Staatliche Universität Belgorod

ABTEILUNG Algebra, Zahlentheorie und Geometrie

Thema: Exponentielle Potenzgleichungen und Ungleichungen.

These Student der Fakultät für Physik und Mathematik

Wissenschaftlicher Betreuer:

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Rezensent: _______________________________

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Belgorod. 2006

Einführung			3
Thema ICH.	Analyse der Literatur zum Forschungsthema.
Thema II.	Funktionen und ihre Eigenschaften zur Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen.
	I.1.	Potenzfunktion und ihre Eigenschaften.
	I.2.	Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften.
Thema III.	Lösung exponentieller Potenzgleichungen, Algorithmus und Beispiele.
Thema IV.	Lösung exponentieller Ungleichungen, Lösungsplan und Beispiele.
Thema V.	Erfahrung in der Durchführung von Unterricht mit Schülern zum Thema: „Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen lösen.“
V. 1.	Lehrmaterial.
V. 2.	Probleme zur unabhängigen Lösung.
Abschluss.	Schlussfolgerungen und Vorschläge.
Liste der verwendeten Literatur.
Anwendungen

Einführung.

„...die Freude am Sehen und Verstehen...“

A. Einstein.

In dieser Arbeit habe ich versucht, meine Erfahrungen als Mathematiklehrer zu vermitteln, zumindest teilweise meine Einstellung zum Unterrichten zu vermitteln – ein menschliches Unterfangen, in dem mathematische Wissenschaft, Pädagogik, Didaktik, Psychologie und sogar Philosophie überraschend miteinander verflochten sind.

Ich hatte die Gelegenheit, mit Kindern und Absolventen zu arbeiten, mit Kindern, die an den Stangen standen intellektuelle Entwicklung: diejenigen, die bei einem Psychiater registriert waren und sich wirklich für Mathematik interessierten

Ich hatte die Gelegenheit, viele methodische Probleme zu lösen. Ich werde versuchen, über diejenigen zu sprechen, die ich gelöst habe. Aber noch mehr sind gescheitert, und selbst bei denen, die scheinbar gelöst wurden, tauchen neue Fragen auf.

Aber noch wichtiger als das Erlebnis selbst sind die Überlegungen und Zweifel des Lehrers: Warum ist es genau so, dieses Erlebnis?

Und der Sommer ist jetzt anders und die Entwicklung der Bildung ist interessanter geworden. „Unter den Jupitern“ ist heute nicht die Suche nach einem mythischen optimalen System, um „jeden und alles“ zu unterrichten, sondern nach dem Kind selbst. Aber dann – notgedrungen – der Lehrer.

Im Schulkurs Algebra begann er mit Analysis in den Klassen 10 - 11, als er das Einheitliche Staatsexamen für den Kurs bestand Gymnasium und bei Aufnahmeprüfungen an Universitäten gibt es Gleichungen und Ungleichungen, die eine Unbekannte in der Basis und in Exponenten enthalten – das sind Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

In der Schule finden sie kaum Beachtung; in Lehrbüchern gibt es praktisch keine Aufgaben zu diesem Thema. Die Beherrschung der Lösungstechnik scheint mir jedoch sehr nützlich zu sein: Es steigert die geistige und geistige Leistungsfähigkeit Kreativität Studenten eröffnen sich uns völlig neue Horizonte. Beim Lösen von Problemen erwerben Studierende erste Kompetenzen Forschungsarbeit, ihre mathematische Kultur wird bereichert und ihre Fähigkeiten zum logischen Denken entwickeln sich. Schulkinder entwickeln Persönlichkeitseigenschaften wie Entschlossenheit, Zielsetzung und Unabhängigkeit, die ihnen im späteren Leben von Nutzen sein werden. Und es gibt auch Wiederholung, Erweiterung und tiefe Assimilation von Lehrmaterial.

Ich begann mit der Arbeit an diesem Thema für meine Abschlussarbeit, indem ich meine Kursarbeit schrieb. Während ich die mathematische Literatur zu diesem Thema eingehend studierte und analysierte, identifizierte ich mich am meisten geeignete Methode Lösen von Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

Es liegt darin, dass zusätzlich zum allgemein akzeptierten Ansatz bei der Lösung von Exponentialgleichungen (die Basis wird größer als 0 angenommen) und bei der Lösung der gleichen Ungleichungen (die Basis wird größer als 1 oder größer als 0, aber kleiner als 1 angenommen) Es werden auch Fälle berücksichtigt, in denen die Basen negativ sind, gleich 0 und 1.

Eine Analyse der schriftlichen Prüfungsarbeiten von Schülern zeigt, dass die mangelnde Abdeckung der Frage nach dem negativen Wert des Arguments einer Exponentialfunktion in Schulbüchern ihnen eine Reihe von Schwierigkeiten bereitet und zu Fehlern führt. Und sie haben auch Probleme bei der Systematisierung der erhaltenen Ergebnisse, wo durch den Übergang zu einer Gleichung – einer Konsequenz oder einer Ungleichung – eine Konsequenz Fremdwurzeln auftreten können. Um Fehler zu beseitigen, verwenden wir einen Test unter Verwendung der ursprünglichen Gleichung oder Ungleichung und eines Algorithmus zur Lösung exponentieller Gleichungen oder eines Plans zur Lösung exponentieller Ungleichungen.

Damit Studierende die Abschluss- und Aufnahmeprüfungen erfolgreich bestehen, ist es meiner Meinung nach notwendig, der Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen mehr Aufmerksamkeit zu schenken Trainingseinheiten, oder zusätzlich in Wahlfächern und Vereinen.

Daher Thema , Mein These ist wie folgt definiert: „Exponentielle Potenzgleichungen und Ungleichungen.“

Ziele dieser Arbeit sind:

1. Analysieren Sie die Literatur zu diesem Thema.

2. Geben vollständige Analyse Lösen von Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

3. Stellen Sie eine ausreichende Anzahl von Beispielen unterschiedlicher Art zu diesem Thema bereit.

4. Prüfen Sie im Klassen-, Wahlfach- und Vereinsunterricht, wie die vorgeschlagenen Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen wahrgenommen werden. Geben Sie entsprechende Empfehlungen zum Studium dieses Themas.

Thema Unsere Forschung besteht darin, eine Methodik zur Lösung exponentieller Gleichungen und Ungleichungen zu entwickeln.

Der Zweck und das Thema der Studie erforderten die Lösung folgender Probleme:

1. Studieren Sie die Literatur zum Thema: „Exponentielle Potenzgleichungen und Ungleichungen“.

2. Beherrschen Sie die Techniken zum Lösen von Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

3. Wählen Sie Schulungsmaterial aus und entwickeln Sie ein Übungssystem verschiedene Ebenen zum Thema: „Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen lösen.“

Im Rahmen der Dissertationsrecherche wurden mehr als 20 Arbeiten zum Einsatz von analysiert verschiedene Methoden Lösen von Exponentialgleichungen und Ungleichungen. Von hier aus bekommen wir.

Abschlussarbeitsplan:

Einführung.

Kapitel I. Analyse der Literatur zum Forschungsthema.

Kapitel II. Funktionen und ihre Eigenschaften zur Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

II.1. Potenzfunktion und ihre Eigenschaften.

II.2. Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften.

Kapitel III. Lösung exponentieller Potenzgleichungen, Algorithmus und Beispiele.

Kapitel IV. Lösung exponentieller Ungleichungen, Lösungsplan und Beispiele.

Kapitel V. Erfahrungen mit der Durchführung von Unterrichtsstunden mit Schülern zu diesem Thema.

1. Schulungsmaterial.

2.Aufgaben zur eigenständigen Lösung.

Abschluss. Schlussfolgerungen und Vorschläge.

Liste der verwendeten Literatur.

Kapitel I analysiert die Literatur

Exponentialgleichungen lösen. Beispiele.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist passiert Exponentialgleichung? Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen enthalten sind Indikatoren einige Grade. Und nur dort! Das ist wichtig.

Bitte schön Beispiele Exponentialgleichungen :

3 x 2 x = 8 x+3

Passt auf! In den Gradbasen (unten) - nur Zahlen. IN Indikatoren Grad (oben) – eine Vielzahl von Ausdrücken mit einem X. Wenn in der Gleichung plötzlich ein X an einer anderen Stelle als einem Indikator auftaucht, zum Beispiel:

Dies wird bereits eine Gleichung gemischten Typs sein. Für solche Gleichungen gibt es keine klaren Regeln zu ihrer Lösung. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Hier werden wir uns damit befassen Exponentialgleichungen lösen in seiner reinsten Form.

Tatsächlich werden selbst reine Exponentialgleichungen nicht immer eindeutig gelöst. Aber es gibt sie bestimmte Typen Exponentialgleichungen, die gelöst werden können und sollten. Dies sind die Typen, die wir berücksichtigen werden.

Einfache Exponentialgleichungen lösen.

Lassen Sie uns zunächst etwas ganz Grundlegendes lösen. Zum Beispiel:

Auch ohne Theorien ist durch einfache Auswahl klar, dass x = 2. Sonst nichts, oder!? Kein anderer Wert von X funktioniert. Schauen wir uns nun die Lösung dieser kniffligen Exponentialgleichung an:

Was haben wir getan? Tatsächlich haben wir einfach die gleichen Basen (Triples) weggeworfen. Völlig rausgeworfen. Und die gute Nachricht ist: Wir haben den Nagel auf den Kopf getroffen!

In der Tat, wenn es in einer Exponentialgleichung links und rechts gibt identisch Zahlen in beliebigen Potenzen, diese Zahlen können entfernt und die Exponenten ausgeglichen werden. Mathematik erlaubt. Es bleibt eine viel einfachere Gleichung zu lösen. Großartig, oder?)

Erinnern wir uns jedoch fest daran: Sie können Basen nur entfernen, wenn die Basennummern links und rechts in hervorragender Isolation sind! Ohne Nachbarn und Koeffizienten. Sagen wir in den Gleichungen:

2 x +2 x+1 = 2 3, oder

Zweier können nicht entfernt werden!

Nun, das Wichtigste haben wir gemeistert. Wie man von bösen Exponentialausdrücken zu einfacheren Gleichungen übergeht.

„Das sind die Zeiten!“ - sagst du. „Wer würde so eine einfache Lektion über Tests und Prüfungen erteilen?“

Ich muss zustimmen. Niemand wird es tun. Aber jetzt wissen Sie, wohin Sie bei der Lösung kniffliger Beispiele zielen müssen. Es ist notwendig, es in die Form zu bringen, in der links und rechts die gleiche Basisnummer steht. Dann wird alles einfacher. Eigentlich ist dies ein Klassiker der Mathematik. Wir nehmen das Originalbeispiel und transformieren es in das gewünschte uns Geist. Natürlich nach den Regeln der Mathematik.

Schauen wir uns Beispiele an, die einige zusätzliche Anstrengungen erfordern, um sie auf das Einfachste zu reduzieren. Nennen wir sie einfache Exponentialgleichungen.

Einfache Exponentialgleichungen lösen. Beispiele.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen gelten folgende Hauptregeln: Aktionen mit Graden. Ohne Kenntnis dieser Maßnahmen wird nichts funktionieren.

Zu Handlungen mit Abschlüssen muss man persönliche Beobachtungsgabe und Einfallsreichtum hinzufügen. Brauchen wir die gleichen Basiszahlen? Daher suchen wir sie im Beispiel in expliziter oder verschlüsselter Form.

Mal sehen, wie das in der Praxis gemacht wird?

Lassen Sie uns ein Beispiel geben:

2 2x - 8 x+1 = 0

Der erste scharfe Blick ist auf Gründe. Sie... Sie sind anders! Zwei und acht. Aber es ist noch zu früh, um entmutigt zu werden. Es ist Zeit, sich daran zu erinnern

Zwei und acht sind im Grad verwandt.) Es ist durchaus möglich zu schreiben:

8 x+1 = (2 3) x+1

Wenn wir uns an die Formel aus Operationen mit Graden erinnern:

(a n) m = a nm ,

das klappt super:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Das ursprüngliche Beispiel sah folgendermaßen aus:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Wir übertragen 2 3 (x+1) rechts (niemand hat die elementaren Operationen der Mathematik gestrichen!), erhalten wir:

2 2x = 2 3(x+1)

Das ist praktisch alles. Entfernen der Sockel:

Wir lösen dieses Monster und bekommen

Das ist die richtige Antwort.

In diesem Beispiel hat uns die Kenntnis der Zweierkräfte geholfen. Wir identifiziert in acht gibt es eine verschlüsselte Zwei. Diese Technik (Verschlüsselung gemeinsamer Gründe unter verschiedene Zahlen) ist eine sehr beliebte Technik in Exponentialgleichungen! Ja, und auch in Logarithmen. Sie müssen Potenzen anderer Zahlen in Zahlen erkennen können. Dies ist äußerst wichtig für die Lösung von Exponentialgleichungen.

Tatsache ist, dass es kein Problem ist, eine beliebige Zahl in eine beliebige Potenz zu erhöhen. Multiplizieren Sie, sogar auf dem Papier, und das war's. Beispielsweise kann jeder die Zahl 3 in die fünfte Potenz erhöhen. (243 wird funktionieren, wenn Sie die Multiplikationstabelle kennen.) Aber in Exponentialgleichungen ist es viel häufiger nicht notwendig, zu potenzieren, sondern umgekehrt ... Finden Sie es heraus welche Zahl in welchem ​​Ausmaß verbirgt sich hinter der Zahl 243, oder sagen wir 343... Hier hilft Ihnen kein Taschenrechner weiter.

Sie müssen die Potenzen einiger Zahlen vom Sehen kennen, oder ... Lasst uns üben?

Bestimmen Sie, welche Potenzen und welche Zahlen die Zahlen sind:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Antworten (natürlich durcheinander!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Wenn man genau hinschaut, kann man es sehen seltsame Tatsache. Es gibt deutlich mehr Antworten als Aufgaben! Nun, es kommt vor ... Zum Beispiel 2 6, 4 3, 8 2 – das ist alles 64.

Gehen wir davon aus, dass Sie die Informationen zur Vertrautheit mit Zahlen zur Kenntnis genommen haben.) Ich möchte Sie auch daran erinnern, dass wir zur Lösung von Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen verwenden alle Vorrat an mathematischem Wissen. Einschließlich derjenigen aus der Unter- und Mittelschicht. Du bist nicht direkt zur High School gegangen, oder?)

Beim Lösen von Exponentialgleichungen hilft es beispielsweise oft, den gemeinsamen Faktor aus Klammern zu setzen (Hallo in die 7. Klasse!). Schauen wir uns ein Beispiel an:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Und wieder gilt der erste Blick dem Fundament! Die Grundlagen der Grade sind unterschiedlich... Drei und Neun. Und wir wollen, dass sie gleich sind. Nun ja, in diesem Fall ist der Wunsch vollkommen erfüllt!) Denn:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Es gelten die gleichen Regeln für den Umgang mit Abschlüssen:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Das ist toll, du kannst es aufschreiben:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aus den gleichen Gründen haben wir ein Beispiel gegeben. Und was kommt als nächstes!? Dreier kann man nicht wegwerfen... Sackgasse?

Gar nicht. Denken Sie an die universellste und mächtigste Entscheidungsregel alle Mathe-Aufgaben:

Wenn Sie nicht wissen, was Sie brauchen, tun Sie, was Sie können!

Schauen Sie, alles wird klappen).

Was steckt in dieser Exponentialgleichung? Kann Tun? Ja, auf der linken Seite schreit es geradezu danach, aus der Klammer genommen zu werden! Der Gesamtmultiplikator von 3 2x deutet dies deutlich an. Versuchen wir es, dann werden wir sehen:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Das Beispiel wird immer besser!

Wir erinnern uns, dass wir zum Eliminieren von Gründen einen reinen Grad ohne Koeffizienten benötigen. Die Zahl 70 stört uns. Teilen wir also beide Seiten der Gleichung durch 70, erhalten wir:

Hoppla! Alles ist besser geworden!

Dies ist die endgültige Antwort.

Es kommt jedoch vor, dass das Rollen auf derselben Basis möglich ist, ihre Beseitigung jedoch nicht möglich ist. Dies geschieht in anderen Arten von Exponentialgleichungen. Lassen Sie uns diesen Typ beherrschen.

Ersetzen einer Variablen beim Lösen von Exponentialgleichungen. Beispiele.

Lösen wir die Gleichung:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Zuerst – wie immer. Kommen wir zu einer Basis. Zu einer Zwei.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Wir erhalten die Gleichung:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Und hier hängen wir. Die bisherigen Techniken werden nicht funktionieren, egal wie man es betrachtet. Wir müssen eine weitere leistungsstarke und universelle Methode aus unserem Arsenal herausholen. Es heißt Variablenersatz.

Der Kern der Methode ist überraschend einfach. Anstelle eines komplexen Symbols (in unserem Fall - 2 x) schreiben wir ein anderes, einfacheres (zum Beispiel - t). Solch ein scheinbar bedeutungsloser Ersatz führt zu erstaunlichen Ergebnissen!) Alles wird einfach klar und verständlich!

Also lass

Dann ist 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

In unserer Gleichung ersetzen wir alle Potenzen durch x durch t:

Na, ist dir das klar geworden?) Hast du die quadratischen Gleichungen schon vergessen? Wenn wir die Diskriminante auflösen, erhalten wir:

Die Hauptsache hier ist, nicht aufzuhören, wie es passiert ... Das ist noch nicht die Antwort, wir brauchen x, nicht t. Kehren wir zu den X zurück, d. h. Wir machen einen umgekehrten Ersatz. Zuerst für t 1:

Daher,

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten von t 2:

Hm... 2 x links, 1 x rechts... Problem? Gar nicht! Es reicht aus, sich daran zu erinnern (aus Operationen mit Graden, ja...), dass es sich um eine Einheit handelt beliebig Zahl hoch zur Null. Beliebig. Was auch immer benötigt wird, wir installieren es. Wir brauchen eine Zwei. Bedeutet:

Das ist es jetzt. Wir haben 2 Wurzeln:

Das ist die Antwort.

Bei Exponentialgleichungen lösen Am Ende hat man manchmal einen seltsamen Gesichtsausdruck. Typ:

Sieben können nicht durch eine einfache Kraft in zwei umgewandelt werden. Sie sind keine Verwandten... Wie können wir das sein? Jemand könnte verwirrt sein... Aber die Person, die auf dieser Website das Thema „Was ist ein Logarithmus“ gelesen hat? , lächelt nur sparsam und schreibt mit fester Hand die absolut richtige Antwort auf:

In den Aufgaben „B“ des Einheitlichen Staatsexamens kann eine solche Antwort nicht erfolgen. Dort ist eine bestimmte Nummer erforderlich. Aber bei Aufgaben „C“ ist es einfach.

Diese Lektion enthält Beispiele für die Lösung der häufigsten Exponentialgleichungen. Lassen Sie uns die wichtigsten Punkte hervorheben.

Praktische Ratschläge:

1. Zunächst schauen wir uns an Gründe Grad. Wir fragen uns, ob es möglich ist, sie herzustellen identisch. Versuchen wir dies durch aktive Nutzung zu erreichen Aktionen mit Graden. Vergessen Sie nicht, dass Zahlen ohne x auch in Potenzen umgewandelt werden können!

2. Wir versuchen, die Exponentialgleichung auf die Form zu bringen, in der links und rechts vorhanden sind identisch Zahlen in beliebigen Potenzen. Wir verwenden Aktionen mit Graden Und Faktorisierung. Was in Zahlen zählbar ist, das zählen wir.

3. Wenn der zweite Tipp nicht funktioniert, versuchen Sie es mit der Variablenersetzung. Das Ergebnis kann eine Gleichung sein, die leicht gelöst werden kann. Am häufigsten - quadratisch. Oder Bruchzahl, die ebenfalls auf Quadrat reduziert wird.

4. Für erfolgreiche Lösung Für Exponentialgleichungen müssen Sie die Potenzen einiger Zahlen „vom Sehen her“ kennen.

Wie üblich sind Sie am Ende der Lektion aufgefordert, eine kleine Entscheidung zu treffen.) Auf eigene Faust. Von einfach bis komplex.

Exponentialgleichungen lösen:

Schwieriger:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 · 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Finden Sie das Produkt aus Wurzeln:

2 3er + 2 x = 9

Hat es funktioniert?

Na dann das komplizierteste Beispiel(entschied sich jedoch im Kopf...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Was ist interessanter? Dann ist hier ein schlechtes Beispiel für Sie. Ziemlich verlockend für den erhöhten Schwierigkeitsgrad. Lassen Sie mich darauf hinweisen, dass Sie in diesem Beispiel Einfallsreichtum und die universellste Regel zur Lösung aller mathematischen Probleme retten.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ein einfacheres Beispiel zur Entspannung):

9 2 x - 4 3 x = 0

Und zum Nachtisch. Finden Sie die Summe der Wurzeln der Gleichung:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja, ja! Dies ist eine Gleichung gemischten Typs! Was wir in dieser Lektion nicht berücksichtigt haben. Warum sie in Betracht ziehen, sie müssen gelöst werden!) Diese Lektion reicht völlig aus, um die Gleichung zu lösen. Nun, Sie brauchen Einfallsreichtum... Und möge Ihnen die siebte Klasse helfen (das ist ein Hinweis!).

Antworten (in Unordnung, durch Semikolon getrennt):

1; 2; 3; 4; es gibt keine Lösungen; 2; -2; -5; 4; 0.

Ist alles erfolgreich? Großartig.

Irgendwelche Probleme? Keine Frage! Im Sonderabschnitt 555 werden alle diese Exponentialgleichungen mit gelöst ausführliche Erläuterungen. Was, warum und warum. Und natürlich gibt es noch weitere wertvolle Informationen zum Arbeiten mit allen möglichen Exponentialgleichungen. Nicht nur diese.)

Eine letzte lustige Frage, die es zu bedenken gilt. In dieser Lektion haben wir mit Exponentialgleichungen gearbeitet. Warum habe ich hier kein Wort über ODZ verloren? Bei Gleichungen ist das übrigens eine sehr wichtige Sache ...

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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

In der Phase der Vorbereitung auf den Abschlusstest müssen Gymnasiasten ihre Kenntnisse zum Thema „Exponentialgleichungen“ verbessern. Die Erfahrung der vergangenen Jahre zeigt, dass solche Aufgaben für Schüler gewisse Schwierigkeiten bereiten. Daher müssen Gymnasiasten, unabhängig von ihrem Vorbereitungsstand, die Theorie gründlich beherrschen, sich die Formeln merken und das Prinzip der Lösung solcher Gleichungen verstehen. Nachdem die Absolventen gelernt haben, mit solchen Problemen umzugehen, können sie beim Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik mit guten Ergebnissen rechnen.

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Bei der Durchsicht der behandelten Materialien stehen viele Studierende vor dem Problem, die Formeln zu finden, die zum Lösen von Gleichungen erforderlich sind. Das Schulbuch ist nicht immer zur Hand und Auswahl notwendige Informationen Die Auseinandersetzung mit dem Thema im Internet dauert lange.

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Die Lehrer von Shkolkovo haben alles Notwendige für den Erfolg gesammelt, systematisiert und präsentiert Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens Material in der einfachsten und zugänglichsten Form.

Grundlegende Definitionen und Formeln werden im Abschnitt „Theoretischer Hintergrund“ vorgestellt.

Um den Stoff besser zu verstehen, empfehlen wir Ihnen, die Bearbeitung der Aufgaben zu üben. Sehen Sie sich die Beispiele für Exponentialgleichungen mit Lösungen auf dieser Seite sorgfältig an, um den Berechnungsalgorithmus zu verstehen. Fahren Sie anschließend mit der Ausführung der Aufgaben im Abschnitt „Verzeichnisse“ fort. Sie können mit den einfachsten Aufgaben beginnen oder direkt mit der Lösung komplexer Exponentialgleichungen mit mehreren Unbekannten fortfahren oder . Die Übungsdatenbank auf unserer Website wird ständig ergänzt und aktualisiert.

Beispiele mit Indikatoren, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet haben, können Sie zu Ihren „Favoriten“ hinzufügen. Auf diese Weise können Sie sie schnell finden und die Lösung mit Ihrem Lehrer besprechen.

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Beispiele:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

So lösen Sie Exponentialgleichungen

Wenn wir eine Exponentialgleichung lösen, streben wir danach, sie in die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu bringen und dann zur Gleichheit der Exponenten überzugehen, das heißt:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Zum Beispiel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Wichtig! Aus derselben Logik ergeben sich zwei Anforderungen für einen solchen Übergang:
- Zahl in links und rechts sollten gleich sein;
- die Grade links und rechts müssen „rein“ sein, das heißt, es sollte keine Multiplikation, Division usw. geben.

Zum Beispiel:

Um die Gleichung auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu reduzieren, werden und verwendet.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Lösung:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Wir wissen, dass \(27 = 3^3\). Unter Berücksichtigung dessen transformieren wir die Gleichung.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Durch die Eigenschaft der Wurzel \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) erhalten wir, dass \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Als nächstes erhalten wir unter Verwendung der Eigenschaft des Grades \((a^b)^c=a^(bc)\) \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Wir wissen auch, dass \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Wenn wir dies auf die linke Seite anwenden, erhalten wir: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Denken Sie nun daran: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Diese Formel kann auch in verwendet werden Rückseite: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Dann ist \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Wenn wir die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) auf die rechte Seite anwenden, erhalten wir: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Und jetzt sind unsere Basen gleich und es gibt keine störenden Koeffizienten usw. Damit wir den Übergang schaffen können.
		Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Lösung: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Wir verwenden wieder die Potenzeigenschaft \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) in die entgegengesetzte Richtung. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Denken Sie jetzt daran, dass \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) Unter Verwendung der Gradeigenschaften transformieren wir: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Wir schauen uns die Gleichung genau an und stellen fest, dass sich die Ersetzung \(t=2^x\) anbietet. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Wir haben jedoch die Werte von \(t\) gefunden und benötigen \(x\). Wir kehren zu den X zurück und führen eine umgekehrte Ersetzung durch. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Wir transformieren die zweite Gleichung mithilfe der Eigenschaft negativer Grad… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...und wir beenden die Antwort. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Antwort : \(-1; 1\). Es bleibt die Frage: Wie erkennt man, wann welche Methode anzuwenden ist? Dazu gehört Erfahrung. Bis Sie es bekommen, verwenden Sie es allgemeine Empfehlung um komplexe Probleme zu lösen – „Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können.“ Das heißt, suchen Sie nach einer Möglichkeit, die Gleichung im Prinzip umzuwandeln, und versuchen Sie es – was ist, wenn was passiert? Die Hauptsache ist, nur mathematisch basierte Transformationen durchzuführen. Exponentialgleichungen ohne Lösungen Schauen wir uns zwei weitere Situationen an, die Schüler oft verwirren: - eine positive Zahl hoch ist gleich Null, zum Beispiel \(2^x=0\); - eine positive Zahl hoch ist gleich negative Zahl, zum Beispiel \(2^x=-4\). Versuchen wir es mit roher Gewalt zu lösen. Wenn x eine positive Zahl ist, nimmt mit zunehmendem x die gesamte Potenz \(2^x\) nur zu: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Auch von. Es bleiben negative X übrig. Wir erinnern uns an die Eigenschaft \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) und prüfen: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Obwohl die Zahl mit jedem Schritt kleiner wird, wird sie nie Null erreichen. Der negative Abschluss hat uns also nicht gerettet. Wir kommen zu einer logischen Schlussfolgerung: Eine in jedem Grad positive Zahl bleibt eine positive Zahl. Somit haben beide obigen Gleichungen keine Lösungen. Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Grundlagen In der Praxis stoßen wir manchmal auf Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Basen, die nicht aufeinander reduzierbar sind, und gleichzeitig mit den gleichen Exponenten. Sie sehen so aus: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), wobei \(a\) und \(b\) positive Zahlen sind. Zum Beispiel: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Solche Gleichungen lassen sich leicht lösen, indem man durch eine beliebige Seite der Gleichung dividiert (normalerweise durch die rechte Seite dividiert, also durch \(b^(f(x))\). Sie können auf diese Weise dividieren, weil eine positive Zahl vorliegt ist positiv zu jeder Potenz (das heißt, wir dividieren nicht durch Null). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Lösung: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Hier werden wir nicht in der Lage sein, eine Fünf in eine Drei umzuwandeln oder umgekehrt (zumindest ohne die Verwendung). Das bedeutet, dass wir nicht zur Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\ kommen können. Die Indikatoren sind jedoch dieselben. Teilen wir die Gleichung durch die rechte Seite, also durch \(3^(x+7)\) (wir können dies tun, weil wir wissen, dass drei zu keinem Grad null sein wird). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Merken Sie sich nun die Eigenschaft \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) und verwenden Sie sie links in die entgegengesetzte Richtung. Rechts reduzieren wir einfach den Bruch. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Es scheint, dass die Dinge nicht besser geworden sind. Aber denken Sie an eine weitere Potenzeigenschaft: \(a^0=1\), mit anderen Worten: „Jede Zahl hoch zur Nullpotenz ist gleich \(1\).“ Das Umgekehrte gilt auch: „Eins kann als jede beliebige Zahl hoch null dargestellt werden.“ Machen wir uns dies zunutze, indem wir die Basis rechts und links gleich gestalten. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Lasst uns die Basen loswerden. Wir schreiben eine Antwort. Antwort : \(-7\). Manchmal ist die „Gleichheit“ von Exponenten nicht offensichtlich, aber der geschickte Einsatz der Eigenschaften von Exponenten löst dieses Problem. Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lösung: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Die Gleichung sieht sehr traurig aus... Nicht nur können die Basen nicht auf die gleiche Zahl reduziert werden (sieben wird in keiner Weise gleich \(\frac(1)(3)\) sein), sondern auch die Exponenten sind unterschiedlich. .. Verwenden wir jedoch den linken Exponenten Deuce. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Unter Berücksichtigung der Eigenschaft \((a^b)^c=a^(b·c)\) transformieren wir von links: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nun erinnern wir uns an die Eigenschaft des negativen Grades \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) und transformieren von rechts: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Halleluja! Die Indikatoren sind die gleichen! Nach dem uns bereits bekannten Schema lösen wir vor der Antwort. Antwort : \(2\).

Einstiegsniveau

Exponentialgleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Hallo! Heute werden wir mit Ihnen besprechen, wie Sie Gleichungen lösen können, die entweder elementar sein können (und ich hoffe, dass nach der Lektüre dieses Artikels fast alle für Sie so sein werden) und solche, die normalerweise „zum Ausfüllen“ angegeben werden. Offenbar um endlich einzuschlafen. Aber ich werde versuchen, alles Mögliche zu tun, damit Sie jetzt nicht in Schwierigkeiten geraten, wenn Sie mit solchen Gleichungen konfrontiert werden. Ich werde nicht mehr um den heißen Brei herumreden, sondern es sofort öffnen kleines Geheimnis: Heute werden wir lernen Exponentialgleichungen.

Bevor ich mit der Analyse von Lösungsmöglichkeiten fortfahre, werde ich Ihnen gleich eine Reihe von (ziemlich kleinen) Fragen skizzieren, die Sie wiederholen sollten, bevor Sie dieses Thema überstürzt angehen. Also, um zu bekommen bestes Ergebnis, Bitte, wiederholen:

1. Eigenschaften und
2. Lösung und Gleichungen

Wiederholt? Toll! Dann wird es Ihnen nicht schwer fallen zu erkennen, dass die Wurzel der Gleichung eine Zahl ist. Verstehst du genau, wie ich es gemacht habe? Ist es wahr? Dann machen wir weiter. Beantworten Sie nun meine Frage: Was ist gleich der dritten Potenz? Du hast völlig Recht: . Welche Zweierpotenz ist acht? Genau – der Dritte! Weil. Versuchen wir nun, das folgende Problem zu lösen: Lassen Sie mich die Zahl einmal mit sich selbst multiplizieren und das Ergebnis erhalten. Die Frage ist, wie oft habe ich mit mir selbst multipliziert? Sie können dies natürlich direkt überprüfen:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ausrichten)

Daraus lässt sich schließen, dass ich mal mit mir selbst multipliziert habe. Wie kann man das sonst überprüfen? So geht's: direkt per Definition des Grades: . Aber Sie müssen zugeben, wenn ich fragen würde, wie oft zwei mit sich selbst multipliziert werden müssen, um beispielsweise zu erhalten, würden Sie mir sagen: Ich mache mir nichts vor und multipliziere mit sich selbst, bis mir blau im Gesicht wird. Und er hätte völlig recht. Denn wie kannst du Schreiben Sie alle Schritte kurz auf(und Kürze ist die Schwester des Talents)

wo - das sind die gleichen "mal", wenn man mit sich selbst multipliziert.

Ich denke, dass Sie wissen (und wenn Sie es nicht wissen, wiederholen Sie dringend, ganz dringend die Abschlüsse!), dann wird mein Problem in der Form geschrieben:

Wie können Sie vernünftigerweise zu dem Schluss kommen, dass:

Also schrieb ich unbemerkt das Einfachste auf Exponentialgleichung:

Und ich habe ihn sogar gefunden Wurzel. Finden Sie nicht, dass alles völlig trivial ist? Ich denke genau das Gleiche. Hier ist ein weiteres Beispiel für Sie:

Aber was tun? Schließlich kann es nicht als Potenz einer (vernünftigen) Zahl geschrieben werden. Verzweifeln wir nicht und stellen wir fest, dass diese beiden Zahlen perfekt durch die Potenz derselben Zahl ausgedrückt werden. Welcher? Rechts: . Dann wird die ursprüngliche Gleichung in die Form umgewandelt:

Wo, wie Sie bereits verstanden haben, . Lasst uns nicht länger zögern und es aufschreiben Definition:

In unserem Fall: .

Diese Gleichungen werden gelöst, indem man sie auf die Form reduziert:

Anschließend wird die Gleichung gelöst

Tatsächlich haben wir im vorherigen Beispiel genau das getan: Wir haben Folgendes erhalten: Und wir haben die einfachste Gleichung gelöst.

Es scheint nichts Kompliziertes zu sein, oder? Lassen Sie uns zunächst an den einfachsten üben Beispiele:

Wir sehen erneut, dass die rechte und linke Seite der Gleichung als Potenzen einer Zahl dargestellt werden müssen. Auf der linken Seite ist dies zwar bereits geschehen, auf der rechten Seite steht jedoch eine Nummer. Aber es ist in Ordnung, denn meine Gleichung wird sich auf wundersame Weise in diese verwandeln:

Was musste ich hier verwenden? Welche Regel? Regel „Grad in Grad“ welches lautet:

Was ist, wenn:

Bevor wir diese Frage beantworten, füllen wir die folgende Tabelle aus:

Es ist für uns leicht zu erkennen, dass der Wert umso kleiner ist, je kleiner, aber dennoch sind alle diese Werte größer als Null. UND DAS WIRD IMMER SO SEIN!!! Die gleiche Eigenschaft gilt FÜR JEDE BASIS MIT JEDEM INDIKATOR!! (für alle und). Was können wir dann über die Gleichung schließen? Hier ist, was es ist: es hat keine Wurzeln! So wie jede Gleichung keine Wurzeln hat. Jetzt lasst uns üben und Lassen Sie uns einfache Beispiele lösen:

Lassen Sie uns Folgendes überprüfen:

1. Hier wird von Ihnen nichts verlangt, außer der Kenntnis der Eigenschaften von Graden (die ich übrigens wiederholen sollte!) In der Regel führt alles zur kleinsten Basis: , . Dann entspricht die ursprüngliche Gleichung der folgenden: Ich muss lediglich die Eigenschaften von Potenzen nutzen: Bei der Multiplikation von Zahlen mit gleicher Basis werden die Potenzen addiert, bei der Division werden sie subtrahiert. Dann bekomme ich: Nun, jetzt werde ich guten Gewissens von der Exponentialgleichung zur linearen übergehen: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. Im zweiten Beispiel müssen wir vorsichtiger sein: Das Problem besteht darin, dass wir auf der linken Seite unmöglich dieselbe Zahl als Potenz darstellen können. In diesem Fall ist es manchmal nützlich stellen Zahlen als Produkt von Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichen Exponenten dar:

Die linke Seite der Gleichung sieht so aus: Was hat uns das gebracht? Hier ist was: Zahlen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichen Exponenten können multipliziert werden.In diesem Fall werden die Basen multipliziert, der Indikator ändert sich jedoch nicht:

In meiner Situation ergibt dies:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Nicht schlecht, oder?

3. Ich mag es nicht, wenn ich unnötigerweise zwei Terme auf der einen Seite der Gleichung habe und keinen auf der anderen (manchmal ist das natürlich berechtigt, aber das ist jetzt nicht der Fall). Ich verschiebe den Minusterm nach rechts:

Auch jetzt schreibe ich alles in Dreierpotenzen:

Ich addiere die Grade auf der linken Seite und erhalte eine äquivalente Gleichung

Sie können die Wurzel leicht finden:

4. Wie in Beispiel drei hat der Minusterm einen Platz auf der rechten Seite!

Auf meiner linken Seite ist fast alles in Ordnung, außer was? Ja, der „falsche Grad“ der beiden stört mich. Aber ich kann das leicht beheben, indem ich schreibe: . Heureka – auf der linken Seite sind alle Basen unterschiedlich, aber alle Grade sind gleich! Lasst uns sofort vermehren!

Auch hier ist alles klar: (Wenn Sie nicht verstehen, wie ich auf magische Weise zur letzten Gleichheit gekommen bin, machen Sie eine Minute Pause, atmen Sie durch und lesen Sie die Eigenschaften des Abschlusses noch einmal ganz genau. Wer hat gesagt, dass Sie a überspringen können? Grad mit negativem Exponenten? Nun, hier bin ich ungefähr das Gleiche wie niemand. Jetzt bekomme ich:

\begin(align)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Hier sind einige Aufgaben zum Üben, auf die ich nur die Antworten gebe (allerdings in „gemischter“ Form). Lösen Sie sie, überprüfen Sie sie, und Sie und ich werden unsere Forschung fortsetzen!

Bereit? Antworten so was:

1. eine beliebige Zahl

Okay, okay, ich habe nur Witze gemacht! Hier sind einige Lösungsskizzen (einige sehr kurz!)

Glauben Sie nicht, dass es kein Zufall ist, dass ein Bruch auf der linken Seite der andere „invertiert“ ist? Es wäre eine Sünde, dies nicht auszunutzen:

Diese Regel wird sehr oft beim Lösen von Exponentialgleichungen verwendet. Denken Sie daran!

Dann sieht die ursprüngliche Gleichung so aus:

Nachdem ich dies entschieden habe quadratische Gleichung, erhalten Sie diese Wurzeln:

2. Eine andere Lösung: Division beider Seiten der Gleichung durch den Ausdruck links (oder rechts). Teilen Sie durch das, was rechts steht, dann erhalte ich:

Wo (warum?!)

3. Ich möchte mich gar nicht wiederholen, alles wurde schon so sehr „gekaut“.

4. Äquivalent zu einer quadratischen Gleichung, Wurzeln

5. Sie müssen die in der ersten Aufgabe angegebene Formel verwenden, dann erhalten Sie Folgendes:

Aus der Gleichung ist eine triviale Identität geworden, die für jeden gilt. Dann ist die Antwort eine beliebige reelle Zahl.

Nun haben Sie das Lösen geübt einfache Exponentialgleichungen. Nun möchte ich Ihnen ein paar Lebensbeispiele geben, die Ihnen helfen zu verstehen, warum sie grundsätzlich notwendig sind. Hier werde ich zwei Beispiele nennen. Eine davon ist recht alltäglich, die andere ist jedoch eher von wissenschaftlichem als von praktischem Interesse.

Beispiel 1 (kaufmännisch) Sie haben zwar Rubel, möchten diese aber in Rubel umwandeln. Die Bank bietet Ihnen an, dieses Geld zu einem jährlichen Zinssatz mit monatlicher Kapitalisierung der Zinsen (monatliche Abgrenzung) von Ihnen abzuheben. Die Frage ist: Wie viele Monate muss man ein Depot eröffnen, um den erforderlichen Endbetrag zu erreichen? Eine ziemlich banale Aufgabe, nicht wahr? Dennoch ist seine Lösung mit der Konstruktion der entsprechenden Exponentialgleichung verbunden: Sei – der Anfangsbetrag, – der Endbetrag, – Zinssatz pro Periode, - die Anzahl der Perioden. Dann:

In unserem Fall (wenn der Zinssatz jährlich ist, wird er pro Monat berechnet). Warum wird durch geteilt? Wenn Sie die Antwort auf diese Frage nicht kennen, denken Sie an das Thema „“! Dann erhalten wir diese Gleichung:

Diese Exponentialgleichung kann nur mit einem Taschenrechner (its) gelöst werden Aussehen weist darauf hin, und dazu sind Kenntnisse in Logarithmen erforderlich, mit denen wir uns etwas später vertraut machen werden), was ich tun werde: ... Um also eine Million zu erhalten, müssen wir eine Einzahlung für einen Monat leisten ( nicht sehr schnell, oder?).

Beispiel 2 (eher wissenschaftlich). Trotz seiner etwas „isolierten“ Haltung empfehle ich Ihnen, auf ihn zu achten: Er „schlüpft regelmäßig in die Einheitliche Staatsprüfung!!“ (Das Problem ist der „realen“ Version entnommen) Während des Zerfalls eines radioaktiven Isotops nimmt seine Masse gemäß dem Gesetz ab, wobei (mg) die Anfangsmasse des Isotops und (min.) die seit dem Zerfall verstrichene Zeit ist Anfangsmoment (min.) ist die Halbwertszeit. Zu Beginn beträgt die Masse des Isotops mg. Seine Halbwertszeit beträgt min. Nach wie vielen Minuten beträgt die Masse des Isotops mg? Es ist in Ordnung: Wir nehmen einfach alle Daten und ersetzen sie in der uns vorgeschlagenen Formel:

Teilen wir beide Teile durch, „in der Hoffnung“, dass wir links etwas Verdauliches bekommen:

Nun, wir haben großes Glück! Es ist auf der linken Seite, dann gehen wir zur entsprechenden Gleichung über:

Wo ist min.

Wie Sie sehen, haben Exponentialgleichungen in der Praxis sehr reale Anwendungen. Jetzt möchte ich Ihnen eine andere (einfache) Möglichkeit zeigen, Exponentialgleichungen zu lösen, die darauf basiert, den gemeinsamen Faktor aus Klammern zu entfernen und die Terme dann zu gruppieren. Lassen Sie sich von meinen Worten nicht einschüchtern, Sie sind dieser Methode bereits in der 7. Klasse begegnet, als Sie Polynome studiert haben. Wenn Sie beispielsweise den Ausdruck faktorisieren müssen:

Lassen Sie uns gruppieren: den ersten und dritten Begriff sowie den zweiten und vierten. Es ist klar, dass das erste und dritte die Differenz der Quadrate sind:

und die zweite und vierte haben einen gemeinsamen Faktor von drei:

Dann entspricht der ursprüngliche Ausdruck diesem:

Woher der gemeinsame Faktor abgeleitet werden kann, ist nicht mehr schwierig:

Somit,

Das ist ungefähr das, was wir tun werden, wenn wir Exponentialgleichungen lösen: Suchen Sie nach „Gemeinsamkeiten“ zwischen den Begriffen und entfernen Sie sie aus Klammern, und dann – komme was wolle, ich glaube, dass wir Glück haben werden =)) Zum Beispiel:

Rechts ist alles andere als eine Siebenerpotenz (ich habe es überprüft!) Und links ist es etwas besser, man kann natürlich den Faktor a vom zweiten aus dem ersten Term „abhacken“ und dann austeilen mit dem, was du hast, aber lass uns vorsichtiger mit dir sein. Ich möchte mich nicht mit den Brüchen befassen, die beim „Auswählen“ zwangsläufig entstehen, also sollte ich es nicht lieber herausnehmen? Dann werde ich keine Fraktionen mehr haben: Wie man so schön sagt: Die Wölfe sind gefüttert und die Schafe sind in Sicherheit:

Berechnen Sie den Ausdruck in Klammern. Auf magische, magische Weise stellt sich das heraus (überraschenderweise, aber was sollten wir sonst noch erwarten?).

Dann reduzieren wir beide Seiten der Gleichung um diesen Faktor. Wir bekommen: , von.

Hier ist ein komplizierteres Beispiel (wirklich ziemlich viel):

Was für ein Problem! Wir haben hier keine Gemeinsamkeiten! Es ist nicht ganz klar, was jetzt zu tun ist. Tun wir, was wir können: Zuerst verschieben wir die „Vierer“ auf eine Seite und die „Fünfer“ auf die andere:

Nehmen wir nun das „Allgemeine“ links und rechts heraus:

Was nun? Was nützt so eine dumme Gruppe? Auf den ersten Blick ist es überhaupt nicht sichtbar, aber schauen wir genauer hin:

Nun stellen wir sicher, dass wir links nur den Ausdruck c haben und rechts alles andere. Wie machen wir das? So geht's: Teilen Sie zuerst beide Seiten der Gleichung durch (damit wir den Exponenten auf der rechten Seite loswerden) und dividieren Sie dann beide Seiten durch (damit wir den numerischen Faktor auf der linken Seite loswerden). Schließlich erhalten wir:

Unglaublich! Links haben wir einen Ausdruck und rechts einen einfachen Ausdruck. Dann kommen wir sofort zu dem Schluss

Hier ist ein weiteres Beispiel, das Sie untermauern können:

Ich werde seine kurze Lösung geben (ohne mich mit Erklärungen zu beschäftigen) und versuchen, alle „Feinheiten“ der Lösung selbst zu verstehen.

Nun zur endgültigen Konsolidierung des behandelten Materials. Versuchen Sie, die folgenden Probleme selbst zu lösen. Ich gebe nur kurze Empfehlungen und Tipps zur Lösung:

1. Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus den Klammern heraus: Wobei:
2. Stellen wir den ersten Ausdruck in der Form dar: , dividiere beide Seiten durch und erhalte das Ergebnis
3. , dann wird die ursprüngliche Gleichung in die Form umgewandelt: Nun, jetzt ein Hinweis – schauen Sie, wo Sie und ich diese Gleichung bereits gelöst haben!
4. Stellen Sie sich vor, wie, wie, ach ja, dann teilen Sie beide Seiten durch, sodass Sie die einfachste Exponentialgleichung erhalten.
5. Nehmen Sie es aus den Klammern.
6. Nehmen Sie es aus den Klammern.

EXPONENTÄRE GLEICHUNGEN. MITTLERE EBENE

Ich gehe davon aus, dass ich den ersten Artikel gelesen habe, in dem darüber gesprochen wurde Was sind Exponentialgleichungen und wie löst man sie?, du hast es gemeistert das notwendige Minimum Kenntnisse, die zum Lösen einfacher Beispiele erforderlich sind.

Jetzt werde ich mir eine andere Methode zum Lösen von Exponentialgleichungen ansehen

„Methode zur Einführung einer neuen Variablen“ (oder Ersetzung). Er löst die „schwierigsten“ Probleme zum Thema Exponentialgleichungen (und nicht nur Gleichungen). Diese Methode ist eine der in der Praxis am häufigsten verwendeten. Zunächst empfehle ich Ihnen, sich mit der Thematik vertraut zu machen.

Wie Sie bereits anhand des Namens verstanden haben, besteht der Kern dieser Methode darin, eine solche Variablenänderung einzuführen, dass sich Ihre Exponentialgleichung auf wundersame Weise in eine Gleichung verwandelt, die Sie leicht lösen können. Nachdem Sie diese sehr „vereinfachte Gleichung“ gelöst haben, müssen Sie nur noch eine „umgekehrte Ersetzung“ durchführen, also vom Ersetzten zum Ersetzten zurückkehren. Lassen Sie uns das, was wir gerade gesagt haben, anhand eines sehr einfachen Beispiels veranschaulichen:

Beispiel 1:

Die Lösung dieser Gleichung erfolgt durch eine „einfache Substitution“, wie Mathematiker sie abfällig nennen. Tatsächlich ist der Ersatz hier am offensichtlichsten. Das muss man nur sehen

Dann wird die ursprüngliche Gleichung wie folgt aussehen:

Wenn wir uns zusätzlich vorstellen, wie, dann ist völlig klar, was ersetzt werden muss: natürlich . Was wird dann zur ursprünglichen Gleichung? Hier ist was:

Sie können die Wurzeln ganz einfach selbst finden: . Was sollen wir jetzt tun? Es ist Zeit, zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. Was habe ich vergessen zu erwähnen? Nämlich: Wenn ein bestimmter Grad durch eine neue Variable ersetzt wird (dh wenn ein Typ ersetzt wird), wird es mich interessieren nur positive Wurzeln! Warum das so ist, können Sie ganz einfach selbst beantworten. Sie und ich sind also nicht interessiert, aber die zweite Wurzel ist für uns durchaus geeignet:

Woher dann.

Antwort:

Wie Sie sehen können, hat der Ersatz im vorherigen Beispiel lediglich nach unseren Händen gefragt. Leider ist dies nicht immer der Fall. Lassen Sie uns jedoch nicht direkt zu den traurigen Dingen übergehen, sondern üben wir anhand eines weiteren Beispiels mit einem ziemlich einfachen Ersatz

Beispiel 2.

Es ist klar, dass wir höchstwahrscheinlich einen Ersatz vornehmen müssen (dies ist die kleinste der in unserer Gleichung enthaltenen Potenzen), aber bevor wir einen Ersatz einführen, muss unsere Gleichung dafür „vorbereitet“ werden, nämlich: , . Dann können Sie ersetzen, als Ergebnis erhalte ich den folgenden Ausdruck:

Oh Horror: eine kubische Gleichung mit absolut schrecklichen Formeln zu ihrer Lösung (nun ja, ehrlich gesagt). Gesamtansicht). Aber lasst uns nicht gleich verzweifeln, sondern darüber nachdenken, was wir tun sollen. Ich schlage vor, zu schummeln: Wir wissen, dass wir, um eine „schöne“ Antwort zu erhalten, diese in Form einer Dreierpotenz erhalten müssen (warum sollte das so sein?). Versuchen wir, mindestens eine Wurzel unserer Gleichung zu erraten (ich beginne mit der Vermutung mit Dreierpotenzen).

Erste Vermutung. Keine Wurzel. Ach und ah...

.
Die linke Seite ist gleich.
Rechte Seite: !
Essen! Habe die erste Wurzel erraten. Jetzt wird es einfacher!

Kennen Sie das Aufteilungsschema „Ecke“? Natürlich verwenden Sie es, wenn Sie eine Zahl durch eine andere dividieren. Aber nur wenige wissen, dass das Gleiche auch mit Polynomen möglich ist. Es gibt einen wunderbaren Satz:

Auf meine Situation übertragen bedeutet dies, dass es ohne Rest durch teilbar ist. Wie erfolgt die Teilung? So geht's:

Ich schaue mir an, mit welchem ​​Monom ich multiplizieren sollte, um Folgendes zu erhalten:

Wenn ich den resultierenden Ausdruck subtrahiere, erhalte ich:

Womit muss ich nun multiplizieren, um zu erhalten? Es ist klar, dass ich dann Folgendes bekomme:

und subtrahiere erneut den resultierenden Ausdruck vom verbleibenden:

Also letzter Schritt, mit dem verbleibenden Ausdruck multiplizieren und davon subtrahieren:

Hurra, die Teilung ist vorbei! Was haben wir privat angesammelt? Natürlich: .

Dann erhalten wir die folgende Entwicklung des ursprünglichen Polynoms:

Lösen wir die zweite Gleichung:

Es hat Wurzeln:

Dann ist die ursprüngliche Gleichung:

hat drei Wurzeln:

Die letzte Wurzel werden wir natürlich verwerfen, da sie kleiner als Null ist. Und die ersten beiden nach der umgekehrten Ersetzung ergeben uns zwei Wurzeln:

Antwort: ..

Ich wollte Sie mit diesem Beispiel keineswegs erschrecken; mein Ziel war vielmehr zu zeigen, dass wir zwar einen recht einfachen Ersatz hatten, dieser aber dennoch zu einem ziemlichen Ergebnis führte komplexe Gleichung, dessen Lösung von uns besondere Fähigkeiten erforderte. Nun, niemand ist davor gefeit. Aber der Ersatz war in diesem Fall ziemlich offensichtlich.

Hier ist ein Beispiel mit einem etwas weniger offensichtlichen Ersatz:

Es ist überhaupt nicht klar, was wir tun sollen: Das Problem besteht darin, dass es in unserer Gleichung zwei gibt verschiedene Basen und ein Fundament kann nicht von einem anderen erhalten werden, indem man es auf ein (natürlicherweise vernünftiges) Maß erhöht. Doch was sehen wir? Beide Basen unterscheiden sich nur im Vorzeichen und ihr Produkt ist die Differenz der Quadrate gleich eins:

Definition:

Somit sind die Zahlen, die in unserem Beispiel die Basis bilden, konjugiert.

In diesem Fall wäre der kluge Schritt Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit der konjugierten Zahl.

Wenn zum Beispiel ein, dann wird die linke Seite der Gleichung gleich und die rechte. Wenn wir eine Substitution vornehmen, sieht unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt aus:

seine Wurzeln, und wenn wir uns daran erinnern, verstehen wir das.

Antwort: , .

In der Regel reicht die Ersetzungsmethode aus, um die meisten Exponentialgleichungen der „Schule“ zu lösen. Die folgenden Aufgaben sind der Einheitlichen Staatsprüfung C1 (erhöhter Schwierigkeitsgrad) entnommen. Sie verfügen bereits über ausreichende Kenntnisse, um diese Beispiele selbst zu lösen. Ich gebe nur den benötigten Ersatz.

1. Lösen Sie die Gleichung:
2. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:
3. Lösen Sie die Gleichung: . Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zum Segment gehören:

Und nun noch ein paar kurze Erklärungen und Antworten:

1. Hier genügt uns der Hinweis, dass... Dann ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zu dieser: Diese Gleichung kann durch Ersetzen gelöst werden. Führen Sie die weiteren Berechnungen selbst durch. Am Ende reduziert sich Ihre Aufgabe auf die Lösung einfacher trigonometrischer Probleme (abhängig von Sinus oder Cosinus). Wir werden uns in anderen Abschnitten mit Lösungen für ähnliche Beispiele befassen.
2. Hier können Sie sogar auf die Substitution verzichten: Bewegen Sie einfach den Subtrahend nach rechts und stellen Sie beide Basen durch Zweierpotenzen dar: , und gehen Sie dann direkt zur quadratischen Gleichung über.
3. Auch die dritte Gleichung wird ganz normal gelöst: Stellen wir uns vor, wie. Wenn wir dann ersetzen, erhalten wir eine quadratische Gleichung: dann

   Du weißt doch schon, was ein Logarithmus ist, oder? NEIN? Dann lesen Sie das Thema dringend!

   Die erste Wurzel gehört offensichtlich nicht zum Segment, die zweite ist jedoch unklar! Aber wir werden es sehr bald erfahren! Denn (dies ist eine Eigenschaft des Logarithmus!) Vergleichen wir:

   Subtrahieren Sie von beiden Seiten, dann erhalten wir:

   Die linke Seite kann wie folgt dargestellt werden:

   Multipliziere beide Seiten mit:

   kann dann mit multipliziert werden

   Dann vergleiche:

   seitdem:

   Dann gehört die zweite Wurzel zum erforderlichen Intervall

   Antwort:

Wie Sie sehen können, Die Auswahl der Wurzeln von Exponentialgleichungen erfordert eine ziemlich tiefe Kenntnis der Eigenschaften von Logarithmen Daher rate ich Ihnen, beim Lösen von Exponentialgleichungen so vorsichtig wie möglich zu sein. Wie Sie verstehen, ist in der Mathematik alles miteinander verbunden! Wie mein Mathematiklehrer sagte: „Mathematik kann man ebenso wie Geschichte nicht über Nacht lesen.“

In der Regel alle Die Schwierigkeit bei der Lösung der Probleme C1 liegt gerade in der Auswahl der Wurzeln der Gleichung.Üben wir mit einem weiteren Beispiel:

Es ist klar, dass die Gleichung selbst ganz einfach gelöst werden kann. Durch eine Substitution reduzieren wir unsere ursprüngliche Gleichung auf Folgendes:

Schauen wir uns zunächst die erste Wurzel an. Vergleichen wir und: seit, dann. (Eigenschaft einer logarithmischen Funktion, at). Dann ist klar, dass die erste Wurzel nicht zu unserem Intervall gehört. Nun die zweite Wurzel: . Das ist klar (da die Funktion at zunimmt). Es bleibt zu vergleichen und...

seitdem, dann zur gleichen Zeit. Auf diese Weise kann ich einen Pflock zwischen dem und „treiben“. Dieser Stift ist eine Nummer. Der erste Ausdruck ist kleiner und der zweite größer. Dann ist der zweite Ausdruck größer als der erste und die Wurzel gehört zum Intervall.

Antwort: .

Schauen wir uns abschließend ein weiteres Beispiel einer Gleichung an, bei der die Substitution völlig vom Standard abweicht:

Beginnen wir gleich damit, was getan werden kann und was im Prinzip getan werden kann, aber es ist besser, es nicht zu tun. Sie können sich alles durch die Potenzen drei, zwei und sechs vorstellen. Wozu wird das führen? Es wird zu nichts führen: zu einem Wirrwarr von Graden, von denen einige ziemlich schwer zu beseitigen sein werden. Was wird dann benötigt? Beachten wir, dass a Und was bringt uns das? Und die Tatsache, dass wir die Lösung dieses Beispiels auf die Lösung einer ziemlich einfachen Exponentialgleichung reduzieren können! Schreiben wir zunächst unsere Gleichung wie folgt um:

Teilen wir nun beide Seiten der resultierenden Gleichung durch:

Heureka! Jetzt können wir ersetzen, wir erhalten:

Nun sind Sie an der Reihe, Demonstrationsaufgaben zu lösen, und ich werde sie nur kurz kommentieren, damit Sie nicht in die Irre gehen! Viel Glück!

1. Das Schwierigste! Es ist so schwer, hier einen Ersatz zu finden! Dennoch lässt sich dieses Beispiel vollständig mit lösen Hervorheben eines vollständigen Quadrats. Um es zu lösen, reicht es aus, Folgendes zu beachten:

Dann ist hier Ihr Ersatz:

(Bitte beachten Sie, dass wir hier bei unserem Ersatz die negative Wurzel nicht verwerfen können!!! Warum denken Sie?)

Um das Beispiel zu lösen, müssen Sie nun nur noch zwei Gleichungen lösen:

Beide Probleme können durch einen „Standardaustausch“ gelöst werden (aber der zweite in einem Beispiel!)

2. Merken Sie sich das und nehmen Sie einen Ersatz vor.

3. Zerlegen Sie die Zahl in Teilerzahlfaktoren und vereinfachen Sie den resultierenden Ausdruck.

4. Teilen Sie Zähler und Nenner des Bruchs durch (oder, wenn Sie möchten) und führen Sie die Ersetzung durch oder durch.

5. Beachten Sie, dass die Zahlen und konjugiert sind.

EXPONENTÄRE GLEICHUNGEN. FORTGESCHRITTENES NIVEAU

Schauen wir uns außerdem einen anderen Weg an: Lösen von Exponentialgleichungen mit der Logarithmusmethode. Ich kann nicht sagen, dass das Lösen von Exponentialgleichungen mit dieser Methode sehr beliebt ist, aber in einigen Fällen kann uns nur sie dazu führen die richtige Entscheidung unsere Gleichung. Besonders häufig wird es zur Lösung des sogenannten „ gemischte Gleichungen": also solche, bei denen Funktionen unterschiedlichen Typs auftreten.

Zum Beispiel eine Gleichung der Form:

Im allgemeinen Fall kann es nur durch Logarithmen beider Seiten (z. B. zur Basis) gelöst werden, wobei die ursprüngliche Gleichung wie folgt aussieht:

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

Es ist klar, dass uns nur die ODZ der logarithmischen Funktion interessiert. Dies folgt jedoch nicht nur aus der ODZ des Logarithmus, sondern aus einem weiteren Grund. Ich denke, es wird Ihnen nicht schwer fallen, zu erraten, um welches es sich handelt.

Nehmen wir den Logarithmus beider Seiten unserer Gleichung zur Basis:

Wie Sie sehen, führte uns die Logarithmierung unserer ursprünglichen Gleichung schnell zur richtigen (und schönen!) Antwort. Üben wir mit einem weiteren Beispiel:

Auch hier ist nichts falsch: Nehmen wir den Logarithmus beider Seiten der Gleichung zur Basis, dann erhalten wir:

Machen wir einen Ersatz:

Allerdings haben wir etwas verpasst! Haben Sie bemerkt, wo ich einen Fehler gemacht habe? Denn dann:

was die Anforderung nicht erfüllt (überlegen Sie, woher es kommt!)

Antwort:

Versuchen Sie, die Lösung der folgenden Exponentialgleichungen aufzuschreiben:

Vergleichen Sie nun Ihre Entscheidung damit:

1. Logarithmieren wir beide Seiten zur Basis und berücksichtigen dabei Folgendes:

(die zweite Wurzel ist wegen Austausch nicht für uns geeignet)

2. Logarithmus zur Basis:

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck in die folgende Form umwandeln:

EXPONENTÄRE GLEICHUNGEN. KURZE BESCHREIBUNG UND GRUNDFORMELN

Exponentialgleichung

Gleichung der Form:

angerufen die einfachste Exponentialgleichung.

Eigenschaften von Graden

Lösungsansätze

• Führt zu gleiche Grundlage
• Reduktion auf den gleichen Exponenten
• Variablenersatz
• Vereinfachen Sie den Ausdruck und wenden Sie eines der oben genannten an.