Beispiel 1. Gegeben eine Funktion F(X) = 3X 2 + 4X– 5. Schreiben wir die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen F(X) am Diagrammpunkt mit der Abszisse X 0 = 1.
Lösung. Ableitung einer Funktion F(X) existiert für jedes x R . Lasst uns sie finden:
= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.
Dann F(X 0) = F(1) = 2; (X 0) = = 10. Die Tangentengleichung hat die Form:
j = (X 0) (X – X 0) + F(X 0),
j = 10(X – 1) + 2,
j = 10X – 8.
Antwort. j = 10X – 8.
Beispiel 2. Gegeben eine Funktion F(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Schreiben wir die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen F(X), parallel zur Linie j = 2X – 11.
Lösung. Ableitung einer Funktion F(X) existiert für jedes x R . Lasst uns sie finden:
= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.
Da die Tangente an den Graphen der Funktion F(X) am Abszissenpunkt X 0 ist parallel zur Linie j = 2X– 11, dann sie Neigung gleich 2, d. h. ( X 0) = 2. Finden wir diese Abszisse aus der Bedingung, dass 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Diese Gleichheit gilt nur, wenn X 0 = 0 und bei X 0 = 2. Da in beiden Fällen F(X 0) = 5, dann gerade j = 2X + B berührt den Graphen der Funktion entweder am Punkt (0; 5) oder am Punkt (2; 5).
Im ersten Fall gilt die numerische Gleichheit 5 = 2×0 + B, Wo B= 5, und im zweiten Fall gilt die Zahlengleichung 5 = 2×2 + B, Wo B = 1.
Es gibt also zwei Tangenten j = 2X+ 5 und j = 2X+ 1 zum Graphen der Funktion F(X), parallel zur Linie j = 2X – 11.
Antwort. j = 2X + 5, j = 2X + 1.
Beispiel 3. Gegeben eine Funktion F(X) = X 2 – 6X+ 7. Schreiben wir die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen F(X), durch den Punkt gehend A (2; –5).
Lösung. Weil F(2) –5, dann Punkt A gehört nicht zum Graphen der Funktion F(X). Lassen X 0 - Abszisse des Tangentenpunkts.
Ableitung einer Funktion F(X) existiert für jedes x R . Lasst uns sie finden:
= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.
Dann F(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 – 6. Die Tangentengleichung hat die Form:
j = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,
j = (2X 0 – 6)X– X+ 7.
Da der Punkt A zur Tangente gehört, dann ist die numerische Gleichheit wahr
–5 = (2X 0 – 6)×2– X+ 7,
Wo X 0 = 0 oder X 0 = 4. Dies bedeutet, dass durch den Punkt A Sie können zwei Tangenten an den Graphen der Funktion zeichnen F(X).
Wenn X 0 = 0, dann hat die Tangentengleichung die Form j = –6X+ 7. Wenn X 0 = 4, dann hat die Tangentengleichung die Form j = 2X – 9.
Antwort. j = –6X + 7, j = 2X – 9.
Beispiel 4. Funktionen gegeben F(X) = X 2 – 2X+ 2 und G(X) = –X 2 – 3. Schreiben wir die Gleichung des gemeinsamen Tangens an die Graphen dieser Funktionen.
Lösung. Lassen X 1 - Abszisse des Tangentenpunkts der gewünschten Linie mit dem Funktionsgraphen F(X), A X 2 - Abszisse des Tangentenpunkts derselben Linie mit dem Funktionsgraphen G(X).
Ableitung einer Funktion F(X) existiert für jedes x R . Lasst uns sie finden:
= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.
Dann F(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 – 2. Die Tangentengleichung hat die Form:
j = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,
j = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)
Finden wir die Ableitung der Funktion G(X):
= (–X 2 – 3)′ = –2 X.
Gegeben sei eine Funktion f, die irgendwann x 0 eine endliche Ableitung f (x 0) hat. Dann wird die durch den Punkt (x 0 ; f (x 0)) verlaufende Gerade mit einem Winkelkoeffizienten f ’(x 0) Tangente genannt.
Was passiert, wenn die Ableitung am Punkt x 0 nicht existiert? Es gibt zwei Möglichkeiten:
- Es gibt auch keine Tangente an den Graphen. Ein klassisches Beispiel ist die Funktion y = |x | am Punkt (0; 0).
- Die Tangente wird vertikal. Dies gilt beispielsweise für die Funktion y = arcsin x im Punkt (1; π /2).
Tangentengleichung
Jede nicht vertikale gerade Linie wird durch eine Gleichung der Form y = kx + b gegeben, wobei k die Steigung ist. Die Tangente ist keine Ausnahme, und um ihre Gleichung an einem Punkt x 0 zu erstellen, reicht es aus, den Wert der Funktion und der Ableitung an diesem Punkt zu kennen.
Es sei also eine Funktion y = f (x) gegeben, die eine Ableitung y = f ’(x) auf dem Segment hat. Dann kann an jedem Punkt x 0 ∈ (a; b) eine Tangente an den Graphen dieser Funktion gezogen werden, die durch die Gleichung gegeben ist:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Hier ist f ’(x 0) der Wert der Ableitung am Punkt x 0 und f (x 0) der Wert der Funktion selbst.
Aufgabe. Gegeben sei die Funktion y = x 3 . Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen dieser Funktion am Punkt x 0 = 2.
Tangentengleichung: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Der Punkt x 0 = 2 ist uns gegeben, aber die Werte f (x 0) und f ’(x 0) müssen berechnet werden.
Lassen Sie uns zunächst den Wert der Funktion ermitteln. Hier ist alles einfach: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Finden wir nun die Ableitung: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Wir setzen x 0 = 2 in die Ableitung ein: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Insgesamt erhalten wir: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Dies ist die Tangentengleichung.
Aufgabe. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion f (x) = 2sin x + 5 am Punkt x 0 = π /2.
Dieses Mal werden wir nicht jede Aktion im Detail beschreiben, sondern nur die wichtigsten Schritte angeben. Wir haben:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Tangentengleichung:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
Im letzteren Fall stellte sich heraus, dass die Gerade horizontal war, weil sein Winkelkoeffizient k = 0. Daran ist nichts auszusetzen – wir sind gerade auf einen Extrempunkt gestoßen.
Jobtyp: 7
Zustand
Die Gerade y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10.
Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist kleiner als Null.Lösung anzeigen
Lösung
Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft. Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentialpunkt gleichzeitig zu beiden Graphen des Funktion und der Tangente, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2
\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)
Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet.
Jobtyp: 7
Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.
Zustand
Antwort
Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist kleiner als Null.Lösung anzeigen
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion
Die Gerade y=-3x+4 verläuft parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7.
Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet.
Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts. Der Winkelkoeffizient der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 an einem beliebigen Punkt x_0 ist gleich y"(x_0). Aber y"=-2x+5, was y" bedeutet (x_0)=-2x_0+5. Der in der Bedingung angegebene Winkelkoeffizient y=-3x+4 ist gleich -3. Daher finden wir einen Wert von x_0, sodass = -2x_0 +5=-3. Wir erhalten: x_0 = 4.
Jobtyp: 7
Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.
Zustand
Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist kleiner als Null.Lösung anzeigen
Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017.
Profilebene " Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(-6; 2) und B(-1; 1) verläuft. Bezeichnen wir mit C(-6; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=-6 und y=1 und mit \alpha den Winkel ABC (in der Abbildung sieht man, dass er spitz ist). Dann bildet die Gerade AB einen Winkel \pi -\alpha mit der positiven Richtung der Ox-Achse, die stumpf ist.
Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet.
Bekanntlich ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.
Jobtyp: 7
Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.
Zustand
Beachten Sie, dass
Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist kleiner als Null.Lösung anzeigen
tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.
Von hier aus erhalten wir unter Verwendung der Reduktionsformeln:
Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=32x_0+b=-2. Andererseits gehört der Tangentenpunkt gleichzeitig zu beiden Graphen des Funktion und der Tangente, also 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(Fälle)
Wenn wir das System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet.
Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet.
Bekanntlich ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.
Jobtyp: 7
Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.
Zustand
Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte größer als Null, also x_0=1, dann b=-2-32x_0=-34.
Lösung anzeigen
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), definiert im Intervall (-2; 8). Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden y=6 verläuft. Die Gerade y=6 verläuft parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse verläuft.
Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet.
Bekanntlich ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.
Jobtyp: 7
Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.
Zustand
An
Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist kleiner als Null.Lösung anzeigen
dieses Diagramm
Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet.
Bekanntlich ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.
Jobtyp: 7
Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.
Zustand
Solche Punkte sind Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen, gibt es 4 Extrempunkte.
Lösung anzeigen
Die Linie y=4x-6 verläuft parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9.
Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.
Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9 an einem beliebigen Punkt x_0 ist gleich y"(x_0). Aber y"=2x-4, was y"(x_0)= bedeutet 2x_0-4. Die in der Bedingung angegebene Steigung der Tangente y =4x-7 ist gleich 4. Parallele Linien haben die gleichen Winkelkoeffizienten, sodass 2x_0-4=4 ist.
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x_0.
Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.
Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(1; 1) und B(5; 4) verläuft. Bezeichnen wir mit C(5; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=5 und y=1 und mit \alpha den Winkel BAC (Sie können in der Abbildung sehen, dass er spitz ist). Dann bildet die Gerade AB einen Winkel \alpha mit der positiven Richtung der Ox-Achse. Betrachten Sie die folgende Abbildung:
In diesem Fall ist der Winkelkoeffizient der Tangente gleich der Ableitung dieser Funktion an diesem Punkt f’(x0). Das ist geometrische Bedeutung Derivat. Die Tangente an den Graphen einer am Punkt x0 differenzierbaren Funktion f ist eine bestimmte Gerade, die durch den Punkt (x0;f(x0)) verläuft und einen Winkelkoeffizienten f’(x0) hat.
Tangentengleichung
Versuchen wir, die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion f am Punkt A(x0; f(x0)) zu erhalten. Die Gleichung einer Geraden mit Steigung k hat nächste Ansicht:
Da unser Steigungskoeffizient gleich der Ableitung ist f’(x0), dann nimmt die Gleichung die folgende Form an: y = f’(x0)*x + b.
Berechnen wir nun den Wert von b. Dazu nutzen wir die Tatsache, dass die Funktion durch Punkt A verläuft.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, von hier aus drücken wir b aus und erhalten b = f(x0) – f’(x0)*x0.
Den resultierenden Wert setzen wir in die Tangentengleichung ein:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) – f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x – x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Betrachten Sie das folgende Beispiel: Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 am Punkt x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Setzen Sie die erhaltenen Werte in die Tangensformel ein, wir erhalten: y = 1 + 4*(x - 2). Wenn wir die Klammern öffnen und ähnliche Begriffe einsetzen, erhalten wir: y = 4*x - 7.
Antwort: y = 4*x - 7.
Allgemeines Schema zum Erstellen der Tangentengleichung zum Graphen der Funktion y = f(x):
1. Bestimmen Sie x0.
2. Berechnen Sie f(x0).
3. Berechnen Sie f’(x)
Tangente ist eine Gerade, die durch einen Punkt auf der Kurve verläuft und an diesem Punkt bis zur ersten Ordnung mit diesem zusammenfällt (Abb. 1).
Eine andere Definition: Dies ist die Grenzposition der Sekante bei Δ X→0.
Erläuterung: Nehmen Sie eine gerade Linie, die die Kurve in zwei Punkten schneidet: A Und B(siehe Bild). Das ist eine Sekante. Wir drehen es im Uhrzeigersinn, bis es nur noch einen gemeinsamen Punkt mit der Kurve findet. Dadurch erhalten wir eine Tangente.
Strikte Definition der Tangente:
Tangente an den Graphen einer Funktion F, am Punkt differenzierbar XO, ist eine gerade Linie, die durch den Punkt ( XO; F(XO)) und mit einer Steigung F′( XO).
Der Hang hat die Form einer Geraden y=kx +B. Koeffizient k und ist Neigung diese gerade Linie.
Der Winkelkoeffizient ist gleich dem Tangens des spitzen Winkels, den diese Gerade mit der Abszissenachse bildet:
|
Dabei ist Winkel α der Winkel zwischen der Geraden y=kx +B und positive (d. h. gegen den Uhrzeigersinn) Richtung der x-Achse. Es heißt Neigungswinkel einer Geraden(Abb. 1 und 2). 
Wenn der Neigungswinkel gerade ist y=kx +B akut, dann ist die Steigung eine positive Zahl. Die Grafik nimmt zu (Abb. 1).
Wenn der Neigungswinkel gerade ist y=kx +B stumpf ist, dann ist die Steigung negative Zahl. Die Grafik nimmt ab (Abb. 2).
Wenn die Gerade parallel zur x-Achse verläuft, ist der Neigungswinkel der Geraden Null. In diesem Fall ist die Steigung der Geraden ebenfalls Null (da der Tangens von Null Null ist). Die Gleichung der Geraden sieht wie folgt aus: y = b (Abb. 3).
Wenn der Neigungswinkel einer Geraden 90° (π/2) beträgt, also senkrecht zur Abszissenachse steht, dann ist die Gerade durch die Gleichheit gegeben x =C, Wo C- manche reelle Zahl(Abb. 4).
Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktionj = F(X) am Punkt XO:
Beispiel: Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 am Punkt mit Abszisse 2.
Lösung .
Wir folgen dem Algorithmus.
1) Berührungspunkt XO ist gleich 2. Berechnen Sie F(XO):
F(XO) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Finden F′( X). Dazu wenden wir die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Differenzierungsformeln an. Nach diesen Formeln gilt X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Bedeutet:
F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Verwenden Sie nun den resultierenden Wert F′( X), berechnen F′( XO):
F′( XO) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Wir haben also alle notwendigen Daten: XO = 2, F(XO) = 1, F ′( XO) = 4. Setze diese Zahlen in die Tangentengleichung ein und finde die endgültige Lösung:
y = F(XO) + F′( XO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.
Antwort: y = 4x – 7.
Laden...
