken naar de taken:
\[\begin(uitlijnen) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Laten we beginnen vanaf de allereerste regel. Laten we deze ongelijkheid apart opschrijven:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Merk op dat $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, dus de rechterhand kant kan worden herschreven:
Merk op dat er geen andere exponentiële functies zijn behalve $((5)^(x+1))$ in de ongelijkheid. En over het algemeen komt de variabele $x$ nergens anders voor, dus laten we een nieuwe variabele introduceren: $((5)^(x+1))=t$. We krijgen de volgende constructie:
\[\begin(uitlijnen) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(uitlijnen)\]
We keren terug naar de oorspronkelijke variabele ($t=((5)^(x+1))$), en onthouden tegelijkertijd dat 1=5 0 . Wij hebben:
\[\begin(uitlijnen) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\eind(uitlijnen)\]
Dat is de oplossing! Antwoord: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Laten we verder gaan met de tweede ongelijkheid:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Alles is hier hetzelfde. Houd er rekening mee dat $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Dan kan de linkerkant herschreven worden:
\[\begin(uitlijnen) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \rechts. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Pijl naar rechts ((3)^(x))\ge 9\Pijl naar rechts ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Pijl naar rechts x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\eind(uitlijnen)\]
Dit is ongeveer hoe u een oplossing moet opstellen voor echte tests en onafhankelijk werk.
Laten we iets ingewikkelders proberen. Hier is bijvoorbeeld de ongelijkheid:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Wat is hier het probleem? Allereerst zijn de bases van de exponentiële functies aan de linkerkant verschillend: 5 en 25. Echter, 25 = 5 2, dus de eerste term kan worden getransformeerd:
\[\begin(uitlijnen) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(uitlijnen )\]
Zoals je ziet hebben we eerst alles naar toe gebracht dezelfde basis, en merkte toen op dat de eerste term gemakkelijk kan worden teruggebracht tot de tweede - je hoeft alleen maar de exponent uit te breiden. Nu kun je veilig een nieuwe variabele introduceren: $((5)^(2x+2))=t$, en de hele ongelijkheid wordt als volgt herschreven:
\[\begin(uitlijnen) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(uitlijnen)\]
En nogmaals, geen problemen! Uiteindelijk antwoord: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Laten we verder gaan met de laatste ongelijkheid in de les van vandaag:
\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
Het eerste waar je op moet letten is natuurlijk de decimale breuk in de basis van de eerste macht. Het is noodzakelijk om er vanaf te komen en tegelijkertijd alle exponentiële functies naar dezelfde basis te brengen - het getal "2":
\[\begin(uitlijnen) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Pijl naar rechts ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Pijl naar rechts ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(uitlijnen)\]
Geweldig, we hebben de eerste stap gezet: alles heeft tot dezelfde basis geleid. Nu moet je een stabiele expressie selecteren. Houd er rekening mee dat $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Als we een nieuwe variabele $((2)^(4x+6))=t$ introduceren, kan de oorspronkelijke ongelijkheid als volgt worden herschreven:
\[\begin(uitlijnen) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\eind(uitlijnen)\]
Natuurlijk kan de vraag rijzen: hoe hebben we ontdekt dat 256 = 2 8? Helaas hoef je hier alleen maar de machten van twee te kennen (en tegelijkertijd de machten van drie en vijf). Nou ja, of 256 delen door 2 (je kunt delen, aangezien 256 een even getal is) totdat we het resultaat krijgen. Het zal er ongeveer zo uitzien:
\[\begin(uitlijnen) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(uitlijnen )\]
Hetzelfde geldt voor drie (de getallen 9, 27, 81 en 243 zijn de graden), en voor zeven (de getallen 49 en 343 zouden ook leuk zijn om te onthouden). Welnu, de vijf hebben ook “mooie” graden die je moet weten:
\[\begin(uitlijnen) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\eind(uitlijnen)\]
Als u dat wenst, kunt u natuurlijk al deze getallen in uw hoofd herstellen door ze eenvoudigweg achtereenvolgens met elkaar te vermenigvuldigen. Wanneer je echter verschillende exponentiële ongelijkheden moet oplossen, en elke volgende ongelijkheid moeilijker is dan de vorige, is het laatste waar je aan wilt denken de machten van sommige getallen. En in die zin zijn deze problemen complexer dan de ‘klassieke’ ongelijkheden die worden opgelost met de intervalmethode.
In deze les zullen we naar verschillende exponentiële ongelijkheden kijken en leren hoe we deze kunnen oplossen, gebaseerd op de techniek voor het oplossen van de eenvoudigste exponentiële ongelijkheden
1. Definitie en eigenschappen van een exponentiële functie
Laten we ons de definitie en basiseigenschappen van de exponentiële functie herinneren. De oplossing van alle exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden is gebaseerd op deze eigenschappen.
Exponentiële functie is een functie van de vorm , waarbij de basis de graad is en hier x de onafhankelijke variabele is, argument; y is de afhankelijke variabele, functie.
Rijst. 1. Grafiek van exponentiële functie
De grafiek toont toenemende en afnemende exponenten, ter illustratie van de exponentiële functie met respectievelijk een grondtal groter dan één en kleiner dan één maar groter dan nul.
Beide curven gaan door het punt (0;1)
Eigenschappen van de exponentiële functie:
Domein: ;
Waardenbereik: ;
De functie is monotoon, neemt toe met, neemt af met.
Een monotone functie neemt elk van zijn waarden op basis van een enkele argumentwaarde.
Wanneer, wanneer het argument toeneemt van min naar plus oneindig, de functie toeneemt van nul inclusief naar plus oneindig, dat wil zeggen, voor gegeven waarden van het argument hebben we een monotoon toenemende functie (). Integendeel, wanneer het argument toeneemt van min naar plus oneindig, neemt de functie af van oneindig naar nul, d.w.z. voor gegeven waarden van het argument hebben we een monotoon afnemende functie ().
2. De eenvoudigste exponentiële ongelijkheden, oplossingsmethode, voorbeeld
Op basis van het bovenstaande presenteren we een methode voor het oplossen van eenvoudige exponentiële ongelijkheden:
Methodologie voor het oplossen van ongelijkheden:
Maak de basis van graden gelijk;
Vergelijk indicatoren door het ongelijkheidsteken te behouden of te veranderen naar het tegenovergestelde.
De oplossing voor complexe exponentiële ongelijkheden bestaat gewoonlijk uit het terugbrengen ervan tot de eenvoudigste exponentiële ongelijkheden.
De basis van de graad is groter dan één, wat betekent dat het ongelijkheidsteken behouden blijft:
Laten we de rechterkant transformeren volgens de eigenschappen van de graad:
De basis van de graad is kleiner dan één, het ongelijkheidsteken moet worden omgekeerd:
Om de kwadratische ongelijkheid op te lossen, lossen we de overeenkomstige kwadratische vergelijking op:
Met behulp van de stelling van Vieta vinden we de wortels:
De takken van de parabool zijn naar boven gericht.
We hebben dus een oplossing voor de ongelijkheid:
Het is gemakkelijk te raden dat de rechterkant kan worden weergegeven als een macht met een exponent van nul:
De basis van de graad is groter dan één, het ongelijkheidsteken verandert niet, we krijgen:
Laten we ons de techniek herinneren om dergelijke ongelijkheden op te lossen.
Beschouw de fractioneel-rationele functie:
We vinden het domein van definitie:
Het vinden van de wortels van de functie:
De functie heeft een enkele wortel, 
We selecteren intervallen met een constant teken en bepalen de tekens van de functie op elk interval:
Rijst. 2. Intervallen van tekenvastheid
Zo kregen we het antwoord.
Antwoord: 
3. Het oplossen van standaard exponentiële ongelijkheden
Laten we ongelijkheden bekijken met dezelfde indicatoren, maar op verschillende grondslagen.
Een van de eigenschappen van de exponentiële functie is dat deze strikt positieve waarden aanneemt voor elke waarde van het argument, wat betekent dat deze kan worden verdeeld in een exponentiële functie. Laten we de gegeven ongelijkheid delen door de rechterkant:
De basis van de graad is groter dan één, het ongelijkheidsteken blijft behouden.
Laten we de oplossing illustreren:
Figuur 6.3 toont grafieken van functies en . Het is duidelijk dat als het argument groter is dan nul, de grafiek van de functie hoger is, deze functie is groter. Wanneer de argumentwaarden negatief zijn, gaat de functie lager, deze is kleiner. Als het argument gelijk is, zijn de functies gelijk, wat betekent: gegeven punt is ook een oplossing voor de gegeven ongelijkheid.
Rijst. 3. Afbeelding bijvoorbeeld 4
Laten we de gegeven ongelijkheid transformeren volgens de eigenschappen van de graad:
Hier zijn enkele vergelijkbare termen:
Laten we beide delen verdelen in:
Nu gaan we verder met oplossen op dezelfde manier als voorbeeld 4, deel beide delen door:
De basis van de graad is groter dan één, het ongelijkheidsteken blijft:
4. Grafische oplossing van exponentiële ongelijkheden
Voorbeeld 6 - Los de ongelijkheid grafisch op:
Laten we naar de functies aan de linker- en rechterkant kijken en voor elk ervan een grafiek maken.
De functie is exponentieel en neemt toe over het gehele definitiedomein, dat wil zeggen voor alle reële waarden van het argument.
De functie is lineair en neemt af over het gehele definitiedomein, dat wil zeggen voor alle reële waarden van het argument.
Als deze functies elkaar kruisen, dat wil zeggen dat het systeem een oplossing heeft, dan is zo'n oplossing uniek en gemakkelijk te raden. Om dit te doen, itereren we over gehele getallen ()
Het is gemakkelijk in te zien dat de wortel van dit systeem is:
De grafieken van de functies snijden elkaar dus op een punt met een argument gelijk aan één.
Nu moeten we een antwoord krijgen. De betekenis van de gegeven ongelijkheid is dat de exponent groter dan of gelijk aan moet zijn lineaire functie, dat wil zeggen hoger zijn of ermee samenvallen. Het antwoord ligt voor de hand: (Figuur 6.4)
Rijst. 4. Afbeelding bijvoorbeeld 6
We hebben dus gekeken naar het oplossen van verschillende standaard exponentiële ongelijkheden. Vervolgens gaan we verder met het beschouwen van meer complexe exponentiële ongelijkheden.
Referenties
Mordkovich AG Algebra en het begin van wiskundige analyse. - M.: Mnemosyne. Muravin GK, Muravin OV Algebra en het begin van wiskundige analyse. - M.: Trap. Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn P. et al. - M.: Verlichting.
Wiskunde. md. Wiskunde-herhaling. com. Diffuus. kemsu. Ru.
Huiswerk
1. Algebra en het begin van analyse, cijfers 10-11 (A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr. 472, 473;
2. Los de ongelijkheid op:
3. Los de ongelijkheid op.
Bij het oplossen van praktische problemen is het al sinds de oudheid nodig om hoeveelheden en hoeveelheden te vergelijken. Tegelijkertijd verschenen er woorden als meer en minder, hoger en lager, lichter en zwaarder, stiller en luider, goedkoper en duurder, enz., die de resultaten aanduiden van het vergelijken van homogene hoeveelheden.
De concepten van meer en minder ontstonden in verband met het tellen van objecten, het meten en vergelijken van hoeveelheden. Wiskundigen uit het oude Griekenland wisten bijvoorbeeld dat de zijde van een driehoek kleiner is dan de som van de andere twee zijden en dat de grootste zijde van een driehoek tegenover de grotere hoek ligt. Archimedes stelde bij het berekenen van de omtrek vast dat de omtrek van elke cirkel gelijk is aan drie keer de diameter, met een overschot dat minder is dan een zevende van de diameter, maar meer dan tien zeventig keer de diameter.
Schrijf symbolisch relaties tussen getallen en hoeveelheden met behulp van de tekens > en b. Records waarin twee getallen met elkaar verbonden zijn door een van de tekens: > (groter dan), Ook in de lagere klassen kwam je numerieke ongelijkheden tegen. Je weet dat ongelijkheden waar kunnen zijn, maar ook onwaar. \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) is bijvoorbeeld een correcte numerieke ongelijkheid, 0,23 > 0,235 is een onjuiste numerieke ongelijkheid.
Ongelijkheden waarbij onbekenden betrokken zijn, kunnen waar zijn voor sommige waarden van de onbekenden en onwaar voor andere. De ongelijkheid 2x+1>5 is bijvoorbeeld waar voor x = 3, maar onwaar voor x = -3. Voor een ongelijkheid met één onbekende kun je de taak stellen: de ongelijkheid oplossen. Problemen bij het oplossen van ongelijkheden worden in de praktijk niet minder vaak gesteld en opgelost dan problemen bij het oplossen van vergelijkingen. Veel economische problemen komen bijvoorbeeld neer op de studie en oplossing van systemen van lineaire ongelijkheid. In veel takken van de wiskunde komen ongelijkheden vaker voor dan vergelijkingen.
Sommige ongelijkheden dienen als het enige hulpmiddel om het bestaan van een bepaald object te bewijzen of te weerleggen, bijvoorbeeld de wortel van een vergelijking.
Numerieke ongelijkheden
U kunt hele getallen en decimale breuken vergelijken. Kent u de vergelijkingsregels? gewone breuken met dezelfde noemers maar verschillende tellers; met dezelfde tellers, maar verschillende noemers. Hier leert u hoe u twee getallen kunt vergelijken door het teken van hun verschil te vinden.
Het vergelijken van getallen wordt in de praktijk veel gebruikt. Een econoom vergelijkt bijvoorbeeld geplande indicatoren met werkelijke indicatoren, een arts vergelijkt de temperatuur van een patiënt met normaal, een draaier vergelijkt de afmetingen van een machinaal bewerkt onderdeel met een standaard. In al dergelijke gevallen worden enkele cijfers vergeleken. Als gevolg van het vergelijken van getallen ontstaan numerieke ongelijkheden.
Definitie. Nummer een meer nummer b, als verschil a-b positief. Nummer een minder aantal b, als het verschil a-b negatief is.
Als a groter is dan b, schrijven ze: a > b; als a kleiner is dan b, dan schrijven ze: a De ongelijkheid a > b betekent dus dat het verschil a - b positief is, d.w.z. a - b > 0. Ongelijkheid a Voor twee willekeurige getallen a en b uit de volgende drie relaties a > b, a = b, a Om de getallen a en b te vergelijken, moet je uitzoeken welke van de tekens >, = of Stelling. Als a > b en b > c, dan a > c.
Stelling. Als je aan beide kanten van de ongelijkheid hetzelfde getal optelt, verandert het teken van de ongelijkheid niet.
Gevolg. Elke term kan van het ene deel van de ongelijkheid naar het andere worden verplaatst door het teken van deze term naar het tegenovergestelde te veranderen.
Stelling. Als beide zijden van de ongelijkheid met hetzelfde positieve getal worden vermenigvuldigd, verandert het teken van de ongelijkheid niet. Als beide zijden van de ongelijkheid worden vermenigvuldigd met hetzelfde negatieve getal, verandert het teken van de ongelijkheid in het tegenovergestelde.
Gevolg. Als beide zijden van de ongelijkheid gedeeld worden door hetzelfde positieve getal, zal het teken van de ongelijkheid niet veranderen. Als beide zijden van de ongelijkheid worden gedeeld door hetzelfde negatieve getal, verandert het teken van de ongelijkheid in het tegenovergestelde.
Je weet dat numerieke gelijkheden term voor term kunnen worden opgeteld en vermenigvuldigd. Vervolgens leer je hoe je soortgelijke acties kunt uitvoeren met ongelijkheden. In de praktijk wordt vaak gebruik gemaakt van de mogelijkheid om ongelijkheden term voor term op te tellen en te vermenigvuldigen. Deze acties helpen bij het oplossen van problemen bij het evalueren en vergelijken van de betekenissen van uitdrukkingen.
Bij het oplossen van verschillende problemen is het vaak nodig om de linker- en rechterkant van de ongelijkheid term voor term op te tellen of te vermenigvuldigen. Tegelijkertijd wordt wel eens gezegd dat de ongelijkheid zich opstapelt of vermenigvuldigt. Als een toerist bijvoorbeeld op de eerste dag meer dan 20 km heeft gelopen, en op de tweede dag meer dan 25 km, dan kunnen we zeggen dat hij in twee dagen meer dan 45 km heeft gelopen. Op dezelfde manier, als de lengte van een rechthoek minder dan 13 cm is en de breedte minder dan 5 cm, dan kunnen we zeggen dat de oppervlakte van deze rechthoek minder dan 65 cm2 is.
Bij het beschouwen van deze voorbeelden werd het volgende gebruikt: stellingen over het optellen en vermenigvuldigen van ongelijkheden:
Stelling. Bij het optellen van ongelijkheden van hetzelfde teken wordt een ongelijkheid van hetzelfde teken verkregen: als a > b en c > d, dan a + c > b + d.
Stelling. Bij het vermenigvuldigen van ongelijkheden van hetzelfde teken, waarvan de linker- en rechterkant positief zijn, wordt een ongelijkheid van hetzelfde teken verkregen: als a > b, c > d en a, b, c, d positieve getallen zijn, dan ac > bd.
Ongelijkheden met het teken > (groter dan) en 1/2, 3/4 b, c Samen met de tekenen van strikte ongelijkheden > en Op dezelfde manier betekent de ongelijkheid \(a \geq b \) dat het getal a is groter dan of gelijk aan b, d.w.z. .en niet kleiner b.
Ongelijkheden die het teken \(\geq \) of het teken \(\leq \) bevatten, worden niet-strikt genoemd. \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) zijn bijvoorbeeld geen strikte ongelijkheden.
Alle eigenschappen van strikte ongelijkheden gelden ook voor niet-strikte ongelijkheden. Bovendien, als voor strikte ongelijkheden de tekens > als tegengesteld werden beschouwd en je weet dat je om een aantal toegepaste problemen op te lossen een wiskundig model moet creëren in de vorm van een vergelijking of een stelsel van vergelijkingen. Vervolgens leer je dat wiskundige modellen voor het oplossen van veel problemen ongelijkheden met onbekenden zijn. Het concept van het oplossen van een ongelijkheid zal worden geïntroduceerd en er zal worden getoond hoe je kunt testen of een bepaald getal een oplossing is voor een bepaalde ongelijkheid.
Ongelijkheden van de vorm
\(ax > b, \quad ax waarbij a en b getallen zijn, en x een onbekende is, heten lineaire ongelijkheden met één onbekende.
Definitie. De oplossing voor een ongelijkheid met één onbekende is de waarde van het onbekende waarbij deze ongelijkheid een echte numerieke ongelijkheid wordt. Het oplossen van een ongelijkheid betekent het vinden van alle oplossingen ervan, of vaststellen dat die er niet zijn.
Je hebt de vergelijkingen opgelost door ze terug te brengen tot de eenvoudigste vergelijkingen. Op dezelfde manier probeert men bij het oplossen van ongelijkheden deze met behulp van eigenschappen terug te brengen tot de vorm van eenvoudige ongelijkheden.
Tweedegraadsongelijkheid oplossen met één variabele
Ongelijkheden van de vorm
\(ax^2+bx+c >0 \) en \(ax^2+bx+c waarbij x een variabele is, a, b en c enkele getallen zijn en \(a \neq 0 \), genaamd ongelijkheden van de tweede graad met één variabele.
Oplossing voor ongelijkheid
\(ax^2+bx+c >0 \) of \(ax^2+bx+c kunnen worden beschouwd als het vinden van intervallen waarin de functie \(y= ax^2+bx+c \) positief of negatief is Om dit te doen, volstaat het om te analyseren hoe de grafiek van de functie \(y= ax^2+bx+c\) zich in het coördinatenvlak bevindt: waar de takken van de parabool gericht zijn - omhoog of omlaag, of de parabool snijdt de x-as en zo ja, op welke punten.
Algoritme voor het oplossen van tweedegraadsongelijkheden met één variabele:
1) vind de discriminant van de vierkante trinominaal \(ax^2+bx+c\) en ontdek of de trinominaal wortels heeft;
2) als de trinominale wortels heeft, markeer ze dan op de x-as en teken door de gemarkeerde punten een schematische parabool, waarvan de takken naar boven gericht zijn voor a > 0 of naar beneden voor een 0 of naar beneden voor een 3) zoek intervallen op de x-as waarvoor de puntparabolen zich boven de x-as bevinden (als ze de ongelijkheid \(ax^2+bx+c >0\) oplossen) of onder de x-as (als ze de ongelijkheid oplossen ongelijkheid
\(ax^2+bx+c Ongelijkheden oplossen met de intervalmethode
Denk aan de functie
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Het domein van deze functie is de verzameling van alle getallen. De nullen van de functie zijn de getallen -2, 3, 5. Ze verdelen het definitiedomein van de functie in de intervallen \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) en \( (5; +\infty)\)
Laten we eens kijken wat de tekenen van deze functie zijn in elk van de aangegeven intervallen.
De uitdrukking (x + 2)(x - 3)(x - 5) is het product van drie factoren. Het teken van elk van deze factoren in de beschouwde intervallen wordt aangegeven in de tabel:
In het algemeen wordt de functie gegeven door de formule
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
waarbij x een variabele is, en x 1, x 2, ..., x n getallen zijn die niet gelijk aan elkaar zijn. De getallen x 1 , x 2 , ..., x n zijn de nullen van de functie. In elk van de intervallen waarin het definitiedomein wordt verdeeld door nullen van de functie, blijft het teken van de functie behouden, en wanneer het door nul gaat, verandert het teken.
Deze eigenschap wordt gebruikt om ongelijkheden van de vorm op te lossen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) waarbij x 1, x 2, ..., x n getallen zijn die niet gelijk zijn aan elkaar
Doordachte methode Het oplossen van ongelijkheden wordt de intervalmethode genoemd.
Laten we voorbeelden geven van het oplossen van ongelijkheden met behulp van de intervalmethode.
Ongelijkheid oplossen:
\(x(0,5-x)(x+4) Uiteraard zijn de nulpunten van de functie f(x) = x(0,5-x)(x+4) de punten \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)We plotten de nullen van de functie op de getallenas en berekenen het teken op elk interval:
We selecteren die intervallen waarbij de functie kleiner dan of gelijk is aan nul en noteren het antwoord.
Antwoord:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Theorie:
Gebruik bij het oplossen van ongelijkheden de volgende regels:
1. Elke term van de ongelijkheid kan van één deel worden overgedragen
ongelijkheid in een andere met het tegenovergestelde teken, maar het teken van de ongelijkheid verandert niet.
2. Beide kanten van de ongelijkheid kunnen worden vermenigvuldigd of gedeeld door één
en hetzelfde positieve getal zonder het ongelijkheidsteken te veranderen.
3. Beide kanten van de ongelijkheid kunnen met één worden vermenigvuldigd of gedeeld
en hetzelfde negatieve getal, waarbij het ongelijkheidsteken verandert in
tegenovergestelde.
Ongelijkheid oplossen − 8 x + 11<
−
3
x
−
4
Oplossing.
1. Laten we de penis verplaatsen − 3x aan de linkerkant van de ongelijkheid en de term 11
- naar de rechterkant van de ongelijkheid, terwijl de tekens naar de tegenovergestelde veranderen − 3x en bij 11
.
Dan krijgen wij
− 8x + 3x< − 4 − 11
− 5x< − 15
2. Laten we beide kanten van de ongelijkheid verdelen − 5x<
−
15
naar een negatief getal −
5
en het ongelijkheidsteken <
, zal veranderen in >
, d.w.z. we gaan verder naar een ongelijkheid met de tegenovergestelde betekenis.
Wij krijgen:
− 5x< − 15 | : (− 5 )
x > − 15 : (− 5 )
x > 3
x > 3- oplossing van een gegeven ongelijkheid.
Let op!
Er zijn twee opties voor het schrijven van een oplossing: x > 3 of als een getalsinterval.
Laten we de reeks oplossingen voor de ongelijkheid op de getallenlijn markeren en het antwoord in de vorm van een numeriek interval schrijven.
x ∈ (3 ; + ∞ )
Antwoord: x > 3 of x ∈ (3 ; + ∞ )
Algebraïsche ongelijkheden.
Kwadratische ongelijkheden. Rationele ongelijkheden van hogere graden.
Methoden voor het oplossen van ongelijkheden hangen vooral af van tot welke klasse de functies waaruit de ongelijkheid bestaat behoren.
- I. Kwadratische ongelijkheden, dat wil zeggen, ongelijkheden van de vorm
bijl 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
Om de ongelijkheid op te lossen kun je:
- Vierkant trinominaal ontbinden in factoren, dat wil zeggen, schrijf de ongelijkheid in de vorm
a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- Teken de wortels van de polynoom op de getallenlijn. Wortels breken velen echte cijfers in intervallen, in elk waarvan er een overeenkomstige is kwadratische functie zal een constant teken hebben.
- Bepaal het teken van a (x - x 1) (x - x 2) in elk interval en noteer het antwoord.
Als een vierkante trinominaal geen wortels heeft, dan is voor D<0 и a>0 vierkante trinominaal is positief voor elke x.
- Ongelijkheid oplossen. x 2 + x - 6 > 0.
Ontbind de kwadratische trinominaal (x + 3) (x - 2) > 0
Antwoord: x (-∞; -3) (2; +∞).
2) (x - 6) 2 > 0
Deze ongelijkheid geldt voor elke x behalve x = 6.
Antwoord: (-∞; 6) (6; +∞).
3) x² + 4x + 15< 0.
Hier D< 0, a = 1 >0. De vierkante trinominaal is positief voor alle x.
Antwoord: x Î Ø.
Ongelijkheden oplossen:
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Antwoord:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Antwoord:
- 2x² - 12x + 18 > 0. Antwoord:
- Voor welke waarden van a geldt de ongelijkheid
x² - bijl > geldt voor elke x? Antwoord:
- II. Rationele ongelijkheden van hogere graden, dat wil zeggen, ongelijkheden van de vorm
een n x n + een n-1 x n-1 + … + een 1 x + een 0 > 0 (<0), n>2.
Een polynoom van de hoogste graad moet worden ontbonden, dat wil zeggen dat de ongelijkheid in de vorm moet worden geschreven
een n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).
Markeer de punten op de getallenlijn waar de polynoom verdwijnt.
Bepaal de tekens van de polynoom op elk interval.
1) Los de ongelijkheid op x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Dus x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
Antwoord: (0; 1) (2; 3).
2) Los de ongelijkheid op (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.
Laten we de punten op de getallenas markeren waar de polynoom verdwijnt. Dit zijn x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.
Op het punt x = - ½ is er geen verandering van teken omdat de binomiale (2x + 1) wordt verheven tot een even macht, dat wil zeggen dat de uitdrukking (2x + 1) 4 niet van teken verandert wanneer hij door het punt x = gaat - ½.
Antwoord: (-∞; -2) (½; 1).
3) Los de ongelijkheid op: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.
Deze ongelijkheid is gelijk aan de volgende set
De oplossing van (1) is x (-∞; -2) (3; +∞). De oplossing voor (2) is x = 0, x = -2, x = 3. Door de verkregen oplossingen te combineren, verkrijgen we x О (-∞; -2] (0) (0) )
Laden...
