Laipsnio formulės naudojami mažinimo ir supaprastinimo procese sudėtingos išraiškos, sprendžiant lygtis ir nelygybes.
Skaičius c yra n- skaičiaus laipsnis a Kada:
Operacijos su laipsniais.
1. Padauginus c laipsnius tuo pačiu pagrindu Jų rodikliai susideda iš:
a m·a n = a m + n .
2. Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų eksponentai atimami:
3. Produkto galia 2 arba daugiau faktoriai yra lygūs šių veiksnių galių sandaugai:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Trupmenos laipsnis lygus dividendo ir daliklio laipsnių santykiui:
(a/b) n = a n/b n .
5. Padidinus laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami:
(a m) n = a m n .
Kiekviena aukščiau pateikta formulė yra teisinga kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.
Pavyzdžiui. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operacijos su šaknimis.
1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:
2. Santykio šaknis lygi dividendo ir šaknų daliklio santykiui:
3. Keliant šaknį į laipsnį, iki šios laipsnio pakanka pakelti radikalųjį skaičių:
4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n vieną kartą ir tuo pačiu metu integruoti į n laipsnis yra radikalus skaičius, tada šaknies reikšmė nepasikeis:
5. Jei sumažinsite šaknies laipsnį n tuo pačiu metu ištraukite šaknį n- radikalaus skaičiaus laipsnis, tada šaknies reikšmė nepasikeis:
Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus laipsnis su neteigiamąja (sveikojo skaičiaus) laipsniu apibrėžiama kaip viena, padalyta iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliuti vertė ne teigiamas indikatorius:
Formulė a m:a n =a m - n gali būti naudojamas ne tik m> n, bet ir su m< n.
Pavyzdžiui. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Į formulę a m:a n =a m - n tapo teisinga, kai m=n, būtinas nulinis laipsnis.
Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio skaičiaus, nelygaus nuliui, su nuliniu rodikliu, laipsnis yra lygus vienetui.
Pavyzdžiui. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti tikrąjį skaičių A iki laipsnio m/n, reikia išgauti šaknį n laipsnis m-šio skaičiaus laipsnis A.
Skaičiuoklė padeda greitai padidinti skaičių iki galios internete. Laipsnio pagrindas gali būti bet koks skaičius (ir sveikieji, ir realieji skaičiai). Rodiklis taip pat gali būti sveikasis arba tikrasis skaičius, taip pat gali būti teigiamas arba neigiamas. Atminkite, kad neigiamų skaičių atveju didinimas iki ne sveikojo skaičiaus laipsnio neapibrėžtas, todėl skaičiuotuvas praneš apie klaidą, jei bandysite tai padaryti.
Laipsnio skaičiuoklė
Pakelti į valdžią
Eksponentiniai koeficientai: 20880
Kas yra natūrali skaičiaus galia?
Skaičius p vadinamas n-tuoju skaičiaus laipsniu, jei p yra lygus skaičiui a, padaugintam iš savęs n kartų: p = a n = a·...·a
n - paskambino eksponentas, o skaičius a yra laipsnio pagrindu.
Kaip pakelti skaičių iki natūralios galios?
Norėdami suprasti, kaip statyti skirtingi skaičiai apie natūralias galias, apsvarstykite keletą pavyzdžių:
1 pavyzdys. Pakelkite skaičių tris iki ketvirtos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 3 4
Sprendimas: kaip minėta aukščiau, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Atsakymas: 3 4 = 81 .
2 pavyzdys. Pakelkite skaičių penktą iki penktos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 5 5
Sprendimas: panašiai, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125.
Atsakymas: 5 5 = 3125 .
Taigi, norint pakelti skaičių iki natūralios laipsnio, tereikia jį padauginti iš savęs n kartų.
Kas yra neigiama skaičiaus galia?
Neigiamas a laipsnis -n yra padalintas iš a iki n laipsnio: a -n = .Šiuo atveju neigiama galia egzistuoja tik nuliniams skaičiams, nes kitaip įvyktų padalijimas iš nulio.
Kaip padidinti skaičių iki neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio?
Norėdami pakelti ne nulį skaičių iki neigiamo laipsnio, turite apskaičiuoti šio skaičiaus reikšmę iki tos pačios teigiamos galios ir padalyti vieną iš rezultato.
1 pavyzdys. Pakelkite skaičių du iki neigiamos ketvirtosios laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 2 -4
Sprendimas: kaip nurodyta aukščiau, 2 -4 = = = 0,0625.Atsakymas: 2 -4 = 0.0625 .
Pakėlimas į neigiamą laipsnį yra vienas pagrindinių matematikos elementų, su kuriuo dažnai susiduriama sprendžiant algebrinius uždavinius. Žemiau pateikiamos išsamios instrukcijos.
Kaip pakelti į neigiamą galią – teorija
Kai pakeliame skaičių iki paprasto laipsnio, jo reikšmę padauginame kelis kartus. Pavyzdžiui, 3 3 = 3×3×3 = 27. Su neigiama trupmena yra atvirkščiai. Bendra formulės forma bus tokia kitas vaizdas: a -n = 1/a n . Taigi, norėdami padidinti skaičių iki neigiamo laipsnio, turite padalyti skaičių iš nurodyto skaičiaus, bet iki teigiamo laipsnio.
Kaip pakelti iki neigiamo laipsnio – įprastų skaičių pavyzdžiai
Turėdami omenyje aukščiau pateiktą taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atsakymas: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atsakymas -4 -2 = 1/16.
Bet kodėl atsakymai pirmame ir antrame pavyzdžiuose yra vienodi? Faktas yra tas, kad kai neigiamas skaičius padidinamas iki lyginės laipsnio (2, 4, 6 ir tt), ženklas tampa teigiamas. Jei laipsnis būtų lygus, minusas liktų:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Kaip padidinti iki neigiamo laipsnio - skaičiai nuo 0 iki 1
Prisiminkite, kad kai skaičius tarp 0 ir 1 padidinamas iki teigiamo laipsnio, reikšmė mažėja, kai galia didėja. Pavyzdžiui, 0,5 2 = 0,25. 0.25
3 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -2
Sprendimas: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atsakymas: 0,5 -2 = 4
Analizė (veiksmų seka):
- Paverskite dešimtainę trupmeną 0,5 į trupmeną 1/2. Taip lengviau.
Pakelkite 1/2 iki neigiamos galios. 1/(2) -2 . Padalinkite 1 iš 1/(2) 2, gausime 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
4 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -3
Sprendimas: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
5 pavyzdys: Apskaičiuokite -0,5 -3
Sprendimas: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atsakymas: -0,5 -3 = -8
Remdamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, galime padaryti keletą išvadų:
- Teigiamam skaičiui intervale nuo 0 iki 1 (4 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus teigiama. Tuo pačiu metu, nei daugiau laipsnio, tuo didesnė vertė.
- Neigiamam skaičiui diapazone nuo 0 iki 1 (5 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus neigiama. Šiuo atveju kuo aukštesnis laipsnis, tuo mažesnė vertė.
Kaip pakelti į neigiamą laipsnį – laipsnį trupmeninio skaičiaus pavidalu
Išraiškos šio tipo turi tokią formą: a -m/n, kur a yra reguliarus skaičius, m yra laipsnio skaitiklis, n yra laipsnio vardiklis.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Apskaičiuokite: 8 -1/3
Sprendimas (veiksmų seka):
- Prisiminkime skaičiaus didinimo iki neigiamo laipsnio taisyklę. Gauname: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Atkreipkite dėmesį, kad vardiklio skaičius 8 yra trupmenos laipsnis. Bendra trupmeninės galios skaičiavimo forma yra tokia: a m/n = n √8 m.
- Taigi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Gauname aštuonių kubinę šaknį, kuri yra lygi 2. Iš čia 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Atsakymas: 8 -1/3 = 2
Iš mokyklos visi žinome eksponentiškumo taisyklę: bet kuris skaičius, kurio rodiklis N, yra lygus rezultatui, padauginus šį skaičių iš N kartų. Kitaip tariant, 7 iki 3 laipsnio yra 7, padaugintas iš savęs tris kartus, tai yra, 343. Kita taisyklė yra ta, kad padidinus bet kokį kiekį iki laipsnio 0 gaunamas vienetas, o padidinus neigiamą dydį yra įprasto didinimo į laipsnį rezultatas. galia, jei ji yra lyginė, ir tas pats rezultatas su minuso ženklu, jei jis yra nelyginis.
Taisyklėse taip pat pateikiamas atsakymas, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Norėdami tai padaryti, turite sukurti įprastu būdu reikiamą reikšmę vienam indikatoriaus moduliui, tada padalinkite vienetą iš rezultato.
Iš šių taisyklių tampa aišku, kad norint atlikti tikras užduotis, susijusias su dideliais kiekiais, reikės techninėmis priemonėmis. Rankiniu būdu galite padauginti iš savęs didžiausią skaičių diapazoną iki dvidešimties iki trisdešimties, o tada ne daugiau kaip tris ar keturis kartus. Jau nekalbant apie tai, kad dalijame vieną iš rezultato. Todėl tiems, kurie neturi po ranka specialaus inžinerinio skaičiuotuvo, mes jums pasakysime, kaip „Excel“ pakelti skaičių iki neigiamo laipsnio.
Problemų sprendimas Excel
Norėdami išspręsti problemas, susijusias su eksponencija, programa „Excel“ leidžia naudoti vieną iš dviejų parinkčių.
Pirmasis yra formulės su standartiniu „dangtelio“ ženklu naudojimas. Į darbalapio langelius įveskite šiuos duomenis:
Lygiai taip pat galite pakelti norimą reikšmę iki bet kokios galios – neigiamos, trupmeninės. Padarykime tai tolesni žingsniai ir atsakyti į klausimą, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Pavyzdys:
Galite pataisyti =B2^-C2 tiesiai formulėje.
Antrasis variantas yra naudoti paruoštą funkciją „Laipsnis“, kuriai reikalingi du būtini argumentai - skaičius ir eksponentas. Norėdami pradėti jį naudoti, tiesiog įdėkite lygybės ženklą (=) į bet kurį laisvą langelį, nurodantį formulės pradžią, ir įveskite aukščiau pateiktus žodžius. Belieka pasirinkti du langelius, kurie dalyvaus operacijoje (arba rankiniu būdu nurodyti konkrečius skaičius) ir paspausti klavišą Enter. Pažvelkime į kelis paprastus pavyzdžius.
Formulė | Rezultatas |
||||
LAIPSNIS (B2; C2) | |||||
LAIPSNIS (B3; C3) |
|
Kaip matote, nėra nieko sudėtingo, kaip naudojant „Excel“ skaičių pakelti į neigiamą laipsnį ir į įprastą laipsnį. Galų gale, norėdami išspręsti šią problemą, galite naudoti pažįstamą „dangčio“ simbolį ir programoje integruotą funkciją, kurią lengva prisiminti. Tai neabejotinas pliusas!
Pereikime prie daugiau sudėtingų pavyzdžių. Prisiminkime taisyklę, kaip skaičių pakelti iki neigiamos trupmeninės laipsnio, ir pamatysime, kad programa Excel programa labai lengvai išsprendžiama.
Trupmeniniai rodikliai
Trumpai tariant, skaičiaus su trupmeniniu rodikliu apskaičiavimo algoritmas yra toks.
- Paverskite trupmeną į tinkamą arba netinkamą trupmeną.
- Padidinkite mūsų skaičių iki gautos konvertuotos trupmenos skaitiklio.
- Iš ankstesnėje pastraipoje gauto skaičiaus apskaičiuokite šaknį su sąlyga, kad šaknies rodiklis bus pirmajame etape gautos trupmenos vardiklis.
Sutikite, kad net ir dirbant su mažais skaičiais ir tinkamomis trupmenomis tokie skaičiavimai gali užtrukti daug laiko. Gerai, kad Excel skaičiuoklių procesoriui nesvarbu, koks skaičius pakeltas iki kokios galios. Pabandykite išspręsti šį pavyzdį „Excel“ darbalapyje:
Naudodami aukščiau pateiktas taisykles galite patikrinti ir įsitikinti, kad skaičiavimas atliktas teisingai.
Straipsnio pabaigoje lentelės su formulėmis ir rezultatais pavidalu pateiksime keletą pavyzdžių, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį, taip pat keletą operacijų su trupmeniniais skaičiais ir laipsniais pavyzdžių.
Lentelės pavyzdys
Peržiūrėkite šiuos pavyzdžius „Excel“ darbalapyje. Kad viskas veiktų tinkamai, kopijuodami formulę turite naudoti mišrią nuorodą. Pataisykite stulpelio, kuriame yra keliamas skaičius, numerį ir eilutės, kurioje yra indikatorius, numerį. Jūsų formulė turėtų atrodyti maždaug taip: „=$B4^C$3“.
Skaičius/laipsnis | |||||
Atkreipkite dėmesį, kad teigiami skaičiai (net ir ne sveikieji skaičiai) gali būti apskaičiuojami be problemų bet kuriam eksponentui. Padidinus bet kokius skaičius iki sveikųjų skaičių problemų nėra. Tačiau neigiamo skaičiaus padidinimas iki trupmeninės laipsnio jums bus klaida, nes neįmanoma laikytis mūsų straipsnio pradžioje nurodytos taisyklės dėl neigiamų skaičių didinimo, nes paritetas būdingas tik VISAM skaičiui.
Skaičius, pakeltas į laipsnį Jie skambina numeriu, kuris kelis kartus padauginamas iš savęs.
Neigiamą reikšmę turinčio skaičiaus laipsnis (a–n) gali būti nustatytas panašiai kaip to paties skaičiaus su teigiamu eksponentu laipsnis (a n) . Tačiau tai taip pat reikalauja papildomo apibrėžimo. Formulė apibrėžiama taip:
a-n = (1/a n)
Neigiamų skaičių laipsnių reikšmių savybės yra panašios į laipsnius su teigiamu eksponentu. Pateikta lygtis a m/a n= a m-n gali būti sąžiningas kaip
« Niekur, kaip matematikoje, išvados aiškumas ir tikslumas neleidžia žmogui išsisukti iš atsakymo kalbant apie klausimą.».
A. D. Aleksandrovas
adresu n daugiau m , ir su m daugiau n . Pažiūrėkime į pavyzdį: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Pirmiausia turite nustatyti skaičių, kuris veikia kaip laipsnio apibrėžimas. b=a(-n) . Šiame pavyzdyje -n yra eksponentas b - norimą skaitinę reikšmę, a - laipsnio pagrindas natūralios skaitinės reikšmės forma. Tada nustatykite modulį, tai yra, absoliučią neigiamo skaičiaus vertę, kuri veikia kaip eksponentas. Apskaičiuokite tam tikro skaičiaus laipsnį, palyginti su absoliučiu skaičiumi kaip rodikliu. Laipsnio reikšmė randama padalijus vieną iš gauto skaičiaus.
Ryžiai. 1
Apsvarstykite skaičiaus su neigiamu trupmeniniu rodikliu galią. Įsivaizduokime, kad skaičius a yra bet koks teigiamas skaičius, skaičiai n Ir m - natūraliuosius skaičius. Pagal apibrėžimą a , kuris pakeltas į galią - lygus vienetui, padalytam iš to paties skaičiaus, turinčio teigiamą laipsnį (1 pav.). Kai skaičiaus laipsnis yra trupmena, tai tokiais atvejais naudojami tik skaičiai su teigiamais rodikliais.
Verta prisiminti kad nulis niekada negali būti skaičiaus rodiklis (dalybos iš nulio taisyklė).
Tokios sąvokos kaip skaičius paplitimas tapo tokiomis manipuliacijomis kaip matavimo skaičiavimai, taip pat matematikos kaip mokslo raida. Neigiamos reikšmės buvo įvestos dėl algebros vystymosi, kuri davė bendrieji sprendimai aritmetinius uždavinius, neatsižvelgiant į jų konkrečią reikšmę ir pradinius skaitinius duomenis. Indijoje dar VI-XI amžiuje neigiami skaičiai buvo sistemingai naudojami sprendžiant problemas ir buvo interpretuojami taip pat, kaip ir šiandien. Europos moksle neigiami skaičiai pradėti plačiai naudoti R. Dekarto dėka, kuris geometriškai interpretavo neigiamus skaičius kaip atkarpų kryptis. Tai buvo Dekartas, kuris pasiūlė skaičių, pakeltą iki laipsnio, žymėti kaip dviejų aukštų formulę. a n .
Skaičius, pakeltas į laipsnį Jie skambina numeriu, kuris kelis kartus padauginamas iš savęs.
Neigiamą reikšmę turinčio skaičiaus laipsnis (a–n) gali būti nustatytas panašiai kaip to paties skaičiaus su teigiamu eksponentu laipsnis (a n) . Tačiau tai taip pat reikalauja papildomo apibrėžimo. Formulė apibrėžiama taip:
a-n = (1/a n)
Neigiamų skaičių laipsnių reikšmių savybės yra panašios į laipsnius su teigiamu eksponentu. Pateikta lygtis a m/a n= a m-n gali būti sąžiningas kaip
« Niekur, kaip matematikoje, išvados aiškumas ir tikslumas neleidžia žmogui išsisukti iš atsakymo kalbant apie klausimą.».
A. D. Aleksandrovas
adresu n daugiau m , ir su m daugiau n . Pažiūrėkime į pavyzdį: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Pirmiausia turite nustatyti skaičių, kuris veikia kaip laipsnio apibrėžimas. b=a(-n) . Šiame pavyzdyje -n yra eksponentas b - norimą skaitinę reikšmę, a - laipsnio pagrindas natūralios skaitinės reikšmės forma. Tada nustatykite modulį, tai yra, absoliučią neigiamo skaičiaus vertę, kuri veikia kaip eksponentas. Apskaičiuokite tam tikro skaičiaus laipsnį, palyginti su absoliučiu skaičiumi kaip rodikliu. Laipsnio reikšmė randama padalijus vieną iš gauto skaičiaus.
Ryžiai. 1
Apsvarstykite skaičiaus su neigiamu trupmeniniu rodikliu galią. Įsivaizduokime, kad skaičius a yra bet koks teigiamas skaičius, skaičiai n Ir m - natūralūs skaičiai. Pagal apibrėžimą a , kuris pakeltas į galią - lygus vienetui, padalytam iš to paties skaičiaus, turinčio teigiamą laipsnį (1 pav.). Kai skaičiaus laipsnis yra trupmena, tai tokiais atvejais naudojami tik skaičiai su teigiamais rodikliais.
Verta prisiminti kad nulis niekada negali būti skaičiaus rodiklis (dalybos iš nulio taisyklė).
Tokios sąvokos kaip skaičius paplitimas tapo tokiomis manipuliacijomis kaip matavimo skaičiavimai, taip pat matematikos kaip mokslo raida. Neigiamų reikšmių įvedimas atsirado dėl algebros, kuri suteikė bendrus aritmetinių problemų sprendimus, neatsižvelgiant į jų konkrečią reikšmę ir pradinius skaitinius duomenis, plėtrą. Indijoje dar VI-XI amžiuje neigiami skaičiai buvo sistemingai naudojami sprendžiant problemas ir buvo interpretuojami taip pat, kaip ir šiandien. Europos moksle neigiami skaičiai pradėti plačiai naudoti R. Dekarto dėka, kuris geometriškai interpretavo neigiamus skaičius kaip atkarpų kryptis. Tai buvo Dekartas, kuris pasiūlė skaičių, pakeltą iki laipsnio, žymėti kaip dviejų aukštų formulę. a n .
Kaip žinote, matematikoje yra ne tik teigiami, bet ir neigiami skaičiai. Jei pažintis su teigiamomis galiomis prasideda nuo kvadrato ploto nustatymo, tai su neigiamomis galiomis viskas yra kiek sudėtingiau.
Tai turėtumėte žinoti:
- Skaičiaus pakėlimas į natūraliąją laipsnį – tai skaičiaus (straipsnyje nagrinėsime skaičiaus ir skaitmens ekvivalento sąvokas) dauginimas iš savęs tokiu dydžiu kaip eksponentas (ateityje lygiagrečiai ir tiesiog naudosime žodį eksponentas). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. IN bendras vaizdas atrodo taip: m^n = m*m*m*…*m (n kartų).
- Reikia atsižvelgti į tai, kad neigiamą skaičių pakėlus iki natūraliosios laipsnio, jis taps teigiamas, jei rodiklis lyginis.
- Padidinus skaičių iki eksponento 0, gaunamas vienetas, jei jis nėra lygus nuliui. Nuo nulio iki nulio galia laikoma neapibrėžta. 17^0 = 1.
- Tam tikros laipsnio šaknies ištraukimas iš skaičiaus yra skaičiaus, kurį pakėlus iki atitinkamo laipsnio, suradimas duos norimą reikšmę. Taigi, 125 kubo šaknis yra 5, nes 5^3 = 125.
- Jei norite padidinti skaičių iki teigiamos trupmeninės laipsnio, tuomet turite pakelti skaičių iki vardiklio laipsnio ir iš jo ištraukti skaitiklio rodiklio šaknį. 6^5/7 = septintoji sandaugos šaknis 6*6*6*6*6.
- Jei reikia padidinti skaičių iki neigiamas rodiklis, tada reikia rasti atvirkštinę pateikto skaičiaus vertę. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.
Skaičiaus modulio nulio didinimas iki vieneto iki neigiamo laipsnio
Pirmiausia turėtume prisiminti kas yra modulis. Tai yra atstumas koordinačių tiesėje nuo mūsų pasirinktos reikšmės iki pradžios (koordinačių linijos nulio). Pagal apibrėžimą jis niekada negali būti neigiamas.
Vertė didesnė už nulį
Kai skaitmens reikšmė yra tarp nulio ir vieneto, neigiamas indikatorius rodo paties skaitmens padidėjimą. Taip atsitinka todėl, kad vardiklis mažėja, o išlieka teigiamas.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
- 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
- 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.
Be to, kuo didesnis indikatoriaus modulis, tuo aktyviau figūra auga. Kadangi vardiklis linkęs į nulį, pati trupmena linkusi į plius begalybę.
Vertė mažesnė už nulį
Dabar pažiūrėkime, kaip padidinti iki neigiamo laipsnio, jei skaičius yra mažesnis už nulį. Principas yra toks pat kaip ir ankstesnėje dalyje, tačiau čia svarbus indikatoriaus ženklas.
Dar kartą pažvelkime į pavyzdžius:
- -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
- -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.
Šiuo atveju tai matome modulis toliau auga, tačiau ženklas priklauso nuo to, ar indikatorius yra lyginis, ar nelyginis.
Reikėtų pažymėti, kad jei pastatysime bloką, jis visada išliks savaime. Jei jums reikia pakelti skaičių atėmus vieną, tada su lyginiu rodikliu jis pavirs vienu, o su nelyginiu - liks minus vienas.
Padidinimas iki neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio, jei modulis yra didesnis nei vienas
Skaičiams, kurių modulis yra didesnis nei vienas, turi savo veiksmų ypatumus. Visų pirma, reikia paversti visą trupmenos dalį į skaitiklį, tai yra, paversti ją netinkama trupmena. Jei turime dešimtainis, tada jį reikia konvertuoti į įprastą. Tai atliekama taip:
- 6 sveikieji skaičiai 7/17 = 109/17;
- 2,54 = 254/100.
Dabar pažiūrėkime, kaip tokiomis sąlygomis skaičių pakelti iki neigiamos galios. Jau iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime atspėti, ko turėtume tikėtis iš skaičiavimų rezultato. Kadangi supaprastinimų metu dviguba trupmena apverčiama, tuo greičiau mažės figūros modulis, kuo didesnis bus eksponento modulis.
Pirmiausia panagrinėkime situaciją, kada užduotyje pateiktas skaičius yra teigiamas.
Visų pirma tampa aišku, kad galutinis rezultatas bus didesnis už nulį, nes padalijus du teigiamus visada gaunamas teigiamas. Dar kartą pažvelkime į pavyzdžius, kaip tai daroma:
- 6 sveikieji skaičiai nuo 1/20 iki minus penktojo laipsnio = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
- 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.
Kaip matote, veiksmai nesukelia jokių ypatingų sunkumų, ir visos mūsų pradinės prielaidos pasirodė teisingos.
Dabar pereikime prie neigiamo skaitmens atvejo.
Pirmiausia galime daryti prielaidą, kad jei rodiklis yra lyginis, tada rezultatas bus teigiamas, jei rodiklis nelyginis, tada rezultatas bus neigiamas. Visi mūsų ankstesni skaičiavimai šioje dalyje bus laikomi galiojančiais. Dar kartą pažvelkime į pavyzdžius:
- -3 visa 1/2 iki minus šeštojo laipsnio = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
- -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.
Taigi visi mūsų samprotavimai pasirodė teisingi.
Konstrukcija neigiamo trupmeninio rodiklio atveju
Čia reikia atsiminti, kad tokia konstrukcija egzistuoja vardiklio galios šaknį išskirdami iš skaičiaus į skaitiklio laipsnį. Visi mūsų ankstesni samprotavimai šį kartą išlieka teisingi. Paaiškinkime savo veiksmus pavyzdžiu:
- 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.
Šiuo atveju reikia nepamiršti, kad išgaunant šaknis aukšto lygio galima tik specialiai parinkta forma ir, greičiausiai, tiksliais skaičiavimais nepavyks atsikratyti radikalo ženklo (kvadratinės šaknies, kubinės šaknies ir kt.).
Nepaisant to, išsamiai išstudijavę ankstesnius skyrius, neturėtumėte tikėtis sunkumų atliekant mokyklinius skaičiavimus.
Pažymėtina, kad šio skyriaus aprašyme taip pat yra statyba su sąmoningai neracionaliu rodikliu, pavyzdžiui, jei indikatorius yra lygus minus PI. Turite veikti pagal aukščiau aprašytus principus. Tačiau skaičiavimai tokiais atvejais tampa tokie sudėtingi, kad tai gali atlikti tik galingi elektroniniai kompiuteriai.
Išvada
Veiksmas, kurį studijavome yra viena iš sudėtingiausių matematikos problemų(ypač trupmeninės-racionalios ar iracionalios reikšmės atveju). Tačiau išsamiai ir žingsnis po žingsnio išstudijavę šias instrukcijas, galite išmokti tai padaryti visiškai automatiškai be jokių problemų.
Įkeliama...
