Та бүхний мэдэж байгаагаар илэрхийлэлийг зэрэглэлээр үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a b *a c = a b+c). Энэхүү математикийн хуулийг Архимед гаргасан бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон илтгэгчийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх замаар үржүүлгийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ нийтлэлийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлээр.
Математик дахь тодорхойлолт
Логарифм нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log a b=c, өөрөөр хэлбэл аливаа сөрөг бус тооны (өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг) "b"-ийн логарифмыг түүний "a" суурьтай харьцуулсан логарифмыг "c" гэж үзнэ. ” эцэст нь "b" утгыг авахын тулд "а" суурийг өсгөх шаардлагатай. Логарифмд жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, илэрхийлэл байна гэж бодъё лог 2 8. Хариултыг хэрхэн олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардагдах хүч хүртэл 8-ыг авах хүчийг олох хэрэгтэй. Толгойдоо хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Энэ нь үнэн, учир нь 2-ыг 3-ын зэрэглэлд 8 гэж хариулах болно.
Логарифмын төрлүүд
Олон сурагч, оюутнуудын хувьд энэ сэдэв нь төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг, гэхдээ үнэндээ логарифм нь тийм ч аймшигтай биш бөгөөд гол зүйл бол тэдгээрийн ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санах явдал юм. Гурван төрлийн логарифмын илэрхийлэл байдаг:
- Байгалийн логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e = 2.7).
- Аравтын тоо a, суурь нь 10.
- a>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.
Тэдгээр нь тус бүрийг логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбаршуулах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг стандарт аргаар шийдэгддэг. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.
Дүрэм ба зарим хязгаарлалт
Математикийн хувьд аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хэлэлцэх боломжгүй бөгөөд үнэн юм. Жишээлбэл, тоог тэгээр хуваах боломжгүй, сөрөг тооны тэгш язгуурыг гаргаж авах боломжгүй. Логарифмууд нь өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй байдаг бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хялбархан ажиллаж сурах боломжтой.
- "a" суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой бөгөөд 1-тэй тэнцүү биш байх ёстой, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр тэдгээрийн утгатай тэнцүү байна;
- хэрэв a > 0 бол a b >0 бол "c" нь тэгээс их байх ёстой.
Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?
Жишээлбэл, 10 x = 100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгөгдсөн. Энэ нь маш амархан, та бидний 100 авах аравын тоог өсгөх замаар хүчийг сонгох хэрэгтэй. Энэ нь мэдээжийн хэрэг 10 2 = юм. 100.
Одоо энэ илэрхийлэлийг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. Бид лог 10 100 = 2-ыг авдаг. Логарифмыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тоог гаргахын тулд логарифмын суурийг оруулахад шаардлагатай хүчийг олохын тулд бүх үйлдлүүд практикт нийлдэг.
Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд та градусын хүснэгттэй хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.
Таны харж байгаагаар, хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийн талаар техникийн мэдлэгтэй, мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч илүү том утгуудын хувьд танд цахилгаан ширээ хэрэгтэй болно. Үүнийг математикийн нарийн төвөгтэй сэдвүүдийн талаар огт мэддэггүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Зүүн баганад тоонууд (суурь a), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээрх нүднүүдэд хариулт болох тоон утгуудыг агуулна (a c =b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар байдаг тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!
Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал
Тодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм болдог. Тиймээс аливаа математикийн тоон илэрхийллийг логарифмын тэгшитгэл гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 3 4 =81-ийг 81-ийн суурь 3 логарифм гэж дөрөвтэй тэнцүү (лог 3 81 = 4) бичиж болно. Учир нь сөрөг хүчнүүддүрмүүд нь адилхан: 2 -5 = 1/32 бид үүнийг логарифм хэлбэрээр бичвэл лог 2 (1/32) = -5 болно. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" сэдэв юм. Бид тэдгээрийн шинж чанарыг судалсны дараа доорх тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно. Одоо тэгш бус байдал ямар харагддаг, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар авч үзье.
Дараах хэлбэрийн илэрхийлэл өгөгдсөн: log 2 (x-1) > 3 - энэ нь логарифмын тэгш бус байдал, учир нь үл мэдэгдэх утга "x" нь логарифмын тэмдгийн доор байна. Мөн илэрхийлэлд хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулсан болно: хоёрыг суурь болгохыг хүссэн тооны логарифм нь гурван тооноос их байна.
Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээлбэл, 2 x = √9 логарифм) хариултанд нэг буюу хэд хэдэн тодорхой тоон утгыг илэрхийлдэг бол тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ хүлээн зөвшөөрөгдөх мужууд хоёулаа байдаг. Энэ функцийг зөрчихөд утгууд ба цэгүүдийг тодорхойлно. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цуваа эсвэл тооны багц юм.
Логарифмын тухай үндсэн теоремууд
Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, эхлээд шинж чанар бүрийг нарийвчлан авч үзье.
- Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай байна: a logaB =B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, В нь тэгээс их байх үед л хамаарна.
- Бүтээгдэхүүний логарифмыг дараах томъёогоор илэрхийлж болно: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Энэ тохиолдолд заавал байх нөхцөл нь: d, s 1 ба s 2 > 0; a≠1. Та энэ логарифм томъёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно. log a s 1 = f 1 ба log a s 2 = f 2, дараа нь a f1 = s 1, a f2 = s 2 гэж бичье. Бид s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 гэдгийг олж авна. градус ), дараа нь тодорхойлолтоор: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, үүнийг батлах шаардлагатай.
- Хэсгийн логарифм дараах байдалтай байна: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Томъёо хэлбэрээр теоремыг авдаг дараагийн харах: log a q b n = n/q log a b.
Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь байгалийн постулат дээр суурилдаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.
Лог a b = t гэж үзье, энэ нь a t =b болно. Хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь m хүртэл өсгөвөл: a tn = b n ;
гэхдээ a tn = (a q) nt/q = b n тул log a q b n = (n*t)/t, дараа нь log a q b n = n/q log a b. Теорем нь батлагдсан.
Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ
Логарифмын хамгийн түгээмэл төрлийн бодлого бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Эдгээр нь бараг бүх асуудлын номонд байдаг бөгөөд математикийн шалгалтын заавал байх ёстой хэсэг юм. Их сургуульд элсэх эсвэл тэнцэх элсэлтийн шалгалтуудМатематикийн хувьд ийм асуудлыг хэрхэн зөв шийдэхийг мэдэх хэрэгтэй.
Харамсалтай нь логарифмын үл мэдэгдэх утгыг шийдвэрлэх, тодорхойлох нэг төлөвлөгөө, схем байхгүй ч математик тэгш бус байдал эсвэл логарифмын тэгшитгэл бүрт тодорхой дүрмийг хэрэглэж болно. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбарчлах эсвэл хүргэж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй ерөнхий дүр төрх. Уртыг хялбарчлах логарифм илэрхийллүүдХэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал боломжтой. Тэдэнтэй хурдан танилцацгаая.
Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох ёстой: жишээ илэрхийлэл нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.
Энд ln100, ln1026 жишээнүүд байна. Тэдний шийдэл нь суурь 10 нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх хүчийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Байгалийн логарифмыг шийдэхийн тулд та логарифмын ижилсэл эсвэл тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй. Янз бүрийн төрлийн логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.
Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдэлтэй
Тиймээс, логарифмын талаархи үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг авч үзье.
- Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг өргөжүүлэх шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно их үнэ цэнэ b тоонуудыг энгийн хүчин зүйл болгон хувиргана. Жишээлбэл, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Хариулт нь 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - Таны харж байгаачлан логарифмын чадлын дөрөв дэх шинж чанарыг ашиглан бид ээдрээтэй бөгөөд шийдвэрлэх боломжгүй мэт санагдах илэрхийлэлийг шийдэж чадсан. Та зөвхөн суурийг хүчин зүйлээр тооцож, дараа нь логарифмын тэмдгээс экспонентын утгыг авах хэрэгтэй.
Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар
Логарифмыг элсэлтийн шалгалтанд ихэвчлэн олдог, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтын олон логарифмын асуудлууд (бүх сургуулийн төгсөгчдийн улсын шалгалт). Ерөнхийдөө эдгээр даалгаврууд нь зөвхөн А хэсэгт (шалгалтын хамгийн хялбар туршилтын хэсэг) төдийгүй С хэсэгт (хамгийн төвөгтэй, том даалгавар) байдаг. Шалгалт нь "Байгалийн логарифмууд" сэдвийн талаар үнэн зөв, төгс мэдлэг шаарддаг.
Асуудлын жишээ, шийдлийг албаны хүмүүсээс авсан Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтууд. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.
Өгөгдсөн лог 2 (2х-1) = 4. Шийдэл:
лог 2 (2x-1) = 2 2-ыг бага зэрэг хялбарчилж, илэрхийллийг дахин бичье, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1 = 2 4, тиймээс 2x = 17 болно; x = 8.5.
- Шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдөл биш байхын тулд бүх логарифмуудыг нэг суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга юм.
- Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл нь эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлэгч болгон авах үед логарифмын доор үлдсэн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.
a (a>0, a нь 1-тэй тэнцүү биш) эерэг тооны b-ийн логарифм нь c тоо бөгөөд a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)
Эерэг бус тооны логарифм нь тодорхойгүй гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс гадна логарифмын суурь нь 1-тэй тэнцүү биш эерэг тоо байх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв бид -2-ийн квадрат бол бид 4-ийн тоог авна, гэхдээ энэ нь 4-ийн суурь -2 логарифм нь тэнцүү гэсэн үг биш юм. 2 хүртэл.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Энэ томъёоны баруун ба зүүн талыг тодорхойлох хүрээ өөр байх нь чухал юм. Зүүн тал нь зөвхөн b>0, a>0 ба a ≠ 1-д тодорхойлогддог. Баруун тал нь дурын b-д тодорхойлогддог бөгөөд a-аас огт хамаарахгүй. Тиймээс тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ үндсэн логарифмын "идентификатор" -ыг ашиглах нь OD-ийг өөрчлөхөд хүргэдэг.
Логарифмын тодорхойлолтын хоёр тодорхой үр дагавар
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Үнэн хэрэгтээ, а тоог эхний зэрэглэлд хүргэхэд бид ижил тоо, тэг рүү өсгөхөд нэг тоог авна.
Үржвэрийн логарифм ба хуваалтын логарифм
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Лог a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Сургуулийн сурагчдад логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ эдгээр томьёог бодлогогүй ашиглахаас сэрэмжлүүлмээр байна. Тэдгээрийг "зүүнээс баруун тийш" ашиглах үед ODZ нарийсч, логарифмын нийлбэр эсвэл зөрүүгээс бүтээгдэхүүн эсвэл категоритын логарифм руу шилжих үед ODZ өргөжиж байна.
Үнэн хэрэгтээ log a (f (x) g (x)) илэрхийлэл нь хоёр тохиолдолд тодорхойлогддог: функц нь хоёулаа эерэг байх үед эсвэл f (x) ба g (x) хоёулаа тэгээс бага байх үед.
Энэ илэрхийлэлийг log a f (x) + log a g (x) нийлбэр болгон хувиргаснаар бид зөвхөн f(x)>0 ба g(x)>0 тохиолдолд л хязгаарлагдахаас өөр аргагүй болно. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нарийсч байгаа бөгөөд энэ нь шийдлийг алдахад хүргэж болзошгүй тул үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй юм. Томъёо (6)-д ижил төстэй асуудал бий.
Зэрэгийг логарифмын тэмдгээс хасаж болно
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Дахин хэлэхэд би үнэн зөв байхыг уриалмаар байна. Дараах жишээг авч үзье.
Лог a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Тэгээс бусад f(x)-ийн бүх утгуудын хувьд тэгш байдлын зүүн тал тодорхой тодорхойлогддог. Баруун тал нь зөвхөн f(x)>0! Логарифмаас градусыг авснаар бид ODZ-ийг дахин нарийсгана. Урвуу процедур нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. Эдгээр бүх тайлбарууд нь зөвхөн 2-р хүчинд төдийгүй аливаа тэгш эрх мэдэлд хамаарна.
Шинэ суурь руу шилжих томъёо
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Өөрчлөлтийн явцад ODZ өөрчлөгддөггүй ховор тохиолдол. Хэрэв та c суурийг ухаалгаар сонгосон бол (эерэг ба 1-тэй тэнцүү биш) шинэ суурь руу шилжих томъёо нь бүрэн аюулгүй юм.
Хэрэв бид b тоог шинэ c суурь болгон сонговол бид чухал утгыг авна онцгой тохиолдолтомъёо (8):
Лог a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Логарифмын зарим энгийн жишээ
Жишээ 1. Тооцоол: log2 + log50.
Шийдэл. log2 + log50 = log100 = 2. Бид логарифмын нийлбэр томъёо (5) болон аравтын бутархай логарифмын тодорхойлолтыг ашигласан.
Жишээ 2. Тооцоол: lg125/lg5.
Шийдэл. log125/log5 = log 5 125 = 3. Бид шинэ суурь руу шилжих томъёог ашигласан (8).
Логарифмтай холбоотой томъёоны хүснэгт
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Жишээлбэл, энэ нь үндсэн програмуудын тооцоолуур байж болно үйлдлийн систем Windows. Үүнийг эхлүүлэх холбоос нь OS-ийн үндсэн цэсэнд нэлээд нуугдсан байдаг - "Эхлүүлэх" товчийг дарж нээгээд "Програмууд" хэсгийг нээгээд "Стандарт" дэд хэсэг, дараа нь "Хэрэгсэл" хэсэгт очно уу. хэсэгт ороод, эцэст нь "Тооцоолуур" зүйл дээр дарна уу " Хулгана ашиглах, цэсээр шилжихийн оронд та гар болон програмыг эхлүүлэх харилцах цонхыг ашиглаж болно - WIN + R товчлуурын хослолыг дарж, calc гэж бичээд (энэ нь тооцоолуурын гүйцэтгэх файлын нэр) Enter товчийг дарна уу.
Тооцоологчийн интерфейсийг дэвшилтэт горимд шилжүүлснээр танд... Анхдагч байдлаар энэ нь "хэвийн" харагдацаар нээгдэх боловч танд "инженерчлэл" эсвэл " " хэрэгтэй (таны ашиглаж буй үйлдлийн системийн хувилбараас хамаарна). Цэс дэх "Харах" хэсгийг өргөжүүлж, тохирох мөрийг сонгоно уу.
Байгалийн үнэ цэнийг нь үнэлэхийг хүсч буй аргументыг оруулна уу. Үүнийг гараас эсвэл дэлгэцэн дээрх тооцоолуурын интерфейсийн харгалзах товчлуурууд дээр дарж хийж болно.
Ln гэсэн шошгон дээр дарна уу - програм нь e суурьтай логарифмыг тооцоолж, үр дүнг харуулна.
Натурал логарифмын утгыг тооцоолохын тулд тооцоолууруудын аль нэгийг ашиглана уу. Жишээлбэл, хаягаар байрладаг http://calc.org.ua. Түүний интерфэйс нь маш энгийн - логарифмыг нь тооцоолох шаардлагатай тооны утгыг бичих шаардлагатай ганц оролтын талбар байдаг. Товчнууд дотроос ln гэж бичсэнийг олж дарна уу. Энэхүү тооцоолуурын скрипт нь сервер рүү өгөгдөл илгээх, хариу өгөх шаардлагагүй тул та тооцооллын үр дүнг шууд хүлээн авах болно. Анхаарах ёстой цорын ганц онцлог нь оруулсан тооны бутархай болон бүхэл хэсгүүдийн хоорондох тусгаарлагч нь цэг байх ёстой бөгөөд .
нэр томъёо " логарифм" гэдэг нь хоёр грек үгнээс гаралтай бөгөөд нэг нь "тоо", нөгөө нь "харьцаа" гэсэн утгатай. Энэ нь тэмдэгтийн доор заасан тоог олж авахын тулд тогтмол утгыг (суурь) өсгөх шаардлагатай хувьсах хэмжигдэхүүнийг (экспонент) тооцоолох математик үйлдлийг илэрхийлдэг. логарифмА. Хэрэв суурь нь "e" тоо гэж нэрлэгддэг математикийн тогтмолтой тэнцүү бол логарифм"байгалийн" гэж нэрлэдэг.
Танд хэрэгтэй болно
- Интернет холболт, Microsoft Office Excel эсвэл тооцоолуур.
Заавар
Интернетэд байгаа олон тооны машиныг ашигла - энэ нь байгалийн а-г тооцоолох хялбар арга байж магадгүй юм. Олон байдаг тул та тохирох үйлчилгээг хайх шаардлагагүй хайлтын системүүдмөн өөрсдөө ажиллахад тохиромжтой тооцоолууртай логарифмами. Жишээлбэл, хамгийн том онлайн хайлтын систем болох Google-ийн үндсэн хуудас руу очно уу. Энд утгыг оруулах эсвэл функцийг сонгохын тулд ямар ч товчлуур шаардлагагүй болно. Тооцоолох гэж хэлье логарифмба "e" суурь дахь 457 тоо, ln 457 гэж оруулна уу - энэ нь Google-д сервер рүү хүсэлт илгээх товчлуурыг дарахгүйгээр аравтын найман оронтой (6.12468339) нарийвчлалтайгаар харуулахад хангалттай.
Хэрэв та байгалийн утгыг тооцоолох шаардлагатай бол тохирох функцийг ашиглана уу логарифмбөгөөд Microsoft Office Excel-ийн алдартай хүснэгт засварлагчийн өгөгдөлтэй ажиллах үед тохиолддог. Энэ функцийг энд нийтлэг тэмдэглэгээг ашиглан дууддаг логарифмба том үсгээр - LN. Тооцооллын үр дүнг харуулах нүдийг сонгоод тэнцүү тэмдгийг оруулна уу - үндсэн цэсний "Бүх програмууд" хэсгийн "Стандарт" хэсэгт байгаа нүднүүдэд энэ хүснэгт засварлагчийн бичлэгүүд ингэж эхлэх ёстой. Alt + 2 товчлуурыг дарж тооцоолуурыг илүү ажиллагаатай горимд шилжүүлнэ үү. Дараа нь байгалийн утгыг оруулна уу. логарифмТа тооцоолохыг хүсч буй зүйлээ сонгоод програмын интерфейс дэх ln тэмдгээр заасан товчийг дарна уу. Аппликешн нь тооцоолол хийж, үр дүнг харуулах болно.
Сэдвийн талаархи видео
ихэвчлэн дугаар авдаг д = 2,718281828 . Энэ суурь дээр үндэслэсэн логарифмуудыг нэрлэдэг байгалийн. Натурал логарифмын тусламжтайгаар тооцоо хийхдээ тэмдгээр ажиллах нь түгээмэл байдаг лn, үгүй бүртгэл; тоо байхад 2,718281828 , үндэслэлийг тодорхойлох, заагаагүй болно.
Өөрөөр хэлбэл, найрлага нь дараах байдлаар харагдах болно. байгалийн логарифмтоо X- энэ нь тоог өсгөх ёстой экспонент юм давах x.
Тэгэхээр, ln(7,389...)= 2, оноос хойш д 2 =7,389... . Тооны натурал логарифм д= 1 учир нь д 1 =д, мөн нэгдлийн натурал логарифм нь тэг, учир нь д 0 = 1.
Тоо нь өөрөө дмонотон хязгаарлагдмал дарааллын хязгаарыг тодорхойлно
гэж тооцсон д = 2,7182818284... .
Ихэнх тохиолдолд санах ойд тоог засахын тулд шаардлагатай тооны цифрүүд нь тодорхойгүй огноотой холбоотой байдаг. Тооны эхний есөн цифрийг цээжлэх хурд дХэрэв та 1828 он бол Лев Толстойн төрсөн жил болохыг анзаарсан бол аравтын бутархайны дараа нэмэгдэх болно!
Өнөөдөр байгалийн логарифмын бүрэн бүтэн хүснэгтүүд байдаг.
Байгалийн логарифмын график(функц у=ln x) нь шулуун шугамын толин тусгал дүрс болох экспоненциал графикийн үр дагавар юм у = xмөн дараах хэлбэртэй байна:
Натурал логарифмыг эерэг бодит тоо бүрт олж болно амуруйн доорх талбай гэж y = 1/x-аас 1 руу а.
Байгалийн логарифм орсон бусад олон томьёотой нийцэж байгаа энэхүү томъёоны энгийн шинж чанар нь "байгалийн" гэсэн нэрийг бий болгох шалтгаан болсон.
Хэрэв та дүн шинжилгээ хийвэл байгалийн логарифм, бодит хувьсагчийн бодит функц болж, дараа нь үйлчилнэ урвуу функц экспоненциал функц руу, энэ нь ижил төстэй байдал руу буурдаг:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Бүх логарифмын адилаар натурал логарифм нь үржүүлэхийг нэмэх, хуваахыг хасах болгон хувиргадаг.
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Логарифмыг зөвхөн нэгтэй тэнцүү биш эерэг суурь бүрийг олж болно д, гэхдээ бусад суурийн логарифмууд нь натурал логарифмаас зөвхөн тогтмол хүчин зүйлээр ялгаатай бөгөөд ихэвчлэн натурал логарифмын хувьд тодорхойлогддог.
Шинжилгээ хийсний дараа натурал логарифмын график,хувьсагчийн эерэг утгуудын хувьд энэ нь байгааг бид олж мэдсэн x. Энэ нь тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг.
At x → 0 натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй ( -∞ ).Үд x → +∞ натурал логарифмын хязгаар нь нэмэх хязгааргүй ( + ∞ ). Томоор нь xЛогарифм нь нэлээд удаан өсдөг. Аливаа эрчим хүчний функц хаэерэг үзүүлэлттэй алогарифмаас хурдан өсдөг. Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй.
Хэрэглээ байгалийн логарифмуудөнгөрөхдөө маш оновчтой дээд математик. Тиймээс логарифмыг ашиглах нь үл мэдэгдэх нь экспонент хэлбэрээр гарч ирдэг тэгшитгэлийн хариултыг олоход тохиромжтой. Тооцоололд байгалийн логарифмыг ашиглах нь маш хялбаршуулах боломжийг олгодог их тооматематикийн томьёо. Суурь руу логарифмууд д Эдгээр нь физикийн олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхэд оролцдог бөгөөд химийн, биологийн болон бусад үйл явцын математик тайлбарт байгалийн жамаар ордог. Тиймээс логарифмыг хагас задралын тодорхой хугацааны задралын тогтмолыг тооцоолох эсвэл цацраг идэвхт байдлын асуудлыг шийдвэрлэхэд задралын хугацааг тооцоолоход ашигладаг. Тэд математикийн олон салбарт тэргүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг практик шинжлэх ухаан, тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд санхүүгийн салбарт ханддаг их тоонийлмэл хүүгийн тооцоо зэрэг ажлууд.
Муу биш, тийм ээ? Математикчид танд урт, будлиантай тодорхойлолт өгөх үгсийг хайж байх хооронд энэ энгийн бөгөөд ойлгомжтой тайлбарыг нарийвчлан авч үзье.
e тоо нь өсөлт гэсэн үг
e тоо нь тасралтгүй өсөлтийг илэрхийлдэг. Өмнөх жишээн дээр харсанчлан, e x нь хүү ба цаг хугацааг холбох боломжийг бидэнд олгодог: 100% өсөлттэй 3 жил нь "нийлмэл хүү" гэж үзвэл 300% -ийн өсөлттэй 1 жилтэй ижил байна.
Та ямар ч хувь, цаг хугацааны утгыг орлуулж болно (4 жилийн хугацаанд 50%), гэхдээ тохиромжтой байхын тулд хувь хэмжээг 100% гэж тохируулах нь дээр (2 жилийн хугацаанд 100% болно). 100% руу шилжсэнээр бид зөвхөн цаг хугацааны бүрэлдэхүүн хэсэгт анхаарлаа төвлөрүүлж чадна:
e x = e хувь * цаг = e 1.0 * цаг = e цаг
Мэдээж e x гэсэн үг:
- х нэгж хугацааны дараа миний оруулсан хувь нэмэр хэр их өсөх вэ (100% тасралтгүй өсөлт гэж үзвэл).
- жишээлбэл, 3 цагийн интервалын дараа би e 3 = 20.08 дахин их "юм" авах болно.
e x нь бидний x хугацааны дараа ямар түвшинд хүрэхийг харуулах масштабын хүчин зүйл юм.
Натурал логарифм гэдэг нь цаг хугацаа гэсэн үг
Натурал логарифм нь e-ийн урвуу утга бөгөөд эсрэгээр нь илэрхийлдэг гоёмсог нэр томъёо юм. Хачирхалтай байдлын талаар ярих; Латинаар үүнийг logarithmus naturali гэж нэрлэдэг тул ln гэсэн товчлол юм.
Мөн энэ урвуу эсвэл эсрэгээр нь юу гэсэн үг вэ?
- e x нь цагийг орлуулах, өсөлтийг авах боломжийг бидэнд олгодог.
- ln(x) нь өсөлт эсвэл орлогыг авч, түүнийг бий болгоход шаардагдах хугацааг олж мэдэх боломжийг олгодог.
Жишээ нь:
- e 3 нь 20.08-тай тэнцүү. Гурван хугацааны дараа бид эхлүүлснээсээ 20.08 дахин их байх болно.
- ln(08/20) нь ойролцоогоор 3 байх болно. Хэрэв та 20.08 дахин өсөлтийг сонирхож байгаа бол танд 3 хугацаа хэрэгтэй болно (дахин 100% тасралтгүй өсөлт гэж үзвэл).
Уншиж байна уу? Байгалийн логарифм нь хүссэн түвшинд хүрэхэд шаардагдах хугацааг харуулдаг.
Энэ нь стандарт бус логарифмын тооллого
Та логарифмуудыг үзсэн үү - тэд хачин амьтад юм. Тэд хэрхэн үржүүлгийг нэмэлт болгон хувиргаж чадсан бэ? Хасах үйлдэлд хуваах талаар юу хэлэх вэ? Харцгаая.
ln(1) нь хэдтэй тэнцүү вэ? Зөн совингийн хувьд асуулт бол: өөрт байгаа зүйлээсээ 1 дахин ихийг авахын тулд би хэр удаан хүлээх ёстой вэ?
Тэг. Тэг. Огт үгүй. Танд аль хэдийн нэг удаа байгаа. 1-р түвшнээс 1-р түвшинд шилжихэд удаан хугацаа шаардагдахгүй.
- ln(1) = 0
За, бутархай утгыг яах вэ? Бидэнд бэлэн байгаа хэмжээнээс 1/2 нь үлдэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ? 100% тасралтгүй өсөлттэй үед ln(2) нь хоёр дахин нэмэгдэх хугацаа гэсэн үг гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв бид цаг хугацааг буцацгаая(өөрөөр хэлбэл, сөрөг цаг хүлээх), тэгвэл бид байгаа зүйлийн тэн хагасыг авах болно.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0.693
Логик, тийм үү? Хэрэв бид 0.693 секунд руу буцах юм бол бид бэлэн мөнгөний хагасыг олох болно. Ерөнхийдөө та бутархайг эргүүлж сөрөг утгыг авч болно: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Энэ нь хэрэв бид 1.09 удаа цаг хугацааг ухравал одоогийн тооны гуравны нэгийг л олох болно гэсэн үг юм.
За, сөрөг тооны логарифмыг яах вэ? Бактерийн колони 1-ээс -3 хүртэл "ургах" хүртэл хэр хугацаа шаардагдах вэ?
Энэ боломжгүй! Та нянгийн сөрөг тоог авч чадахгүй байна, тийм үү? Та хамгийн их (э...хамгийн бага) тэгийг авч болно, гэхдээ эдгээр бяцхан амьтдаас сөрөг тоо авах боломжгүй. IN сөрөг тооБактери нь зүгээр л утгагүй юм.
- ln(сөрөг тоо) = тодорхойгүй
"Тодорхойгүй" гэдэг нь сөрөг утгыг авахын тулд хүлээх цаг хугацаа байхгүй гэсэн үг юм.
Логарифмын үржүүлэх нь зүгээр л инээдтэй юм
Дөрөв дахин өсөхөд хэр хугацаа шаардагдах вэ? Мэдээжийн хэрэг, та зүгээр л ln (4) авч болно. Гэхдээ энэ нь хэтэрхий энгийн, бид өөр замаар явах болно.
Дөрөв дахин өсөлтийг хоёр дахин ихэсгэх (ln(2) нэгж хугацаа шаардагдана), дараа нь дахин хоёр дахин нэмэгдэх (өөр ln(2) нэгж хугацаа шаардлагатай) гэж та бодож болно.
- 4 дахин өсөх хугацаа = ln(4) = Хоёр дахин өсөх хугацаа = ln(2) + ln(2)
Сонирхолтой. Аливаа өсөлтийн хурд, жишээ нь 20, 10 дахин өссөний дараа шууд хоёр дахин өссөн гэж үзэж болно. Эсвэл 4 дахин, дараа нь 5 дахин өснө. Эсвэл гурав дахин нэмэгдээд дараа нь 6.666 дахин нэмэгдэнэ. Загварыг харж байна уу?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
A үрийн B логарифм нь log(A) + log(B) юм. Энэ харилцааг өсөлтийн үүднээс авч үзвэл шууд утга учиртай болно.
Хэрэв та 30 дахин өсөлтийг сонирхож байгаа бол нэг суултаар ln(30) хүлээх эсвэл гурав дахин нэмэгдэхийг ln(3), дараа нь өөр ln(10)-ыг 10 дахин хүлээх боломжтой. Эцсийн үр дүн нь адилхан, тиймээс мэдээжийн хэрэг цаг хугацаа тогтмол байх ёстой (мөн энэ нь хэвээр байна).
Харин хуваах тухай? Тодруулбал, ln(5/3) гэдэг нь: 5 дахин өсөхөд хэр хугацаа шаардагдах бөгөөд үүний 1/3-ийг авах вэ?
Гайхалтай, 5 дахин өсөх нь ln(5). 1/3 дахин өсөхөд -ln(3) нэгж хугацаа шаардагдана. Тэгэхээр,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Энэ нь: 5 дахин өсөхийг зөвшөөрч, дараа нь "цаг хугацааны хувьд буцаж" энэ дүнгийн гуравны нэг нь үлддэг тул та 5/3 өсөлтийг авна гэсэн үг юм. Ерөнхийдөө энэ нь харагдаж байна
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Логарифмын хачирхалтай арифметик танд утга учиртай болж байна гэж найдаж байна: өсөлтийн хурдыг үржүүлэх нь өсөлтийн цагийн нэгжийг нэмж, хуваах нь цагийн нэгжийг хасах болно. Дүрмүүдийг цээжлэх шаардлагагүй, ойлгохыг хичээ.
Дурын өсөлтөд байгалийн логарифмыг ашиглах
Мэдээжийн хэрэг" гэж та "Өсөлт 100% байвал энэ бүхэн сайн, гэхдээ миний хүлээж буй 5% яах вэ?"
Асуудалгүй. Бидний ln() ашиглан тооцдог "цаг" нь үнэндээ хүү ба цаг хугацааны хослол бөгөөд e x тэгшитгэлийн ижил X юм. Бид зүгээр л хялбар болгох үүднээс хувь хэмжээг 100% болгохоор шийдсэн, гэхдээ бид дурын тоог чөлөөтэй ашиглах боломжтой.
Бид 30 дахин өсөлтөд хүрэхийг хүсч байна гэж бодъё: ln(30)-ыг аваад 3.4-ийг авна. Энэ нь:
- e x = өндөр
- e 3.4 = 30
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл нь "3.4 жилийн 100% өгөөж нь 30 дахин өсөх болно" гэсэн үг юм. Бид энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
- e x = e хурд*цаг
- e 100% * 3.4 жил = 30
Бооцооны * цаг 3.4 хэвээр байвал бид "бооцоо" ба "цаг" гэсэн утгыг өөрчлөх боломжтой. Жишээлбэл, бид 30 дахин өсөлтийг сонирхож байгаа бол 5 хувийн хүүтэй хэр удаан хүлээх вэ?
- ln(30) = 3.4
- хувь хэмжээ * цаг = 3.4
- 0.05 * цаг = 3.4
- цаг = 3.4 / 0.05 = 68 жил
Би ингэж тайлбарлаж байна: "ln(30) = 3.4, тиймээс 100% өсөлтөд 3.4 жил шаардлагатай. Хэрэв би өсөлтийн хурдыг хоёр дахин нэмэгдүүлбэл шаардагдах хугацаа хоёр дахин багасна."
- 3.4 жилийн хугацаанд 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 1.7 жилийн дотор 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
- 6.8 жилийн 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
- 68 наснаас дээш 5% = .05 * 68 = 3.4.
Гайхалтай, тийм үү? Натурал логарифмыг ямар ч хүү, цаг хугацаагаар ашиглаж болно, учир нь тэдний бүтээгдэхүүн тогтмол хэвээр байна. Та хувьсагчийн утгыг хүссэн хэмжээгээр шилжүүлж болно.
Гайхалтай жишээ: Далан хоёрын дүрэм
Далан хоёрын дүрэм бол таны мөнгө хоёр дахин нэмэгдэхэд хэр хугацаа шаардагдахыг тооцоолох боломжийг олгодог математикийн арга юм. Одоо бид үүнийг дүгнэлт хийх болно (тийм ээ!), Түүнээс гадна бид түүний мөн чанарыг ойлгохыг хичээх болно.
Жил бүр 100 хувийн хүүтэй мөнгөө хоёр дахин нэмэгдүүлэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?
Өө. Тасралтгүй өсөлтийн тохиолдолд бид байгалийн логарифмыг ашигласан, одоо та жилийн нийлбэрийн талаар ярьж байна уу? Ийм тохиолдолд энэ томьёо тохиромжгүй болох юм биш үү? Тийм ээ, тэгэх болно, гэхдээ 5%, 6% эсвэл бүр 15% гэх мэт бодит хүүгийн хувьд жилийн нийлбэр ба тасралтгүй өсөлтийн хоорондох ялгаа бага байх болно. Тэгэхээр ойролцоогоор тооцоолол үр дүнтэй байгаа тул бид бүрэн тасралтгүй аккруэль байгаа мэт дүр эсгэх болно.
Одоо асуулт энгийн байна: Та 100% өсөлттэйгээр хэр хурдан хоёр дахин нэмэгдэх вэ? ln(2) = 0.693. 100% тасралтгүй өсөхөд бидний хэмжээг хоёр дахин нэмэгдүүлэхийн тулд 0.693 нэгж цаг (бидний тохиолдолд жил) шаардлагатай.
Тэгэхээр зээлийн хүү 100% биш, 5%, 10% гээд байвал яах вэ?
Амархан! Бооцоо * цаг = 0.693 тул бид дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ.
- хувь хэмжээ * цаг = 0.693
- цаг = 0.693 / бооцоо
Хэрэв өсөлт 10% бол хоёр дахин өсөхөд 0.693 / 0.10 = 6.93 жил шаардлагатай болно.
Тооцооллыг хялбарчлахын тулд хоёр талыг 100-аар үржүүлье, дараа нь "0.10" биш "10" гэж хэлж болно.
- хоёр дахин хугацаа = 69.3 / бооцоо, хаана бооцоо хувиар илэрхийлсэн.
Одоо 5%, 69.3 / 5 = 13.86 жилээр хоёр дахин өсөх цаг болжээ. Гэсэн хэдий ч 69.3 бол хамгийн тохиромжтой ногдол ашиг биш юм. 2, 3, 4, 6, 8 болон бусад тоонд хуваахад тохиромжтой 72 гэсэн ойролцоо тоог сонгоцгооё.
- давхар = 72 / бооцоо тавих цаг
Энэ нь далан хоёрын дүрэм юм. Бүх зүйл бүрхэгдсэн.
Хэрэв та гурав дахин үржих цагийг олох шаардлагатай бол ln(3) ~ 109.8-г ашиглаж болно.
- цаг гурав дахин = 110 / бооцоо
Өөр юу байна ашигтай дүрэм. Өндөрт "72-ын дүрэм" хамаарна хүү, хүн амын өсөлт, нянгийн өсгөвөр болон экспоненциалаар ургадаг бүх зүйл.
Дараа нь яах вэ?
Натурал логарифм нь танд ойлгомжтой болсон гэж найдаж байна - энэ нь ямар ч тоо экспоненциал өсөхөд шаардагдах хугацааг харуулдаг. Би үүнийг байгалийн гэж нэрлэдэг, учир нь e нь өсөлтийн бүх нийтийн хэмжүүр учраас ln нь хэр удаан ургахыг тодорхойлох бүх нийтийн арга гэж үзэж болно.
Та ln(x)-г харах бүрдээ "X удаа өсөхөд шаардагдах хугацааг" санаарай. Удахгүй гарах нийтлэлдээ би математикийн шинэхэн үнэр агаарыг дүүргэхийн тулд e болон ln-ийг хослуулан тайлбарлах болно.
Нэмэлт: e-ийн натурал логарифм
Шуурхай асуулт: ln(e) гэж юу вэ?
- математикийн робот хэлэх болно: Тэд бие биенийхээ урвуу гэж тодорхойлогддог тул ln(e) = 1 байх нь ойлгомжтой.
- ойлгох хүн: ln(e) нь "e" дахин өсөхөд шаардагдах тоо (ойролцоогоор 2.718). Гэхдээ e тоо нь өөрөө 1 дахин өсөлтийн хэмжүүр тул ln(e) = 1 байна.
Тодорхой бод.
2013 оны есдүгээр сарын 9
Ачааж байна...
