Болъё АТэгээд INЭнэ туршилтанд авч үзсэн хоёр үйл явдал юм. Энэ тохиолдолд үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалд нөлөөлж болно. Жишээлбэл, ямар нэгэн үйл явдал тохиолдох Аүйл явдалд нөлөөлж болно INэсвэл эсрэгээр. Зарим үйл явдлууд бусдаас ийм хамааралтай байдгийг харгалзан үзэхийн тулд нөхцөлт магадлалын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.
Тодорхойлолт.Хэрэв үйл явдлын магадлал INүйл явдал болсон нөхцөлд олддог Аболсон, дараа нь үйл явдлын үр дүнд үүсэх магадлал INдуудсан нөхцөлт магадлалүйл явдал IN. Ийм нөхцөлт магадлалыг тэмдэглэхийн тулд дараах тэмдэглэгээг ашиглана. rА ( IN) эсвэл r(IN / А).
Тайлбар 2. Нөхцөлт магадлалаас ялгаатай нь ямар нэгэн үйл явдал тохиолдох нөхцөл бүрдсэн тохиолдолд "нөхцөлгүй" магадлалыг мөн авч үздэг. INбайхгүй байна.
Жишээ. Цүнхэнд 3 улаан, 2 хөх зэрэг 5 бөмбөг байна. Бөмбөгийг нэг нэгээр нь буцааж, буцаахгүйгээр гаргаж авдаг. Эхний удаа зурсан тохиолдолд улаан бөмбөгийг хоёр дахь удаагаа зурах нөхцөлт магадлалыг ол: a) улаан бөмбөг; б) цэнхэр бөмбөг.
Үйл явдал болъё А– анх удаа улаан бөмбөг зурах, үйл явдал IN- улаан бөмбөгийг хоёр дахь удаагаа зурах. Энэ нь ойлгомжтой r(А) = 3/5; анх удаа гаргаж авсан бөмбөг саванд буцаж ирэх тохиолдолд, r(IN)=3/5. Хэрэв устгасан бөмбөгийг буцааж өгөхгүй бол улаан бөмбөг зурах магадлал өндөр байна r(IN) аль бөмбөгийг анх зурсанаас хамаарна - улаан (үйл явдал А) эсвэл цэнхэр (үйл явдал). Дараа нь эхний тохиолдолд rА ( IN) = 2/4, хоёр дахь нь ( IN) = 3 / 4.
Нэг нь нөгөө нь тохиолдох үед тохиолдох үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем
Хоёр үйл явдлын магадлал нь эхний үйл явдал болсон гэсэн таамаглалаар олдсон аль нэгнийх нь магадлал ба нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
r(A ∙ B) = r(А) ∙ rА ( IN) . (1.7)
Баталгаа. Нээрээ л байя n – нийт тооадил боломжтой бөгөөд үл нийцэх (анхан шатны) тестийн үр дүн. Тэгээд зөвшөөр n 1 - үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо А, аль нь түрүүлж ирдэг, ба м– үйл явдал болсон үр дүнгийн тоо INүйл явдал гэж үзвэл Аирлээ. Тиймээс, мнь тухайн үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо юм IN.Дараа нь бид авах:
Тэдгээр. хэд хэдэн үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын аль нэгний магадлалыг бусдын нөхцөлт магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү бөгөөд нөхцөлт магадлалдараагийн үйл явдал бүрийг өмнөх бүх үйл явдал болсон гэсэн таамаглалаар тооцно.
Жишээ. 10 тамирчинтай багт 4 спортын мастер бий. Сугалаагаар багаас 3 тамирчин шалгардаг. Сонгогдсон тамирчид бүгд спортын мастер байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Асуудлыг "urn" загвар болгон бууруулъя, өөрөөр хэлбэл. 10 бөмбөг агуулсан саванд 4 улаан, 6 цагаан бөмбөг байна гэж бодъё. Энэ савнаас санамсаргүй байдлаар 3 бөмбөг сугалж авна (сонголт С= 3). Үйл явдал болъё А 3 бөмбөг гаргаж авахаас бүрдэнэ. Асуудлыг сонгодог схемийн дагуу болон (1.9) томъёоны дагуу хоёр аргаар шийдэж болно.
Комбинаторикийн томъёонд суурилсан эхний арга:
Хоёр дахь арга (1.9) томъёоны дагуу). 3 бөмбөгийг орлуулахгүйгээр савнаас дараалан гаргаж авдаг. Болъё А 1 - эхний зурсан бөмбөг улаан, А 2 - хоёр дахь зурсан бөмбөг улаан, А 3 - гурав дахь зурсан бөмбөг улаан байна. Мөн арга хэмжээг явуулъя Асугалсан 3 бөмбөг бүгд улаан байна гэсэн үг. Дараа нь: А = А 1 ∙ (А 2 / А 1) ∙ А 3 / (А 1 ∙ А 2), өөрөөр хэлбэл.
Жишээ.Картуудын багцаас аваарай a, a, p, b, o, tкартуудыг нэг нэгээр нь дараалан арилгадаг. гэдэг үгийг хүлээж авах магадлал хэд вэ? Ажил” тэдгээрийг зүүнээс баруун тийш нэг мөрөнд дараалан нугалахад?
Болъё IN– зарласан үгийг олж авсан үйл явдал. Дараа нь (1.9) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
r(IN) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.
Магадлалын үржүүлэх теорем нь үржвэр нь бие биенээсээ хамааралгүй үйл явдлуудаар үүсгэгдсэн тохиолдолд хамгийн энгийн хэлбэрээ авдаг.
Тодорхойлолт.Үйл явдал INдуудсан бие даасанарга хэмжээнээс А, хэрэв үйл явдал болсон эсэхээс хамааран түүний магадлал өөрчлөгдөхгүй бол Аэсвэл үгүй. Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдох магадлал өөрчлөгддөггүй (өөрчлөгддөг) хоёр үйл явдлыг бие даасан (хамааралтай) гэж нэрлэдэг. Тиймээс бие даасан үйл явдлын хувьд p(B/А) = r(IN) эсвэл = r(IN), мөн хамааралтай үйл явдлуудын хувьд r(IN/А)
А үйл явдал гэж нэрлэдэг бие даасанА үйл явдлын магадлал нь В үйл явдал болох эсэхээс хамаарахгүй бол В үйл явдлаас. А үйл явдал гэж нэрлэдэг хамааралтайБ үйл явдал болох эсэхээс хамаарч А үйл явдлын магадлал өөрчлөгдвөл В үйл явдлаас.
В үйл явдал аль хэдийн тохиолдсон нөхцөлд тооцсон А үйл явдлын магадлалыг А үйл явдлын нөхцөлт магадлал гэж нэрлээд .
А үйл явдлын В үйл явдлаас хамааралгүй байх нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж болно 
.
Магадлалын үржүүлэх теорем.Хоёр үйл явдал тохиолдох магадлал нь эхний тохиолдлын дагуу тооцоолсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал ба нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Хэрэв А үйл явдал В үйл явдлаас хамаарахгүй бол В үйл явдал А үйл явдлаас хамаарахгүй. Түүнээс гадна үйл явдал болох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
.
Жишээ 14. 10 хэсэг бүхий 3 хайрцаг байна. Эхний хайрцагт 8, хоёр дахь нь 7, гурав дахь нь 9 стандарт хэсгийг агуулдаг. Хайрцаг бүрээс нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Гаргасан гурван хэсэг бүгд стандарт байх магадлалыг ол.
Эхний хайрцагнаас стандарт хэсгийг авах магадлал (А үйл явдал) тэнцүү байна 
. Хоёрдахь хайрцагнаас стандарт хэсгийг салгах магадлал (В үйл явдал) тэнцүү байна 
. Гурав дахь хайрцагнаас стандарт хэсгийг хасах магадлал (С үйл явдал) тэнцүү байна 
.
А, В, С үйл явдлууд нь бие даасан байдаг тул үржүүлэх теоремоор шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
Нэмэх ба үржүүлэх теоремуудыг хамтран ашиглах жишээг өгье.
Жишээ 15.А 1 ба А 2 бие даасан үйл явдлуудын тохиолдох магадлал нь p 1 ба p 2-тай тэнцүү байна. Эдгээр үйл явдлуудын зөвхөн нэг нь (А үйл явдал) тохиолдох магадлалыг ол. Эдгээр үйл явдлуудын ядаж нэг нь (В үйл явдал) тохиолдох магадлалыг ол.
Эсрэг үйл явдлын магадлалыг тэмдэглэе 
Тэгээд 
q 1 =1-p 1 ба q 2 =1-p 2-оор дамжуулан.
Хэрэв А үйл явдал тохиолдох болно үйл явдал болноА 1 ба А 2 үйл явдал тохиолдохгүй, эсвэл А 2 үйл явдал тохиолдож, А 1 үйл явдал тохиолдохгүй бол. Тиймээс,
Хэрэв А үйл явдал тохиолдвол эсвэл А 1 ба А 2 үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдвол В үйл явдал тохиолдох болно. Тиймээс,
В үйл явдлын магадлалыг өөрөөр тодорхойлж болно. Үйл явдал 
В үйл явдлын эсрэг тал нь А 1 ба А 2 үйл явдал хоёулаа тохиолдохгүй. Тиймээс бие даасан үйл явдлуудын магадлалын үржүүлэх теоремыг ашиглан бид олж авна
Энэ нь өмнө нь олж авсан илэрхийлэлтэй давхцаж байгаа тул таних тэмдэг байна
7. Нийт магадлалын томъёо. Бэйсийн томъёо.
Теорем 1. Ийм үйл явдал болсон гэж бодъё 
хосоор үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг бүрдүүлнэ (ийм үйл явдлыг таамаглал гэж нэрлэдэг). А нь дурын үйл явдал байг. Дараа нь А үйл явдлын магадлалыг томъёогоор тооцоолж болно
Баталгаа.Таамаглалууд нь бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул , ба, тиймээс,.
Таамаглал нь хосоороо үл нийцэх үйл явдлууд байдаг тул үйл явдлууд нь хосоороо үл нийцдэг. Магадлалыг нэмэх теоремоор
Одоо магадлалын үржүүлэх теоремыг ашигласнаар бид олж авна
Формула (1)-ийг нийт магадлалын томъёо гэж нэрлэдэг. Үүнийг товчилсон хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно
.
А үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг болзолгүй магадлалаас тооцоолоход хялбар бол томъёо нь ашигтай.
Жишээ 16. 36 хөзрийн 3 давцан, 52 хөзрийн 2 тавцантай. Бид санамсаргүй байдлаар нэг тавцан, түүнээс нэг картыг санамсаргүй байдлаар сонгоно. Сугалсан хөзрийг хөзрийн тамга байх магадлалыг ол.
Сугалсан хөзөр хөзрийн тамга болох үйл явдлыг А гэж үзье. Хоёр таамаглалыг авч үзье.
- картыг 36 картын тавцангаас авсан,
- 52 картын тавцангаас картыг татсан.
А үйл явдлын магадлалыг тооцоолохын тулд бид нийт магадлалын томъёог ашиглана.
Теорем 2. Ийм үйл явдал болсон гэж бодъё 
хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг бүрдүүлнэ. А нь дурын үйл явдал байг. Таамаглалын нөхцөлт магадлал 
А үйл явдал болсон гэж үзвэл Байесийн томъёогоор тооцоолж болно.
Баталгаа.Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремоос .
.
Нийт магадлалын томъёог ашигласнаар бид (2) авна.
Таамаглалын магадлал 
априори гэж нэрлэдэг ба таамаглалуудын магадлал 
А үйл явдал болсон тохиолдолд үүнийг posteriori гэж нэрлэдэг. Бэйсийн томъёог бас таамаглалын магадлалын томьёо гэж нэрлэдэг.
Жишээ 17. 2 сав байна. Эхний саванд 2 цагаан, 4 хар бөмбөлөг, хоёр дахь саванд 7 цагаан, 5 хар бөмбөг байна. Бид санамсаргүй байдлаар ургамлыг сонгож, түүнээс нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурдаг. Энэ нь хар өнгөтэй болсон (А үйл явдал болсон). Бөмбөгийг эхний савнаас гаргаж авсан байх магадлалыг ол (таамгаар 
). Бөмбөгийг хоёр дахь савнаас гаргаж авсан байх магадлалыг ол (таамаглал 
).
Бэйсийн томьёог хэрэгжүүлье:
,
.
Жишээ 18. Тус үйлдвэрт боолтыг гурван машин үйлдвэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь нийт боолтны 25, 35, 40 хувийг тус тус үйлдвэрлэдэг. Эдгээр машинуудын бүтээгдэхүүний гэмтэл нь 5%, 4%, 2% байна. Гурван машины бүтээгдэхүүнээс нэг боолтыг сонгосон. Энэ нь гэмтэлтэй болсон (А үйл явдал). Боолтыг эхний, хоёр, гурав дахь машин сулласан байх магадлалыг ол.
Болъё 
- боолтыг анхны машинаар сулласан үйл явдал, 
- хоёр дахь машин, 
- гурав дахь машин. Эдгээр үйл явдлууд нь хосоороо үл нийцэх бөгөөд бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг. Bayes томъёог ашиглацгаая
Үүний үр дүнд бид авдаг
,
,
.
Мөн хийх даалгавар байх болно бие даасан шийдвэр, үүний хариултыг харж болно.
Асуудлын ерөнхий мэдэгдэл: зарим үйл явдлын магадлал нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд эдгээр үйл явдлуудтай холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй. Эдгээр асуудлуудад магадлалыг нэмэх, үржүүлэх гэх мэт магадлалын үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай байдаг.
Жишээ нь, ан хийж байхдаа хоёр сум хийдэг. Үйл явдал А- эхний сумаар нугас цохих, үйл явдал Б- хоёр дахь цохилтоос цохисон. Дараа нь үйл явдлын нийлбэр АТэгээд Б- эхний эсвэл хоёр дахь цохилтоор эсвэл хоёр цохилтоор цохих.
Өөр төрлийн асуудал. Хэд хэдэн үйл явдлуудыг өгдөг, жишээлбэл, зоосыг гурван удаа шиддэг. Сүлд гурвууланд нь гарч ирэх, эсвэл ядаж нэг удаа сүлд гарч ирэх магадлалыг олох хэрэгтэй. Энэ бол магадлалыг үржүүлэх бодлого юм.
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх
Магадлалыг нэмэх нь санамсаргүй үйл явдлын хослол эсвэл логик нийлбэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед ашиглагддаг.
Үйл явдлын нийлбэр АТэгээд Бтэмдэглэнэ А + Бэсвэл А ∪ Б. Хоёр үйл явдлын нийлбэр нь аль нэг үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм. Энэ нь гэсэн үг А + Б– ажиглалтын явцад тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдох үйл явдал Аэсвэл үйл явдал Б, эсвэл нэгэн зэрэг АТэгээд Б.
Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд Бхарилцан үл нийцэх ба тэдгээрийн магадлалыг өгвөл нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг магадлалыг нэмэх замаар тооцоолно.
Магадлалын нэмэх теорем.Хоёр бие биендээ үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Жишээ нь, ан хийж байхдаа хоёр сум хийдэг. Үйл явдал А– эхний сумаар нугас цохих, үйл явдал IN– хоёр дахь удаагийн цохилт, үйл явдал ( А+ IN) – эхний болон хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос авсан цохилт. Тэгэхээр, хэрэв хоёр үйл явдал бол АТэгээд IN- нийцэхгүй үйл явдлууд, тэгвэл А+ IN– эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг эсвэл хоёр үйл явдал тохиолдсон.
Жишээ 1.Нэг хайрцагт ижил хэмжээтэй 30 бөмбөг байна: 10 улаан, 5 цэнхэр, 15 цагаан. Өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг харахгүйгээр авах магадлалыг тооцоол.
Шийдэл. Үйл явдал болсон гэж үзье А- "улаан бөмбөгийг авлаа", мөн үйл явдал IN- "Цэнхэр бөмбөгийг авсан." Дараа нь үйл явдал нь "өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг авдаг." Үйл явдлын магадлалыг олцгооё А:
болон үйл явдлууд IN:
Үйл явдал АТэгээд IN- бие биедээ үл нийцэх, учир нь нэг бөмбөг авбал бөмбөг авах боломжгүй өөр өөр өнгө. Тиймээс бид магадлалын нэмэгдлийг ашигладаг:
Хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хэрэв үйл явдлууд үйл явдлын иж бүрдлийг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь мөн 1-тэй тэнцүү байна.
Эсрэг үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бөгөөд үйл явдлын бүрэн багцын магадлал 1 байна.
Эсрэг үйл явдлын магадлалыг ихэвчлэн жижиг үсгээр тэмдэглэдэг хТэгээд q. Ялангуяа,
Үүний эсрэг үйл явдлын магадлалын дараах томьёо гаргана.
Жишээ 2.Буудлагын талбайн бай нь 3 бүсэд хуваагдана. Тодорхой мэргэн бууч эхний бүсэд 0.15, хоёрдугаар бүсэд 0.23, гурав дахь бүсэд 0.17 байна. Буудагч бай онох магадлал, буудагч байг алдах магадлалыг ол.
Шийдэл: Буудагч байг онох магадлалыг ол:
Буудагч байг алдах магадлалыг олцгооё.
Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.
Харилцан нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлын магадлалыг нэмэх
Хэрэв нэг үйл явдал тохиолдсон нь нэг ажиглалтад хоёр дахь үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол санамсаргүй хоёр үйл явдлыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээ нь, үхэл шидэх үед үйл явдал Атоо 4 гарч цувисан гэж үзэж байна, үйл явдал IN- тэгш тоогоор эргэлддэг. 4 нь тэгш тоо тул хоёр үйл явдал таарч байна. Практикт харилцан нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг.
Хамтарсан үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем.Хамтарсан үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс хоёр үйл явдлын нийтлэг тохиолдох магадлалыг, өөрөөр хэлбэл магадлалын үржвэрийг хассан байна. Хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
Үйл явдлуудаас хойш АТэгээд INнийцтэй, үйл явдал А+ INГурван боломжит үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол тохиолддог: эсвэл AB. Тохиромжгүй үйл явдлыг нэмэх теоремын дагуу бид дараах байдлаар тооцоолно.
Үйл явдал АХэрэв үл нийцэх хоёр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол гарна: эсвэл AB. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлуудаас нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үүний нэгэн адил:
(6) ба (7) илэрхийллийг (5) илэрхийлэлд орлуулснаар бид хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёог олж авна.
Томъёо (8) ашиглахдаа үйл явдлыг харгалзан үзэх шаардлагатай АТэгээд INбайж болно:
- харилцан бие даасан;
- харилцан хамааралтай.
Харилцан хамааралгүй үйл явдлын магадлалын томъёо:
Харилцан хамааралтай үйл явдлын магадлалын томъёо:
Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд INнийцэхгүй байгаа бол тэдгээрийн давхцал нь боломжгүй тохиолдол бөгөөд иймээс, П(AB) = 0. Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын дөрөв дэх томьёо нь:
Жишээ 3.Автомашины уралдаанд эхний машинаа жолоодоход түрүүлэх магадлал өндөр, хоёр дахь машинаа жолоодоход түрүүлэх магадлал өндөр байдаг. Олно:
- хоёр машин хоёулаа ялах магадлал;
- дор хаяж нэг машин ялах магадлал;
1) Эхний машин ялах магадлал нь хоёр дахь машины үр дүнгээс хамаардаггүй тул үйл явдлууд А(эхний машин ялна) ба IN(хоёр дахь машин ялах болно) - бие даасан үйл явдал. Хоёр машин хожих магадлалыг олъё:
2) Хоёр машины аль нэг нь ялах магадлалыг ол.
Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.
Магадлалын нэмэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 4.Хоёр зоос шидэж байна. Үйл явдал А- эхний зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдал Б- хоёр дахь зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдлын магадлалыг ол C = А + Б .
Үржүүлэх магадлал
Үйл явдлын логик үржвэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед магадлалын үржвэрийг ашигладаг.
Энэ тохиолдолд санамсаргүй үйл явдлууд бие даасан байх ёстой. Нэг үйл явдал тохиолдсон нь хоёр дахь үйл явдлын магадлалд нөлөөлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие биенээсээ хамааралгүй гэж нэрлэдэг.
Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал АТэгээд INнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.
Жишээ 5.Зоосыг гурван удаа дараалан шиддэг. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Шийдэл. Зоосыг эхний шидэх, хоёр дахь, гурав дахь удаагаа шидэхэд сүлд харагдах магадлал. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг олъё.
Магадлалыг үржүүлэх бодлогыг бие даан шийдэж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 6.Есөн шинэ теннисний бөмбөгний хайрцаг байна. Тоглохын тулд гурван бөмбөг авч, тоглолтын дараа буцааж тавьдаг. Бөмбөгийг сонгохдоо тоглосон бөмбөгийг тоглоогүй бөмбөгөөс ялгадаггүй. Үүний дараа гарах магадлал хэд вэ гурван тоглоомХайрцагт тоглоогүй бөмбөг үлдсэн үү?
Жишээ 7.Орос цагаан толгойн 32 үсэг нь хайчлагдсан цагаан толгойн карт дээр бичигдсэн байдаг. Таван картыг санамсаргүй байдлаар ар араасаа зурж, харагдах дарааллаар нь ширээн дээр тавьдаг. Үсгүүд "төгсгөл" гэдэг үгийг үүсгэх магадлалыг ол.
Жишээ 8.Бүрэн тавцангаас (52 хуудас) дөрвөн картыг нэг дор гаргаж авдаг. Эдгээр дөрвөн карт бүгд өөр өөр костюмтай байх магадлалыг ол.
Жишээ 9. 8-р жишээтэй ижил даалгавар, гэхдээ карт бүрийг устгасны дараа тавцан руу буцаана.
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх, мөн хэд хэдэн үйл явдлын үржвэрийг тооцоолох шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас олж болно.
Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг 1-ээс эсрэг үйл явдлын магадлалын үржвэрийг хасч, өөрөөр хэлбэл томъёог ашиглан тооцоолж болно.
Тодорхойлолт. Бүтээгдэхүүн эсвэл уулзварА ба В үйл явдлууд нь А ба В үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдохоос бүрдэх үйл явдал юм. Бүтээгдэхүүний тэмдэглэгээ: AB эсвэл A B.
Жишээ. Байгаа хоёр удаа онох нь хоёр үйл явдлын үр дүн юм. Шалгалтын тасалбар дээрх хоёр асуултын хариулт нь хоёр үйл явдлын үр дүн юм.
А ба В үйл явдлуудыг дуудна нийцэхгүй, хэрэв тэдний бүтээгдэхүүн нь боломжгүй үйл явдал бол, i.e. AB = V.
А үйл явдал - төрийн сүлд алдагдах ба В - нэг зоос шидэх үед тоо алдагдах нь нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй, тэдгээрийг бий болгох боломжгүй, А ба В үйл явдал нь нийцэхгүй байна.
Үйл явдлын нийлбэр ба үржвэрийн тухай ойлголтууд нь тодорхой геометрийн тайлбартай байдаг.
Цагаан будаа. 6.4. Хоёр хамтарсан үйл явдлын үржвэр (a) ба нийлбэр (b)-ийн геометрийн тайлбар
А үйл явдлыг А талбайн олон цэгүүд гэж үзье; B үйл явдал нь B талбайн цэгүүдийн багц юм. Сүүдэрлэсэн хэсэг нь 6.4,а-р зураг дээрх AB үйл явдалтай тохирч байна; 6.4-р зурагт үзүүлсэн үйл явдал, b.
А ба В үл нийцэх үйл явдлуудын хувьд бид: AB = V (Зураг 6.5, a). A+B үйл явдал нь 6.5-р зураг, b-ийн сүүдэртэй хэсэгт тохирч байна.
Цагаан будаа. 6.5. Хоёр үл нийцэх үйл явдлын үржвэр (a) ба нийлбэр (b)-ийн геометрийн тайлбар
Үйл явдал гэж нэрлэдэг эсрэг, хэрэв тэдгээр нь нийцэхгүй бөгөөд нийтдээ найдвартай үйл явдлыг бүрдүүлдэг бол, i.e.
Жишээ нь, бай руу нэг удаа буудъя: үйл явдал - буудагч бай оносон, алдсан; зоос шидсэн: үйл явдал - толгой унах, - тоо унах; сургуулийн сурагчид тест бичдэг: үйл явдал - шалгалтанд нэг ч алдаа гараагүй, - шалгалтанд алдаа гарсан; оюутан шалгалт өгөхөөр ирсэн: А үйл явдал - шалгалтанд тэнцсэн, - шалгалтанд тэнцээгүй.
Ангид охид, хөвгүүд, онц сурдаг, сайн сурдаг, C ангид суралцдаг, англи хэл сурдаг Герман. М үйл явдал хүү, О онц сурлага, А сурагч байг Англи хэл. Ангиасаа гарч ирсэн санамсаргүй сурагч хүү, онц сурдаг, англи хэл сурдаг байж чадах уу? Энэ нь MOA үйл явдлын бүтээгдэхүүн эсвэл огтлолцол байх болно.
Жишээ. Тэд шоо шиддэг - нэг төрлийн материалаар хийсэн шоо, талууд нь дугаарлагдсан байдаг. Дээд талын ирмэг дээр гарч ирэх тоог (цэгийн тоо) ажигла. А үйл явдлыг сондгой тооны харагдах байдал, В үйл явдлыг гурвын үржвэртэй тооны харагдах байдал гэж үзье. U, A, A+B, AB гэсэн үйл явдал тус бүрийг бүрдүүлж буй үр дүнг олж, утгыг нь заана уу.
Шийдэл. Үр дүн – 1, 2, 3, 4, 5, 6 тоонуудын аль нэгний дээд ирмэг дээр харагдах байдал. Бүх үр дүнгийн багц нь энгийн үйл явдлын орон зайг бүрдүүлдэг нь тодорхой байна
Үйл явдал нь сондгой тоо эсвэл гурвын үржвэрийн аль нэг нь тохиолдохыг хэлнэ. Үр дүнг жагсаахдаа үр дүн бүрийг багцад зөвхөн нэг удаа багтааж болно гэдгийг харгалзан үзнэ.
Үйл явдал нь сондгой тоо болон гурвын үржвэрийн аль алиных нь харагдах байдал юм.
Жишээ.Баталгаажсан гэрийн даалгаваргурван оюутан. Үйл явдал нь сурагчийн даалгаврыг гүйцэтгэсэн явдал байг. Үйл явдлын утга учир нь юу вэ?
Шийдэл.Үйл явдал - наад зах нь нэг оюутан даалгаврыг гүйцэтгэх, жишээлбэл. эсвэл аль нэг оюутан (эсвэл эхний, хоёр дахь, гурав дахь), эсвэл аль нэг хоёр, эсвэл гурвуулаа.
Үйл явдал - даалгаврыг нэг ч оюутан гүйцээгүй: эхний, хоёр дахь, гурав дахь нь ч биш. Үйл явдал - эхний, хоёр дахь, гурав дахь сурагчийн даалгаврыг биелүүлэх.
Хэд хэдэн үйл явдлын хамтарсан тохиолдлын талаар авч үзэхэд тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалд нөлөөлдөг тохиолдол байж болно. Жишээлбэл, намрын улиралд нартай өдөр байвал цаг агаар муудах магадлал багатай (бороо орж эхэлнэ). Хэрэв нар харагдахгүй бол бороо орох магадлал өндөр байна.
Тодорхойлолт.А үйл явдал гэж нэрлэдэг бие даасанВ үйл явдлаас, хэрэв В үйл явдал болсон эсэхээс хамааран А үйл явдлын магадлал өөрчлөгдөхгүй бол А үйл явдлыг В үйл явдлаас хамааралтай гэж нэрлэнэ бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал нь нөгөө нь үүсэх эсвэл үүсэхгүй байхаас хамаарахгүй бол хамааралтай - өөрөөр хэлбэл. Хэрэв хоёр нь бие биенээсээ хараат бус байвал үйл явдлыг хос бие даасан гэж нэрлэдэг.
Теорем. (Магадлалын үржвэр) Хоёр бие даасан үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
P(A·B)=P(A)·P(B)
Энэ теорем нь аливаа хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын хувьд хүчинтэй, хэрэв тэдгээр нь хамтын бие даасан байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал нь эдгээр үйл явдлын нөгөө нь тохиолдсон эсэхээс хамаарахгүй.
Жишээ. Оюутан гурван шалгалт өгдөг. Эхний шалгалтыг амжилттай өгөх магадлал 0.9, хоёр дахь нь 0.65, гурав дахь нь 0.35 байна. Тэр дор хаяж нэг шалгалтанд унах магадлалыг ол.
Шийдэл: Ядаж нэг шалгалт өгөөгүй оюутан гэж тухайн үйл явдлыг тэмдэглэе. Дараа нь P(A) = 1- P(ùA), энд ùA нь эсрэг үйл явдал: оюутан бүх шалгалтыг өгсөн. Шалгалт бүрт тэнцэх нь бусад шалгалтаас хамаарахгүй тул P(A)=1-P(ùA)= 1- 0.9*0.65*0.35=0.7953 байна.
Тодорхойлолт. В үйл явдал тохиолдоход тооцсон А үйл явдлын магадлалыг дуудна нөхцөлт магадлалА үйл явдал нь B тохиолдох бөгөөд P B (A) эсвэл P (A/B) гэж тэмдэглэнэ.
ТеоремХоёр үйл явдлын үржвэр үүсэх магадлал нь эхний үйл явдал тохиолдсон нөхцөлд тооцоолсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал ба хоёр дахь үйл явдлын нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Р(А·В)=Р(А)·Р А (В)=Р(В)·Р В (А).(*)
Жишээ. Оюутан 34 тасалбараас нэг тасалбарыг хоёр удаа сугалж, 30 тасалбар бэлдэж, эхний удаа амжилтгүй болсон тохиолдолд шалгалтанд тэнцэх магадлал хэд вэ?
Шийдэл: Амжилтгүй тасалбар анх удаа сугалсан бол А үйл явдал, хоёр дахь удаагаа амжилттай тасалбар сугалсан бол В гэж үзье. Дараа нь A·B – оюутан шалгалтанд тэнцэнэ (заасан нөхцөл байдалд). А ба В үйл явдлууд хамааралтай, учир нь Хоёр дахь оролдлого дээр амжилттай тасалбар сонгох магадлал нь эхний сонголтын үр дүнгээс хамаарна. Тиймээс бид (6) томъёог ашигладаг:
P(A·B) = P(A)·RA(B) = (4/34)*(30/33)= 20/187
Уусмалд олж авсан магадлал нь ≈0.107 гэдгийг анхаарна уу. 34 тасалбараас 30-ыг нь сурчихаад хоёр оролдлого өгчихвөл шалгалтанд тэнцэх магадлал яагаад ийм бага байна вэ?!
Теорем. (Өргөтгөсөн нэмэх теорем) Хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хамтарсан тохиолдох магадлал (бүтээгдэхүүн):
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B).
Жишээ. Хоёр оюутан нэг асуудлыг шийдэж байна. Эхний сурагч асуудлыг шийдэх магадлал (А үйл явдал) 0.9; Хоёрдахь сурагч асуудлыг шийдэх магадлал (В үйл явдал) 0.8 байна. Асуудал шийдэгдэх магадлал хэд вэ?
Үйл явдлын магадлалыг олохдоо магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашигласан.
Магадлалын нэмэх теорем
Тохиромжгүй санамсаргүй үйл явдлуудыг авч үзье.
Нэг туршилтанд таарахгүй санамсаргүй үйл явдлууд $A$ ба $B$ нь $P\left(A\right)$ болон $P\left(B\right)$ тус тус тохиолдох магадлалтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Эдгээр үйл явдлуудын $A+B$ нийлбэрийн магадлалыг, өөрөөр хэлбэл ядаж нэг нь тохиолдох магадлалыг олъё.
Өгөгдсөн тестийн бүх адил боломжтой анхан шатны үйл явдлын тоог $n$ гэж үзье. Эдгээрээс $A$ болон $B$ үйл явдлуудыг $m_(A) $ болон $m_(B) $ анхан шатны үйл явдлууд тус тус илүүд үздэг. $A$ болон $B$ үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй тул $A+B$ үйл явдлыг $m_(A) +m_(B)$ энгийн үйл явдлууд илүүд үздэг. Бидэнд $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A))(n) +\frac(m_(B)) байна. ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.
Теорем 1
Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Тайлбар 1
Дүгнэлт 1.Ямар ч тооны үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Дүгнэлт 2.Тохиромжгүй үйл явдлын бүрэн бүлгийн магадлалын нийлбэр (бүх энгийн үйл явдлын магадлалын нийлбэр) нэгтэй тэнцүү байна.
Дүгнэлт 3.Эсрэг үйл явдлуудын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү, учир нь тэдгээр нь үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.
Жишээ 1
Хотод хэсэг хугацаанд бороо орохгүй байх магадлал $p=0.7$ байна. Тухайн үед хотод ядаж нэг удаа бороо орох $q$-г ол.
“Хотод хэсэг хугацаанд бороо ороогүй”, “Хотод нэг удаа ч болов бороо орсон” үйл явдлууд эсрэгээрээ. Тиймээс $p+q=1$, үүнээс $q=1-p=1-0.7=0.3$.
Хамтарсан санамсаргүй үйл явдлуудыг авч үзье.
Нэг туршилтын үед $A$ ба $B$-ийн хамтарсан санамсаргүй үйл явдлууд $P\left(A\right)$ болон $P\left(B\right)$ тус тус тохиолдох магадлалтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Эдгээр үйл явдлуудын $A+B$ нийлбэрийн магадлалыг, өөрөөр хэлбэл ядаж нэг нь тохиолдох магадлалыг олъё.
Өгөгдсөн тестийн бүх адил боломжтой анхан шатны үйл явдлын тоог $n$ гэж үзье. Эдгээрээс $A$ болон $B$ үйл явдлуудыг $m_(A) $ болон $m_(B) $ анхан шатны үйл явдлууд тус тус илүүд үздэг. $A$ болон $B$ үйл явдлууд нийцэж байгаа тул нийт $m_(A) +m_(B) $ анхан шатны үйл явдлуудын тодорхой тооны $m_(AB) $ нь $A үйл явдлыг хоёуланг нь илүүд үздэг. $ ба $B$ үйл явдал, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлууд ($A\cdot B$ үйл явдлын үржвэр). Энэ хэмжигдэхүүн $m_(AB) $ нь $m_(A) $ болон $m_(B) $ хоёуланг нь нэгэн зэрэг оруулсан тул $A+B$ үйл явдлыг $m_(A) +m_(B) -m_(AB) илүүд үздэг. $ анхан шатны үйл явдлууд. Бидэнд: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB))(n) =P\зүүн(A\баруун)+P\зүүн(B\баруун)-P\зүүн(A\cdot B\ баруун) $.
Теорем 2
Хоёр хамтарсан үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэрээс тэдгээрийн үржвэрийн магадлалыг хассантай тэнцүү байна.
Сэтгэгдэл. Хэрэв $A$ болон $B$ үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байвал тэдгээрийн бүтээгдэхүүн $A\cdot B$ боломжгүй үйл явдал бөгөөд магадлал нь $P\left(A\cdot B\right)=0$ байна. Иймээс үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх томъёо нь хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх томъёоны онцгой тохиолдол юм.
Жишээ 2
Хоёр шоо зэрэг шидэхэд 5-ын тоо ядаж нэг удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Хоёр шоо зэрэг шидэх үед эхний үхрийн тоо бүрт хоёр дахь үхрийн зургаан тоо гарч ирэх тул ижил боломжтой бүх энгийн тохиолдлын тоо $n=36$ байна. Эдгээрээс $A$ буюу эхний өлгүүрт унасан 5-ын тоо 6 удаа, 2-р талбарт унасан 5-ын тоо $B$-ыг мөн 6 удаа хийдэг. Бүх арван хоёр удаагийн шоо дээр 5-ын тоо нэг удаа гарч ирдэг. Тиймээс $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .
Магадлалын үржүүлэх теорем
Бие даасан үйл явдлуудыг авч үзье.
Хоёр дараалсан туршилтаар тохиолдох $A$ болон $B$ үйл явдлуудыг $B$ үйл явдлын тохиолдох магадлал нь $A$ үйл явдал болсон эсвэл болоогүй эсэхээс хамаарахгүй бол бие даасан гэж нэрлэдэг.
Жишээлбэл, нэг саванд 2 цагаан, 2 хар бөмбөг байна. Туршилт нь бөмбөгийг авах явдал юм. $A$ үйл явдал бол "цагаан бөмбөгийг эхний туршилтаар зурсан". Магадлал $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Эхний туршилтын дараа бөмбөгийг буцааж тавьж, хоёр дахь туршилтыг хийсэн. Үйл явдал $B$ -- ``хоёр дахь туршилтанд цагаан бөмбөг зурсан''. Магадлал $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. $P\left(B\right)$ магадлал нь $A$ үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй тул $A$ болон $B$ үйл явдлууд бие даасан байна.
Хоёр дараалсан туршилтын $A$ ба $B$ бие даасан санамсаргүй үйл явдлууд $P\left(A\right)$ болон $P\left(B\right)$ тус тус тохиолдох магадлалтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Эдгээр үйл явдлуудын $A\cdot B$ үржвэрийн магадлалыг, өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн хамт тохиолдох магадлалыг олъё.
Эхний туршилтанд адил боломжтой бүх энгийн үзэгдлийн тоо $n_(1) $ байна гэж үзье. Эдгээрээс $A$ үйл явдлыг $m_(1)$ энгийн үйл явдлууд илүүд үздэг. Хоёрдахь тестэнд адил боломжтой бүх энгийн үзэгдлийн тоог $n_(2) $ гэж үзье. Эдгээрээс $B$ үйл явдлыг $m_(2)$ энгийн үйл явдлууд илүүд үздэг. Одоо эхний болон хоёр дахь туршилтын дараалсан тохиолдлуудаас бүрдэх шинэ энгийн үйл явдлыг авч үзье. Ийм адил боломжтой энгийн үйл явдлын нийт тоо $n_(1) \cdot n_(2) $-тай тэнцүү байна. $A$ болон $B$ үйл явдлууд нь бие даасан байдаг тул энэ тооноос $A$ үйл явдал болон $B$ үйл явдлууд ($A\cdot B$ үйл явдлуудын үржвэр) нь $m_(1) \-д давуу тал болно. cdot m_(2) $ үйл явдлууд . Бидэнд: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1)) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.
Теорем 3
Хоёр бие даасан үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Хамааралтай үйл явдлуудыг харцгаая.
Хоёр дараалсан туршилтанд $A$ болон $B$ үйл явдлууд тохиолддог. Хэрэв $B$ үйл явдал тохиолдох магадлал нь $A$ үйл явдал болсон эсвэл болоогүйгээс хамаарч байвал $B$ үйл явдлыг $A$ үйл явдлаас хамааралтай гэж нэрлэдэг. Дараа нь $A$ үйл явдал болсон тохиолдолд тооцсон $B$ үйл явдлын магадлалыг $A$ өгөгдсөн $B$ үйл явдлын нөхцөлт магадлал гэж нэрлээд $P\left(B/A\right) гэж тэмдэглэнэ. доллар.
Жишээлбэл, нэг саванд 2 цагаан, 2 хар бөмбөлөг байг. Туршилт нь бөмбөгийг зайлуулах явдал юм. $A$ үйл явдал бол "цагаан бөмбөгийг эхний туршилтаар зурсан". Магадлал $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Эхний туршилтын дараа бөмбөгийг буцааж тавихгүй, хоёр дахь туршилтыг хийнэ. Үйл явдал $B$ -- ``хоёр дахь туршилтанд цагаан бөмбөг зурсан''. Хэрэв эхний туршилтаар цагаан бөмбөг зурсан бол магадлал нь $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $ байна. Хэрэв эхний туршилтаар хар бөмбөг сугалсан бол магадлал нь $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $ байна. Тиймээс $B$ үйл явдлын магадлал нь $A$ үйл явдал болсон эсэхээс хамаардаг тул $B$ үйл явдал нь $A$ үйл явдлаас хамаарна.
$A$ болон $B$ үйл явдлууд хоёр дараалсан туршилтаар явагдсан гэж бодъё. $A$ үйл явдал $P\left(A\right)$ тохиолдох магадлалтай нь мэдэгдэж байна. Мөн $B$ үйл явдал нь $A$ үйл явдлаас хамааралтай бөгөөд $A$-д өгөгдсөн нөхцөлт магадлал нь $P\left(B/A\right)$-тай тэнцүү гэдгийг мэддэг.
Теорем 4
$A$ үйл явдлын үржвэрийн магадлал ба $B$ хамааралтай үйл явдлын магадлал, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хамтарсан тохиолдох магадлалыг $P\left(A\cdot B\right)=P\ томъёогоор олно. зүүн(A\баруун)\cdot P\left(B/A\баруун)$.
$P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ тэгш хэмт томьёо мөн хүчинтэй бөгөөд $A$ үйл явдлыг дараах байдлаар тооцно. $ B$ үйл явдлаас хамааралтай байх.
Сүүлийн жишээний нөхцлийн хувьд бид хоёр туршилтанд цагаан бөмбөг зурах магадлалыг олдог. Ийм үйл явдал нь $A$ ба $B$ үйл явдлуудын үр дүн юм. Түүний магадлал нь $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \-тэй тэнцүү байна. frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.
Ачааж байна...
