Atvirai kalbant, tai yra formulės, kurias turėtų atsiminti kiekvienas septintos klasės mokinys. Tiesiog neįmanoma mokytis algebros net mokyklos lygmeniu ir nežinoti kvadratų skirtumo formulės arba, tarkime, sumos kvadrato. Su jais nuolat susiduriama supaprastinant algebrinės išraiškos, mažinant trupmenas ir netgi gali padėti atlikti aritmetinius skaičiavimus. Na, pavyzdžiui, reikia skaičiuoti savo galva: 3,16 2 - 2 3,16 1,16 + 1,16 2. Jei pradėsite skaičiuoti šią akimirką, tai pasirodys ilgai ir nuobodžiai, bet jei naudosite skirtumo kvadrato formulę, atsakymą gausite per 2 sekundes!
Taigi, septynios „mokyklinės“ algebros formulės, kurias turėtų žinoti visi:
| Vardas | Formulė |
| Sumos kvadratas | (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 |
| Skirtumas kvadratu | (A – B) 2 = A 2 – 2AB + B 2 |
| Kvadratų skirtumas | (A - B) (A + B) = A 2 - B 2 |
| Sumos kubas | (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 |
| Skirtumo kubas | (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 |
| Kubų suma | A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 - AB + B 2) |
| Kubelių skirtumas | A 3 - B 3 = (A - B) (A 2 + AB + B 2) |
Atkreipkite dėmesį: nėra kvadratų sumos formulės! Neleiskite savo vaizduotei nueiti per toli.
Koks yra lengviausias būdas atsiminti visas šias formules? Na, tarkime, pažiūrėkite tam tikras analogijas. Pavyzdžiui, sumos kvadratu formulė yra panaši į skirtumo kvadratu formulę (skirtumas yra tik viename ženkle), o sumos kubo formulė yra panaši į skirtumo kubo formulę. Be to, kubelių skirtumo ir kubų sumos formulėse matome kažką panašaus į sumos kvadratą ir skirtumo kvadratą (trūksta tik koeficiento 2).
Tačiau šios formulės (kaip ir visos kitos!) geriausiai įsimenamos praktikoje. Nuspręskite daugiau pavyzdžių supaprastinti algebrines išraiškas, ir visos formulės įsimins pačios.
Smalsiems mokiniams tikriausiai bus įdomu apibendrinti pateiktus faktus. Pavyzdžiui, yra sumos kvadrato ir kubo formulės. Ką daryti, jei atsižvelgsime į tokias išraiškas kaip (A + B) 4, (A + B) 5 ir net (A + B) n, kur n yra savavališkas natūralusis skaičius? Ar čia galima pamatyti kokį nors modelį?
Taip, toks modelis egzistuoja. Formos (A + B) n išraiška vadinama Niutono dvinariu. Rekomenduoju smalsiems moksleiviams patiems išvesti (A + B) 4 ir (A + B) 5 formules, o tada pabandyti įžvelgti bendrą dėsnį: palyginti, pavyzdžiui, atitinkamo dvinario laipsnį ir kiekvieno iš jų laipsnį. terminai, gauti atidarius skliaustus; palyginkite dvinario laipsnį su terminų skaičiumi; pabandykite rasti koeficientų modelius. Dabar į šią temą nesigilinsime (tam reikia atskiro pokalbio!), o tik užrašysime baigtą rezultatą:
(A + B) n = A n + C n 1 A n-1 B + C n 2 A n-2 B 2 + ... + C n k A n-k B k + ... + B n .
Čia C n k = n!/(k! (n-k)!).
Primenu, kad n! - tai 1 2 ... n - visų sandauga natūraliuosius skaičius nuo 1 iki n. Ši išraiška vadinama faktorialas iš n. Pavyzdžiui, 4! = 1 2 3 4 = 24. Nulio faktorialas laikomas lygiu vienetui!
Ką galima pasakyti apie kvadratų skirtumą, kubelių skirtumą ir pan.? Ar čia yra koks nors modelis? Ar galima atsivežti bendroji formulė už A n - B n ?
Taip, galite. Štai formulė:
A n - B n = (A - B)(A n-1 + A n-2 B + A n-3 B 2 + ... + B n-1).
Be to, už nelyginis n laipsnių yra panaši sumos formulė:
A n + B n = (A + B)(A n-1 - A n-2 B + A n-3 B 2 - ... + B n-1).
Dabar šių formulių neišvesime (beje, tai nėra labai sunku), bet žinoti apie jų egzistavimą tikrai naudinga.
Šiame straipsnyje mes apžvelgsime pagrindinės operacijos su algebrinėmis trupmenomis:
- redukuojančios frakcijos
- dauginant trupmenas
- dalijančios trupmenas
Pradėkime nuo sumažinimai algebrinės trupmenos .
Atrodytų algoritmas akivaizdu.
Į sumažinti algebrines trupmenas, reikia
1. Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį.
2. Sumažinkite vienodus veiksnius.
Tačiau moksleiviai dažnai daro klaidą „sumažindami“ ne veiksnius, o terminus. Pavyzdžiui, yra mėgėjų, kurie „sumažina“ trupmenas ir gauna rezultatą, o tai, žinoma, netiesa.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
1.
Sumažinti dalį: 
1. Padalinkime skaitiklį faktorių naudodami sumos kvadrato formulę, o vardiklį naudodami kvadratų skirtumo formulę
2. Skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš
2.
Sumažinti dalį: 
1. Suskaidykime skaitiklį faktoriais. Kadangi skaitiklyje yra keturi terminai, naudojame grupavimą.
2. Vardiklį suskaidykime faktoriais. Taip pat galime naudoti grupavimą.
3. Užrašykite gautą trupmeną ir sumažinkime tuos pačius veiksnius:
Algebrinių trupmenų dauginimas.
Dauginant algebrines trupmenas, skaitiklį dauginame iš skaitiklio, o vardiklį – iš vardiklio.
Svarbu! Nereikia skubėti dauginti trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Po to, kai skaitiklyje užrašome trupmenų skaitiklių sandaugą ir vardiklyje esančių vardiklių sandaugą, turime apskaičiuoti kiekvieną veiksnį ir sumažinti trupmeną.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
3. Supaprastinkite išraišką:
1. Parašykime trupmenų sandaugą: skaitiklyje skaitiklių sandaugą, o vardiklyje vardklių sandaugą:
2. Suskaidykime kiekvieną skliaustą:
Dabar turime sumažinti tuos pačius veiksnius. Atkreipkite dėmesį, kad išraiškos ir skiriasi tik ženklu: 
o padalijus pirmąją išraišką iš antrosios gauname -1.
Taigi, 
Algebrines trupmenas skirstome pagal šią taisyklę:
Tai yra Norint padalyti iš trupmenos, reikia padauginti iš „apverstos“.
Matome, kad dalijant trupmenas reikia dauginti ir Daugyba galiausiai sumažinama trupmenomis.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
4. Supaprastinkite išraišką:
Paprastosios trupmenos.
Algebrinių trupmenų pridėjimas
Prisimink!
Galite pridėti tik trupmenas su tais pačiais vardikliais!
Negalite pridėti trupmenų be konversijų
Galite pridėti trupmenas
Pridedant algebrines trupmenas su panašiais vardikliais:
- pirmosios trupmenos skaitiklis pridedamas prie antrosios trupmenos skaitiklio;
- vardiklis išlieka tas pats.
Pažiūrėkime į algebrinių trupmenų pridėjimo pavyzdį.
Kadangi abiejų trupmenų vardiklis yra „2a“, tai reiškia, kad trupmenas galima pridėti.
Sudėkime pirmosios trupmenos skaitiklį su antrosios trupmenos skaitikliu, o vardiklį palikime tą patį. Pridėdami trupmenas gautame skaitiklyje, pateikiame panašias.
Algebrinių trupmenų atėmimas
Atimant algebrines trupmenas su panašiais vardikliais:
- Antrosios trupmenos skaitiklis atimamas iš pirmosios trupmenos skaitiklio.
- vardiklis išlieka tas pats.
Svarbu!
Skliausteliuose būtinai įtraukite visą atimamos trupmenos skaitiklį.
Priešingu atveju, atidarydami atimamos trupmenos skliaustus, suklysite ženkluose.
Pažiūrėkime į algebrinių trupmenų atėmimo pavyzdį.
Kadangi abiejų algebrinių trupmenų vardiklis yra „2c“, tai reiškia, kad šias trupmenas galima atimti.
Atimkite antrosios trupmenos skaitiklį „(a − b)“ iš pirmosios trupmenos skaitiklio „(a + d)“. Nepamirškite skliausteliuose įrašyti trupmenos, kurią atimate, skaitiklio. Atidarydami skliaustus naudojame skliaustų atidarymo taisyklę.
Algebrinių trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio
Pažvelkime į kitą pavyzdį. Reikia pridėti algebrines trupmenas.
Šioje formoje trupmenų pridėti negalima, nes jos turi skirtingus vardiklius.
Prieš pridedant algebrines trupmenas, jos turi būti suvesti prie bendro vardiklio.
Algebrinių trupmenų mažinimo iki bendro vardiklio taisyklės yra labai panašios į sumažinimo iki bendro vardiklio taisykles paprastosios trupmenos. .
Dėl to turėtume gauti daugianarį, kuris bus padalintas be liekanos į kiekvieną ankstesnį trupmenų vardiklį.
Į sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio turite atlikti šiuos veiksmus.
- Dirbame su skaitiniais koeficientais. Mes nustatome visų skaitinių koeficientų LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį).
- Dirbame su daugianariais. Visus skirtingus daugianorius apibrėžiame didžiausiomis galiomis.
- Skaitinio koeficiento ir visų įvairių daugianario didžiausių laipsnių sandauga bus bendras vardiklis.
- Nustatykite, ko jums reikia, norint padauginti kiekvieną algebrinę trupmeną, kad gautumėte bendrą vardiklį.
Grįžkime prie mūsų pavyzdžio.
Apsvarstykite abiejų trupmenų vardiklius „15a“ ir „3“ ir suraskite jiems bendrą vardiklį.
- Dirbame su skaitiniais koeficientais. Raskite LCM (mažiausias bendras kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno skaitinio koeficiento be liekanos).
- „15“ ir „3“ yra „15“.
Dirbame su daugianariais. Būtina visus daugianarius išvardyti didžiausiomis galiomis. - Vardikliuose „15a“ ir „5“ yra tik
- vienas monomis - „a“.
Padauginkime LCM iš 1 veiksmo „15“ ir monominį „a“ iš 2 veiksmo. Gauname „15a“. Tai bus bendras vardiklis.
Kiekvienai trupmenai mes užduodame sau klausimą: „Iš ko padauginti šios trupmenos vardiklį, kad gautume „15a“?
Pažiūrėkime į pirmąją trupmeną. Šios trupmenos vardiklis jau yra „15a“, o tai reiškia, kad jos nereikia dauginti iš nieko. Pažvelkime į antrąją trupmeną. Užduokime klausimą: „Iš ko reikia padauginti „3“, kad gautumėte „15a“?.
Atsakymas yra „5a“.
Mažindami trupmeną iki bendro vardiklio, padauginkite iš „5a“
tiek skaitiklis, tiek vardiklis
Pažvelkime į trupmenų atėmimo iš pavyzdį skirtingus vardiklius.
Apsvarstykite abiejų trupmenų vardiklius „(x − y)“ ir „(x + y)“ ir raskite jiems bendrą vardiklį.
Vardikliuose „(x − y)“ ir „(x + y)“ yra du skirtingi daugianariai. 
Jų produktas bus bendras vardiklis, t.y. „(x − y)(x + y)“ yra bendras vardiklis.
Algebrinių trupmenų sudėjimas ir atėmimas naudojant sutrumpintas daugybos formules
Kai kuriuose pavyzdžiuose, norint sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio, turi būti naudojamos sutrumpintos daugybos formulės.
Pažiūrėkime į algebrinių trupmenų pridėjimo pavyzdį, kur turėsime panaudoti kvadratų skirtumo formulę.
Pirmoje algebrinėje trupmenoje vardiklis yra „(p 2 − 36)“. Akivaizdu, kad jai galima pritaikyti kvadratų skirtumo formulę.
Išskaidžius daugianarį „(p 2 − 36)“ į daugianario sandaugą
„(p + 6)(p − 6)“ aišku, kad polinomas „(p + 6)“ kartojasi trupmenomis. Tai reiškia, kad bendrasis trupmenų vardiklis bus daugianario sandauga „(p + 6)(p − 6)“.Ši pamoka apims algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimą ir atėmimą. Mes jau žinome, kaip pridėti ir atimti bendrąsias trupmenas su panašiais vardikliais. Pasirodo, algebrinės trupmenos laikosi tų pačių taisyklių. Mokymasis dirbti su trupmenomis su panašiais vardikliais yra vienas iš kertinių akmenų mokantis dirbti su algebrinėmis trupmenomis. Visų pirma, supratę šią temą bus lengviau įsisavinti daugiau sunki tema
- trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas. Pamokos metu išnagrinėsime algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles, taip pat analizuosime visą seriją
tipiniai pavyzdžiai
Algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklė
Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih trupmenos iš „vienas su tau -mi“ know-na-te-la-mi (ji sutampa su analogiška įprastų smūgių taisykle): Tai yra al-geb-ra-i-che-skih trupmenų su „vienas su tu žinai“ pridėjimui arba skaičiavimui. me-on-te-la-mi būtina -ho-di-mo sudaryti atitinkamą skaičių al-geb-ra-i-che-sum, o sign-me-na-tel palikti be jokių.
Šią taisyklę suprantame ir įprasto ven-draw, ir al-geb-ra-i-che-draw pavyzdžiu.
Paprastųjų trupmenų taisyklės taikymo pavyzdžiai
Sudėkime trupmenų skaičių ir palikime ženklą tą patį. Po to išskaidome skaičių ir pasirašome į paprastus dauginius ir derinius. Supraskime: 
.
Pastaba: standartinė klaida, kuri leidžiama sprendžiant panašių tipų pavyzdžius, skirta -klu-cha-et-sya tokiame galimame sprendime: 
. Tai didelė klaida, nes ženklas išlieka toks pat, koks buvo pradinėse trupmenose.
2 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .
Paprastųjų trupmenų taisyklės taikymo pavyzdžiai
Šis niekuo nesiskiria nuo ankstesnio: .
Taisyklės algebrinėms trupmenoms taikymo pavyzdžiai
Nuo įprastų dro-beat'ų pereiname prie al-geb-ra-i-che-skim.
3 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .
Sprendimas: kaip jau minėta aukščiau, al-geb-ra-i-che-frakcijų sudėtis niekuo nesiskiria nuo žodžio, tokia pati kaip įprastos šūvių kovos. Todėl sprendimo būdas yra tas pats: .
4 pavyzdys. Jūs esate trupmena: .
Paprastųjų trupmenų taisyklės taikymo pavyzdžiai
You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih trupmenos iš-ar iš pridėjimo tik dėl to, kad skaičiuje pi-sy-va-et-sya skiriasi panaudotų trupmenų skaičius. Štai kodėl.
5 pavyzdys. Jūs esate trupmena: .
Sprendimas:.
6 pavyzdys. Supaprastinkite: .
Sprendimas:.
Taisyklės, po kurios seka sumažinimas, taikymo pavyzdžiai
Trupmenoje, kuri turi tą pačią reikšmę sudėties ar skaičiavimo rezultate, galimi deriniai. Be to, neturėtumėte pamiršti apie al-geb-ra-i-che-skih frakcijų ODZ.
7 pavyzdys. Supaprastinkite: .
Sprendimas:.
Tuo pačiu metu. Apskritai, jei pradinių trupmenų ODZ sutampa su sumos ODZ, tada jo galima praleisti (juk trupmena yra atsakyme, taip pat nebus su atitinkamais reikšmingais pakeitimais). Bet jei naudojamų trupmenų ODZ ir atsakymas nesutampa, reikia nurodyti ODZ.
8 pavyzdys. Supaprastinkite: .
Sprendimas:. Tuo pačiu metu y (pradinių trupmenų ODZ nesutampa su rezultato ODZ).
Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas
Norėdami pridėti ir perskaityti al-geb-ra-i-che trupmenas su skirtingomis know-me-on-the-la-mi, atliekame ana-lo -giyu su įprastomis-ven-ny trupmenomis ir perkeliame į al-geb -ra-i-che trupmenos.
Pažvelkime į paprasčiausią paprastųjų trupmenų pavyzdį.
1 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .
Sprendimas:
Prisiminkime trupmenų pridėjimo taisykles. Norėdami pradėti nuo trupmenos, turite ją suvesti į bendrą ženklą. Atliekant paprastųjų trupmenų bendrojo ženklo vaidmenį, jūs veikiate mažiausias bendras kartotinis(NOK) pradinius ženklus.
Apibrėžimas
Mažiausias skaičius, kuris tuo pačiu metu yra padalintas į skaičius ir.
Norėdami rasti NOC, turite suskirstyti žinias į paprastus rinkinius ir tada pasirinkti viską, ko yra daug, kurie yra įtraukti į abiejų ženklų skirstymą.
; . Tada skaičių LCM turi sudaryti du du ir du trejetukai: .
Radus bendrąsias žinias, kiekvienai trupmenai reikia rasti pilną daugumos gyventoją (iš tikrųjų, iš tikrųjų, bendrąjį ženklą supilti ant atitinkamos trupmenos ženklo).
Tada kiekviena trupmena padauginama iš pusiau pilno koeficiento. Paimkime kelias trupmenas iš tų pačių, kurias žinote, sudėkite ir perskaitykite – studijavote ankstesnėse pamokose.
Valgome: 
.
Atsakymas:.
Dabar pažvelkime į al-geb-ra-i-che-frakcijų su skirtingais ženklais sudėtį. Dabar pažiūrėkime į trupmenas ir pažiūrėkime, ar yra skaičių.
Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas
2 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .
Sprendimas:
Al-go-ritmas sprendimo ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen į ankstesnį pavyzdį. Nesunku paimti bendrąjį nurodytų trupmenų ženklą: ir papildomus kiekvienos iš jų daugiklius.
.
Atsakymas:.
Taigi, formuojame al-go-ritmas al-geb-ra-i-che-skih trupmenų su skirtingais ženklais pridėjimo ir skaičiavimo:
1. Raskite mažiausią bendrąjį trupmenos ženklą.
2. Kiekvienai trupmenai raskite papildomus daugiklius (iš tiesų, bendras ženklo ženklas duotas --oji trupmena).
3. Iki daugelio skaičių atitinkamuose dauginiuose.
4. Sudėkite arba apskaičiuokite trupmenas, naudodami mažųjų priedų priedą ir skaičiuodami trupmenas tomis pačiomis žiniomis -me-na-te-la-mi.
Dabar pažiūrėkime į pavyzdį su trupmenomis, kurių ženkle yra raidės jūs -nia.
Praktikoje labai dažnai naudojamos sutrumpintų posakių formulės, todėl patartina jas visas išmokti mintinai. Iki šios akimirkos jis mums ištikimai tarnaus, kurį rekomenduojame atsispausdinti ir visada laikyti prieš akis:
Pirmosios keturios formulės iš sudarytos sutrumpintų daugybos formulių lentelės leidžia padalyti kvadratu ir kubeliu dviejų išraiškų sumą arba skirtumą. Penktasis skirtas trumpam dviejų išraiškų skirtumui ir sumai padauginti. O šeštoji ir septintoji formulės naudojamos dviejų išraiškų a ir b sumai padauginti iš jų nepilno skirtumo kvadrato (taip vadinama a 2 −a b+b 2 formos išraiška) ir dviejų skirtumo. išraiškas a ir b atitinkamai nepilnu jų sumos kvadratu (a 2 + a·b+b 2 ).
Atskirai verta paminėti, kad kiekviena lygybė lentelėje yra tapatybė. Tai paaiškina, kodėl sutrumpintos daugybos formulės dar vadinamos sutrumpintomis daugybos tapatybėmis.
Sprendžiant pavyzdžius, ypač kai daugianomas koeficientas, FSU dažnai naudojamas formoje, kai kairė ir dešinė pusės yra sukeistos:
Paskutinės trys lentelės tapatybės turi savo pavadinimus. Formulė a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) vadinama kvadratų formulės skirtumas, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - kubų sumos formulė, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - kubelių formulės skirtumas. Atkreipkite dėmesį, kad mes neįvardijome atitinkamų formulių su pertvarkytomis ankstesnės lentelės dalimis.
Papildomos formulės
Nepakenktų į sutrumpintų daugybos formulių lentelę įtraukti dar keletą tapatybių.
Sutrumpintų daugybos formulių (FSU) taikymo sritys ir pavyzdžiai
Pagrindinis sutrumpintų daugybos formulių (fsu) tikslas paaiškinamas jų pavadinimu, tai yra, jis susideda iš trumpų išraiškų padauginimo. Tačiau FSU taikymo sritis yra daug platesnė ir neapsiriboja trumpu dauginimu. Išvardinkime pagrindines kryptis.
Be abejonės, centrinis sutrumpintos daugybos formulės taikymas buvo rastas atliekant identiškas išraiškų transformacijas. Dažniausiai šios formulės naudojamos procese supaprastinant posakius.
Pavyzdys.
Supaprastinkite išraišką 9·y−(1+3·y) 2 .
Sprendimas.
Šioje išraiškoje kvadratas gali būti atliktas sutrumpintai, mes turime 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Belieka atidaryti skliaustus ir pateikti panašius terminus: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.
Įkeliama...
