Il concetto di evento e la probabilità di un evento. Eventi affidabili e impossibili. Definizione classica di probabilità. Teorema dell'addizione di probabilità. Teorema della moltiplicazione delle probabilità. Risolvere i problemi più semplici di determinazione della probabilità utilizzando l'addizione di probabilità.

Linee guida per l'argomento 3.1:

Il concetto di evento e la probabilità di un evento. Eventi affidabili e impossibili. Definizione classica di probabilità:

Lo studio di ciascun fenomeno nell'ordine di osservazione o sperimentazione è associato all'implementazione di un determinato insieme di condizioni (test). Viene chiamato ogni risultato o esito di un test evento.

Se un evento in determinate condizioni può accadere o non accadere, allora viene chiamato casuale. Quando un evento è certo che accadrà, si chiama affidabile, e nel caso in cui ovviamente ciò non possa accadere, - impossibile.

Gli eventi vengono chiamati incompatibile, se solo uno di essi è possibile apparire ogni volta. Gli eventi vengono chiamati giunto, se, date condizioni, il verificarsi di uno di questi eventi non esclude il verificarsi di un altro nel corso della stessa prova.

Gli eventi vengono chiamati opposto, se nelle condizioni del test essi, essendo i suoi unici risultati, sono incompatibili.

La probabilità di un evento è considerata una misura della possibilità oggettiva che si verifichi un evento casuale.

Probabilità eventi è chiamato rapporto tra il numero di risultati M, favorevole al verificarsi di un dato evento, al numero n di tutti gli esiti (incompatibili, solo possibili ed ugualmente possibili), ovvero

La probabilità di qualsiasi evento non può essere inferiore a zero e maggiore di uno, vale a dire . Un evento impossibile corrisponde a una probabilità e un evento affidabile corrisponde a una probabilità

Esempio 1. In una lotteria di 1000 biglietti, ce ne sono 200 vincenti. Viene estratto un biglietto a caso. Qual è la probabilità che questo biglietto sia vincente?

Il numero totale di risultati diversi è N= 1000. Il numero di risultati favorevoli alla vincita è M= 200. Secondo la formula, otteniamo .

Esempio 2. Si estrae una pallina da un'urna contenente 5 palline bianche e 3 nere. Trova la probabilità che la pallina sia nera.

Indichiamo con . l'evento consistente nell'apparizione di una pallina nera. Numero totale di casi. Numero di casi M, favorevole al verificarsi dell'evento, è pari a 3. Utilizzando la formula si ottiene .

Esempio 3. Da un'urna contenente 12 palline bianche e 8 nere, si estraggono due palline a caso. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano nere?

Indichiamo con . l'evento consistente nell'apparizione di due palline nere. Numero totale di casi possibili N pari al numero di combinazioni di 20 elementi (12 + 8) per due:

Numero di casi M, favorevole all'evento, è

Usando la formula, troviamo la probabilità che appaiano due palline nere:

Teorema dell'addizione di probabilità. Risolvere i problemi più semplici per determinare la probabilità utilizzando il teorema dell'addizione di probabilità:

Teorema per la somma delle probabilità di eventi incompatibili. La probabilità che si verifichi uno dei diversi eventi incompatibili a coppie, non importa quale, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

Teorema per la somma delle probabilità di eventi congiunti. La probabilità del verificarsi di almeno uno dei due eventi congiunti è pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro verificarsi congiunto:

Esempio 4. In una scatola ci sono 20 parti disposte in ordine casuale, cinque delle quali sono standard. Un lavoratore prende tre parti a caso. Trova la probabilità che almeno una delle parti prese sia standard.

Ovviamente, almeno una delle parti prese sarà standard se si verifica uno qualsiasi dei tre eventi incompatibili: B- una parte è standard, due non standard; C- due parti standard, una non standard e D- tre parti sono standard.

Quindi l'evento UN può essere rappresentato come la somma di questi tre eventi: A = B + C + D. Per il teorema di addizione abbiamo P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Trova la probabilità di ciascuno di questi eventi:

Sommando i valori trovati, otteniamo

Esempio 5. Trova la probabilità che un numero di due cifre scelto a caso sia un multiplo di 3 o 5, o di entrambi.

Permettere UN- un evento consistente nel fatto che un numero scelto a caso è multiplo di 3, e B- è che è multiplo di 5. Troviamo Since UN E B eventi congiunti, allora usiamo la formula:

I numeri in totale sono 90 a due cifre: 10, 11, 98, 99. Di questi, 30 sono multipli di 3 (favoriscono il verificarsi dell'evento UN); 18 - multipli di 5 (favoriscono il verificarsi di un evento B) e 6 - multipli di 3 e 5 contemporaneamente (favoriscono il verificarsi dell'evento AB). Quindi, cioè

Teorema della moltiplicazione delle probabilità:

Teorema per la moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti. La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi indipendenti è pari al prodotto delle probabilità di questi eventi:

La probabilità che si verifichino più eventi indipendenti nell'insieme è calcolata dalla formula:

Teorema per la moltiplicazione delle probabilità di eventi dipendenti. La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi dipendenti è pari al prodotto di uno di essi per la probabilità condizionata del secondo:

Esempio 6. Un'urna contiene 4 palline bianche e 8 nere, l'altra contiene 3 palline bianche e 9 nere. Da ciascuna urna si estraeva una pallina. Trova la probabilità che entrambe le palline siano bianche.

Sia l'apparizione di una pallina bianca dalla prima urna, e sia l'apparizione di una pallina bianca dalla seconda urna. È ovvio che gli eventi sono indipendenti. Lo troveremo

Usando la formula otteniamo:

Domande di autotest sull'argomento 3.1:

1. Cos'è un evento?

2. Quali eventi sono definiti affidabili?

3. Quali eventi sono chiamati impossibili?

4. Definire la probabilità.

5. Formulare il teorema per l'addizione delle probabilità.

6. Formulare il teorema della moltiplicazione delle probabilità.

Compiti per una soluzione indipendente sull'argomento 3.1:

1. Una scatola contiene 10 parti in ordine casuale, di cui 4 standard. L'ispettore ha preso 3 parti a caso. Trova la probabilità che almeno una delle parti prese sia standard.

2. Un'urna contiene 10 palline bianche, 15 nere, 20 blu e 25 rosse. Trova la probabilità che la pallina estratta sia: 1) bianca; 2) nero o rosso.

3. Trova la probabilità che un numero di due cifre scelto a caso sia un multiplo di 4 o 5, o di entrambi.

4. Un lavoratore serve due macchine che funzionano indipendentemente l'una dall'altra. La probabilità che la prima macchina non richieda l’attenzione di un lavoratore entro un’ora è 0,8, mentre per la seconda macchina questa probabilità è 0,7. Trova la probabilità che entro un'ora nessuna macchina richieda l'attenzione di un lavoratore.

5. L'urna contiene 6 palline, 3 delle quali bianche. Si estraggono a caso due palline, una dopo l'altra. Calcola la probabilità che entrambe le palline siano bianche.

6. Un'urna contiene 10 palline bianche e 6 nere. Calcolare la probabilità che tre palline estratte a caso una dopo l'altra risultino nere.

La somma di tutte le probabilità degli eventi nello spazio campionario è uguale a 1. Ad esempio, se l'esperimento prevede il lancio di una moneta con Evento A = testa ed Evento B = croce, allora A e B rappresentano l'intero spazio campionario. Significa, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.

Esempio. Nell'esempio proposto in precedenza per calcolare la probabilità di rimuovere una penna rossa dalla tasca di un abito (questo è l'evento A), che contiene due penne blu e una rossa, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, la probabilità dell'evento opposto evento - disegnare una penna blu - sarà

Prima di passare ai teoremi principali, introduciamo due concetti più complessi: la somma e il prodotto degli eventi. Questi concetti sono diversi dai soliti concetti di somma e prodotto in aritmetica. L'addizione e la moltiplicazione nella teoria della probabilità sono operazioni simboliche soggette a determinate regole e facilitano la costruzione logica di conclusioni scientifiche.

Quantità più eventi è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di essi. Cioè, la somma di due eventi A e B è chiamata evento C, che consiste nel verificarsi dell'evento A, o dell'evento B, o degli eventi A e B insieme.

Ad esempio, se un passeggero sta aspettando alla fermata del tram per uno dei due percorsi, allora l'evento di cui ha bisogno è la comparsa di un tram sulla prima linea (evento A), o di un tram sulla seconda linea (evento B), oppure la presenza congiunta di tram sulla prima e sulla seconda linea (evento CON). Nel linguaggio della teoria della probabilità, ciò significa che l'evento D necessario al passeggero consiste nel verificarsi dell'evento A, oppure dell'evento B, oppure dell'evento C, che sarà simbolicamente scritto nella forma:

D=A+B+C

Il prodotto di due eventiUN E INè un evento costituito dal verificarsi congiunto di eventi UN E IN. Il prodotto di diversi eventi viene chiamata l'occorrenza congiunta di tutti questi eventi.

Nell'esempio sopra con un passeggero, l'evento CON(comparsa congiunta di tram su due linee) è il prodotto di due eventi UN E IN, che simbolicamente si scrive così:

Diciamo che due medici esaminano separatamente un paziente per identificare una malattia specifica. Durante le ispezioni possono verificarsi i seguenti eventi:

Scoperta delle malattie da parte del primo medico ( UN);

Mancata rilevazione della malattia da parte del primo medico ();

Rilevazione della malattia da parte di un secondo medico ( IN);

Mancata rilevazione della malattia da parte del secondo medico ().

Considera il caso in cui la malattia verrà rilevata durante gli esami esattamente una volta. Questo evento può essere realizzato in due modi:

La malattia verrà scoperta dal primo medico ( UN) e non rileverà il secondo ();

Le malattie non verranno rilevate dal primo medico () e verranno rilevate dal secondo ( B).

Indichiamo l'evento in esame con e scriviamolo simbolicamente:

Considerare il caso in cui la malattia venga rilevata durante gli esami due volte (sia dal primo che dal secondo medico). Denotiamo questo evento con e scriviamo: .

Indichiamo l'evento con il quale né il primo né il secondo medico scoprono la malattia e lo scriviamo: .

Teoremi fondamentali della teoria della probabilità

La probabilità della somma di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.

Scriviamo simbolicamente il teorema di addizione:

P(A+B) = P(A)+P(B),

Dove R- la probabilità dell'evento corrispondente (l'evento è indicato tra parentesi).

Esempio . Il paziente ha sanguinamento gastrico. Questo sintomo si registra in caso di erosione ulcerosa di un vaso (evento A), rottura di vene varicose dell'esofago (evento B), cancro allo stomaco (evento C), polipo gastrico (evento D), diatesi emorragica (evento F), ittero ostruttivo (evento E) e gastrite finale (eventoG).

Il medico, sulla base dell’analisi dei dati statistici, assegna ad ogni evento un valore di probabilità:

In totale, il medico ha avuto 80 pazienti con sanguinamento gastrico (N= 80), di cui 12 presentavano erosione ulcerosa del vaso (), A6 - rottura delle vene varicose dell'esofago (), 36 avevano un cancro allo stomaco () eccetera.

Per ordinare un esame, il medico vuole determinare la probabilità che il sanguinamento dello stomaco sia associato a una malattia dello stomaco (evento I):

La probabilità che il sanguinamento gastrico sia associato a una malattia dello stomaco è piuttosto alta e il medico può determinare le tattiche dell'esame sulla base del presupposto di una malattia dello stomaco, giustificata a livello quantitativo utilizzando la teoria della probabilità.

Se si considerano eventi congiunti, la probabilità della somma di due eventi è pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro verificarsi congiunto.

Simbolicamente questo si scrive con la seguente formula:

Se immaginiamo che l'evento UN consiste nel colpire un bersaglio ombreggiato con strisce orizzontali durante il tiro e l'evento IN- nel colpire un bersaglio ombreggiato da strisce verticali, allora nel caso di eventi incompatibili, secondo il teorema dell'addizione, la probabilità della somma è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Se questi eventi sono congiunti, allora esiste una certa probabilità corrispondente al verificarsi congiunto degli eventi UN E IN. Se non correggi la franchigia P(AB), cioè. sulla probabilità del verificarsi congiunto di eventi, allora questa probabilità verrà presa in considerazione due volte, poiché l'area ombreggiata sia dalle linee orizzontali che da quelle verticali è parte integrante di entrambi i target e verrà presa in considerazione sia nel primo che nel secondo termine .

Nella fig. 1 viene data un'interpretazione geometrica che illustra chiaramente questa circostanza. Nella parte superiore della figura ci sono bersagli non sovrapposti, che sono un analogo di eventi incompatibili, nella parte inferiore - bersagli che si intersecano, che sono un analogo di eventi congiunti (con un colpo puoi colpire sia il bersaglio A che il bersaglio B subito).

Prima di passare al teorema della moltiplicazione è necessario considerare i concetti di eventi indipendenti e dipendenti e di probabilità condizionale e incondizionata.

Indipendente dall'evento B è un evento A la cui probabilità di accadimento non dipende dal verificarsi o meno dell'evento B.

Dipendente dall'evento B c'è un evento A la cui probabilità di accadimento dipende dal verificarsi o meno dell'evento B.

Esempio . Nell'urna ci sono 3 palline, 2 bianche e 1 nera. Quando si sceglie una pallina a caso, la probabilità di scegliere una pallina bianca (evento A) è uguale a: P(A) = 2/3 e una pallina nera (evento B) P(B) = 1/3. Abbiamo a che fare con un modello di caso e le probabilità degli eventi sono calcolate rigorosamente secondo la formula. Quando si ripete l'esperimento, le probabilità che si verifichino gli eventi A e B rimangono invariate se dopo ogni scelta la pallina viene rimessa nell'urna. In questo caso gli eventi A e B sono indipendenti. Se la pallina scelta nel primo esperimento non viene rimessa nell'urna, la probabilità dell'evento (A) nel secondo esperimento dipende dal verificarsi o meno dell'evento (B) nel primo esperimento. Quindi, se nel primo esperimento è comparso l'evento B (è stata scelta una pallina nera), allora il secondo esperimento viene eseguito se ci sono 2 palline bianche nell'urna e la probabilità che si verifichi l'evento A nel secondo esperimento è pari a: P (A) = 2/2= 1.

Se l'evento B non si è verificato nel primo esperimento (è stata scelta una pallina bianca), il secondo esperimento viene eseguito se nell'urna sono presenti una pallina bianca e una nera e la probabilità che si verifichi l'evento A nel secondo esperimento è uguale a: P(A) = 1/2. Ovviamente, in questo caso, gli eventi A e B sono strettamente correlati e le probabilità del loro verificarsi sono dipendenti.

Probabilità condizionale l'evento A è la probabilità del suo verificarsi, a condizione che si verifichi l'evento B. La probabilità condizionata è simbolicamente indicata P(A/B).

Se la probabilità che si verifichi un evento UN non dipende dal verificarsi dell'evento IN, quindi la probabilità condizionata dell'evento UN uguale alla probabilità incondizionata:

Se la probabilità del verificarsi dell'evento A dipende dal verificarsi dell'evento B, allora la probabilità condizionata non potrà mai essere uguale alla probabilità incondizionata:

Identificare la dipendenza di vari eventi l'uno dall'altro è di grande importanza per risolvere problemi pratici. Ad esempio, un'ipotesi errata sull'indipendenza della comparsa di determinati sintomi durante la diagnosi di difetti cardiaci utilizzando un metodo probabilistico sviluppato presso l'Istituto di chirurgia cardiovascolare omonimo. A. N. Bakulev, ha causato circa il 50% delle diagnosi errate.

Capitolo 3.

Teoremi fondamentali della teoria della probabilità e conseguenze da essi

Teorema per la somma di probabilità incompatibili

Eventi

Il secondo capitolo ha mostrato come determinare la probabilità di un particolare evento casuale quando vengono soddisfatte determinate condizioni. Come sapete, le operazioni aritmetiche possono essere eseguite con eventi casuali, i principali sono l'addizione e la moltiplicazione di eventi. La teoria della probabilità consente, utilizzando i suoi teoremi di base, di trovare la probabilità della somma e del prodotto di eventi, cioè determinare la probabilità del verificarsi di almeno uno degli eventi considerati, oppure la probabilità del verificarsi simultaneo di questi eventi.

I principali teoremi della teoria della probabilità includono:

1. Teorema dell'addizione delle probabilità.

2. Teorema della moltiplicazione delle probabilità.

Consideriamo il teorema dell'addizione delle probabilità per un caso particolare. Facciamo finta che UN E IN eventi incompatibili e assumeremo che le probabilità di questi eventi siano note o possano essere trovate.

Teorema 3.1. La probabilità che si verifichi uno dei due eventi incompatibili è pari alla somma delle probabilità di questi eventi, cioè

Prova. Permettere N– il numero totale di tutti gli eventi elementari del test ugualmente possibili in cui possono comparire eventi UN O IN. Indichiamo con tA E tv numero di eventi elementari favorevoli agli eventi UN E IN rispettivamente. Dagli eventi UN E IN sono incompatibili, quindi la somma di questi eventi UN + IN favore tA+ tv eventi elementari. Ecco perché .

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza. La probabilità che si verifichi uno dei numerosi eventi incompatibili a coppie è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi, ad es.

Prova non è difficile da realizzare utilizzando il metodo dell'induzione matematica.

Esempio 3.1. Una scatola contiene 8 palline bianche, 5 nere e 10 rosse. Una pallina viene selezionata casualmente. Qual è la probabilità che questa pallina non sia bianca?

Soluzione. Lasciamo che l'evento UN– scegliendo una palla nera, IN– scegliendo una pallina rossa. Poi l'evento CON = UN + IN determina la scelta di una pallina non bianca (nera o rossa).

Secondo la formula classica . Per il Teorema 3.1 otteniamo infine .***

Esempio 3.2. L'azienda ha due posti vacanti, per i quali si candidano tre uomini e cinque donne. Trova la probabilità che tra le persone assunte ci sia almeno un uomo se la selezione dei candidati viene effettuata in modo casuale.

Soluzione. Lasciamo che l'evento CONè che tra le persone assunte ci sarà almeno un uomo. È ovvio che l'evento CON si verificherà quando si verifica uno dei seguenti due eventi incompatibili: UN– sono stati assunti due uomini; IN– sono stati assunti una donna e un uomo. Così, CON = UN + IN.

Troviamo le probabilità degli eventi UN E IN, utilizzando la formula classica, otteniamo

E .

Eventi UN E IN– sono incoerenti, quindi possiamo applicare il Teorema 3.1. Noi abbiamo. ■

Nel risolvere l’Esempio 3.2, l’unico evento possibile che non è stato considerato era che sarebbero state assunte due donne. Indichiamolo con la lettera D e trovarne la probabilità. Applicando la formula classica, otteniamo

.

Non è difficile comprendere quegli eventi UN, IN E D formare un gruppo completo per la prova: scelta tra due persone su otto. Troviamo la somma delle probabilità di questi eventi: . Il risultato ottenuto può essere presentato in forma generale.

Teorema 3.2. La somma delle probabilità degli eventi che formano un gruppo completo è pari a 1.

Prova. Lasciamo che gli eventi UN 1 , UN 2 , …, UN formare un gruppo completo per alcuni test. Quindi, per definizione, come risultato di questo test, si verificherà sicuramente uno degli eventi, ad es. la somma di questi eventi è un certo evento. La probabilità di un evento affidabile è 1. Pertanto, l'uguaglianza è vera:

Ricordiamo che, per definizione, un gruppo completo è costituito da eventi incompatibili. Allora, per il corollario del Teorema 3.1, otteniamo

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza. La somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a 1.

Prova segue direttamente dal fatto che gli eventi opposti formano un gruppo completo, quindi, per il Teorema 3.2, vale la formula

(3.3)

Dove UN E Ā - eventi opposti.

L'indagine è stata dimostrata.

Quando si risolvono i problemi, viene utilizzata più spesso la formula trasformata (3.3), vale a dire

(3.4)

Esempio 3.3. Dei nove candidati alla selezione per i tre posti, cinque si sono laureati con il massimo dei voti. Tutti hanno le stesse possibilità di essere selezionati per queste posizioni. Determinare la probabilità che tra i selezionati ce ne sia almeno uno con la laurea con lode.

Soluzione. Lasciamo che l'evento UN significa che tra i candidati selezionati almeno uno ha la laurea con lode. È ovvio che l'evento Ā opposto UN sarà che tutte e tre le persone selezionate non hanno una laurea con lode. Troviamo la probabilità dell'evento opposto. Per fare ciò, applichiamo la formula classica, otteniamo

.

Utilizzando la formula (3.3) troviamo la probabilità dell'evento UN:

. ■

La soluzione dell'Esempio 3.3 può essere ottenuta anche in un altro modo, più lungo. Non è difficile comprendere l'evento UNè la somma dei seguenti eventi:

UN 1 – tra i selezionati vi è un solo candidato con diploma con lode;

UN 2 – tra i selezionati due candidati con diploma con lode;

UN 3 – tra i selezionati tre candidati con diploma con lode.

Usando la formula classica otteniamo

È ovvio che gli eventi UN 1 , UN 2 , UN 3 sono incoerenti, quindi possiamo applicare il Teorema 3.3. Così

È chiaro che la prima soluzione è molto più semplice.

Nei teoremi e negli esempi sopra discussi si presupponeva l'incompatibilità dei corrispondenti eventi casuali. Naturalmente può sorgere un problema in cui è necessario trovare la probabilità del verificarsi di almeno uno degli eventi congiunti. Il Teorema 3.1 non può essere applicato in questo caso. Esiste una forma più generale del teorema dell'addizione di probabilità che utilizza il concetto di probabilità di un prodotto di eventi.

Teorema per la moltiplicazione delle probabilità degli eventi

Consideriamo qualche test in cui può verificarsi un evento casuale UN. Se, a parte le condizioni del test, non ci sono restrizioni per l'evento UN non esiste, allora la probabilità dell'evento UN chiamato probabilità incondizionata. Se vengono specificate alcune condizioni aggiuntive, allora probabilità condizionale quest'evento. Molto spesso, condizioni aggiuntive sono associate al verificarsi di un altro evento casuale. Quindi, quando si analizza un particolare fenomeno, può sorgere la domanda: influisce la possibilità che si verifichi un determinato evento UN il verificarsi di un altro evento casuale IN e se lo fa, come? Ad esempio, l'offensiva IN porta al verificarsi obbligatorio di un evento UN o, al contrario, esclude la possibilità che un evento si verifichi UN, o forse cambia solo il valore della probabilità. È facile capire che se un evento INè favorevole all'evento UN, quindi quando si verifica l'evento IN evento UN si verifica sempre, o se UN E IN– due eventi incompatibili in una determinata prova, quindi quando si verifica l'evento IN evento UN non accadrà mai. Tuttavia, questi sono i cosiddetti casi limite. L'interesse maggiore nasce quando si verifica un evento IN in qualche modo cambia (aumenta o diminuisce) la probabilità che si verifichi un evento UN, senza trasformarlo in un evento affidabile o impossibile in nuove condizioni. La caratteristica di tale influenza di un evento su un altro è la probabilità condizionata.

Probabilità condizionale eventi UN dato che IN chiamata probabilità di un evento UN, calcolato presupponendo che l'evento INè già successo.

Allo stesso modo, possiamo determinare la probabilità condizionata di un evento IN, a condizione che l'evento UNè già successo.

Esempio 3.4. In un'urna ci sono 6 palline bianche e 8 nere. Due palline vengono rimosse casualmente dall'urna una dopo l'altra senza reinserirle. Qual è la probabilità che la seconda pallina sia bianca se anche la prima pallina viene estratta bianca?

Soluzione . Lasciamo che l'evento UNè che la seconda pallina sarà bianca, e l'evento IN che la prima pallina è bianca. Il problema richiede di trovare la probabilità di un evento UN, a condizione che l'evento INè successo, cioè Trovare . Se l'evento IN successo, nell'urna rimangono 13 palline, di cui 5 bianche. Pertanto, la probabilità di estrarre una pallina bianca da 13, di cui 5 bianche, è uguale a .■

Notiamo due punti.

Innanzitutto per l'evento UN si può trovare non solo la sua probabilità condizionata, ma anche la cosiddetta probabilità totale dell'evento, cioè la probabilità che la seconda pallina sia bianca quando una pallina viene scelta per prima. Trovare tale probabilità sarà discusso nel paragrafo 3.4.

In secondo luogo, la condizione dell'esempio può essere modificata in modo che il colore della prima pallina selezionata non influenzi affatto la probabilità che l'evento si verifichi UN. Supponiamo che le palline, dopo aver fissato il loro colore, vengano rimesse nell'urna. Poi, ovviamente, la probabilità dell'evento UN non dipende dal colore scelto per la prima pallina, ad es. dal verificarsi (o dal mancato verificarsi) di un evento IN. In questo caso , cioè. probabilità di un evento UN coincide con la probabilità condizionata di questo evento. Gli eventi stessi UN E IN sono indipendenti in questo test.

Due eventi UN E IN sono chiamati indipendente, se la probabilità del verificarsi di ciascuno di essi non dipende dal fatto che si sia verificato o meno un altro evento. Altrimenti, gli eventi vengono chiamati dipendente.

Dalla definizione segue quella per eventi indipendenti UN E IN valgono le seguenti formule:

. (3.5)

Otteniamo una formula per trovare la probabilità condizionata utilizzando la definizione classica. Lascia che il test consista in N eventi elementari ugualmente possibili. Numero di eventi favorevoli all'evento UN, equivale tA; evento IN – tv; la produzione di eventi AB – tAB. E 'ovvio che . Dall'evento IN favori tv risultati, di cui solo tA favore UN, allora la probabilità condizionata è uguale a

. Alla fine, otteniamo

(3.6)

È necessario prestare attenzione al fatto che il denominatore nella formula (3.6) è diverso da zero, poiché per condizione l'evento IN può succedere, cioè tv non uguale a zero.

Ragionando in modo simile, possiamo ottenere una formula per la probabilità condizionata di un evento IN: . Ma dall'evento AB non è diverso dall'evento VA E , quindi la probabilità condizionata dell'evento IN può essere determinato dalla formula

(3.7)

Nei corsi più completi di teoria della probabilità che utilizzano l'approccio assiomatico, le formule (3.6) e (3.7) sono prese come definizione di probabilità condizionata, e le formule (3.5) sono prese come definizione di eventi indipendenti.

Il seguente teorema della moltiplicazione delle probabilità segue direttamente dalle formule (3.6) e (3.7).

Teorema 3.2. La probabilità del verificarsi simultaneo di due eventi casuali è pari al prodotto della probabilità di un evento e della probabilità condizionata dell'altro, calcolata presupponendo che il primo evento si sia già verificato, ad es.

(3.8)

Conseguenza. La probabilità del verificarsi simultaneo di più eventi casuali è uguale al prodotto della probabilità di un evento e delle probabilità condizionate di tutti gli altri, mentre la probabilità di ciascun evento successivo viene calcolata presupponendo che tutti gli eventi precedenti si siano già verificati, ad es.

Esempio 3.5. Ci sono 20 biglietti della lotteria, di cui 5 vincenti. 3 biglietti vengono selezionati casualmente uno dopo l'altro senza restituzione. Determina la probabilità che il primo, il secondo e il terzo biglietto siano vincenti.

Soluzione. Lasciamo che l'evento UNè che verrà scelto per primo il biglietto vincente, l'evento IN– che il secondo biglietto sarà vincente e, infine, CON– il terzo biglietto è vincente. E' ovvio .

Probabilità condizionata di un evento IN a condizione che l'evento UNè successo, cioè dalla lotteria è stato selezionato un biglietto vincente, pari a (rimangono 19 biglietti di cui 4 vincenti).

Probabilità condizionata di un evento CON a condizione che gli eventi UN E INè successo, cioè sono stati selezionati due biglietti vincenti, pari a .

Per il corollario del Teorema 3.2, la probabilità del prodotto è pari a

Va notato che il Problema 3.5 può essere risolto utilizzando la formula classica e le formule combinatorie:

.

Il Teorema 3.2 vale per ogni evento casuale UN E IN. Nel caso speciale in cui gli eventi UN E IN sono indipendenti, è vera la seguente affermazione.

Teorema 3.3 . Probabilità del verificarsi contemporaneo di due eventi incompatibili UN E INè uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi, cioè

Prova. Eventi UN E IN– indipendente. Per il Teorema 3.2, tenendo conto della formula (3.5), otteniamo

Il teorema è stato dimostrato.

Quindi, il Teorema 3.3 dice che la probabilità di un prodotto di eventi indipendenti si trova con la formula (3.9). È vero anche il contrario.

Teorema 3.4. Se la formula (3.9) è vera per due eventi, allora questi eventi sono indipendenti.

Presentiamo senza prova diverse proprietà importanti che sono valide per eventi indipendenti.

1. Se l'evento IN non dipende da UN, quindi l'evento UN non dipende da IN.

2. Se gli eventi UN E IN- sono indipendenti, quindi gli eventi sono indipendenti UN E .

3. Se due eventi sono indipendenti, anche gli eventi ad essi opposti sono indipendenti.

Il Teorema 3.3 può essere generalizzato ad un numero finito di eventi. Prima di fare ciò, però, è necessario soffermarsi più in dettaglio sul concetto di indipendenza di tre o più eventi.

Per un gruppo composto da tre o più eventi, esiste il concetto di indipendenza a coppie e indipendenza nell'aggregato.

Eventi UN 1 , UN 2 , …, UN sono chiamati indipendenti a coppie, se due qualsiasi di questi eventi sono indipendenti.

Eventi UN 1 , UN 2 , …, UN sono chiamati indipendenti nel complesso ( o semplicemente indipendente), se sono indipendenti a coppie e ogni evento e tutti i possibili prodotti di tutti gli altri sono indipendenti.

Ad esempio, tre eventi UN 1 , UN 2 , UN 3 sono collettivamente indipendenti se sono indipendenti i seguenti eventi:

UN 1 e UN 2 , UN 1 e UN 3 , UN 2 e UN 3 ,

UN 1 e UN 2 UN 3 , UN 2 e UN 1 UN 3 , UN 3 e UN 1 UN 2 .

Teorema 3.5 . Se gli eventi UN 1 , UN 2 , …, UN sono indipendenti nel complesso, quindi la probabilità del loro verificarsi simultaneo è calcolata dalla formula:

Prova. Mostriamo che la formula è corretta per tre eventi. Se gli eventi sono più di tre, la validità della formula viene dimostrata con il metodo dell'induzione matematica.

Quindi, mostriamolo. Secondo le condizioni del teorema degli eventi UN 1 , UN 2 , UN I 3 sono collettivamente indipendenti. Pertanto, ad esempio, due eventi sono indipendenti UN 1 UN 2 e UN 3. Secondo la formula (3.9), otteniamo . Per condizione dell'evento UN 1 e UN 2 sono anche indipendenti. Applicando la formula (3.9) al primo fattore, otteniamo infine .

Il teorema è stato dimostrato.

Va notato che se gli eventi sono indipendenti a coppie, non ne consegue che saranno indipendenti nel complesso. E, al contrario, se gli eventi sono indipendenti nel loro insieme, allora ovviamente, per definizione, saranno indipendenti a coppie.

Consideriamo un esempio di eventi indipendenti a coppie, ma dipendenti collettivamente.

Esempio 3.6. Lascia che una scatola contenga 4 carte identiche con numeri scritti sopra:

Seleziona casualmente una carta. Evento UN significa che hai scelto una carta con sopra il numero 1, un evento IN presuppone che la carta selezionata abbia il numero 2, evento CON– numero 3. Scopri se gli eventi lo sono UN, IN E CON indipendenti a coppie o congiuntamente indipendenti.

Soluzione. Probabilità di ciascun evento UN, IN E CON si trovano utilizzando la formula classica (ci sono 4 carte in totale, due di queste hanno rispettivamente i numeri 1, 2, 3): .

Mostriamo questi eventi UN, IN E CON indipendenti a coppie. Scegliamo due eventi qualsiasi, ad esempio, UN E IN. La probabilità del loro prodotto è , poiché l'apparizione simultanea dei numeri 1 e 2 può avvenire solo su una carta su quattro.

Quindi l’uguaglianza è vera . Per il Teorema 3.4 eventi UN E IN indipendente. Allo stesso modo, possiamo dimostrare l’indipendenza degli eventi IN E CON, così come gli eventi UN E CON. L'indipendenza a coppie è stata dimostrata.

Mostriamo che questi eventi non sono indipendenti nel loro insieme. La probabilità del verificarsi simultaneo di tutti e tre gli eventi, ad es. l'aspetto di tutti e tre i numeri è uguale a , poiché solo una carta su quattro ha tutti e tre i numeri. Il prodotto delle probabilità degli eventi è pari a . Così, , pertanto, non vi è alcuna indipendenza nel complesso. ■

Dal teorema della moltiplicazione delle probabilità e dal teorema dell'addizione delle probabilità di eventi incompatibili, segue direttamente il teorema dell'addizione delle probabilità di eventi compatibili.

Istituzione educativa "Stato bielorusso

Accademia Agraria"

Dipartimento di Matematica Superiore

ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE DELLE PROBABILITÀ. TEST INDIPENDENTI RIPETUTI

Lezione per gli studenti della Facoltà di Gestione del Territorio

corsi per corrispondenza

Gorki, 2012

Addizione e moltiplicazione di probabilità. Ripetuto

test indipendenti

1. Aggiunta di probabilità

La somma di due eventi congiunti UN E IN chiamato evento CON, consistente nel verificarsi di almeno uno degli eventi UN O IN. Allo stesso modo, la somma di più eventi congiunti è un evento costituito dal verificarsi di almeno uno di questi eventi.

La somma di due eventi incompatibili UN E IN chiamato evento CON costituito da un evento o da un evento UN o eventi IN. Allo stesso modo, la somma di più eventi incompatibili è un evento costituito dal verificarsi di uno qualsiasi di questi eventi.

Vale il teorema per sommare le probabilità di eventi incompatibili: la probabilità della somma di due eventi incompatibili è pari alla somma delle probabilità di questi eventi , cioè. . Questo teorema può essere esteso a qualsiasi numero finito di eventi incompatibili.

Da questo teorema segue:

la somma delle probabilità degli eventi che formano un gruppo completo è pari a uno;

la somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a uno, cioè
.

Esempio 1 . La scatola contiene 2 palline bianche, 3 rosse e 5 blu. Si mescolano le palline e se ne estrae una a caso. Qual è la probabilità che la pallina venga colorata?

Soluzione . Indichiamo gli eventi:

UN=(palla colorata estratta);

B=(palla bianca estratta);

C=(palla rossa estratta);

D=(palla blu estratta).

Poi UN= C+ D. Dagli eventi C, D sono inconsistenti, allora utilizzeremo il teorema per sommare le probabilità di eventi incompatibili: .

Esempio 2 . L'urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Si estraggono a caso 3 palline dall'urna. Qual è la probabilità che siano tutti dello stesso colore?

Soluzione . Indichiamo gli eventi:

UN=(si estraggono palline dello stesso colore);

B=(le palline bianche vengono eliminate);

C=(le palline nere vengono eliminate).

Perché UN= B+ C ed eventi IN E CON sono incoerenti, quindi dal teorema di addizione delle probabilità di eventi incompatibili
. Probabilità dell'evento IN uguale a
, Dove
4,

. Sostituiamo K E N nella formula e otteniamo
Allo stesso modo, troviamo la probabilità dell'evento CON:
, Dove
,
, cioè.
. Poi
.

Esempio 3 . Da un mazzo di 36 carte si estraggono 4 carte a caso. Trova la probabilità che tra loro ci siano almeno tre assi.

Soluzione . Indichiamo gli eventi:

UN=(tra le carte estratte ci sono almeno tre assi);

B=(tra le carte estratte ci sono tre assi);

C=(tra le carte estratte ci sono quattro assi).

Perché UN= B+ C ed eventi IN E CON sono incompatibili, quindi
. Troviamo le probabilità degli eventi IN E CON:

,
. Pertanto, la probabilità che tra le carte pescate ci siano almeno tre assi è pari a

0.0022.

1. Moltiplicazione delle probabilità

Il lavoro due eventi UN E IN chiamato evento CON, consistente nel verificarsi congiunto di tali eventi:
. Questa definizione si applica a qualsiasi numero finito di eventi.

I due eventi vengono chiamati indipendente , se la probabilità che uno di essi si verifichi non dipende dal verificarsi o meno dell'altro evento. Eventi , , … , sono chiamati collettivamente indipendenti , se la probabilità del verificarsi di ciascuno di essi non dipende dal verificarsi o meno di altri eventi.

Esempio 4 . Due tiratori sparano al bersaglio. Indichiamo gli eventi:

UN=(il primo tiratore ha centrato il bersaglio);

B=(il secondo tiratore ha colpito il bersaglio).

Ovviamente, la probabilità che il primo tiratore colpisca il bersaglio non dipende dal fatto che il secondo tiratore abbia colpito o mancato, e viceversa. Eventi, dunque UN E IN indipendente.

Vale il teorema per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti: la probabilità del prodotto di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi : .

Questo teorema vale anche per N eventi collettivamente indipendenti: .

Esempio 5 . Due tiratori sparano allo stesso bersaglio. La probabilità di colpire il primo tiratore è 0,9 e il secondo è 0,7. Entrambi i tiratori sparano un colpo alla volta. Determina la probabilità che ci siano due colpi sul bersaglio.

Soluzione . Indichiamo gli eventi:

UN

B

C=(entrambi i tiratori colpiranno il bersaglio).

Perché
ed eventi UN E IN sono indipendenti, quindi
, cioè. .

Eventi UN E IN sono chiamati dipendente , se la probabilità che uno di essi si verifichi dipende dal fatto che si sia verificato o meno un altro evento. Probabilità che si verifichi un evento UN a condizione che l'evento INè già arrivato, si chiama probabilità condizionale ed è designato
O
.

Esempio 6 . L'urna contiene 4 palline bianche e 7 nere. Si estraggono le palline dall'urna. Indichiamo gli eventi:

UN=(palla bianca estratta) ;

B=(palla nera estratta).

Prima di iniziare a rimuovere le palline dall'urna
. Una palla è stata presa dall'urna e si è rivelata nera. Poi la probabilità dell'evento UN dopo l'evento IN ce ne sarà un altro, uguale . Ciò significa che la probabilità di un evento UN dipende dall'evento IN, cioè. questi eventi saranno dipendenti.

Vale il teorema per moltiplicare le probabilità degli eventi dipendenti: la probabilità che si verifichino due eventi dipendenti è pari al prodotto della probabilità di uno di essi e della probabilità condizionata dell'altro, calcolata assumendo che il primo evento si sia già verificato, cioè. O .

Esempio 7 . L'urna contiene 4 palline bianche e 8 palline rosse. Da esso vengono estratte a caso due palline in sequenza. Trova la probabilità che entrambe le palline siano nere.

Soluzione . Indichiamo gli eventi:

UN=(la pallina nera viene estratta per prima);

B=(viene estratta la seconda pallina nera).

Eventi UN E IN dipendente perché
, UN
. Poi
.

Esempio 8 . Tre tiratori sparano al bersaglio indipendentemente l'uno dall'altro. La probabilità di colpire il bersaglio per il primo tiratore è 0,5, per il secondo – 0,6 e per il terzo – 0,8. Trovare la probabilità che vengano messi a segno due colpi sul bersaglio se ciascun tiratore spara un colpo.

Soluzione . Indichiamo gli eventi:

UN=(ci saranno due colpi sul bersaglio);

B=(il primo tiratore colpirà il bersaglio);

C=(il secondo tiratore colpirà il bersaglio);

D=(il terzo tiratore colpirà il bersaglio);

=(il primo tiratore non colpirà il bersaglio);

=(il secondo tiratore non colpirà il bersaglio);

=(il terzo tiratore non colpirà il bersaglio).

Secondo l'esempio
,
,
,

,
,
. Poiché , quindi utilizzando il teorema per sommare le probabilità di eventi incompatibili e il teorema per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti, otteniamo:

Lasciamo che gli eventi
formare un gruppo completo di eventi di alcuni test e gli eventi UN può verificarsi solo con uno di questi eventi. Se le probabilità e le probabilità condizionate di un evento sono note UN, allora la probabilità dell'evento A viene calcolata con la formula:

O
. Questa formula si chiama formula di probabilità totale ed eventi
ipotesi .

Esempio 9 . La catena di montaggio riceve 700 pezzi dalla prima macchina e 300 pezzi dal secondo. La prima macchina produce lo 0,5% di rottami e la seconda lo 0,7%. Trova la probabilità che la parte presa sia difettosa.

Soluzione . Indichiamo gli eventi:

UN=(la parte presa sarà difettosa);

=(il pezzo è stato realizzato sulla prima macchina);

=(il pezzo viene realizzato sulla seconda macchina).

La probabilità che il pezzo venga realizzato sulla prima macchina è pari a
. Per la seconda macchina
. A seconda della condizione, la probabilità di ricevere una parte difettosa realizzata sulla prima macchina è pari a
. Per la seconda macchina questa probabilità è uguale a
. Quindi la probabilità che il pezzo preso sia difettoso viene calcolata utilizzando la formula della probabilità totale

Se è noto che si è verificato un evento a seguito del test UN, quindi la probabilità che questo evento si sia verificato con l'ipotesi
, è uguale
, Dove
- probabilità totale di un evento UN. Questa formula si chiama Formula di Bayes e permette di calcolare le probabilità degli eventi
dopo che si è saputo dell'evento UNè già arrivato.

Esempio 10 . Lo stesso tipo di ricambi per automobili viene prodotto in due stabilimenti e consegnato al negozio. Il primo impianto produce l'80% del numero totale di parti e il secondo il 20%. I prodotti del primo stabilimento contengono il 90% di parti standard e il secondo il 95%. L'acquirente ha acquistato una parte e si è rivelata standard. Trova la probabilità che questa parte sia stata prodotta nel secondo stabilimento.

Soluzione . Indichiamo gli eventi:

UN=(parte standard acquistata);

=(il pezzo è stato prodotto nel primo stabilimento);

=(la parte è stata prodotta nel secondo stabilimento).

Secondo l'esempio
,
,
E
. Calcoliamo la probabilità totale dell'evento UN: 0,91. Calcoliamo la probabilità che il pezzo sia stato prodotto nel secondo stabilimento utilizzando la formula di Bayes:

.

Compiti per lavoro indipendente

La probabilità di colpire il bersaglio per il primo tiratore è 0,8, per il secondo – 0,7 e per il terzo – 0,9. I tiratori hanno sparato un colpo ciascuno. Trova la probabilità che ci siano almeno due colpi sul bersaglio.

L'officina ha ricevuto 15 trattori. È noto che 6 di essi devono sostituire il motore e il resto deve sostituire i singoli componenti. Si scelgono a caso tre trattori. Trovare la probabilità che sia necessaria la sostituzione del motore per non più di due trattori selezionati.

Lo stabilimento di cemento armato produce pannelli, l'80% dei quali sono di altissima qualità. Trovare la probabilità che su tre gruppi selezionati casualmente, almeno due abbiano il voto più alto.

Tre operai stanno assemblando i cuscinetti. La probabilità che il cuscinetto assemblato dal primo lavoratore sia della massima qualità è 0,7, dal secondo – 0,8 e dal terzo – 0,6. Per il controllo è stato preso a caso un cuscinetto tra quelli assemblati da ciascun lavoratore. Trova la probabilità che almeno due di essi siano della massima qualità.

La probabilità di vincere il primo biglietto della lotteria è 0,2, il secondo è 0,3 e il terzo è 0,25. C'è un biglietto per ogni edizione. Trova la probabilità che si vincano almeno due biglietti.

Il contabile esegue i calcoli utilizzando tre libri di consultazione. La probabilità che i dati a cui è interessato si trovino nella prima directory è 0,6, nella seconda - 0,7 e nella terza - 0,8. Trovare la probabilità che i dati a cui è interessato il contabile siano contenuti in non più di due directory.

Tre macchine producono pezzi. La prima macchina produce un pezzo di massima qualità con probabilità 0,9, la seconda con probabilità 0,7 e la terza con probabilità 0,6. Una parte viene prelevata a caso da ciascuna macchina. Trova la probabilità che almeno due di essi siano della massima qualità.

Lo stesso tipo di pezzi viene lavorato su due macchine. La probabilità di produrre un pezzo non standard per la prima macchina è 0,03, per la seconda – 0,02. Le parti lavorate vengono conservate in un unico posto. Di questi, il 67% proviene dalla prima macchina e il resto dalla seconda. La parte presa a caso si è rivelata standard. Trova la probabilità che sia stato realizzato sulla prima macchina.

L'officina ha ricevuto due scatole dello stesso tipo di condensatori. La prima scatola conteneva 20 condensatori di cui 2 difettosi. La seconda scatola contiene 10 condensatori di cui 3 difettosi. I condensatori sono stati collocati in una scatola. Trovare la probabilità che un condensatore preso a caso da una scatola sia in buone condizioni.

Tre macchine producono lo stesso tipo di pezzi, che vengono forniti a un trasportatore comune. Di tutti i pezzi, il 20% proviene dalla prima macchina, il 30% dalla seconda e 505 dalla terza. La probabilità di produrre un pezzo standard sulla prima macchina è 0,8, sulla seconda – 0,6 e sulla terza – 0,7. La parte presa si è rivelata standard. Trova la probabilità che questa parte sia stata realizzata sulla terza macchina.

L'assemblatore riceve il 40% dei pezzi dalla fabbrica per l'assemblaggio UN e il resto - dalla fabbrica IN. La probabilità che la parte provenga dalla fabbrica UN– qualità superiore, pari a 0,8, e di fabbrica IN– 0,9. L'assemblatore ha preso un pezzo a caso e si è rivelato di scarsa qualità. Trova la probabilità che questa parte provenga dalla fabbrica IN.

10 studenti del primo gruppo e 8 del secondo sono stati assegnati a partecipare alle competizioni sportive studentesche. La probabilità che uno studente del primo gruppo venga incluso nel team dell'accademia è 0,8 e del secondo - 0,7. Uno studente selezionato casualmente è stato incluso nel team. Trova la probabilità che appartenga al primo gruppo.

Teorema dell'addizione di probabilità

Consideriamo eventi casuali incompatibili.

È noto che eventi casuali incompatibili $A$ e $B$ nella stessa prova hanno probabilità di verificarsi rispettivamente $P\left(A\right)$ e $P\left(B\right)$. Troviamo la probabilità della somma $A+B$ di questi eventi, cioè la probabilità che si verifichi almeno uno di essi.

Supponiamo che in un dato test il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili sia $n$. Di questi, gli eventi $A$ e $B$ sono favoriti rispettivamente dagli eventi elementari $m_(A) $ e $m_(B) $. Poiché gli eventi $A$ e $B$ sono incompatibili, l'evento $A+B$ è favorito dagli eventi elementari $m_(A) +m_(B)$. Abbiamo $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\sinistra(A\destra)+P\sinistra(B\destra)$.

Teorema 1

La probabilità della somma di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità.

Nota 1

Corollario 1. La probabilità della somma di un numero qualsiasi di eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.

Corollario 2. La somma delle probabilità di un gruppo completo di eventi incompatibili (la somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari) è uguale a uno.

Corollario 3. La somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a uno, poiché formano un gruppo completo di eventi incompatibili.

Esempio 1

La probabilità che in città non piova mai per un certo periodo è $p=0,7$. Calcolare la probabilità $q$ che nello stesso periodo piova in città almeno una volta.

Opposti sono i fatti “da qualche tempo in città non pioveva mai” e “da qualche tempo in città pioveva almeno una volta”. Pertanto $p+q=1$, da cui $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Consideriamo eventi casuali congiunti.

È noto che gli eventi casuali congiunti $A$ e $B$ nella stessa prova hanno probabilità di verificarsi rispettivamente $P\left(A\right)$ e $P\left(B\right)$. Troviamo la probabilità della somma $A+B$ di questi eventi, cioè la probabilità che si verifichi almeno uno di essi.

Supponiamo che in un dato test il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili sia $n$. Di questi, gli eventi $A$ e $B$ sono favoriti rispettivamente dagli eventi elementari $m_(A) $ e $m_(B) $. Poiché gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili, allora sul numero totale di eventi elementari $m_(A) +m_(B) $, un certo numero di $m_(AB) $ favorisce entrambi l'evento $A $ e l'evento $B$, cioè la loro occorrenza congiunta (produzione degli eventi $A\cdot B$). Questa quantità $m_(AB) $ è entrata contemporaneamente sia $m_(A) $ che $m_(B) $ Quindi l'evento $A+B$ è favorito da $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ eventi elementari. Abbiamo: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\sinistra(A\destra)+P\sinistra(B\destra)-P\sinistra(A\cdot B\ giusto )$.

Teorema 2

La probabilità della somma di due eventi congiunti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi meno la probabilità del loro prodotto.

Commento. Se gli eventi $A$ e $B$ non sono coerenti, allora il loro prodotto $A\cdot B$ è un evento impossibile, la cui probabilità $P\left(A\cdot B\right)=0$. Di conseguenza, la formula per sommare le probabilità di eventi incompatibili è un caso speciale della formula per sommare le probabilità di eventi congiunti.

Esempio 2

Trova la probabilità che lanciando due dadi contemporaneamente il numero 5 appaia almeno una volta.

Lanciando due dadi contemporaneamente, il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili è $n=36$, poiché per ogni numero del primo dado possono apparire sei numeri del secondo dado. Di questi, l'evento $A$ - la caduta del numero 5 sul primo dado - viene eseguito 6 volte, l'evento $B$ - la caduta del numero 5 sul secondo dado - viene ripetuto 6 volte. Su tutte le dodici volte, il numero 5 appare una volta su entrambi i dadi. Pertanto, $P\sinistra(A+B\destra)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

Teorema della moltiplicazione delle probabilità

Consideriamo eventi indipendenti.

Gli eventi $A$ e $B$ che si verificano in due prove consecutive si dicono indipendenti se la probabilità che si verifichi l'evento $B$ non dipende dal fatto che l'evento $A$ si sia verificato o meno.

Ad esempio, supponiamo che in un'urna ci siano 2 palline bianche e 2 nere. La prova consiste nel recuperare la palla. L'evento $A$ è "la pallina bianca viene estratta nella prima prova". Probabilità $P\sinistra(A\destra)=\frac(1)(2) $. Dopo la prima prova, la palla è stata rimessa a posto ed è stata eseguita una seconda prova. Evento $B$ -- "nella seconda prova viene estratta la pallina bianca". Probabilità $P\sinistra(B\destra)=\frac(1)(2) $. La probabilità $P\sinistra(B\destra)$ non dipende dal fatto che l'evento $A$ sia avvenuto o meno, quindi gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti.

È noto che gli eventi casuali indipendenti $A$ e $B$ di due prove consecutive hanno probabilità di verificarsi rispettivamente $P\left(A\right)$ e $P\left(B\right)$. Troviamo la probabilità del prodotto $A\cdot B$ di questi eventi, cioè la probabilità del loro verificarsi congiunto.

Supponiamo che nel primo test il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili sia $n_(1) $. Di questi, l'evento $A$ è favorito dagli eventi elementari $m_(1)$. Supponiamo inoltre che nel secondo test il numero di tutti gli eventi elementari ugualmente possibili sia $n_(2) $. Di questi, l'evento $B$ è favorito dagli eventi elementari $m_(2)$. Consideriamo ora un nuovo evento elementare, che consiste nel verificarsi sequenziale degli eventi della prima e della seconda prova. Il numero totale di tali eventi elementari ugualmente possibili è pari a $n_(1) \cdot n_(2) $. Poiché gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti, da questo numero l'occorrenza congiunta dell'evento $A$ e dell'evento $B$ (il prodotto degli eventi $A\cpunto B$) è favorita da $m_(1) \ cdot m_(2) $ eventi . Abbiamo: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\sinistra(A\destra)\cdot P\sinistra(B\destra)$.

Teorema 3

La probabilità del prodotto di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi.

Consideriamo gli eventi dipendenti.

In due prove consecutive si verificano gli eventi $A$ e $B$. Un evento $B$ si dice dipendente da un evento $A$ se la probabilità del verificarsi di un evento $B$ dipende dal fatto che l'evento $A$ si sia verificato o meno. Quindi la probabilità dell'evento $B$, calcolata a condizione che si verificasse l'evento $A$, è chiamata probabilità condizionata dell'evento $B$ dato $A$ ed è indicata con $P\left(B/A\ destra)$.

Ad esempio, supponiamo che in un'urna ci siano 2 palline bianche e 2 nere. La prova è la rimozione della palla. L'evento $A$ è "la pallina bianca viene estratta nella prima prova". Probabilità $P\sinistra(A\destra)=\frac(1)(2) $. Dopo la prima prova, la palla non viene rimessa a posto e viene eseguita la seconda prova. Evento $B$ -- "nella seconda prova viene estratta la pallina bianca". Se nella prima prova viene estratta una pallina bianca, la probabilità è $P\sinistra(B/A\destra)=\frac(1)(3) $. Se nella prima prova viene estratta una pallina nera, la probabilità è $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Pertanto, la probabilità dell'evento $B$ dipende dal fatto che l'evento $A$ si sia verificato o meno, quindi l'evento $B$ dipende dall'evento $A$.

Supponiamo che gli eventi $A$ e $B$ si verifichino in due prove consecutive. È noto che l'evento $A$ ha una probabilità di verificarsi $P\left(A\right)$. È anche noto che l'evento $B$ dipende dall'evento $A$ e la sua probabilità condizionata dato $A$ è uguale a $P\sinistra(B/A\destra)$.

Teorema 4

La probabilità del prodotto di un evento $A$ e di un evento dipendente $B$, cioè la probabilità del loro verificarsi congiunto, può essere trovata dalla formula $P\left(A\cdot B\right)=P\ sinistra(A\destra)\cdot P\sinistra(B/A\destra)$.

È valida anche la formula simmetrica $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, dove si presuppone che l'evento $A$ dipendere dall'evento $ B$.

Per le condizioni dell'ultimo esempio, troviamo la probabilità che la pallina bianca venga estratta in entrambe le prove. Tale evento è il prodotto degli eventi $A$ e $B$. La sua probabilità è pari a $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.