Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b *a c = a b+c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą dauginimą paprastu sudėjimu. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.
Apibrėžimas matematikoje
Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) „b“ logaritmas iki jo bazės „a“ laikomas laipsniu „c“. “, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai gautume reikšmę „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokią galią, kad nuo 2 iki reikiamos galios gautumėte 8. Galvoje atlikę keletą skaičiavimų, gauname skaičių 3! Ir tai tiesa, nes 2 iki 3 laipsnio suteikia atsakymą kaip 8.
Logaritmų tipai
Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą prasmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys atskiri logaritminių išraiškų tipai:
- Natūralus logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
- Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
- Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.
Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norėdami gauti teisingas logaritmų reikšmes, spręsdami turėtumėte atsiminti jų savybes ir veiksmų seką.
Taisyklės ir kai kurie apribojimai
Matematikoje yra keletas taisyklių-apribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma skaičių padalyti iš nulio, taip pat neįmanoma išgauti neigiamų skaičių lyginės šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kurių laikydamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:
- Bazė „a“ visada turi būti didesnė už nulį, o ne lygi 1, kitaip išraiška praras savo prasmę, nes „1“ ir „0“ bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
- jei a > 0, tai a b >0, pasirodo, kad „c“ taip pat turi būti didesnis už nulį.
Kaip išspręsti logaritmus?
Pavyzdžiui, pateikiama užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x = 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti laipsnį, padidinant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 = 100.
Dabar pavaizduokime šią išraišką logaritmine forma. Gauname logaritmą 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad rastų laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.
Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:
Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį protą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau didesnėms vertėms jums reikės maitinimo stalo. Ją gali naudoti net tie, kurie nieko nežino apie sudėtingas matematines temas. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinė skaičių eilutė yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliuose yra skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!
Lygtys ir nelygybės
Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti užrašytos kaip logaritminė lygybė. Pavyzdžiui, 3 4 =81 gali būti parašytas kaip 81 bazinis 3 logaritmas, lygus keturiems (log 3 81 = 4). Už neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome kaip logaritmą, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena įdomiausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Žemiau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius ir sprendimus, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.
Duota tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 – tai yra logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas su baziniu du yra didesnis nei skaičius trys.
Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) reiškia vieną ar daugiau konkrečių skaitinių reikšmių atsakyme, o sprendžiant nelygybę, tiek priimtinų intervalų. reikšmės ir taškai nustatomi pažeidžiant šią funkciją. Todėl atsakymas yra ne paprastas atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.
Pagrindinės teoremos apie logaritmus
Sprendžiant primityvias logaritmo reikšmių paieškos užduotis, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Vėliau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius, pirmiausia pažvelkime į kiekvieną ypatybę išsamiau.
- Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tada, kai a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
- Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritminės formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ypatybės laipsniai ), o tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ką reikėjo įrodyti.
- Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Perima formulės formos teorema kitas vaizdas: log a q b n = n/q log a b.
Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi natūraliais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.
Tegu log a b = t, pasirodo a t =b. Jei abi dalis pakelsime laipsniu m: a tn = b n ;
bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n, todėl log a q b n = (n*t)/t, tada log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.
Problemų ir nelygybių pavyzdžiai
Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra privaloma matematikos egzaminų dalis. Dėl stojimo į universitetą arba išlaikymo stojamieji egzaminai matematikoje reikia mokėti teisingai išspręsti tokius uždavinius.
Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Visų pirma, jūs turėtumėte išsiaiškinti, ar posakis gali būti supaprastintas ar sukelti bendra išvaizda. Supaprastinkite ilgus logaritmines išraiškasįmanoma, jei teisingai naudosite jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.
Spręsdami logaritmines lygtis turime nustatyti, kokio tipo logaritmą turime: pavyzdinėje išraiškoje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.
Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad jiems reikia nustatyti galią, kuriai bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Norėdami išspręsti natūralius logaritmus, turite taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.
Kaip naudotis logaritminėmis formulėmis: su pavyzdžiais ir sprendimais
Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.
- Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia plėsti puiki vertė skaičius b į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo galios savybę, mums pavyko išspręsti iš pažiūros sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Jums tereikia apskaičiuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.
Vieningo valstybinio egzamino užduotys
Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių – vieningame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia egzamino dalis), bet ir C dalyje (sudėtingiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reikalauja tikslių ir nepriekaištingų temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymo.
Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialaus Vieningo valstybinio egzamino parinktys. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.
Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4, todėl 2x = 17; x = 8,5.
- Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
- Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl, kai po logaritmo ženklu esančios išraiškos ir jo bazės eksponentas išimamas kaip daugiklis, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.
Teigiamo skaičiaus b logaritmas bazei a (a>0, a nelygus 1) yra toks skaičius c, kad a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Atkreipkite dėmesį, kad neteigiamojo skaičiaus logaritmas yra neapibrėžtas. Be to, logaritmo pagrindas turi būti teigiamas skaičius, kuris nėra lygus 1. Pavyzdžiui, jei kvadratu -2 gauname skaičių 4, tačiau tai nereiškia, kad 4 bazinis -2 logaritmas yra lygus iki 2.
Pagrindinė logaritminė tapatybė
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Svarbu, kad šios formulės dešinės ir kairės pusės apibrėžimo apimtis būtų skirtinga. Kairioji pusė apibrėžiama tik b>0, a>0 ir a ≠ 1. Dešinė pusė apibrėžiama bet kuriam b ir visiškai nepriklauso nuo a. Taigi pagrindinio logaritminio „tapatumo“ taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes gali lemti OD pasikeitimą.
Dvi akivaizdžios logaritmo apibrėžimo pasekmės
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Išties, keldami skaičių a iki pirmo laipsnio, gauname tą patį skaičių, o pakeldami iki nulinio laipsnio – vienetą.
Produkto logaritmas ir koeficiento logaritmas
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Norėčiau perspėti moksleivius, kad sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes neapgalvotai nenaudotų šių formulių. Naudojant juos „iš kairės į dešinę“, ODZ susiaurėja, o pereinant nuo logaritmų sumos ar skirtumo prie sandaugos ar koeficiento logaritmo, ODZ plečiasi.
Iš tiesų, išraiška log a (f (x) g (x)) apibrėžiama dviem atvejais: kai abi funkcijos yra griežtai teigiamos arba kai f (x) ir g (x) yra mažesnės už nulį.
Pavertę šią išraišką į sumą log a f (x) + log a g (x), esame priversti apsiriboti tik tuo atveju, kai f(x)>0 ir g(x)>0. Priimtinų verčių diapazonas susiaurėja, o tai kategoriškai nepriimtina, nes gali būti prarasti sprendimai. Panaši problema yra su (6) formule.
Laipsnį galima paimti iš logaritmo ženklo
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Ir vėl norėčiau paraginti tikslumo. Apsvarstykite šį pavyzdį:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Kairioji lygybės pusė akivaizdžiai apibrėžta visoms f(x) reikšmėms, išskyrus nulį. Dešinė pusė skirta tik f(x)>0! Išimdami laipsnį iš logaritmo, vėl susiauriname ODZ. Atvirkštinė procedūra leidžia išplėsti priimtinų verčių diapazoną. Visos šios pastabos galioja ne tik 2 galiai, bet ir bet kuriai lygiai galiai.
Perėjimo prie naujo pagrindo formulė
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Tas retas atvejis, kai transformacijos metu ODZ nesikeičia. Jei bazę c pasirinkote išmintingai (teigiama ir nelygu 1), perkėlimo į naują bazę formulė yra visiškai saugi.
Jei pasirinksime skaičių b kaip naują bazę c, gausime svarbų ypatingas atvejis formulės (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Keletas paprastų logaritmų pavyzdžių
Pavyzdys 1. Apskaičiuokite: log2 + log50.
Sprendimas. log2 + log50 = log100 = 2. Naudojome logaritmų sumos formulę (5) ir dešimtainio logaritmo apibrėžimą.
2 pavyzdys. Apskaičiuokite: lg125/lg5.
Sprendimas. log125/log5 = log 5 125 = 3. Naudojome perėjimo į naują bazę formulę (8).
Su logaritmais susijusių formulių lentelė
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Tai gali būti, pavyzdžiui, skaičiuotuvas iš pagrindinio programų rinkinio operacinė sistema Windows. Jo paleidimo nuoroda yra gana paslėpta pagrindiniame OS meniu - atidarykite ją spustelėdami mygtuką „Pradėti“, tada atidarykite skyrių „Programos“, eikite į poskyrį „Standartinis“, tada į „Komunalinės paslaugos“. skyrių ir galiausiai spustelėkite elementą „Skaičiuoklė“ Užuot naudoję pelę ir naršydami meniu, galite naudoti klaviatūrą ir programos paleidimo dialogą – paspauskite klavišų kombinaciją WIN + R, įveskite calc (tai yra skaičiuotuvo vykdomojo failo pavadinimas) ir paspauskite Enter.
Perjunkite skaičiuotuvo sąsają į išplėstinį režimą, kuris leidžia atlikti... Pagal numatytuosius nustatymus jis atidaromas „įprastu“ rodiniu, bet jums reikia „inžinerijos“ arba „ “ (priklausomai nuo naudojamos OS versijos). Meniu išskleiskite skyrių „View“ ir pasirinkite atitinkamą eilutę.
Įveskite argumentą, kurio natūralią vertę norite įvertinti. Tai galima padaryti naudojant klaviatūrą arba spustelėjus atitinkamus mygtukus skaičiuotuvo sąsajoje ekrane.
Spustelėkite mygtuką, pažymėtą ln – programa apskaičiuos logaritmą iki pagrindo e ir parodys rezultatą.
Naudokite vieną iš -skaičiuotuvų kaip alternatyvą natūraliojo logaritmo vertei apskaičiuoti. Pavyzdžiui, esantis adresu http://calc.org.ua. Jo sąsaja itin paprasta – yra vienas įvesties laukas, kuriame reikia įvesti skaičiaus reikšmę, kurios logaritmą reikia apskaičiuoti. Tarp mygtukų raskite ir spustelėkite tą, kuris sako ln. Šios skaičiuoklės scenarijus nereikalauja duomenų siuntimo į serverį ir atsakymo, todėl skaičiavimo rezultatą gausite beveik akimirksniu. Vienintelė ypatybė, į kurią reikia atsižvelgti, yra ta, kad įvesto skaičiaus trupmeninės ir sveikojo skaičiaus dalių skyriklis turi būti taškas, o ne .
Terminas " logaritmas“ kilęs iš dviejų graikų kalbos žodžių, kurių vienas reiškia „skaičius“, o kitas – „santykis“. Tai reiškia matematinę operaciją apskaičiuojant kintamąjį dydį (rodiklį), iki kurio reikia pakelti pastovią reikšmę (bazę), kad gautų skaičių, nurodytą po ženklu. logaritmas A. Jei bazė yra lygi matematinei konstantai, vadinamai skaičiumi "e", tada logaritmas vadinamas „natūraliu“.
Jums reikės
- Prieiga prie interneto, Microsoft Office Excel arba skaičiuotuvas.
Instrukcijos
Pasinaudokite daugybe internete esančių skaičiuoklių – tai galbūt paprastas būdas apskaičiuoti natūralų a. Jums nereikia ieškoti tinkamos paslaugos, nes daugelis paieškos sistemos ir patys turi įmontuotus skaičiuotuvus, visai tinkančius darbui logaritmas ami. Pavyzdžiui, eikite į didžiausios internetinės paieškos sistemos – Google – pagrindinį puslapį. Čia nereikia mygtukų norint įvesti reikšmes ar pasirinkti funkcijas, tiesiog įveskite norimą matematinį veiksmą užklausos įvesties lauke. Tarkime, paskaičiuoti logaritmas ir skaičių 457 bazėje „e“, įveskite ln 457 – to užteks, kad „Google“ parodytų aštuonių skaitmenų po kablelio tikslumu (6.12468339) net nepaspaudus mygtuko siųsti užklausą serveriui.
Jei reikia apskaičiuoti natūralaus vertę, naudokite atitinkamą įtaisytąją funkciją logaritmas ir atsiranda dirbant su duomenimis populiarioje skaičiuoklių rengyklėje Microsoft Office Excel. Ši funkcija čia iškviečiama naudojant bendrą žymėjimą logaritmas o didžiosiomis raidėmis - LN. Pasirinkite langelį, kuriame turėtų būti rodomas skaičiavimo rezultatas, ir įveskite lygybės ženklą - taip šioje skaičiuoklės rengyklėje įrašai turėtų prasidėti langeliuose, esančiuose pagrindinio meniu skilties „Visos programos“ poskyryje „Standartinis“. Perjunkite skaičiuotuvą į funkcionalesnį režimą paspausdami spartųjį klavišą Alt + 2. Tada įveskite natūralią reikšmę logaritmas kurią norite apskaičiuoti, ir programos sąsajoje spustelėkite mygtuką, pažymėtą simboliais ln. Programa atliks skaičiavimą ir parodys rezultatą.
Video tema
dažnai paimkite skaičių e = 2,718281828 . Logaritmai, pagrįsti šia baze, vadinami natūralus. Atliekant skaičiavimus natūraliais logaritmais, įprasta operuoti su ženklu ln, ne žurnalas; o skaičius 2,718281828 , apibrėžiantys pagrindą, nenurodomi.
Kitaip tariant, formuluotė atrodys taip: natūralusis logaritmas numeriai X- tai eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių e gauti x.
Taigi, ln(7 389...)= 2, nuo e 2 =7,389... . Natūralusis paties skaičiaus logaritmas e= 1, nes e 1 =e, o vienybės natūralusis logaritmas lygus nuliui, nes e 0 = 1.
Pats skaičius e apibrėžia monotoninės sekos ribą
skaičiuojama, kad e = 2,7182818284... .
Gana dažnai, norint užfiksuoti numerį atmintyje, reikiamo skaičiaus skaitmenys susiejami su kokia nors neįvykusia data. Pirmųjų devynių skaičiaus skaitmenų įsiminimo greitis e po kablelio padidės, jei pastebėsite, kad 1828-ieji yra Levo Tolstojaus gimimo metai!
Šiandien yra gana išsamių natūralių logaritmų lentelių.
Natūralaus logaritmo grafikas(funkcijos y=ln x) yra eksponentinės grafiko, kaip veidrodinio tiesės vaizdo, pasekmė y = x ir turi tokią formą:
Natūralųjį logaritmą galima rasti kiekvienam teigiamam realiajam skaičiui a kaip plotas po kreive y = 1/x iš 1 į a.
Elementarus šios formuluotės pobūdis, atitinkantis daugelį kitų formulių, kuriose dalyvauja natūralusis logaritmas, buvo pavadinimo „natūralus“ susidarymo priežastis.
Jei analizuosite natūralusis logaritmas, kaip tikroji tikrojo kintamojo funkcija, tada jis veikia atvirkštinė funkcija į eksponentinę funkciją, kuri redukuoja iki tapatybių:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Analogiškai su visais logaritmais natūralusis logaritmas paverčia daugybą į sudėjimą, o padalijimą į atimtį:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Logaritmą galima rasti kiekvienai teigiamai bazei, kuri nėra lygi vienetui, ne tik už e, tačiau kitų bazių logaritmai nuo natūraliojo logaritmo skiriasi tik pastoviu koeficientu ir paprastai apibrėžiami natūraliojo logaritmo požiūriu.
Išanalizavęs natūralaus logaritmo grafikas, nustatome, kad jis egzistuoja teigiamoms kintamojo reikšmėms x. Jis monotoniškai didėja savo apibrėžimo srityje.
At x → 0 natūraliojo logaritmo riba yra minus begalybė ( -∞ ).At x → +∞ natūralaus logaritmo riba yra plius begalybė ( + ∞ ). Laisvėje x Logaritmas didėja gana lėtai. Bet kokia maitinimo funkcija xa su teigiamu eksponentu a didėja greičiau nei logaritmas. Natūralusis logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl jis neturi ekstremalių.
Naudojimas natūralūs logaritmai labai racionalus praeinant aukštoji matematika. Taigi logaritmo naudojimas yra patogus ieškant atsakymo į lygtis, kuriose nežinomieji rodomi kaip eksponentai. Natūralių logaritmų naudojimas skaičiavimuose leidžia labai supaprastinti didelis skaičius matematines formules. Logaritmai iki pagrindo e dalyvauja sprendžiant daug fizinių problemų ir natūraliai įtraukiami į atskirų cheminių, biologinių ir kitų procesų matematinį aprašymą. Taigi logaritmai naudojami skilimo konstantai apskaičiuoti žinomam pusinės eliminacijos laikui arba skilimo laikui apskaičiuoti sprendžiant radioaktyvumo problemas. Jie vaidina pagrindinį vaidmenį daugelyje matematikos sričių ir praktiniai mokslai, jie kreipiasi į finansų sritį, kad išspręstų didelis skaičius užduotys, įskaitant sudėtinių palūkanų skaičiavimą.
Visai neblogai, tiesa? Kol matematikai ieško žodžių, kad pateiktų ilgą ir painų apibrėžimą, pažvelkime į šį paprastą ir aiškų apibrėžimą.
Skaičius e reiškia augimą
Skaičius e reiškia nuolatinį augimą. Kaip matėme ankstesniame pavyzdyje, pavyzdys leidžia susieti palūkanas ir laiką: 3 metai, kai augimas 100 %, yra tas pats, kas 1 metai 300 %, darant prielaidą, kad „sudėtinės palūkanos“.
Galite pakeisti bet kokias procentines ir laiko vertes (50% 4 metams), tačiau patogumui geriau nustatyti 100% procentą (pasirodo, kad 100% 2 metams). Perėję prie 100%, galime sutelkti dėmesį tik į laiko komponentą:
e x = e procentai * laikas = e 1,0 * laikas = e laikas
Akivaizdu, kad e x reiškia:
- kiek padidės mano indėlis po x laiko vienetų (darant prielaidą, kad 100 % nuolatinis augimas).
- pavyzdžiui, po 3 laiko intervalų gausiu e 3 = 20,08 karto daugiau „daiktų“.
e x yra mastelio koeficientas, rodantis, iki kokio lygio mes išaugsime per x laiko tarpą.
Natūralusis logaritmas reiškia laiką
Natūralusis logaritmas yra atvirkštinis e, išgalvotas priešingybės terminas. Kalbant apie keistenybes; lotyniškai jis vadinamas logarithmus naturali, taigi ir santrumpa ln.
O ką reiškia ši inversija ar priešingybė?
- e x leidžia mums pakeisti laiką ir gauti augimą.
- ln(x) leidžia mums paimti augimą arba pajamas ir sužinoti, kiek laiko reikia jiems generuoti.
Pavyzdžiui:
- e 3 lygus 20.08. Po trijų laikotarpių turėsime 20,08 karto daugiau nei pradėjome.
- ln(08/20) būtų maždaug 3. Jeigu Jus domina augimas 20,08 karto, Jums reikės 3 laiko periodų (vėlgi, darant prielaidą, kad 100% nuolatinis augimas).
Vis dar skaitai? Natūralusis logaritmas rodo laiką, reikalingą norint pasiekti norimą lygį.
Šis nestandartinis logaritminis skaičiavimas
Ar jūs perėjote logaritmus – tai keistos būtybės. Kaip jiems pavyko daugybą paversti sudėjimu? O padalijimas į atimtį? Pažiūrėsim.
Kam lygus ln(1)? Intuityviai kyla klausimas: kiek turėčiau laukti, kad gaučiau 1x daugiau nei turiu?
Nulis. Nulis. Visai ne. Kartą jau turite. Iš 1 lygio pereiti į 1 lygį netrunka ilgai.
- ln(1) = 0
Gerai, o kaip su trupmenine verte? Kiek laiko užtruks, kol turėsime 1/2 turimo kiekio? Žinome, kad esant 100 % nuolatiniam augimui, ln(2) reiškia laiką, kurio reikia dvigubai. Jeigu mes atsukime laiką atgal(t. y. palaukite neigiamą laiką), tada gausime pusę to, ką turime.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
Logiška, tiesa? Jei grįšime atgal (laiką atgal) iki 0,693 sekundės, rasime pusę turimos sumos. Apskritai, trupmeną galite apversti ir gauti neigiamą reikšmę: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Tai reiškia, kad jei grįšime laiku atgal iki 1,09 karto, rasime tik trečdalį dabartinio skaičiaus.
Gerai, o kaip su neigiamo skaičiaus logaritmu? Kiek laiko užtrunka „užauginti“ bakterijų koloniją nuo 1 iki -3?
Tai neįmanoma! Jūs negalite gauti neigiamo bakterijų skaičiaus, ar ne? Galite gauti maksimalų (er...minimumą) nulį, bet niekaip negalite gauti neigiamo skaičiaus iš šių mažų būtybių. IN neigiamas skaičius bakterijos tiesiog neturi prasmės.
- ln(neigiamas skaičius) = neapibrėžtas
„Neapibrėžta“ reiškia, kad nėra laiko, kurį reikėtų laukti, kad gautumėte neigiamą reikšmę.
Logaritminis daugyba yra tiesiog linksma
Kiek laiko užtruks, kad išaugtų keturis kartus? Žinoma, galite tiesiog paimti ln(4). Bet tai per paprasta, mes eisime kitu keliu.
Galite galvoti apie keturgubą augimą kaip padvigubėjimą (reikia ln(2) laiko vienetų), o paskui vėl padvigubėjimą (reikalauja dar ln(2) laiko vienetų):
- Laikas augti 4 kartus = ln(4) = laikas padvigubėti ir vėl padvigubėti = ln(2) + ln(2)
Įdomu. Bet koks augimo tempas, tarkime, 20, gali būti laikomas padvigubėjimu iškart po 10 kartų padidėjimo. Arba augimas 4 kartus, o paskui 5 kartus. Arba patrigubinti ir tada padidinti 6,666 karto. Matote modelį?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
A ir B logaritmas yra log(A) + log(B). Šie santykiai iš karto turi prasmę, kai žiūrima į augimą.
Jei jus domina 30x augimas, galite palaukti ln(30) vienu prisėdimu arba palaukti ln(3), kol padvigubės, o paskui dar ln(10) 10x. Galutinis rezultatas yra tas pats, todėl, žinoma, laikas turi išlikti pastovus (ir taip yra).
O padalijimas? Tiksliau, ln(5/3) reiškia: kiek laiko užtruks, kol išaugs 5 kartus ir tada gaus 1/3?
Puiku, augimas 5 kartus yra ln(5). Padidinimas 1/3 karto užtruks -ln(3) laiko vienetų. Taigi,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Tai reiškia: leiskite jam augti 5 kartus, o tada „grįžkite atgal“ iki to momento, kai liks tik trečdalis to kiekio, taigi gausite 5/3 augimo. Apskritai pasirodo
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Tikiuosi, kad keista logaritmų aritmetika jums pradeda suprasti: augimo tempų dauginimas tampa augimo laiko vienetų pridėjimu, o dalijimas - laiko vienetų atėmimu. Nereikia mokytis atmintinai taisyklių, stenkitės jas suprasti.
Natūralaus logaritmo naudojimas savavališkam augimui
Na, žinoma, – sakote jūs, – viskas gerai, jei augimas yra 100 %, bet kaip dėl 5 %, kuriuos gaunu?
Jokių problemų. „Laikas“, kurį apskaičiuojame su ln(), iš tikrųjų yra palūkanų normos ir laiko derinys, tas pats X iš e x lygties. Kad būtų paprasčiau, nusprendėme nustatyti 100 % procentą, bet galime laisvai naudoti bet kokius skaičius.
Tarkime, kad norime pasiekti 30 kartų didesnį augimą: paimkite ln(30) ir gaukite 3,4 Tai reiškia:
- e x = aukštis
- e 3,4 = 30
Akivaizdu, kad ši lygtis reiškia, kad „100% grąža per 3,4 metų suteikia 30 kartų didesnį augimą“. Šią lygtį galime parašyti taip:
- e x = e norma*laikas
- e 100% * 3,4 metų = 30
Galime keisti „statymo“ ir „laiko“ reikšmes, kol statymo * laikas išlieka 3,4. Pavyzdžiui, jei mus domina 30 kartų augimas, kiek laiko turėsime laukti su 5% palūkanų norma?
- ln(30) = 3,4
- norma * laikas = 3,4
- 0,05 * laikas = 3,4
- laikas = 3,4 / 0,05 = 68 metai
Aš motyvuoju taip: "ln(30) = 3,4, taigi, esant 100% augimui, tai užtruks 3,4 metų. Jei augimo tempą padidinsiu dvigubai, laikas sumažės perpus."
- 100 % 3,4 metų = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200 % per 1,7 metų = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 50 % 6,8 metų = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 5% virš 68 metų = 0,05 * 68 = 3,4.
Puiku, tiesa? Natūralųjį logaritmą galima naudoti su bet kokia palūkanų norma ir laiku, nes jų sandauga išlieka pastovi. Kintamąsias reikšmes galite perkelti tiek, kiek norite.
Puikus pavyzdys: septyniasdešimt dviejų taisyklė
Septyniasdešimt dviejų taisyklė yra matematinė technika, leidžianti įvertinti, kiek laiko prireiks, kol jūsų pinigai padvigubės. Dabar mes tai išvesime (taip!), be to, bandysime suprasti jo esmę.
Kiek laiko užtruks padvigubinti savo pinigus su 100% metinėmis palūkanomis?
Oi. Nepertraukiamo augimo atveju naudojome natūralų logaritmą, o dabar jūs kalbate apie metinį sudėtį? Ar tokia formulė netaps netinkama tokiam atvejui? Taip, taip bus, bet tikrosioms palūkanų normoms, tokioms kaip 5%, 6% ar net 15%, skirtumas tarp metinio sudėties ir nuolatinio augimo bus nedidelis. Taigi apytikslis įvertinimas veikia, um, apytiksliai, todėl apsimesime, kad turime visiškai nenutrūkstamą kaupimą.
Dabar klausimas paprastas: kaip greitai galite padvigubinti augimą 100%? ln(2) = 0,693. Prireikia 0,693 laiko vienetų (mūsų atveju metų), kad padvigubėtų mūsų suma nuolat didėjant 100%.
Taigi, ką daryti, jei palūkanų norma yra ne 100%, o tarkim 5% ar 10%?
Lengvai! Kadangi statymo * laikas = 0,693, mes padvigubiname sumą:
- norma * laikas = 0,693
- laikas = 0,693 / statymas
Pasirodo, jei augimas yra 10%, tai užtruks 0,693 / 0,10 = 6,93 metų, kad padvigubėtų.
Norėdami supaprastinti skaičiavimus, padauginkime abi puses iš 100, tada galime pasakyti „10“, o ne „0,10“:
- laikas padvigubinti = 69,3 / statymas, kur statymas išreiškiamas procentais.
Dabar laikas padvigubinti 5%, 69,3 / 5 = 13,86 metų. Tačiau 69,3 nėra pats patogiausias dividendas. Išsirinkime artimą skaičių 72, kurį patogu dalinti iš 2, 3, 4, 6, 8 ir kitų skaičių.
- laikas padvigubinti = 72 / statymas
kuri yra septyniasdešimt dviejų taisyklė. Viskas uždengta.
Jei reikia rasti laiko trigubai, galite naudoti ln(3) ~ 109.8 ir gauti
- laikas iki trigubo = 110 / statymas
Kas yra kitas naudinga taisyklė. „72 taisyklė“ taikoma ūgiui palūkanų normos, populiacijos augimas, bakterijų kultūros ir viskas, kas auga eksponentiškai.
Kas toliau?
Tikiuosi, kad natūralus logaritmas dabar jums prasmingas – jis parodo, kiek laiko reikia, kad bet koks skaičius išaugtų eksponentiškai. Manau, kad jis vadinamas natūraliu, nes e yra universalus augimo matas, todėl jį galima laikyti universaliu būdu nustatyti, kiek laiko reikia augti.
Kiekvieną kartą, kai pamatysite ln(x), prisiminkite „laiką, kurio reikia X kartų augti“. Būsimame straipsnyje aprašysiu e ir ln kartu, kad orą užpildytų gaivus matematikos kvapas.
Papildymas: Natūralusis logaritmas e
Greita viktorina: kas yra ln(e)?
- matematikos robotas pasakys: kadangi jie apibrėžiami kaip atvirkštiniai vienas kitam, akivaizdu, kad ln(e) = 1.
- suprantantis asmuo: ln(e) – tai, kiek kartų reikia išaugti „e“ kartų (apie 2,718). Tačiau pats skaičius e yra augimo matas 1 koeficientu, taigi ln(e) = 1.
Pagalvok aiškiai.
2013 m. rugsėjo 9 d
Įkeliama...
