Тэгшитгэлүүд нь үндсэн логарифмын адилтгал юм. Логарифм илэрхийллүүд

Өнөөдөр бид ярих болно логарифм томъёомөн бид заалт өгөх болно шийдлийн жишээнүүд.

Тэд өөрсдөө логарифмын үндсэн шинж чанаруудын дагуу шийдлийн хэв маягийг илэрхийлдэг. Логарифмын томъёог шийдэхийн өмнө бүх шинж чанаруудыг сануулъя:

Одоо эдгээр томьёо (шинж чанар) дээр үндэслэн бид харуулах болно Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Томьёонд үндэслэн логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Логарифм a суурийн эерэг тоо b (log a b гэж тэмдэглэсэн) нь b > 0, a > 0, 1-тэй b-ийг авахын тулд a-г өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Тодорхойлолтоор log a b = x буюу a x = b-тэй тэнцэх тул log a a x = x гэж бичнэ.

Логарифм, жишээнүүд:

бүртгэл 2 8 = 3, учир нь 2 3 = 8

бүртгэл 7 49 = 2, учир нь 7 2 = 49

бүртгэл 5 1/5 = -1, учир нь 5 -1 = 1/5

Аравтын логарифм- энэ бол энгийн логарифм бөгөөд суурь нь 10. Үүнийг lg гэж тэмдэглэнэ.

бүртгэл 10 100 = 2, учир нь 10 2 = 100

Байгалийн логарифм- мөн энгийн логарифм, логарифм, гэхдээ суурь нь e (e = 2.71828... - иррационал тоо). ln гэж тэмдэглэсэн.

Логарифмын томьёо эсвэл шинж чанарыг цээжлэхийг зөвлөж байна, учир нь логарифм, логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд бидэнд хэрэгтэй болно. Томъёо бүрийг жишээн дээр дахин боловсруулъя.

• Үндсэн мэдээлэл логарифмын ижилсэл
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Бүтээгдэхүүний логарифм нийлбэртэй тэнцүү байналогарифмууд
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 бүртгэл 5 50 /9 бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 50- бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 25 = 9 2 = 81

• Логарифмын тооны чадлын шинж чанарууд ба логарифмын суурийн суурь

  Логарифмын тооны илтгэгч log a b m = mllog a b

  Логарифмын суурийн илтгэгч log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  хэрэв m = n бол log a n b n = log a b болно

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Шинэ суурь руу шилжих
  log a b = log c b/log c a,

  хэрэв c = b бол бид log b b = 1 болно

  дараа нь log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Таны харж байгаагаар логарифмын томъёонууд нь санагдсан шиг тийм ч төвөгтэй биш юм. Одоо логарифмыг шийдэх жишээнүүдийг харсны дараа бид логарифмын тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Бид логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг "" нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзэх болно. Үүнийг бүү алдаарай!

Хэрэв танд шийдлийн талаар асуулт байгаа бол тэдгээрийг нийтлэлийн сэтгэгдэлд бичээрэй.

Жич: Бид сонголтоор өөр ангид боловсрол эзэмшиж, гадаадад суралцахаар шийдсэн.

Тооны логарифм Н дээр суурилсан А экспонент гэж нэрлэдэг X , та үүнийг барих хэрэгтэй А дугаарыг авахын тулд Н

Тэгсэн бол
,
,

Логарифмын тодорхойлолтоос харахад ийм байна
, өөрөөр хэлбэл
- энэ тэгш байдал нь үндсэн логарифмын ижилсэл юм.

10 суурь хүртэлх логарифмыг аравтын логарифм гэнэ. Оронд нь
бичих
.

Суурь руу логарифмууд д байгалийн гэж нэрлэдэг ба томилогдсон байна
.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд.

Нэгийн логарифм нь аль ч суурийн хувьд тэгтэй тэнцүү байна.

Бүтээгдэхүүний логарифм нь хүчин зүйлийн логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

3) Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна

Хүчин зүйл
логарифмаас суурь руу шилжих модуль гэж нэрлэдэг а суурь дээр логарифм руу б .

2-5-р шинж чанарыг ашиглан логарифм дээрх энгийн арифметик үйлдлийн үр дүнд нийлмэл илэрхийллийн логарифмыг багасгах боломжтой байдаг.

Жишээлбэл,

Логарифмын ийм хувиргалтыг логарифм гэж нэрлэдэг. Логарифмын урвуу хувиргалтыг потенциац гэж нэрлэдэг.

Бүлэг 2. Дээд математикийн элементүүд.

1. Хязгаарлалт

Функцийн хязгаар
нь хязгаарлагдмал тоо юм xx 0 урьдчилан тодорхойлсон тус бүрийн хувьд
, ийм тоо байдаг
тэр даруйдаа
, Тэр
.

Хязгаарлалттай функц нь үүнээс хязгааргүй бага хэмжээгээр ялгаатай:
, хаана- b.m.v., i.e.
.

Жишээ. Функцийг авч үзье
.

Хичээж байхдаа
, функц y тэг рүү чиглэдэг:

1.1. Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд.

Хязгаар тогтмол утгаэнэ тогтмол утгатай тэнцүү байна

.

Хязгаарлагдмал тооны функцын нийлбэрийн (ялгаа) хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна.

Хязгаарлагдмал тооны функцын үржвэрийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хоёр функцийн хязгаарын хязгаар нь хуваарийн хязгаар тэг биш бол эдгээр функцүүдийн хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна.

Гайхамшигтай хязгаарууд

,
, Хаана

1.2. Хязгаарлалтын тооцооны жишээ

Гэсэн хэдий ч бүх хязгаарыг тийм ч хялбархан тооцдоггүй. Ихэнхдээ хязгаарыг тооцоолох нь тодорхойгүй байдлын төрлийг илрүүлэхэд хүргэдэг. эсвэл .

.

2. Функцийн дериватив

Бидэнд функцтэй байцгаая
, сегмент дээр тасралтгүй
.

Аргумент бага зэрэг нэмэгдлээ
. Дараа нь функц нь өсөлтийг хүлээн авах болно
.

Аргументын утга функцийн утгатай тохирч байна
.

Аргументын утга
функцийн утгатай тохирч байна.

Тиймээс, .

Энэ харьцааны хязгаарыг олъё
. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол өгөгдсөн функцийн дериватив гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3 Өгөгдсөн функцийн дериватив
аргументаар аргументийн өсөлт нь дур зоргоороо тэг рүү чиглэх үед функцын өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг.

Функцийн дериватив
дараах байдлаар тодорхойлж болно:

; ; ; .

Тодорхойлолт 4 Функцийн деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах.

2.1. Деривативын механик утга.

Зарим хатуу бие эсвэл материаллаг цэгийн шулуун хөдөлгөөнийг авч үзье.

Хэзээ нэгэн цагт зөвшөөр хөдлөх цэг
зайтай байсан эхлэх байрлалаас
.

Хэсэг хугацааны дараа
тэр хол нүүсэн
. Хандлага =- дундаж хурдматериаллаг цэг
. Үүнийг харгалзан энэ харьцааны хязгаарыг олъё
.

Иймээс материаллаг цэгийн агшин зуурын хөдөлгөөний хурдыг тодорхойлох нь цаг хугацааны хувьд замын деривативыг олох хүртэл буурдаг.

2.2. Деривативын геометрийн утга

Графикаар тодорхойлогдсон функцтэй болцгооё
.

Цагаан будаа. 1. Деривативын геометрийн утга

Хэрэв
, дараа нь зааж өгнө үү
, цэг рүү ойртож, муруйн дагуу хөдөлнө
.

Тиймээс
, өөрөөр хэлбэл аргументийн өгөгдсөн утгын деривативын утга тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй өгөгдсөн цэг дээрх шүргэгчийн үүсгэсэн өнцгийн тангенстай тоон хувьд тэнцүү
.

2.3. Үндсэн ялгах томъёоны хүснэгт.

Эрчим хүчний функц

Экспоненциал функц

Логарифм функц

Тригонометрийн функц

Урвуу тригонометрийн функц

2.4. Ялгах дүрэм.

-ийн дериватив

Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив

Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив

Хоёр функцийн хуваалтын дериватив

2.5. -ийн дериватив нарийн төвөгтэй функц.

Функцийг өгье
хэлбэрээр төлөөлөх боломжтой

Тэгээд
, хувьсагч хаана байна тэгвэл завсрын аргумент юм

Комплекс функцийн дериватив нь өгөгдсөн функцийн завсрын аргументийн деривативын үржвэр ба x-ийн завсрын аргументийн деривативтай тэнцүү байна.

Жишээ 1.

Жишээ 2.

3. Дифференциал функц.

Байгаа байг
, зарим интервалаар ялгах боломжтой
мөн зөвшөөрөх цагт Энэ функц нь деривативтай

,

тэгвэл бид бичиж болно

(1),

Хаана - хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн,

хэзээнээс

Бүх тэгш байдлын нөхцөлийг (1) үржүүлэв
бидэнд байна:

Хаана
- b.m.v. илүү өндөр дараалал.

Хэмжээ
функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг
болон томилогдсон

.

3.1. Дифференциалын геометрийн утга.

Функцийг өгье
.

Зураг 2. Дифференциалын геометрийн утга.

.

Мэдээжийн хэрэг, функцийн дифференциал
өгөгдсөн цэг дэх шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна.

3.2. Төрөл бүрийн эрэмбийн дериватив ба дифференциал.

Хэрэв байгаа бол
, Дараа нь
анхны дериватив гэж нэрлэдэг.

Эхний деривативын деривативыг хоёрдугаар эрэмбийн дериватив гэж нэрлээд бичнэ
.

Функцийн n-р эрэмбийн дериватив
(n-1)-р эрэмбийн дериватив гэж нэрлэгддэг ба дараах байдлаар бичнэ.

.

Функцийн дифференциалын дифференциалыг хоёр дахь дифференциал буюу хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал гэнэ.

.

.

3.3 Биологийн асуудлыг ялгах аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Даалгавар 1. Судалгаанаас харахад бичил биетний колонийн өсөлт нь хуульд захирагддаг
, Хаана Н - бичил биетний тоо (мянганаар), т - цаг (өдөр).

б) Энэ хугацаанд колонийн хүн ам өсөх эсвэл буурах уу?

Хариулт. Колонийн хэмжээ нэмэгдэх болно.

Даалгавар 2. Нуурын усыг үе үе шинжилж, эмгэг төрүүлэгч нянгийн агууламжийг хянаж байдаг. дамжуулан т шинжилгээ хийснээс хойш хэд хоногийн дараа бактерийн концентрацийг харьцаагаар тодорхойлно

.

Нуурт хэзээ нянгийн хамгийн бага концентраци үүсч, усанд сэлэх боломжтой болох вэ?

Шийдэл: Функц нь дериватив нь тэг байхад max эсвэл min-д хүрнэ.

,

6 хоногийн дараа хамгийн их эсвэл мин болохыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь деривативыг авч үзье.

Хариулт: 6 хоногийн дараа бактерийн хамгийн бага концентраци бий болно.

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг энгийн тоо биш учраас энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log а xболон бүртгэл а y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. бүртгэл а x+ бүртгэл а y= бүртгэл а (x · y);
2. бүртгэл а x- бүртгэл а y= бүртгэл а (x : y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол цэгЭнд - ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно. а > 0, а ≠ 1, x> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сур, i.e. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

Хуваарь нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд:

[Зургийн тайлбар]

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Өгчихье логарифмын бүртгэл а x. Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:

[Зургийн тайлбар]

Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = x, бид авах:

[Зургийн тайлбар]

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь уламжлалт байдлаар ховор байдаг тоон илэрхийллүүд. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

[Зургийн тайлбар]

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд тоо nмэтгэлцээний зэрэглэлийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: үндсэн логарифмын таних тэмдэг.

Уг нь тоо гарвал яах бол бтоо ийм хүч хүртэл нэмэгдүүлэх бэнэ хүчинд тоог өгдөг а? Энэ нь зөв: та ижил дугаарыг авах болно а. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

log 25 64 = log 5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Эрх мэдлийг үржүүлэх дүрмийг авч үзэх ижил суурь, бид авах:

[Зургийн тайлбар]

Мэдэхгүй хүн байвал Улсын нэгдсэн шалгалтаас авсан жинхэнэ даалгавар байсан шүү :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. бүртгэл а а= 1 нь логарифмын нэгж юм. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм аэнэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
2. бүртгэл а 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь аюу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь а 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, танд мэдэгдэх боломжийг олгодог өвөрмөц саналууд, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээ.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хуульд заасны дагуу шүүхийн журмаар, in шүүх хурал, ба/эсвэл олон нийтийн хүсэлт эсвэл ОХУ-ын төрийн байгууллагуудын хүсэлтийг үндэслэн - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Та бүхний мэдэж байгаагаар илэрхийлэлийг зэрэглэлээр үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a b *a c = a b+c). Энэхүү математикийн хуулийг Архимед гаргаж авсан бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон үзүүлэлтийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх замаар үржүүлгийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ өгүүллийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлээр.

Математик дахь тодорхойлолт

Логарифм нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log a b=c, өөрөөр хэлбэл аливаа сөрөг бус тооны (өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг) "b"-ийн логарифмыг түүний "a" суурьтай харьцуулсан логарифмыг "c" гэж үзнэ. ” эцэст нь "b" утгыг авахын тулд "a" суурийг өсгөх ёстой. Логарифмд жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, илэрхийлэл байна гэж бодъё лог 2 8. Хариултыг хэрхэн олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардагдах хүч хүртэл 8-ыг авах хүчийг олох хэрэгтэй. Толгойдоо хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Энэ нь үнэн, учир нь 2-ыг 3-ын зэрэглэлд 8 гэж хариулах болно.

Логарифмын төрлүүд

Олон сурагч, оюутнуудын хувьд энэ сэдэв нь төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг, гэхдээ үнэндээ логарифм нь тийм ч аймшигтай биш бөгөөд гол зүйл бол тэдгээрийн ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санах явдал юм. Гурван төрлийн логарифмын илэрхийлэл байдаг:

1. Натурал логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e = 2.7).
2. Аравтын тоо a, суурь нь 10.
3. a>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.

Тэдгээр нь тус бүрийг логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбаршуулах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг стандарт аргаар шийдэгддэг. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.

Дүрэм ба зарим хязгаарлалт

Математикийн хувьд аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хэлэлцэх боломжгүй бөгөөд үнэн юм. Жишээлбэл, тоонуудыг тэгээр хуваах боломжгүй, тэгш язгуурыг гаргаж авах боломжгүй сөрөг тоонууд. Логарифмууд нь өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй байдаг бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хялбархан ажиллаж сурах боломжтой.

• "a" суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой бөгөөд 1-тэй тэнцүү биш байх ёстой, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр тэдгээрийн утгатай тэнцүү байна;
• хэрэв a > 0 бол a b >0 бол "c" нь тэгээс их байх ёстой.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээлбэл, 10 x = 100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгөгдсөн. Энэ нь маш амархан, та бидний 100 авах аравын тоог өсгөх замаар хүчийг сонгох хэрэгтэй. Энэ нь мэдээжийн хэрэг 10 2 = юм. 100.

Одоо энэ илэрхийлэлийг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. Бид лог 10 100 = 2-ыг авна. Логарифмыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тоог гаргахын тулд логарифмын суурийг оруулахад шаардлагатай хүчийг олохын тулд бүх үйлдлүүд практикт нийлдэг.

Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд та градусын хүснэгттэй хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

Таны харж байгаагаар, хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийн талаар техникийн мэдлэгтэй, мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч илүү том утгуудын хувьд танд цахилгаан ширээ хэрэгтэй болно. Үүнийг математикийн нарийн төвөгтэй сэдвүүдийн талаар огт мэддэггүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Зүүн баганад тоонууд (суурь a), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээрх нүднүүдэд хариулт болох тоон утгуудыг агуулна (a c =b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар байдаг тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Тодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм болдог. Иймд аливаа математикийн тоон илэрхийллийг логарифмын тэгшитгэл гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 3 4 =81-ийг 81-ийн суурь 3 логарифмыг дөрөвтэй тэнцүү (лог 3 81 = 4) гэж бичиж болно. Учир нь сөрөг хүчнүүддүрмүүд нь адилхан: 2 -5 = 1/32 бид үүнийг логарифм хэлбэрээр бичвэл лог 2 (1/32) = -5 болно. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" сэдэв юм. Бид тэдгээрийн шинж чанарыг судалсны дараа доорх тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно. Одоо тэгш бус байдал ямар харагддаг, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар авч үзье.

Дараах хэлбэрийн илэрхийлэл өгөгдсөн: log 2 (x-1) > 3 - энэ нь логарифмын тэгш бус байдал, учир нь үл мэдэгдэх утга "x" нь логарифмын тэмдгийн доор байна. Мөн илэрхийлэлд хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулсан болно: хоёрыг суурь болгохыг хүссэн тооны логарифм нь гурван тооноос их байна.

Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээлбэл, 2 x = √9 логарифм) хариултанд нэг буюу хэд хэдэн тодорхой тоон утгыг илэрхийлдэг бол тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ хүлээн зөвшөөрөгдөх мужууд хоёулаа байдаг. Энэ функцийг зөрчихөд утгууд ба цэгүүдийг тодорхойлно. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цуваа эсвэл тооны багц юм.

Логарифмын тухай үндсэн теоремууд

Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, эхлээд шинж чанар бүрийг нарийвчлан авч үзье.

1. Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай байна: a logaB =B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, В нь тэгээс их байх үед л хамаарна.
2. Бүтээгдэхүүний логарифмыг дараах томъёогоор илэрхийлж болно: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Энэ тохиолдолд заавал байх нөхцөл нь: d, s 1 ба s 2 > 0; a≠1. Та энэ логарифм томъёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно. log a s 1 = f 1 ба log a s 2 = f 2, дараа нь a f1 = s 1, a f2 = s 2 гэж бичье. Бид s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 гэдгийг олж авна. градус ), дараа нь тодорхойлолтоор: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, үүнийг батлах шаардлагатай.
3. Хэсгийн логарифм дараах байдалтай байна: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Томъёо хэлбэрээр теоремыг авдаг дараагийн харах: log a q b n = n/q log a b.

Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь байгалийн постулат дээр суурилдаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.

Лог a b = t гэж үзье, энэ нь a t =b болно. Хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь m хүртэл өсгөвөл: a tn = b n ;

гэхдээ a tn = (a q) nt/q = b n тул log a q b n = (n*t)/t, дараа нь log a q b n = n/q log a b. Теорем нь батлагдсан.

Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ

Логарифмын хамгийн түгээмэл төрлийн бодлого бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Эдгээр нь бараг бүх асуудлын номонд байдаг бөгөөд математикийн шалгалтын заавал байх ёстой хэсэг юм. Их сургуульд элсэх эсвэл тэнцэх элсэлтийн шалгалтуудМатематикийн хувьд ийм асуудлыг хэрхэн зөв шийдэхийг мэдэх хэрэгтэй.

Харамсалтай нь логарифмын үл мэдэгдэх утгыг шийдвэрлэх, тодорхойлох нэг төлөвлөгөө, схем байхгүй ч математик тэгш бус байдал эсвэл логарифмын тэгшитгэл бүрт тодорхой дүрмийг хэрэглэж болно. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбарчлах эсвэл хүргэж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй ерөнхий дүр төрх. Хэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал урт логарифмын илэрхийлэлийг хялбарчилж болно. Тэдэнтэй хурдан танилцацгаая.

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох ёстой: жишээ илэрхийлэл нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.

Энд ln100, ln1026 жишээнүүд байна. Тэдний шийдэл нь суурь 10 нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх хүчийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Шийдлийн хувьд байгалийн логарифмуудта логарифмын таних тэмдэг эсвэл тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй. Янз бүрийн төрлийн логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдэлтэй

Тиймээс, логарифмын талаархи үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг авч үзье.

1. Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг өргөжүүлэх шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно их үнэ цэнэ b тоонуудыг энгийн хүчин зүйл болгон хувиргана. Жишээлбэл, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Хариулт нь 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - Таны харж байгаачлан логарифмын чадлын дөрөв дэх шинж чанарыг ашиглан бид ээдрээтэй бөгөөд шийдвэрлэх боломжгүй мэт санагдах илэрхийлэлийг шийдэж чадсан. Та зөвхөн суурийг хүчин зүйлээр тооцож, дараа нь логарифмын тэмдгээс экспонентын утгыг авах хэрэгтэй.

Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар

Логарифмыг элсэлтийн шалгалтанд ихэвчлэн олдог, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтын олон логарифмын асуудлууд (бүх сургуулийн төгсөгчдийн улсын шалгалт). Ерөнхийдөө эдгээр даалгаврууд нь зөвхөн А хэсэгт (шалгалтын хамгийн хялбар туршилтын хэсэг) төдийгүй С хэсэгт (хамгийн төвөгтэй, том даалгавар) байдаг. Шалгалт нь "Байгалийн логарифмууд" сэдвийн талаар үнэн зөв, төгс мэдлэг шаарддаг.

Асуудлын жишээ, шийдлийг албаны хүмүүсээс авсан Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтууд. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.

Өгөгдсөн лог 2 (2х-1) = 4. Шийдэл:
лог 2 (2x-1) = 2 2-ыг бага зэрэг хялбарчилж, илэрхийллийг дахин бичье, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1 = 2 4, тиймээс 2x = 17 болно; x = 8.5.

• Шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдөл биш байхын тулд бүх логарифмуудыг нэг суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга юм.
• Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл нь эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлэгч болгон авах үед логарифмын доор үлдсэн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.