Als Sie angefangen haben, etwas über Quadratwurzeln und das Lösen irrationaler Gleichungen (Gleichungen mit einer Unbekannten unter dem Wurzelzeichen) zu lernen, haben Sie wahrscheinlich einen ersten Eindruck von deren praktischen Anwendung bekommen. Fähigkeit zu extrahieren Quadratwurzel aus Zahlen ist auch notwendig, um Probleme mit dem Satz des Pythagoras zu lösen. Dieser Satz bezieht sich auf die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die Längen der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks (die beiden Seiten, die sich im rechten Winkel treffen) werden mit den Buchstaben und bezeichnet und die Länge der Hypotenuse (die längste gegenüberliegende Seite des Dreiecks). rechter Winkel) wird durch den Buchstaben angezeigt. Dann hängen die entsprechenden Längen durch die folgende Beziehung zusammen:
Mit dieser Gleichung können Sie die Länge einer Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln, wenn die Länge der beiden anderen Seiten bekannt ist. Darüber hinaus können Sie damit feststellen, ob es sich bei dem betreffenden Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, sofern die Längen aller drei Seiten im Voraus bekannt sind.
Lösen von Problemen mit dem Satz des Pythagoras
Um das Material zu festigen, werden wir die folgenden Probleme mit dem Satz des Pythagoras lösen.
Also gegeben:
- Die Länge eines Beins beträgt 48, die Hypotenuse 80.
- Die Beinlänge beträgt 84, die Hypotenuse 91.
Kommen wir zur Lösung:
a) Das Einsetzen der Daten in die obige Gleichung führt zu folgenden Ergebnissen:
48 2 + B 2 = 80 2
2304 + B 2 = 6400
B 2 = 4096
B= 64 oder B = -64
Da die Länge einer Seite eines Dreiecks nicht ausgedrückt werden kann negative Zahl, wird die zweite Option automatisch verworfen.
Antwort zum ersten Bild: B = 64.
b) Die Länge des Schenkels des zweiten Dreiecks wird auf die gleiche Weise ermittelt:
84 2 + B 2 = 91 2
7056 + B 2 = 8281
B 2 = 1225
B= 35 oder B = -35
Wie im vorherigen Fall wird eine negative Entscheidung verworfen.
Antwort zum zweiten Bild: B = 35
Uns wird gegeben:
- Die Länge der kleineren Seiten des Dreiecks beträgt 45 bzw. 55 und die der größeren Seiten 75.
- Die Längen der kleineren Seiten des Dreiecks betragen 28 bzw. 45 und die längeren Seiten betragen 53.
Lösen wir das Problem:
a) Es muss geprüft werden, ob die Summe der Quadrate der Längen der kürzeren Seiten gleich ist gegebenes Dreieck das Quadrat der größeren Länge:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Daher ist das erste Dreieck kein rechtwinkliges Dreieck.
b) Die gleiche Operation wird ausgeführt:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Daher ist das zweite Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck.
Ermitteln wir zunächst die Länge des größten Segments, das aus Punkten mit den Koordinaten (-2, -3) und (5, -2) besteht. Dazu verwenden wir die bekannte Formel zur Ermittlung des Abstands zwischen Punkten in rechteckiges System Koordinaten:
Ebenso ermitteln wir die Länge des Segments, das zwischen Punkten mit den Koordinaten (-2, -3) und (2, 1) eingeschlossen ist:
Schließlich bestimmen wir die Länge des Segments zwischen Punkten mit den Koordinaten (2, 1) und (5, -2):
Da die Gleichheit gilt:
dann ist das entsprechende Dreieck rechtwinklig.
Somit können wir die Antwort auf das Problem formulieren: Da die Summe der Quadrate der Seiten mit der kürzesten Länge gleich dem Quadrat der Seite mit der längsten Länge ist, sind die Punkte die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die Basis (streng horizontal angeordnet), der Pfosten (streng vertikal angeordnet) und das Kabel (diagonal gestreckt) bilden jeweils ein rechtwinkliges Dreieck. Um die Länge des Kabels zu ermitteln, kann der Satz des Pythagoras verwendet werden:
Somit beträgt die Länge des Kabels etwa 3,6 Meter.
Gegeben: Der Abstand vom Punkt R zum Punkt P (dem Schenkel des Dreiecks) beträgt 24, vom Punkt R zum Punkt Q (Hypotenuse) beträgt er 26.
Helfen wir Vita also, das Problem zu lösen. Da die Seiten des in der Abbildung gezeigten Dreiecks ein rechtwinkliges Dreieck bilden sollen, können Sie den Satz des Pythagoras verwenden, um die Länge der dritten Seite zu ermitteln:
Die Breite des Teiches beträgt also 10 Meter.
Sergej Walerjewitsch
Das Potenzial für Kreativität wird üblicherweise den Geisteswissenschaften zugeschrieben, während die Analyse den Naturwissenschaften überlassen wird. praktischer Ansatz und trockene Formel- und Zahlensprache. Mathematik kann nicht als geisteswissenschaftliches Fach eingestuft werden. Doch ohne Kreativität kommt man in der „Königin aller Wissenschaften“ nicht weit – das weiß man schon lange. Zum Beispiel seit der Zeit des Pythagoras.
In Schulbüchern wird leider meist nicht erklärt, dass es in der Mathematik nicht nur darauf ankommt, Sätze, Axiome und Formeln zu stopfen. Es ist wichtig, seine Grundprinzipien zu verstehen und zu spüren. Und versuchen Sie gleichzeitig, Ihren Geist von Klischees und elementaren Wahrheiten zu befreien – nur unter solchen Bedingungen entstehen alle großen Entdeckungen.
Zu diesen Entdeckungen gehört das, was wir heute als den Satz des Pythagoras kennen. Mit seiner Hilfe werden wir versuchen zu zeigen, dass Mathematik nicht nur spannend sein kann, sondern auch spannend sein soll. Und dass dieses Abenteuer nicht nur für Nerds mit dicker Brille geeignet ist, sondern für alle, die einen starken Geist und einen starken Geist haben.
Aus der Geschichte der Ausgabe
Genau genommen wird der Satz zwar als „Satz des Pythagoras“ bezeichnet, Pythagoras selbst hat ihn jedoch nicht entdeckt. Das rechtwinklige Dreieck und seine besonderen Eigenschaften wurden schon lange vorher untersucht. Zu diesem Thema gibt es zwei gegensätzliche Standpunkte. Einer Version zufolge war Pythagoras der erste, der einen vollständigen Beweis des Satzes fand. Einer anderen zufolge gehört der Beweis nicht zur Urheberschaft von Pythagoras.
Heute kann man nicht mehr überprüfen, wer Recht und wer Unrecht hat. Bekannt ist, dass der Beweis des Pythagoras, falls er jemals existierte, nicht überliefert ist. Es gibt jedoch Hinweise darauf, dass der berühmte Beweis aus Euklids Elementen möglicherweise von Pythagoras stammt und Euklid ihn nur aufgezeichnet hat.
Es ist heute auch bekannt, dass Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck in ägyptischen Quellen aus der Zeit von Pharao Amenemhat I., auf babylonischen Tontafeln aus der Regierungszeit von König Hammurabi, in der altindischen Abhandlung „Sulva Sutra“ und dem altchinesischen Werk „ Zhou-bi suan jin“.
Wie Sie sehen, beschäftigt der Satz des Pythagoras die Mathematiker seit der Antike. Dies wird durch etwa 367 verschiedene Beweise bestätigt, die heute existieren. Darin kann kein anderer Satz mit ihm konkurrieren. Unter den berühmten Beweisautoren können wir uns an Leonardo da Vinci und den zwanzigsten US-Präsidenten James Garfield erinnern. All dies spricht für die außerordentliche Bedeutung dieses Theorems für die Mathematik: Die meisten Theoreme der Geometrie leiten sich daraus ab oder sind irgendwie damit verbunden.
Beweise des Satzes des Pythagoras
In Schulbüchern finden sich meist algebraische Beweise. Aber der Kern des Theorems liegt in der Geometrie, also betrachten wir zunächst die Beweise des berühmten Theorems, die auf dieser Wissenschaft basieren.
Beweis 1
Für den einfachsten Beweis des Satzes des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck müssen Sie ideale Bedingungen festlegen: Das Dreieck sei nicht nur rechtwinklig, sondern auch gleichschenklig. Es gibt Grund zu der Annahme, dass die antiken Mathematiker ursprünglich genau diese Art von Dreieck in Betracht gezogen haben.
Stellungnahme „Ein auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebautes Quadrat ist gleich der Summe der auf seinen Schenkeln aufgebauten Quadrate“ lässt sich anhand der folgenden Zeichnung veranschaulichen:
Schauen Sie sich das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck ABC an: Auf der Hypotenuse AC können Sie ein Quadrat konstruieren, das aus vier Dreiecken besteht, die dem ursprünglichen ABC entsprechen. Und auf den Seiten AB und BC entsteht ein Quadrat, das jeweils zwei ähnliche Dreiecke enthält.
Diese Zeichnung bildete übrigens die Grundlage zahlreicher Witze und Cartoons, die dem Satz des Pythagoras gewidmet waren. Der bekannteste ist wohl „Pythagoräische Hosen sind in alle Richtungen gleich“:
Beweis 2
Diese Methode kombiniert Algebra und Geometrie und kann als Variante des altindischen Beweises des Mathematikers Bhaskari angesehen werden.
Konstruieren Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten a, b und c(Abb. 1). Konstruieren Sie dann zwei Quadrate, deren Seiten gleich der Summe der Längen der beiden Beine sind – (a+b). Erstellen Sie in jedem der Quadrate Konstruktionen wie in den Abbildungen 2 und 3.
Bauen Sie im ersten Quadrat vier Dreiecke ähnlich denen in Abbildung 1. Das Ergebnis sind zwei Quadrate: eines mit der Seite a, das zweite mit der Seite B.
Im zweiten Quadrat bilden vier gleichartige Dreiecke ein Quadrat mit einer Seite gleich der Hypotenuse C.
Die Summe der Flächen der konstruierten Quadrate in Abb. 2 ist gleich der Fläche des Quadrats, das wir mit der Seite c in Abb. 3 konstruiert haben. Dies lässt sich leicht überprüfen, indem man die Fläche der Quadrate in Abb. berechnet. 2 nach der Formel. Und die Fläche des eingeschriebenen Quadrats in Abbildung 3. durch Subtrahieren der Flächen von vier gleichen rechtwinkligen Dreiecken, die in das Quadrat eingeschrieben sind, von der Fläche eines großen Quadrats mit einer Seite (a+b).
Wenn wir das alles aufschreiben, haben wir: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Öffnen Sie die Klammern, führen Sie alle notwendigen algebraischen Berechnungen durch und erhalten Sie das Ergebnis a 2 +b 2 = a 2 +b 2. In diesem Fall der in Abb. 3 eingeschriebene Bereich. Das Quadrat kann auch mit der herkömmlichen Formel berechnet werden S=c 2. Diese. a 2 +b 2 =c 2– Sie haben den Satz des Pythagoras bewiesen.
Beweis 3
Der altindische Beweis selbst wurde im 12. Jahrhundert in der Abhandlung „Die Krone des Wissens“ („Siddhanta Shiromani“) beschrieben und als Hauptargument verwendet der Autor einen Appell an die mathematischen Talente und Beobachtungsgaben von Schülern und Anhängern: „ Sehen!"
Aber wir werden diesen Beweis genauer analysieren:
Bauen Sie innerhalb des Quadrats vier rechtwinklige Dreiecke, wie in der Zeichnung gezeigt. Bezeichnen wir die Seite des großen Quadrats, auch Hypotenuse genannt, Mit. Nennen wir die Beine des Dreiecks A Und B. Laut Zeichnung ist die Seite des inneren Quadrats (ab).
Verwenden Sie die Formel für die Fläche eines Quadrats S=c 2 um die Fläche des äußeren Quadrats zu berechnen. Und berechnen Sie gleichzeitig den gleichen Wert, indem Sie die Fläche des inneren Quadrats und die Flächen aller vier rechtwinkligen Dreiecke addieren: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Sie können beide Optionen zur Berechnung der Fläche eines Quadrats verwenden, um sicherzustellen, dass sie das gleiche Ergebnis liefern. Und das gibt Ihnen das Recht, das aufzuschreiben c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Als Ergebnis der Lösung erhalten Sie die Formel des Satzes des Pythagoras c 2 =a 2 +b 2. Der Satz ist bewiesen.
Beweis 4
Dieser seltsame alte chinesische Beweis wurde „Brautstuhl“ genannt – wegen der stuhlähnlichen Figur, die sich aus allen Konstruktionen ergibt:
Es verwendet die Zeichnung, die wir bereits in Abb. 3 im zweiten Beweis gesehen haben. Und das innere Quadrat mit der Seite c wird auf die gleiche Weise konstruiert wie im oben angegebenen altindischen Beweis.
Wenn Sie gedanklich zwei grüne rechteckige Dreiecke aus der Zeichnung in Abb. 1 ausschneiden, sie mit der Seite c auf gegenüberliegende Seiten des Quadrats verschieben und die Hypotenusen an den Hypotenusen der lila Dreiecke befestigen, erhalten Sie eine Figur namens „Brautstuhl“. (Abb. 2). Der Übersichtlichkeit halber können Sie dasselbe auch mit Papierquadraten und -dreiecken tun. Sie werden darauf achten, dass der „Brautstuhl“ aus zwei Quadraten besteht: kleinen Quadraten mit einer Seite B und groß mit einer Seite A.
Diese Konstruktionen ermöglichten es den alten chinesischen Mathematikern und uns, die ihnen folgten, zu dem Schluss zu kommen, dass c 2 =a 2 +b 2.
Beweis 5
Dies ist eine weitere Möglichkeit, mithilfe der Geometrie eine Lösung für den Satz des Pythagoras zu finden. Es heißt Garfield-Methode.
Konstruieren Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC. Das müssen wir beweisen BC 2 = AC 2 + AB 2.
Setzen Sie dazu das Bein fort Wechselstrom und konstruiere ein Segment CD, welche gleich dem Bein AB. Senken Sie die Senkrechte ab ANZEIGE Segment ED. Segmente ED Und Wechselstrom sind gleich. Verbinde die Punkte E Und IN, und auch E Und MIT und erhalten Sie eine Zeichnung wie im Bild unten:
Um den Turm zu beweisen, greifen wir erneut auf die Methode zurück, die wir bereits ausprobiert haben: Wir ermitteln die Fläche der resultierenden Figur auf zwei Arten und setzen die Ausdrücke miteinander gleich.
Finden Sie die Fläche eines Polygons IM BETT Dies kann durch Addition der Flächen der drei Dreiecke erfolgen, aus denen es besteht. Und einer von ihnen, ERU, ist nicht nur rechteckig, sondern auch gleichschenklig. Vergessen wir das auch nicht AB=CD, AC=ED Und BC=SE– Dadurch können wir die Aufnahme vereinfachen und nicht überlasten. Also, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
Gleichzeitig ist es offensichtlich IM BETT- Das ist ein Trapez. Daher berechnen wir seine Fläche nach der Formel: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Für unsere Berechnungen ist es bequemer und übersichtlicher, das Segment darzustellen ANZEIGE als Summe der Segmente Wechselstrom Und CD.
Schreiben wir beide Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche einer Figur auf und setzen ein Gleichheitszeichen dazwischen: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Um die rechte Seite der Notation zu vereinfachen, verwenden wir die uns bereits bekannte und oben beschriebene Segmentgleichheit: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Öffnen wir nun die Klammern und transformieren die Gleichheit: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nachdem wir alle Transformationen abgeschlossen haben, erhalten wir genau das, was wir brauchen: BC 2 = AC 2 + AB 2. Wir haben den Satz bewiesen.
Natürlich ist diese Beweisliste bei weitem nicht vollständig. Der Satz des Pythagoras kann auch mit Vektoren, komplexen Zahlen, Differentialgleichungen, Stereometrie usw. bewiesen werden. Und sogar Physiker: Wenn beispielsweise Flüssigkeit in quadratische und dreieckige Volumina gegossen wird, ähnlich denen, die in den Zeichnungen dargestellt sind. Durch das Eingießen von Flüssigkeit kann man die Flächengleichheit und damit den Satz selbst beweisen.
Ein paar Worte zu den pythagoräischen Drillingen
Dieses Thema wird im Lehrplan der Schulen kaum oder gar nicht behandelt. Mittlerweile ist es sehr interessant und von großer Bedeutung in der Geometrie. Pythagoräische Tripel werden zur Lösung vieler mathematischer Probleme verwendet. Sie zu verstehen, kann für Ihre weitere Ausbildung von Nutzen sein.
Was sind also pythagoreische Drillinge? So nennen sie es natürliche Zahlen, in Dreiern gesammelt, wobei die Summe der Quadrate von zwei gleich der dritten Zahl im Quadrat ist.
Pythagoreische Tripel können sein:
- primitiv (alle drei Zahlen sind relativ prim);
- nicht primitiv (wenn jede Zahl eines Tripels mit derselben Zahl multipliziert wird, erhält man ein neues Tripel, das nicht primitiv ist).
Schon vor unserer Zeitrechnung waren die alten Ägypter von der Zahlenmanie der pythagoräischen Drillinge fasziniert: In Aufgabenstellungen betrachteten sie ein rechtwinkliges Dreieck mit Seitenlängen von 3, 4 und 5 Einheiten. Übrigens ist jedes Dreieck, dessen Seiten den Zahlen aus dem pythagoräischen Tripel entsprechen, standardmäßig rechteckig.
Beispiele für pythagoreische Drillinge: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) usw.
Praktische Anwendung des Theorems
Der Satz des Pythagoras wird nicht nur in der Mathematik verwendet, sondern auch in der Architektur und im Bauwesen, in der Astronomie und sogar in der Literatur.
Zunächst zur Konstruktion: Der Satz des Pythagoras wird häufig bei Problemen verwendet verschiedene Ebenen Komplexität. Schauen Sie sich zum Beispiel ein romanisches Fenster an:
Bezeichnen wir die Breite des Fensters als B, dann kann der Radius des großen Halbkreises als bezeichnet werden R und durchdrücken b: R=b/2. Der Radius kleinerer Halbkreise kann auch durch ausgedrückt werden b: r=b/4. Bei diesem Problem interessiert uns der Radius des inneren Kreises des Fensters (nennen wir ihn). P).
Der Satz des Pythagoras dient lediglich der Berechnung R. Dazu verwenden wir ein rechtwinkliges Dreieck, das in der Abbildung durch eine gepunktete Linie angedeutet ist. Die Hypotenuse eines Dreiecks besteht aus zwei Radien: b/4+p. Ein Bein repräsentiert den Radius b/4, ein anderer b/2-p. Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras schreiben wir: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Als nächstes öffnen wir die Klammern und erhalten b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln in bp/2=b 2 /4-bp. Und dann dividieren wir alle Terme durch B, wir präsentieren ähnliche zu bekommen 3/2*p=b/4. Und am Ende finden wir das p=b/6- das ist es, was wir brauchten.
Mit dem Satz können Sie die Länge der Sparren berechnen Satteldach. Bestimmen Sie, wie hoch ein Mobilfunkmast sein muss, damit das Signal eine bestimmte Reichweite erreicht Siedlung. Und sogar stabil installieren Weihnachtsbaum auf dem Stadtplatz. Wie Sie sehen, lebt dieser Satz nicht nur auf den Seiten von Lehrbüchern, sondern ist oft auch im wirklichen Leben nützlich.
In der Literatur inspirierte der Satz des Pythagoras Schriftsteller seit der Antike und tut dies auch heute noch. Beispielsweise wurde der deutsche Schriftsteller Adelbert von Chamisso im 19. Jahrhundert zu einem Sonett inspiriert:
Das Licht der Wahrheit wird nicht so schnell verschwinden,
Aber nachdem es geleuchtet hat, ist es unwahrscheinlich, dass es sich auflöst
Und wie vor Tausenden von Jahren
Es wird keine Zweifel oder Streitigkeiten hervorrufen.
Am weisesten ist es, wenn es deinen Blick berührt
Licht der Wahrheit, den Göttern sei Dank;
Und hundert geschlachtete Bullen liegen -
Ein Gegengeschenk des glücklichen Pythagoras.
Seitdem brüllen die Bullen verzweifelt:
Für immer beunruhigte der Bullenstamm
Hier erwähnte Veranstaltung.
Es scheint ihnen, dass die Zeit bald kommen wird,
Und sie werden erneut geopfert
Ein toller Satz.
(Übersetzung von Viktor Toporov)
Und im 20. Jahrhundert widmete der sowjetische Schriftsteller Evgeniy Veltistov in seinem Buch „Die Abenteuer der Elektronik“ ein ganzes Kapitel den Beweisen des Satzes des Pythagoras. Und noch ein halbes Kapitel zur Geschichte über die zweidimensionale Welt, die existieren könnte, wenn der Satz des Pythagoras ein Grundgesetz und sogar eine Religion für eine einzige Welt würde. Das Leben dort wäre viel einfacher, aber auch viel langweiliger: Beispielsweise versteht dort niemand die Bedeutung der Wörter „rund“ und „flauschig“.
Und in dem Buch „Die Abenteuer der Elektronik“ sagt der Autor durch den Mund des Mathematiklehrers Taratar: „Das Wichtigste in der Mathematik ist die Bewegung des Denkens, neue Ideen.“ Es ist genau dieser kreative Gedankengang, der den Satz des Pythagoras hervorbringt – nicht umsonst gibt es für ihn so viele verschiedene Beweise. Es hilft Ihnen, über die Grenzen des Vertrauten hinauszugehen und Vertrautes aus einer neuen Perspektive zu betrachten.
Abschluss
Dieser Artikel wurde erstellt, damit Sie über den Schullehrplan in Mathematik hinausblicken und nicht nur die Beweise des Satzes des Pythagoras lernen können, die in den Lehrbüchern „Geometrie 7-9“ (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) und „Geometrie 7“ enthalten sind. 11“ (A.V. Pogorelov), aber auch andere interessante Möglichkeiten, den berühmten Satz zu beweisen. Und sehen Sie sich auch Beispiele dafür an, wie der Satz des Pythagoras im Alltag angewendet werden kann.
Erstens ermöglichen Ihnen diese Informationen, bessere Noten im Mathematikunterricht zu erzielen – Informationen zu diesem Thema aus zusätzlichen Quellen sind immer sehr willkommen.
Zweitens wollten wir Ihnen vermitteln, wie interessant Mathematik ist. Stellen Sie sicher konkrete Beispiele dass darin immer Platz für Kreativität ist. Wir hoffen, dass der Satz des Pythagoras und dieser Artikel Sie dazu inspirieren, selbstständig zu forschen und spannende Entdeckungen in der Mathematik und anderen Wissenschaften zu machen.
Sagen Sie uns in den Kommentaren, ob Sie die im Artikel präsentierten Beweise interessant fanden. Fanden diese Informationen für Ihr Studium nützlich? Schreiben Sie uns, was Sie über den Satz des Pythagoras und diesen Artikel denken – wir besprechen das alles gerne mit Ihnen.
Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Quelle erforderlich.
(laut Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Cantor bauten Harpedonaptes oder „Seilzieher“ rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seitenlängen 3, 4 und 5.
Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen wir ein 12 m langes Seil und binden wir im Abstand von 3 m von einem Ende und 4 Metern vom anderen Ende einen farbigen Streifen daran fest. Der rechte Winkel liegt zwischen 3 und 4 Metern Länge. Den Harpedonaptianern könnte man einwenden, dass ihre Bauweise überflüssig wird, wenn man beispielsweise einen Holzwinkel verwendet, der von allen Zimmerleuten verwendet wird. Tatsächlich sind ägyptische Zeichnungen bekannt, in denen ein solches Werkzeug zu finden ist, beispielsweise Zeichnungen, die eine Tischlerei darstellen.
Über den Satz des Pythagoras ist etwas mehr bekannt Babylonier. In einem Text, der sich auf die Zeit bezieht Hammurabi, das heißt, zu 2000 v. Chr e. wird eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben. Daraus können wir schließen, dass in Mesopotamien konnten zumindest teilweise Berechnungen mit rechtwinkligen Dreiecken durchführen. Basierend einerseits auf dem aktuellen Wissensstand über die ägyptische und babylonische Mathematik und andererseits auf einer kritischen Auseinandersetzung mit griechischen Quellen, Van der Waerden(Niederländischer Mathematiker) kam zu dem Schluss, dass die Wahrscheinlichkeit hoch ist Satz Das Quadrat der Hypotenuse war in Indien etwa seit etwa bekannt 18. Jahrhundert v. Chr e.
Um 400 v. Chr. h., nach Proklos, Plato gab eine Methode zum Finden pythagoräischer Tripel an, die Algebra und Geometrie kombinierte. Um 300 v. Chr. e. V Euklids „Elemente“ der Älteste erschien axiomatischer Beweis Satz des Pythagoras.
Formulierungen
Geometrische Formulierung:
Der Satz wurde ursprünglich wie folgt formuliert:
Algebraische Formulierung:
Das heißt, wir bezeichnen die Länge der Hypotenuse des Dreiecks mit und die Länge der Schenkel mit und :
Beide Formulierungen des Satzes sind gleichwertig, die zweite Formulierung ist jedoch elementarer; Bereich. Das heißt, die zweite Aussage kann überprüft werden, ohne etwas über die Fläche zu wissen und indem man nur die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks misst.
Umgekehrter Satz des Pythagoras:
Nachweisen
Derzeit in wissenschaftliche Literatur 367 Beweise dieses Theorems wurden aufgezeichnet. Wahrscheinlich ist der Satz des Pythagoras der einzige Satz mit einer so beeindruckenden Anzahl von Beweisen. Diese Vielfalt lässt sich nur durch die grundlegende Bedeutung des Satzes für die Geometrie erklären.
Natürlich lassen sich alle konzeptionell in eine kleine Anzahl von Klassen einteilen. Die bekanntesten davon: Beweise nach der Flächenmethode, axiomatische und exotische Beweise (z. B. unter Verwendung von Differentialgleichungen).
Durch ähnliche Dreiecke
Der folgende Beweis der algebraischen Formulierung ist der einfachste der Beweise, der direkt aus den Axiomen konstruiert wurde. Insbesondere wird das Konzept nicht verwendet Bereich der Figur.
Lassen ABC Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C. Zeichnen wir die Höhe aus C und bezeichne seine Basis mit H. Dreieck ACH ähnlich Dreieck ABC an zwei Ecken. Ebenso Dreieck CBHähnlich ABC. Durch die Einführung der Notation
wir bekommen
Was ist gleichwertig
Wenn wir es addieren, erhalten wir
, was bewiesen werden mussteBeweise mit der Flächenmethode
Die folgenden Beweise sind trotz ihrer scheinbaren Einfachheit gar nicht so einfach. Sie alle nutzen Flächeneigenschaften, deren Beweis komplexer ist als der Beweis des Satzes des Pythagoras selbst.
Beweis durch Äquikomplementierung
- Ordnen wir vier gleiche rechtwinklige Dreiecke an, wie in Abbildung 1 gezeigt.
- Viereck mit Seiten C ist ein Quadrat, da die Summe zweier spitzer Winkel 90° beträgt und der gerade Winkel 180° beträgt.
- Die Fläche der gesamten Figur entspricht einerseits der Fläche eines Quadrats mit der Seite (a + b) und andererseits der Summe der Flächen der vier Dreiecke und der Fläche des inneren Platzes.
Q.E.D.
Euklids Beweis
Die Idee von Euklids Beweis ist wie folgt: Versuchen wir zu beweisen, dass die Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der halben Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate ist, und dann die Flächen von das große und zwei kleine Quadrate sind gleich.
Schauen wir uns die Zeichnung links an. Darauf haben wir Quadrate auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks konstruiert und einen Strahl s vom Scheitelpunkt des rechten Winkels C senkrecht zur Hypotenuse AB gezeichnet. Er schneidet das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat ABIK in zwei Rechtecke – BHJI und HAKJ. jeweils. Es stellt sich heraus, dass die Flächen dieser Rechtecke genau den Flächen der Quadrate entsprechen, die auf den entsprechenden Beinen aufgebaut sind.
Versuchen wir zu beweisen, dass die Fläche des Quadrats DECA gleich der Fläche des Rechtecks AHJK ist. Dazu verwenden wir eine Hilfsbeobachtung: Die Fläche eines Dreiecks mit der gleichen Höhe und Grundfläche wie Das gegebene Rechteck ist gleich der Hälfte der Fläche des gegebenen Rechtecks. Dies ist eine Folge der Definition der Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe. Aus dieser Beobachtung folgt, dass die Fläche des Dreiecks ACK gleich der Fläche des Dreiecks AHK (in der Abbildung nicht dargestellt) ist, die wiederum gleich der Hälfte der Fläche des Rechtecks AHJK ist.
Lassen Sie uns nun beweisen, dass die Fläche des Dreiecks ACK auch gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats DECA ist. Dazu muss lediglich die Gleichheit der Dreiecke ACK und BDA nachgewiesen werden (da die Fläche des Dreiecks BDA gemäß obiger Eigenschaft gleich der halben Fläche des Quadrats ist). Diese Gleichheit ist offensichtlich: Die Dreiecke sind auf beiden Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen ist gleich. Nämlich - AB=AK, AD=AC - die Gleichheit der Winkel CAK und BAD lässt sich leicht durch die Bewegungsmethode beweisen: Wir drehen das Dreieck CAK um 90° gegen den Uhrzeigersinn, dann ist es offensichtlich, dass die entsprechenden Seiten der beiden Dreiecke in Frage wird übereinstimmen (aufgrund der Tatsache, dass der Winkel am Scheitelpunkt des Quadrats 90° beträgt).
Die Begründung für die Flächengleichheit des Quadrats BCFG und des Rechtecks BHJI ist völlig ähnlich.
Damit haben wir bewiesen, dass sich die Fläche eines auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats aus den Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate zusammensetzt. Die Idee hinter diesem Beweis wird durch die obige Animation weiter veranschaulicht.
Nachweisen Leonardo da Vinci
Die Hauptelemente des Beweises sind Symmetrie und Bewegung.
Betrachten wir die Zeichnung, wie aus der Symmetrie hervorgeht, schneidet das Segment das Quadrat in zwei identische Teile (da die Dreiecke gleich aufgebaut sind).
Wenn wir den Punkt um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn drehen, sehen wir die Gleichheit der schattierten Figuren und.
Nun ist klar, dass die Fläche der von uns schattierten Figur gleich der Summe der Hälfte der Flächen der kleinen Quadrate (auf den Beinen aufgebaut) und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist. Andererseits entspricht sie der Hälfte der Fläche des großen Quadrats (aufgebaut auf der Hypotenuse) plus der Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Somit ist die halbe Summe der Flächen kleiner Quadrate gleich der halben Fläche des großen Quadrats, und daher ist die Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate gleich der Fläche des auf den Beinen aufgebauten Quadrats Hypotenuse.
Beweis mit der Infinitesimalmethode
Der folgende Beweis mithilfe von Differentialgleichungen wird oft dem berühmten englischen Mathematiker zugeschrieben Winterhart, der in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts lebte.
Schauen Sie sich die in der Abbildung gezeigte Zeichnung an und beobachten Sie den Seitenwechsel A können wir die folgende Beziehung für infinitesimale Seiteninkremente schreiben Mit Und A(unter Verwendung der Dreiecksähnlichkeit):
Mit der Methode der Variablentrennung finden wir
Ein allgemeinerer Ausdruck für die Änderung der Hypotenuse bei beidseitigen Inkrementen
Wenn wir diese Gleichung integrieren und die Anfangsbedingungen verwenden, erhalten wir
So kommen wir zur gewünschten Antwort
Wie leicht zu erkennen ist, entsteht die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel aufgrund der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe mit unabhängigen Beiträgen aus den Inkrementen verschiedener Schenkel verbunden ist.
Ein einfacherer Beweis kann erhalten werden, wenn wir annehmen, dass eines der Beine kein Inkrement erfährt (in diesem Fall Bein). Dann erhalten wir für die Integrationskonstante
Variationen und Verallgemeinerungen
Ähnliche geometrische Formen auf drei Seiten
Verallgemeinerung für ähnliche Dreiecke: Fläche der grünen Formen A + B = Fläche der blauen Formen C
Satz des Pythagoras unter Verwendung ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke
Es wurde eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras vorgenommen Euklid in meiner Arbeit Anfänge, wobei die Flächen der Quadrate an den Seiten auf die Flächen ähnlicher geometrischer Figuren erweitert werden:
Wenn Sie ähnliche geometrische Figuren bauen (siehe. Euklidische Geometrie) auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, dann ist die Summe der beiden kleineren Figuren gleich der Fläche der größeren Figur.
Die Hauptidee dieser Verallgemeinerung besteht darin, dass die Fläche einer solchen geometrischen Figur proportional zum Quadrat einer ihrer Figuren ist lineare Größe und insbesondere das Quadrat der Länge einer beliebigen Seite. Daher für ähnliche Figuren mit Flächen A, B Und C auf Seiten mit Länge gebaut A, B Und C, wir haben:
Aber nach dem Satz des Pythagoras gilt: A 2 + B 2 = C 2 dann A + B = C.
Umgekehrt, wenn wir das beweisen können A + B = C Für drei ähnliche geometrische Figuren ohne Verwendung des Satzes des Pythagoras können wir den Satz selbst beweisen, indem wir uns in die entgegengesetzte Richtung bewegen. Beispielsweise kann das anfängliche Mitteldreieck als Dreieck wiederverwendet werden C auf der Hypotenuse und zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke ( A Und B), aufgebaut auf den anderen beiden Seiten, die durch Teilen des zentralen Dreiecks durch seine Höhe gebildet werden. Die Summe der Flächen der beiden kleineren Dreiecke ist dann offensichtlich gleich der Fläche des dritten, also A + B = C und wenn wir den vorherigen Beweis in umgekehrter Reihenfolge durchführen, erhalten wir den Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 .
Kosinussatz
Der Satz des Pythagoras lautet Sonderfall ein allgemeinerer Kosinussatz, der die Längen der Seiten in einem beliebigen Dreieck in Beziehung setzt:
wobei θ der Winkel zwischen den Seiten ist A Und B.
Wenn θ 90 Grad beträgt, dann cos θ = 0 und die Formel vereinfacht sich zum üblichen Satz des Pythagoras.
Kostenloses Dreieck
Zu einer beliebigen ausgewählten Ecke eines beliebigen Dreiecks mit Seiten a, b, c Beschreiben wir ein gleichschenkliges Dreieck so, dass die gleichen Winkel an seiner Basis θ gleich dem gewählten Winkel sind. Nehmen wir an, dass der ausgewählte Winkel θ gegenüber der angegebenen Seite liegt C. Als Ergebnis erhalten wir ein Dreieck ABD mit einem Winkel θ, der auf der gegenüberliegenden Seite liegt A und Partys R. Das zweite Dreieck wird durch den Winkel θ gebildet, der auf der gegenüberliegenden Seite liegt B und Partys Mit Länge S wie im Bild gezeigt. Thabit Ibn Qurra argumentierte, dass die Seiten dieser drei Dreiecke wie folgt zusammenhängen:
Wenn sich der Winkel θ π/2 nähert, wird die Basis des gleichschenkligen Dreiecks kleiner und die beiden Seiten r und s überlappen einander immer weniger. Wenn θ = π/2, wird ADB zu einem rechtwinkligen Dreieck, R + S = C und wir erhalten den ursprünglichen Satz des Pythagoras.
Betrachten wir eines der Argumente. Das Dreieck ABC hat die gleichen Winkel wie das Dreieck ABD, jedoch in umgekehrter Reihenfolge. (Die beiden Dreiecke haben am Scheitelpunkt B einen gemeinsamen Winkel, beide haben einen Winkel θ und haben auch den gleichen dritten Winkel, basierend auf der Summe der Winkel des Dreiecks) Dementsprechend ähnelt ABC der Spiegelung ABD des Dreiecks DBA, as in der unteren Abbildung dargestellt. Schreiben wir die Beziehung zwischen gegenüberliegenden Seiten und denen, die an den Winkel θ angrenzend sind, auf.
Auch ein Spiegelbild eines anderen Dreiecks,
Lassen Sie uns die Brüche multiplizieren und diese beiden Verhältnisse addieren:
Q.E.D.
Verallgemeinerung für beliebige Dreiecke durch Parallelogramme
Verallgemeinerung für beliebige Dreiecke,
Grünanlage Grundstück = Fläche Blau
Beweis der These in der Abbildung oben
Lassen Sie uns eine weitere Verallgemeinerung für nicht rechtwinklige Dreiecke vornehmen Parallelogramme auf drei Seiten statt Quadraten. (Quadrate sind ein Sonderfall.) Die obere Abbildung zeigt, dass bei einem spitzen Dreieck die Fläche des Parallelogramms auf der langen Seite gleich der Summe der Parallelogramme auf den anderen beiden Seiten ist, vorausgesetzt, dass das Parallelogramm auf der langen Seite ist Die Seite ist wie in der Abbildung dargestellt aufgebaut (die durch die Pfeile angegebenen Abmessungen sind gleich und bestimmen die Seiten des unteren Parallelogramms). Dieser Ersatz von Quadraten durch Parallelogramme weist eine deutliche Ähnlichkeit mit dem Anfangssatz des Pythagoras auf, der vermutlich von Pythagoras formuliert wurde Pappos von Alexandria im Jahr 4 n. Chr e.
Die untere Abbildung zeigt den Fortschritt des Beweises. Schauen wir uns die linke Seite des Dreiecks an. Das linke grüne Parallelogramm hat die gleiche Fläche wie die linke Seite des blauen Parallelogramms, weil beide die gleiche Grundfläche haben B und Höhe H. Darüber hinaus hat das linke grüne Parallelogramm die gleiche Fläche wie das linke grüne Parallelogramm im oberen Bild, da beide eine gemeinsame Basis (die obere linke Seite des Dreiecks) und eine gemeinsame Höhe senkrecht zu dieser Seite des Dreiecks haben. Mit ähnlichen Überlegungen für die rechte Seite des Dreiecks werden wir beweisen, dass das untere Parallelogramm die gleiche Fläche hat wie die beiden grünen Parallelogramme.
Komplexe Zahlen
Der Satz des Pythagoras wird verwendet, um den Abstand zwischen zwei Punkten in zu ermitteln Kartesisches Koordinatensystem, und dieser Satz gilt für alle wahren Koordinaten: Entfernung S zwischen zwei Punkten ( a, b) Und ( CD) gleich
Es gibt keine Probleme mit der Formel, wenn komplexe Zahlen als behandelt werden Vektoren mit echten Komponenten X + ich ja = (X, j). . Zum Beispiel Entfernung S zwischen 0 + 1 ich und 1 + 0 ich berechnet als Modul des Vektors (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), oder
Für Operationen mit Vektoren mit komplexen Koordinaten ist es jedoch erforderlich, bestimmte Verbesserungen der pythagoräischen Formel vorzunehmen. Abstand zwischen Punkten mit komplexe Zahlen (A, B) Und ( C, D); A, B, C, Und D alles komplex, lassen Sie uns mit formulieren absolute Werte. Distanz S basierend auf der Vektordifferenz (A − C, B − D) V das folgende Formular: Lass den Unterschied A − C = P+ich Q, Wo P- echter Teil des Unterschieds, Q ist der Imaginärteil und i = √(−1). Ebenso lass B − D = R+ich S. Dann:
Wo ist das? komplexe konjugierte Zahl Für . Zum Beispiel der Abstand zwischen Punkten (A, B) = (0, 1) Und (C, D) = (ich, 0) , berechnen wir die Differenz (A − C, B − D) = (−ich, 1) und das Ergebnis wäre 0, wenn keine komplexen Konjugate verwendet würden. Wenn wir also die verbesserte Formel verwenden, erhalten wir
Das Modul ist wie folgt definiert:
Stereometrie
Eine wesentliche Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für den dreidimensionalen Raum ist Satz von De Gois, benannt nach J.-P. de Gua: wenn Tetraeder einen rechten Winkel hat (wie bei einem Würfel), dann ist das Quadrat der Fläche der Fläche gegenüber dem rechten Winkel gleich der Summe der Flächenquadrate der anderen drei Flächen. Diese Schlussfolgerung kann wie folgt zusammengefasst werden: N-dimensionaler Satz des Pythagoras“:
Der Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum bezieht die Diagonale AD auf drei Seiten.
Eine weitere Verallgemeinerung: Der Satz des Pythagoras kann in der folgenden Form auf die Stereometrie angewendet werden. Betrachten Sie ein rechteckiges Parallelepiped, wie in der Abbildung gezeigt. Lassen Sie uns die Länge der Diagonale BD mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln:
wobei die drei Seiten ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Wir verwenden die horizontale Diagonale BD und die vertikale Kante AB, um die Länge der Diagonale AD zu ermitteln. Dazu verwenden wir erneut den Satz des Pythagoras:
oder, wenn wir alles in eine Gleichung schreiben:
Dieses Ergebnis ist ein dreidimensionaler Ausdruck zur Bestimmung der Größe des Vektors v(Diagonale AD), ausgedrückt als senkrechte Komponenten ( v k ) (drei zueinander senkrechte Seiten):
Diese Gleichung kann als Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für den mehrdimensionalen Raum betrachtet werden. Das Ergebnis ist jedoch eigentlich nichts anderes als die wiederholte Anwendung des Satzes des Pythagoras auf eine Folge rechtwinkliger Dreiecke in aufeinanderfolgenden senkrechten Ebenen.
Vektorraum
Im Fall eines orthogonalen Vektorsystems gibt es eine Gleichheit, die auch Satz des Pythagoras genannt wird:
Wenn die Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen sind, dann stimmt diese Formel mit überein Euklidischer Abstand- und bedeutet, dass die Länge des Vektors gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten ist.
Das Analogon dieser Gleichheit im Fall eines unendlichen Vektorsystems heißt Parsevals Gleichheit.
Nichteuklidische Geometrie
Der Satz des Pythagoras leitet sich aus den Axiomen ab Euklidische Geometrie und gilt tatsächlich nicht für die nichteuklidische Geometrie in der oben beschriebenen Form. (Das heißt, der Satz des Pythagoras erweist sich als eine Art Äquivalent Euklids Postulat der Parallelität) Mit anderen Worten: In der nichteuklidischen Geometrie wird die Beziehung zwischen den Seiten eines Dreiecks zwangsläufig eine andere Form haben als im Satz des Pythagoras. Beispielsweise sind in der Kugelgeometrie alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks (z. B A, B Und C), die den Oktanten (Achtelteil) der Einheitssphäre begrenzen, haben eine Länge von π/2, was dem Satz des Pythagoras widerspricht, weil A 2 + B 2 ≠ C 2 .
Betrachten wir hier zwei Fälle nichteuklidischer Geometrie – sphärische und hyperbolische Geometrie; In beiden Fällen folgt, wie beim euklidischen Raum für rechtwinklige Dreiecke, das Ergebnis, das den Satz des Pythagoras ersetzt, aus Kosinussätze.
Der Satz des Pythagoras bleibt jedoch für die hyperbolische und elliptische Geometrie gültig, wenn die Anforderung, dass das Dreieck rechteckig ist, durch die Bedingung ersetzt wird, dass die Summe zweier Winkel des Dreiecks beispielsweise gleich dem dritten sein muss A+B = C. Dann sieht die Beziehung zwischen den Seiten so aus: die Summe der Flächen von Kreisen mit Durchmessern A Und B gleich der Fläche eines Kreises mit Durchmesser C.
Kugelförmige Geometrie
Für jedes rechtwinklige Dreieck auf einer Kugel mit Radius R(zum Beispiel, wenn der Winkel γ in einem Dreieck recht ist) mit Seiten A, B, C Die Beziehung zwischen den Parteien wird wie folgt aussehen:
Diese Gleichheit kann als Sonderfall abgeleitet werden Satz des sphärischen Kosinus, was für alle sphärischen Dreiecke gilt:
wobei cosh der hyperbolische Kosinus ist. Diese Formel ist ein Sonderfall des Satzes des hyperbolischen Kosinus, der für alle Dreiecke gilt:
Dabei ist γ der Winkel, dessen Scheitelpunkt der Seite gegenüberliegt C.
Wo G ij angerufen metrischer Tensor. Es kann eine Funktion der Position sein. Zu solchen krummlinigen Räumen gehört die Riemannsche Geometrie allgemeines Beispiel. Diese Formulierung ist auch für den euklidischen Raum geeignet, wenn krummlinige Koordinaten verwendet werden. Beispiel für Polarkoordinaten:
Vektorgrafiken
Der Satz des Pythagoras verbindet zwei Ausdrücke für die Größe eines Vektorprodukts. Ein Ansatz zur Definition eines Kreuzprodukts erfordert, dass es die folgende Gleichung erfüllt:
Diese Formel verwendet Skalarprodukt. Die rechte Seite der Gleichung wird als Gram-Determinante bezeichnet A Und B, was gleich der Fläche des Parallelogramms ist, das von diesen beiden Vektoren gebildet wird. Basierend auf dieser Anforderung sowie der Anforderung, dass das Vektorprodukt senkrecht zu seinen Komponenten steht A Und B Daraus folgt, dass das Kreuzprodukt, mit Ausnahme trivialer Fälle aus dem 0- und 1-dimensionalen Raum, nur in drei und sieben Dimensionen definiert ist. Wir verwenden die Definition des Winkels in N-dimensionaler Raum:
Diese Eigenschaft eines Kreuzprodukts gibt seinen Betrag wie folgt an:
Durch grundlegend trigonometrische Identität Pythagoras erhalten wir eine andere Schreibweise seiner Bedeutung:
Ein alternativer Ansatz zur Definition eines Kreuzprodukts besteht darin, einen Ausdruck für seine Größe zu verwenden. Wenn wir dann in umgekehrter Reihenfolge argumentieren, erhalten wir einen Zusammenhang mit dem Skalarprodukt:
Siehe auch
Notizen
- Geschichtsthema: Satz des Pythagoras in der babylonischen Mathematik
- ( , S. 351) S. 351
- ( , Bd. I, S. 144)
- Diskussion historische Fakten gegeben in (, S. 351) S. 351
- Kurt Von Fritz (April 1945). „Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasus von Metapontum“. Die Annalen der Mathematik, zweite Reihe(Annalen der Mathematik) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, „The Story with Knots“, M., Mir, 1985, S. 7
- Asger Aaboe Episoden aus der Frühgeschichte der Mathematik. - Mathematical Association of America, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
- Python-Vorschlag von Elisha Scott Loomis
- Euklids Elemente: Buch VI, Proposition VI 31: „In rechtwinkligen Dreiecken ist die Figur auf der Seite, die den rechten Winkel begrenzt, gleich den ähnlichen und ähnlich beschriebenen Figuren auf den Seiten, die den rechten Winkel enthalten.“
- Lawrence S. Leff zitierte Arbeit. - Barrons Bildungsreihe - S. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras // Große Momente in der Mathematik (vor 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (vollständiger Name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 n. Chr.) war ein in Bagdad lebender Arzt, der ausführlich über Euklids Elemente und andere mathematische Themen schrieb.
- Aydin Sayili (März 1960). „Thâbit ibn Qurras Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.“ Isis 51 (1): 35–37. DOI :10.1086/348837 .
- Judith D. Sally, Paul SallyÜbung 2.10 (ii) // Zitierte Arbeit. - S. 62. - ISBN 0821844032
- Einzelheiten zu einer solchen Konstruktion finden Sie unter George Jennings Abbildung 1.32: Der verallgemeinerte Satz des Pythagoras // Moderne Geometrie mit Anwendungen: mit 150 Figuren. - 3. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy Artikel C: Norm für einen beliebigen N-tuple ... // Eine Einführung in die Analyse. - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Siehe auch Seiten 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderne Differentialgeometrie von Kurven und Flächen mit Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Matrixanalyse. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking zitierte Arbeit. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
- Eric W. Weisstein CRC prägnante Enzyklopädie der Mathematik. - 2. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472
- Alexander R. Pruss
Satz des Pythagoras
Ebenso ähnelt das Dreieck CBH dem Dreieck ABC. Durch die Einführung der Notation 
1. Platzieren Sie vier gleich große rechtwinklige Dreiecke wie in der Abbildung gezeigt. 
Die Idee von Euklids Beweis ist wie folgt: Versuchen wir zu beweisen, dass die Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der halben Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate ist, und dann die Flächen von das große und zwei kleine Quadrate sind gleich. Schauen wir uns die Zeichnung links an. Darauf haben wir Quadrate auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks konstruiert und einen Strahl s vom Scheitelpunkt des rechten Winkels C senkrecht zur Hypotenuse AB gezeichnet. Er schneidet das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat ABIK in zwei Rechtecke – BHJI und HAKJ. jeweils. Es stellt sich heraus, dass die Flächen dieser Rechtecke genau den Flächen der Quadrate entsprechen, die auf den entsprechenden Beinen aufgebaut sind. Versuchen wir zu beweisen, dass die Fläche des Quadrats DECA gleich der Fläche des Rechtecks AHJK ist. Dazu verwenden wir eine Hilfsbeobachtung: Die Fläche eines Dreiecks mit der gleichen Höhe und Grundfläche wie Das gegebene Rechteck ist gleich der Hälfte der Fläche des gegebenen Rechtecks. Dies ist eine Folge der Definition der Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe. Aus dieser Beobachtung folgt, dass die Fläche des Dreiecks ACK gleich der Fläche des Dreiecks AHK (in der Abbildung nicht dargestellt) ist, die wiederum gleich der Hälfte der Fläche des Rechtecks AHJK ist. Lassen Sie uns nun beweisen, dass die Fläche des Dreiecks ACK auch gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats DECA ist. Dazu muss lediglich die Gleichheit der Dreiecke ACK und BDA nachgewiesen werden (da die Fläche des Dreiecks BDA gemäß obiger Eigenschaft gleich der halben Fläche des Quadrats ist). Diese Gleichheit ist offensichtlich, die Dreiecke sind auf beiden Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen ist gleich. Nämlich - AB=AK,AD=AC - die Gleichheit der Winkel CAK und BAD lässt sich leicht durch die Bewegungsmethode beweisen: Wir drehen das Dreieck CAK um 90° gegen den Uhrzeigersinn, dann ist es offensichtlich, dass die entsprechenden Seiten der beiden Dreiecke in Frage wird übereinstimmen (aufgrund der Tatsache, dass der Winkel am Scheitelpunkt des Quadrats 90° beträgt). Die Begründung für die Flächengleichheit des Quadrats BCFG und des Rechtecks BHJI ist völlig ähnlich. Damit haben wir bewiesen, dass sich die Fläche eines auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats aus den Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate zusammensetzt. 
Betrachten wir die Zeichnung, wie aus der Symmetrie hervorgeht, schneidet das Segment CI das Quadrat ABHJ in zwei identische Teile (da die Dreiecke ABC und JHI gleich aufgebaut sind). Bei einer Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn sehen wir die Gleichheit der schattierten Figuren CAJI und GDAB. Nun ist klar, dass die Fläche der von uns schattierten Figur gleich der Summe der Hälfte der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist. Andererseits entspricht sie der Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats plus der Fläche des ursprünglichen Dreiecks. 
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