Kokonaisluku- ja murtolukuyhtälöiden ratkaiseminen. Matematiikan rationaaliyhtälöjärjestelmät Kahden muuttujan rationaalisen yhtälön määritelmä

Kirjoittajan lähestymistapa tähän aiheeseen ei ole sattumaa. Kahden muuttujan yhtälöitä kohdataan ensimmäisen kerran 7. luokan kurssilla. Yhdellä yhtälöllä, jossa on kaksi muuttujaa, on ääretön määrä ratkaisuja. Tämä näkyy selvästi lineaarisen funktion kaaviossa, joka on annettu muodossa ax + by=c. Koulukurssilla opiskelijat opiskelevat kahden yhtälön järjestelmiä kahdella muuttujalla. Seurauksena on, että opettajan ja siten myös opiskelijan näkökulmasta putoaa joukko ongelmia, joilla on rajoitetut ehdot yhtälön kertoimelle, sekä menetelmät niiden ratkaisemiseksi.

Puhumme yhtälön ratkaisemisesta, jossa on kaksi tuntematonta kokonaislukua tai luonnollista lukua.

Koulussa luonnollisia lukuja ja kokonaislukuja opiskellaan luokilla 4-6. Koulusta valmistuessaan kaikki opiskelijat eivät muista näiden numeroiden välisiä eroja.

Kuitenkin ongelma, kuten "ratkaise yhtälö muodossa ax + by=c kokonaislukuina", löytyy yhä useammin yliopistojen pääsykokeista ja Unified State Examination materiaaleista.

Epävarmien yhtälöiden ratkaiseminen kehittää loogista ajattelua, älykkyyttä ja analyysikykyä.

Ehdotan, että kehitetään useita oppitunteja tästä aiheesta. Minulla ei ole selkeitä suosituksia näiden oppituntien ajoituksesta. Joitakin elementtejä voidaan käyttää myös 7. luokalla (vahvaan luokkaan). Nämä oppitunnit voidaan ottaa pohjaksi ja kehittää pieni valinnainen kurssi esiammatillisesta koulutuksesta 9. luokalla. Ja tietysti tätä materiaalia voidaan käyttää luokilla 10-11 valmistautumaan kokeisiin.

Oppitunnin tarkoitus:

• tiedon toisto ja yleistäminen aiheesta "Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt"
• herättää kognitiivista kiinnostusta aihetta kohtaan
• kehittää kykyä analysoida, tehdä yleistyksiä, siirtää tietoa uuteen tilanteeseen

Oppitunti 1.

Tuntien aikana.

1) Org. hetki.

2) Perustietojen päivittäminen.

Määritelmä. Lineaarinen yhtälö kaksi muuttujaa kutsutaan muodon yhtälöksi

mx + ny = k, missä m, n, k ovat lukuja, x, y ovat muuttujia.

Esimerkki: 5x+2y=10

Määritelmä. Ratkaisu kahdella muuttujalla olevaan yhtälöön on muuttujien arvojen pari, joka muuttaa yhtälön todelliseksi yhtälöksi.

Yhtälöitä, joissa on kaksi muuttujaa, joilla on samat ratkaisut, kutsutaan ekvivalenteiksi.

1. 5x+2y = 12 (2)y = -2,5x+6

Tällä yhtälöllä voi olla mikä tahansa määrä ratkaisuja. Tätä varten riittää, että otat minkä tahansa x-arvon ja etsit vastaavan y-arvon.

Olkoon x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Lukuparit (2;1); (4;-4) – yhtälön (1) ratkaisut.

Tällä yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua.

3) Historiallinen tausta

Epämääräiset (diofantiini) yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka sisältävät useamman kuin yhden muuttujan.

3. vuosisadalla. ILMOITUS – Diophantus Aleksandrialainen kirjoitti "Aritmeettisen", jossa hän laajensi lukujoukon rationaalisiin lukuihin ja esitteli algebrallisen symbolismin.

Diophantos käsitteli myös epämääräisten yhtälöiden ratkaisemisen ongelmia ja antoi menetelmiä toisen ja kolmannen asteen epämääräisten yhtälöiden ratkaisemiseen.

4) Uuden materiaalin opiskelu.

Määritelmä: Ensimmäisen asteen epähomogeeninen diofantiiniyhtälö, jossa on kaksi tuntematonta x, y, on yhtälö muotoa mx + ny = k, missä m, n, k, x, y Z k0

Lausunto 1.

Jos yhtälön (1) vapaa termi ei ole jaollinen suurimmalla yhteinen jakaja(GCD) lukujen m ja n, niin yhtälöllä (1) ei ole kokonaislukuratkaisuja.

Esimerkki: 34x – 17v = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 ei ole tasaisesti jaollinen luvulla 17, kokonaislukuina ei ole ratkaisua.

Olkoon k jaollinen gcd:llä (m, n). Jakamalla kaikki kertoimet, voimme varmistaa, että m:stä ja n:stä tulee suhteellisen alkuluku.

Lausuma 2.

Jos yhtälön (1) m ja n ovat suhteellisen alkulukuja, niin tällä yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu.

Lausuma 3.

Jos yhtälön (1) kertoimet m ja n ovat yhteisalkulukuja, niin tällä yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua:

Missä (; ) on mikä tahansa yhtälön (1) ratkaisu, t Z

Määritelmä. Ensimmäisen asteen homogeeninen diofantiiniyhtälö, jossa on kaksi tuntematonta x, y, on yhtälö muotoa mx + ny = 0, missä (2)

Lausunto 4.

Jos m ja n ovat yhteisalkulukuja, niin millä tahansa yhtälön (2) ratkaisulla on muoto

5) Kotitehtävät. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina:

1. 9x - 18v = 5
2. x + y = xy
3. Useat lapset poimivat omenoita. Jokainen poika keräsi 21 kg ja tyttö 15 kg. Yhteensä he keräsivät 174 kg. Kuinka monta poikaa ja kuinka monta tyttöä poimi omenoita?

Kommentti. Tämä oppitunti ei tarjoa esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta kokonaislukuina. Siksi kotitehtävät lapset päättävät väitteen 1 ja valinnan perusteella.

Oppitunti 2.

1) Organisatorinen hetki

2) Kotitehtävien tarkistaminen

1) 9x – 18v = 5

5 ei ole jaollinen 9:llä ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.

Valintamenetelmää käyttämällä voit löytää ratkaisun

Vastaus: (0;0), (2;2)

3) Tehdään yhtälö:

Olkoon pojat x, x Z ja tytöt y, y Z, niin voimme luoda yhtälön 21x + 15y = 174

Monet opiskelijat, jotka ovat kirjoittaneet yhtälön, eivät pysty ratkaisemaan sitä.

Vastaus: 4 poikaa, 6 tyttöä.

3) Uuden materiaalin oppiminen

Kotitehtävien suorittamisessa kohdattuaan vaikeuksia opiskelijat vakuuttuivat tarpeesta oppia heidän menetelmiään ratkaista epävarmoja yhtälöitä. Katsotaanpa joitain niistä.

I. Menetelmä jakojäännösten huomioon ottamiseksi.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö kokonaisluvuilla 3x – 4y = 1.

Yhtälön vasen puoli on jaollinen kolmella, joten oikean puolen on oltava jaollinen. Tarkastellaan kolmea tapausta.

Vastaus: missä m Z.

Kuvattua menetelmää on kätevä käyttää, jos luvut m ja n eivät ole pieniä, vaan ne voidaan jakaa yksinkertaisiin tekijöihin.

Esimerkki: Ratkaise yhtälöt kokonaislukuina.

Olkoon y = 4n, sitten 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) jaetaan 4:llä.

y = 4n+1, sitten 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n ei ole jaollinen 4:llä.

y = 4n+2, sitten 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n ei ole jaollinen 4:llä.

y = 4n+3, sitten 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n ei ole jaollinen 4:llä.

Siis y = 4n

4x = 16 - 7 4n = 16 - 28n, x = 4 - 7n

Vastaus: , missä n Z.

II. 2. asteen epävarmat yhtälöt

Tänään oppitunnilla käsittelemme vain toisen asteen diofantiiniyhtälöiden ratkaisemista.

Ja kaiken tyyppisistä yhtälöistä tarkastelemme tapausta, jolloin voimme soveltaa neliöiden erotuskaavaa tai muuta tekijöiden jakamismenetelmää.

Esimerkki: Ratkaise yhtälö kokonaislukuina.

13 on alkuluku, joten se voidaan kertoa vain neljällä tavalla: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Mietitäänpä näitä tapauksia

Vastaus: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Kotitehtävät.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina:

(x - y) (x + y) = 4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	ei sovi	ei sovi
2x = -4	ei sovi	ei sovi
x = -2
y = 0

Vastaus: (-2;0), (2;0).

Vastaukset: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Vastaus: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Tulokset. Mitä tarkoittaa yhtälön ratkaiseminen kokonaislukuina?

Mitä menetelmiä epävarmien yhtälöiden ratkaisemiseksi tiedät?

Sovellus:

Harjoituksia harjoitteluun.

1) Ratkaise kokonaisluvuilla.

a) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 - 7n, n Z
c) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 - 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2 m, y = 4 + 9 m, m Z
e) 9x – 11v = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
e) 7x – 4v = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x – 5v = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
h) 28x – 40v = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, tZ

2) Etsi yhtälön ei-negatiivinen kokonaislukuratkaisu:

Ratkaisu: Z (2; -1)

Kirjallisuus.

1. Lasten tietosanakirja "Pedagogia", Moskova, 1972.
2. Algebra-8, N.Ya. Vilenkin, VO “Science”, Novosibirsk, 1992
3. Lukuteoriaan perustuvat kilpailutehtävät. V.Ya. Galkin, D. Yu. Sychugov. MSU, VMK, Moskova, 2005.
4. Algebran kurssin vaikeusongelmat luokille 7-9. N.P. Kosrykina. "Valaistuminen", Moskova, 1991
5. Algebra 7, Makarychev Yu.N., "Valaistuminen".

7. luokan matematiikan kurssilla kohtaamme ensimmäistä kertaa yhtälöt kahdella muuttujalla, mutta niitä tutkitaan vain yhtälöjärjestelmien yhteydessä, joissa on kaksi tuntematonta. Siksi koko joukko ongelmia, joissa yhtälön kertoimille asetetaan tiettyjä ehtoja, jotka rajoittavat niitä, putoaa näkyvistä. Lisäksi ongelmien ratkaisumenetelmät, kuten "Ratkaise yhtälö luonnollisina tai kokonaislukuina", jätetään myös huomiotta, vaikka Yhtenäisen valtiontutkinnon materiaalit Ja pääsykokeissa tällaisia ​​ongelmia kohdataan yhä useammin.

Mitä yhtälöä kutsutaan yhtälöksi, jossa on kaksi muuttujaa?

Joten esimerkiksi yhtälöt 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 tai xy = 12 ovat kahdessa muuttujassa olevia yhtälöitä.

Tarkastellaan yhtälöä 2x – y = 1. Se toteutuu, kun x = 2 ja y = 3, joten tämä muuttuja-arvopari on ratkaisu kyseessä olevaan yhtälöön.

Siten ratkaisu mihin tahansa yhtälöön, jossa on kaksi muuttujaa, on joukko järjestettyjä pareja (x; y), muuttujien arvot, jotka muuttavat tämän yhtälön todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi.

Yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta, voi:

A) on yksi ratkaisu. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + 5y 2 = 0 on ainutlaatuinen ratkaisu (0; 0);

b) on useita ratkaisuja. Esimerkiksi (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 sisältää 4 ratkaisua: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

V) ei ole ratkaisuja. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + y 2 + 1 = 0 ei ole ratkaisuja;

G) ratkaisuja on äärettömän monta. Esimerkiksi x + y = 3. Tämän yhtälön ratkaisut ovat lukuja, joiden summa on 3. Tämän yhtälön ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon (k; 3 – k), jossa k on mikä tahansa oikea numero.

Tärkeimmät menetelmät kahdella muuttujalla olevien yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat tekijälausekkeisiin perustuvat menetelmät, täydellisen neliön eristäminen, toisen asteen yhtälön ominaisuuksia hyödyntävät, rajoitetut lausekkeet ja estimointimenetelmät. Yhtälö muunnetaan yleensä muotoon, josta voidaan saada järjestelmä tuntemattomien löytämiseksi.

Faktorisointi

Esimerkki 1.

Ratkaise yhtälö: xy – 2 = 2x – y.

Ratkaisu.

Ryhmittelemme ehdot tekijöiden jakamista varten:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Jokaisesta suluista otetaan yhteinen tekijä:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Meillä on:

y = 2, x – mikä tahansa reaaliluku tai x = -1, y – mikä tahansa reaaliluku.

Täten, vastaus on kaikki muodon (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R parit.

Nolla ei ole yhtä suuri kuin nolla negatiivisia lukuja

Esimerkki 2.

Ratkaise yhtälö: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Ratkaisu.

Ryhmittely:

(9x 2 – 12x + 4) + (4v 2 – 12v + 9) = 0. Nyt jokainen kiinnike voidaan taittaa neliön erotuskaavan avulla.

(3x – 2) 2 + (2v – 3) 2 = 0.

Kahden ei-negatiivisen lausekkeen summa on nolla vain, jos 3x – 2 = 0 ja 2y – 3 = 0.

Tämä tarkoittaa x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastaus: (2/3; 3/2).

Arviointimenetelmä

Esimerkki 3.

Ratkaise yhtälö: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Ratkaisu.

Jokaisessa sulussa korostetaan täydellinen neliö:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Arvioidaan suluissa olevien ilmaisujen merkitys.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, silloin yhtälön vasen puoli on aina vähintään 2. Tasa-arvo on mahdollinen, jos:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y – 2) 2 + 2 = 2, mikä tarkoittaa x = -1, y = 2.

Vastaus: (-1; 2).

Tutustutaan toiseen menetelmään yhtälöiden ratkaisemiseksi kahdella toisen asteen muuttujalla. Tämä menetelmä koostuu yhtälön käsittelemisestä neliö jonkin muuttujan suhteen.

Esimerkki 4.

Ratkaise yhtälö: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Ratkaisu.

Ratkaistaan ​​yhtälö x:n toisen asteen yhtälönä. Etsitään diskriminantti:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Yhtälöllä on ratkaisu vain kun D = 0, eli jos y = 4. Korvaamme y:n arvon alkuperäiseen yhtälöön ja huomaamme, että x = 3.

Vastaus: (3; 4).

Usein yhtälöissä, joissa on kaksi tuntematonta, ne osoittavat muuttujien rajoitukset.

Esimerkki 5.

Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Tuloksena olevan yhtälön oikea puoli jaettuna 5:llä antaa jäännöksen 2:sta. Siksi x 2 ei ole jaollinen viidellä. Mutta a:n neliö luku, joka ei ole jaollinen viidellä, antaa jäännöksen 1 tai 4. Näin ollen yhtäläisyys on mahdotonta eikä ratkaisuja ole.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 6.

Ratkaise yhtälö: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Ratkaisu.

Korostetaan täydelliset ruudut jokaisessa sulussa:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Yhtälön vasen puoli on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 3. Tasa-arvo on mahdollinen, jos |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Siten x = ± 2, y = -3.

Vastaus: (2; -3) ja (-2; -3).

Esimerkki 7.

Jokaiselle negatiivisten kokonaislukujen (x;y) parille, joka täyttää yhtälön
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, laske summa (x + y). Ilmoita vastauksessasi pienin summa.

Ratkaisu.

Valitsemme täydelliset neliöt:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Koska x ja y ovat kokonaislukuja, myös niiden neliöt ovat kokonaislukuja. Saamme kahden kokonaisluvun neliöiden summan 37, jos laskemme yhteen 1 + 36. Siksi:

(x – y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Ratkaisemalla nämä järjestelmät ja ottaen huomioon, että x ja y ovat negatiivisia, löydämme ratkaisut: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastaus: -17.

Älä ole epätoivoinen, jos sinulla on vaikeuksia ratkaista yhtälöitä kahdella tuntemattomalla. Pienellä harjoituksella voit käsitellä mitä tahansa yhtälöä.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö tiedä kuinka ratkaista kahdessa muuttujassa olevia yhtälöitä?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Ohjeet

Korvausmenetelmä Ilmaise yksi muuttuja ja korvaa se toisella yhtälöllä. Voit ilmaista mitä tahansa muuttujaa oman harkintasi mukaan. Esitä esimerkiksi y toisesta yhtälöstä:
x-y=2 => y=x-2 Korvaa sitten kaikki ensimmäiseen yhtälöön:
2x+(x-2)=10 Siirrä kaikki ilman x:tä oikealle ja laske:
2x+x=10+2
3x=12 Seuraavaksi saadaksesi x, jaa yhtälön molemmat puolet kolmella:
x=4, löysit "x. Etsi "y. Voit tehdä tämän korvaamalla "x" yhtälöön, josta ilmaisit "y":
y=x-2=4-2=2
y = 2.

Tee tarkistus. Voit tehdä tämän korvaamalla saadut arvot yhtälöihin:
2*4+2=10
4-2=2
Tuntemattomat on löydetty oikein!

Tapa lisätä tai vähentää yhtälöitä Päästä eroon kaikista muuttujista heti. Meidän tapauksessamme tämä on helpompi tehdä "y.
Koska yhtälössä "y" on "+"-merkki ja toisessa "-", voit suorittaa summaustoiminnon, ts. taita vasen puoli vasemmalla ja oikea oikealla:
2x+y+(x-y)=10+2Muunna:
2x+y+x-y=10+2
3x = 12
x=4Korvaa "x" mihin tahansa yhtälöön ja etsi "y":
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2 Ensimmäisellä menetelmällä voit tarkistaa, että juuret löytyvät oikein.

Jos selkeästi määriteltyjä muuttujia ei ole, yhtälöitä on muutettava hieman.
Ensimmäisessä yhtälössä meillä on "2x", ja toisessa meillä on yksinkertaisesti "x". Pienennä x:ää, kun lisäät tai vähennät, kerro toinen yhtälö kahdella:
x-y = 2
2x-2y=4Vähennä sitten toinen ensimmäisestä yhtälöstä:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Huomaa, että jos hakasulkeen edessä on miinus, muuta avauksen jälkeen merkit päinvastaisiksi:
2x+y-2x+2y=6
3у = 6
löydä y=2x ilmaisemalla mistä tahansa yhtälöstä, ts.
x=4

Video aiheesta

Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa argumentti x (tai fysikaalisissa tehtävissä aika t) ei aina ole eksplisiittisesti käytettävissä. Tämä on kuitenkin yksinkertaistettu erikoistapaus differentiaaliyhtälön määrittäminen, mikä usein auttaa yksinkertaistamaan sen integraalin hakua.

Ohjeet

Tarkastellaan fysiikan ongelmaa, joka johtaa differentiaaliyhtälöön, josta argumentti t puuttuu. Tämä on ongelma, joka koskee värähtelyjä, joiden massa on pystytasossa olevaan r pituiseen kierteeseen. Heilurin liikeyhtälö vaaditaan, jos se oli alun perin liikkumaton ja kallistunut tasapainotilasta kulman α verran. Voimat tulee jättää huomiotta (katso kuva 1a).

Ratkaisu. Matemaattinen heiluri on aineellinen piste, joka on ripustettu painottomaan ja venymättömään kierteeseen pisteessä O. Pisteeseen vaikuttaa kaksi voimaa: painovoima G=mg ja langan vetovoima N. Molemmat voimat ovat pystytasossa. . Siksi ongelman ratkaisemiseksi voit soveltaa pisteen pyörimisliikkeen yhtälöä pisteen O läpi kulkevan vaaka-akselin ympäri. Kappaleen pyörimisliikkeen yhtälö on kuviossa 2 esitetyn muotoinen. 1b. Tässä tapauksessa I on aineellisen pisteen hitausmomentti; j on kierteen kiertokulma yhdessä kärjen kanssa mitattuna pystyakselista vastapäivään; M on aineelliseen pisteeseen kohdistuvien voimien momentti.

Laske nämä arvot. I = mr^2, M = M(G)+M(N). Mutta M(N)=0, koska voiman vaikutusviiva kulkee pisteen O kautta. M(G)=-mgrsinj. "-"-merkki osoittaa, että voimamomentti on suunnattu liikettä vastakkaiseen suuntaan. Korvaa hitausmomentti ja voimamomentti liikeyhtälöön ja hanki kuvan 1 mukainen yhtälö. 1s. Pienentämällä massaa syntyy suhde (katso kuva 1d). Tässä ei ole argumenttia.

Olemme jo oppineet ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä. Laajennetaan nyt tutkitut menetelmät rationaalisiin yhtälöihin.

Mitä on tapahtunut rationaalinen ilmaisu? Olemme jo kohdanneet tämän käsitteen. Rationaalisia ilmaisuja ovat lausekkeita, jotka koostuvat luvuista, muuttujista, niiden potenssien ja matemaattisten operaatioiden symboleista.

Näin ollen rationaaliset yhtälöt ovat yhtälöitä, joiden muoto on: , missä - rationaalisia ilmaisuja.

Aiemmin tarkastelimme vain niitä rationaalisia yhtälöitä, jotka voidaan pelkistää lineaarisiksi. Katsotaanpa nyt niitä rationaalisia yhtälöitä, jotka voidaan pelkistää toisen asteen yhtälöiksi.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Murtoluku on yhtä suuri kuin 0 silloin ja vain, jos sen osoittaja on 0 ja sen nimittäjä ei ole 0.

Saamme seuraavan järjestelmän:

Järjestelmän ensimmäinen yhtälö on toisen asteen yhtälö. Ennen kuin ratkaiset sen, jaetaan kaikki sen kertoimet kolmella. Saamme:

Saamme kaksi juuria: ; .

Koska 2 ei koskaan ole 0, kahden ehdon on täytyttävä: . Koska mikään yllä saadun yhtälön juurista ei ole sama kuin toista epäyhtälöä ratkaistaessa saatujen muuttujan virheellisten arvojen kanssa, ne ovat molemmat ratkaisuja tähän yhtälöön.

Vastaus:.

Joten muotoillaan algoritmi rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki termit vasemmalle puolelle niin, että oikea puoli päättyy 0:aan.

2. Muunna ja yksinkertaista vasen puoli, tuo kaikki murtoluvut yhteiseen nimittäjään.

3. Yhdistä tuloksena oleva murtoluku 0:aan käyttämällä seuraavaa algoritmia: .

4. Kirjoita muistiin ensimmäisestä yhtälöstä saadut juuret ja tyydytä vastauksen toinen epäyhtälö.

Katsotaanpa toista esimerkkiä.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu

Heti alussa siirrämme kaikki termit vasemmalle niin, että 0 jää oikealle.

Tuodaan nyt yhtälön vasen puoli yhteiseen nimittäjään:

Tämä yhtälö vastaa järjestelmää:

Järjestelmän ensimmäinen yhtälö on toisen asteen yhtälö.

Tämän yhtälön kertoimet: . Laskemme diskriminantin:

Saamme kaksi juuria: ; .

Ratkaistaan ​​nyt toinen epäyhtälö: tekijöiden tulo ei ole yhtä suuri kuin 0, jos ja vain jos mikään tekijöistä ei ole yhtä suuri kuin 0.

Kahden edellytyksen on täytyttävä: . Havaitsemme, että ensimmäisen yhtälön kahdesta juurista vain yksi on sopiva - 3.

Vastaus:.

Tällä oppitunnilla muistimme, mikä on rationaalinen lauseke, ja opimme myös ratkaisemaan rationaalisia yhtälöitä, jotka pelkistyvät toisen asteen yhtälöiksi.

Seuraavalla oppitunnilla tarkastellaan rationaalisia yhtälöitä malleina todellisia tilanteita ja harkitse myös liiketehtäviä.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. luokka. - M.: Koulutus, 2004.
2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ja muut Algebra, 8. 5. painos. - M.: Koulutus, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. luokka. Oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle. - M.: Koulutus, 2006.

1. Festivaali pedagogisia ideoita "Julkinen oppitunti" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Kotitehtävät