Šiame straipsnyje pateikiama pradinė informacija apie nelygybių sistemas. Čia pateikiamas nelygybių sistemos apibrėžimas ir nelygybių sistemos sprendimo apibrėžimas. Taip pat išvardijami pagrindiniai sistemų tipai, su kuriais dažniausiai tenka dirbti per algebros pamokas mokykloje, pateikiami pavyzdžiai.
Puslapio naršymas.
Kas yra nelygybių sistema?
Nelygybių sistemas patogu apibrėžti taip, kaip mes pristatėme lygčių sistemos apibrėžimą, tai yra pagal žymėjimo tipą ir į jį įterptą reikšmę.
Apibrėžimas.
Nelygybių sistema yra įrašas, vaizduojantis tam tikrą skaičių nelygybių, parašytų vienas po kito, sujungtų kairėje riestiniu skliaustu, ir žymi visų sprendinių, kurie vienu metu yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendiniai, rinkinį.
Pateiksime nelygybių sistemos pavyzdį. Paimkime du savavališkus, pavyzdžiui, 2 x−3>0 ir 5−x≥4 x−11, parašykite juos vieną po kito
2 x−3>0,
5-x≥4 x-11
ir sujunkite su sistemos ženklu - garbanotu skliaustu, todėl gauname tokios formos nelygybių sistemą:
Panaši mintis pateikiama ir apie nelygybių sistemas mokykliniuose vadovėliuose. Verta pažymėti, kad jų apibrėžimai pateikiami siauriau: nelygybėms su vienu kintamuoju arba su dviem kintamaisiais.
Pagrindiniai nelygybių sistemų tipai
Aišku, kad galima sukurti be galo daug įvairios sistemos nelygybės Norint nepasiklysti šioje įvairovėje, patartina juos svarstyti grupėse, kurios turi savo funkcijos. Visos nelygybių sistemos gali būti suskirstytos į grupes pagal šiuos kriterijus:
- pagal nelygybių skaičių sistemoje;
- pagal įraše dalyvaujančių kintamųjų skaičių;
- pagal pačių nelygybių tipą.
Pagal į įrašą įtrauktų nelygybių skaičių išskiriamos dviejų, trijų, keturių ir tt sistemos. nelygybės Ankstesnėje pastraipoje pateikėme sistemos, kuri yra dviejų nelygybių sistema, pavyzdį. Parodykime dar vieną keturių nelygybių sistemos pavyzdį 
.
Atskirai pasakysime, kad nėra prasmės kalbėti apie vienos nelygybės sistemą, šiuo atveju iš esmės mes kalbame apie apie pačią nelygybę, o ne apie sistemą.
Jei pažvelgsite į kintamųjų skaičių, tai yra nelygybių sistemos su vienu, dviem, trimis ir kt. kintamieji (arba, kaip dar sakoma, nežinomieji). Pažvelkite į paskutinę nelygybių sistemą, parašytą dviem pastraipomis aukščiau. Tai sistema su trimis kintamaisiais x, y ir z. Atkreipkite dėmesį, kad jos pirmosiose dviejose nelygybėse yra ne visi trys kintamieji, o tik vienas iš jų. Šios sistemos kontekste jos turėtų būti suprantamos kaip nelygybės su trimis kintamaisiais, atitinkamai x+0·y+0·z≥−2 ir 0·x+y+0·z≤5. Atkreipkite dėmesį, kad mokykloje dėmesys skiriamas nelygybėms su vienu kintamuoju.
Belieka aptarti, kokių tipų nelygybės yra įtrauktos į registravimo sistemas. Mokykloje jie daugiausia laiko dviejų nelygybių (rečiau - trijų, dar rečiau - keturių ir daugiau) sistemas su vienu ar dviem kintamaisiais, o pačios nelygybės dažniausiai yra visos nelygybės pirmas ar antras laipsnis (rečiau – aukštesni laipsniai arba trupmeniškai racionalus). Tačiau nenustebkite, jei ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui medžiagoje susidursite su nelygybių sistemomis, kuriose yra neracionalių, logaritminių, eksponentinių ir kitų nelygybių. Kaip pavyzdį pateikiame nelygybių sistemą 
, jis paimtas iš .
Koks yra nelygybių sistemos sprendimas?
Pateikiame dar vieną su nelygybių sistemomis susijusį apibrėžimą – nelygybių sistemos sprendimo apibrėžimą:
Apibrėžimas.
Nelygybių sistemos su vienu kintamuoju sprendimas yra kintamojo reikšmė, kuri kiekvieną sistemos nelygybę paverčia teisinga, kitaip tariant, yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas.
Paaiškinkime pavyzdžiu. Paimkime dviejų nelygybių su vienu kintamuoju sistemą. Paimkime kintamojo x reikšmę, lygią 8, tai yra mūsų nelygybių sistemos sprendimas pagal apibrėžimą, nes jį pakeitus sistemos nelygybėmis gaunamos dvi teisingos skaitinės nelygybės 8>7 ir 2−3·8≤0. Priešingai, vienybė nėra sistemos sprendimas, nes ja pakeitus kintamąjį x, pirmoji nelygybė pavirs neteisinga skaitine nelygybe 1>7.
Panašiai galima įvesti sprendinio apibrėžimą nelygybių sistemoje su dviem, trimis ir didelis skaičius kintamieji:
Apibrėžimas.
Nelygybių sistemos su dviem, trimis ir t.t. sprendimas. kintamieji vadinama pora, trys ir kt. šių kintamųjų reikšmės, o tai kartu yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas, ty kiekvieną sistemos nelygybę paverčia teisinga skaitine nelygybe.
Pavyzdžiui, reikšmių pora x=1, y=2 arba kitu žymėjimu (1, 2) yra nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais sprendimas, nes 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Nelygybių sistemos gali neturėti sprendinių, gali turėti baigtinį sprendinių skaičių arba gali turėti begalinį sprendinių skaičių. Žmonės dažnai kalba apie nelygybių sistemos sprendimų rinkinį. Kai sistema neturi sprendimų, tada yra tuščias jos sprendimų rinkinys. Kai yra baigtinis sprendinių skaičius, tai sprendinių aibėje yra baigtinis elementų skaičius, o kai yra be galo daug sprendinių, tai sprendinių aibė susideda iš begalinio skaičiaus elementų.
Kai kuriuose šaltiniuose pateikiami konkretaus ir bendro nelygybių sistemos sprendimo apibrėžimai, kaip, pavyzdžiui, Mordkovičiaus vadovėliuose. Pagal privatus nelygybių sistemos sprendimas suprasti jos vienintelį sprendimą. Savo ruožtu bendras nelygybių sistemos sprendimas– tai visi jos privatūs sprendimai. Tačiau šie terminai turi prasmę tik tada, kai reikia konkrečiai pabrėžti, apie kokį sprendimą kalbame, bet dažniausiai tai jau aišku iš konteksto, todėl daug dažniau tiesiog sakoma „nelygybių sistemos sprendimas“.
Iš šiame straipsnyje pateiktų nelygybių sistemos ir jos sprendinių apibrėžimų matyti, kad nelygybių sistemos sprendimas yra visų šios sistemos nelygybių sprendinių aibių sankirta.
Bibliografija.
- Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilinis lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Vieningas valstybinis egzaminas-2013 m. Matematika: standartiniai egzamino variantai: 30 variantų / red. A. L. Semenova, I. V. Jaščenka. – M.: Leidykla „Tautinis ugdymas“, 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - mokykla).
Su kiekvienu n-matės erdvės R n tašku (x 1 ,x 2 ,…x n) susiejame n matmenų vektorių x=(x 1 ,x 2 ,…x n) su pradžia nuo pradžios ir pabaigos taške (x 1 ,x 2 ,…x n). Daugybė vektorių X=(x 1,x 2,...x n) R n, kurio komponentai tenkina m tiesines nelygybes:
A 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1 n x n ≤ b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2 n x n ≤ b 2
. . . . . . . . . . . . (2)
a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +...+a m n x n ≤ b m
vadinama tiesinių nelygybių sistemos sprendinių visuma.
Apibrėžime visos nelygybės rašomos ženklu ≤. Padauginus iš
(-1) bet kurią nelygybę, galite pakeisti jos ženklą į priešingą. Tiesinių nelygybių sistemoms, turinčioms ir ženklą ³, ir ≤, apibrėžta sprendinių aibė.
Modeliavimo problemos
Modeliavimo teorijos dalykas
Modeliavimas – tai vieno objekto (originalo) pakeitimas kitu (modeliu) ir modelio savybių fiksavimas bei tyrimas. Pakeitimas atliekamas tam tikslui supaprastinimas, sumažinti išlaidas, pagreitinti originalo savybių tyrimą.
Apskritai originalus objektas gali būti natūrali arba dirbtinė, reali arba įsivaizduojama sistema. Jis turi daug parametrų ir pasižymi tam tikromis savybėmis. Sistemos savybių kiekybinį matą suteikia daug charakteristikų.
Daugelis parametrų ir jų verčių atspindi jo vidinį turinį – struktūrą ir veikimo principus. Charakteristikos iš esmės yra jos išoriniai požymiai, kurie svarbūs bendraujant su kitais.
Modeliuoti patartina tada, kai modelyje trūksta tų originalo savybių, kurios trukdo jį tirti.
Modeliavimo teorija yra tarpusavyje susiję modelių kūrimo nuostatų, apibrėžimų, metodų ir priemonių visuma. Patys modeliai yra modeliavimo teorijos objektas.
Modeliavimo teorija yra pagrindinė bendrosios sistemų teorijos – sistemologijos – sudedamoji dalis, kur įmanomi modeliai postuluojami kaip pagrindinis principas: sistema gali būti pavaizduota baigtiniu modelių rinkiniu, kurių kiekvienas atspindi tam tikrą jos esmės aspektą.
Modeliavimo vaidmuo ir vieta sistemų tyrimuose.
Žinios apie bet kurią sistemą () iš esmės priklauso nuo jos modelio sukūrimo. Prieš gaminant kiekvieną įrenginį ar konstrukciją, parengiamas jo modelis-projektas. Bet koks meno kūrinys yra modelis, fiksuojantis tikrovę.
Matematikos pažanga paskatino įvairių objektų ir procesų matematinių modelių plitimą. Pažymima, kad skirtingos fizinės prigimties sistemų funkcionavimo dinamika turi vienodo tipo priklausomybes, todėl jas galima imituoti asmeniniame kompiuteryje.
Modelių klasifikacija
Fiziniai modeliai. Klasifikacija grindžiama modelio abstrakcijos nuo originalo laipsniu. Anksčiau visus modelius galima suskirstyti į 2 grupes – fizinius ir abstrakčius (matematinius).
F.M. paprastai reiškia sistemą, kuri yra lygiavertė arba panaši į pradinę, bet galbūt turi skirtingą fizinį pobūdį. F.M. tipai:
Natūralus;
Kvazi-natūralus;
Didelio masto;
Analoginis;
Natūralūs modeliai- tai realios tiriamos sistemos (modeliai, prototipai). Jie visiškai atitinka (atitinka) originalią sistemą, tačiau yra brangūs.
Beveik natūralūs modeliai- natūralių ir matematinių modelių rinkinys. Šis tipas naudojamas, kai sistemos dalies modelis negali būti matematinis dėl jo aprašymo sudėtingumo (žmogaus operatoriaus modelis) arba kai dalis sistemos turi būti tiriama sąveikaujant su kitomis dalimis, tačiau jų dar nėra arba jų nėra. įtraukimas yra labai brangus (kompiuteriniai daugiakampiai, ACS).
Mastelio modelis yra tos pačios fizinės prigimties sistema kaip ir originalas, tačiau skiriasi masteliu. Didelio masto modeliavimo metodologinis pagrindas yra panašumo teorija. Projektuojant orlaivį, mastelio modeliai gali būti naudojami maketavimo sprendimų variantų analizei.
Analoginiai modeliai vadinamos sistemos, kurios turi fizinę prigimtį, kuri skiriasi nuo originalo, bet veikia panašiai kaip originalas. Norint sukurti analoginį modelį, reikalingas matematinis tiriamos sistemos aprašymas. Mechaninės, hidraulinės, pneumatinės ir elektros sistemos naudojamos kaip analoginiai modeliai. Analoginis modeliavimas naudojamas tiriant VT įrankius loginių elementų ir elektros grandinių lygmeniu, taip pat sistemos lygmeniu, kai sistemos funkcionavimas aprašomas, pavyzdžiui, diferencialinėmis ar algebrinėmis lygtimis.
Matematiniai modeliai. Matematiniai modeliai yra formalizuotas sistemos vaizdavimas naudojant abstrakčią kalbą, naudojant matematinius ryšius, atspindinčius sistemos veikimo procesą. Norėdami sudaryti matematinį modelį, galite naudoti bet kokias matematines priemones – algebrinį, diferencialinį, integralinį skaičiavimą, aibių teoriją, algoritmų teoriją ir kt. Iš esmės visa matematika buvo sukurta siekiant sudaryti ir tirti objektų ir procesų modelius.
Sistemų abstrakčiojo aprašymo priemonės taip pat apima cheminių formulių kalbas, diagramas, brėžinius, žemėlapius, diagramas ir kt. Modelio tipo pasirinkimą lemia tiriamos sistemos charakteristikos ir modeliavimo tikslai, nes Modelio studijavimas leidžia gauti atsakymus į tam tikrą klausimų grupę. Norint gauti skirtingą informaciją, kitai informacijai gali prireikti kitokio tipo modelio. Matematiniai modeliai gali būti skirstomi į deterministinius ir tikimybinius, analitinius, skaitinius ir simuliacinius.
Analitinis modelis Tai formalizuotas sistemos aprašymas, leidžiantis aiškiai išspręsti lygtį naudojant gerai žinomą matematinį aparatą.
Skaitmeninis modelis pasižymi tokio tipo priklausomybe, kuri leidžia tik dalinius konkrečių pradinių sąlygų ir modelių kiekybinių parametrų sprendimus.
Modeliavimo modelis- tai sistemos ir išorinių poveikių aprašymų rinkinys, sistemos veikimo algoritmai arba sistemos būsenos keitimo veikiant išoriniams ir vidiniams trikdžiams taisyklės. Šie algoritmai ir taisyklės neleidžia naudoti esamų matematinių metodų analitiniams ir skaitiniams sprendimams, tačiau leidžia imituoti sistemos veikimo procesą ir apskaičiuoti dominančias charakteristikas. Modeliavimo modeliai gali būti sukurti daug platesnei objektų ir procesų klasei nei analitiniai ir skaitiniai. Kadangi modeliavimo modeliams įgyvendinti naudojami kompiuteriai, universalios ir specialios algoritminės kalbos yra formalizuoto jų aprašymo priemonė. Jie labiausiai tinka orlaivių studijoms sistemos lygiu.
Panagrinėkime keletą problemų, kuriose būtina rasti tiesinių nelygybių sistemos sprendimo sritį.
1 pavyzdys:
X 1 + 3x 2 ≤ 6
x 1 – x 2 ≤ 2
Reikalingas sprendimų rinkinys atitinka užtemdytą plotą. Sprendimų aibės viršūnės yra trys taškai (0,2), (0,-2) ir (3,1). Jie yra tiesių, ribojančių sprendinių aibę, susikirtimo taškai.
Šiame pavyzdyje sprendinių rinkinys yra daugiakampis išgaubtas rinkinys.
2 pavyzdys: Nubraižykite šios tiesinių nelygybių sistemos R² sprendinių aibę.
X 1 + 2x 2 ≤ 4
3x 1 + 2x 2 ≤ 6
Norimos aibės viršūnės yra du taškai su koordinatėmis: (0,2) ir (1/2, 9/4). Taškas su koordinate (0,3) nėra viršūnė, nes jis netenkina pirmosios nelygybės. Šis sprendimų rinkinys yra neribotas.
Sprendimas 3 pavyzdys: Nubraižykite šios tiesinių nelygybių sistemos R² sprendinių aibę.
X 1 - x 2 ³ 1
x 1 + x 2 ≤ 1
Pirmosios ir antrosios nelygybės sprendimas yra nuspalvinto apatinio sektoriaus taškai. Trečiosios nelygybės sprendimas yra nuspalvintos viršutinės pusės plokštumos taškai. Kadangi šios dvi sritys neturi bendrų taškų, tai visa nelygybių sistema neturi sprendimo, ty sprendimas yra Æ.
Pagrindinė linijinio programavimo problema.
IN bendras vaizdas Linijinio programavimo problema (LPP) formuluojama taip.
Raskite vektorių X=(x 1,x 2, ... x n) R n, kuri padidina (arba sumažina) tikslo funkciją
F(x)=с 1 x 1 +с 2 x 2 +... +с n x n (3)
ir tenkina m+n tiesines nelygybes:
A 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n ≤ b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n ≤ b 2
. . . . . . . . . . . . (4)
a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n ≤ b m
x 1 ³0, x 2 ³0, ... x n ³0
Programavimo terminologijoje tiesinė funkcija F(x) vadinama uždavinio tiksline funkcija. Tiesinių nelygybių sistemos (4) sprendinių aibė vadinama leistinų sprendinių aibe, o bet koks vektorius X iš šio rinkinio vadinamas įmanomu sprendimu. Optimalus sprendimas yra vektorius X*, kai tikslo funkcija įgyja didžiausią (arba mažiausią) reikšmę leistinoje sprendinių aibėje.
Grafinis metodas linijinio programavimo uždaviniams spręsti. Parodykime, kaip ši problema išspręsta grafiniu (geometriniu) metodu. Norėdami tai padaryti, mes apsiribojame tiesinių nelygybių su dviem nežinomaisiais sistemos svarstymu.
Tegu duota tikslo funkcija F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0. Tarp taškų aibės (x 1 , x 2) iš jungtinės nelygybių sistemos (4) leistinų sprendinių srities (turinčios tik kintamuosius x 1 ir x 2) raskime tuos, kurie tiesinei funkcijai F suteikia mažiausią (didžiausios) reikšmės. Kiekvienam i – plokštumos taškui funkcija F įgyja fiksuotą reikšmę F=F i . Visų tokių taškų, kuriuose funkcija F įgyja tą pačią reikšmę F i, aibė yra tiesė su 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 =F i = const, statmena kokiam nors vektoriui, vadinamam gradientu F (grad F ). Šis vektorius išeina iš pradžios ir turi koordinates grad F = (c 1,c 2). Pagal vektoriaus grad F savybę, jei nurodyta tiesė perkeliama lygiagrečiai sau vektoriaus grad F teigiama kryptimi, tai tikslo funkcijos reikšmė F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 šioje tiesėje padidės, o priešinga kryptimi mažės.
Tegul tiesė F=const pirmą kartą juda teigiama vektoriaus grad F kryptimi, kai ši tiesė savo viršūnėje susiduria su galimų sprendinių daugiakampiu. Tada šioje padėtyje F 1 tiesė F=const vadinama atskaitos linija, o šioje tiesėje funkcija F įgauna mažiausią reikšmę. Toliau judant ta pačia kryptimi (teigiama), tiesė F=const eis per kitą galimų sprendinių daugiakampio viršūnę ir, palikdama sprendinių sritį, taip pat taps atskaitos tiese F 2 . Ant jo atliekama funkcija F didžiausia vertė tarp visų verčių, priimtų įmanomų sprendimų daugiakampyje. Taigi tikslo funkcijos F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 sumažinimas ir padidinimas galimų sprendinių daugiakampyje pasiekiamas šio daugiakampio susikirtimo taškuose su atskaitos linijomis F=c 1 x 1 + c 2 x 2 +c 0 = const, normalus vektoriui grad F=(с 1 , с 2). Ši atskaitos linijos sankirta su galimų sprendimų aibe gali būti viename taške (daugiakampio viršūnėje) arba begalinėje taškų aibėje (jei ši aibė yra daugiakampio kraštinė).
Pirmos, antros, trečios užduoties užduotis parenkama pagal mokinio pavardę, vardą ir tėvavardį, o ketvirtajai – pagal pavardę ir patronimą.
Užduotis Nr.1
1 lentelė
| Pirmoji raidė | Pavardė | vardas | Pavardė | ||||||||||||
| a 11 | a 12 | a 21 | a 22 | a 31 | a 32 | a 41 | a 42 | b 1 | b 2 | b 3 | C0 | C1 | C2 | ||
| A | |||||||||||||||
| B | |||||||||||||||
| IN | |||||||||||||||
| G | |||||||||||||||
| D | |||||||||||||||
| E | |||||||||||||||
| IR | |||||||||||||||
| Z | |||||||||||||||
| IR | |||||||||||||||
| KAM | |||||||||||||||
| L | |||||||||||||||
| M | |||||||||||||||
| N | |||||||||||||||
| APIE | |||||||||||||||
| P | |||||||||||||||
| R | |||||||||||||||
| SU | |||||||||||||||
| T | |||||||||||||||
| U | |||||||||||||||
| F | |||||||||||||||
| X | |||||||||||||||
| C | |||||||||||||||
| H | |||||||||||||||
| SE | |||||||||||||||
| YuYa | |||||||||||||||
4 pavyzdys: Sumažinkite tiesinę formą F=14x1 +4x2 pagal apribojimus:
7x 1 + 2x 2 ³ 14
4 x 1 – 7 x 2 ≤ 14
Pakeitę nelygybės ženklus tiksliais lygybės ženklais, gauname įmanomų sprendinių srities ribų lygtis. Naudodamiesi gautų tiesių lygtimis, sukonstruojame norimą plotą:
7x 1 +2x 2 =14
4 x 1 – 7 x 2 = 14
Nelygybių sistemos leistinų sprendinių sritis yra daugiakampis ABCDE.
5 pav.
Norėdami rasti ekstremumo taškus, sukonstruojame tiesę F=14x 1 +4x 2 =0 ir vektorių gradF = (14, 4). Tiesę F=0 perkelsime lygiagrečiai sau vektoriaus grad F kryptimi. Ši linija pirmiausia susidurs su daugiakampiu ABCDE taškuose E(2,0) ir A(10/9, 28/9), kur tikslo funkcija įgyja tą pačią mažiausią reikšmę F(E) = F(A) =14·2+4∙0=28-min, (kadangi vektorius grad F yra statmenas tiesei AE). Taigi tikslo funkcija įgauna mažiausią reikšmę bet kuriame atkarpos AE taške.
Iš plano 
pagrindinė tiesinio programavimo problema išplaukia iš to, kad jos teigiamų komponentų skaičius neviršija .
Paramos planas vadinamas neišsigimusiu, jei jame yra tiksliai teigiamų komponentų; kitaip planas išsigimęs.
Bet kokie tiesinių lygčių sistemos kintamieji su kintamaisiais (priklausomai nuo ) vadinami pagrindiniais, jei jiems skirtos koeficientų matricos determinantas skiriasi nuo nulio. Tada likę kintamieji vadinami nepirminiais.
M tiesinių lygčių su kintamaisiais sistemos pagrindinis sprendimas yra bet koks sprendimas, kuriame visi nepagrindiniai kintamieji turi nulines reikšmes.
1 teorema. Visų galimų linijinio programavimo uždavinio apribojimų sistemos sprendimų rinkinys yra išgaubtas.
2 teorema. Jei linijinio programavimo uždavinys turi optimalų sprendimą, tai jis sutampa su galimų sprendimų rinkinio kampiniu tašku.
Pasekmė. Jei optimalus sprendimas nėra unikalus, tada tokių sprendimų bus daug (pavyzdžiui, visi atkarpos taškai, jungiantys atitinkamus kampinius taškus).
3 teorema. Kiekvienas leistinas pagrindinis linijinio programavimo uždavinio sprendimas atitinka leistinų verčių srities kampinį tašką ir atvirkščiai.
Simplekso metodo samprata.
Pagrindinę linijinio programavimo problemą išsprendus geometriniu metodu, gaunamas didelis aiškumas 2 ir 3 kintamųjų atveju. Didesnio kintamųjų skaičiaus atveju geometrinis metodas tampa neįmanomas. Vadinamasis simplekso metodas yra vienas iš analitinių metodų sprendžiant pagrindinę linijinio programavimo problemą. Šiuo atveju apribojimai, naudojami įgyvendinant simplekso metodą, dažniausiai nurodomi tiesinių lygčių sistema
A 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n = b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n = b 2
. . . . . . . . . . . . (5)
a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +...+a mn x n = b m
tarp kurių neneigiamų sprendimų ieškome tokių, kurie maksimaliai padidintų tiesinę (objektyviąją) funkciją
F=с 1 x 1 +с 2 x 2 +...+с n x n +с 0
Simpleksinis metodas pagrįstas teoremomis:
1 teorema. Jei ZLP turi optimalų sprendimą, tai tikslo funkcija įgauna kraštutinę reikšmę viename iš galimų sprendimų išgaubto daugiakampio kampinių taškų.
2 teorema. Kiekvienas ZLP atraminis sprendimas atitinka galimų sprendimų daugiakampio kampinį tašką ir atvirkščiai.
Remiantis šiomis teoremomis, įgyvendinant simplekso metodą, atliekama tikslinė visų viršūnių paieška, kad kiekvienoje kitoje viršūnėje tikslo funkcijos reikšmė būtų ne mažesnė (ne daugiau) nei ankstesnėje viršūnėje. Šiuo atveju per baigtinį žingsnių skaičių pasiekiamas norimas optimalus sprendimas arba nustatoma, kad ZLP yra neišsprendžiamas.
Norėdami įgyvendinti nurodytą algoritmą, sistemoje (5) pasirenkame max tiesiškai nepriklausomų kintamųjų rinkinį (tų, kurių determinantas, sudarytas iš koeficientų prieš šiuos kintamuosius skiriasi nuo 0). Tikslumui tebūnie kintamieji x 1, x 2,... x r (r ≤ m). Išreikškime šiuos kintamuosius likusiais kintamaisiais
X 1 = a" 1, r +1 x r+1 + ... + a" 1 n x n + b 1 "
x 2 = a" 2, r +1 x r+1 + ... + a" 2 n x n + b 2 "(6)
. . . . . . . . . . . . . . . .
x r = a" r, r +1 x r+1 + ... + a" r n x n + b r "
Be to, darysime prielaidą, kad visi b 1 "³0, b 2 "³0, b r "³0. Jei pradinės ribojančios sąlygos nurodytos nelygybėmis, tada jas galima transformuoti į formą (5), įvedant naujus neneigiamus kintamuosius, vadinamieji balansiniai (niveliaciniai) Taigi , pavyzdžiui, nelygybėjea 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤ b pakanka pridėti kokią nors reikšmę x n + į kairę nelygybės pusę. 1 ³ 0 lygus skirtumui tarp dešinės ir kairės nelygybės pusių ir gauname lygybę a 1 x 1 + a 2 x 2 +...+a n x n + x n +1 = b mišriu būdu, tai yra nelygybėmis ir lygtimis, tada nurodytu būdu jas taip pat galima redukuoti tik į lygtis.
Gautoje sistemoje (6) (nežinomi) kintamieji x 1, x 2 ... x z vadinami pagrindiniais, o visa aibė (x 1, x 2 ... x z) vadinama baze, likę kintamieji yra vadinamas nemokamai. Apribojimų sistema (6) vadinama sistema, sumažinta iki vienetinio pagrindo. Pakeitę tikslo funkciją F vietoj pagrindinių kintamųjų jų išraiškas per laisvuosius iš sistemos (6), gauname
F = C 0 + C g+1 x g+1 + ... + C n x n
Dabar, darant prielaidą, kad visi laisvieji kintamieji yra lygūs nuliui, randame pagrindinių kintamųjų reikšmes:
x 1 = b 1 ", x 2 = b 2", ... x r = b r "
Tokiu būdu gautas leistinas sistemos (6) sprendimas
(b 1 ", b 2 ", ... b r ", 0, ... 0) vadinamas baziniu. Šiam pagrindiniam sprendiniui tikslo funkcijos reikšmė bus lygi F B = C 0.
Problemos sprendimas naudojant simpleksinį metodą yra padalintas į keletą žingsnių, susidedančių iš to, kad iš nurodyto pagrindo B pereiname į kitą bazę B" taip, kad F B reikšmė naujajame baze padidėtų arba bent jau , nemažėja, tada įvykdoma F B "≥ F B. Be to, jei visi b 1 ">0, b 2 ">0,…., b r ">0, tai šis sprendinys vadinamas etaloniniu sprendiniu ir atitinka kai kuriuos nustatytas galimų sprendimų srities kampinis taškas šaltinio sistema apribojimai. Tada perėjimas nuo vieno pagrindinio (atskaitos) sprendinio į kitą atitinka perėjimą iš vienos galimų sprendinių daugiakampio viršūnės į kitą viršūnę.
UŽDUOTIS Nr.2
Parduodama trijų grupių prekės komercinė įmonė turi trijų rūšių organinių medžiagų ir piniginių išteklių , , vienetų. Tuo pačiu metu už 1 prekių grupės pardavimą už 1 tūkst. prekių apyvartos suvartojimas buvo prarastas vienetų skaičiumi, antros rūšies išteklius - vienetų skaičiumi, trečios rūšies išteklius - vienetų skaičiumi. 2 ir 3 prekių grupių pardavimas už 1 tūkst. prekių apyvarta išleidžiama pagal pirmos rūšies išteklius suma, vnt., antros rūšies ištekliai suma, vnt., trečios rūšies ištekliai suma, vnt. Pelnas iš trijų prekių grupių už 1 tūkst. apyvarta yra atitinkamai , , (tūkst. rublių).
Nustatyti planuojamą prekybos apyvartos apimtį ir struktūrą, kad pelnas prekybos įmonė buvo maksimumas.
| Pirmoji raidė | Pavardė | vardas | Pavardė | ||||||||||||
| A | |||||||||||||||
| B | |||||||||||||||
| IN | 1 0 | ||||||||||||||
| G | |||||||||||||||
| D | |||||||||||||||
| E | |||||||||||||||
| IR | |||||||||||||||
| Z | |||||||||||||||
| IR | |||||||||||||||
| KAM | |||||||||||||||
| L | |||||||||||||||
| M | |||||||||||||||
| N | |||||||||||||||
| APIE | |||||||||||||||
| P | |||||||||||||||
| R | |||||||||||||||
| SU | |||||||||||||||
| T | |||||||||||||||
| U | |||||||||||||||
| F | |||||||||||||||
| X | |||||||||||||||
| C | |||||||||||||||
| H | |||||||||||||||
| Š. E | |||||||||||||||
| Yu Ya |
5 pavyzdys: Maksimaliai padidinkite tikslo funkciją F=-x 4 +x 5 pagal apribojimus:
Ši sistema lygtys yra nuoseklios, nes sistemos matricos eilės
ir išplėstinė matrica 
sutampa ir yra lygūs 3. Išreikšdami pagrindinius kintamuosius (stovinčius vienetų stulpeliuose) x 1, x 2, x 3, per laisvuosius kintamuosius x 4 ir x 5, gauname sistemą
(7)
Be sistemos (7), pagrindinius kintamuosius galime išreikšti laisvaisiais kintamaisiais ir tikslo funkcijoje (mūsų pavyzdyje F = -x 4 + x 5 jau išreiškiamas per laisvuosius kintamuosius x 4 ir x 5). Dabar darant prielaidą, kad x 4 = 0, x 5 =0, randame pagrindinius kintamuosius: x 1 =1, x 2 =2, x 3 =3. Taigi pirmasis įmanomas lygčių sistemos bazinis sprendimas yra (1, 2, 3, 0, 0) . Kai randamas leistinas sprendimas, tikslo funkcija F turi reikšmę 0, tai yra, F 1 =0.
Dabar pabandykime padidinti F 1 reikšmę. Padidinus x 4, F 1 sumažės, nes prieš x 4 išraiškoje F = -x 4 + x 5 yra neigiamas koeficientas, o padidinus x 5, F 1 padidėja. Todėl padidiname x 5, kad x 1, x 2, x 3 netaptų neigiami, o x 4 = 0. Iš antrosios lygties (7) matome, kad x 5 galima padidinti iki 2 (kad x 2 liktų 0, kai x 4 = 0). Tada kintamųjų reikšmė bus (5, 0, 1, 0, 2), o F 2 = 2. Kaip matote, F reikšmė antrajame žingsnyje padidėjo.
Kadangi x 2 ir x 4 pasirodė lygūs 0, tada x 2 ir x 4 toliau laikysime laisvus nežinomus, tada x 5 = 2 x 2 + 2 x 4
ir iš sistemos (7) pereiname prie jos ekvivalentinės sistemos (8)
(8)
Be to, F šiuo atveju bus lygus
F = 2x2 +x4
Norėdami padidinti F, padidinsime x 4 (kadangi prieš x 2 yra neigiamas koeficientas) Iš antrosios (8) sistemos lygties aišku, kad jei x 3 yra neneigiamas, x 4 reikšmė gali būti atvesta į x 4 = 1/5, tada turime (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5), F 3 =11/5.
Kadangi gautas sprendimas x 2 = x 3 = 0, tai x 2 ir x 3 laikome laisvaisiais kintamaisiais ir išreiškiame x 1, x 4, x 5 per x 2 ir x 3. Gauname
X 1 = 28/5 – 7/5 x 2 – 3/5 x 3
x 4 = 1/5 + 1/5 x 2 – 1/5 x 3
x 5 = 12/5 – 3/5 x 2 – 2/5 x 3
kai F = 11/5 – 4/5 x 2 – 1/5 x 3
Kadangi koeficientai x 2 ir x 3 F išraiškoje yra neigiami, F reikšmės padidinti nebegalima. Todėl sudėjus x 2 = x 3 = 0, sprendžiant gauname didžiausią reikšmę F = 11/5 (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)
Atsakymas: F max = 11/5 at X* = (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)
Paprastos lentelės.
Kadangi ZLP sprendimas naudojant tokius samprotavimus, kaip buvo padaryta ankstesniame pavyzdyje, yra akivaizdžiai nepatogu kompaktiškai įrašyti sprendimą, todėl yra naudojamos vadinamosios simpleksinės lentelės, kad būtų galima programuoti sprendimo algoritmą kompiuteryje. Norėdami tai padaryti, apribojimų sistemą sumažiname iki vieneto
x 1 + a 1, r +1 x r+1 + ... + a 1 n x n = b 1
x i + a i,r+1 x r+1 + .... + a i n x n = b i (9)
x r + a r,r+1 x r+1 + ... + a r n x n = b r
o tikslo funkcija F – į formą:
F = C g+1 x r +1 + ... + C j x j +…+ C n x n + C 0 (10)
Lygybę (10) vadinsime sumažinta (iki laisvųjų kintamųjų) funkcijos F išraiška, o koeficientai C j – atitinkamų laisvųjų kintamųjų x j įverčiai (indeksai).
Aukščiau pateiktos apribojimų sistemos (9) koeficientai, taip pat įvairūs pagalbiniai kintamieji įrašomi į simpleksinę lentelę (1 lentelė)
1 lentelė
| Pagrindiniai kintamieji | Nemokami nariai | x 1 | ... | x i | ... | x r | x g+1 | ... | x j | ... | x n | |
| x 1 | b 1 | ... | ... | a 1,r+1 | ... | a 1j | ... | a 1n | ||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ||
| x i | b i | ... | ... | ir i,r+1 | ... | a ij | ... | a in | ||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | |
| x r | b r | ... | ... | ir r,r+1 | ... | a rj | ... | arn | ||||
| F= | C 0 | ... | ... | - C g+1 | ... | -C j | ... | -Cn |
Pirmieji r stulpeliai su nežinomaisiais x i yra vienetiniai stulpeliai su pagrindiniais kintamaisiais x 1 ,…,x r . Kitas n-r stulpeliai yra stulpeliai su laisvaisiais kintamaisiais x r +1 ,…,x n . Darant prielaidą, kad laisvieji kintamieji x r +1 = …=
X n = 0, randame pagrindinius kintamuosius x 1 = b 1,…, x r = b r. Šiuo atveju tikslo funkcijos reikšmė yra F = C 0 .
Rastas vektorinis planas X 1 = ir tikslo funkcijos reikšmė F = C 0 atitinka kokią nors įmanomų sprendinių daugiakampio viršūnę. Perskaičiavimas į kitą viršūnę, taigi ir į kitą vektorinį planą bei kitą tikslo funkcijos reikšmę, atliekamas perskaičiuojant šią simplekso lentelę.
Pažvelkime į pavyzdžius, kaip išspręsti tiesinių nelygybių sistemą.
4x + 29 \end(masyvas) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Norint išspręsti sistemą, reikia kiekvienos jos sudedamosios nelygybės. Tik buvo priimtas sprendimas rašyti ne atskirai, o kartu, derinant juos su garbanotu petnešu.
Kiekvienoje sistemos nelygybėje nežinomuosius perkeliame į vieną pusę, žinomus – į kitą su priešingu ženklu:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Supaprastinus abi nelygybės puses reikia padalyti iš skaičiaus priešais X. Pirmąją nelygybę padaliname iš teigiamo skaičiaus, todėl nelygybės ženklas nekinta. Antrąją nelygybę padaliname iš neigiamas skaičius, todėl nelygybės ženklas turi būti apverstas:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Skaičių eilutėse pažymime nelygybių sprendimą:
Atsakydami užrašome sprendinių sankirtą, ty dalį, kurioje abiejose eilutėse yra šešėliai.
Atsakymas: x∈[-2;1).
Pirmoje nelygybėje atsikratykime trupmenos. Norėdami tai padaryti, padauginkite abi puses po termino iš mažiausio Bendras vardiklis 2. Padauginus iš teigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas nekinta.
Antroje nelygybėje atveriame skliaustus. Dviejų išraiškų sumos ir skirtumo sandauga yra lygi šių reiškinių kvadratų skirtumui. Dešinėje pusėje yra skirtumo tarp dviejų išraiškų kvadratas.
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Nežinomuosius perkeliame į vieną pusę, žinomus į kitą su priešingu ženklu ir supaprastiname:
Abi nelygybės puses padalijame iš skaičiaus priešais X. Pirmoje nelygybėje dalijame iš neigiamo skaičiaus, todėl nelygybės ženklas yra atvirkštinis. Antrajame dalijame iš teigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas nesikeičia:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Abi nelygybės turi ženklą „mažiau nei“ (nesvarbu, kad vienas ženklas yra griežtai „mažesnis nei“, kitas yra laisvas, „mažesnis arba lygus“). Negalime pažymėti abiejų sprendimų, bet naudoti taisyklę „ “. Mažesnis yra 1, todėl sistema redukuojasi iki nelygybės
Jo sprendimą pažymime skaičių eilutėje:
Atsakymas: x∈(-∞;1].
Skliaustų atidarymas. Pirmoje nelygybėje - . Jis lygus šių išraiškų kubų sumai.
Antrajame – dviejų išraiškų sumos ir skirtumo sandauga, kuri yra lygi kvadratų skirtumui. Kadangi čia prieš skliaustus yra minuso ženklas, geriau juos atidaryti dviem etapais: pirmiausia naudokite formulę, o tik tada atidarykite skliaustus, kiekvieno termino ženklą keisdami į priešingą.
Nežinomuosius perkeliame viena kryptimi, žinomus – kita su priešingu ženklu:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Abu yra didesni už ženklus. Naudodami taisyklę „daugiau nei daugiau“, nelygybių sistemą sumažiname iki vienos nelygybės. Didesnis iš dviejų skaičių yra 5, todėl
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Skaičių eilutėje pažymime nelygybės sprendimą ir užrašome atsakymą: 
Atsakymas: x∈(5;∞).
Kadangi algebroje tiesinių nelygybių sistemos atsiranda ne tik kaip savarankiškos užduotys, bet ir sprendžiant Įvairios rūšys lygtis, nelygybes ir pan., svarbu laiku įsisavinti šią temą.
Kitą kartą pažvelgsime į tiesinių nelygybių sistemų sprendimo pavyzdžius ypatingais atvejais, kai viena iš nelygybių neturi sprendinių arba jos sprendimas yra bet koks skaičius.
Kategorija: |1 apibrėžimas . Taškų rinkinys erdvėje R n , kurios koordinatės tenkina lygtį A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n = b, skambino ( n - 1 )-dimensinė hiperplokštuma in n-dimensinė erdvė.
1 teorema. Hiperplokštuma padalija visą erdvę į dvi pusiau erdves. Pustarpis yra išgaubtas rinkinys.
Baigtinio skaičiaus pustarpių sankirta yra išgaubta aibė.
2 teorema . Tiesinės nelygybės sprendimas su n nežinomas
A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n b
yra viena iš puserdvių, į kurią visa erdvė padalinta hiperplokštuma
A 1 X 1 + A 2 X 2 +…+a n x n= b.
Apsvarstykite sistemą m tiesinės nelygybės su n nežinomas.
Kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas yra tam tikra puserdvė. Sistemos sprendimas bus visų pustarpių susikirtimas. Šis rinkinys bus uždaras ir išgaubtas.
Tiesinių nelygybių sistemų sprendimas
su dviem kintamaisiais
Tegul sistema m tiesinės nelygybės su dviem kintamaisiais.
Kiekvienos nelygybės sprendimas bus viena iš pusplokštumų, į kurias visa plokštuma yra padalinta atitinkama tiese. Sistemos sprendimas bus šių pusiau plokštumų susikirtimas. Šią problemą galima išspręsti grafiškai plokštumoje X 1 0 X 2 .
37. Išgaubto daugiakampio vaizdavimas
1 apibrėžimas. Uždaryta išgaubtas ribotas įdėjimas R n turintis baigtinį skaičių kampiniai taškai, vadinamas išgaubtu n-dimensinis daugiakampis.
2 apibrėžimas . Uždaras išgaubtas neapribotas rinkinys R n, turinti baigtinį kampinių taškų skaičių, vadinama išgaubta daugiakampe sritimi.
3 apibrėžimas . Krūva AR n vadinamas ribotu, jei yra n- matmenų rutulys, kuriame yra šis rinkinys.
4 apibrėžimas. Išgaubta tiesinė taškų kombinacija yra išraiška, kur t i , .
Teorema (teorema apie išgaubto daugiakampio vaizdavimą). Bet kuris išgaubto daugiakampio taškas gali būti pavaizduotas kaip išgaubta tiesinė kampinių taškų kombinacija.
38. Lygčių ir nelygybių sistemos leistinų sprendinių sritis.
Tegul sistema m tiesines lygtis ir nelygybes su n nežinomas.
1 apibrėžimas . Taškas R n vadinamas galimu sistemos sprendimu, jeigu jo koordinatės tenkina sistemos lygtis ir nelygybes. Viso visuma galimi sprendimai vadinama sistemos galimų sprendimų sritimi (OPS).
2 apibrėžimas. Galimas sprendimas, kurio koordinatės yra neneigiamos, vadinamas įmanomu sistemos sprendimu. Visų įmanomų sprendimų rinkinys vadinamas sistemos įmanomų sprendimų domenu (ADA).
1 teorema . ODR yra uždaras, išgaubtas, ribotas (arba neapribotas) poaibis R n.
2 teorema. Priimtinas sistemos sprendimas yra pamatinis sprendimas tada ir tik tada, kai šis taškas yra ODS kampinis taškas.
3 teorema (ODR vaizdavimo teorema). Jei ODS yra ribota aibė, tai bet koks įmanomas sprendimas gali būti pavaizduotas kaip išgaubta tiesinė ODS kampinių taškų kombinacija (išgaubto tiesinio sistemos atraminių sprendimų derinio pavidalu).
4 teorema (teorema apie sistemos atramos sprendinio egzistavimą). Jei sistemoje yra bent vienas leistinas tirpalas (ADS), tai tarp leistinų tirpalų yra bent vienas etaloninis tirpalas.
Yra tik „X“ ir tik x ašis, bet dabar pridedami „Y“ ir veiklos laukas išplečiamas iki visos koordinačių plokštumos. Toliau tekste frazė „tiesinė nelygybė“ suprantama dvimačia prasme, kuri paaiškės per kelias sekundes.
Be analitinės geometrijos, medžiaga aktuali daugeliui matematinės analizės ir ekonominio bei matematinio modeliavimo problemų, todėl rekomenduoju šią paskaitą studijuoti labai rimtai.
Tiesinės nelygybės
Yra dviejų tipų tiesinės nelygybės:
1) Griežtas nelygybės: .
2) Lax nelygybės: .
Kuris geometrine prasmešios nelygybės? Jeigu tiesinė lygtis apibrėžia tiesę, tada apibrėžia tiesinė nelygybė pusiau plokštuma.
Norėdami suprasti toliau pateiktą informaciją, turite žinoti tiesių linijų tipus plokštumoje ir mokėti konstruoti tiesias linijas. Jei šioje dalyje turite kokių nors sunkumų, perskaitykite žinyną Funkcijų grafikai ir savybės– pastraipa apie tiesinę funkciją.
Pradėkime nuo paprasčiausių tiesinių nelygybių. Kiekvieno vargšo studento svajonė yra koordinačių plokštuma, kurioje nieko nėra:
Kaip žinote, x ašis pateikiama lygtimi - „y“ visada (bet kuriai „x“ reikšmei) yra lygus nuliui.
Panagrinėkime nelygybę. Kaip tai suprasti neoficialiai? „Y“ visada (bet kuriai „x“ reikšmei) yra teigiamas. Akivaizdu, kad ši nelygybė apibrėžia viršutinę pusiau plokštumą - juk ten yra visi taškai su teigiamais „žaidimais“.
Tuo atveju, jei nelygybė nėra griežta, į viršutinę pusplokštumą papildomai pridedama pati ašis.
Panašiai: nelygybę tenkina visi apatinės pusės plokštumos taškai, negriežta nelygybė atitinka apatinę pusplokštumą + ašį.
Tai ta pati proziška istorija su y ašimi:
– nelygybė nurodo dešiniąją pusplokštumą;
– nelygybė nurodo dešiniąją pusplokštumą, įskaitant ordinačių ašį;
– nelygybė nurodo kairiąją pusplokštumą;
– nelygybė nurodo kairiąją pusplokštumą, įskaitant ordinačių ašį.
Antrame žingsnyje atsižvelgiame į nelygybes, kuriose trūksta vieno iš kintamųjų.
Trūksta „Y“:
Arba „x“ nėra:
Šios nelygybės gali būti sprendžiamos dviem būdais: apsvarstykite abu būdus. Pakeliui prisiminkime ir įtvirtinkime mokyklos veiksmus su nelygybėmis, kurios jau buvo aptartos klasėje Funkcijos domenas.
1 pavyzdys
Išspręskite tiesines nelygybes:
Ką reiškia išspręsti tiesinę nelygybę?
Išspręsti tiesinę nelygybę reiškia rasti pusę plokštumos, kurio taškai tenkina šią nelygybę (plius pati linija, jei nelygybė nėra griežta). Sprendimas, paprastai, grafinis.
Patogiau iš karto atlikti piešinį ir tada viską komentuoti: 
a) Išspręskite nelygybę
Pirmasis metodas
Metodas labai primena istoriją su koordinačių ašimis, kurią aptarėme aukščiau. Idėja yra transformuoti nelygybę – palikti vieną kintamąjį kairėje be jokių konstantų, šiuo atveju kintamąjį “x”.
Taisyklė: Nelygybėje terminai perkeliami iš dalies į dalį keičiant ženklą, o pats nelygybės ženklas nesikeičia(pavyzdžiui, jei buvo ženklas „mažiau nei“, jis liks „mažiau nei“).
„Penki“ perkeliame į dešinę, pakeisdami ženklą:
Taisyklė TEIGIAMAS nesikeičia.
Dabar nubrėžkite tiesią liniją (mėlyna punktyrinė linija). Tiesi linija brėžiama kaip punktyrinė linija, nes nelygybė griežtas, o šiai linijai priklausantys taškai tikrai nebus įtraukti į sprendimą.
Ką reiškia nelygybė? „X“ visada (bet kuriai „Y“ vertei) yra mažesnė nei . Akivaizdu, kad šį teiginį tenkina visi kairiosios pusės plokštumos taškai. Šią pusiau plokštumą iš principo galima nuspalvinti, bet apsiribosiu mažomis mėlynomis rodyklėmis, kad piešinys nepavirstų meniška palete.
Antras metodas
Tai universalus metodas. SKAITYKITE LABAI ATSARGIAI!
Pirmiausia nubrėžiame tiesią liniją. Aiškumo dėlei, beje, lygtį patartina pateikti formoje .
Dabar pasirinkite bet kurį tašką plokštumoje, nepriklausantis tiesioginiam. Daugeliu atvejų, žinoma, saldus taškas. Pakeiskime šio taško koordinates į nelygybę: 
Gauta klaidinga nelygybė (paprastais žodžiais, tai negali būti), o tai reiškia, kad taškas netenkina nelygybės .
Pagrindinė mūsų užduoties taisyklė:
netenkina tada nelygybė VISI duotosios pusplokštumos taškai nepatenkintiši nelygybė.
– Jei bet kuris pusiau plokštumos taškas (nepriklausantis tiesei) tenkina tada nelygybė VISI duotosios pusplokštumos taškai Patenkintiši nelygybė.
Galite patikrinti: bet kuris taškas, esantis linijos dešinėje, nepatenkins nelygybės.
Kokia yra eksperimento su tašku išvada? Dėti nėra kur, nelygybę tenkina visi kitos - kairės pusės plokštumos taškai (galite ir patikrinti).
b) Išspręskite nelygybę
Pirmasis metodas
Transformuokime nelygybę:
Taisyklė: Abi nelygybės pusės gali būti dauginamos (padalintos) iš NEIGIAMAS skaičius, su nelygybės ženklu KEIČIAMAS priešingai (pavyzdžiui, jei buvo ženklas „didesnis už arba lygus“, jis taps „mažesnis už arba lygus“).
Abi nelygybės puses padauginame iš:
Nubrėžkime tiesią liniją (raudona spalva) ir nubrėžkime ištisinę liniją, nes turime nelygybę negriežtas, o tiesė akivaizdžiai priklauso sprendimui.
Išanalizavę gautą nelygybę, prieiname prie išvados, kad jos sprendimas yra apatinė pusplokštuma (+ pati tiesė).
Tinkamą pusplokštumą nuspalviname arba pažymime rodyklėmis.
Antras metodas
Nubrėžkime tiesią liniją. Pavyzdžiui, pasirinkime savavališką plokštumos tašką (nepriklausantį tiesei) ir pakeiskime jo koordinates į mūsų nelygybę: 
Gauta tikroji nelygybė, o tai reiškia, kad taškas tenkina nelygybę, o apskritai VISI apatinės pusės plokštumos taškai tenkina šią nelygybę.
Čia su eksperimentiniu tašku „pataikome“ į norimą pusplokštumą.
Problemos sprendimas pažymėtas raudona linija ir raudonomis rodyklėmis.
Asmeniškai man labiau patinka pirmasis sprendimas, nes antrasis yra formalesnis.
2 pavyzdys
Išspręskite tiesines nelygybes:
Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pabandykite išspręsti problemą dviem būdais (beje, tai yra geras būdas tirpalo tikrinimas). Atsakyme pamokos pabaigoje bus tik galutinis piešinys.
Manau, kad po visų pavyzdžiuose atliktų veiksmų teks su jais susituokti, nesunku išspręsti paprasčiausią nelygybę kaip ir pan.
Pereikime prie trečiojo bendro atvejo, kai nelygybėje yra abu kintamieji:
Arba laisvasis terminas „ce“ gali būti lygus nuliui.
3 pavyzdys
Raskite pusiau plokštumas, atitinkančias šias nelygybes:
Sprendimas: Čia naudojamas universalus sprendimo būdas su tašku pakeitimu.
a) Sukonstruokime tiesės lygtį, kuri turi būti nubrėžta kaip punktyrinė linija, nes nelygybė yra griežta ir pati tiesė nebus įtraukta į sprendinį.
Pavyzdžiui, pasirenkame eksperimentinį plokštumos tašką, kuris nepriklauso nurodytai tiesei, ir pakeičiame jo koordinates į mūsų nelygybę:
Gauta klaidinga nelygybė, o tai reiškia, kad duotosios pusės plokštumos taškas ir VISI taškai netenkina nelygybės. Nelygybės sprendimas bus dar viena pusiau plokštuma, pasigrožėkime mėlynu žaibu: 
b) Išspręskime nelygybę. Pirmiausia nubrėžkime tiesią liniją. Tai padaryti nėra sunku; turime kanoninį tiesioginį proporcingumą. Liniją brėžiame nuolat, nes nelygybė nėra griežta.
Pasirinkime savavališką plokštumos tašką, kuris nepriklauso tiesei. Norėčiau vėl naudoti originalą, bet, deja, dabar jis netinka. Todėl teks dirbti su kitu draugu. Pelningiau paimti tašką su mažomis koordinačių reikšmėmis, pavyzdžiui, . Pakeiskime jo koordinates į mūsų nelygybę:
Gauta tikroji nelygybė, o tai reiškia, kad duotosios pusės plokštumos taškas ir visi taškai tenkina nelygybę . Norima pusplokštuma pažymėta raudonomis rodyklėmis. Be to, sprendimas apima pačią tiesią liniją.
4 pavyzdys
Raskite pusiau plokštumas, atitinkančias nelygybes:
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pilnas sprendimas, apytikslis galutinio dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Pažvelkime į atvirkštinę problemą:
5 pavyzdys
a) Duota tiesi linija. Apibrėžkite pusiau plokštuma, kurioje yra taškas, o pati tiesė turi būti įtraukta į sprendimą.
b) Duota tiesi linija. Apibrėžkite pusiau plokštuma, kurioje yra taškas. Pati tiesi linija į sprendimą neįtraukta.
Sprendimas: Piešinio čia nereikia ir sprendimas bus analitinis. Nieko sunkaus:
a) Sudarykime pagalbinį daugianarį ir apskaičiuokime jo reikšmę taške:
. Taigi norima nelygybė turės ženklą „mažiau nei“. Pagal sąlygą tiesi linija įtraukta į sprendimą, todėl nelygybė nebus griežta:
b) Sudarykime daugianarį ir apskaičiuokime jo reikšmę taške:
. Taigi norima nelygybė turės ženklą „didesnis nei“. Pagal sąlygą tiesė į sprendinį neįtraukta, todėl nelygybė bus griežta: .
Atsakymas:
Kūrybinis pavyzdys savarankiškas mokymasis:
6 pavyzdys
Duoti taškai ir tiesi linija. Tarp išvardytų taškų raskite tuos, kurie kartu su koordinačių pradžia yra toje pačioje nurodytos linijos pusėje.
Maža užuomina: pirmiausia reikia sukurti nelygybę, kuri apibrėžia pusę plokštumos, kurioje yra koordinačių pradžia. Analitinis sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Tiesinių nelygybių sistemos
Tiesinių nelygybių sistema, kaip jūs suprantate, yra sistema, sudaryta iš kelių nelygybių. Lol, gerai, aš išdaviau apibrėžimą =) Ežiukas yra ežiukas, peilis yra peilis. Bet tai tiesa - pasirodė paprasta ir prieinama! Ne, jei rimtai, nenoriu pateikti jokių bendrų pavyzdžių, todėl pereikime prie aktualių klausimų:
Ką reiškia išspręsti tiesinių nelygybių sistemą?
Išspręskite tiesinių nelygybių sistemą- tai reiškia raskite taškų aibę plokštumoje, kurios tenkina kiekvienam sistemos nelygybė.
Kaip paprasčiausius pavyzdžius panagrinėkime nelygybių sistemas, apibrėžiančias koordinačių ketvirčius stačiakampė sistema koordinatės („vargšų mokinių paveikslėlis“ yra pačioje pamokos pradžioje):
Nelygybių sistema apibrėžia pirmąjį koordinačių ketvirtį (viršuje dešinėje). Pavyzdžiui, bet kurio pirmojo ketvirčio taško koordinatės 
ir tt Patenkinti kiekvienamšios sistemos nelygybė.
Taip pat:
– nelygybių sistema nurodo antrąjį koordinačių ketvirtį (viršuje kairėje);
– nelygybių sistema apibrėžia trečiąjį koordinačių ketvirtį (apačioje kairėje);
– nelygybių sistema apibrėžia ketvirtąjį koordinačių ketvirtį (apačioje dešinėje).
Tiesinių nelygybių sistema gali neturėti sprendinių, tai yra būti ne sąnarių. Vėlgi paprasčiausias pavyzdys: . Visiškai akivaizdu, kad „x“ vienu metu negali būti daugiau nei trys ir mažiau nei du.
Nelygybių sistemos sprendimas gali būti tiesė, pavyzdžiui: . Gulbė, vėžys, be lydekos, tempia vežimą į dvi skirtingas puses. Taip, viskas vis dar yra – šios sistemos sprendimas yra tiesi linija.
Tačiau labiausiai paplitęs atvejis, kai sistemos sprendimas yra tam tikras plokštumos plotas. Sprendimo sritis Gal būt neribota(pavyzdžiui, koordinačių ketvirčiai) arba ribotas. Riboto sprendimo regionas vadinamas daugiakampio sprendimo sistema.
7 pavyzdys
Išspręskite tiesinių nelygybių sistemą
Praktikoje daugeliu atvejų tenka susidurti su silpnomis nelygybėmis, todėl visą likusią pamokos dalį apvalius šokius ves būtent jie.
Sprendimas: Tai, kad yra per daug nelygybės, neturėtų būti baisu. Kiek nelygybių gali būti sistemoje? Taip, kiek jums patinka. Svarbiausia yra laikytis racionalaus sprendimo srities konstravimo algoritmo:
1) Pirmiausia sprendžiame paprasčiausias nelygybes. Nelygybės apibrėžia pirmąjį koordinačių ketvirtį, įskaitant koordinačių ašių ribą. Tai jau daug lengviau, nes paieškos sritis gerokai susiaurėjo. Brėžinyje iš karto pažymime atitinkamas pusplokštumas rodyklėmis (raudonos ir mėlynos rodyklės)
2) Antroji paprasčiausia nelygybė yra ta, kad čia nėra „Y“. Pirma, sukonstruojame pačią tiesę, o antra, pakeitus nelygybę į formą , iš karto tampa aišku, kad visi „X“ yra mažesni už 6. Žaliomis rodyklėmis pažymime atitinkamą pusplokštumą. Na, o paieškos sritis tapo dar mažesnė – toks iš viršaus neapribotas stačiakampis.
3) Įjungta paskutinis žingsnis nelygybes sprendžiame „pilna amunicija“: . Išsamiai aptarėme sprendimo algoritmą ankstesnėje pastraipoje. Trumpai tariant: pirmiausia nutiesiame tiesią liniją, tada, naudodami eksperimentinį tašką, randame mums reikalingą pusę plokštumos.
Atsistokite, vaikai, stovėkite ratu: 
Sistemos sprendimo sritis yra daugiakampis, brėžinyje jis kontūruojamas tamsiai raudona linija ir užtamsintas. Truputį persistengiau =) Užrašų knygelėje užtenka arba nuspalvinti tirpalo plotą, arba paprastu pieštuku nubrėžti drąsiau.
Bet kuris duoto daugiakampio taškas tenkina KIEKVIENĄ sistemos nelygybę (galite patikrinti, kaip smagu).
Atsakymas: sistemos sprendimas yra daugiakampis.
Pateikiant paraišką gauti švarią kopiją, būtų naudinga išsamiai aprašyti, kuriuos taškus naudojote tiesioms linijoms kurti (žr. pamoką Funkcijų grafikai ir savybės), ir kaip buvo nustatytos pusplokštumos (žr. pirmąją šios pamokos pastraipą). Tačiau praktiškai daugeliu atvejų jums bus įskaitytas tik teisingas piešinys. Patys skaičiavimai gali būti atliekami pagal juodraštį arba net žodžiu.
Be sistemos sprendimo daugiakampio, praktiškai, nors ir rečiau, yra atvira sritis. Pabandykite patys suprasti šį pavyzdį. Nors dėl tikslumo čia nėra kankinimų - statybos algoritmas yra tas pats, tiesiog plotas nebus ribojamas.
8 pavyzdys
Išspręskite sistemą
Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje. Greičiausiai turėsite skirtingas gauto regiono viršūnių raides. Tai nėra svarbu, svarbiausia teisingai rasti viršūnes ir teisingai sukonstruoti plotą.
Neretai pasitaiko, kad uždaviniams spręsti reikia ne tik sukurti sistemos sprendimo sritį, bet ir surasti srities viršūnių koordinates. Dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose šių taškų koordinatės buvo akivaizdžios, tačiau praktiškai viskas toli gražu nėra ledas:
9 pavyzdys
Išspręskite sistemą ir raskite gautos srities viršūnių koordinates
Sprendimas: brėžinyje pavaizduokime šios sistemos sprendimo sritį. Nelygybė apibrėžia kairę pusę plokštumos su ordinačių ašimi, ir čia nebėra jokių dovanų. Apskaičiavę galutinę kopiją / juodraštį arba gilius mąstymo procesus, gauname tokią sprendimų sritį: 
Įkeliama...
