Autoriaus požiūris į šią temą nėra atsitiktinis. Su lygtimis su dviem kintamaisiais pirmą kartą susiduriama 7 klasės kursuose. Viena lygtis su dviem kintamaisiais turi begalinį sprendinių skaičių. Tai aiškiai parodo tiesinės funkcijos grafikas, pateiktas kaip ax + by=c. Mokykliniame kurse mokiniai mokosi dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas. Dėl to iš mokytojo, taigi ir mokinio, akiračio iškrenta visa eilė problemų, turinčių ribotas lygties koeficiento sąlygas, taip pat jų sprendimo būdus.
Mes kalbame apie lygties su dviem nežinomaisiais sveikaisiais arba natūraliaisiais skaičiais sprendimą.
Mokykloje natūralieji skaičiai ir sveikieji skaičiai mokomi 4-6 klasėse. Kai baigia mokyklą, ne visi mokiniai prisimena šių skaičių aibių skirtumus.
Tačiau tokia problema kaip „išspręskite lygtį, kurios forma ax + by=c sveikaisiais skaičiais“ vis dažniau aptinkama stojant į universitetus ir vieningų valstybinių egzaminų medžiagoje.
Neaiškių lygčių sprendimas ugdo loginį mąstymą, intelektą ir dėmesį analizei.
Siūlau parengti keletą pamokų šia tema. Neturiu aiškių rekomendacijų dėl šių pamokų laiko. Kai kurie elementai gali būti naudojami ir 7 klasėje (stipriai klasei). Šiomis pamokomis galima remtis ir parengti nedidelį pasirenkamąjį ikiprofesinio mokymo kursą 9 klasėje. Ir, žinoma, ši medžiaga gali būti naudojama 10-11 klasėse ruošiantis egzaminams.
Pamokos tikslas:
- žinių kartojimas ir apibendrinimas tema „Pirmos ir antros eilės lygtys“
- ugdyti pažintinį susidomėjimą dalyku
- ugdyti gebėjimą analizuoti, daryti apibendrinimus, perkelti žinias į naują situaciją
1 pamoka.
Pamokos eiga.
1) Org. akimirka.
2) Pagrindinių žinių atnaujinimas.
Apibrėžimas. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais vadinama formos lygtimi
mx + ny = k, kur m, n, k yra skaičiai, x, y yra kintamieji.
Pavyzdys: 5x+2y=10
Apibrėžimas. Lygties su dviem kintamaisiais sprendimas yra kintamųjų reikšmių pora, kuri lygtį paverčia tikrąja lygybe.
Lygtys su dviem kintamaisiais, turinčios tuos pačius sprendinius, vadinamos ekvivalentinėmis.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Ši lygtis gali turėti bet kokį sprendinių skaičių. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kurią x reikšmę ir rasti atitinkamą y reikšmę.
Tegu x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Skaičių poros (2;1); (4;-4) – (1) lygties sprendiniai.
Ši lygtis turi be galo daug sprendinių.
3) Istorinis fonas
Neapibrėžtos (diofantinės) lygtys yra lygtys, kuriose yra daugiau nei vienas kintamasis.
III amžiuje. AD – Diofantas Aleksandrietis parašė „Aritmetiką“, kurioje išplėtė skaičių aibę iki racionaliųjų ir įvedė algebrinę simboliką.
Diofantas taip pat nagrinėjo neapibrėžtų lygčių sprendimo problemas ir pateikė metodus antrojo ir trečiojo laipsnio neapibrėžtoms lygtims spręsti.
4) Naujos medžiagos studijavimas.
Apibrėžimas: pirmos eilės nehomogeninė diofantino lygtis su dviem nežinomaisiais x, y yra lygtis, kurios formos mx + ny = k, kur m, n, k, x, y Z k0
1 teiginys.
Jei (1) lygties laisvasis narys k nesidalija iš didžiausio bendras daliklis(GCD) iš skaičių m ir n, tada (1) lygtis neturi sveikųjų skaičių sprendinių.
Pavyzdys: 34x – 17m = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 nesidalija tolygiai iš 17, sveikaisiais skaičiais sprendinio nėra.
Tegu k dalijasi iš gcd (m, n). Padalinę visus koeficientus, galime užtikrinti, kad m ir n taptų santykinai pirminiais.
2 teiginys.
Jei (1) lygties m ir n yra santykinai pirminiai skaičiai, tai ši lygtis turi bent vieną sprendinį.
3 teiginys.
Jei (1) lygties koeficientai m ir n yra pirminiai skaičiai, tai ši lygtis turi be galo daug sprendinių:
Kur (; ) yra bet koks (1) lygties sprendinys, t Z
Apibrėžimas. Pirmos eilės vienalytė Diofantono lygtis su dviem nežinomaisiais x, y yra lygtis, kurios formos mx + ny = 0, kur (2)
4 teiginys.
Jei m ir n yra pirminiai skaičiai, tai bet koks (2) lygties sprendinys turi formą 
5) Namų darbai. Išspręskite lygtį sveikais skaičiais:
- 9x – 18m = 5
- x + y= xy
- Keli vaikai rinko obuolius. Kiekvienas berniukas surinko po 21 kg, o mergina – 15 kg. Iš viso jie surinko 174 kg. Kiek berniukų ir kiek mergaičių rinko obuolius?
komentuoti. Šioje pamokoje nepateikiami sveikųjų skaičių lygčių sprendimo pavyzdžiai. Štai kodėl namų darbai vaikai sprendžia pagal 1 teiginį ir atranką.
2 pamoka.
1) Organizacinis momentas
2) Namų darbų tikrinimas
1) 9x – 18y = 5
5 nesidalija iš 9; sveikųjų skaičių sprendinių nėra.
Naudodami atrankos metodą galite rasti sprendimą
Atsakymas: (0;0), (2;2)
3) Sudarykite lygtį:
Tegul berniukai yra x, x Z, o mergaitės y, y Z, tada galime sukurti lygtį 21x + 15y = 174
Daugelis studentų, parašę lygtį, nesugebės jos išspręsti.
Atsakymas: 4 berniukai, 6 mergaitės.
3) Naujos medžiagos mokymasis
Susidūrę su sunkumais atliekant namų darbus, mokiniai įsitikino, kad reikia išmokti jų neapibrėžtų lygčių sprendimo metodus. Pažvelkime į kai kuriuos iš jų.
I. Padalijimo liekanų svarstymo metodas.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį sveikais skaičiais 3x – 4y = 1.
Kairioji lygties pusė dalijasi iš 3, todėl dešinioji turi dalytis. Panagrinėkime tris atvejus.
Atsakymas: kur m Z.
Aprašytą metodą patogu naudoti, jei skaičiai m ir n nėra maži, bet gali būti skaidomi į paprastus veiksnius.
Pavyzdys: išspręskite lygtis sveikais skaičiais.
Tegul y = 4n, tada 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) dalijamas iš 4.
y = 4n+1, tada 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nesidalija iš 4.
y = 4n+2, tada 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nesidalija iš 4.
y = 4n+3, tada 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nesidalija iš 4.
Todėl y = 4n, tada
4x = 16-7 4n = 16-28n, x = 4-7n
Atsakymas: , kur n Z.
II. Neaiškios 2-ojo laipsnio lygtys
Šiandien pamokoje paliesime tik antros eilės Diofanto lygčių sprendimą.
O iš visų lygčių tipų nagrinėsime atvejį, kai galime pritaikyti kvadratų skirtumo formulę ar kitą faktorizavimo metodą.
Pavyzdys: išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais.
13 yra pirminis skaičius, todėl jį galima apskaičiuoti tik keturiais būdais: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)
Panagrinėkime šiuos atvejus
Atsakymas: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Namų darbai.
Pavyzdžiai. Išspręskite lygtį sveikais skaičiais:
(x - y) (x + y) = 4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | netinka | netinka |
| 2x = -4 | netinka | netinka |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Atsakymas: (-2;0), (2;0).
Atsakymai: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Atsakymas: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Rezultatai. Ką reiškia lygtį išspręsti sveikais skaičiais?
Kokius žinote neapibrėžtų lygčių sprendimo būdus?
Taikymas:
Pratimai treniruotėms.
1) Išspręskite sveikais skaičiais.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 - 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 - 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1–2 m, y = 4 + 9 m, m Z |
| e) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10 t, y = 30 + 7 t, t Z |
2) Raskite sveikųjų skaičių neneigiamus lygties sprendinius:
Sprendimas: Z (2; -1)
Literatūra.
- Vaikų enciklopedija „Pedagogika“, Maskva, 1972 m.
- Algebra-8, N.Ya. Vilenkin, VO „Mokslas“, Novosibirskas, 1992 m
- Skaičių teorija pagrįstos konkurencijos problemos.
- V.Ya. Galkinas, D. Yu. Sičugovas. MSU, VMK, Maskva, 2005 m.
- Padidinto sunkumo problemos 7-9 klasių algebros kurse. N.P. Kosrykina. „Švietimas“, Maskva, 1991 m
Algebra 7, Makarychev Yu.N., „Apšvietimas“. 7 klasės matematikos kurse susiduriame pirmą kartą lygtys su dviem kintamaisiais , tačiau jie tiriami tik lygčių sistemų su dviem nežinomaisiais kontekste. Štai kodėl iš akiračio iškrenta daugybė problemų, kai lygties koeficientams pateikiamos tam tikros sąlygos, kurios juos riboja. Be to, ignoruojami ir tokie problemų sprendimo metodai kaip „Išspręskite lygtį natūraliais arba sveikaisiais skaičiais“, nors Vieningo valstybinio egzamino medžiaga
O stojamuosiuose egzaminuose su tokio pobūdžio problemomis susiduriama vis dažniau.
Kuri lygtis bus vadinama lygtimi su dviem kintamaisiais?
Taigi, pavyzdžiui, lygtys 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 arba xy = 12 yra dviejų kintamųjų lygtys.
Apsvarstykite lygtį 2x – y = 1. Ji išsipildo, kai x = 2 ir y = 3, taigi ši kintamųjų reikšmių pora yra nagrinėjamos lygties sprendimas.
Taigi, bet kurios lygties su dviem kintamaisiais sprendimas yra sutvarkytų porų (x; y) rinkinys, kintamųjų reikšmės, kurios paverčia šią lygtį tikra skaitine lygybe.
Lygtis su dviem nežinomaisiais gali: A) turi vieną sprendimą.
Pavyzdžiui, lygtis x 2 + 5y 2 = 0 turi unikalų sprendimą (0; 0); b) turi kelis sprendimus.
Pavyzdžiui, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 turi 4 sprendimus: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); V) neturi sprendimų.
Pavyzdžiui, lygtis x 2 + y 2 + 1 = 0 neturi sprendinių; G) Pavyzdžiui, x + y = 3. Šios lygties sprendiniai bus skaičiai, kurių suma lygi 3. Šios lygties sprendinių aibė gali būti užrašoma forma (k; 3 – k), kur k yra bet koks realus skaičius.
Pagrindiniai lygčių su dviem kintamaisiais sprendimo metodai yra faktoringo išraiškomis pagrįsti metodai, pilno kvadrato išskyrimas, naudojant kvadratinės lygties savybes, ribotas išraiškas ir įvertinimo metodai. Lygtis paprastai transformuojama į formą, iš kurios galima gauti nežinomųjų suradimo sistemą.
Faktorizavimas
1 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: xy – 2 = 2x – y.
Sprendimas.
Sugrupuojame terminus faktorizavimo tikslais:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Iš kiekvieno skliausto išimame bendrą koeficientą:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Turime:
y = 2, x – bet koks realusis skaičius arba x = -1, y – bet koks realusis skaičius.
Taigi, atsakymas yra visos poros formos (x; 2), x € R ir (-1; y), y € R.
Lygus nuliui nėra neigiami skaičiai
2 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Sprendimas.
Grupavimas:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Dabar kiekvieną laikiklį galima sulankstyti naudojant skirtumo kvadratu formulę.
(3x – 2) 2 + (2m – 3) 2 = 0.
Dviejų neneigiamų išraiškų suma lygi nuliui tik tada, kai 3x – 2 = 0 ir 2y – 3 = 0.
Tai reiškia, kad x = 2/3 ir y = 3/2.
Atsakymas: (2/3; 3/2).
Įvertinimo metodas
3 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.
Sprendimas.
Kiekviename skliaustelyje pasirenkame visą kvadratą:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Apskaičiuokime 
skliausteliuose esančių posakių reikšmė.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ir (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, tada kairioji lygties pusė visada yra bent 2. Lygybė galima, jei:
(x + 1) 2 + 1 = 1 ir (y – 2) 2 + 2 = 2, o tai reiškia, kad x = -1, y = 2.
Atsakymas: (-1; 2).
Susipažinkime su kitu lygčių su dviem antrojo laipsnio kintamaisiais sprendimo būdu. Šis metodas susideda iš lygties traktavimo kaip kvadratas kokio nors kintamojo atžvilgiu.
4 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Sprendimas.
Išspręskime lygtį kaip kvadratinę x lygtį. Raskime diskriminantą:
D = 36 – 4 (y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4 (√y – 2) 2 . Lygtis turės sprendinį tik tada, kai D = 0, tai yra, jei y = 4. Pakeičiame y reikšmę pradine lygtimi ir nustatome, kad x = 3.
Atsakymas: (3; 4).
Dažnai jie nurodo lygtyse su dviem nežinomaisiais kintamųjų apribojimai.
5 pavyzdys.
Išspręskite lygtį sveikais skaičiais: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Sprendimas.
Perrašykime lygtį į formą x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Dešinioji gautos lygties pusė padalijus iš 5, gaunama liekana 2. Todėl x 2 nesidalija iš 5. Bet kvadratas a iš 5 nesidalijantis skaičius duoda liekaną 1 arba 4. Taigi lygybė neįmanoma ir sprendinių nėra.
Atsakymas: nėra šaknų.
6 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Sprendimas.
Paryškinkime visus kvadratus kiekviename skliaustelyje:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Kairioji lygties pusė visada yra didesnė arba lygi 3. Lygybė galima su sąlyga |x| – 2 = 0 ir y + 3 = 0. Taigi, x = ± 2, y = -3.
Atsakymas: (2; -3) ir (-2; -3).
7 pavyzdys.
Kiekvienai neigiamų sveikųjų skaičių (x;y) porai, atitinkančiai lygtį
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, apskaičiuokite sumą (x + y). Atsakyme nurodykite mažiausią sumą.
Sprendimas.
Pažymime pilnus kvadratus:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kadangi x ir y yra sveikieji skaičiai, jų kvadratai taip pat yra sveikieji skaičiai. Dviejų sveikųjų skaičių kvadratų sumą gauname 37, jei sudedame 1 + 36. Todėl:
(x – y) 2 = 36 ir (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 ir (y + 2) 2 = 36.
Išspręsdami šias sistemas ir atsižvelgdami į tai, kad x ir y yra neigiami, randame sprendinius: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Atsakymas: -17.
Nenusiminkite, jei jums sunku išspręsti lygtis su dviem nežinomaisiais. Šiek tiek praktikuodami galite valdyti bet kokią lygtį.
Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti dviejų kintamųjų lygtis?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Instrukcijos
Pakeitimo metodas Išreikškite vieną kintamąjį ir pakeiskite jį kita lygtimi. Galite išreikšti bet kurį kintamąjį savo nuožiūra. Pavyzdžiui, išreikškite y iš antrosios lygties:
x-y=2 => y=x-2 Tada viską pakeiskite pirmąja lygtimi:
2x+(x-2)=10 Viską be „x“ perkelkite į dešinę ir apskaičiuokite:
2x+x=10+2
3x=12 Tada, norėdami gauti x, padalykite abi lygties puses iš 3:
x=4 Taigi, radote „x. Raskite „y. Norėdami tai padaryti, pakeiskite "x" į lygtį, iš kurios išreiškėte "y":
y=x-2=4-2=2
y = 2.
Atlikite patikrinimą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite gautas reikšmes į lygtis:
2*4+2=10
4-2=2
Nežinomieji buvo rasti teisingai!
Lygčių pridėjimo arba atėmimo būdas Nedelsdami atsikratykite bet kurio kintamojo. Mūsų atveju tai lengviau padaryti naudojant „y.
Kadangi lygtyje „y“ turi „+“ ženklą, o antroje – „-“, tuomet galite atlikti sudėjimo operaciją, t.y. sulenkite kairę pusę kaire, o dešinę - dešine:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertuoti:
2x+y+x-y=10+2
3x = 12
x=4 Pakeiskite „x“ į bet kurią lygtį ir raskite „y“:
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2 Naudodami 1-ąjį metodą galite patikrinti, ar šaknys rastos teisingai.
Jei nėra aiškiai apibrėžtų kintamųjų, tada lygtis reikia šiek tiek transformuoti.
Pirmoje lygtyje turime „2x“, o antroje tiesiog turime „x“. Norėdami sumažinti x pridėdami arba atimdami, padauginkite antrą lygtį iš 2:
x-y=2
2x-2y=4 Tada iš pirmosios lygties atimkite antrąją:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Atkreipkite dėmesį, kad jei prieš skliaustelį yra minusas, tada atidarę pakeiskite ženklus į priešingus:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
rasti y=2x išreikšdami iš bet kurios lygties, t.y.
x=4
Video tema
Sprendžiant diferencialines lygtis, argumentas x (arba laikas t fizikiniuose uždaviniuose) ne visada yra aiškiai prieinamas. Tačiau tai yra supaprastinta ypatingas atvejis nurodant diferencialinę lygtį, kuri dažnai padeda supaprastinti jos integralo paiešką.
Instrukcijos
Apsvarstykite fizikos uždavinį, dėl kurio gaunama diferencialinė lygtis, kurioje trūksta argumento t. Tai problema, susijusi su masės m virpesiais, pakabintais ant r ilgio sriegio, esančio vertikalioje plokštumoje. Švytuoklės judėjimo lygtis reikalinga, jei ji iš pradžių buvo nejudanti ir pasvirusi iš pusiausvyros būsenos kampu α. Jėgų reikia nepaisyti (žr. 1a pav.).
Sprendimas. Matematinė švytuoklė – tai materialus taškas, pakabintas ant nesvario ir netampančio sriegio taške O. Tašką veikia dvi jėgos: gravitacijos jėga G=mg ir sriegio tempimo jėga N. Abi šios jėgos yra vertikalioje plokštumoje. . Todėl norėdami išspręsti problemą, galite pritaikyti taško sukamojo judėjimo aplink horizontalią ašį, einančią per tašką O, lygtį. Kūno sukamojo judėjimo lygtis yra tokia, kaip parodyta Fig. 1b. Šiuo atveju I yra materialaus taško inercijos momentas; j – sriegio sukimosi kampas kartu su tašku, matuojamas nuo vertikalios ašies prieš laikrodžio rodyklę; M yra jėgų, veikiančių materialųjį tašką, momentas.
Apskaičiuokite šias vertes. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Bet M(N)=0, nes jėgos veikimo linija eina per tašką O. M(G)=-mgrsinj. „-“ ženklas reiškia, kad jėgos momentas nukreiptas priešinga judėjimo kryptimi. Pakeiskite inercijos momentą ir jėgos momentą į judesio lygtį ir gaukite lygtį, parodytą Fig. 1s. Sumažinus masę, atsiranda ryšys (žr. 1d pav.). Čia nėra jokių argumentų.
Mes jau išmokome spręsti kvadratines lygtis. Dabar išplėskime tiriamus metodus į racionaliąsias lygtis.
Kas atsitiko racionali išraiška? Mes jau susidūrėme su šia koncepcija. Racionalios išraiškos yra išraiškos, sudarytos iš skaičių, kintamųjų, jų galių ir matematinių operacijų simbolių.
Atitinkamai, racionalios lygtys yra lygtys, kurių forma: , kur 
- racionalios išraiškos.
Anksčiau mes svarstėme tik tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į tiesines. Dabar pažvelkime į tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į kvadratines lygtis.
1 pavyzdys
Išspręskite lygtį:.
Sprendimas:
Trupmena lygi 0 tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus 0, o vardiklis nelygus 0.
Gauname tokią sistemą:
Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis. Prieš spręsdami visus jo koeficientus padalinkime iš 3. Gauname:
Gauname dvi šaknis: ; .
Kadangi 2 niekada nėra lygus 0, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: 
. Kadangi nė viena iš aukščiau gautos lygties šaknų nesutampa su neteisingomis kintamojo reikšmėmis, gautomis sprendžiant antrąją nelygybę, jos abi yra šios lygties sprendiniai.
Atsakymas:.
Taigi, suformuluokime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą:
1. Perkelkite visus terminus į kairę pusę, kad dešinėje pusėje būtų 0.
2. Transformuokite ir supaprastinkite kairę pusę, suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį.
3. Gautą trupmeną prilyginkite 0, naudodami šį algoritmą: 
.
4. Užrašykite tas šaknis, kurios buvo gautos pirmoje lygtyje, ir tenkinkite antrąją nelygybę atsakyme.
Pažvelkime į kitą pavyzdį.
2 pavyzdys
Išspręskite lygtį: 
.
Sprendimas
Pačioje pradžioje perkeliame visus terminus į kairę, kad 0 liktų dešinėje.
Dabar priveskime kairę lygties pusę į bendrą vardiklį:
Ši lygtis yra lygiavertė sistemai:
Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis.
Šios lygties koeficientai: . Apskaičiuojame diskriminantą:
Gauname dvi šaknis: ; .
Dabar išspręskime antrąją nelygybę: veiksnių sandauga nėra lygi 0 tada ir tik tada, kai nė vienas iš veiksnių nėra lygus 0.
Turi būti įvykdytos dvi sąlygos: 
. Pastebime, kad iš dviejų pirmosios lygties šaknų tinka tik viena – 3.
Atsakymas:.
Šioje pamokoje prisiminėme, kas yra racionalioji išraiška, taip pat išmokome spręsti racionaliąsias lygtis, kurios redukuoja į kvadratines lygtis.
Kitoje pamokoje pažvelgsime į racionaliąsias lygtis kaip modelius realias situacijas, taip pat apsvarstykite judėjimo užduotis.
Nuorodos
- Bašmakovas M.I. Algebra, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.
- Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt., Algebra, 8. 5 leid. - M.: Švietimas, 2010 m.
- Nikolskis S.M., Potapovas M.A., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra, 8 klasė. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms. - M.: Švietimas, 2006 m.
- Festivalis pedagoginės idėjos "Atvira pamoka" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Namų darbai
Įkeliama...
