Үйл явдлын тухай ойлголт ба үйл явдлын магадлал. Тодорхой бөгөөд боломжгүй үйл явдлууд. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт. Магадлалыг нэмэх теорем. Магадлалын үржүүлэх теорем. Магадлалыг нэмэх аргыг ашиглан магадлалыг тодорхойлох хамгийн энгийн бодлогуудыг шийдвэрлэх.
3.1-р сэдвийн удирдамж:
Үйл явдлын тухай ойлголт ба үйл явдлын магадлал. Тодорхой бөгөөд боломжгүй үйл явдлууд. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт:
Ажиглалт, туршлага үйлдвэрлэх дарааллаар үзэгдэл бүрийг судлах нь тодорхой нөхцөл (туршилт) хэрэгжүүлэхтэй холбоотой байдаг. Туршилтын үр дүн, үр дүн бүрийг дууддаг үйл явдал.
Хэрэв өгөгдсөн нөхцөлд үйл явдал тохиолдож болох эсвэл болохгүй бол түүнийг дуудна Санамсаргүй.Ямар нэгэн үйл явдал зайлшгүй тохиолдох тохиолдолд түүнийг дуудна найдвартай, мөн энэ нь гарцаагүй тохиолдох боломжгүй тохиолдолд, - боломжгүй.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг нийцэхгүйхэрэв тэдний зөвхөн нэг нь л гарч ирэх боломжтой бол. Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамтарсан,хэрэв өгөгдсөн нөхцөлд эдгээр үзэгдлүүдийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөөг нь ижил туршилтанд оруулахад саад болохгүй.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг эсрэг талд,хэрэв туршилтын нөхцөлд тэдгээр нь зөвхөн түүний үр дүнд нийцэхгүй байвал.
Үйл явдлын магадлалыг санамсаргүй тохиолдлын объектив боломжийн хэмжүүр гэж үздэг.
Магадлалүйл явдлыг үр дүнгийн тооны харьцаа гэж нэрлэдэг м, энэ үйл явдал тохиолдохыг дэмжинэ , бүх үр дүнгийн n тоонд (тохиромжгүй, өвөрмөц, адил боломжтой), i.e.
Аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгээс бага, нэгээс их байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл. . Боломжгүй үйл явдал магадлалд, найдвартай үйл явдал магадлалд тохирно
Жишээ 1. 1000 тасалбарын сугалааны тохиролд 200 нь хожсон байна. Нэг тасалбарыг санамсаргүй байдлаар авсан. Энэ тасалбар ялах магадлал хэд вэ?
Төрөл бүрийн үр дүнгийн нийт тоо n= 1000. Ялахыг дэмжсэн үр дүнгийн тоо м= 200. Томъёоны дагуу бид .
Жишээ 2. 5 цагаан, 3 хар бөмбөлөг агуулсан савнаас нэг бөмбөг гаргав. Бөмбөлөг хар өнгөтэй байх магадлалыг ол.
Хар бөмбөлөг харагдахаас бүрдэх үйл явдлыг -ээр тэмдэглэе. Нийт тохиолдлын тоо. Хэргийн тоо м, үйл явдал тохиолдоход таатай , 3-тай тэнцүү байна. Томъёоны дагуу бид .
Жишээ 3. 12 цагаан, 8 хар бөмбөлөг агуулсан савнаас санамсаргүй байдлаар хоёр бөмбөг сугалж авав. Хоёр бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Хоёр хар бөмбөлөг харагдахаас бүрдсэн үйл явдлыг гэж тэмдэглэе. Боломжит тохиолдлын нийт тоо n 20 элементийн хослолын тоо (12 + 8) хоёр хоёртой тэнцүү байна:
Хэргийн тоо мүйл явдалд таатай байна
Томъёог ашиглан бид хоёр хар бөмбөг гарч ирэх магадлалыг олно.
Магадлалыг нэмэх теорем. Магадлалын нэмэх теоремыг ашиглан магадлалыг тодорхойлох хамгийн энгийн асуудлын шийдэл:
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем.Хосоор үл нийцэх хэд хэдэн үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хоёр хамтарсан үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлын магадлалыг тооцдоггүй.
Жишээ 4. Хайрцагт 20 хэсгийг санамсаргүй байдлаар байрлуулсан бөгөөд тэдгээрийн тав нь стандарт юм. Ажилчин санамсаргүй байдлаар гурван хэсгийг авдаг. Авсан хэсгүүдийн ядаж нэг нь стандарт байх магадлалыг ол.
Гурван үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол авсан хэсгүүдийн дор хаяж нэг нь стандарт байх нь ойлгомжтой. Б- нэг хэсэг нь стандарт, хоёр нь стандарт бус; C- хоёр хэсэг нь стандарт, нэг нь стандарт бус ба Д- гурван хэсэг нь стандарт юм.
Ийнхүү үйл явдал АЭдгээр гурван үйл явдлын нийлбэрээр илэрхийлж болно: A=B+C+D.Нэмэх теоремоор бид байна P(A) = P(B) + P(C) + P(D).Эдгээр үйл явдал бүрийн магадлалыг ол.
Олдсон утгыг нэмснээр бид олж авна
Жишээ 5. Санамсаргүй байдлаар сонгосон хоёр оронтой тоо нь 3 эсвэл 5-ын үржвэр эсвэл хоёуланг нь зэрэг авах магадлалыг ол.
Болъё А- санамсаргүй байдлаар авсан тоо нь 3-ын үржвэр болох үйл явдал ба Б- энэ нь 5-ын үржвэр юм. оноос хойш олъё Аболон Бхамтарсан үйл явдлуудын дараа бид дараах томъёог ашиглана.
Нийт 90 хоёр оронтой тоо байна: 10, 11, 98, 99. Эдгээрээс 30 нь 3-ын үржвэр (үйл явдлын эхлэлийг дэмжээрэй) А); 18 - 5-ын үржвэр (үйл явдлын эхлэлийг дэмжинэ Б) ба 6 - нэгэн зэрэг 3 ба 5-ын үржвэрүүд (үйл явдлын эхлэлийг дэмжинэ AB). Тиймээс, өөрөөр хэлбэл.
Магадлалын үржүүлэх теорем:
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Нийтдээ бие даасан хэд хэдэн үйл явдал тохиолдох магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.
Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем.Хоёр хамааралтай үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн аль нэгнийх нь хоёр дахь нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Жишээ 6. Нэг саванд 4 цагаан, 8 хар бөмбөлөг, нөгөө саванд 3 цагаан, 9 хар бөмбөг байна. Цүнх бүрээс нэг бөмбөг авсан. Хоёр бөмбөг хоёулаа цагаан байх магадлалыг ол.
Эхний савнаас цагаан бөмбөгний дүр төрх, хоёр дахь савнаас цагаан бөмбөгний дүр төрх байг. Мэдээжийн хэрэг, үйл явдал, бие даасан байдаг. Олъё
Томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг авна.
3.1-р сэдвээр өөрийгөө шалгах асуултууд:
1. Үйл явдал гэж юу вэ?
2. Ямар үйл явдлыг найдвартай гэж нэрлэдэг вэ?
3. Ямар үйл явдлыг боломжгүй гэж нэрлэдэг вэ?
4. Магадлалыг тодорхойлох.
5. Магадлалын нэмэх теоремыг томъёол.
6. Магадлалыг үржүүлэх теоремыг томъёол.
3.1-р сэдвээр бие даан шийдвэрлэх даалгавар:
1. Хайрцагт санамсаргүй байдлаар байрлуулсан 10 хэсэг байгаагийн 4 нь стандарт юм. Хянагч санамсаргүй байдлаар 3 хэсгийг авсан. Авсан хэсгүүдийн ядаж нэг нь стандарт байх магадлалыг ол.
2. Нэг саванд 10 цагаан, 15 хар, 20 хөх, 25 улаан бөмбөг байна. Татсан бөмбөг байх магадлалыг ол: 1) цагаан; 2) хар эсвэл улаан.
3. Санамсаргүй байдлаар сонгосон хоёр оронтой тоо 4 эсвэл 5-ын аль нэгийн үржвэр эсвэл хоёулаа зэрэг байх магадлалыг ол.
4. Ажилчин нь бие биенээсээ хамааралгүй ажилладаг хоёр машинд үйлчилдэг. Нэг цагийн дотор эхний автомат ажилчдын анхаарал татахгүй байх магадлал 0.8, хоёр дахь автоматын хувьд энэ магадлал 0.7 байна. Нэг цагийн турш автоматуудын аль нь ч ажилчны анхаарлыг татахгүй байх магадлалыг ол.
5. Ууранд 6 бөмбөлөг байгаагийн 3 нь цагаан. Хоёр бөмбөгийг нэг нэгээр нь санамсаргүй байдлаар зурдаг. Хоёр бөмбөг хоёулаа цагаан байх магадлалыг тооцоол.
6. Нэг саванд 10 цагаан, 6 хар бөмбөлөг байна. Санамсаргүй байдлаар ар араасаа зурсан гурван бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлалыг ол.
Түүврийн орон зай дахь бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1 байна. Жишээлбэл, хэрэв туршилт нь А үйл явдал = "толгой" ба В үйл явдал = "сүүл" гэсэн зоос шидэлт байвал A ба B нь бүх түүврийн орон зайг илэрхийлнэ. гэсэн үг, P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.
Жишээ. Өмнө нь санал болгож буй халатны халааснаас улаан үзэг гаргаж авах магадлалыг тооцоолох жишээнд (энэ нь А үйл явдал) хоёр цэнхэр, нэг улаан үзэг байгаа P(A) = 1/3 ≈ 0.33, эсрэг үйл явдлын магадлал - цэнхэр үзэг гаргаж авах - байх болно
Үндсэн теорем руу шилжихийн өмнө бид үйл явдлын нийлбэр ба үржвэр гэсэн хоёр илүү төвөгтэй ойлголтыг танилцуулж байна. Эдгээр ойлголтууд нь арифметикийн нийлбэр ба үржвэрийн ердийн ойлголтуудаас ялгаатай. Магадлалын онол дахь нэмэх, үржүүлэх нь тодорхой дүрэмд захирагддаг бэлгэдлийн үйлдлүүд бөгөөд шинжлэх ухааны дүгнэлтийг логикоор бий болгоход тусалдаг.
нийлбэрхэд хэдэн үйл явдлын нэг нь дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, А ба В хоёр үйл явдлын нийлбэрийг С үйл явдал гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь А үйл явдал, В үйл явдал, эсвэл А, В үйл явдлуудын хамт харагдахаас бүрддэг.
Жишээлбэл, хэрэв зорчигч трамвайны зогсоол дээр хоёр чиглэлийн аль нэгийг хүлээж байгаа бол эхний чиглэлийн трамвай (А үйл явдал) эсвэл хоёр дахь чиглэлийн трамвай (B үйл явдал) гарч ирэх явдал юм. , эсвэл эхний болон хоёрдугаар чиглэлийн трамвайнуудын хамтарсан дүр төрх (FROM үйл явдал). Магадлалын онолын хэлээр энэ нь зорчигчдод зайлшгүй шаардлагатай D үйл явдал нь А үйл явдал, В үйл явдал, С үйл явдлын аль алиных нь харагдах байдлаас бүрдэх бөгөөд үүнийг бэлгэдлээр дараах байдлаар бичдэг гэсэн үг юм.
D=A+B+C
Хоёр үйл явдлын үр дүнГЭХДЭЭболон ATүйл явдлуудын хамтарсан үйл явдлаас бүрдэх үйл явдал юм ГЭХДЭЭболон AT. Хэд хэдэн арга хэмжээний бүтээгдэхүүнэдгээр бүх үйл явдлын хамтарсан тохиолдлыг гэж нэрлэдэг.
Дээрх зорчигчийн жишээнд үйл явдал FROM(хоёр чиглэлийн трамвайн хамтарсан дүр төрх) нь хоёр үйл явдлын үр дүн юм ГЭХДЭЭболон AT, энэ нь дараах байдлаар тэмдэглэгдсэн байна.
Тодорхой өвчнийг тодорхойлохын тулд хоёр эмч өвчтөнд тус тусад нь үзлэг хийж байна гэж бодъё. Хяналт шалгалтын явцад дараахь үйл явдал тохиолдож болно.
Эхний эмч өвчнийг илрүүлэх ( ГЭХДЭЭ);
Эхний эмч өвчнийг илрүүлээгүй ();
Хоёр дахь эмч өвчнийг илрүүлэх ( AT);
Хоёр дахь эмч өвчнийг илрүүлэхгүй байх ().
Шалгалтын үеэр яг нэг удаа өвчин илэрсэн үйл явдлыг авч үзье. Энэ арга хэмжээг хоёр аргаар хэрэгжүүлж болно:
Өвчинг анхны эмч илрүүлдэг ( ГЭХДЭЭ) мөн хоёр дахь ();
Өвчин эмгэгийг эхний эмч илрүүлэхгүй () хоёр дахь эмч () илрүүлнэ. Б).
Хэлэлцэж буй үйл явдлыг дараах байдлаар тэмдэглэж, бэлгэдлээр бичье.
Шалгалтын явцад өвчнийг хоёр удаа (эхний болон хоёр дахь эмчийн аль алинд нь) илрүүлсэн үйл явдлыг авч үзье. Энэ үйл явдлыг тэмдэглээд: .
Эхний болон хоёр дахь эмч өвчнийг илрүүлээгүйгээс бүрдэх үйл явдлыг тэмдэглэж, бид бичнэ: .
Магадлалын онолын үндсэн теоремууд
Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Нэмэх теоремыг бэлгэдлээр бичье.
P(A + B) = P(A) + P(B),
хаана Р- харгалзах үйл явдлын магадлал (үйл явдлыг хаалтанд заасан).
Жишээ . Өвчтөн ходоодны цус алддаг. Энэ шинж тэмдэг нь шархлаат судасны элэгдэл (А үйл явдал), улаан хоолойн венийн урагдал (B үйл явдал), ходоодны хорт хавдар (С үйл явдал), ходоодны полип (үйл D), цусархаг диатез (F үйл явдал), бөглөрөлт шарлалт (E үйл явдал) болон гастрит төгсгөл (үйл явдалГ).
Эмч статистик мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийсний үндсэн дээр үйл явдал бүрт магадлалын утгыг оноодог.
Нийтдээ эмч ходоодны цус алдалттай 80 өвчтөнтэй байсан.n= 80), үүнээс 12 нь шархлаат судасны элэгдэлтэй (), цагт6 - улаан хоолойн варикозын венийн урагдал (), 36 нь ходоодны хорт хавдартай байсан () гэх мэт.
Шалгалт өгөхийн тулд эмч ходоодны цус алдалт нь ходоодны өвчинтэй холбоотой байх магадлалыг тодорхойлохыг хүсч байна (үйл явдал I):
Ходоодны цус алдалт нь ходоодны өвчинтэй холбоотой байх магадлал нэлээд өндөр бөгөөд эмч магадлалын онолыг ашиглан тоон түвшинд үндэслэлтэй ходоодны өвчний таамаглалд үндэслэн шинжилгээний тактикийг тодорхойлж чадна.
Хэрэв хамтарсан үйл явдлуудыг авч үзвэл хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлын магадлалыг тооцдог.
Үүнийг бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичнэ.
Хэрэв бид үйл явдлыг төсөөлж байгаа бол ГЭХДЭЭбуудаж байх үед хэвтээ зураасаар сүүдэрлэсэн байг онох, үйл явдал AT- босоо зураасаар сүүдэрлэсэн байг оноход, дараа нь үл нийцэх үйл явдлын тохиолдолд нэмэх теоремын дагуу нийлбэрийн магадлал нь бие даасан үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв эдгээр үйл явдлууд хамтарсан бол үйл явдлын хамтарсан тохиолдох магадлал тодорхой байна ГЭХДЭЭболон AT. Хэрэв та хасагдах зардалд засвар оруулахгүй бол P(AB), өөрөөр хэлбэл үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлалын талаар, дараа нь хэвтээ ба босоо шугамаар сүүдэрлэсэн талбай нь зорилтот хоёрын салшгүй хэсэг тул эхний болон хоёуланд нь хоёуланд нь тооцогдох тул энэ магадлалыг хоёр удаа харгалзан үзнэ. хоёр дахь хураангуй.
Зураг дээр. 1 Энэ нөхцөл байдлыг тодорхой харуулсан геометрийн тайлбарыг өгсөн болно. Зургийн дээд хэсэгт үл нийцэх үйл явдлын аналог болох давхцаагүй байнууд, доод хэсэгт - хамтарсан үйл явдлын аналог болох огтлолцсон байнууд (нэг удаагийн цохилт нь А болон В зорилтыг нэг дор онож болно) ).
Үржүүлэх теорем руу шилжихийн өмнө бие даасан ба хамааралтай үйл явдал, нөхцөлт ба болзолгүй магадлалын тухай ойлголтуудыг авч үзэх шаардлагатай.
Бие даасан B үйл явдал нь тохиолдох магадлал нь В үйл явдал тохиолдох, үүсэхгүй байхаас хамаарахгүй А үйл явдал юм.
донтсонБ үйл явдал нь тохиолдох магадлал нь В үйл явдал тохиолдох, эс тохиолдохоос хамаардаг А үйл явдал юм.
Жишээ . Нэг саванд 2 цагаан, 1 хар гэсэн 3 бөмбөг байдаг. Бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар сонгохдоо цагаан бөмбөгийг сонгох магадлал (А үйл явдал) нь: P(A) = 2/3, хар (B үйл явдал) P(B) = 1/3 байна. Бид хэргүүдийн схемийг авч үзэж байгаа бөгөөд үйл явдлын магадлалыг томъёоны дагуу нарийн тооцдог. Туршилтыг давтан хийх үед хэрэв сонголт бүрийн дараа бөмбөгийг саванд буцааж өгөх юм бол А ба В үйл явдлын магадлал өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна. Энэ тохиолдолд А ба В үйл явдлууд бие даасан байна. Хэрэв эхний туршилтаар сонгосон бөмбөгийг саванд буцааж өгөхгүй бол хоёр дахь туршилтын (A) үзэгдлийн магадлал нь эхний туршилтын (B) үйл явдал тохиолдох, эс тохиолдохоос хамаарна. Хэрэв эхний туршилтанд В үйл явдал тохиолдсон бол (хар бөмбөг сонгосон), саванд 2 цагаан бөмбөлөг байгаа бол хоёр дахь туршилтыг хийнэ, хоёр дахь туршилтад А үйл явдал тохиолдох магадлал: P. (A) = 2/2= 1.
Хэрэв эхний туршилтанд В үзэгдэл гарч ирээгүй бол (цагаан бөмбөг сонгогдоно), хэрэв саванд нэг цагаан, нэг хар бөмбөлөг байгаа бол хоёр дахь туршилтыг хийж, хоёрдугаарт А үйл явдал тохиолдох магадлалыг тооцно. туршилт нь: P(A) = 1/2. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд А ба В үйл явдлууд хоорондоо нягт холбоотой бөгөөд тэдгээрийн үүсэх магадлал нь хамааралтай байдаг.
Нөхцөлт магадлалА үйл явдал нь В үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд түүний тохиолдох магадлал юм.Нөхцөлт магадлалыг бэлгэдлээр тэмдэглэнэ. P(A/B).
Хэрэв ямар нэгэн үйл явдал болох магадлал ГЭХДЭЭүйл явдлын өрнөлөөс хамаарахгүй AT, дараа нь үйл явдлын нөхцөлт магадлал ГЭХДЭЭболзолгүй магадлалтай тэнцүү байна:
Хэрэв А үйл явдал тохиолдох магадлал нь В үйл явдал тохиолдохоос хамаардаг бол нөхцөлт магадлал нь болзолгүй магадлалтай хэзээ ч тэнцүү байж чадахгүй.
Төрөл бүрийн үйл явдлын харилцан хамаарлыг илрүүлэх нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой юм. Жишээлбэл, зүрх судасны мэс заслын хүрээлэнд боловсруулсан магадлалын аргыг ашиглан зүрхний гажиг оношлоход тодорхой шинж тэмдгүүд илрэх бие даасан байдлын талаархи алдаатай таамаглал. A. N. Бакулева, алдаатай оношийн 50 орчим хувийг үүсгэсэн.
3-р бүлэг
Магадлалын онолын үндсэн теоремууд ба түүнээс гарах үр дагавар
Тогтворгүй магадлалын нэмэх теорем
үйл явдал
Хоёрдахь бүлэгт тодорхой нөхцөлд тодорхой санамсаргүй үйл явдлын магадлалыг хэрхэн тодорхойлохыг харуулсан. Таны мэдэж байгаагаар санамсаргүй үйл явдлуудын тусламжтайгаар та арифметик үйлдлүүдийг хийж болно, тэдгээрийн гол нь үйл явдлыг нэмэх, үржүүлэх явдал юм. Магадлалын онол нь үндсэн теоремуудыг ашиглан үйл явдлын нийлбэр ба үржвэрийн магадлалыг олох боломжийг олгодог. харгалзан үзсэн үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал эсвэл эдгээр үйл явдлын нэгэн зэрэг тохиолдох магадлалыг тодорхойлох.
Магадлалын онолын үндсэн теоремууд нь:
1. Магадлалыг нэмэх теорем.
2. Магадлалыг үржүүлэх теорем.
Тодорхой тохиолдлын магадлалын нэмэх теоремыг авч үзье. Ингэж жүжиглэе ГЭХДЭЭболон ATүл нийцэх үйл явдлууд бөгөөд бид эдгээр үйл явдлын магадлалыг мэддэг эсвэл олж болно гэж таамаглах болно.
Теорем 3.1.Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
Баталгаа.Болъё n- үйл явдал тохиолдож болох тестийн ижил тэнцүү боломжтой бүх энгийн үйл явдлын нийт тоо ГЭХДЭЭэсвэл AT. -ээр тэмдэглээрэй т Аболон т Вүйл явдалд таатай энгийн үйл явдлын тоо ГЭХДЭЭболон ATтус тус. Үйл явдлуудаас хойш ГЭХДЭЭболон ATнийцэхгүй байгаа бол эдгээр үйл явдлын нийлбэр ГЭХДЭЭ + ATивээл т А+ т Вэнгийн үйл явдлууд. Тийм ч учраас .
Теорем нь батлагдсан.
Үр дагавар.Хосоор үл нийцэх хэд хэдэн үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
БаталгааМатематик индукцийн аргыг ашиглан үүнийг хийхэд хялбар байдаг.
Жишээ 3.1. Нэг хайрцагт 8 цагаан, 5 хар, 10 улаан бөмбөлөг байдаг. Нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Энэ бөмбөг цагаан биш байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭ- хар бөмбөг сонгох, AT- улаан бөмбөг сонгох. Дараа нь үйл явдал FROM = ГЭХДЭЭ + ATцагаан бус бөмбөг (хар эсвэл улаан) сонгохыг тодорхойлдог.
Сонгодог томъёоны дагуу 
. Теорем 3.1-ээр бид эцэст нь .■-г олж авна
Жишээ 3.2. Тус пүүст хоёр сул орон тоо байгаа бөгөөд үүнд гурван эрэгтэй, таван эмэгтэй өргөдөл гаргажээ. Өргөдөл гаргагчдыг санамсаргүй байдлаар сонговол ажилд авсан хүмүүсийн дунд дор хаяж нэг эрэгтэй байх магадлалыг ол.
Шийдэл. Үйл явдал болъё FROMажилд авсан хүмүүсийн дунд дор хаяж нэг хүн байх болно гэсэн үг юм. Үйл явдал болох нь ойлгомжтой FROMДараах хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон үед тохиолддог. ГЭХДЭЭ- хоёр хүн ажилд орсон; AT- Нэг эмэгтэй, нэг эрэгтэй ажилд орсон. Энэ замаар, FROM = ГЭХДЭЭ + AT.
Үйл явдлын магадлалыг олцгооё ГЭХДЭЭболон AT, сонгодог томъёог ашиглан бид олж авдаг
болон 
.
Хөгжил ГЭХДЭЭболон ATнийцэхгүй байгаа тул теорем 3.1-ийг хэрэглэж болно. Бид авдаг. ■
Жишээ 3.2-ыг шийдвэрлэхэд хоёр эмэгтэйг ажилд авна гэсэн ганц боломжит тохиолдлыг авч үзээгүй. Үүнийг үсгээр тэмдэглэе Дтүүний магадлалыг ол. Сонгодог томъёог ашигласнаар бид олж авна
.
Үйл явдал гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг ГЭХДЭЭ, ATболон Дшалгалтын бүрэн бүлэг бүрдүүлэх: найман хүнээс хоёр хүнийг сонгох. Эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэрийг олъё: . Хүлээн авсан үр дүнг ерөнхий хэлбэрээр танилцуулж болно.
Теорем 3.2.Бүрэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1 байна.
Баталгаа.Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , …, А нзарим шалгалтанд зориулж бүрэн бүлэг бүрдүүлэх. Дараа нь тодорхойлолтоор энэ туршилтын үр дүнд үйл явдлын нэг нь гарцаагүй тохиолдох болно, i.e. эдгээр үйл явдлын нийлбэр нь тодорхой үйл явдал юм. Тодорхой үйл явдлын магадлал 1-тэй тэнцүү. Иймд тэгш байдал нь үнэн:
Бүрэн бүлгийн тодорхойлолтоор энэ нь үл нийцэх үйл явдлуудаас бүрддэг гэдгийг санаарай. Дараа нь теорем 3.1-ийн үр дүнд бид олж авна
Теорем нь батлагдсан.
Үр дагавар. Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1 байна.
БаталгааЭсрэг үйл явдлууд нь бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул 3.2 теоремын дагуу томьёо
(3.3)
хаана ГЭХДЭЭболон Ā эсрэг үйл явдал юм.
Үр дагавар нь батлагдсан.
Асуудлыг шийдвэрлэхдээ хувиргасан томъёог (3.3) илүү их ашигладаг, тухайлбал
(3.4)
Жишээ 3.3. Гурван албан тушаалд сонгогдох есөн нэр дэвшигчийн тав нь эрдмийн зэрэгтэй. Эдгээр албан тушаалд сонгогдох боломж хүн бүрт ижил байдаг. Сонгогдсон оюутнуудын дунд дор хаяж нэг эрдмийн зэрэгтэй байх магадлалыг тодорхойл.
Шийдэл. Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭсонгогдсон нэр дэвшигчдийн дундаас дор хаяж нэг нь онц дүнтэй дипломтой гэсэн үг. Үйл явдал болох нь ойлгомжтой Ā эсрэг ГЭХДЭЭСонгогдсон гурван хүн бүгд эрдмийн зэрэггүй байх болно. Эсрэг үйл явдлын магадлалыг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид сонгодог томъёог ашигладаг, бид авдаг
.
Томъёо (3.3) ашиглан бид үйл явдлын магадлалыг олно ГЭХДЭЭ:
. ■
Жишээ 3.3-ын шийдлийг өөр, илүү урт аргаар олж авч болно. Энэ үйл явдал гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг ГЭХДЭЭнь дараах үйл явдлуудын нийлбэр юм.
ГЭХДЭЭ 1 – сонгогдсон хүмүүсээс онц дүнтэй дипломтой ганц нэр дэвшигч;
ГЭХДЭЭ 2 - шалгарсан хоёр нэр дэвшигчийн дунд онц дипломтой;
ГЭХДЭЭ 3 - шалгарсан гурван нэр дэвшигчийн дунд онц дүнтэй дипломтой.
Сонгодог томъёоны дагуу бид авдаг
Үйл явдал нь ойлгомжтой ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭ 3 нь нийцэхгүй байгаа тул теорем 3.3-ыг хэрэглэж болно. Энэ замаар
Эхний шийдэл нь хамаагүй хялбар болох нь ойлгомжтой.
Дээр авч үзсэн теоремууд болон жишээнүүдэд харгалзах санамсаргүй үйл явдлын үл нийцэл гэж үзсэн. Мэдээжийн хэрэг, хамтарсан үйл явдлын дор хаяж нэг тохиолдох магадлалыг олох шаардлагатай асуудал гарч ирж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд теорем 3.1-ийг хэрэглэх боломжгүй. Үйл явдлын үржвэрийн магадлалын тухай ойлголтыг ашигладаг магадлалын нэмэх теоремын илүү ерөнхий хэлбэр байдаг.
Үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем
Санамсаргүй үйл явдал гарч болзошгүй тестийг авч үзье ГЭХДЭЭ. Хэрэв туршилтын нөхцлөөс гадна үйл явдалд хязгаарлалт байхгүй бол ГЭХДЭЭбайхгүй бол үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭдуудсан болзолгүй магадлал.Хэрэв зарим нэмэлт нөхцөлийг зааж өгсөн бол нөхцөлт магадлалэнэ үйл явдал. Ихэнх тохиолдолд нэмэлт нөхцөл байдал нь өөр санамсаргүй үйл явдлын илрэлтэй холбоотой байдаг. Тиймээс, тодорхой үзэгдэлд дүн шинжилгээ хийхдээ асуулт гарч ирж магадгүй юм: тодорхой үйл явдал тохиолдох боломж нь нөлөөлж байна уу? ГЭХДЭЭөөр санамсаргүй үйл явдал тохиолдох ATхэрэв тийм бол яаж? Жишээлбэл, дайралт ATүйл явдал зайлшгүй гарахад хүргэдэг ГЭХДЭЭэсвэл эсрэгээр үйл явдал тохиолдох боломжийг үгүйсгэдэг ГЭХДЭЭ, магадгүй зөвхөн магадлалын утгыг өөрчилдөг. Хэрэв үйл явдал бол үүнийг ойлгоход хялбар байдаг ATүйл явдалд таатай байна ГЭХДЭЭ, дараа нь үйл явдал тохиолдсон үед ATүйл явдал ГЭХДЭЭүргэлж ирдэг, эсвэл хэрэв ГЭХДЭЭболон AT- энэ туршилтанд нийцэхгүй байгаа хоёр үйл явдал, дараа нь тухайн үйл явдал тохиолдсон үед ATүйл явдал ГЭХДЭЭхэзээ ч болохгүй. Гэсэн хэдий ч эдгээр нь онцгой тохиолдол гэж нэрлэгддэг тохиолдол юм. Үйл явдал болох үед хамгийн их сонирхол үүсдэг ATямар нэгэн байдлаар тохиолдох үйл явдлын магадлалыг өөрчилдөг (өсгөх эсвэл бууруулах). ГЭХДЭЭшинэ нөхцөлд найдвартай эсвэл боломжгүй үйл явдал болгон хувиргахгүйгээр. Нэг үйл явдлын нөгөө үйл явдалд үзүүлэх ийм нөлөөллийн шинж чанар бол нөхцөлт магадлал юм.
Нөхцөлт магадлалхөгжил ГЭХДЭЭнөхцөлөөр ATүйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг ГЭХДЭЭ, үйл явдал гэсэн таамаглалаар тооцсон ATаль хэдийн болсон.
Үүнтэй адилаар бид үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг тодорхойлж болно AT, үйл явдал болсон тохиолдолд ГЭХДЭЭаль хэдийн болсон.
Жишээ 3.4. Ууган дотор 6 цагаан, 8 хар бөмбөлөг байг. Хоёр бөмбөгийг буцаахгүйгээр ар араас нь санамсаргүй байдлаар савнаас гаргаж авдаг. Эхний зурсан бөмбөг мөн цагаан өнгөтэй байвал хоёр дахь бөмбөг цагаан байх магадлалыг олоорой?
Шийдэл
. Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭхоёр дахь бөмбөг цагаан байх болно, мөн үйл явдал юм ATЭхний бөмбөг цагаан байна. Даалгавар бол үйл явдлын магадлалыг олох явдал юм ГЭХДЭЭ, үйл явдал болсон тохиолдолд ATболсон, өөрөөр хэлбэл. олох. Хэрэв үйл явдал ATЭнэ тохиолдолд саванд 13 бөмбөг үлдсэн бөгөөд үүнээс 5 нь цагаан өнгөтэй байна. Тиймээс 5 нь цагаан өнгөтэй 13 бөмбөгнөөс цагаан бөмбөг зурах магадлал нь байна 
.■
Хоёр зүйлийг тэмдэглэе.
Нэгдүгээрт, үйл явдлын хувьд ГЭХДЭЭзөвхөн түүний нөхцөлт магадлалыг олох боломжтой төдийгүй үйл явдлын нийт магадлал гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв аль нэг бөмбөгийг эхлээд сонгосон бол хоёр дахь бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлал. Ийм магадлалыг олох талаар 3.4-р хэсэгт авч үзэх болно.
Хоёрдугаарт, жишээний нөхцөлийг өөрчилж болох бөгөөд ингэснээр эхний сонгосон бөмбөгний өнгө нь үйл явдлын магадлалд огт нөлөөлөхгүй. ГЭХДЭЭ. Бөмбөлгүүдийг өнгийг нь зассаны дараа буцааж саванд хийнэ гэж бид таамаглах болно. Дараа нь мэдээж хэрэг үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭЭхний бөмбөгийг ямар өнгө сонгохоос хамаарахгүй, i.e. үйл явдал үүссэнээс (эсвэл тохиолдоогүйгээс). AT. Энэ тохиолдолд 
, өөрөөр хэлбэл үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭэнэ үйл явдлын нөхцөлт магадлалтай давхцаж байна. Үйл явдал нь өөрсдөө ГЭХДЭЭболон ATЭнэ шалгалтанд бие даасан байна.
Хоёр үйл явдал ГЭХДЭЭболон ATдуудсан бие даасанхэрэв тэдгээр нь тус бүрийн тохиолдох магадлал нь өөр үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй бол. Үгүй бол үйл явдлуудыг дууддаг хамааралтай.
Тодорхойлолтоос харахад бие даасан үйл явдлын хувьд ГЭХДЭЭболон ATтомъёо хүчинтэй байна:
. (3.5)
Сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан нөхцөлт магадлалыг олох томьёог авъя. Туршилтыг хийцгээе nадил магадлалтай анхан шатны үйл явдлууд. Үйл явдлыг дэмжсэн үйл явдлын тоо ГЭХДЭЭ, тэнцүү байна т А; үйл явдал AT – т В; үйл явдлын бүтээгдэхүүн AB – t AB. Энэ нь ойлгомжтой бөгөөд 
. Үйл явдлаас хойш ATивээл т Вүр дүн, үүнээс зөвхөн т Аивээл ГЭХДЭЭ, тэгвэл нөхцөлт магадлал байна
. Эцэст нь бид авдаг
(3.6)
(3.6) томъёоны хуваагч нь тэгээс ялгаатай гэдгийг анхаарах хэрэгтэй, учир нь нөхцөл байдлаас шалтгаалан үйл явдал болно. ATтохиолдож болно, өөрөөр хэлбэл. т Втэгтэй тэнцүү биш.
Үүнтэй адилаар бид үйл явдлын нөхцөлт магадлалын томъёог гаргаж чадна AT: 
. Гэхдээ үйл явдлаас хойш ABүйл явдлаас ялгаагүй VAболон 
, дараа нь үйл явдлын нөхцөлт магадлал ATтомъёогоор тодорхойлж болно
(3.7)
Аксиоматик хандлагыг ашиглан магадлалын онолын хичээлүүд, томъёо (3.6) ба (3.7) -ийг нөхцөлт магадлалын тодорхойлолт болгон, (3.5) томъёог бие даасан үйл явдлыг тодорхойлоход ашигладаг.
Томъёо (3.6) ба (3.7) нь дараах магадлалын үржүүлэх теоремыг шууд илэрхийлнэ.
Теорем 3.2.Хоёр санамсаргүй тохиолдлын нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь эхний үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцсон нэг үйл явдлын магадлалын нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
(3.8)
Үр дагавар.Хэд хэдэн санамсаргүй тохиолдлууд нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь нэг үйл явдлын магадлал ба бусад бүх үйл явдлын нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байдаг бол дараагийн үйл явдал бүрийн магадлалыг өмнөх бүх үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцдог. өөрөөр хэлбэл
Жишээ 3.5. Сугалаанд 20 тасалбар байгаагаас 5 нь хожсон. Санамсаргүй байдлаар 3 тасалбарыг ээлж дараалан солихгүйгээр сонгоорой. Эхний, хоёр, гурав дахь тасалбарууд хожих магадлалыг тодорхойл.
Шийдэл.
Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭялагч тасалбар эхлээд сонгох болно, үйл явдал юм AT- хоёр дахь тасалбар хожно, эцэст нь, FROM- гурав дахь тасалбар хожиж байна. Энэ нь ойлгомжтой 
.
Үйл явдлын нөхцөлт магадлал ATүйл явдал болсон тохиолдолд ГЭХДЭЭболсон, өөрөөр хэлбэл. -тэй тэнцэх сугалаанаас нэг азын тасалбар сонгогдсон 
(нийт тасалбар 19 үлдсэн, үүнээс 4 нь хожсон).
Үйл явдлын нөхцөлт магадлал FROMүйл явдал болсон тохиолдолд ГЭХДЭЭболон ATболсон, өөрөөр хэлбэл. хоёр хожсон тасалбар сонгосон байна, тэнцүү 
.
Теорем 3.2-ын үр дүнд бүтээгдэхүүний магадлал нь байна
3.5-р асуудлыг сонгодог томъёо болон комбинаторикийн томъёог ашиглан шийдэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
.
Аливаа санамсаргүй үйл явдлын хувьд теорем 3.2 нь үнэн юм ГЭХДЭЭболон AT. Онцгой тохиолдолд үйл явдал болсон үед ГЭХДЭЭболон ATхараат бус байгаа тул дараах баталгааг баримтална.
Теорем 3.3 . Хоёр үл нийцэх үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал ГЭХДЭЭболон ATнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
Баталгаа.Хөгжил ГЭХДЭЭболон AT- бие даасан. Теорем 3.2-ын дагуу (3.5) томъёог харгалзан бид олж авна
Теорем нь батлагдсан.
Тэгэхээр теорем 3.3-т бие даасан үйл явдлын үржвэрийн магадлалыг (3.9) томъёогоор олно гэж хэлсэн. Эсрэг заалт нь бас үнэн юм.
Теорем 3.4.Хэрэв (3.9) томъёо нь хоёр үйл явдлын хувьд үнэн бол эдгээр үйл явдал нь бие даасан байна.
Бие даасан үйл явдлуудад хүчинтэй хэд хэдэн чухал шинж чанарыг нотлох баримтгүйгээр танилцуулъя.
1. Хэрэв үйл явдал AT-аас хамаарахгүй ГЭХДЭЭ, дараа нь үйл явдал ГЭХДЭЭ-аас хамаарахгүй AT.
2. Хэрэв үйл явдал ГЭХДЭЭболон ATбие даасан, дараа нь үйл явдал нь бас бие даасан байна ГЭХДЭЭболон .
3. Хэрэв хоёр үйл явдал бие даасан байвал эсрэг үйл явдлууд нь мөн бие даасан байна.
Теорем 3.3-ыг хязгаарлагдмал тооны үйл явдалд нэгтгэн дүгнэж болно. Гэсэн хэдий ч үүнийг хийхээсээ өмнө гурав ба түүнээс дээш үйл явдлын бие даасан байдлын тухай ойлголтыг илүү нарийвчлан авч үзэх шаардлагатай.
Гурав ба түүнээс дээш үйл явдлаас бүрдсэн бүлгийн хувьд хос бие даасан байдал, нийлбэрт бие даасан байдал гэсэн ойлголт байдаг.
Хөгжил ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , …, А ндуудсан хос бие даасанхэрэв эдгээр үйл явдлын аль нэг нь бие даасан байвал.
Хөгжил ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , …, А ндуудсан Хамтын бие даасан (эсвэл зүгээр л бие даасан)хэрэв тэдгээр нь хосоороо бие даасан бөгөөд бусад бүх үйл явдал болон бүх боломжит бүтээгдэхүүнүүд бие даасан байвал.
Жишээлбэл, гурван үйл явдал ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭДараах үйл явдлууд бие даасан байвал 3 нь бие биенээсээ хараат бус байна.
ГЭХДЭЭ 1 ба ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭ 1 ба ГЭХДЭЭ 3 , ГЭХДЭЭ 2 ба ГЭХДЭЭ 3 ,
ГЭХДЭЭ 1 ба ГЭХДЭЭ 2 ГЭХДЭЭ 3 , ГЭХДЭЭ 2 ба ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 3 , ГЭХДЭЭ 3 ба ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 2 .
Теорем 3.5 . Хэрэв үйл явдлууд ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , …, А нЭдгээр нь нийлбэрээрээ бие даасан байвал тэдгээрийн нэгэн зэрэг үүсэх магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.
Баталгаа.Гурван үйл явдлын хувьд томьёо зөв болохыг харуулъя. Хэрэв гурваас дээш үйл явдал байвал томъёоны үнэн зөвийг математик индукцийн аргаар нотолно.
Тиймээс үүнийг харуулъя. Үйл явдлын теоремын нөхцлөөр ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭ 3 нь хамтдаа бие даасан. Тиймээс, жишээ нь, хоёр үйл явдал бие даасан байдаг ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 2 ба ГЭХДЭЭ 3 . (3.9) томъёоны дагуу бид . Үйл явдлын нөхцөлөөр ГЭХДЭЭ 1 ба ГЭХДЭЭ 2 нь бас бие даасан. Эхний хүчин зүйлд (3.9) томъёог ашигласнаар бид эцэст нь .
Теорем нь батлагдсан.
Хэрэв үйл явдлууд хосоороо бие даасан байвал тэдгээр нь бүхэлдээ бие даасан байх болно гэсэн үг биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Мөн эсрэгээр, хэрэв үйл явдлууд нийлбэрээрээ бие даасан байвал тэдгээр нь тодорхой тодорхойлолтоор хоёр бие даасан байх болно.
Хосоороо хамааралгүй, гэхдээ нийлбэрээрээ хамааралтай үйл явдлуудын жишээг авч үзье.
Жишээ 3.6. Хайрцагт 4 ижил карт байна гэж бодъё, тэдгээрт тоо бичсэн байна:
 |
Санамсаргүй байдлаар нэг карт сонгоно. Үйл явдал ГЭХДЭЭТа 1-ийн дугаартай картыг сонгосон гэсэн үг, үйл явдал ATсонгосон карт нь 2 дугаартай үйл явдал гэж үздэг FROM- тоо 3. Үйл явдал мөн эсэхийг олж мэд ГЭХДЭЭ, ATболон FROMхос бие даасан эсвэл хамтын бие даасан.
Шийдэл. Үйл явдал тус бүрийн магадлал ГЭХДЭЭ, ATболон FROMсонгодог томъёогоор олж болно (нийт 4 карт байгаа бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь 1, 2, 3 гэсэн тоотой): .
Үйл явдал гэдгийг харуулъя ГЭХДЭЭ, ATболон FROMхос бие даасан байдаг. Дурын хоёр үйл явдлыг сонгоцгооё, жишээлбэл, ГЭХДЭЭболон AT. Тэдний бүтээгдэхүүний магадлал нь 1 ба 2-ын тоо нэгэн зэрэг гарч ирэхээс хойш дөрөвний нэг карт дээр л байж болно.
Тиймээс тэгш байдал 
. Теорем 3.4-ийн дагуу үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATбие даасан. Үүний нэгэн адил үйл явдлын бие даасан байдлыг харуулж чадна ATболон FROM, түүнчлэн үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон FROM. Хос бие даасан байдал нь батлагдсан.
Эдгээр үйл явдлууд нийлбэрээрээ бие даасан биш гэдгийг харуулъя. Бүх гурван үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал, i.e. Дөрвөн картын зөвхөн нэг нь бүх гурван дугаартай тул гурван тооны харагдах байдал нь -тэй тэнцүү байна. Үйл явдлын магадлалын үржвэр нь . Энэ замаар, 
, тиймээс нийлбэрт бие даасан байдал байхгүй. ■
Магадлалыг үржүүлэх теорем ба үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремоос хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем шууд дагадаг.
Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж
Хөдөө аж ахуйн академи"
Дээд математикийн тэнхим
Магадлалыг НЭМЭХ, ҮРЖҮҮЛЭХ. ДАВТАСАН БИЕ ДААН ТЕСТ
Газар зохион байгуулалтын факультетийн оюутнуудад зориулсан лекц
алсын зайн сургалт
Горки, 2012
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх. Давтагдсан
бие даасан туршилтууд
Магадлалыг нэмэх
Хоёр хамтарсан үйл явдлын нийлбэр ГЭХДЭЭболон ATүйл явдал гэж нэрлэдэг FROM, наад зах нь нэг үйл явдал тохиолдсоноос бүрддэг ГЭХДЭЭэсвэл AT. Үүний нэгэн адил хэд хэдэн хамтарсан үйл явдлын нийлбэр нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм.
Хоёр салангид үйл явдлын нийлбэр ГЭХДЭЭболон ATүйл явдал гэж нэрлэдэг FROM, тохиолдох буюу үйл явдалаас бүрдэх ГЭХДЭЭ, эсвэл үйл явдал AT. Үүний нэгэн адил хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын нийлбэр нь эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм.
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем хүчинтэй байна. Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна , өөрөөр хэлбэл . Энэ теоремыг ямар ч хязгаарлагдмал тооны үл нийцэх үйл явдлуудад өргөтгөж болно.
Энэ теоремоос дараах байдалтай байна.
бүрэн бүлгийг бүрдүүлэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү;
эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү, i.e. 
.
Жишээ 1 . Нэг хайрцагт 2 цагаан, 3 улаан, 5 цэнхэр бөмбөлөг байдаг. Бөмбөгийг хольж, нэгийг нь санамсаргүй байдлаар зурдаг. Бөмбөлөг өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А=(өнгөт бөмбөг хасагдсан);
Б=(цагаан бөмбөг зурсан);
C=(улаан бөмбөг зурсан);
Д=(цэнхэр бөмбөг хасагдсан).
Дараа нь А= C+ Д. Үйл явдлуудаас хойш C, Днийцэхгүй бол бид үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремыг ашиглана: .
Жишээ 2 . Нэг саванд 4 цагаан, 6 хар бөмбөлөг байдаг. Уран савнаас санамсаргүй байдлаар 3 бөмбөг сугалж авдаг. Тэд бүгд ижил өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А\u003d (ижил өнгийн бөмбөгийг гаргаж авдаг);
Б\u003d (цагаан бөмбөгийг гаргаж авдаг);
C= (хар бөмбөгийг гаргаж авдаг).
Учир нь А=
Б+
Cболон үйл явдлууд ATболон FROMнийцэхгүй байгаа бол үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремоор 
. Үйл явдлын магадлал ATтэнцүү байна 
, хаана 
4,
. Орлуулах кболон nтомъёонд оруулаад аваарай 
Үүнтэй адилаар бид үйл явдлын магадлалыг олдог FROM:
, хаана 
,
, өөрөөр хэлбэл 
. Дараа нь 
.
Жишээ 3 . 36 картын тавцангаас 4 картыг санамсаргүй байдлаар сугалав. Тэдгээрийн дунд дор хаяж гурван хөзрийн тамга байх магадлалыг ол.
Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А\u003d (сугасан картуудын дунд дор хаяж гурван хөзрийн тамга байдаг);
Б\u003d (сусан хөзрийн дунд гурван хөзөр байдаг);
C= (сугасан хөзрүүдийн дунд дөрвөн хөзөр байдаг).
Учир нь А=
Б+
C, үйл явдал ATболон FROMнийцэхгүй, тэгвэл 
. Үйл явдлын магадлалыг олцгооё ATболон FROM:
,
. Тиймээс, сугалсан хөзрийн дунд дор хаяж гурван хөзөр байх магадлал тэнцүү байна
0.0022.
Магадлалын үржвэр
ажил
хоёр үйл явдал ГЭХДЭЭболон ATүйл явдал гэж нэрлэдэг FROM, эдгээр үйл явдлын хамтарсан тохиолдлоос бүрдэх: 
. Энэ тодорхойлолт нь аливаа хязгаарлагдмал тооны үйл явдалд хамаарна.
Хоёр үйл явдлыг нэрлэдэг бие даасан
хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь нөгөө үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй бол. Хөгжил 
,
,
… ,
дуудсан хамтын бие даасан
, хэрэв тэдгээр нь тус бүрийн тохиолдох магадлал нь бусад үйл явдал болсон эсвэл болоогүй эсэхээс хамаарахгүй бол.
Жишээ 4 . Хоёр сум бай руу харваж байна. Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А=(анхны буудагч байг оносон);
Б= (хоёр дахь мэргэн буудагч бай оносон).
Мэдээжийн хэрэг, эхний буудагч онох магадлал нь хоёр дахь буудагч оносон эсвэл алдсан эсэхээс хамаарахгүй, харин эсрэгээрээ. Тиймээс үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATбие даасан.
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем хүчинтэй байна. бие даасан хоёр үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна : .
Энэ теорем нь бас хүчинтэй nнийлбэрээр бие даасан үйл явдлууд: .
Жишээ 5 . Хоёр буудагч нэг бай руу бууддаг. Эхний мэргэн буучийг онох магадлал 0.9, хоёр дахь нь 0.7 байна. Хоёр буудагч нэгэн зэрэг нэг сум хийдэг. Зорилтот дээр хоёр цохилт өгөх магадлалыг тодорхойл.
Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А
Б
C=(сум хоёулаа бай онох болно).
Учир нь 
, үйл явдал ГЭХДЭЭболон ATтэгвэл бие даасан 
, өөрөөр хэлбэл .
Хөгжил ГЭХДЭЭболон ATдуудсан хамааралтай
хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь нөгөө үйл явдал болсон эсэхээс хамаарна. Үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭүйл явдал болсон тохиолдолд ATЭнэ нь аль хэдийн энд байна, үүнийг нэрлэдэг нөхцөлт магадлал
болон тэмдэглэсэн 
эсвэл 
.
Жишээ 6 . Нэг саванд 4 цагаан, 7 хар бөмбөлөг байдаг. Бөмбөгийг савнаас гаргаж авдаг. Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А=(цагаан бөмбөг хасагдсан);
Б=(хар бөмбөгийг арилгасан).
Та савнаас бөмбөг зурж эхлэхээсээ өмнө 
. Уурнаас нэг бөмбөг сугалж аваад хар өнгөтэй болсон. Дараа нь үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭүйл явдлын дараа ATялгаатай, тэнцүү байх болно 
. Энэ нь үйл явдлын магадлал гэсэн үг юм ГЭХДЭЭүйл явдлаас хамаарна AT, өөрөөр хэлбэл Эдгээр үйл явдлууд нь хамааралтай байх болно.
Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем хүчинтэй байна. Хоёр хамааралтай үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь эхний үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлалын нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл эсвэл .
Жишээ 7 . Нэг саванд 4 цагаан, 8 улаан бөмбөлөг байдаг. Үүнээс санамсаргүй байдлаар хоёр бөмбөг сугалж авдаг. Хоёр бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлалыг ол.
Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А=(эхлээд хар бөмбөг зурсан);
Б=(хоёр дахь хар бөмбөгийг зурсан).
Хөгжил ГЭХДЭЭболон ATхамааралтай учраас 
, a 
. Дараа нь 
.
Жишээ 8 . Гурван сум бие биенээсээ үл хамааран бай руу харвадаг. Эхний харвагчийн хувьд бай онох магадлал 0.5, хоёр дахь нь 0.6, гурав дахь нь 0.8 байна. Буудагч бүр нэг сум хийвэл хоёр цохилт гарах магадлалыг ол.
Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А=(зорилтот дээр хоёр цохилт байх болно);
Б=(эхний мэргэн буудагч бай оносон);
C=(хоёр дахь буудагч байг онох болно);
Д=(гурав дахь буудагч байг онох болно);
=(эхний харвасан хүн бай онохгүй);
=(хоёр дахь буудагч нь бай онохгүй);
=(гурав дахь буудагч бай онохгүй).
Жишээний дагуу 
,
,
,
,
,
. , дараа нь үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем ба бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Үйл явдал болъё 
зарим шүүх хурлын үйл явдлуудын бүрэн бүлэг, үйл явдлуудыг бүрдүүлнэ ГЭХДЭЭЭдгээр үйл явдлын аль нэгэнд л тохиолдож болно. Үйл явдлын магадлал болон нөхцөлт магадлал нь мэдэгдэж байгаа бол ГЭХДЭЭ, дараа нь А үйл явдлын магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.
Эсвэл 
. Энэ томъёог гэж нэрлэдэг нийт магадлалын томъёо
, үйл явдал 
таамаглал
.
Жишээ 9
. Угсрах шугам нь эхний машинаас 700 эд анги, 300 эд анги хүлээн авдаг 
хоёр дахь нь. Эхний машин нь 0.5% татгалзсан, хоёр дахь нь 0.7% өгдөг. Авсан зүйл нь гэмтэлтэй байх магадлалыг ол.
Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А=(авсан зүйл нь гэмтэлтэй байх болно);
= (хэсэг нь эхний машин дээр хийгдсэн);
= (хэсэг нь хоёр дахь машин дээр хийгдсэн).
Эхний машин дээр уг эд анги хийгдсэн байх магадлал 
. Хоёр дахь машины хувьд 
. Нөхцөлөөр бол эхний машин дээр хийсэн гэмтэлтэй хэсгийг олж авах магадлал тэнцүү байна 
. Хоёрдахь машины хувьд энэ магадлал нь тэнцүү байна 
. Дараа нь авсан хэсэг нь гэмтэлтэй байх магадлалыг нийт магадлалын томъёогоор тооцоолно 
Туршилтын үр дүнд ямар нэгэн үйл явдал болсон нь мэдэгдэж байгаа бол ГЭХДЭЭ, дараа нь таамаглалтай энэ үйл явдал болсон байх магадлал 
, тэнцүү байна 
, хаана 
- үйл явдлын нийт магадлал ГЭХДЭЭ. Энэ томъёог гэж нэрлэдэг Бэйсийн томъёо
үйл явдлын магадлалыг тооцоолох боломжийг танд олгоно 
болсон нь тодорхой болсны дараа ГЭХДЭЭаль хэдийн ирсэн.
Жишээ 10 . Машинд зориулсан ижил төрлийн эд ангиудыг хоёр үйлдвэрт үйлдвэрлэдэг бөгөөд дэлгүүрт очдог. Эхний үйлдвэр нь нийт эд ангиудын 80%, хоёр дахь нь 20% -ийг үйлдвэрлэдэг. Эхний үйлдвэрийн үйлдвэрлэл нь стандарт хэсгүүдийн 90%, хоёр дахь нь 95% -ийг агуулдаг. Худалдан авагч нэг хэсгийг худалдаж авсан бөгөөд энэ нь стандарт болсон. Энэ хэсгийг хоёрдугаар үйлдвэрт хийсэн байх магадлалыг ол.
Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:
А=(стандарт хэсгийг худалдаж авсан);
= (хэсэг нь эхний үйлдвэрт хийгдсэн);
= (хэсэг нь хоёр дахь үйлдвэрт хийгдсэн).
Жишээний дагуу 
,
,
болон 
. Үйл явдлын нийт магадлалыг тооцоол ГЭХДЭЭ: 0.91. Энэ хэсгийг хоёрдугаар үйлдвэрт үйлдвэрлэх магадлалыг Байесийн томъёогоор тооцоолно. 
.
Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар
Эхний харвагчийн хувьд бай онох магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.7, гурав дахь нь 0.9 байна. Буудагчид нэг удаа буудсан. Зорилтот дээр дор хаяж хоёр цохилт өгөх магадлалыг ол.
Засварын газар 15 трактор хүлээн авсан. Тэдний 6 нь хөдөлгүүрийг солих, үлдсэн хэсэг нь бие даасан эд ангиудыг солих шаардлагатай гэдгийг мэддэг. Гурван тракторыг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Сонгосон хоёроос илүүгүй тракторын хөдөлгүүр солих шаардлагатай байх магадлалыг ол.
Бетон зуурмагийн үйлдвэр нь хавтан үйлдвэрлэдэг бөгөөд 80% нь дээд зэргийн чанартай байдаг. Санамсаргүй байдлаар сонгосон гурван самбараас дор хаяж хоёр нь хамгийн өндөр үнэлгээтэй байх магадлалыг ол.
Гурван ажилчин холхивч угсардаг. Эхний ажилчны угсарсан холхивч хамгийн өндөр чанартай байх магадлал 0.7, хоёр дахь нь 0.8, гурав дахь нь 0.6 байна. Хяналтын хувьд ажилчин бүрийн угсарсан нэг холхивчийг санамсаргүй байдлаар авсан. Хамгийн багадаа хоёр нь хамгийн чанартай байх магадлалыг ол.
Эхний дугаарын сугалааны тасалбар дээр хожих магадлал 0.2, хоёр дахь нь 0.3, гурав дахь нь 0.25 байна. Дугаар бүрт нэг тасалбар байна. Хамгийн багадаа хоёр тасалбар хожих магадлалыг ол.
Нягтлан бодогч гурван лавлах номыг ашиглан тооцоо хийдэг. Түүний сонирхсон өгөгдөл эхний лавлахад 0.6, хоёрдугаарт 0.7, гуравдугаарт 0.8 байна. Нягтлан бодогчийн сонирхсон мэдээлэл хоёроос илүүгүй лавлахад агуулагдах магадлалыг ол.
Гурван машин эд анги хийдэг. Эхний автомат машин нь 0.9, хоёр дахь нь 0.7, гурав дахь нь 0.6 магадлал бүхий хамгийн өндөр чанарын хэсгийг үйлдвэрлэдэг. Машин бүрээс нэг зүйлийг санамсаргүй байдлаар авдаг. Хамгийн багадаа хоёр нь хамгийн чанартай байх магадлалыг ол.
Ижил төрлийн эд ангиудыг хоёр машин дээр боловсруулдаг. Эхний машинд стандарт бус эд анги үйлдвэрлэх магадлал 0.03, хоёр дахь нь 0.02 байна. Боловсруулсан хэсгүүдийг нэг газар овоолсон байна. Тэдний 67% нь эхний машинаас, үлдсэн нь хоёрдугаарт байна. Санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь стандарт болсон. Эхний машин дээр хийгдсэн байх магадлалыг ол.
Семинарт ижил төрлийн конденсаторын хоёр хайрцаг хүлээн авсан. Эхний хайрцагт 20 конденсатор байсан бөгөөд үүнээс 2 нь гэмтэлтэй байв. Хоёр дахь хайрцагт 10 конденсатор байгаа бөгөөд үүнээс 3 нь гэмтэлтэй байна. Конденсаторуудыг нэг хайрцагт шилжүүлсэн. Хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар авсан конденсатор сайн байх магадлалыг ол.
Гурван машин дээр ижил төрлийн эд ангиудыг хийдэг бөгөөд тэдгээр нь нийтлэг конвейерт тэжээгддэг. Бүх нарийн ширийн зүйлсийн дотроос эхний машинаас 20%, хоёр дахь машинаас 30%, гурав дахь машинаас 505%. Эхний машин дээр стандарт эд анги үйлдвэрлэх магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.6, гурав дахь нь 0.7 байна. Авсан хэсэг нь стандарт байсан. Энэ хэсгийг гурав дахь машин дээр хийсэн байх магадлалыг ол.
Сонгогч эд ангиудын 40%-ийг үйлдвэрээс угсрахаар хүлээн авдаг ГЭХДЭЭ, үлдсэн хэсэг нь - үйлдвэрээс AT. магадлал нь үйлдвэрээс хэсэг ГЭХДЭЭ- 0.8-тай тэнцэх өндөр чанартай, үйлдвэрээс AT– 0.9. Сонгогч санамсаргүй байдлаар нэг хэсгийг авсан бөгөөд энэ нь хамгийн өндөр чанартай биш байв. Энэ хэсэг нь үйлдвэрийнх байх магадлалыг ол AT.
Оюутны спортын тэмцээнд 1-р бүлгээс 10, 2-р бүлгээс 8 сурагч шалгарлаа. Нэгдүгээр бүлгийн оюутан академийн шигшээ багт орох магадлал 0.8, хоёрдугаарт орох магадлал 0.7 байна. Шигшээ багт санамсаргүй түүврийн аргаар сонгогдсон оюутныг сонгосон. Тэр эхний бүлгийнх байх магадлалыг ол.
Нэмэх теорем
Тохиромжгүй санамсаргүй үйл явдлуудыг авч үзье.
Нэг туршилтанд таарахгүй санамсаргүй үйл явдлууд $A$ ба $B$ нь $P\left(A\right)$ болон $P\left(B\right)$ магадлалтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Эдгээр үйл явдлын $A+B$ нийлбэрийн магадлалыг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг олъё.
Энэ тестийн бүх боломжит энгийн үйл явдлын тоо $n$ байна гэж бодъё. Эдгээрээс $A$ болон $B$ үйл явдлуудыг $m_(A)$ болон $m_(B)$ анхан шатны үйл явдлууд тус тус илүүд үздэг. $A$ болон $B$ үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй тул $A+B$ үйл явдлыг $m_(A) +m_(B)$ энгийн үйл явдлууд илүүд үздэг. Бидэнд $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B)) байна. ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.
Теорем 1
Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Тайлбар 1
Үр дагавар 1.Ямар ч тооны үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үр дагавар 2.Тохиромжгүй үйл явдлын бүрэн бүлгийн магадлалын нийлбэр (бүх энгийн үйл явдлын магадлалын нийлбэр) нэгтэй тэнцүү байна.
Үр дагавар 3.Эсрэг үйл явдлуудын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна, учир нь тэдгээр нь үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.
Жишээ 1
Хотод хэсэг хугацаанд бороо орохгүй байх магадлал $p=0.7$ байна. Тухайн үед хотод ядаж нэг удаа бороо орох $q$-г ол.
“Хотод хэсэг хугацаанд бороо ороогүй”, “Хотод нэг удаа ч болов бороо орсон” үйл явдлууд эсрэгээрээ. Тиймээс $p+q=1$, үүнээс $q=1-p=1-0.7=0.3$.
Хамтарсан санамсаргүй үйл явдлуудыг авч үзье.
Нэг туршилтын хамтарсан санамсаргүй үйл явдлууд $A$ ба $B$ нь $P\left(A\right)$ ба $P\left(B\right)$ магадлалтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Эдгээр үйл явдлын $A+B$ нийлбэрийн магадлалыг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг олъё.
Энэ тестийн бүх боломжит энгийн үйл явдлын тоо $n$ байна гэж бодъё. Эдгээрээс $A$ болон $B$ үйл явдлуудыг $m_(A)$ болон $m_(B)$ анхан шатны үйл явдлууд тус тус илүүд үздэг. $A$ болон $B$ үйл явдлууд нь хамтарсан тул нийт $m_(A) +m_(B) $ анхан шатны үйл явдлуудын тодорхой тооны $m_(AB) $ нь $A$ үйл явдлыг хоёуланг нь илүүд үздэг. болон $B$ үйл явдал, өөрөөр хэлбэл тэдний хамтарсан тохиолдох ($A\cdot B$ үйл явдлын үржвэр). Энэ хэмжээ $m_(AB)$ нь $m_(A)$ болон $m_(B)$ хоёуланг нь оруулсан. Тэгэхээр $A+B$ үйл явдлыг $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ илүүд үздэг. энгийн үйл явдлууд. Бидэнд: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB))(n) =P\зүүн(A\баруун)+P\зүүн(B\баруун)-P\зүүн(A\cdot B\ баруун) $.
Теорем 2
Хоёр хамтарсан үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэрээс тэдгээрийн үржвэрийн магадлалыг хассантай тэнцүү байна.
Сэтгэгдэл. Хэрэв $A$ болон $B$ үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй бол тэдгээрийн бүтээгдэхүүн $A\cdot B$ нь боломжгүй үйл явдал бөгөөд магадлал нь $P\left(A\cdot B\right)=0$ байна. Тиймээс үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх томъёо нь хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх томъёоны онцгой тохиолдол юм.
Жишээ 2
Хоёр шоо зэрэг шидэхэд 5-ын тоо ядаж нэг удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Хоёр шоо нэгэн зэрэг шидэх үед эхний шооны орон бүрт хоёр дахь шооны зургаан орон унаж болох тул ижил боломжтой бүх энгийн тохиолдлын тоо $n=36$-тэй тэнцүү байна. Эдгээрээс $A$ - эхний өлгүүрт өнхрөх 5-ын тоо - 6 удаа, хоёр дахь өлгүүрт өнхрөх $B$ - 5-ын тоо мөн 6 удаа болдог. Бүх арван хоёр удаагийн шоо дээр 5-ын тоо нэг удаа гарч ирдэг. Тэгэхээр $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.
Магадлалын үржүүлэх теорем
Бие даасан үйл явдлуудыг авч үзье.
Хоёр дараалсан туршилтын явцад тохиолдох $A$ ба $B$ үйл явдлуудыг $B$ үйл явдал болох магадлал нь $A$ үйл явдал болсон эсвэл болоогүйгээс хамаарахгүй бол бие даасан гэж нэрлэдэг.
Жишээлбэл, нэг саванд 2 цагаан, 2 хар бөмбөг байна гэж бодъё. Туршилт нь бөмбөгийг гаргаж авах явдал юм. $A$ үйл явдал нь "анхны туршилтаар цагаан бөмбөг зурсан" юм. Магадлал $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Эхний туршилтын дараа бөмбөгийг буцааж тавьж, хоёр дахь туршилтыг явуулав. Үйл явдал $B$ -- ``хоёр дахь туршилтаар зурсан цагаан бөмбөг''. Магадлал $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. $P\left(B\right)$ магадлал нь $A$ үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй тул $A$ болон $B$ үйл явдлууд бие даасан байна.
Хоёр дараалсан туршилтын $A$ ба $B$ бие даасан санамсаргүй үйл явдлууд нь $P\left(A\right)$ ба $P\left(B\right)$ магадлалтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Эдгээр үйл явдлуудын $A\cdot B$ үржвэрийн магадлалыг, өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн хамт тохиолдох магадлалыг олъё.
Эхний туршилтанд адил боломжтой бүх энгийн үзэгдлийн тоо $n_(1) $ байна гэж бодъё. Эдгээрээс $A$-д $m_(1)$ анхан шатны үйл явдлууд таалагддаг. Хоёрдахь тестэнд адил боломжтой бүх энгийн үзэгдлийн тоог $n_(2) $ гэж үзье. Эдгээрээс $B$ үйл явдлыг $m_(2)$ энгийн үйл явдлууд илүүд үздэг. Одоо эхний болон хоёр дахь туршилтын дараалсан үйл явдлуудаас бүрдэх шинэ энгийн үйл явдлыг авч үзье. Ийм ижил магадлалтай энгийн үзэгдлүүдийн нийт тоо $n_(1) \cdot n_(2) $-тай тэнцүү байна. $A$ болон $B$ үйл явдлууд нь бие даасан байдаг тул энэ тооноос $A$ үйл явдал болон $B$ үйл явдлын ($A\cdot B$ үйл явдлын үржвэр) хамтарсан тохиолдохыг $m_( 1) \cdot m_(2) $ үйл явдлууд . Бидэнд: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1)) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.
Теорем 3
Хоёр бие даасан үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Хамааралтай үйл явдлуудыг авч үзье.
Хоёр дараалсан туршилтанд $A$ болон $B$ үйл явдлууд тохиолддог. Хэрэв $B$ үйл явдал тохиолдох магадлал нь $A$ үйл явдал болсон эсэхээс хамаарч байвал $B$ үйл явдлыг $A$ үйл явдлаас хамааралтай гэнэ. Дараа нь $A$ үйл явдал болсон нөхцөлд тооцсон $B$ үйл явдлын магадлалыг $A$ нөхцөлөөр $B$ үйл явдлын нөхцөлт магадлал гэж нэрлээд $P\left гэж тэмдэглэнэ. (B/A\баруун)$.
Жишээлбэл, нэг саванд 2 цагаан, 2 хар бөмбөг байна гэж бодъё. Туршилт бол бөмбөгийг гаргаж авах явдал юм. $A$ үйл явдал нь "анхны туршилтаар цагаан бөмбөг зурсан" юм. Магадлал $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Эхний туршилтын дараа бөмбөгийг буцааж тавихгүй, хоёр дахь туршилтыг хийнэ. Үйл явдал $B$ -- ``хоёр дахь туршилтаар зурсан цагаан бөмбөг''. Хэрэв эхний туршилтаар цагаан бөмбөг зурсан бол магадлал нь $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $ байна. Хэрэв эхний туршилтаар хар бөмбөг зурсан бол магадлал нь $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $ байна. Иймд $B$ үйл явдлын магадлал нь $A$ үйл явдал болсон эсэхээс хамаардаг тул $B$ үйл явдал нь $A$ үйл явдлаас хамаарна.
$A$ болон $B$ үйл явдлууд хоёр дараалсан туршилтаар явагдана гэж бодъё. $A$ үйл явдал $P\left(A\right)$ тохиолдох магадлалтай нь мэдэгдэж байна. Мөн $B$ үйл явдал нь $A$ үйл явдлаас хамааралтай бөгөөд $A$ нөхцөл дэх нөхцөлт магадлал нь $P\left(B/A\right)$-тай тэнцүү байна.
Теорем 4
$A$ үйл явдлын үржвэрийн магадлал ба түүнээс хамаарах $B$ үйл явдлын магадлалыг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хамтарсан тохиолдох магадлалыг $P\left(A\cdot B\right)= томъёогоор олно. P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.
$P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\баруун)\cdot P\left(A/B\right)$ тэгш хэмтэй томьёо нь мөн хүчинтэй бөгөөд $A$ үйл явдал дараах байдлаар тооцогдоно. $ B$ үйл явдлаас хамааралтай байх.
Сүүлийн жишээний нөхцлийн хувьд бид хоёр туршилтанд цагаан бөмбөг зурах магадлалыг олдог. Ийм үйл явдал нь $A$ болон $B$ үйл явдлуудын бүтээгдэхүүн юм. Түүний магадлал нь $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.
Ачааж байна...
