Kaip išspręsti trupmenas su skirtingomis. Sudėjus trupmenas su sveikais skaičiais ir skirtingais vardikliais

Trupmenų skaičiuotuvas sukurtas greitai skaičiuoti operacijas su trupmenomis, tai padės lengvai sudėti, dauginti, padalyti ar atimti trupmenas.

Šiuolaikiniai moksleiviai trupmenas pradeda mokytis jau 5 klasėje, o pratimai su jais kasmet tampa vis sudėtingesni. Matematiniai terminai ir kiekiai, kurių mokomės mokykloje, retai gali būti naudingi suaugusiųjų gyvenime. Tačiau trupmenos, skirtingai nei logaritmai ir laipsniai, kasdieniame gyvenime (matuojant atstumus, sveriant prekes ir pan.) randamos gana dažnai. Mūsų skaičiuotuvas skirtas greitoms operacijoms su trupmenomis.

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas yra trupmenos ir kas jos yra. Trupmenos yra vieno skaičiaus santykis su kitu, tai yra skaičius, susidedantis iš sveikojo vieneto trupmenų skaičiaus.

Frakcijų tipai:

• Įprasta
• Dešimtainė
• Mišrus

Pavyzdys paprastosios trupmenos:

Viršutinė reikšmė yra skaitiklis, apatinė – vardiklis. Brūkšnys rodo, kad viršutinis skaičius dalijasi iš apatinio skaičiaus. Vietoj šio rašymo formato, kai brūkšnys yra horizontalus, galite rašyti kitaip. Galite įdėti pasvirusią liniją, pavyzdžiui:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dešimtainės yra populiariausias trupmenų tipas. Jie susideda iš sveikosios ir trupmeninės dalies, atskirtos kableliu.

Dešimtainių trupmenų pavyzdys:

0,2 arba 6,71 arba 0,125

Susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies. Norėdami sužinoti šios trupmenos vertę, turite pridėti sveiką skaičių ir trupmeną.

Pavyzdys mišrios frakcijos:

Mūsų svetainėje esantis trupmenų skaičiuotuvas gali greitai atlikti bet kokius matematinius veiksmus su trupmenomis internete:

• Papildymas
• Atimtis
• Daugyba
• Padalinys

Norėdami atlikti skaičiavimą, į laukelius turite įvesti skaičius ir pasirinkti veiksmą. Trupmenoms reikia įrašyti skaitiklį ir vardiklį, kad nebūtų rašomas visas skaičius (jei trupmena yra paprastoji). Nepamirškite paspausti mygtuko „lygus“.

Patogu, kad skaičiuoklė iš karto pateikia pavyzdžio su trupmenomis sprendimo procesą, o ne tik paruoštą atsakymą. Dėl išsamaus sprendimo galite naudoti šią medžiagą spręsdami mokyklos problemas ir geriau įsisavindami aptariamą medžiagą.

Turite atlikti skaičiavimo pavyzdį:

Įvedę rodiklius į formos laukus, gauname:

Norėdami patys apskaičiuoti, įveskite duomenis į formą.

Trupmenų skaičiuotuvas

Įveskite dvi trupmenas:

		+ - * :

Susijusios skiltys.

Vienas iš svarbiausių mokslų, kurio taikymas matomas tokiose disciplinose kaip chemija, fizika ir net biologija, yra matematika. Šio mokslo studijos leidžia išsiugdyti kai kurias psichines savybes ir pagerinti gebėjimą susikaupti. Viena iš matematikos kurso temų, kuriai nusipelno ypatingo dėmesio, yra trupmenų pridėjimas ir atėmimas. Daugeliui studentų sunku mokytis. Galbūt mūsų straipsnis padės geriau suprasti šią temą.

Kaip atimti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi

Trupmenos yra tie patys skaičiai, su kuriais galite atlikti įvairias operacijas. Jų skirtumas nuo sveikųjų skaičių yra vardiklio buvimas. Štai kodėl, atliekant operacijas su trupmenomis, reikia išstudijuoti kai kurias jų savybes ir taisykles. Paprasčiausias atvejis yra paprastųjų trupmenų, kurių vardikliai vaizduojami kaip tas pats skaičius, atėmimas. Atlikti šį veiksmą nebus sunku, jei žinosite paprastą taisyklę:

• Norint iš vienos trupmenos atimti sekundę, reikia iš redukuojamos trupmenos skaitiklio atimti atimtos trupmenos skaitiklį. Šį skaičių įrašome į skirtumo skaitiklį, o vardiklį paliekame tą patį: k/m - b/m = (k-b)/m.

Trupmenų, kurių vardikliai yra vienodi, atėmimo pavyzdžiai

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Iš trupmenos „7“ skaitiklio atimame atimamos trupmenos „3“ skaitiklį, gauname „4“. Šį skaičių įrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje įdedame tą patį skaičių, kuris buvo pirmosios ir antrosios trupmenų vardikliuose - „19“.

Žemiau esančioje nuotraukoje pateikti dar keli panašūs pavyzdžiai.

Panagrinėkime sudėtingesnį pavyzdį, kai atimamos trupmenos su panašiais vardikliais:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Iš trupmenos skaitiklio „29“ sumažinamas paeiliui atimant visų vėlesnių trupmenų skaitiklius - „3“, „8“, „2“, „7“. Dėl to gauname rezultatą „9“, kurį užrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje užrašome skaičių, kuris yra visų šių trupmenų vardikliuose - „47“.

Sudėjus trupmenas, turinčias tą patį vardiklį

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas atliekamas tuo pačiu principu.

• Norėdami pridėti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi, turite pridėti skaitiklius. Gautas skaičius yra sumos skaitiklis, o vardiklis išliks toks pat: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pažiūrėkime, kaip tai atrodo, naudodami pavyzdį:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Prie pirmojo trupmenos nario skaitiklio - „1“ - pridėkite antrojo trupmenos nario skaitiklį - „2“. Rezultatas - "3" - įrašomas į sumos skaitiklį, o vardiklis paliekamas toks pat kaip ir trupmenose - "4".

Skirtingus vardiklius turinčios trupmenos ir jų atėmimas

Mes jau svarstėme operaciją su trupmenomis, kurios turi tą patį vardiklį. Kaip matome, žinodami paprastos taisyklės, tokius pavyzdžius išspręsti gana paprasta. Bet ką daryti, jei reikia atlikti operaciją su trupmenomis, kurios turi skirtingus vardiklius? Daugelis vidurinių mokyklų moksleivių glumina tokie pavyzdžiai. Bet ir čia, žinant sprendimo principą, pavyzdžiai tau nebebus sunkūs. Čia taip pat yra taisyklė, be kurios išspręsti tokias trupmenas tiesiog neįmanoma.

Norėdami atimti trupmenas iš skirtingus vardiklius, būtina juos sumažinti iki to paties mažiausio vardiklio.



Mes kalbėsime išsamiau apie tai, kaip tai padaryti.

Trupmenos savybė

Norint suvesti kelias trupmenas į tą patį vardiklį, sprendime reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę: skaitiklį ir vardiklį padalijus arba padauginus iš to paties skaičiaus, gaunama trupmena, lygi duotajai.

Taigi, pavyzdžiui, trupmena 2/3 gali turėti vardiklius, tokius kaip „6“, „9“, „12“ ir tt, tai yra, ji gali turėti bet kokio skaičiaus, kuris yra „3“ kartotinis, formą. Padauginus skaitiklį ir vardiklį iš „2“, gauname trupmeną 4/6. Pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus iš „3“, gauname 6/9, o atlikę panašią operaciją su skaičiumi „4“, gauname 8/12. Vieną lygybę galima parašyti taip:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kaip paversti kelias trupmenas į tą patį vardiklį

Pažiūrėkime, kaip sumažinti kelias trupmenas iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui, paimkime toliau esančiame paveikslėlyje parodytas trupmenas. Pirmiausia turite nustatyti, kuris skaičius gali tapti jų visų vardikliu. Kad viskas būtų lengviau, suskirstykime esamus vardiklius.

Trupmenos 1/2 ir trupmenos 2/3 vardiklis negali būti koeficientas. Vardiklis 7/9 turi du koeficientus 7/9 = 7/(3 x 3), trupmenos vardiklis 5/6 = 5/(2 x 3). Dabar turime nustatyti, kurie veiksniai bus mažiausi visoms šioms keturioms trupmenoms. Kadangi pirmosios trupmenos vardiklyje yra skaičius „2“, tai reiškia, kad ji turi būti visuose vardikliuose 7/9 yra du trejetai, o tai reiškia, kad jie abu turi būti ir vardiklyje. Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, nustatome, kad vardiklis susideda iš trijų veiksnių: 3, 2, 3 ir yra lygus 3 x 2 x 3 = 18.



Panagrinėkime pirmąją trupmeną – 1/2. Jo vardiklyje yra „2“, tačiau nėra nė vieno „3“ skaitmens, bet turėtų būti du. Norėdami tai padaryti, vardiklį padauginame iš dviejų trigubų, tačiau, atsižvelgiant į trupmenos savybę, skaitiklį turime padauginti iš dviejų trigubų:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Su likusiomis trupmenomis atliekame tas pačias operacijas.

• 2/3 – vardiklyje trūksta vieno trijų ir vieno dviejų:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 arba 7/(3 x 3) – vardiklyje trūksta dviejų:
  7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18.
• 5/6 arba 5/(2 x 3) – vardiklyje trūksta trijų:
  5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Viskas kartu atrodo taip:



Kaip atimti ir pridėti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius

Kaip minėta aukščiau, norint pridėti ar atimti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio, o tada naudoti jau aptartas trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, atėmimo taisykles.

Pažvelkime į tai kaip pavyzdį: 4/18 – 3/15.

Skaičių 18 ir 15 kartotinių radimas:

• Skaičius 18 sudarytas iš 3 x 2 x 3.
• Skaičius 15 sudarytas iš 5 x 3.
• Bendrasis kartotinis bus šie veiksniai: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Suradus vardiklį reikia apskaičiuoti koeficientą, kuris kiekvienai trupmenai skirsis, tai yra skaičių, iš kurio reikės padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį. Norėdami tai padaryti, rastą skaičių (bendrąjį kartotinį) padalinkite iš trupmenos, kuriai reikia nustatyti papildomus veiksnius, vardiklio.

• 90 padalytas iš 15. Gautas skaičius „6“ bus daugiklis 3/15.
• 90 padalytas iš 18. Gautas skaičius „5“ bus daugiklis 4/18.

Kitas mūsų sprendimo etapas yra sumažinti kiekvieną trupmeną iki vardiklio „90“.

Mes jau kalbėjome apie tai, kaip tai daroma. Pažiūrėkime, kaip tai parašyta pavyzdyje:

(4 x 5)/(18 x 5) – (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 – 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jei trupmenos turi mažus skaičius, galite nustatyti bendrą vardiklį, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.



Tas pats pasakytina ir apie tuos, kurie turi skirtingus vardiklius.

Atimtis ir sveikųjų dalių turėjimas

Mes jau išsamiai aptarėme trupmenų atėmimą ir jų pridėjimą. Bet kaip atimti, jei trupmena turi sveikąją dalį? Vėlgi, pasinaudokime keliomis taisyklėmis:

• Konvertuoti visas trupmenas, turinčias sveikąją dalį, į netinkamas. Kalbėdamas paprastais žodžiais, nuimkite visą dalį. Norėdami tai padaryti, sveikosios dalies skaičių padauginkite iš trupmenos vardiklio ir gautą sandaugą pridėkite prie skaitiklio. Skaičius, kuris pasirodo po šių veiksmų, yra netinkamos trupmenos skaitiklis. Vardiklis lieka nepakitęs.
• Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio.
• Sudėti arba atimti su tais pačiais vardikliais.
• Gavę netinkamą trupmeną, pasirinkite visą dalį.



Yra ir kitas būdas, kuriuo galite sudėti ir atimti trupmenas su sveikomis dalimis. Tam veiksmai atliekami atskirai su ištisomis dalimis, o veiksmai su trupmenomis atskirai, o rezultatai registruojami kartu.



Pateiktą pavyzdį sudaro trupmenos, turinčios tą patį vardiklį. Tuo atveju, kai vardikliai skiriasi, jie turi būti suvienodinti, o tada atlikti veiksmus, kaip parodyta pavyzdyje.

Trupmenų atėmimas iš sveikųjų skaičių

Kitas operacijos su trupmenomis tipas yra atvejis, kai reikia atimti trupmeną Iš pirmo žvilgsnio toks pavyzdys atrodo sunkiai išsprendžiamas. Tačiau čia viskas gana paprasta. Norėdami tai išspręsti, turite paversti visą skaičių į trupmeną ir su tuo pačiu vardikliu, kuris yra atimtoje trupmenoje. Toliau atliekame atimtį, panašų į atimtį su vienodais vardikliais. Pavyzdyje tai atrodo taip:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Šiame straipsnyje pateikta trupmenų atėmimas (6 klasė) yra pagrindas spręsti daugiau sudėtingų pavyzdžių, kurie bus aptariami tolesniuose užsiėmimuose. Šios temos žinios vėliau naudojamos sprendžiant funkcijas, išvestines ir pan. Todėl labai svarbu suprasti ir suprasti aukščiau aptartas operacijas su trupmenomis.

Trupmenos yra įprasti skaičiai, kurias taip pat galima sudėti ir atimti. Tačiau kadangi jie turi vardiklį, jiems reikalingos sudėtingesnės taisyklės nei sveikiesiems skaičiams.

Panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi trupmenos su vienodais vardikliais. Tada:

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą.

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios dalies skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vėl palikti vardiklį nepakeistą.

Kiekvienoje išraiškoje trupmenų vardikliai yra lygūs. Pagal trupmenų pridėjimo ir atėmimo apibrėžimą gauname:

Kaip matote, tai nėra nieko sudėtingo: mes tiesiog sudedame arba atimame skaitiklius ir viskas.

Tačiau net ir atlikdami tokius paprastus veiksmus žmonės sugeba suklysti. Dažniausiai pamirštama, kad vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, juos pridedant, jie taip pat pradeda didėti, ir tai iš esmės neteisinga.

Atsikratykite blogas įprotis Sudėti vardiklius yra gana paprasta. Išbandykite tą patį atimdami. Dėl to vardiklis bus lygus nuliui, o trupmena (staiga!) neteks prasmės.

Todėl atsiminkite kartą ir visiems laikams: sudėjus ir atimant vardiklis nesikeičia!

Daugelis žmonių taip pat daro klaidų pridėdami kelias neigiamas trupmenas. Kyla painiavos su ženklais: kur dėti minusą, o kur pliusą.

Šią problemą taip pat labai lengva išspręsti. Pakanka prisiminti, kad minusas prieš trupmenos ženklą visada gali būti perkeltas į skaitiklį – ir atvirkščiai. Ir, žinoma, nepamirškite dviejų paprastų taisyklių:

1. Plius prie minuso duoda minusą;
2. Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Suskaidykime viską konkrečių pavyzdžių:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju viskas paprasta, bet antruoju trupmenų skaitiklius pridėkime minusų:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi

Negalite tiesiogiai pridėti trupmenų su skirtingais vardikliais. Bent jau man šis metodas nežinomas. Tačiau pradines trupmenas visada galima perrašyti taip, kad vardikliai taptų vienodi.

Yra daug būdų konvertuoti trupmenas. Trys iš jų aptariami pamokoje „Trupmenų redukavimas į bendrą vardiklį“, todėl čia prie jų neapsiribosime. Pažvelkime į keletą pavyzdžių:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pirmuoju atveju trupmenas sumažiname iki bendras vardiklis naudojant „kryžminio“ metodą. Antrajame ieškosime NOC. Atkreipkite dėmesį, kad 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Paskutiniai šių plėtimų veiksniai yra lygūs, o pirmieji yra santykinai pirminiai. Todėl LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Ką daryti, jei trupmena turi sveikąjį skaičių

Galiu jus pamaloninti: skirtingi vardikliai trupmenose nėra didžiausia blogybė. Daug daugiau klaidų pasitaiko, kai pridedamose trupmenose paryškinama visa dalis.

Žinoma, tokioms trupmenoms yra savi sudėjimo ir atimties algoritmai, tačiau jie yra gana sudėtingi ir reikalauja ilgo tyrimo. Geriau naudoti paprasta diagrama, pateikta žemiau:

1. Konvertuokite visas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, į netinkamas. Gauname normalius terminus (net su skirtingais vardikliais), kurie apskaičiuojami pagal aukščiau aptartas taisykles;
2. Tiesą sakant, apskaičiuokite gautų trupmenų sumą arba skirtumą. Dėl to mes praktiškai rasime atsakymą;
3. Jei užduotyje reikėjo tik to, atliekame atvirkštinę transformaciją, t.y. Atsikratome netinkamos trupmenos paryškindami visą dalį.

Perėjimo prie netinkamų trupmenų ir visos dalies paryškinimo taisyklės išsamiai aprašytos pamokoje „Kas yra skaitinė trupmena“. Jei neprisimenate, būtinai pakartokite. Pavyzdžiai:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Čia viskas paprasta. Vardikliai kiekvienos išraiškos viduje yra lygūs, todėl belieka visas trupmenas paversti netinkamomis ir suskaičiuoti. Turime:

Norėdami supaprastinti skaičiavimus, paskutiniuose pavyzdžiuose praleidau keletą akivaizdžių žingsnių.

Maža pastaba apie du paskutinius pavyzdžius, kur atimamos trupmenos su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi. Minusas prieš antrąją trupmeną reiškia, kad atimama visa trupmena, o ne tik jos dalis.

Dar kartą perskaitykite šį sakinį, pažiūrėkite į pavyzdžius – ir pagalvokite. Štai čia pripažįsta pradedantieji didžiulė suma klaidų. Jie mėgsta tokias problemas pateikti testuose. Taip pat keletą kartų su jais susidursite atliekant šios pamokos testus, kurie netrukus bus paskelbti.

Santrauka: bendra skaičiavimo schema

Baigdamas pateiksiu bendrą algoritmą, kuris padės rasti dviejų ar daugiau trupmenų sumą arba skirtumą:

1. Jei viena ar kelios trupmenos turi sveikąją dalį, konvertuokite šias trupmenas į netinkamas;
2. Suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį bet kokiu jums patogiu būdu (nebent, žinoma, tai padarė problemų autoriai);
3. Sudėkite arba atimkite gautus skaičius pagal trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimo ir atėmimo taisykles;
4. Jei įmanoma, sutrumpinkite rezultatą. Jei trupmena neteisinga, pasirinkite visą dalį.

Atminkite, kad geriau paryškinti visą dalį pačioje problemos pabaigoje, prieš pat užrašant atsakymą.

Straipsnyje parodysime kaip išspręsti trupmenas naudojant paprastus, suprantamus pavyzdžius. Išsiaiškinkime, kas yra trupmena, ir apsvarstykime sprendžiant trupmenas!

Koncepcija trupmenomisįvedamas į matematikos kursus nuo vidurinės mokyklos 6 klasės.

Trupmenos turi tokią formą: ±X/Y, kur Y yra vardiklis, nurodo į kiek dalių buvo padalinta visuma, o X yra skaitiklis, nurodo, kiek tokių dalių paimta. Aiškumo dėlei paimkime pavyzdį su pyragu:

Pirmuoju atveju tortas buvo supjaustytas vienodai ir paimama viena pusė, t.y. 1/2. Antruoju atveju tortas buvo supjaustytas į 7 dalis, iš kurių paimtos 4 dalys, t.y. 4/7.

Jei vieno skaičiaus dalijimosi iš kito dalis nėra sveikas skaičius, ji rašoma trupmena.

Pavyzdžiui, reiškinys 4:2 = 2 duoda sveiką skaičių, bet 4:7 nesidalija iš visumos, todėl ši išraiška rašoma trupmena 4/7.

Kitaip tariant trupmena yra išraiška, žyminti dviejų skaičių arba išraiškų padalijimą ir kuri rašoma naudojant trupmeninį pasvirąjį brūkšnį.

Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, trupmena yra tinkama, jei atvirkščiai, tai yra netinkama trupmena. Trupmenoje gali būti sveikas skaičius.

Pavyzdžiui, 5 visos 3/4.

Šis įrašas reiškia, kad norint gauti visus 6, trūksta vienos dalies iš keturių.

Jei nori prisiminti, kaip spręsti trupmenas 6 klasei, jūs turite tai suprasti sprendžiant trupmenas, iš esmės, reikia suprasti keletą paprastų dalykų.

• Trupmena iš esmės yra trupmenos išraiška. Tai yra skaitinė išraiška kokia dalis duotosios reikšmės yra vienos visumos. Pavyzdžiui, trupmena 3/5 išreiškia, kad jei ką nors visumą padalintume į 5 dalis, o šios visumos dalių arba dalių skaičius yra trys.
• Trupmena gali būti mažesnė nei 1, pavyzdžiui, 1/2 (arba iš esmės pusė), tada ji yra teisinga. Jei trupmena didesnė už 1, pavyzdžiui, 3/2 (trys pusės arba pusantros), tai neteisinga ir, norint supaprastinti sprendimą, geriau pasirinkti visą dalį 3/2 = 1 visa 1 /2.
• Trupmenos yra tokie patys skaičiai kaip 1, 3, 10 ir net 100, tik skaičiai yra ne sveikieji skaičiai, o trupmenos. Su jais galite atlikti visas tas pačias operacijas kaip ir su skaičiais. Skaičiuoti trupmenas nėra sudėtingiau, ir mes tai parodysime toliau konkrečiais pavyzdžiais.

Kaip išspręsti trupmenas. Pavyzdžiai.

Trupmenoms taikomos įvairios aritmetinės operacijos.

Trupmenos sumažinimas iki bendro vardiklio

Pavyzdžiui, reikia palyginti trupmenas 3/4 ir 4/5.

Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia randame mažiausią bendrą vardiklį, t.y. mažiausias skaičius, kuris dalijasi be liekanos iš kiekvieno trupmenų vardiklio

Mažiausias bendras vardiklis(4.5) = 20

Tada abiejų trupmenų vardiklis sumažinamas iki mažiausio bendro vardiklio

Atsakymas: 15/20

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Jei reikia apskaičiuoti dviejų trupmenų sumą, jos pirmiausia sujungiamos į bendrą vardiklį, tada pridedami skaitikliai, o vardiklis lieka nepakitęs. Skirtumas tarp trupmenų skaičiuojamas taip pat, skiriasi tik tuo, kad skaitikliai atimami.

Pavyzdžiui, reikia rasti trupmenų 1/2 ir 1/3 sumą

Dabar suraskime skirtumą tarp trupmenų 1/2 ir 1/4

Trupmenų dauginimas ir dalijimas

Čia išspręsti trupmenas nėra sunku, čia viskas gana paprasta:

• Daugyba – trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami kartu;
• Padalijimas – pirmiausia gauname trupmeną atvirkštinę antrosios trupmenos dalį, t.y. Sukeičiame jo skaitiklį ir vardiklį, po to gautas trupmenas padauginame.

Pavyzdžiui:

Maždaug tiek kaip išspręsti trupmenas, Visi. Jei vis dar turite klausimų apie sprendžiant trupmenas, jei kas neaišku, rašykite komentaruose ir mes jums tikrai atsakysime.

Jei esate mokytojas, galite atsisiųsti pristatymą pradinė mokykla(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) jums pravers.

Veiksmai su trupmenomis. Šiame straipsnyje apžvelgsime pavyzdžius, viską išsamiai su paaiškinimais. Mes svarstysime bendrosios trupmenos. Dešimtaines pažiūrėsime vėliau. Rekomenduoju žiūrėti viską ir studijuoti paeiliui.

1. Trupmenų suma, trupmenų skirtumas.

Taisyklė: sudėjus trupmenas su vienodais vardikliais, gaunama trupmena, kurios vardiklis lieka toks pat, o jo skaitiklis bus lygi sumai trupmenų skaitikliai.

Taisyklė: skaičiuodami skirtumą tarp trupmenų su vienodais vardikliais, gauname trupmeną - vardiklis lieka toks pat, o antrosios skaitiklis atimamas iš pirmosios trupmenos skaitiklio.

Formalus trupmenų su vienodais vardikliais sumos ir skirtumo žymėjimas:

Pavyzdžiai (1):

Aišku, kad kai pateikiamos paprastosios trupmenos, tada viskas paprasta, o jei jos sumaišomos? Nieko sudėtingo...

1 variantas– galite konvertuoti juos į paprastus ir tada juos apskaičiuoti.

2 variantas– galite „dirbti“ atskirai su sveikosiomis ir trupmeninėmis dalimis.

Pavyzdžiai (2):

Daugiau:

Ką daryti, jei pateikiamas dviejų mišrių trupmenų skirtumas ir pirmosios trupmenos skaitiklis yra mažesnis už antrosios trupmenos skaitiklį? Taip pat galite veikti dviem būdais.

Pavyzdžiai (3):

*Pavertė į paprastąsias trupmenas, apskaičiavo skirtumą, gautą netinkamąją trupmeną pavertė mišriąja trupmena.

*Mes suskirstėme jį į sveikąsias ir trupmenines dalis, gavome trejetą, tada pateikėme 3 kaip 2 ir 1 sumą, o vieną pateikiame kaip 11/11, tada nustatėme skirtumą tarp 11/11 ir 7/11 ir apskaičiavome rezultatą. . Aukščiau pateiktų transformacijų prasmė yra paimti (pasirinkti) vienetą ir pateikti jį trupmenos pavidalu su mums reikalingu vardikliu, tada iš šios trupmenos galime atimti kitą.

Kitas pavyzdys:

Išvada: yra universalus požiūris - norint apskaičiuoti mišrių trupmenų su vienodais vardikliais sumą (skirtumą), jas visada galima konvertuoti į netinkamas, tada atlikti reikiamą veiksmą. Po to, jei rezultatas yra netinkama trupmena, konvertuojame ją į mišrią trupmeną.

Aukščiau pažvelgėme į pavyzdžius su trupmenomis, kurių vardikliai yra vienodi. Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tokiu atveju trupmenos sumažinamos iki to paties vardiklio ir atliekamas nurodytas veiksmas. Norint pakeisti (pakeisti) trupmeną, naudojama pagrindinė trupmenos savybė.

Pažvelkime į paprastus pavyzdžius:

Šiuose pavyzdžiuose iš karto matome, kaip vieną iš trupmenų galima transformuoti, kad būtų gauti vienodi vardikliai.

Jei nurodysime būdus, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio, vadinsime tai PIRMAS METODAS.

Tai yra, iš karto „įvertindami“ trupmeną turite išsiaiškinti, ar šis metodas veiks – patikriname, ar didesnis vardiklis dalijasi iš mažesnio. O jei dalijasi, tada atliekame transformaciją – skaitiklį ir vardiklį padauginame taip, kad abiejų trupmenų vardikliai būtų lygūs.

Dabar pažvelkite į šiuos pavyzdžius:

Šis metodas jiems netaikomas. Taip pat yra būdų, kaip sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio.

ANTRAS metodas.

Pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš antrosios vardiklio, o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš pirmosios:

*Tiesą sakant, mes sumažiname trupmenas, kad susidarytų, kai vardikliai tampa lygūs. Tada mes naudojame taisyklę, skirtą pridėti trupmenas su vienodais vardikliais.

Pavyzdys:

*Šį metodą galima pavadinti universaliu ir jis visada veikia. Vienintelis trūkumas yra tas, kad po skaičiavimų galite gauti dalį, kurią reikės dar labiau sumažinti.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Matyti, kad skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš 5:

TREČIAS metodas.

Turite rasti vardiklių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (LCM). Tai bus bendras vardiklis. Koks čia skaičius? Tai mažiausiai natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno skaičiaus.

Žiūrėkite, čia yra du skaičiai: 3 ir 4, yra daug skaičių, kurie iš jų dalijasi - tai yra 12, 24, 36, ... Mažiausias iš jų yra 12. Arba 6 ir 15, 30, 60, 90 yra dalijasi iš jų.... Mažiausias yra 30. Kyla klausimas – kaip nustatyti šį mažiausią bendrą kartotinį?

Yra aiškus algoritmas, tačiau dažnai tai galima padaryti iš karto be skaičiavimų. Pavyzdžiui, pagal aukščiau pateiktus pavyzdžius (3 ir 4, 6 ir 15) algoritmo nereikia, paėmėme didelius skaičius (4 ir 15), padvigubinome ir pamatėme, kad jie dalijasi iš antrojo skaičiaus, bet skaičių poros gali būti kiti, pavyzdžiui, 51 ir 119.

Algoritmas. Norėdami nustatyti mažiausią bendrąjį kelių skaičių kartotinį, turite:

- išskaidykite kiekvieną skaičių į PAPRASTUS veiksnius

— užrašykite DIDESNIŲJŲ iš jų skaidymą

- padauginkite jį iš kitų skaičių TRŪKSTAMŲ faktorių

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

50 ir 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

skilimo metu daugiau trūksta vieno penketuko

=> LCM(50,60) = 2,2∙3∙5∙5 = 300

48 ir 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

išplečiant didesnį skaičių trūksta dviejų ir trijų

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Mažiausias bendras dviejų pirminių skaičių kartotinis yra jų sandauga

Klausimas! Kodėl naudinga rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, nes galite naudoti antrąjį metodą ir tiesiog sumažinti gautą trupmeną? Taip, tai įmanoma, bet ne visada patogu. Pažiūrėkite į skaičių 48 ir 72 vardiklį, jei juos tiesiog padauginsite iš 48∙72 = 3456. Sutiksite, kad su mažesniais skaičiais dirbti maloniau.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

didesnio skaičiaus išplėtimui trūksta trigubo

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Dabar naudokime pirmąjį metodą:

*Pažiūrėkite į skaičiavimų skirtumus, pirmuoju atveju jų yra minimumas, o antruoju reikia dirbti atskirai ant popieriaus lapo ir net trupmeną, kurią gavote, reikia sumažinti. LOC radimas labai supaprastina darbą.

Daugiau pavyzdžių:

*Antrame pavyzdyje aišku, kad mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 40 ir 60, yra 120.

REZULTATAS! BENDRAS SKAIČIAVIMO ALGORITMAS!

— trupmenas sumažiname į paprastas, jei yra sveikoji dalis.

- trupmenas suvedame į bendrą vardiklį (pirmiausia žiūrime, ar vienas vardiklis dalijasi iš kito; jei dalijasi, tada padauginame šios kitos trupmenos skaitiklį ir vardiklį; jei jis nedalomas, veikiame kitais metodais nurodyta aukščiau).

- Gavę trupmenas su vienodais vardikliais, atliekame operacijas (sudėti, atimti).

- jei reikia, sumažiname rezultatą.

- jei reikia, tada pasirinkite visą dalį.

2. Trupmenų sandauga.

Taisyklė paprasta. Dauginant trupmenas, jų skaitikliai ir vardikliai dauginami:

Pavyzdžiai: