Skaitmeninės išraiškos apibrėžimas. Kas yra skaitinės išraiškos

Viena iš 7 klasės algebros sąvokų yra skaitinės išraiškos. Jie naudojami problemoms spręsti. Kas yra skaitinės išraiškos ir kaip jas naudoti?

Sąvokos apibrėžimas

Kuri išraiška yra skaičių išraiška algebroje? Taip jie žymi įrašą, sudarytą iš skaičių, skliaustų ir atimties, daugybos, padalijimo ir sudėjimo ženklų.

Skaitmeninės išraiškos sąvoka leistina tik tuo atveju, jei įrašas turi semantinę apkrovą. Pavyzdžiui, įrašas 4-) nėra skaitinė išraiška, nes ji beprasmė.

Pavyzdžiai skaitinės išraiškos:

• 25x13;
• 32-4+8;
• 12x(25-5).

Koncepcijos ypatybės

Skaitinė išraiška turi keletą savybių, kurios naudojamos sprendžiant pavyzdžius ir uždavinius. Pažvelkime į šias savybes išsamiau. Norėdami tai padaryti, paimkime tokį pavyzdį - 45+21-(6x2).

Reikšmė

Kadangi skaitinėje išraiškoje yra įvairių aritmetinių operacijų ženklų, juos galima atlikti ir rezultatas bus skaičius. Tai vadinama skaitinės išraiškos reikšme. Kaip apskaičiuojamos skaitinės išraiškos reikšmės? Tai atitinka aritmetinių operacijų atlikimo taisykles:

• posakiuose be skliaustų atlikti veiksmus, pradedant nuo aukščiausių lygių – daugyba, dalyba, sudėtis, atėmimas;
• jei yra keli vienodi veiksmai, jie atliekami iš kairės į dešinę;
• jei yra skliaustų, pirmiausia juose atlikite veiksmus;
• Skaičiuodami trupmenas, pirmiausia atlikite veiksmus su skaitikliu ir vardikliu, o tada padalinkite skaitiklį iš vardiklio.

Taikykime šias taisykles savo pavyzdžiui.

• Pirmiausia raskime reikšmę skliausteliuose: 6x2=12.
• Tada darome sudėjimą: 45+21=66.
• Paskutinis žingsnis – rasti skirtumą: 66-12=54.

Taigi, skaičius 54 bus išraiškos 45+21-(6x2) reikšmė.

Norėdami teisingai perskaityti skaitinę išraišką, turite nustatyti, kuris veiksmas bus paskutinis atliekant skaičiavimus. Išraiškoje 45+21-(6x2) paskutinis veiksmas buvo atimtis. Atitinkamai, ši išraiška turėtų būti vadinama „skirtumu“. Jei vietoj „-“ ženklo būtų „+“ ženklas, išraiška būtų vadinama suma.

Jei išraiškos negalima suskaičiuoti, sakoma, kad ji neturi reikšmės. Pavyzdžiui, ši išraiška neturi prasmės: 12:(4-4). Skliausteliuose skirtumas lygus nuliui. Bet pagal matematikos taisykles negalima dalyti iš nulio. Tai reiškia, kad neįmanoma rasti posakio prasmės.

Lygybė

Taip pavadintas įrašas, kuriame dvi skaitinės išraiškos yra atskirtos „=“ ženklu. Pavyzdžiui, 45+21-(6x2)=66-12. Abi rekordo dalys yra lygios skaičiui 54, o tai reiškia, kad jos yra lygios viena kitai. Tokia lygybė vadinama tiesa.

Jei parašysite 45+21-(6x2)=35+12, ši lygybė bus neteisinga. Kairėje lygybės pusėje išraiškos reikšmė yra 54, o dešinėje - 57. Šie skaičiai nėra lygūs vienas kitam, vadinasi, lygybė neteisinga.

Pavyzdinė užduotis

Norėdami geriau suprasti temą, pažvelkime į problemos sprendimo pavyzdį. Kaip išspręsti problemą naudojant skaitinę išraišką?

Duota: iš vieno taško į kitą išvažiuoja du automobiliai. Jie važiuos skirtingais keliais. Viena mašina turi nuvažiuoti 35 km, o kita – 42 km. Pirmasis automobilis važiuoja 70 km/h greičiu, o antrasis – 84 km/h. Ar jie atvyks į tikslą tuo pačiu metu?

Sprendimas: Norėdami rasti kiekvieno automobilio kelionės laiką, turite sukurti dvi skaitines išraiškas. Jei paaiškėja, kad jie yra vienodi, tai reiškia, kad automobiliai į galutinį tikslą atvyks tuo pačiu metu. Norėdami rasti laiką, turite padalyti atstumą iš greičio. 35 km: 70 km/h=0,5 val. 42 km: 84 km/h=0,5 val.

Taigi abu automobiliai į galutinį tikslą atvyko per pusvalandį.

Ko mes išmokome?

Iš 7 klasėje mokytos algebros temos sužinojome, kad skaitinė išraiška yra žymėjimas, sudarytas iš skaičių ir aritmetinių operacijų ženklų. Galite išspręsti problemas naudodami skaitines išraiškas. Jei paskutinis veiksmas skaitinėje išraiškoje buvo atimtis, tada jis vadinamas „skirtumu“. Jei vietoj „-“ ženklo yra ženklas „+“, išraiška vadinama suma.

Matematikoje įprasta naudoti savo užrašus. Užfiksuojant uždavinių sąlygas jas naudojant atsiranda vadinamosios matematinės išraiškos. Mes galime kalbėti apie skaičius, pažodiniai posakiai ir matematines išraiškas su kintamaisiais. Patogumo dėlei vienas, antrasis ir trečiasis tiesiog vadinami išraiškomis. Šiame straipsnyje apibrėžsime ir apsvarstysime kiekvieną matematinės išraiškos tipą eilės tvarka.

Skaitmeninės išraiškos

Nuo pat pirmųjų matematikos pamokų moksleiviai pradeda susipažinti su skaitinėmis išraiškomis. Išraiškoje yra skaičiai ir operacijos su šiais skaičiais. Paimkime paprasčiausius skaičiavimo pavyzdžius: 5 + 2; 3 - 8; 1 + 1. Tai visos skaitinės išraiškos. Jei atliksite išraiškoje nurodytus veiksmus, gausite jos reikšmę.

Žinoma, skaitinėse išraiškose yra ne tik pliuso ir minuso ženklai. Jie gali apimti dalybą ir daugybą, juose gali būti skliaustų, laipsnių, šaknų, logaritmų ir susideda iš kelių operacijų.

Atsižvelgdami į visa tai, kas buvo pasakyta, pateikime apibrėžimą. Kas yra skaitinė išraiška?

Apibrėžimas. Skaitinė išraiška

Skaitinės išraiškos – tai skaičių, aritmetinių operacijų, trupmeninių ženklų, šaknų, logaritmų, trigonometrinių ir kitų funkcijų, taip pat skliaustų ir kitų matematinių simbolių derinys.

Skaitine išraiška laikomas tik derinys, sudarytas atsižvelgiant į matematines taisykles.

Paaiškinkime šį apibrėžimą.

Pirma, skaičiai. Matematinė išraiška gali turėti bet kokius skaičius. Tai reiškia, kad matematinėje išraiškoje galite rasti:

• Natūralūs skaičiai: 6, 173, 9,
• sveikieji skaičiai: 18, 0, 64,
• racionalūs skaičiai:
  bendrosios trupmenos 1 3, 3 4,
  mišrūs skaičiai 6 1 8 , 89 5 7 ,
  periodinis ir neperiodinis po kablelio 9 , 78 , 8 , 556
• neracionalieji skaičiai: π, e,
• kompleksiniai skaičiai: i = - 1 .

Antra, aritmetinės operacijos. tada mums žinomas iš kurso pradinė mokykla sudėjimas, daugyba, atimtis ir dalyba. Ženklai " + " , " - " , " · " ir " ÷ " gali būti reiškinyje daugiau nei vieną kartą. Štai tokios skaitinės išraiškos pavyzdys: 12 + 4 - 3 + 3 ÷ 1 · 8 · 6 ÷ 2.

padalijimas posakiuose gali būti arba ženklo, arba trupmeninės eilutės pavidalu.

Skliaustai skaitmeninėse išraiškose

• nurodykite veiksmų eilę: 5 - 2, 5 + 5 * 0, 25;
• naudojamas įrašymui neigiami skaičiai: 5 + (- 2) ;
• atskirkite funkcijos argumentą: sin π 2 - π 3 ;
• atskirkite eksponentą: 2 - 1, 3 2

Taip pat yra specialių skliaustų rašymo reikšmių. Pavyzdžiui, žymėjimas 1, 75 + 2 reiškia, kad skaičius 2 pridedamas prie sveikosios skaičiaus 1, 75 dalies.

Pagal apibrėžimą skaitinėse išraiškose gali būti laipsnių, šaknų, logaritmų, trigonometrinių ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų. Štai tokios skaitinės išraiškos pavyzdys:

Kaip pavyzdį, kaip naudoti specialiuosius simbolius skaitinėse išraiškose, galime pateikti modulio ženklą.

2 2 5 6 + - 5 - 8 2

Pažodinės išraiškos

Susipažinę su skaitinėmis išraiškomis, galite pristatyti pažodinių išraiškų sąvoką. Intuityviai jie naudoja raides, o ne skaičius. Bet pirmiausia pirmiausia.

Užrašykime skaitinę išraišką, bet vietoj vieno skaičiaus paliksime tuščią kvadratą.

Į kvadratą galime įvesti bet kokį skaičių. Pavyzdžiui, 2 arba 1032.

3 + 2 ; 3 + 1032 .

Jei sutinkame kvadrate vietoj skaičiaus rašyti raidę a, reiškiančią šį skaičių, tada gausime pažodinę išraišką:

Apibrėžimas. Pažodinė išraiška

Išraiška, kurioje raidės pakeičia kai kuriuos skaičius, vadinama pažodine išraiška. Pažodinę išraišką turi sudaryti bent viena raidė.

Esminis skirtumas tarp skaitinių ir pažodinių išraiškų yra tas, kad pirmojoje negali būti raidžių. Raidiniuose posakiuose dažniausiai vartojamos mažosios lotyniškos abėcėlės raidės a, b, c. . arba mažos graikiškos raidės α, β, γ. . ir tt

Pateiksime sudėtingos pažodinės išraiškos pavyzdį.

x 3 + 2 - 4 x 5 + 4 x y + 8 y 2 3 8 - 4 x 2 a r c cos α + 1 3 x 2 + 2 y - 1

Išraiškos su kintamaisiais

Aukščiau aptartuose pažodiniuose posakiuose raidė žymėjo konkrečią skaitinę reikšmę. Kiekis, galintis įgyti daugybę skirtingų reikšmių, vadinamas kintamuoju. Išraiška su tokia verte atitinkamai vadinama išraiška su kintamuoju.

Apibrėžimas. Išraiškos su kintamaisiais

Išraiška su kintamuoju yra išraiška, kurioje visos arba kai kurios raidės žymi dydžius, kurie įgyja skirtingas reikšmes.

Tegul kintamasis x imsis gamtos vertybes nuo 0 iki 10 diapazono. Tada išraiškos x 2 - 1 yra išraiška su kintamuoju, o x yra šios išraiškos kintamasis.

Išraiškoje gali būti daugiau nei vienas kintamasis. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į kintamuosius x ir y, išraiška x 3 · y + y 2 2 - 1 yra išraiška su dviem kintamaisiais.

Apskritai pažodinės išraiškos ir išraiškos su kintamaisiais leidžia pažvelgti į problemą ne konkrečių skaičių kontekste, tai yra plačiau. Jie plačiai naudojami matematinėje formuluočių ir įrodymų analizėje.

Pažodinės išraiškos išvaizda neleidžia žinoti, ar į ją įtrauktos raidės yra kintamieji, ar ne. Norėdami tai padaryti, turite žinoti konkrečios užduoties, aprašytos išraiška, sąlygas. Išskyrus kontekstą, niekas netrukdo į išraišką įtrauktų raidžių laikyti kintamaisiais. Taigi skirtumas tarp sąvokų „pažodinė išraiška“ ir „išraiška su kintamaisiais“ išlyginamas.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šiame straipsnyje aptariama, kaip rasti matematinių išraiškų reikšmes. Pradėkime nuo paprastų skaitinių išraiškų ir apsvarstykite atvejus, kai jų sudėtingumas didėja. Pabaigoje pateikiame išraišką, kurioje yra raidžių simboliai, skliaustai, šaknys, specialūs matematiniai simboliai, laipsniai, funkcijos ir kt. Kaip įprasta, visą teoriją pateiksime gausiais ir išsamiais pavyzdžiais.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaip rasti skaitinės išraiškos reikšmę?

Skaitmeninės išraiškos, be kita ko, padeda apibūdinti problemos būklę matematine kalba. Apskritai matematinės išraiškos gali būti labai paprastos, sudarytos iš skaičių ir aritmetinių simbolių poros, arba labai sudėtingos, turinčios funkcijas, laipsnius, šaknis, skliaustus ir kt. Vykdant užduotį dažnai reikia rasti tam tikros išraiškos prasmę. Kaip tai padaryti, bus aptarta toliau.

Paprasčiausi atvejai

Tai atvejai, kai išraiškoje yra tik skaičiai ir aritmetinės operacijos. Norint sėkmingai rasti tokių išraiškų reikšmes, reikės žinių apie aritmetinių operacijų atlikimo tvarką be skliaustų, taip pat gebėjimo atlikti operacijas su įvairiais skaičiais.

Jei reiškinyje yra tik skaičiai ir aritmetiniai ženklai " + " , " · " , " - " , " ÷ " , tai veiksmai atliekami iš kairės į dešinę tokia tvarka: pirmiausia daugyba ir dalyba, tada sudėjimas ir atėmimas. Pateikime pavyzdžių.

1 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Leiskite jums rasti išraiškos reikšmes 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Pirmiausia atlikime daugybą ir padalijimą. Mes gauname:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Dabar atliekame atimtį ir gauname galutinį rezultatą:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Pirmiausia atliekame trupmenų konvertavimą, padalijimą ir dauginimą:

0, 5 – 2 · – 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 – (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Dabar atlikime sudėjimą ir atimtį. Sugrupuokime trupmenas ir suveskime jas į bendrą vardiklį:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Reikalinga vertė rasta.

Išraiškos su skliaustais

Jei išraiškoje yra skliaustų, jie apibrėžia operacijų tvarką toje išraiškoje. Pirmiausia atliekami skliausteliuose esantys veiksmai, o paskui visi kiti. Parodykime tai pavyzdžiu.

3 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Raskime išraiškos reikšmę 0,5 · (0,76 - 0,06).

Išraiškoje yra skliaustai, todėl pirmiausia skliausteliuose atliekame atėmimo operaciją, o tik tada daugybą.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Posakių, kurių skliausteliuose yra skliausteliuose, reikšmė randama pagal tą patį principą.

4 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime reikšmę 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Veiksmus atliksime pradedant nuo vidinių skliaustų, pereinant prie išorinių.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Ieškant posakių reikšmes skliausteliuose, svarbiausia sekti veiksmų seką.

Išraiškos su šaknimis

Matematinėse išraiškose, kurių reikšmes turime rasti, gali būti šaknies ženklų. Be to, pati išraiška gali būti po šaknies ženklu. Ką tokiu atveju daryti? Pirmiausia turite rasti išraiškos reikšmę po šaknimi, o tada iš gauto skaičiaus ištraukti šaknį. Jei įmanoma, skaitinėse išraiškose geriau atsikratyti šaknų, pakeičiant jas skaitinėmis reikšmėmis.

5 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime išraiškos reikšmę su šaknimis - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Pirmiausia apskaičiuojame radikaliąsias išraiškas.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Dabar galite apskaičiuoti visos išraiškos reikšmę.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Dažnai norint rasti posakio, turinčio šaknis, prasmę, pirmiausia reikia transformuoti pradinį posakį. Paaiškinkime tai dar vienu pavyzdžiu.

6 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Kas yra 3 + 1 3 - 1 - 1

Kaip matote, mes neturime galimybės pakeisti šaknies tikslia reikšme, o tai apsunkina skaičiavimo procesą. Tačiau šiuo atveju galite taikyti sutrumpintą daugybos formulę.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Taigi:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Išraiškos su galiomis

Jei išraiškoje yra galių, jų reikšmės turi būti apskaičiuotos prieš atliekant visus kitus veiksmus. Pasitaiko, kad pats laipsnio rodiklis arba bazė yra išraiškos. Tokiu atveju pirmiausia apskaičiuojama šių išraiškų reikšmė, o po to laipsnio reikšmė.

7 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Raskime išraiškos 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 reikšmę.

Pradėkime skaičiuoti eilės tvarka.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Belieka atlikti papildymo operaciją ir išsiaiškinti posakio reikšmę:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Taip pat dažnai patartina supaprastinti išraišką naudojant laipsnio savybes.

8 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime šios išraiškos reikšmę: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Rodikliai vėlgi tokie, kad negalima gauti tikslių jų skaitinių verčių. Supaprastinkime pradinę išraišką, kad surastume jos vertę.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Išraiškos su trupmenomis

Jei išraiškoje yra trupmenų, tada skaičiuojant tokią išraišką visos joje esančios trupmenos turi būti pavaizduotos formoje paprastosios trupmenos ir apskaičiuoti jų vertes.

Jei trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra išraiškų, pirmiausia apskaičiuojamos šių išraiškų reikšmės ir užrašoma galutinė pačios trupmenos reikšmė. Aritmetiniai veiksmai atliekami standartine tvarka. Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

9 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Raskime išraiškos, kurioje yra trupmenos, reikšmę: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Kaip matote, pradinėje išraiškoje yra trys trupmenos. Pirmiausia apskaičiuokime jų vertes.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Perrašykime savo išraišką ir apskaičiuokime jos reikšmę:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Dažnai ieškant posakių prasmės patogu mažinti trupmenas. Egzistuoja neišsakyta taisyklė: prieš surandant jo reikšmę, geriausia bet kurią išraišką maksimaliai supaprastinti, sumažinant visus skaičiavimus iki paprasčiausių atvejų.

10 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime išraišką 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Negalime visiškai išgauti penkių šaknų, bet galime supaprastinti pradinę išraišką per transformacijas.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Pradinė išraiška yra tokia:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Apskaičiuokime šios išraiškos reikšmę:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Išraiškos su logaritmais

Kai reiškinyje yra logaritmų, jei įmanoma, jų reikšmė skaičiuojama nuo pradžių. Pavyzdžiui, reiškinyje log 2 4 + 2 · 4 galite iš karto užrašyti šio logaritmo reikšmę vietoj log 2 4 ir tada atlikti visus veiksmus. Gauname: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Skaitines išraiškas taip pat galima rasti po pačiu logaritmo ženklu ir jo pagrindu. Tokiu atveju pirmiausia reikia rasti jų reikšmes. Paimkime išraišką log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Turime:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Jei neįmanoma apskaičiuoti tikslios logaritmo reikšmės, išraiškos supaprastinimas padeda rasti jo reikšmę.

11 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Raskime išraiškos log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 reikšmę.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Pagal logaritmų savybę:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Dar kartą naudojant logaritmų savybes, paskutinei išraiškos trupmenai gauname:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Dabar galite pradėti skaičiuoti pradinės išraiškos vertę.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Išraiškos su trigonometrinėmis funkcijomis

Pasitaiko, kad išraiškoje yra sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento trigonometrinės funkcijos bei jų atvirkštinės funkcijos. Reikšmė apskaičiuojama prieš atliekant visas kitas aritmetines operacijas. Priešingu atveju išraiška supaprastinama.

12 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Raskite išraiškos reikšmę: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Pirmiausia apskaičiuojame į išraišką įtrauktų trigonometrinių funkcijų reikšmes.

sin – 5 π 2 = – 1

Mes pakeičiame reikšmes į išraišką ir apskaičiuojame jos reikšmę:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Rasta išraiškos reikšmė.

Dažnai norėdami rasti posakio prasmę su trigonometrinės funkcijos, pirmiausia jį reikia konvertuoti. Paaiškinkime pavyzdžiu.

13 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Turime rasti išraiškos cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 reikšmę.

Konvertavimui naudosime trigonometrines formules dvigubo kampo kosinusas ir sumos kosinusas.

cos 2 π 8 – sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 – sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - 1 π 1-1 = 0.

Bendras skaitinės išraiškos atvejis

Apskritai trigonometrinėje išraiškoje gali būti visi aukščiau aprašyti elementai: skliaustai, laipsniai, šaknys, logaritmai, funkcijos. Suformuluokime bendroji taisyklė rasti tokių posakių reikšmes.

Kaip rasti išraiškos vertę

1. Šaknys, laipsniai, logaritmai ir kt. pakeičiamos jų vertybėmis.
2. Atliekami skliausteliuose nurodyti veiksmai.
3. Likę veiksmai atliekami eilės tvarka iš kairės į dešinę. Pirmiausia – daugyba ir dalyba, paskui – sudėjimas ir atėmimas.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

14 pavyzdys: skaitmeninės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime išraiškos reikšmę - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Išraiška yra gana sudėtinga ir sudėtinga. Neatsitiktinai pasirinkome būtent tokį pavyzdį, pabandę į jį sutalpinti visus aukščiau aprašytus atvejus. Kaip rasti tokio posakio prasmę?

Yra žinoma, kad skaičiuojant sudėtingos trupmeninės formos vertę, trupmenos skaitiklio ir vardiklio reikšmės pirmiausia randamos atitinkamai atskirai. Mes nuosekliai transformuosime ir supaprastinsime šią išraišką.

Pirmiausia apskaičiuokime radikalios išraiškos 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 reikšmę. Norėdami tai padaryti, turite rasti sinuso reikšmę ir išraišką, kuri yra trigonometrinės funkcijos argumentas.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Dabar galite sužinoti sinuso vertę:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Apskaičiuojame radikalios išraiškos reikšmę:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Su trupmenos vardikliu viskas yra paprasčiau:

Dabar galime parašyti visos trupmenos vertę:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Atsižvelgdami į tai, rašome visą išraišką:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Galutinis rezultatas:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Šiuo atveju mes galėjome apskaičiuoti tikslias šaknų, logaritmų, sinusų ir kt. Jei tai neįmanoma, galite pabandyti jų atsikratyti matematinėmis transformacijomis.

Išraiškos verčių apskaičiavimas racionaliais metodais

Skaitinės reikšmės turi būti skaičiuojamos nuosekliai ir tiksliai. Šį procesą galima supaprastinti ir pagreitinti naudojant įvairių savybių veiksmai su skaičiais. Pavyzdžiui, žinoma, kad sandauga yra lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Atsižvelgdami į šią savybę, galime iš karto pasakyti, kad išraiška 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 yra lygi nuliui. Tuo pačiu metu visai nebūtina atlikti veiksmų tokia tvarka, kokia aprašyta aukščiau esančiame straipsnyje.

Taip pat patogu naudoti lygių skaičių atėmimo savybę. Neatlikę jokių veiksmų, galite nurodyti, kad išraiškos 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 reikšmė taip pat būtų lygi nuliui.

Kitas būdas pagreitinti procesą yra tapatybės transformacijų naudojimas, pvz., terminų ir veiksnių grupavimas ir bendro veiksnio išdėstymas skliausteliuose. Racionalus būdas skaičiuoti išraiškas su trupmenomis yra sumažinti tas pačias išraiškas skaitiklyje ir vardiklyje.

Pavyzdžiui, paimkite išraišką 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Neatlikę skliausteliuose esančių operacijų, o sumažinę trupmeną, galime teigti, kad išraiškos reikšmė yra 1 3 .

Išraiškų su kintamaisiais reikšmių radimas

Pažodinės išraiškos ir išraiškos su kintamaisiais reikšmė randama konkrečioms nurodytoms raidžių ir kintamųjų reikšmėms.

Išraiškų su kintamaisiais reikšmių radimas

Norėdami rasti pažodinės išraiškos ir išraiškos su kintamaisiais reikšmę, turite pakeisti nurodytas raidžių ir kintamųjų reikšmes į pradinę išraišką, o tada apskaičiuoti gautos skaitinės išraiškos reikšmę.

15 pavyzdys: Išraiškos su kintamaisiais reikšmė

Apskaičiuokite išraiškos 0, 5 x - y reikšmę, kai x = 2, 4 ir y = 5.

Keičiame kintamųjų reikšmes į išraišką ir apskaičiuojame:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Kartais išraišką galite paversti taip, kad gautumėte jos vertę, neatsižvelgiant į į ją įtrauktų raidžių ir kintamųjų reikšmes. Norėdami tai padaryti, turite atsikratyti raidžių ir kintamųjų išraiškoje, jei įmanoma, naudodami identiškas transformacijas, aritmetinių operacijų savybes ir visus kitus galimus metodus.

Pavyzdžiui, išraiška x + 3 - x akivaizdžiai turi reikšmę 3, o norint apskaičiuoti šią reikšmę, nebūtina žinoti kintamojo x reikšmės. Šios išraiškos reikšmė yra lygi trims visoms kintamojo x reikšmėms iš jo leistinų verčių diapazono.

Kitas pavyzdys. Išraiškos x x reikšmė yra lygi vienetui visiems teigiamiems x.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Studijuodami skaitinių, raidinių posakių ir posakių su kintamaisiais temą, turite atkreipti dėmesį į sąvoką išraiškos vertė. Šiame straipsnyje atsakysime į klausimą, kokia yra skaitinės išraiškos reikšmė, o kas vadinama pažodinės išraiškos ir išraiškos su kintamaisiais pasirinktoms kintamųjų reikšmėms reikšme. Norėdami paaiškinti šiuos apibrėžimus, pateikiame pavyzdžių.

Puslapio naršymas.

Kokia yra skaitinės išraiškos reikšmė?

Pažintis su skaitinėmis išraiškomis prasideda beveik nuo pirmųjų matematikos pamokų mokykloje. Beveik iš karto įvedama „skaitinės išraiškos vertės“ sąvoka. Tai reiškia išraiškas, sudarytas iš skaičių, sujungtų aritmetinių operacijų ženklais (+, −, ·, :). Pateiksime atitinkamą apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Skaitinės išraiškos reikšmė– tai skaičius, kuris gaunamas atlikus visus veiksmus pradine skaitine išraiška.

Pavyzdžiui, apsvarstykite skaitinę išraišką 1+2. Baigę gauname skaičių 3, kuris yra skaitinės išraiškos 1+2 reikšmė.

Dažnai frazėje „skaitinės išraiškos reikšmė“ praleidžiamas žodis „skaitinis“ ir tiesiog sakoma „išraiškos prasmė“, nes vis tiek aišku, kokia yra posakio reikšmė.

Aukščiau pateiktas išraiškos reikšmės apibrėžimas taip pat taikomas skaitinėms išraiškoms daugiau nei sudėtingas tipas kurie mokomi vidurinėje mokykloje. Čia reikėtų pažymėti, kad galite susidurti su skaitinėmis išraiškomis, kurių reikšmės negali būti nurodytos. Taip yra todėl, kad kai kuriose išraiškose įrašytų veiksmų atlikti neįmanoma. Pavyzdžiui, todėl negalime nurodyti reiškinio 3:(2−2) reikšmės. Tokios skaitinės išraiškos vadinamos posakius, kurie neturi prasmės.

Dažnai praktikoje domina ne tiek skaitinė išraiška, kiek jos reikšmė. Tai yra, iškyla užduotis nustatyti tam tikros išraiškos reikšmę. Tokiu atveju paprastai sakoma, kad reikia rasti išraiškos reikšmę. Šiame straipsnyje išsamiai aptariamas skaitinių išraiškų reikšmės radimo procesas įvairių tipų, ir nagrinėjama daug pavyzdžių su išsamiais sprendimų aprašymais.

Pažodinių ir kintamų posakių reikšmė

Be skaitinių išraiškų, tiriamos ir pažodinės išraiškos, tai yra posakiai, kuriuose kartu su skaičiais yra viena ar daugiau raidžių. Raidės pažodinėje išraiškoje gali reikšti skirtingi skaičiai, o jei raidės bus pakeistos šiais skaičiais, raidžių išraiška taps skaitine.

Apibrėžimas.

Skaičiai, pakeičiantys raides pažodinėje išraiškoje, vadinami šių raidžių reikšmės, ir vadinama gautos skaitinės išraiškos reikšmė pažodinės išraiškos reikšmė duotoms raidžių reikšmėms.

Taigi, kalbant apie pažodines išraiškas, mes kalbame ne tik apie pažodinės išraiškos reikšmę, bet ir apie pažodinės išraiškos reikšmę, pateiktą (duotą, nurodytą ir pan.) raidžių reikšmės.

Pateikime pavyzdį. Paimkime pažodinę išraišką 2·a+b. Tegu pateikiamos raidžių a ir b reikšmės, pavyzdžiui, a=1 ir b=6. Pradinėje išraiškoje raides pakeitę jų reikšmėmis, gauname 2·1+6 formos skaitinę išraišką, jos reikšmė 8. Taigi, skaičius 8 yra pažodinės išraiškos 2·a+b reikšmė nurodytoms raidžių a=1 ir b=6 reikšmėms. Jei būtų nurodytos kitos raidžių reikšmės, gautume šių raidžių reikšmių raidės išraiškos reikšmę. Pavyzdžiui, kai a=5 ir b=1 turime reikšmę 2·5+1=11.

Vidurinės mokyklos algebroje raidėms raidžių išraiškose leidžiama įgauti skirtingas reikšmes, tokios raidės vadinamos kintamaisiais, o raidžių išraiškos – išraiškomis su kintamaisiais. Šioms išraiškoms pasirinktoms kintamųjų reikšmėms įvedama išraiškos su kintamaisiais reikšmės sąvoka. Išsiaiškinkime, kas tai yra.

Apibrėžimas.

Išraiškos su kintamaisiais reikšmė pasirinktoms kintamųjų reikšmėms yra skaitinės išraiškos reikšmė, kuri gaunama pakeitus pasirinktas kintamųjų reikšmes į pradinę išraišką.

Paaiškinkime pateiktą apibrėžimą pavyzdžiu. Panagrinėkime išraišką su kintamaisiais x ir y, kurių forma yra 3·x·y+y. Paimkime x=2 ir y=4, pakeiskime šias kintamųjų reikšmes į pradinę išraišką ir gaukime skaitinę išraišką 3·2·4+4. Apskaičiuokime šios išraiškos reikšmę: 3·2·4+4=24+4=28. Rasta reikšmė 28 yra pradinės išraiškos su kintamaisiais 3·x·y+y reikšmė pasirinktoms kintamųjų x=2 ir y=4 reikšmėms.

Jei pasirinksite kitas kintamųjų reikšmes, pvz., x=5 ir y=0, tada šios pasirinktos kintamųjų reikšmės atitiks kintamojo išraiškos reikšmę, lygią 3·5·0+0=0.

Galima pastebėti, kad kartais galima gauti skirtingų pasirinktų kintamųjų verčių vienodos vertės posakius. Pavyzdžiui, kai x=9 ir y=1, išraiškos 3 x y+y reikšmė yra 28 (nes 3 9 1+1=27+1=28), o aukščiau parodėme, kad ta pati reikšmė yra išraiška su kintamieji turi x=2 ir y=4 .

Kintamąsias reikšmes galima pasirinkti iš atitinkamų priimtinų verčių diapazonus. Priešingu atveju, pakeisdami šių kintamųjų reikšmes į pradinę išraišką, gausite skaitinę išraišką, kuri neturi prasmės. Pavyzdžiui, jei pasirinksite x=0 ir pakeisite šią reikšmę į reiškinį 1/x, gausite skaitinę išraišką 1/0, kuri neturi prasmės, nes dalyba iš nulio neapibrėžta.

Belieka tik pridurti, kad yra išraiškų su kintamaisiais, kurių reikšmės nepriklauso nuo į juos įtrauktų kintamųjų verčių. Pavyzdžiui, išraiškos, kurios kintamasis x yra 2+x−x, reikšmė nepriklauso nuo šio kintamojo reikšmės, ji yra lygi 2 bet kuriai pasirinktai kintamojo x reikšmei iš jo leistinų reikšmių diapazono , kuri šiuo atveju yra visų realiųjų skaičių aibė.

Nuorodos.

• Matematika: vadovėlis 5 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – 21 leid., ištrinta. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: iliustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: vadovėlis 7 klasei bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 240 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Šioje pamokoje apžvelgsite temą „Skaičių išraiškos. Skaitinių išraiškų palyginimas“. Ši pamoka supažindins su skaitinių išraiškų apibrėžimu. Sužinosite, kad galima skaityti skaitines išraiškas. Taip pat išmoksite rasti jų reikšmę ir palyginti. Kai kurie praktiniais pavyzdžiais padės įtvirtinti išmoktą medžiagą.

Pamoka: Skaitmeninės išraiškos. Skaitinių išraiškų palyginimas

Pažiūrėkite į šiuos posakius ir pabandykite surasti keistą.

20 + a
s + 7
6 + 8
15 - (10 + 2)
18 > 9

Perteklinis įrašas yra 18 > 9 (18 yra didesnis nei 9). Kodėl manote?

Teisingas atsakymas: nes tik jis naudoja palyginimo ženklą. Visi kiti naudoja veiksmo ženklus.

Rašytinius posakius galima suskirstyti į dvi grupes:

Pažodinės išraiškos Skaitmeninės išraiškos
20 + 6 + 8
c + 7 15 - (10 + 2)

Pažodinės išraiškos yra posakiai, kuriuose naudojamos lotyniškos abėcėlės raidės.

Skaitmeninės išraiškos- veiksmo ženklais sujungti skaičiai. Skaitmenines išraiškas galima perskaityti.

6 + 8… (6 ir 8 suma)

15 – (10 + 2)… (iš 15 atimkite 10 ir 2 sumą)

Raskime posakių reikšmes:

15 - (10 + 2) = …
Pirmiausia atliekame skliausteliuose parašytą veiksmą. Pridėkite nuo 2 iki 10.
10 + 2 = 12
Dabar iš 15 reikia atimti 12.
15 - 12 = 3
15 - (10 + 2) = 3

Dabar atlikime užduotį:

Apžvelgėme, ką reiškia rasti skaitinės išraiškos reikšmę.

Dabar turime išmokti palyginti skaitines išraiškas. Palyginkite skaitinę išraišką – raskite kiekvienos išraiškos reikšmę ir palyginkite.

Palyginkime dviejų posakių reikšmes. Norėdami tai padaryti, surasime kiekvieno iš jų vertes.

15 - 7 < 6 + 3

Dabar palyginkime dar dviejų išraiškų reikšmes:

3. Festivalis pedagoginės idėjos « Atvira pamoka» (). Pasigaminkite namuose Išspręskite skaitines išraiškas: a) 20 + 14 b) 56 - 22 c) 47 - 22 Palyginkite išraiškas: a) 33 - 12 ir 25 + 7 b) 45 - 5 ir 19 + 21 c) 23 + 5 ir 12 + 6