Alle Formeln für quadratische Gleichungen. Quadratische Gleichungen

Hausrenovierung

Die Transformation einer vollständigen quadratischen Gleichung in eine unvollständige sieht folgendermaßen aus (für den Fall \(b=0\)):

Für den Fall, dass \(c=0\) oder beide Koeffizienten gleich Null sind, ist alles ähnlich.

Bitte beachten Sie, dass \(a\) nicht gleich Null sein kann; in diesem Fall wird es zu:

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen.

Zunächst müssen Sie verstehen, dass eine unvollständige quadratische Gleichung immer noch eine ist und daher auf die gleiche Weise wie eine gewöhnliche quadratische Gleichung (über ) gelöst werden kann. Dazu addieren wir einfach die fehlende Komponente der Gleichung mit einem Koeffizienten von Null. Beispiel
: Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(3x^2-27=0\) :

		Lösung
Wir haben eine unvollständige quadratische Gleichung mit dem Koeffizienten \(b=0\). Das heißt, wir können die Gleichung wie folgt schreiben:		\(3x^2+0\cdot x-27=0\)
Tatsächlich ist dies die gleiche Gleichung wie am Anfang, aber jetzt kann sie als gewöhnliche quadratische Gleichung gelöst werden. Zuerst schreiben wir die Koeffizienten aus.		\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)
Berechnen wir die Diskriminante mit der Formel \(D=b^2-4ac\) \(=0+324=324\)		\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) Finden wir die Wurzeln der Gleichung mithilfe der Formeln
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) und \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) \(x_(1)=\)\(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\) \(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\)\(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)		\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)

Schreiben Sie die Antwort auf Antwort

Zunächst müssen Sie verstehen, dass eine unvollständige quadratische Gleichung immer noch eine ist und daher auf die gleiche Weise wie eine gewöhnliche quadratische Gleichung (über ) gelöst werden kann. Dazu addieren wir einfach die fehlende Komponente der Gleichung mit einem Koeffizienten von Null. : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)
: Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(3x^2-27=0\) :

		: Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(-x^2+x=0\)

Wieder eine unvollständige quadratische Gleichung, aber jetzt ist der Koeffizient \(c\) gleich Null. Wir schreiben die Gleichung als vollständig. Quadratische Gleichungen

Über welche Gleichungen werden wir sprechen?

Die folgende Abbildung zeigt eine Formel, in der x eine unbekannte Variable ist und die lateinischen Symbole a, b, c einige bekannte Zahlen darstellen.

Jedes dieser Symbole wird als Koeffizient bezeichnet. Wie Sie sehen können, erscheint die Zahl „a“ vor der Variablen x im Quadrat. Dies ist die maximale Potenz des dargestellten Ausdrucks, weshalb man ihn als quadratische Gleichung bezeichnet. Ihr anderer Name wird oft verwendet: Gleichung zweiter Ordnung. Der Wert a selbst ist ein quadratischer Koeffizient (steht mit der quadrierten Variablen), b ist ein linearer Koeffizient (er steht neben der zur ersten Potenz erhobenen Variablen) und schließlich ist die Zahl c der freie Term.

Beachten Sie, dass es sich bei der in der Abbildung oben dargestellten Gleichungsart um einen allgemeinen klassischen quadratischen Ausdruck handelt. Darüber hinaus gibt es weitere Gleichungen zweiter Ordnung, in denen die Koeffizienten b und c Null sein können.

Wenn die Aufgabe gestellt wird, die betreffende Gleichheit zu lösen, bedeutet dies, dass solche Werte der Variablen x gefunden werden müssen, die diese erfüllen würden. Hier müssen Sie sich zunächst Folgendes merken: Da der maximale Grad von X 2 ist, dann dieser Typ Ausdrücke können nicht mehr als 2 Lösungen haben. Das heißt, wenn beim Lösen einer Gleichung 2 Werte von x gefunden würden, die diese erfüllen, dann können Sie sicher sein, dass es keine dritte Zahl gibt, und wenn Sie x durch diese ersetzen, wäre die Gleichheit auch wahr. Die Lösungen einer Gleichung werden in der Mathematik als ihre Wurzeln bezeichnet.

Methoden zur Lösung von Gleichungen zweiter Ordnung

Um Gleichungen dieser Art zu lösen, sind theoretische Kenntnisse erforderlich. Im Schulalgebrakurs berücksichtigen sie 4 verschiedene Methoden Lösungen. Lassen Sie uns sie auflisten:

• Verwendung von Faktorisierung;
• Verwenden der Formel für ein perfektes Quadrat;
• durch Anwenden des Graphen der entsprechenden quadratischen Funktion;
• unter Verwendung der Diskriminanzgleichung.

Der Vorteil der ersten Methode ist ihre Einfachheit; sie kann jedoch nicht für alle Gleichungen verwendet werden. Die zweite Methode ist universell, aber etwas umständlich. Die dritte Methode zeichnet sich durch ihre Klarheit aus, ist jedoch nicht immer bequem und anwendbar. Und schließlich ist die Verwendung der Diskriminanzgleichung eine universelle und ziemlich einfache Möglichkeit, die Wurzeln absolut jeder Gleichung zweiter Ordnung zu finden. Daher werden wir in diesem Artikel nur darauf eingehen.

Formel zum Erhalten der Wurzeln der Gleichung

Wenden wir uns der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung zu. Schreiben wir es auf: a*x²+ b*x + c =0. Bevor Sie die Lösungsmethode „durch eine Diskriminante“ anwenden, sollten Sie die Gleichheit immer in schriftliche Form bringen. Das heißt, es muss aus drei Termen bestehen (oder weniger, wenn b oder c 0 ist).

Wenn es beispielsweise einen Ausdruck gibt: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², dann sollten Sie zunächst alle seine Terme auf eine Seite der Gleichung verschieben und die Terme hinzufügen, die die Variable x enthalten gleiche Befugnisse.

In diesem Fall führt diese Operation zu folgendem Ausdruck: -6*x²-4*x+8=0, was der Gleichung 6*x²+4*x-8=0 entspricht (hier haben wir die linken und multipliziert). rechten Seiten der Gleichheit um -1) .

Im obigen Beispiel ist a = 6, b=4, c=-8. Beachten Sie, dass alle Terme der betrachteten Gleichheit immer summiert werden. Wenn also das „-“-Zeichen erscheint, bedeutet dies, dass der entsprechende Koeffizient negativ ist, wie in diesem Fall die Zahl c.

Nachdem wir diesen Punkt untersucht haben, gehen wir nun zur Formel selbst über, die es ermöglicht, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu ermitteln. Es sieht aus wie auf dem Foto unten.

Wie aus diesem Ausdruck ersichtlich ist, können Sie damit zwei Wurzeln erhalten (achten Sie auf das „±“-Zeichen). Dazu reicht es aus, die Koeffizienten b, c und a einzusetzen.

Das Konzept einer Diskriminante

Im vorherigen Absatz wurde eine Formel angegeben, mit der Sie jede Gleichung zweiter Ordnung schnell lösen können. Darin wird der radikale Ausdruck als Diskriminante bezeichnet, also D = b²-4*a*c.

Warum wird dieser Teil der Formel hervorgehoben und warum hat er überhaupt einen eigenen Namen? Tatsache ist, dass die Diskriminante alle drei Koeffizienten der Gleichung in einem einzigen Ausdruck verbindet. Letzteres bedeutet, dass es vollständig Informationen über die Wurzeln enthält, die in der folgenden Liste ausgedrückt werden können:

1. D>0: Gleichheit hat 2 verschiedene Lösungen, beides sind reelle Zahlen.
2. D=0: Die Gleichung hat nur eine Wurzel und ist eine reelle Zahl.

Aufgabe zur Diskriminanzbestimmung

Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel dafür geben, wie man eine Diskriminante findet. Gegeben sei folgende Gleichheit: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Bringen wir es dazu Standardansicht erhalten wir: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, woraus wir auf die Gleichheit kommen: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Hier a=-2, b=2, c=-11.

Jetzt können Sie die obige Formel für die Diskriminante verwenden: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Die resultierende Zahl ist die Antwort auf die Aufgabe. Da die Diskriminante im Beispiel kleiner als Null ist, können wir sagen, dass diese quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln hat. Seine Lösung besteht nur aus Zahlen komplexen Typs.

Ein Beispiel für Ungleichheit durch eine Diskriminante

Lassen Sie uns Probleme einer etwas anderen Art lösen: gegeben die Gleichheit -3*x²-6*x+c = 0. Es ist notwendig, Werte von c zu finden, für die D>0.

In diesem Fall sind nur 2 von 3 Koeffizienten bekannt, sodass der genaue Wert der Diskriminante nicht berechnet werden kann, aber bekannt ist, dass sie positiv ist. Wir verwenden die letzte Tatsache, wenn wir die Ungleichung zusammenstellen: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Das Lösen der resultierenden Ungleichung führt zu dem Ergebnis: c>-3.

Lassen Sie uns die resultierende Zahl überprüfen. Dazu berechnen wir D für 2 Fälle: c=-2 und c=-4. Die Zahl -2 erfüllt das erhaltene Ergebnis (-2>-3), die entsprechende Diskriminante hat den Wert: D = 12>0. Die Zahl -4 wiederum erfüllt nicht die Ungleichung (-4. Somit erfüllen alle Zahlen c, die größer als -3 sind, die Bedingung.

Ein Beispiel für die Lösung einer Gleichung

Stellen wir uns ein Problem vor, bei dem es nicht nur darum geht, die Diskriminante zu finden, sondern auch die Gleichung zu lösen. Es ist notwendig, die Wurzeln für die Gleichung -2*x²+7-9*x = 0 zu finden.

In diesem Beispiel ist die Diskriminante gleich dem folgenden Wert: D = 81-4*(-2)*7= 137. Dann werden die Wurzeln der Gleichung wie folgt bestimmt: x = (9±√137)/(- 4). Dies sind die genauen Werte der Wurzeln; wenn man die Wurzel näherungsweise berechnet, dann erhält man die Zahlen: x = -5,176 und x = 0,676.

Geometrisches Problem

Lösen wir ein Problem, das nicht nur die Fähigkeit zur Berechnung der Diskriminante, sondern auch den Einsatz abstrakter Denkfähigkeiten und Kenntnisse im Schreiben quadratischer Gleichungen erfordert.

Bob hatte eine 5 x 4 Meter große Bettdecke. Der Junge wollte um den gesamten Umfang einen durchgehenden Streifen aus schönem Stoff daran nähen. Wie dick wird dieser Streifen sein, wenn wir wissen, dass Bob 10 m² Stoff hat?

Angenommen, der Streifen hat eine Dicke von x m, dann beträgt die Stofffläche entlang der langen Seite der Decke (5+2*x)*x, und da es zwei lange Seiten gibt, ergibt sich: 2*x *(5+2*x). Auf der kurzen Seite beträgt die Fläche des genähten Stoffes 4*x, da es 2 dieser Seiten gibt, erhalten wir den Wert 8*x. Beachten Sie, dass 2*x zur langen Seite hinzugefügt wurde, da sich die Länge der Decke um diese Zahl erhöht hat. Die Gesamtfläche des mit der Decke vernähten Stoffes beträgt 10 m². Daher erhalten wir die Gleichheit: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

In diesem Beispiel ist die Diskriminante gleich: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Ihre Wurzel ist 22. Mithilfe der Formel finden wir die erforderlichen Wurzeln: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Offensichtlich ist von den beiden Wurzeln nur die Zahl 0,5 entsprechend den Bedingungen des Problems geeignet.

Somit ist der Stoffstreifen, den Bob an seine Decke näht, 50 cm breit.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Mit der Diskriminante können Sie jede quadratische Gleichung mithilfe einer allgemeinen Formel lösen, die die folgende Form hat:

Die Diskriminanzformel hängt vom Grad des Polynoms ab. Die obige Formel eignet sich zur Lösung quadratischer Gleichungen der folgenden Form:

Die Diskriminante hat folgende Eigenschaften Dinge, die Sie wissen müssen:

* „D“ ist 0, wenn das Polynom mehrere Wurzeln hat ( gleiche Wurzeln);

* „D“ ist ein symmetrisches Polynom in Bezug auf die Wurzeln des Polynoms und daher ein Polynom in seinen Koeffizienten; Darüber hinaus sind die Koeffizienten dieses Polynoms ganze Zahlen, unabhängig von der Erweiterung, in der die Wurzeln gezogen werden.

Nehmen wir an, wir erhalten eine quadratische Gleichung der folgenden Form:

1 Gleichung

Nach der Formel haben wir:

Da \ hat die Gleichung 2 Wurzeln. Definieren wir sie:

Wo kann ich eine Gleichung mit einem Diskriminanz-Online-Löser lösen?

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Lass uns mit arbeiten quadratische Gleichungen. Das sind sehr beliebte Gleichungen! Im sehr Gesamtansicht die quadratische Gleichung sieht so aus:

Zum Beispiel:

Hier A =1; B = 3; C = -4

Hier A =2; B = -0,5; C = 2,2

Hier A =-3; B = 6; C = -18

Nun ja, du verstehst...

Wie löst man quadratische Gleichungen? Wenn Sie eine quadratische Gleichung in dieser Form vor sich haben, dann ist alles einfach. Erinnere dich an das Zauberwort diskriminierend . Selten hat ein Gymnasiast dieses Wort nicht gehört! Der Satz „Wir lösen eine Lösung durch eine Diskriminante“ weckt Vertrauen und Sicherheit. Denn vom Diskriminanten sind keine Tricks zu erwarten! Die Anwendung ist einfach und problemlos. Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht also so aus:

Der Ausdruck unter dem Zeichen der Wurzel ist der Eine diskriminierend. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um X zu finden nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus einer quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c Dies ist die Formel, die wir berechnen. Lasst uns ersetzen mit Ihren eigenen Schildern! Zum Beispiel für die erste Gleichung A =1; B = 3; C= -4. Hier schreiben wir es auf:

Das Beispiel ist fast gelöst:

Das ist es.

Welche Fälle sind bei Verwendung dieser Formel möglich? Es gibt nur drei Fälle.

1. Die Diskriminante ist positiv. Das bedeutet, dass die Wurzel daraus gezogen werden kann. Ob die Wurzel gut oder schlecht extrahiert wird, ist eine andere Frage. Wichtig ist, was grundsätzlich extrahiert wird. Dann hat Ihre quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Streng genommen ist dies nicht eine Wurzel, sondern zwei identisch. Dies spielt jedoch bei Ungleichheiten eine Rolle, wo wir uns näher mit dem Thema befassen werden.

3. Die Diskriminante ist negativ. Von einer negativen Zahl Quadratwurzel nicht extrahiert. Nun ja. Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Es ist ganz einfach. Und was, Sie denken, dass es unmöglich ist, einen Fehler zu machen? Nun ja, wie...
Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit Vorzeichenwerten a, b und c. Oder besser gesagt, nicht mit ihren Vorzeichen (wo kann man das verwechseln?), sondern mit dem Einsetzen negativer Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier hilft eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Zahlen. Wenn es Probleme mit Berechnungen gibt, Mach das!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier a = -6; b = -5; c = -1

Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie selten beim ersten Mal Antworten erhalten.

Nun, seien Sie nicht faul. Das Schreiben einer zusätzlichen Zeile dauert etwa 30 Sekunden und die Anzahl der Fehler wird stark abnehmen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig aufzuschreiben. Aber es scheint nur so. Probieren Sie es aus. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile wird es nicht mehr nötig sein, alles so sorgfältig aufzuschreiben. Es wird schon von alleine klappen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit vielen Minuspunkten lässt sich einfach und fehlerfrei lösen!

Also, wie man quadratische Gleichungen löst durch die Diskriminante, an die wir uns erinnerten. Oder sie haben es gelernt, was auch gut ist. Sie wissen, wie man richtig bestimmt a, b und c. Wissen Sie wie? aufmerksam setze sie in die Wurzelformel ein und aufmerksam Zähle das Ergebnis. hast Du das verstanden Stichwort Hier - aufmerksam?

Allerdings sehen quadratische Gleichungen oft etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Das unvollständige quadratische Gleichungen . Sie können auch durch eine Diskriminante gelöst werden. Sie müssen nur richtig verstehen, was sie hier bedeuten. a, b und c.

Hast du es herausgefunden? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; A C? Es ist überhaupt nicht da! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet das das c = 0 ! Das ist es. Ersetzen Sie stattdessen Null in der Formel C, und wir werden Erfolg haben. Das Gleiche gilt für das zweite Beispiel. Nur haben wir hier keine Null Mit, A B !

Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ohne jegliche Diskriminierung. Betrachten wir das erste unvollständige Gleichung. Was können Sie auf der linken Seite tun? Sie können X aus Klammern entfernen! Nehmen wir es raus.

Was ist also damit? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist! Glauben Sie mir nicht? Okay, dann überlegen Sie sich zwei Zahlen ungleich Null, deren Multiplikation Null ergibt!
Funktioniert nicht? Das ist es...
Daher können wir getrost schreiben: x = 0, oder x = 4

Alle. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide sind geeignet. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen, ist die Lösung viel einfacher als die Verwendung einer Diskriminante.

Auch die zweite Gleichung lässt sich einfach lösen. Bewegen Sie 9 nach rechts. Wir bekommen:

Es bleibt nur noch, die Wurzel aus 9 zu ziehen, und das war's. Es wird sich herausstellen:

Auch zwei Wurzeln . x = +3 und x = -3.

Auf diese Weise werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder indem man X aus Klammern setzt oder indem man einfach die Zahl nach rechts verschiebt und dann die Wurzel zieht.
Es ist äußerst schwierig, diese Techniken zu verwechseln. Ganz einfach, weil man im ersten Fall die Wurzel von

Beachten Sie nun praktische Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Die gleichen, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind... Was später schmerzhaft und beleidigend wird...

Erster Termin. Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen und sie in die Standardform bringen. Was bedeutet das?
Nehmen wir an, dass Sie nach allen Transformationen die folgende Gleichung erhalten:

Beeilen Sie sich nicht, die Grundformel zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen durcheinander bringen a, b und c. Konstruieren Sie das Beispiel richtig. Zuerst X quadriert, dann ohne Quadrat, dann der freie Term. So was:

Und noch einmal: Beeilen Sie sich nicht! Ein Minus vor einem X im Quadrat kann Sie wirklich verärgern. Es ist leicht zu vergessen... Beseitigen Sie das Minus. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Aber jetzt können Sie sicher die Formel für die Wurzeln aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel fertig lösen. Entscheiden Sie selbst. Sie sollten jetzt Wurzeln 2 und -1 haben.

Zweiter Empfang.Überprüfen Sie die Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Hab keine Angst, ich erkläre dir alles! Überprüfung zuletzt Gleichung. Diese. diejenige, mit der wir die Grundformel aufgeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1, ist die Überprüfung der Wurzeln einfach. Es reicht aus, sie zu vervielfachen. Das Ergebnis sollte ein kostenloses Mitglied sein, d.h. in unserem Fall -2. Bitte beachten Sie, nicht 2, sondern -2! Kostenloses Mitglied mit Deinem Schild . Wenn es nicht klappt, bedeutet das, dass Sie bereits irgendwo einen Fehler gemacht haben. Suchen Sie nach dem Fehler. Wenn es funktioniert, müssen Sie die Wurzeln hinzufügen. Letzte und letzte Kontrolle. Der Koeffizient sollte sein B Mit Gegenteil vertraut. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient B, das vor dem X steht, ist gleich -1. Also alles richtig!
Schade, dass dies nur für Beispiele so einfach ist, bei denen x im Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1. Aber überprüfen Sie zumindest solche Gleichungen! Alle weniger Fehler Wille.

Rezeption Dritter. Wenn Ihre Gleichung gebrochene Koeffizienten hat, entfernen Sie die Brüche! Multiplizieren Sie die Gleichung mit gemeinsamer Nenner, wie im vorherigen Abschnitt beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen schleichen sich aus irgendeinem Grund immer wieder Fehler ein ...

Übrigens habe ich versprochen, das böse Beispiel durch ein paar Minuspunkte zu vereinfachen. Bitte! Hier ist er.

Um uns nicht durch die Minuspunkte verwirren zu lassen, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:

Das ist es! Das Lösen macht Freude!

Fassen wir also das Thema zusammen.

Praktische Ratschläge:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem X-Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

4. Wenn x im Quadrat rein ist und sein Koeffizient gleich eins ist, kann die Lösung leicht mit dem Satz von Vieta verifiziert werden. Mach es!

Bruchgleichungen. ODZ.

Wir beherrschen weiterhin die Gleichungen. Wir wissen bereits, wie man mit linearen und quadratischen Gleichungen arbeitet. Der letzte verbleibende Blick - Bruchgleichungen. Oder sie werden auch viel seriöser genannt - gebrochene rationale Gleichungen. Es ist dasselbe.

Bruchgleichungen.

Wie der Name schon sagt, enthalten diese Gleichungen zwangsläufig Brüche. Aber nicht nur Brüche, sondern Brüche, die haben im Nenner unbekannt. Zumindest in einem. Zum Beispiel:

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es nur Nenner gibt Zahlen, Das lineare Gleichungen.

Wie man sich entscheidet Bruchgleichungen? Beseitigen Sie zunächst Brüche! Danach geht die Gleichung meist in eine lineare oder quadratische Gleichung über. Und dann wissen wir, was zu tun ist ... In manchen Fällen kann daraus eine Identität werden, wie zum Beispiel 5=5 oder ein falscher Ausdruck, wie zum Beispiel 7=2. Aber das kommt selten vor. Ich werde dies weiter unten erwähnen.

Aber wie wird man Brüche los? Ganz einfach. Anwenden der gleichen identischen Transformationen.

Wir müssen die gesamte Gleichung mit demselben Ausdruck multiplizieren. Damit alle Nenner reduziert werden! Alles wird sofort einfacher. Lassen Sie es mich anhand eines Beispiels erklären. Lassen Sie uns die Gleichung lösen:

Wie wurden Sie in der Grundschule unterrichtet? Wir verschieben alles auf eine Seite, bringen es auf einen gemeinsamen Nenner usw. Vergiss wie böser Traum! Dies müssen Sie tun, wenn Sie Brüche addieren oder subtrahieren. Oder Sie arbeiten mit Ungleichheiten. Und in Gleichungen multiplizieren wir beide Seiten sofort mit einem Ausdruck, der uns die Möglichkeit gibt, alle Nenner zu reduzieren (d. h. im Wesentlichen um einen gemeinsamen Nenner). Und was ist dieser Ausdruck?

Auf der linken Seite erfordert die Reduzierung des Nenners eine Multiplikation mit x+2. Und rechts ist eine Multiplikation mit 2 erforderlich. Das bedeutet, dass die Gleichung mit multipliziert werden muss 2(x+2). Multiplizieren:

Dies ist eine übliche Multiplikation von Brüchen, aber ich beschreibe sie im Detail:

Bitte beachten Sie, dass ich die Klammer noch nicht öffne (x + 2)! Im Großen und Ganzen schreibe ich es also:

Auf der linken Seite zieht es sich vollständig zusammen (x+2), und rechts 2. Welches war erforderlich! Nach der Reduktion erhalten wir linear Gleichung:

Und jeder kann diese Gleichung lösen! x = 2.

Lassen Sie uns ein anderes, etwas komplizierteres Beispiel lösen:

Wenn wir uns daran erinnern, dass 3 = 3/1 und 2x = 2x/ 1 können wir schreiben:

Und wieder werden wir los, was uns nicht wirklich gefällt – Brüche.

Wir sehen, dass wir den Bruch mit multiplizieren müssen, um den Nenner mit X zu reduzieren (x – 2). Und einige sind für uns kein Hindernis. Nun, lasst uns multiplizieren. Alle linke Seite und alle rechte Seite:

Wieder Klammern (x – 2) Ich verrate es nicht. Ich arbeite mit der Klammer als Ganzes, als wäre es eine Zahl! Dies muss immer erfolgen, sonst wird nichts reduziert.

Mit einem Gefühl tiefer Zufriedenheit reduzieren wir (x – 2) und wir erhalten eine Gleichung ohne Brüche, mit einem Lineal!

Öffnen wir nun die Klammern:

Wir bringen ähnliche mit, verschieben alles auf die linke Seite und erhalten:

Klassische quadratische Gleichung. Aber das Minus vor uns ist nicht gut. Sie können es jederzeit entfernen, indem Sie mit -1 multiplizieren oder dividieren. Wenn Sie sich das Beispiel jedoch genau ansehen, werden Sie feststellen, dass es am besten ist, diese Gleichung durch -2 zu dividieren! Auf einen Schlag wird das Minus verschwinden und die Chancen werden attraktiver! Teilen Sie durch -2. Auf der linken Seite – Term für Term und auf der rechten Seite – dividieren Sie einfach Null durch -2, Null und wir erhalten:

Wir lösen durch die Diskriminante und prüfen mit dem Satz von Vieta. Wir bekommen x = 1 und x = 3. Zwei Wurzeln.

Wie Sie sehen, wurde die Gleichung nach der Transformation im ersten Fall linear, hier jedoch quadratisch. Es kommt vor, dass nach dem Entfernen von Brüchen alle X reduziert werden. Es bleibt etwas übrig, etwa 5=5. Das bedeutet das x kann alles sein. Was auch immer es ist, es wird immer noch reduziert. Und es stellt sich als reine Wahrheit heraus, 5=5. Aber nachdem man die Brüche entfernt hat, könnte sich herausstellen, dass es völlig falsch ist, wie zum Beispiel 2=7. Und das bedeutet das keine Lösungen! Jedes X erweist sich als unwahr.

Die Hauptlösung wurde realisiert Bruchgleichungen ? Es ist einfach und logisch. Wir ändern den ursprünglichen Ausdruck so, dass alles, was uns nicht gefällt, verschwindet. Oder es stört. In diesem Fall handelt es sich um Brüche. Wir werden das Gleiche mit allen Arten von tun komplexe Beispiele mit Logarithmen, Sinus und anderen Schrecken. Wir Stets Lasst uns das alles loswerden.

Allerdings müssen wir den ursprünglichen Ausdruck in die gewünschte Richtung ändern nach den Regeln, ja... Deren Beherrschung ist die Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik. Also meistern wir es.

Jetzt lernen wir, wie man eines davon umgeht Hauptüberfälle beim Einheitlichen Staatsexamen! Aber zuerst wollen wir sehen, ob Sie darauf reinfallen oder nicht?

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an:

Die Sache ist schon bekannt, wir multiplizieren beide Seiten mit (x – 2), wir bekommen:

Ich erinnere Sie daran, mit Klammern (x – 2) Wir arbeiten wie mit einem, ganzheitlichen Ausdruck!

Hier habe ich nicht mehr eins in die Nenner geschrieben, das ist unwürdig... Und ich habe keine Klammern in die Nenner gesetzt, außer x – 2 Es gibt nichts, man muss nicht zeichnen. Kürzen wir:

Öffnen Sie die Klammern, verschieben Sie alles nach links und geben Sie ähnliche ein:

Wir lösen, prüfen, wir bekommen zwei Wurzeln. x = 2 Und x = 3. Großartig.

Angenommen, in der Aufgabe heißt es, die Wurzel aufzuschreiben, oder deren Summe, wenn es mehr als eine Wurzel gibt. Was werden wir schreiben?

Wenn Sie entscheiden, dass die Antwort 5 ist, dann Sie wurden überfallen. Und die Aufgabe wird Ihnen nicht gutgeschrieben. Sie haben vergeblich gearbeitet... Die richtige Antwort ist 3.

Was ist los?! Und Sie versuchen, eine Überprüfung durchzuführen. Ersetzen Sie die Werte des Unbekannten durch Original Beispiel. Und wenn bei x = 3 alles wird wunderbar zusammenwachsen, wir bekommen 9 = 9, dann wann x = 2 Es wird eine Division durch Null sein! Was Sie absolut nicht tun können. Bedeutet x = 2 ist keine Lösung und wird in der Antwort nicht berücksichtigt. Dies ist die sogenannte Fremd- oder Extrawurzel. Wir verwerfen es einfach. Die letzte Wurzel ist eins. x = 3.

Wie so?! – Ich höre empörte Ausrufe. Uns wurde beigebracht, dass eine Gleichung mit einem Ausdruck multipliziert werden kann! Dies ist eine identische Transformation!

Ja, identisch. Bei kleiner Zustand– der Ausdruck, mit dem wir multiplizieren (dividieren) – verschieden von Null. A x – 2 bei x = 2 gleich Null! Also alles ist fair.

Was sollen wir also jetzt tun?! Nicht mit Ausdruck multiplizieren? Sollte ich jedes Mal nachsehen? Wieder ist es unklar!

Ruhig! Keine Panik!

In dieser schwierigen Situation werden uns drei magische Buchstaben retten. Ich weiß, was du denkst. Rechts! Das ODZ . Bereich akzeptabler Werte.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Städtische Haushaltsbildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 11

Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln veröffentlicht.
Vollversion Die Arbeit ist im Reiter „Arbeitsdateien“ im PDF-Format verfügbar

Geschichte der quadratischen Gleichungen

Babylon

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur ersten Grades, sondern auch zweiten Grades zu lösen, wurde in der Antike durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Grundstücksflächen zu lösen, mit der Entwicklung der Astronomie und der Mathematik selbst. Quadratische Gleichungen konnten um 2000 v. Chr. gelöst werden. e. Babylonier. Die in den babylonischen Texten dargelegten Regeln zur Lösung dieser Gleichungen stimmen im Wesentlichen mit den modernen überein, aber in diesen Texten gibt es kein Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden Lösen quadratischer Gleichungen.

Antikes Griechenland

Das Lösen quadratischer Gleichungen wurde ebenfalls durchgeführt Antikes Griechenland solche Wissenschaftler wie Diophantus, Euklid und Heron. Diophantus Diophantus von Alexandria ist ein antiker griechischer Mathematiker, der vermutlich im 3. Jahrhundert n. Chr. lebte. Das Hauptwerk des Diophantus ist „Arithmetik“ in 13 Büchern. Euklid. Euklid ist ein antiker griechischer Mathematiker und Autor der ersten überlieferten theoretischen Abhandlung über Mathematik, Heron. Heron – griechischer Mathematiker und Ingenieur, der im 1. Jahrhundert n. Chr. erstmals in Griechenland lebte. bietet eine rein algebraische Möglichkeit, eine quadratische Gleichung zu lösen

Indien

Probleme zu quadratischen Gleichungen finden sich bereits in der astronomischen Abhandlung „Aryabhattiam“, die 499 vom indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta verfasst wurde. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (7. Jahrhundert), skizzierte allgemeine Regel Lösungen quadratischer Gleichungen reduziert auf eine einzige kanonische Form: ax2 + bx = c, a> 0. (1) In Gleichung (1) können die Koeffizienten negativ sein. Brahmaguptas Herrschaft ist im Wesentlichen dieselbe wie unsere. Öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme waren in Indien üblich. In einem der alten indischen Bücher heißt es über solche Wettbewerbe: „Wie die Sonne mit ihrem Glanz die Sterne übertrifft, so wird ein gelehrter Mann in öffentlichen Versammlungen seinen Ruhm übertreffen, indem er algebraische Probleme vorschlägt und löst.“ Probleme wurden oft in poetischer Form dargestellt.

Dies ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskars.

„Ein Schwarm verspielter Affen

Und zwölf entlang der Weinreben hatten Spaß, nachdem ich nach Herzenslust gegessen hatte

Sie begannen zu springen und hingen

Teil acht davon im Quadrat

Wie viele Affen gab es?

Ich hatte Spaß auf der Lichtung

Sag mir, in diesem Paket?

Bhaskaras Lösung weist darauf hin, dass der Autor wusste, dass die Wurzeln quadratischer Gleichungen zweiwertig sind. Bhaskar schreibt die dem Problem entsprechende Gleichung als x2 - 64x = - 768 und addiert, um die linke Seite dieser Gleichung zu einem Quadrat zu vervollständigen, 322 auf beiden Seiten und erhält dann: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Quadratische Gleichungen im Europa des 17. Jahrhunderts

Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von Al-Khorezmi in Europa wurden erstmals im Buch Abakus dargelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Dieses umfangreiche Werk, das den Einfluss der Mathematik sowohl aus den Ländern des Islam als auch aus dem antiken Griechenland widerspiegelt, zeichnet sich durch seine Vollständigkeit und Klarheit der Darstellung aus. Der Autor entwickelte eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Lösung von Problemen und war der erste in Europa, der sich der Einführung näherte negative Zahlen. Sein Buch trug zur Verbreitung algebraischer Kenntnisse nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Probleme aus dem Buch Abakus wurden in fast allen europäischen Lehrbüchern des 16. bis 17. Jahrhunderts verwendet. und teilweise XVIII. Die Herleitung der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form ist bei Vieth erhältlich, Vieth kannte jedoch nur positive Wurzeln. Zu den ersten im 16. Jahrhundert gehörten die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano und Bombelli. Neben positiven werden auch negative Wurzeln berücksichtigt. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeit von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern erhält die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form.

Definition einer quadratischen Gleichung

Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei a, b, c Zahlen sind, heißt quadratisch.

Quadratische Gleichungskoeffizienten

Die Zahlen a, b, c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung, a ist der erste Koeffizient (vor x²), a ≠ 0; b ist der zweite Koeffizient (vor x);

Welche dieser Gleichungen sind nicht quadratisch??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Arten quadratischer Gleichungen

Name	Allgemeine Form der Gleichung	Merkmal (was sind die Koeffizienten)	Beispiele für Gleichungen
	Axt 2 + bx + c = 0	a, b, c – Zahlen außer 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Unvollständig
			x 2 - 1/5x = 0
Gegeben	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Reduziert ist eine quadratische Gleichung, in der der führende Koeffizient gleich eins ist. Eine solche Gleichung kann erhalten werden, indem der gesamte Ausdruck durch den führenden Koeffizienten dividiert wird A:

X 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Eine quadratische Gleichung heißt vollständig, wenn alle ihre Koeffizienten ungleich Null sind.

Eine quadratische Gleichung heißt unvollständig, bei der mindestens einer der Koeffizienten außer dem führenden (entweder der zweite Koeffizient oder der freie Term) gleich Null ist.

Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

Methode I Allgemeine Formel zur Berechnung von Wurzeln

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden Axt 2 + b + c = 0 Im Allgemeinen sollten Sie den folgenden Algorithmus verwenden:

Berechnen Sie den Wert der Diskriminante einer quadratischen Gleichung: Dies ist der Ausdruck dafür D= B 2 - 4ac

Herleitung der Formel:

Notiz: Es ist offensichtlich, dass die Formel für eine Wurzel der Multiplizität 2 ein Sonderfall der allgemeinen Formel ist, die durch Einsetzen der Gleichheit D=0 in diese und der Schlussfolgerung über das Fehlen reeller Wurzeln bei D0 und (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Die vorgestellte Methode ist universell, aber bei weitem nicht die einzige. Die Lösung einer einzelnen Gleichung kann auf unterschiedliche Weise angegangen werden, wobei die Präferenzen in der Regel vom Löser abhängen. Darüber hinaus erweisen sich einige der Methoden für diesen Zweck oft als viel eleganter, einfacher und weniger arbeitsintensiv als die Standardmethode.

Methode II. Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit geradem Koeffizienten B III-Methode. Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

IV-Methode. Verwendung von Teilverhältnissen von Koeffizienten

Es gibt Sonderfälle quadratischer Gleichungen, bei denen die Koeffizienten in einer Beziehung zueinander stehen, wodurch sie viel einfacher zu lösen sind.

Wurzeln einer quadratischen Gleichung, in der die Summe des führenden Koeffizienten und des freien Termes gleich dem zweiten Koeffizienten ist

Wenn in einer quadratischen Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 die Summe aus dem ersten Koeffizienten und dem freien Term ist gleich dem zweiten Koeffizienten: a+b=c, dann sind seine Wurzeln -1 und die Zahl entgegengesetzt zum Verhältnis des freien Termes zum führenden Koeffizienten ( -c/a).

Bevor Sie also eine quadratische Gleichung lösen, sollten Sie die Möglichkeit prüfen, diesen Satz darauf anzuwenden: Vergleichen Sie die Summe des führenden Koeffizienten und des freien Termes mit dem zweiten Koeffizienten.

Wurzeln einer quadratischen Gleichung, deren Summe aller Koeffizienten Null ist

Wenn in einer quadratischen Gleichung die Summe aller ihrer Koeffizienten Null ist, dann sind die Wurzeln einer solchen Gleichung 1 und das Verhältnis des freien Termes zum führenden Koeffizienten ( c/a).

Bevor Sie eine Gleichung mit Standardmethoden lösen, sollten Sie daher die Anwendbarkeit dieses Theorems auf sie prüfen: Addieren Sie alle Koeffizienten dieser Gleichung und prüfen Sie, ob diese Summe ungleich Null ist.

V-Methode. Zerlegung eines quadratischen Trinoms in lineare Faktoren

Wenn das Trinom die Form hat (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) irgendwie als Produkt linearer Faktoren dargestellt werden kann (Anzeigestil (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), dann können wir die Wurzeln der Gleichung finden Axt 2 + bx + c = 0- Sie werden schließlich tatsächlich -m/k und n/l sein (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, und nachdem wir die angegebenen linearen Gleichungen gelöst haben, erhalten wir das Obige. Beachten Sie, dass das quadratische Trinom nicht immer in lineare Faktoren mit reellen Koeffizienten zerlegt wird: Dies ist möglich, wenn die entsprechende Gleichung reelle Wurzeln hat.

Betrachten wir einige Sonderfälle

Verwendung der Quadratsummenformel (Differenzformel).

Wenn das quadratische Trinom die Form (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 hat, können wir es durch Anwendung der obigen Formel in lineare Faktoren und faktorisieren Finden Sie daher Wurzeln:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Das volle Quadrat der Summe (Differenz) isolieren

Die obige Formel wird auch mit einer Methode namens „Auswählen des vollständigen Quadrats der Summe (Differenz)“ verwendet. Bezogen auf die obige quadratische Gleichung mit der zuvor eingeführten Notation bedeutet dies Folgendes:

Notiz: Wie Sie bemerken, stimmt diese Formel mit der im Abschnitt „Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung“ vorgeschlagenen überein, die wiederum aus der allgemeinen Formel (1) durch Einsetzen der Gleichheit a=1 erhalten werden kann. Diese Tatsache ist kein Zufall: Mit der beschriebenen Methode, wenn auch mit einigen zusätzlichen Überlegungen, ist es möglich, daraus zu schließen allgemeine Formel, und beweisen Sie auch die Eigenschaften der Diskriminante.

VI-Methode. Verwendung des direkten und inversen Vieta-Theorems

Der direkte Satz von Vieta (siehe unten im gleichnamigen Abschnitt) und sein Umkehrsatz ermöglichen es Ihnen, die obigen quadratischen Gleichungen mündlich zu lösen, ohne auf recht umständliche Berechnungen mit Formel (1) zurückgreifen zu müssen.

Nach dem Umkehrsatz ist jedes Zahlenpaar (Zahl) (Anzeigestil x_(1),x_(2))x 1, x 2, das eine Lösung des folgenden Gleichungssystems ist, die Wurzeln der Gleichung

Im allgemeinen Fall, also für eine nichtreduzierte quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Ein direkter Satz hilft Ihnen dabei, Zahlen zu finden, die diese Gleichungen mündlich erfüllen. Mit seiner Hilfe können Sie die Anzeichen der Wurzeln bestimmen, ohne die Wurzeln selbst zu kennen. Dazu sollten Sie die Regel befolgen:

1) Wenn der freie Term negativ ist, haben die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen und der größte Absolutwert der Wurzeln hat ein Vorzeichen, das dem Vorzeichen des zweiten Koeffizienten der Gleichung entgegengesetzt ist;

2) Wenn der freie Term positiv ist, haben beide Wurzeln das gleiche Vorzeichen, und dieses ist das Vorzeichen, das dem Vorzeichen des zweiten Koeffizienten entgegengesetzt ist.

VII-Methode. Übertragungsmethode

Mit der sogenannten „Transfer“-Methode können Sie die Lösung nichtreduzierter und irreduzibler Gleichungen auf die Form reduzierter Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten reduzieren, indem Sie sie durch den führenden Koeffizienten dividieren, um reduzierte Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten zu lösen. Es ist wie folgt:

Als nächstes wird die Gleichung auf die oben beschriebene Weise mündlich gelöst, dann wird zur ursprünglichen Variablen zurückgekehrt und die Wurzeln der Gleichungen ermittelt (Anzeigestil y_(1)=ax_(1)). j 1 =Axt 1 Und j 2 =Axt 2 .(Anzeigestil y_(2)=ax_(2))

Geometrische Bedeutung

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung sind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel mit der Abszissenachse. Wenn die Parabel beschrieben quadratische Funktion, die x-Achse nicht schneidet, hat die Gleichung keine echten Wurzeln. Wenn eine Parabel die x-Achse in einem Punkt (am Scheitelpunkt der Parabel) schneidet, hat die Gleichung eine reelle Wurzel (man sagt auch, dass die Gleichung zwei zusammenfallende Wurzeln hat). Wenn die Parabel die x-Achse in zwei Punkten schneidet, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln (siehe Bild rechts).

If-Koeffizient (Anzeigestil a) A positiv, die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet und umgekehrt. Wenn der Koeffizient (Anzeigestil b) bpositive (falls positiv (Anzeigestil a) A, wenn negativ, umgekehrt), dann liegt der Scheitelpunkt der Parabel in der linken Halbebene und umgekehrt.

Anwendung quadratischer Gleichungen im Leben

Die quadratische Gleichung wird häufig verwendet. Es wird in vielen Berechnungen, Strukturen, Sportarten und auch um uns herum verwendet.

Betrachten wir einige Beispiele für die Anwendung der quadratischen Gleichung und geben sie an.

Sport. Hohe Sprünge: Beim Anlauf des Springers werden Berechnungen im Zusammenhang mit der Parabel durchgeführt, um einen möglichst präzisen Schuss an der Absprungstange zu erzielen und hoch zu fliegen.

Auch beim Werfen sind ähnliche Berechnungen erforderlich. Die Flugreichweite eines Objekts hängt von der quadratischen Gleichung ab.

Astronomie. Die Flugbahn der Planeten kann mithilfe einer quadratischen Gleichung ermittelt werden.

Flugzeugflug. Der Start eines Flugzeugs ist der Hauptbestandteil des Fluges. Hier berechnen wir den geringen Widerstand und die Startbeschleunigung.

Quadratische Gleichungen werden auch in verschiedenen Fällen verwendet Wirtschaftsdisziplinen, in Programmen zur Verarbeitung von Audio-, Video-, Vektor- und Rastergrafiken.

Abschluss

Als Ergebnis der geleisteten Arbeit stellte sich heraus, dass quadratische Gleichungen bereits in der Antike Wissenschaftler anzogen, denen sie bei der Lösung einiger Probleme begegnet waren und versuchten, sie zu lösen. Angesichts verschiedene Möglichkeiten Als ich quadratische Gleichungen löste, kam ich zu dem Schluss, dass nicht alle davon einfach sind. Meiner Meinung nach am meisten der beste Weg Das Lösen quadratischer Gleichungen ist das Lösen nach Formeln. Die Formeln sind leicht zu merken, diese Methode ist universell. Die Hypothese, dass Gleichungen im Leben und in der Mathematik weit verbreitet sind, wurde bestätigt. Nachdem ich mich mit dem Thema beschäftigt hatte, habe ich viel gelernt interessante Faktenüber quadratische Gleichungen, ihre Verwendung, Anwendung, Typen, Lösungen. Und ich werde sie gerne weiter studieren. Ich hoffe, dass dies mir hilft, meine Prüfungen gut zu bestehen.

Liste der verwendeten Literatur

Site-Materialien:

Wikipedia

Öffnen Sie Lektion.rf

Handbuch der Elementarmathematik Vygodsky M. Ya.