De eigenschappen van de wortels liggen ten grondslag aan de volgende twee transformaties, genaamd ze onder het wortelteken brengen en ze onder het wortelteken vandaan halen, waar we ons nu op richten.
Een vermenigvuldiger invoeren onder het teken van de wortel
Het introduceren van een vermenigvuldiger onder het teken impliceert het vervangen van de uitdrukking , waarbij B en C enkele getallen of uitdrukkingen zijn, en n is natuurlijk getal, groter dan één, is identiek gelijk aan een uitdrukking van de vorm of .
Bijvoorbeeld, irrationele uitdrukking na introductie van de factor 2 onder het wortelteken neemt het de vorm aan.
De theoretische grondslagen van deze transformatie, de regels voor de implementatie ervan, evenals oplossingen voor verschillende typische voorbeelden gegeven in het artikel waarin een vermenigvuldiger wordt geïntroduceerd onder het teken van de wortel.
Het verwijderen van de vermenigvuldiger onder het wortelteken
Transformatie in in zekere zin Het omgekeerde van het toevoegen van een vermenigvuldiger onder het wortelteken is het verwijderen van de vermenigvuldiger onder het wortelteken. Het bestaat uit het weergeven van de wortel als een product voor oneven n of als een product voor even n, waarbij B en C enkele getallen of uitdrukkingen zijn.
Laten we bijvoorbeeld terugkeren naar de vorige paragraaf: de irrationele uitdrukking neemt, na het verwijderen van de factor onder het wortelteken, de vorm aan . Nog een voorbeeld: het verwijderen van de factor onder het wortelteken in de uitdrukking levert het product op, dat kan worden herschreven als .
Waar deze transformatie op gebaseerd is en volgens welke regels deze wordt uitgevoerd, zullen we in een apart artikel onderzoeken hoe de vermenigvuldiger onder het teken van de wortel wordt verwijderd. Daar zullen we ook oplossingen geven voor voorbeelden en manieren opsommen om een radicale uitdrukking terug te brengen tot een vorm die handig is om te vermenigvuldigen.
Breuken met wortels omrekenen
Irrationele uitdrukkingen kunnen breuken bevatten die wortels hebben in de teller en de noemer. Met dergelijke breuken kun je alle basisprincipes uitvoeren identiteitstransformaties van breuken.
Ten eerste belet niets u om met uitdrukkingen in de teller en de noemer te werken. Neem als voorbeeld de breuk. De irrationele uitdrukking in de teller is uiteraard identiek gelijk aan , en door naar de eigenschappen van wortels te kijken, kan de uitdrukking in de noemer worden vervangen door de wortel . Als resultaat wordt de oorspronkelijke breuk omgezet naar de vorm .
Ten tweede kun je het teken vóór een breuk veranderen door het teken van de teller of noemer te veranderen. De volgende transformaties van een irrationele uitdrukking vinden bijvoorbeeld plaats: 
.
Ten derde is het soms mogelijk en raadzaam om een fractie te verkleinen. Hoe u uzelf bijvoorbeeld het plezier kunt ontzeggen een fractie te verkleinen 
aan de irrationele uitdrukking, die we als resultaat krijgen 
.
Het is duidelijk dat in veel gevallen, voordat een breuk wordt verkleind, de uitdrukkingen in de teller en de noemer moeten worden ontbonden, wat in eenvoudige gevallen kan worden bereikt door verkorte vermenigvuldigingsformules. En soms helpt het om een breuk te verkleinen door een variabele te vervangen, waardoor je van de oorspronkelijke breuk met irrationaliteit naar een rationele breuk kunt gaan, wat comfortabeler en vertrouwder is om mee te werken.
Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking nemen. Laten we nieuwe variabelen introduceren en in deze variabelen heeft de oorspronkelijke expressie de vorm . Na gepresteerd te hebben in de teller
Uitdrukkingen die een wortelteken (wortel) bevatten, worden irrationeel genoemd.
Rekenkundige wortel natuurlijke graad$n$ uit een niet-negatief getal a wordt een bepaald niet-negatief getal genoemd; wanneer het wordt verhoogd tot de macht $n$, wordt het getal $a$ verkregen.
$(√^n(a))^n=a$
In de notatie $√^n(a)$ wordt “a” het radicaalgetal genoemd, $n$ is de exponent van de wortel of radicaal.
Eigenschappen van $n$de wortels voor $a≥0$ en $b≥0$:
1. De wortel van het product is gelijk aan het product van de wortels
$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$
Bereken $√^5(5)∙√^5(625)$
De wortel van een product is gelijk aan het product van wortels en omgekeerd: het product van wortels met dezelfde wortel-exponent is gelijk aan de wortel van het product van worteluitdrukkingen
$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$
$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$
2. De wortel van een breuk is een aparte wortel van de teller en een aparte wortel van de noemer
$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, voor $b≠0$
3. Wanneer een wortel tot een macht wordt verheven, wordt de radicale uitdrukking tot deze macht verheven
$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$
4. Als $a≥0$ en $n,k$ natuurlijke getallen groter dan $1$ zijn, dan is de gelijkheid waar.
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
5. Als de indicatoren van de wortel en radicale uitdrukking worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde natuurlijke getal, zal de waarde van de wortel niet veranderen.
$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$
6. De wortel van een oneven graad kan worden afgeleid uit positieve en negatieve getallen, en de wortel van een even graad is alleen maar positief.
7. Elke wortel kan worden weergegeven als een macht met een fractionele (rationele) exponent.
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Zoek de waarde van de uitdrukking $(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))$ voor $s>0$
De wortel van het product is gelijk aan het product van de wortels
$(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))=(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$
We kunnen onmiddellijk wortels uit getallen halen
$(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙√^11(√s))=(3∙√(√^11(s)))/(2∙ √^11(√с))$
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
$(3∙√(√^11(s)))/(2∙√^11(√s))=(3∙√^22(s))/(2∙√^22(s))$
We reduceren de $22$-wortels van $с$ en krijgen $(3)/(2)=1,5$
Antwoord: $ 1,5 $
Als we voor een radicaal met een even exponent het teken van de radicaaluitdrukking niet kennen, dan komt bij het extraheren van de wortel de module van de radicaaluitdrukking naar voren.
Zoek de waarde van de uitdrukking $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ op $7< c < 9$
Als er geen indicator boven de wortel staat, betekent dit dat we ermee werken vierkantswortel. De indicator is twee, d.w.z. eerlijk. Als we voor een radicaal met een even exponent het teken van de radicaaluitdrukking niet kennen, dan komt bij het extraheren van de wortel de module van de radicaaluitdrukking naar voren.
$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$
Laten we het teken van de uitdrukking onder het modulusteken bepalen op basis van de voorwaarde $7< c < 9$
Om dit te controleren, neemt u een willekeurig getal uit een bepaald bereik, bijvoorbeeld $8$
Laten we het teken van elke module controleren
$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.
$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$
Eigenschappen van machten met rationele exponent:
1. Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal blijft het grondtal hetzelfde en worden de exponenten opgeteld.
$a^n∙a^m=a^(n+m)$
2. Bij het verheffen van een graad tot een macht blijft het grondtal hetzelfde, maar worden de exponenten vermenigvuldigd
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
3. Wanneer een product tot een macht wordt verheven, wordt elke factor tot deze macht verheven
$(a∙b)^n=a^n∙b^n$
4. Wanneer je een breuk tot een macht verheft, worden de teller en de noemer tot deze macht verheven
Trainer nr. 1
Onderwerp: Het omzetten van macht en irrationele uitdrukkingen
Keuzeprogramma wiskunde voor leerlingen van het 10e leerjaar
ProgrammaSollicitatie. Toepassing van fundamentele trigonometrische formules transformatie uitdrukkingen. Onderwerp 4. Trigonometrische functies en hun grafieken. Samenvatten... . 16.01-20.01 18 Conversie kalmeren En irrationeel uitdrukkingen. 23.01-27.01 19 ...
Kalender en thematische planning van educatief materiaal algebra en begin van analyse, 11e leerjaar
Kalender- en thematische planningEn een rationele indicator. Conversie kalmeren En irrationeel uitdrukkingen. 2 2 2 september Eigenschappen van logaritmen. Conversie logaritmisch uitdrukkingen. 1 1 1 ... worden volledig beschouwd vanaf die Studenten die een hoge ambitie nastreven...
Lesonderwerp Lestype (4)
Les... transformatie numeriek en alfabetisch uitdrukkingen, bevattende graden ... graden Weet: concept rang met een irrationele indicator; basiseigenschappen graden. In staat zijn om: betekenis te vinden graden Met irrationeel... 3 tot onderwerp « Rang positief getal...
Onderwerp: Culturele en historische grondslagen voor de ontwikkeling van psychologische kennis op het werk. Onderwerp: Arbeid als sociaal-psychologische realiteit
DocumentEnz.) onderwerp Arbeid hangt nauw samen met sociaal-economisch transformaties. Bijvoorbeeld, ... herstructurering van bewustzijn, instincten, irrationeel trends, d.w.z. interne conflicten... verduidelijking van de aanwezigheid en graden ernst een mens heeft bepaalde...
Uitdrukkingen converteren die vierkantswortels bevatten (1)
LesBewerkt door S.A. Teljakovski. Onderwerp les: Conversie uitdrukkingen, met daarin vierkant...) transformatie wortels van een product, fractie en graden, vermenigvuldiging... (vorming van de vaardigheid van identiek transformaties irrationeel uitdrukkingen). Nr. 421. (op het bord...
Bij het converteren van rekenkundige wortels worden hun eigenschappen gebruikt (zie paragraaf 35).
Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het gebruik van de eigenschappen van rekenkundige wortels voor de eenvoudigste transformaties van radicalen. In dit geval gaan we ervan uit dat alle variabelen alleen niet-negatieve waarden aannemen.
Voorbeeld 1. Extraheer de wortel van de productoplossing. Als we de eigenschap 1° toepassen, krijgen we:
Voorbeeld 2. Verwijder de vermenigvuldiger onder het wortelteken
Oplossing.
Deze transformatie wordt het verwijderen van de factor onder het wortelteken genoemd. Het doel van de transformatie is om de radicale uitdrukking te vereenvoudigen.
Voorbeeld 3: Vereenvoudig
Oplossing. Met eigenschap 3° proberen ze meestal de radicale uitdrukking te vereenvoudigen, waarbij ze de factoren uit het teken van de wortel halen. Wij hebben
Voorbeeld 4: Vereenvoudig
Oplossing. Laten we de uitdrukking transformeren door een factor in te voeren onder het teken van de wortel: We hebben eigenschap 4°
Voorbeeld 5: Vereenvoudig
Oplossing. Door de eigenschap van 5° hebben we het recht om de exponent van de wortel en de exponent van de radicale uitdrukking te delen door hetzelfde natuurlijke getal. Als we in het beschouwde voorbeeld de aangegeven indicatoren door 3 delen, krijgen we
Voorbeeld 6. Vereenvoudig uitdrukkingen: a)
Oplossing, a) Door eigenschap 1° vinden we dat om wortels van dezelfde graad te vermenigvuldigen, het voldoende is om de worteluitdrukkingen te vermenigvuldigen en de wortel van dezelfde graad uit het verkregen resultaat te extraheren. Middelen,
b) Allereerst moeten we de radicalen terugbrengen tot één indicator. Volgens de eigenschap van 5° kunnen we de exponent van de wortel en de exponent van de radicale uitdrukking vermenigvuldigen met hetzelfde natuurlijke getal. Daarom hebben we nu En nu, in het resulterende resultaat, door de indicatoren van de wortel en de graad van de radicale uitdrukking te delen door 3, krijgen we
Irrationele uitdrukkingen en hun transformaties
De vorige keer hebben we ons herinnerd (of geleerd, afhankelijk van wie) wat het is , geleerd hoe je zulke wortels kunt extraheren, de basiseigenschappen van wortels stukje bij beetje uitgezocht en eenvoudige voorbeelden met wortels opgelost.
Deze les zal een voortzetting zijn van de vorige en zal worden gewijd aan transformaties van een grote verscheidenheid aan uitdrukkingen die allerlei soorten wortels bevatten. Dergelijke uitdrukkingen worden genoemd irrationeel. Uitdrukkingen met letters, aanvullende voorwaarden, het wegwerken van irrationaliteit in breuken en enkele geavanceerde technieken voor het werken met wortels zullen hier verschijnen. De technieken die in deze les worden besproken, zullen een goede basis vormen voor het oplossen van USE-problemen (en niet alleen) van vrijwel elk niveau van complexiteit. Dus laten we aan de slag gaan.
Allereerst zal ik hier de basisformules en eigenschappen van wortels dupliceren. Om niet van onderwerp naar onderwerp te springen. Hier zijn ze:
bij
Je moet deze formules kennen en kunnen toepassen. En in beide richtingen - zowel van links naar rechts als van rechts naar links. Het is op hen dat de oplossing voor de meeste taken met wortels van enige mate van complexiteit is gebaseerd. Laten we voorlopig beginnen met het eenvoudigste: met de directe toepassing van formules of hun combinaties.
Gemakkelijke toepassing van formules
In dit deel zullen eenvoudige en onschadelijke voorbeelden worden overwogen - zonder letters, aanvullende voorwaarden en andere trucs. Maar zelfs daarin zijn er in de regel opties. En hoe geavanceerder het voorbeeld, hoe meer van dergelijke opties er zijn. En de onervaren student wordt geconfronteerd met het grootste probleem: waar te beginnen? Het antwoord is hier eenvoudig: Als je niet weet wat je nodig hebt, doe dan wat je kunt. Zolang je acties in vrede en harmonie zijn met de regels van de wiskunde en deze niet tegenspreken.) Bijvoorbeeld deze taak:
Berekenen:
Zelfs in zo'n eenvoudig voorbeeld zijn er verschillende mogelijke wegen naar het antwoord.
De eerste is om eenvoudigweg de wortels te vermenigvuldigen met de eerste eigenschap en de wortel uit het resultaat te extraheren:
De tweede optie is deze: we raken het niet aan, we werken met . We halen de vermenigvuldiger onder het wortelteken vandaan en dan - volgens de eerste eigenschap. Zoals dit:
Je kunt zoveel beslissen als je wilt. Bij elk van de opties is het antwoord één - acht. Het is bijvoorbeeld gemakkelijker voor mij om 4 en 128 te vermenigvuldigen en 512 te krijgen, en de derdemachtswortel kan gemakkelijk uit dit getal worden afgeleid. Als iemand zich niet herinnert dat 512 8 in de derde macht is, dan maakt het niet uit: je kunt 512 schrijven als 2 9 (de eerste 10 machten van twee, ik hoop dat je dat nog weet?) en de formule gebruiken voor de wortel van de macht :
Nog een voorbeeld.
Bereken: .
Als je volgens de eerste eigenschap werkt (alles onder één wortel plaatsen), krijg je een flink getal, waaruit dan de wortel gehaald kan worden – ook geen suiker. En het is geen feit dat het precies zal worden geëxtraheerd.) Daarom is het hier nuttig om de factoren onder de wortel van het getal te verwijderen. En profiteer optimaal van:
En nu is alles in orde:
Het enige dat overblijft is om de acht en twee onder één wortel te schrijven (volgens de eerste eigenschap) en de klus is geklaard. :)
Laten we nu enkele breuken optellen.
Berekenen:
Het voorbeeld is vrij primitief, maar er zitten ook mogelijkheden in. Je kunt de vermenigvuldiger gebruiken om de teller te transformeren en te verkleinen met de noemer:
Of u kunt meteen de formule gebruiken voor het verdelen van wortels:
Zoals we zien is deze en die manier correct.) Als je niet halverwege struikelt en een fout maakt. Hoewel waar kan ik hier de fout ingaan...
Laten we nu eens kijken naar het allerlaatste voorbeeld uit het huiswerk van de laatste les:
Vereenvoudigen:
Een volkomen onvoorstelbaar stel wortels, en zelfs geneste. Wat moet ik doen? Het belangrijkste is om niet bang te zijn! Hier zien we eerst onder de wortels de getallen 2, 4 en 32 - machten van twee. Het eerste dat u moet doen, is alle getallen terugbrengen tot tweeën: hoe meer identieke getallen in het voorbeeld en hoe minder verschillende, hoe gemakkelijker het is.) Laten we afzonderlijk beginnen met de eerste factor:
Het getal kan worden vereenvoudigd door de twee onder de wortel te verminderen met de vier in de wortel-exponent:
Nu, volgens de wortel van het werk:
.
In het getal halen we de twee eruit als wortelteken:
En we behandelen de uitdrukking met behulp van de wortel van de wortelformule:
De eerste factor wordt dus als volgt geschreven:
De geneste wortels zijn verdwenen, de aantallen zijn kleiner geworden, wat al prettig is. Het is alleen zo dat de wortels anders zijn, maar dat laten we voorlopig zo. Indien nodig converteren we ze naar dezelfde. Laten we de tweede factor nemen.)
We transformeren de tweede factor op een vergelijkbare manier, met behulp van de formule van de wortel van het product en de wortel van de wortel. Waar nodig reduceren we de indicatoren met behulp van de vijfde formule:
We plakken alles in het originele voorbeeld en krijgen:
We hebben het product gekregen van een hele reeks totaal verschillende wortels. Het zou leuk zijn om ze allemaal op één indicator te brengen, en dan zullen we zien. Nou, het is heel goed mogelijk. De grootste van de wortel-exponenten is 12, en alle andere - 2, 3, 4, 6 - zijn delers van het getal 12. Daarom zullen we alle wortels volgens de vijfde eigenschap terugbrengen tot één exponent - 12:
We tellen en krijgen:
We hebben geen mooi aantal gekregen, maar dat is oké. Wij werden gevraagd vereenvoudigen expressie, niet graaf. Vereenvoudigd? Zeker! En het type antwoord (geheel getal of niet) speelt hier geen enkele rol meer.
Enkele formules voor optellen/aftrekken en verkorte vermenigvuldiging
Helaas zijn er algemene formules voor wortels optellen en aftrekken nee bij wiskunde. Bij taken worden deze acties met wortels echter vaak aangetroffen. Hier is het noodzakelijk om te begrijpen dat alle wortels precies dezelfde wiskundige symbolen zijn als letters in de algebra.) En dezelfde technieken en regels zijn van toepassing op wortels als op letters - haakjes openen, soortgelijke gebruiken, verkorte vermenigvuldigingsformules, enz. p.
Dat is bijvoorbeeld voor iedereen duidelijk. Precies hetzelfde identiek De wortels kunnen vrij eenvoudig van elkaar worden opgeteld/afgetrokken:
Als de wortels verschillend zijn, zoeken we naar een manier om ze hetzelfde te maken - door een vermenigvuldiger op te tellen/af te trekken of door de vijfde eigenschap te gebruiken. Als het op geen enkele manier wordt vereenvoudigd, zijn de transformaties misschien sluwer.
Laten we naar het eerste voorbeeld kijken.
Zoek de betekenis van de uitdrukking: .
Alle drie de wortels, hoewel kubisch, komen uit verschillend cijfers. Ze worden niet puur geëxtraheerd en worden van elkaar opgeteld/afgetrokken. Daarom werkt het gebruik van algemene formules hier niet. Wat moet ik doen? Laten we de factoren in elke wortel eruit halen. In ieder geval zal het niet erger zijn.) Bovendien zijn er feitelijk geen andere opties:
Daarom, .
Dat is de oplossing. Hier zijn we met hulp van verschillende wortels naar dezelfde verhuisd het verwijderen van de vermenigvuldiger onder de wortel. En toen brachten ze gewoon soortgelijke mee.) We beslissen verder.
Zoek de waarde van een expressie:
Er is absoluut niets dat je kunt doen aan de wortel van zeventien. We werken volgens de eerste eigenschap: we maken één wortel uit het product van twee wortels:
Laten we het nu eens nader bekijken. Wat zit er onder onze grote kubuswortel? Het verschil is qua... Nou ja, natuurlijk! Verschil van vierkanten:
Nu hoeft u alleen nog maar de wortel te extraheren: .
Berekenen:
Hier zul je wiskundig vernuft moeten tonen.) Wij denken ongeveer als volgt: “In het voorbeeld dus het product van wortels. Onder de ene wortel staat het verschil, en onder de andere de som. Zeer vergelijkbaar met de formule voor het verschil in vierkanten. Maar... De wortels zijn anders! De eerste is vierkant en de tweede is van de vierde graad. Het zou leuk zijn om ze hetzelfde te maken. Volgens de vijfde eigenschap kun je gemakkelijk een vierde wortel maken van een vierkantswortel. Om dit te doen is het voldoende om de radicale uitdrukking in het kwadraat te brengen.”
Als je hetzelfde hebt gedacht, ben je halverwege het succes. Absoluut gelijk! Laten we van de eerste factor een vierde wortel maken. Zoals dit:
Nu hoeft u niets te doen, maar u zult de formule voor het kwadraat van het verschil moeten onthouden. Alleen bij toepassing op de wortels. Dus wat? Waarom zijn wortels slechter dan andere getallen of uitdrukkingen?! Wij bouwen:
'Hmm, nou, ze hebben het opgericht, en dan? Mierikswortel is niet zoeter dan radijs. Stop! En als je de vier onder de wortel eruit haalt? Dan ontstaat dezelfde uitdrukking als onder de tweede wortel, alleen dan met een minteken, en dat is precies wat we proberen te bereiken!”
Rechts! Laten we er vier nemen:
.
En nu - een kwestie van technologie:
Dit is hoe complexe voorbeelden worden ontward.) Nu is het tijd om met breuken te oefenen.
Berekenen:
Het is duidelijk dat de teller moet worden omgezet. Hoe? Uiteraard met behulp van de formule van het kwadraat van de som. Hebben we nog andere opties? :) We kwadrateren het, halen de factoren eruit, verminderen de indicatoren (waar nodig):
Wauw! We hebben precies de noemer van onze breuk.) Dit betekent dat de hele breuk uiteraard gelijk is aan één:
Nog een voorbeeld. Alleen nu op een andere formule voor verkorte vermenigvuldiging.)
Berekenen:
Het is duidelijk dat in de praktijk het kwadraat van het verschil moet worden gebruikt. We schrijven de noemer apart op en - laten we gaan!
We halen de factoren onder de wortels vandaan:
Vandaar,
Nu is al het slechte uitstekend verminderd en het blijkt:
Nou, laten we het naar het volgende niveau brengen. :)
Brieven en aanvullende voorwaarden
Letterlijke uitdrukkingen met wortels zijn lastiger dan numerieke uitdrukkingen, en vormen een onuitputtelijke bron van vervelende en zeer ernstige fouten. Laten we deze bron sluiten.) Fouten ontstaan door het feit dat dergelijke taken vaak negatieve getallen en uitdrukkingen bevatten. Ze worden ons direct in de taak gegeven of erin verborgen brieven en aanvullende voorwaarden. En tijdens het werken met wortels moeten we dat voortdurend in de wortels onthouden zelfs graad zowel onder de wortel zelf als als gevolg van wortelextractie zou er moeten zijn niet-negatieve uitdrukking. De sleutelformule in de taken van deze paragraaf zal de vierde formule zijn:
Er zijn geen vragen met wortels van oneven graden - alles wordt er altijd uit gehaald, zowel positief als negatief. En de min wordt, als er iets is, naar voren gebracht. Laten we meteen naar de wortels gaan zelfs graden.) Bijvoorbeeld zo'n korte taak.
Vereenvoudigen: , Als .
Het lijkt erop dat alles eenvoudig is. Het zal gewoon X blijken te zijn.) Maar waarom dan de aanvullende voorwaarde? In dergelijke gevallen is het nuttig om met cijfers te schatten. Puur voor mezelf.) Als, dan is x uiteraard een negatief getal. Min drie bijvoorbeeld. Of min veertig. Laten . Kun jij min drie tot de vierde macht verheffen? Zeker! Het resultaat is 81. Is het mogelijk om de vierde wortel van 81 te extraheren? Waarom niet? Kan! Je krijgt er drie. Laten we nu onze hele keten analyseren:
Wat zien we? De input was een negatief getal en de output was al positief. Het was min drie, nu is het plus drie.) Laten we terugkeren naar de letters. Zonder twijfel zal het modulo precies X zijn, maar alleen X zelf is min (volgens voorwaarde!), en het resultaat van de extractie (vanwege de rekenkundige wortel!) moet plus zijn. Hoe krijg je een plus? Heel eenvoudig! Om dit te doen, plaatst u gewoon een minteken voor een duidelijk negatief getal.) En de juiste oplossing ziet er als volgt uit:
Trouwens, als we de formule zouden gebruiken, zouden we, als we de definitie van een module onthouden, onmiddellijk het juiste antwoord krijgen. Sinds
|x| = -x bij x<0.
Haal de factor uit het wortelteken: , Waar .
De eerste blik richt zich op de radicale uitdrukking. Alles is hier in orde. Het zal in ieder geval niet negatief zijn. Laten we beginnen met extraheren. Met behulp van de formule voor de wortel van een product extraheren we de wortel van elke factor:
Ik denk niet dat het nodig is om uit te leggen waar de modules vandaan komen.) Laten we nu elk van de modules analyseren.
Vermenigvuldiger | A | we laten het ongewijzigd: we stellen geen voorwaarden aan de briefA. We weten niet of het positief of negatief is. Volgende module |b2 | kan gerust worden weggelaten: in ieder geval de uitdrukkingb2 niet-negatief. Maar over |c3 | - er is hier al een probleem.) Als, Dan c3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть met een minpuntje: | c3 | = - c3 . In totaal zou de juiste oplossing zijn:
En nu - het omgekeerde probleem. Niet de gemakkelijkste, ik waarschuw je meteen!
Voer een vermenigvuldiger in onder het teken van de wortel: .
Als je de oplossing meteen zo opschrijft
dan jij in de val gelopen. Dit verkeerde beslissing! Wat is er aan de hand?
Laten we de uitdrukking onder de wortel eens nader bekijken. Onder de wortel van de vierde macht zou er, zoals we weten, moeten bestaan niet-negatief uitdrukking. Anders heeft de wortel geen betekenis.) Daarom En dit betekent op zijn beurt dat en daarom is het zelf ook niet-positief: .
En de fout hier is dat we het bij de wortel introduceren niet-positief nummer: de vierde graad verandert het in niet-negatief en het verkeerde resultaat wordt verkregen - aan de linkerkant is er een opzettelijk minpunt, en aan de rechterkant is er al een plus. En zet het bij de wortel zelfs mate waarin wij alleen het recht hebben niet-negatief cijfers of uitdrukkingen. En laat de min, als die er is, voor de wortel staan.) Hoe kunnen we een niet-negatieve factor in het getal selecteren, wetende dat het zelf volledig negatief is? Ja precies hetzelfde! Zet een minpuntje.) En zodat er niets verandert, compenseer je dit met een ander minpuntje. Zoals dit:
En nu al niet-negatief We voeren rustig het getal (-b) onder de wortel in volgens alle regels:
Dit voorbeeld laat duidelijk zien dat, in tegenstelling tot andere takken van de wiskunde, in de wortels het juiste antwoord niet altijd automatisch uit de formules volgt. Je moet nadenken en persoonlijk de juiste beslissing nemen.) Je moet vooral voorzichtiger zijn met de tekens erin irrationele vergelijkingen en ongelijkheden.
Laten we eens kijken naar de volgende belangrijke techniek bij het werken met wortels: het wegwerken van irrationaliteit.
Het elimineren van irrationaliteit in breuken
Als de uitdrukking wortels bevat, dan wil ik u eraan herinneren dat zo'n uitdrukking wordt genoemd expressie met irrationaliteit. In sommige gevallen kan het nuttig zijn om van deze irrationaliteit (d.w.z. wortels) af te komen. Hoe kun je de wortel verwijderen? Onze wortel verdwijnt wanneer... verheven tot een macht. Met een indicator die gelijk is aan de wortelindicator of een veelvoud daarvan. Maar als we de wortel verheffen tot een macht (dat wil zeggen de wortel het vereiste aantal keren met zichzelf vermenigvuldigen), dan zal de uitdrukking veranderen. Niet goed.) In de wiskunde zijn er echter onderwerpen waarbij vermenigvuldigen vrij pijnloos is. In breuken bijvoorbeeld. Volgens de basiseigenschap van een breuk zal de waarde van de breuk niet veranderen als de teller en de noemer door hetzelfde getal worden vermenigvuldigd (gedeeld).
Laten we zeggen dat we deze breuk krijgen:
Is het mogelijk om van de wortel in de noemer af te komen? Kan! Om dit te doen, moet de wortel in blokjes worden gesneden. Wat missen we in de noemer voor een volledige kubus? We missen een vermenigvuldiger, d.w.z.. Dus vermenigvuldigen we de teller en de noemer van de breuk met
De wortel in de noemer is verdwenen. Maar... hij verscheen in de teller. Er kan niets worden gedaan, dat is het lot.) Dit is voor ons niet langer belangrijk: ons werd gevraagd de noemer van de wortels te bevrijden. Uitgegeven? Ongetwijfeld.)
Trouwens, degenen die al vertrouwd zijn met trigonometrie hebben er misschien aandacht aan besteed dat ze in sommige leerboeken en tabellen bijvoorbeeld anders aanduiden: ergens en ergens . De vraag is: wat is juist? Antwoord: alles klopt!) Als je dat raadt– dit is eenvoudigweg het resultaat van de bevrijding van de irrationaliteit in de noemer van de breuk. :)
Waarom zouden we ons moeten bevrijden van irrationaliteit in breuken? Wat maakt het uit: de wortel ligt in de teller of in de noemer? De rekenmachine berekent toch alles.) Welnu, voor degenen die geen afstand doen van een rekenmachine, is er eigenlijk praktisch geen verschil... Maar zelfs als je op een rekenmachine rekent, kun je er op letten dat verdeling op geheel nummer is altijd handiger en sneller dan aan irrationeel. En ik zwijg over de indeling in een kolom.)
Het volgende voorbeeld zal mijn woorden alleen maar bevestigen.
Hoe kunnen we hier de vierkantswortel van de noemer elimineren? Als de teller en de noemer met de uitdrukking worden vermenigvuldigd, is de noemer het kwadraat van de som. De som van de kwadraten van het eerste en tweede getal geeft ons alleen getallen zonder wortels, wat erg prettig is. Maar... het zal verschijnen dubbel produkt van het eerste getal tot het tweede, waar de wortel van drie nog steeds zal blijven bestaan. Het kanaliseert niet. Wat moet ik doen? Onthoud nog een prachtige formule voor verkorte vermenigvuldiging! Waar er geen dubbele producten zijn, maar alleen vierkanten:
Een uitdrukking die, vermenigvuldigd met een bepaalde som (of verschil), oplevert verschil in vierkanten, ook wel genoemd geconjugeerde uitdrukking. In ons voorbeeld zal de geconjugeerde uitdrukking het verschil zijn. Dus vermenigvuldigen we de teller en de noemer met dit verschil:
Wat kan ik zeggen? Als gevolg van onze manipulaties verdween niet alleen de wortel van de noemer, maar verdween de breuk zelfs helemaal! :) Zelfs met een rekenmachine is het aftrekken van de wortel van drie van een drie eenvoudiger dan het berekenen van een breuk met de wortel in de noemer. Nog een voorbeeld.
Bevrijd jezelf van de irrationaliteit in de noemer van een breuk:
Hoe kom je hieruit? Formules voor verkorte vermenigvuldiging met vierkanten werken niet meteen - het zal niet mogelijk zijn om de wortels volledig te elimineren vanwege het feit dat onze wortel deze keer niet vierkant is, maar kubieke. Het is noodzakelijk dat de wortel op de een of andere manier in een kubus wordt gebracht. Daarom moet een van de formules met kubussen worden gebruikt. Welke? Laten we erover nadenken. De noemer is de som. Hoe kunnen we de kubus van de wortel bereiken? Vermenigvuldig met gedeeltelijk kwadratisch verschil! We zullen de formule dus toepassen som van kubussen. Deze:
Als A we hebben er drie, en als kwaliteit B– derdemachtswortel van vijf:
En opnieuw verdween de breuk.) Dergelijke situaties waarin, wanneer bevrijd van irrationaliteit in de noemer van een breuk, de breuk zelf volledig verdwijnt samen met de wortels, komen heel vaak voor. Wat vind jij van dit voorbeeld!
Berekenen:
Probeer deze drie breuken maar eens op te tellen! Geen fouten! :) Eén gemene deler is de moeite waard. Wat als we zouden proberen onszelf te bevrijden van de irrationaliteit in de noemer van elke breuk? Nou, laten we het proberen:
Wauw, wat interessant! Alle breuken zijn verdwenen! Volledig. En nu kan het voorbeeld op twee manieren worden opgelost:
Eenvoudig en elegant. En zonder lange en vervelende berekeningen. :)
Daarom moet men in staat zijn de bevrijdingsoperatie van de irrationaliteit in fracties uit te voeren. In zulke verfijnde voorbeelden is dit het enige dat bespaart, ja.) Natuurlijk heeft niemand de aandacht geannuleerd. Er zijn taken waarbij van je wordt gevraagd om irrationaliteit kwijt te raken teller. Deze taken verschillen niet van de taken die in beschouwing zijn genomen, alleen de teller wordt vanaf de wortels verwijderd.)
Complexere voorbeelden
Er moeten nog enkele speciale technieken worden overwogen voor het werken met wortels en het oefenen van het ontwarren, niet de eenvoudigste voorbeelden. En dan zal de ontvangen informatie voldoende zijn om taken op te lossen met wortels van elk niveau van complexiteit. Dus ga je gang.) Laten we eerst eens kijken wat we met geneste wortels moeten doen als de wortel-van-wortel-formule niet werkt. Hier is bijvoorbeeld een voorbeeld.
Berekenen:
De wortel ligt onder de wortel... Bovendien ligt onder de wortels de som of het verschil. Daarom is hier de formule voor de wortel van de wortel (met vermenigvuldiging van exponenten). werkt niet. Er moet dus iets aan gedaan worden radicale uitingen: We hebben simpelweg geen andere opties. In dergelijke voorbeelden wordt meestal de grote root gecodeerd perfecte vierkant een bepaald bedrag. Of verschillen. En de wortel van het vierkant is al perfect geëxtraheerd! En nu is het onze taak om het te ontsleutelen.) Een dergelijke ontsleuteling wordt prachtig uitgevoerd systeem van vergelijkingen. Nu zul je alles zelf zien.)
Dus onder de eerste wortel hebben we deze uitdrukking:
Wat als je het niet goed hebt geraden? Laten we het controleren! We kwadrateren het met behulp van de formule voor het kwadraat van de som:
Dat klopt.) Maar... Waar heb ik deze uitdrukking vandaan? Vanuit de lucht?
Nee.) Eerlijk gezegd krijgen we het iets lager. Door simpelweg deze uitdrukking te gebruiken, laat ik precies zien hoe taakschrijvers dergelijke vierkanten coderen. :) Wat is 54? Dit som van de kwadraten van het eerste en tweede getal. En let op, al zonder wortels! En de wortel blijft erin dubbel produkt, wat in ons geval gelijk is aan . Daarom begint het ontrafelen van dergelijke voorbeelden met het zoeken naar het dubbele product. Als je het ontrafelt met de gebruikelijke selectie. En trouwens, over borden. Alles is hier eenvoudig. Als er een plus vóór het dubbele staat, dan is het kwadraat van de som. Als het een min is, dan zijn er de verschillen.) We hebben een plus – wat het kwadraat van de som betekent.) En nu – de beloofde analytische decoderingsmethode. Via het systeem.)
Onder onze wortel hangt dus duidelijk de uitdrukking (a+b) 2, en onze taak is om te vinden A En B. In ons geval geeft de som van de kwadraten 54. We schrijven dus:
Verdubbel nu het product. Wij hebben het. Dus schrijven we het op:
Wij hebben dit systeem:
We lossen het op via de gebruikelijke substitutiemethode. We drukken bijvoorbeeld uit op basis van de tweede vergelijking en vervangen deze door de eerste:
Laten we de eerste vergelijking oplossen:
Ontvangen bikwadraats vergelijking relatiefA . We berekenen de discriminant:
Middelen,
We hebben maar liefst vier mogelijke waardenA. Wij zijn niet bang. Nu zullen we alle onnodige dingen verwijderen.) Als we nu de overeenkomstige waarden berekenen voor elk van de vier gevonden waarden, krijgen we vier oplossingen voor ons systeem. Hier zijn ze:
En hier is de vraag: welke oplossing is de juiste voor ons? Laten we erover nadenken. Negatieve oplossingen kunnen onmiddellijk worden weggegooid: bij het kwadrateren zullen de minnen "doorbranden", en de hele radicale uitdrukking als geheel zal niet veranderen.) De eerste twee opties blijven bestaan. Je kunt ze volledig willekeurig kiezen: het herschikken van de termen verandert nog steeds niets aan de som.) Laten we bijvoorbeeld a .
In totaal kregen we het kwadraat van de volgende som onder de wortel:
Alles is duidelijk.)
Niet voor niets beschrijf ik het besluitvormingsproces zo gedetailleerd. Om duidelijk te maken hoe decodering plaatsvindt.) Maar er is één probleem. De analytische decoderingsmethode, hoewel betrouwbaar, is erg lang en omslachtig: je moet een bikwadratische vergelijking oplossen, vier oplossingen voor het systeem krijgen en dan nog nadenken over welke je moet kiezen... Verontrustend? Ik ben het ermee eens, het is lastig. Deze methode werkt in de meeste van deze voorbeelden feilloos. Vaak kunt u uzelf echter veel werk besparen en beide cijfers creatief vinden. Door selectie.) Ja, ja! Aan de hand van het voorbeeld van de tweede term (tweede wortel) zal ik nu een gemakkelijkere en snellere manier laten zien om het volledige vierkant onder de wortel te isoleren.
Dus nu hebben we deze wortel: 
.
Laten we als volgt denken: “Onder de wortel bevindt zich hoogstwaarschijnlijk een gecodeerd compleet vierkant. Zodra er een min vóór het dubbele staat, betekent dit het kwadraat van het verschil. De som van de kwadraten van het eerste en tweede getal geeft ons het getal 54. Maar wat voor vierkanten zijn dit? 1 en 53? 49 en 5 ? Er zijn te veel opties... Nee, het is beter om te beginnen met ontwarren met het dubbele product. Onskan worden geschreven als . Zodra het product verdubbeld, dan gooien we de twee onmiddellijk weg. Dan kandidaten voor de rol a en b blijven 7 en . Wat als het 14 is en/2 ? Het is mogelijk. Maar we beginnen altijd met iets simpels!” Dus, laat een . Laten we ze controleren op de som van de kwadraten:
Het werkte! Dit betekent dat onze radicale uitdrukking feitelijk het kwadraat van het verschil is:
Hier is een eenvoudige manier om te voorkomen dat u met het systeem knoeit. Het werkt niet altijd, maar in veel van deze voorbeelden is het ruim voldoende. Onder de wortels bevinden zich dus complete vierkanten. Het enige dat overblijft is om de wortels correct te extraheren en het voorbeeld te berekenen:
Laten we nu eens kijken naar een nog meer niet-standaard taak met betrekking tot wortels.)
Bewijs dat het getal A– geheel getal, als .
Niets wordt direct geëxtraheerd, de wortels zijn ingebed, en zelfs van verschillende gradaties... Een nachtmerrie! De taak is echter logisch.) Daarom is er een sleutel om het op te lossen.) En de sleutel hier is deze. Denk aan onze gelijkheid
Hoe vergelijking relatief A. Ja, ja! Het zou leuk zijn om van de wortels af te komen. Onze wortels zijn kubisch, dus laten we beide kanten van de vergelijking kubusvormig maken. Volgens de formule kubus van de som:
Kubussen en kubieke wortels heffen elkaar op, en onder elke grote wortel nemen we een haakje van het vierkant en vouwen het product van het verschil en de som samen in een verschil van vierkanten:
Afzonderlijk berekenen we het verschil in vierkanten onder de wortels:
Laden...
