Bau in negativer Grad- eines der Grundelemente der Mathematik, das häufig bei der Lösung algebraischer Probleme anzutreffen ist. Nachfolgend finden Sie detaillierte Anweisungen.

Wie man zu einer negativen Potenz erhebt – Theorie

Wenn wir eine Zahl auf eine gewöhnliche Potenz erhöhen, multiplizieren wir ihren Wert mehrmals. Zum Beispiel 3 3 = 3×3×3 = 27. Bei einem negativen Bruch ist das Gegenteil der Fall. Die allgemeine Form der Formel lautet nächste Ansicht: a -n = 1/a n . Um also eine Zahl negativ zu potenzieren, müssen Sie eins durch die gegebene Zahl dividieren, allerdings positiv.

Wie man negativ potenziert – Beispiele für gewöhnliche Zahlen

Lassen Sie uns unter Berücksichtigung der oben genannten Regel einige Beispiele lösen.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Antwort: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Antwort -4 -2 = 1/16.

Aber warum sind die Antworten im ersten und zweiten Beispiel gleich? Tatsache ist, dass das Vorzeichen positiv wird, wenn eine negative Zahl gerade potenziert wird (2, 4, 6 usw.). Wäre der Grad gerade, dann bliebe das Minus:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Wie man Zahlen von 0 bis 1 negativ potenziert

Denken Sie daran, dass, wenn Sie eine Zahl zwischen 0 und 1 positiv potenzieren, der Wert mit zunehmender Potenz abnimmt. Also zum Beispiel 0,5 2 = 0,25. 0,25

Beispiel 3: Berechnen Sie 0,5 -2
Lösung: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Antwort: 0,5 -2 = 4

Analyse (Abfolge von Aktionen):

• Wandeln Sie den Dezimalbruch 0,5 in den Bruchbruch 1/2 um. So ist es einfacher.
  Erhöhen Sie 1/2 mit einer negativen Potenz. 1/(2) -2 . Teilen Sie 1 durch 1/(2) 2, wir erhalten 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Beispiel 4: Berechnen Sie 0,5 -3
Lösung: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Beispiel 5: Berechnen Sie -0,5 -3
Lösung: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Antwort: -0,5 -3 = -8

Basierend auf dem 4. und 5. Beispiel können wir mehrere Schlussfolgerungen ziehen:

• Für eine positive Zahl im Bereich von 0 bis 1 (Beispiel 4), die negativ potenziert wird, spielt es keine Rolle, ob die Potenz gerade oder ungerade ist, der Wert des Ausdrucks ist positiv. Gleichzeitig als mehr Grad, desto größer ist der Wert.
• Für eine negative Zahl im Bereich von 0 bis 1 (Beispiel 5), die negativ potenziert wird, spielt es keine Rolle, ob die Potenz gerade oder ungerade ist, der Wert des Ausdrucks ist negativ. In diesem Fall gilt: Je höher der Grad, desto niedriger der Wert.

Wie man eine Potenz in eine negative Potenz steigert – eine Potenz in Form einer Bruchzahl

Ausdrücke dieser Art haben die folgende Form: a -m/n, wobei a eine reguläre Zahl ist, m der Zähler des Grades ist, n der Nenner des Grades ist.

Schauen wir uns ein Beispiel an:
Berechnen Sie: 8 -1/3

Lösung (Handlungsfolge):

• Erinnern wir uns an die Regel, eine Zahl negativ zu potenzieren. Wir erhalten: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Beachten Sie, dass der Nenner die Zahl 8 in einer gebrochenen Potenz hat. Die allgemeine Form zur Berechnung einer gebrochenen Potenz lautet wie folgt: a m/n = n √8 m.
• Somit ist 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Wir erhalten die Kubikwurzel aus acht, die gleich 2 ist. Von hier aus ist 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Antwort: 8 -1/3 = 2

Aus der Schule kennen wir alle die Potenzierungsregel: Jede Zahl mit dem Exponenten N ist gleich dem Ergebnis der N-fachen Multiplikation dieser Zahl mit sich selbst. Mit anderen Worten, 7 hoch 3 ist 7 multipliziert mit sich selbst dreimal, also 343. Eine andere Regel besagt, dass das Potenzieren einer beliebigen Menge mit 0 eins ergibt und das Erhöhen einer negativen Menge das Ergebnis der gewöhnlichen Potenzierung ist die Potenz, wenn sie gerade ist, und das gleiche Ergebnis mit einem Minuszeichen, wenn sie ungerade ist.

Die Regeln geben auch die Antwort darauf, wie man eine Zahl negativ potenziert. Dazu müssen Sie bauen in gewohnter Weise Geben Sie den erforderlichen Wert pro Modul des Indikators ein und dividieren Sie dann die Einheit durch das Ergebnis.

Aus diesen Regeln wird deutlich, dass für die Ausführung realer Aufgaben mit großen Mengen die Anwesenheit von erforderlich ist technische Mittel. Manuell können Sie einen maximalen Zahlenbereich von zwanzig bis dreißig selbst multiplizieren, dann nicht mehr als drei- oder viermal. Ganz zu schweigen von der Division eins durch das Ergebnis. Für diejenigen, die keinen speziellen technischen Rechner zur Hand haben, erklären wir Ihnen daher, wie Sie eine Zahl in Excel negativ potenzieren.

Probleme in Excel lösen

Um Potenzierungsprobleme zu lösen, können Sie in Excel eine von zwei Optionen verwenden.

Das erste ist die Verwendung einer Formel mit einem Standard-Deckelzeichen. Geben Sie die folgenden Daten in die Zellen des Arbeitsblatts ein:

Auf die gleiche Weise können Sie den gewünschten Wert beliebig potenzieren – negativ, gebrochen. Lass es uns tun Nächste Schritte und beantworten Sie die Frage, wie man eine Zahl negativ potenziert. Beispiel:

Sie können =B2^-C2 direkt in der Formel korrigieren.

Die zweite Möglichkeit besteht darin, die vorgefertigte Funktion „Degree“ zu verwenden, die zwei erforderliche Argumente akzeptiert – eine Zahl und einen Exponenten. Um es zu verwenden, setzen Sie einfach das Gleichheitszeichen (=) in eine beliebige freie Zelle, um den Anfang der Formel anzuzeigen, und geben Sie die oben genannten Wörter ein. Es bleibt nur noch, zwei Zellen auszuwählen, die an der Operation teilnehmen sollen (oder bestimmte Zahlen manuell anzugeben) und die Eingabetaste zu drücken. Schauen wir uns einige an einfache Beispiele.

			Formel	Ergebnis
			ABSCHLUSS (B2; C2)
			ABSCHLUSS (B3; C3)	0,002915

Wie Sie sehen, ist es nicht kompliziert, eine Zahl mit Excel negativ und regulär zu potenzieren. Um dieses Problem zu lösen, können Sie schließlich sowohl das bekannte „Deckel“-Symbol als auch die integrierte Funktion des Programms verwenden, die sich leicht merken lässt. Das ist definitiv ein Plus!

Kommen wir zu mehr komplexe Beispiele. Erinnern wir uns an die Regel, wie man eine Zahl negativ potenziert, und wir werden sehen, dass dieses Problem in Excel sehr einfach gelöst werden kann.

Bruchindikatoren

Kurz gesagt, der Algorithmus zur Berechnung einer Zahl mit einem gebrochenen Exponenten lautet wie folgt.

1. Wandeln Sie einen Bruch in einen echten oder unechten Bruch um.
2. Erhöhen Sie unsere Zahl auf den Zähler des resultierenden umgewandelten Bruchs.
3. Berechnen Sie aus der im vorherigen Absatz erhaltenen Zahl die Wurzel, mit der Bedingung, dass der Exponent der Wurzel der Nenner des im ersten Schritt erhaltenen Bruchs ist.

Stimmen Sie zu, dass solche Berechnungen selbst bei kleinen Zahlen und echten Brüchen viel Zeit in Anspruch nehmen können. Es ist gut, dass es dem Excel-Tabellenkalkulationsprozessor egal ist, welche Zahl auf welche Potenz erhöht wird. Versuchen Sie, das folgende Beispiel auf einem Excel-Arbeitsblatt zu lösen:

Anhand der oben genannten Regeln können Sie überprüfen und sicherstellen, dass die Berechnung korrekt durchgeführt wurde.

Am Ende unseres Artikels stellen wir in Form einer Tabelle mit Formeln und Ergebnissen einige Beispiele vor, wie man eine Zahl negativ potenziert, sowie mehrere Beispiele für den Umgang mit Bruchzahlen und Potenzen.

Beispieltabelle

Schauen Sie sich die folgenden Beispiele in Ihrem Excel-Arbeitsblatt an. Damit alles korrekt funktioniert, müssen Sie beim Kopieren der Formel eine gemischte Referenz verwenden. Legen Sie die Nummer der Spalte fest, die die zu erhöhende Zahl enthält, und die Nummer der Zeile, die den Indikator enthält. Ihre Formel sollte etwa so aussehen: „=$B4^C$3.“

Anzahl/Abschluss

Bitte beachten Sie, dass positive Zahlen (auch nicht ganze Zahlen) für jeden Exponenten problemlos berechnet werden können. Es gibt keine Probleme mit der Erhöhung beliebiger Zahlen auf ganze Zahlen. Das Erhöhen einer negativen Zahl in eine gebrochene Potenz wird sich jedoch für Sie als Fehler erweisen, da es unmöglich ist, die am Anfang unseres Artikels zum Erhöhen angegebene Regel zu befolgen negative Zahlen, weil Parität ein Merkmal einer ausschließlich INTEGER-Zahl ist.

Eine zur Potenz erhobene Zahl Sie nennen eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird.

Potenz einer Zahl mit negativem Wert (ein) kann auf ähnliche Weise bestimmt werden, wie die Potenz derselben Zahl mit positivem Exponenten bestimmt wird (ein) . Es bedarf jedoch auch einer zusätzlichen Definition. Die Formel ist definiert als:

ein = (1/a n)

Die Eigenschaften negativer Werte von Zahlenpotenzen ähneln Potenzen mit positivem Exponenten. Dargestellte Gleichung A m/a n= ein m-n kann fair sein wie

« Nirgendwo, wie in der Mathematik, erlaubt es die Klarheit und Genauigkeit der Schlussfolgerung einer Person, sich einer Antwort zu entziehen, indem man um die Frage herum redet».

A. D. Alexandrow

bei N mehr M , und mit M mehr N . Schauen wir uns ein Beispiel an: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Zuerst müssen Sie die Zahl bestimmen, die als Definition des Abschlusses dient. b=a(-n) . In diesem Beispiel -N ist ein Exponent B - der gewünschte Zahlenwert, A - die Basis des Grades in Form eines natürlichen Zahlenwertes. Bestimmen Sie dann den Modul, also den Absolutwert einer negativen Zahl, der als Exponent fungiert. Berechnen Sie die Potenz einer bestimmten Zahl relativ zu einer absoluten Zahl als Indikator. Der Wert des Grades wird ermittelt, indem man eins durch die resultierende Zahl dividiert.

Reis. 1

Betrachten Sie die Potenz einer Zahl mit einem negativen Bruchexponenten. Stellen wir uns vor, dass die Zahl a eine beliebige positive Zahl ist N Und M - natürliche Zahlen. Laut Definition A , der zur Macht erhoben wird - gleich eins dividiert durch die gleiche Zahl mit positiver Potenz (Abbildung 1). Wenn die Potenz einer Zahl ein Bruch ist, werden in solchen Fällen nur Zahlen mit positiven Exponenten verwendet.

Erinnernswert dass Null niemals ein Exponent einer Zahl sein kann (die Regel der Division durch Null).

Die Verbreitung eines solchen Konzepts als Zahl führte zu Manipulationen wie Messberechnungen sowie zur Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft. Die Einführung negativer Werte war auf die Entwicklung der Algebra zurückzuführen, die ergab allgemeine Lösungen Rechenaufgaben, unabhängig von ihrer konkreten Bedeutung und den numerischen Ausgangsdaten. In Indien wurden im 6.-11. Jahrhundert systematisch negative Zahlen zur Lösung von Problemen verwendet und genauso interpretiert wie heute. In der europäischen Wissenschaft wurden negative Zahlen dank R. Descartes weit verbreitet, der negative Zahlen geometrisch als Richtungen von Segmenten interpretierte. Es war Descartes, der die Bezeichnung einer potenzierten Zahl vorschlug, die als zweistöckige Formel dargestellt werden sollte ein .

Wenn wir das Gespräch über die Potenz einer Zahl fortsetzen, ist es logisch, herauszufinden, wie man den Wert der Potenz ermittelt. Dieser Vorgang wird aufgerufen Potenzierung. In diesem Artikel untersuchen wir, wie die Potenzierung durchgeführt wird, und gehen dabei auf alle möglichen Exponenten ein – natürlich, ganzzahlig, rational und irrational. Und der Tradition entsprechend werden wir Lösungen für Beispiele für die Potenzierung von Zahlen im Detail betrachten.

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Was bedeutet „Potenzierung“?

Beginnen wir mit der Erklärung der sogenannten Potenzierung. Hier ist die entsprechende Definition.

Definition.

Potenzierung- Hier geht es darum, den Wert der Potenz einer Zahl zu ermitteln.

Daher ist es dasselbe, den Wert der Potenz einer Zahl a mit dem Exponenten r zu ermitteln und die Zahl a mit der Potenz r zu potenzieren. Wenn die Aufgabe beispielsweise „Berechnen Sie den Wert der Potenz (0,5) 5“ lautet, kann sie wie folgt umformuliert werden: „Erhöhen Sie die Zahl 0,5 auf die Potenz 5.“

Jetzt können Sie direkt zu den Regeln gehen, nach denen die Potenzierung durchgeführt wird.

Eine Zahl zu einer natürlichen Potenz erhöhen

In der Praxis wird Gleichheit aufgrund von meist in der Form angewendet. Das heißt, wenn eine Zahl a auf eine gebrochene Potenz m/n erhöht wird, wird zunächst die n-te Wurzel der Zahl a gezogen und anschließend das resultierende Ergebnis auf eine ganzzahlige Potenz m erhöht.

Schauen wir uns Lösungen für Beispiele für die Erhöhung auf eine Bruchpotenz an.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Abschlusses.

Lösung.

Wir zeigen zwei Lösungen.

Erster Weg. Per Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten. Wir berechnen den Wert des Grades unter dem Wurzelzeichen und extrahieren dann die Kubikwurzel: .

Zweiter Weg. Durch die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten und basierend auf den Eigenschaften der Wurzeln gelten die folgenden Gleichungen: . Jetzt extrahieren wir die Wurzel , schließlich erhöhen wir es auf eine ganzzahlige Potenz .

Offensichtlich stimmen die erhaltenen Ergebnisse der Erhöhung auf eine gebrochene Potenz überein.

Antwort:

Beachten Sie, dass der Bruchexponent als Dezimalbruch oder geschrieben werden kann gemischte Zahl In diesen Fällen sollte er durch den entsprechenden gewöhnlichen Bruch ersetzt und dann potenziert werden.

Beispiel.

Berechnen Sie (44,89) 2,5.

Lösung.

Schreiben wir den Exponenten in die Form gemeinsamer Bruch(ggf. siehe Artikel): . Nun führen wir die Potenzierung auf eine gebrochene Potenz durch:

Antwort:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Es sollte auch gesagt werden, dass die Potenzierung von Zahlen ein ziemlich arbeitsintensiver Prozess ist (insbesondere wenn der Zähler und der Nenner des Bruchexponenten ziemlich viele enthalten). große Zahlen), die in der Regel computertechnisch durchgeführt wird.

Um diesen Punkt abzuschließen, wollen wir uns näher mit der Potenzierung der Zahl Null befassen. Wir haben der gebrochenen Potenz von Null der Form folgende Bedeutung gegeben: wenn wir haben , und bei Null ist die m/n-Potenz nicht definiert. Null zu einer gebrochenen positiven Potenz ist also beispielsweise Null. . Und Null in einer gebrochenen negativen Potenz macht keinen Sinn, zum Beispiel ergeben die Ausdrücke 0 -4,3 keinen Sinn.

Aufstieg zu einer irrationalen Macht

Manchmal ist es notwendig, den Wert der Potenz einer Zahl mit einem irrationalen Exponenten herauszufinden. In diesem Fall reicht es aus praktischen Gründen meist aus, den Gradwert auf ein bestimmtes Vorzeichen genau zu ermitteln. Wir stellen sofort fest, dass dieser Wert in der Praxis mithilfe elektronischer Computer berechnet wird, da die Erhöhung auf eine irrationale Potenz manuell erforderlich ist große Menge umständliche Berechnungen. Aber wir werden es trotzdem beschreiben allgemeiner Überblick die Essenz der Aktion.

Um einen Näherungswert für die Potenz einer Zahl a mit einem irrationalen Exponenten zu erhalten, wird eine dezimale Näherung des Exponenten vorgenommen und der Wert der Potenz berechnet. Dieser Wert ist ein Näherungswert der Potenz der Zahl a mit einem irrationalen Exponenten. Je genauer die dezimale Näherung einer Zahl zunächst vorgenommen wird, desto genauer wird am Ende der Gradwert erhalten.

Berechnen wir als Beispiel den ungefähren Wert der Potenz von 2 1,174367... . Nehmen wir die folgende dezimale Näherung des irrationalen Exponenten: . Erhöhen wir nun 2 auf die rationale Potenz 1,17 (das Wesentliche dieses Prozesses haben wir im vorherigen Absatz beschrieben), erhalten wir 2 1,17 ≈2,250116. Daher, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Wenn wir beispielsweise eine genauere dezimale Näherung des irrationalen Exponenten vornehmen, erhalten wir einen genaueren Wert des ursprünglichen Exponenten: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Referenzen.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematiklehrbuch für die 5. Klasse. Bildungseinrichtungen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 7. Klasse. Bildungseinrichtungen.
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• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 – 11 allgemeinbildender Einrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Einstiegsniveau

Grad und seine Eigenschaften. Umfassender Leitfaden (2019)

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EINSTIEGEBENE

Potenzierung ist eine mathematische Operation, genau wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in menschlicher Sprache anhand sehr einfacher Beispiele erklären. Seien Sie vorsichtig. Die Beispiele sind elementar, erklären aber Wichtiges.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Sie wissen bereits alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola gibt es? Genau, 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Das gleiche Beispiel mit Cola kann anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zunächst einige Muster und finden dann einen Weg, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall stellten sie fest, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht es auch langsamer, schwieriger und mit Fehlern! Aber…

Hier ist die Multiplikationstabelle. Wiederholen.

Und noch eins, schöneres:

Welche anderen? listige Tricks Wurden die Konten von faulen Mathematikern erfunden? Rechts - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl auf die fünfte Potenz erhöhen müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich daran, dass zwei hoch fünf... Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Alles was Sie tun müssen ist Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farblich hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, das wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Warum heißt es übrigens zweiter Grad? Quadrat Zahlen und der dritte - Würfel? Was bedeutet es? Sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel Nr. 1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit dem Quadrat oder der zweiten Potenz der Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der einen mal einen Meter misst. Der Pool befindet sich in Ihrer Datscha. Es ist heiß und ich möchte unbedingt schwimmen. Aber... der Pool hat keinen Boden! Sie müssen den Boden des Pools mit Fliesen abdecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu ermitteln, müssen Sie den Bodenbereich des Beckens kennen.

Sie können ganz einfach per Fingerzeig ausrechnen, dass der Boden des Beckens aus meterweise großen Würfeln besteht. Wenn Sie Fliesen von einer Größe von einem Meter auf einen Meter haben, benötigen Sie Stücke. Es ist ganz einfach... Aber wo hat man solche Fliesen gesehen? Die Fliese wird höchstwahrscheinlich cm für cm groß sein und dann wird man mit dem „Zählen mit dem Finger“ gefoltert. Dann muss man multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite ebenfalls Fliesen anbringen. Multiplizieren Sie mit und Sie erhalten Kacheln ().

Ist Ihnen aufgefallen, dass wir zur Bestimmung der Fläche des Beckenbodens dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben? Was bedeutet es? Da wir dieselbe Zahl multiplizieren, können wir die Technik der „Potenzierung“ verwenden. (Wenn Sie nur zwei Zahlen haben, müssen Sie diese natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn Sie viele davon haben, ist das Potenzieren viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler in den Berechnungen . Für das Einheitliche Staatsexamen ist dies sehr wichtig.
Dreißig hoch zwei ist also (). Oder wir können sagen, dass es dreißig im Quadrat sein werden. Mit anderen Worten: Die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel Nr. 2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie: Zählen Sie anhand des Zahlenquadrats, wie viele Felder es auf dem Schachbrett gibt ... Auf der einen Seite der Zellen und auch auf der anderen. Um ihre Zahl zu berechnen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren oder ... wenn Sie bemerken, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, dann können Sie acht quadrieren. Sie erhalten Zellen. () Also?

Beispiel Nr. 3 aus dem wirklichen Leben

Nun die Potenz bzw. die dritte Potenz einer Zahl. Derselbe Pool. Jetzt müssen Sie jedoch herausfinden, wie viel Wasser in dieses Becken gegossen werden muss. Sie müssen das Volumen berechnen. (Volumina und Flüssigkeiten werden übrigens in gemessen Kubikmeter. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: einen Boden von einem Meter und eine Tiefe von einem Meter und versuchen Sie zu zählen, wie viele Würfel von einem Meter mal einem Meter in Ihr Becken passen.

Zeigen Sie einfach mit dem Finger und zählen Sie! Eins, zwei, drei, vier ... zweiundzwanzig, dreiundzwanzig ... Wie viele hast du bekommen? Nicht verloren? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? Das ist es! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul und haben bemerkt, dass man zur Berechnung des Beckenvolumens dessen Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools einem Würfel... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau die Mathematiker wären, wenn sie auch dies vereinfachen würden. Wir haben alles auf eine Aktion reduziert. Sie stellten fest, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss nutzen können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, erledigen sie in einer Aktion: Drei Würfel sind gleich. Es ist so geschrieben: .

Es bleibt nur noch Denken Sie an die Gradtabelle. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie weiterhin mit dem Finger zählen.

Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass Abschlüsse von Aufgebenden und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier ein paar weitere Beispiele aus dem Leben.

Beispiel Nr. 4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, eine weitere Million. Das heißt, jede Million, die Sie haben, verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld werden Sie in Jahren haben? Wenn Sie jetzt sitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und ... dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr – zwei multipliziert mit zwei … im zweiten Jahr – was im dritten Jahr um zwei weitere geschah … Stopp! Sie haben bemerkt, dass die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich nun vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der am schnellsten zählen kann, wird diese Millionen bekommen ... Es lohnt sich, sich an die Macht der Zahlen zu erinnern, finden Sie nicht?

Beispiel Nr. 5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, zwei weitere. Großartig, nicht wahr? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld werden Sie in einem Jahr haben? Lasst uns zählen. Das erste Jahr – mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mit sich selbst mal multipliziert. In der vierten Potenz entspricht es also einer Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch die vierte Potenz oder ist.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Werfen wir einen weiteren Blick darauf, was Sie mit Abschlüssen alles machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte... um nicht durcheinander zu kommen

Definieren wir also zunächst die Konzepte. Glaubst du? Was ist ein Exponent?? Es ist ganz einfach: Es ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, zur gleichen Zeit, was eine solche Abschlussbasis? Noch einfacher: Dies ist die Nummer, die sich unten an der Basis befindet.

Hier ist eine Zeichnung zur Sicherheit.

Na gut rein Gesamtansicht, um es zu verallgemeinern und besser zu merken... Ein Grad mit einer Basis „ “ und einem Exponenten „ “ wird als „bis zum Grad“ gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Sie haben es wahrscheinlich schon erraten: weil der Exponent ist natürliche Zahl. Ja, aber was ist das? natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die beim Zählen von Objekten verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Objekte zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht: „ein Drittel“ oder „null Komma fünf“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Welche Zahlen sind das Ihrer Meinung nach?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (d. h. mit einem Minuszeichen versehen) und Zahlen. Null ist leicht zu verstehen – es ist, wenn es nichts gibt. Was bedeuten negative („Minus“) Zahlen? Sie wurden jedoch in erster Linie erfunden, um Schulden anzuzeigen: Wenn Sie auf Ihrem Telefon ein Guthaben in Rubel haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie Ihrer Meinung nach entstanden? Ganz einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass ihnen natürliche Zahlen zur Messung von Länge, Gewicht, Fläche usw. fehlten. Und sie haben es sich ausgedacht rationale Zahlen... Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, endlos dezimal. Teilt man beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man eine irrationale Zahl.

Wieder aufnehmen:

Definieren wir das Konzept eines Grades, dessen Exponent eine natürliche Zahl (d. h. ganzzahlig und positiv) ist.

1. Jede Zahl in der ersten Potenz ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren:
3. Eine Zahl zu würfeln bedeutet, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Eine Zahl auf eine natürliche Potenz zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Eigenschaften von Graden

Woher kamen diese Eigenschaften? Ich zeige es dir jetzt.

Mal sehen: Was ist das? Und ?

Per Definition:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben den Faktoren Multiplikatoren hinzugefügt und das Ergebnis sind Multiplikatoren.

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, also: , was bewiesen werden musste.

Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Lösung:

Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Lösung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Unbedingt muss sein identische Gründe!
Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:

nur für das Produkt der Potenzen!

Das darf man auf keinen Fall schreiben.

2. Das ist es Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze tun:

Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das stimmt schließlich nicht.

Leistung mit negativer Basis

Bisher haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Doch was soll die Grundlage sein?

In Potenzen von natürlicher Indikator die grundlage kann sein eine beliebige Zahl. Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Grad positiver und negativer Zahlen haben werden.

Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ? Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit multiplizieren, funktioniert es.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier sind die Antworten: In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Auch in Beispiel 5) ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Schließlich spielt es keine Rolle, welcher Basis gleich ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Beispiele zum Üben

Analyse der Lösung 6 Beispiele

Was sehen wir hier, wenn wir die achte Potenz ignorieren? Erinnern wir uns an das Programm der 7. Klasse. Also, erinnerst du dich? Dies ist die Formel für die abgekürzte Multiplikation, nämlich die Differenz der Quadrate! Wir bekommen:

Schauen wir uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Die Reihenfolge der Begriffe ist falsch. Bei einer Umkehrung könnte die Regel gelten.

Aber wie geht das? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.

Auf magische Weise wechselten die Begriffe ihre Plätze. Dieses „Phänomen“ gilt in gleichem Maße für jeden Ausdruck: Wir können die Vorzeichen in Klammern leicht ändern.

Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!

Kehren wir zum Beispiel zurück:

Und noch einmal die Formel:

Ganz Wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem „ “-Zeichen genommen) und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es unterscheidet sich nicht von natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorherigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Fragen wir uns wie immer: Warum ist das so?

Betrachten wir einen Grad mit einer Basis. Nehmen Sie zum Beispiel und multiplizieren Sie mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen das Gleiche wie es war – . Mit welcher Zahl muss man multiplizieren, damit sich nichts ändert? Genau, weiter. Bedeutet.

Das Gleiche können wir auch mit einer beliebigen Zahl machen:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Doch von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da – das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss es in jedem Grad gleich sein – egal wie viel man Null mit sich selbst multipliziert, man erhält immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie wie jede Zahl hoch null gleich sein. Wie viel davon ist also wahr? Die Mathematiker entschieden sich, sich nicht darauf einzulassen und weigerten sich, Null in die Nullpotenz zu erhöhen. Das heißt, wir können jetzt nicht nur durch Null dividieren, sondern es auch mit Null potenzieren.

Lass uns weitermachen. Zu den ganzen Zahlen zählen neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was eine negative Potenz ist, machen wir es wie beim letzten Mal: ​​Multiplizieren Sie eine normale Zahl mit derselben Zahl, um eine negative Potenz zu erhalten:

Von hier aus können Sie ganz einfach ausdrücken, wonach Sie suchen:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Formulieren wir also eine Regel:

Eine Zahl mit negativer Potenz ist der Kehrwert derselben Zahl mit positiver Potenz. Aber gleichzeitig Die Basis darf nicht null sein:(weil man nicht durch teilen kann).

Fassen wir zusammen:

I. Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.

II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .

III. Eine Zahl, die in negativer Potenz ungleich Null ist, ist die Umkehrung derselben Zahl in positiver Potenz: .

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Nun, wie immer Beispiele für unabhängige Lösungen:

Analyse von Problemen zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber beim Einheitlichen Staatsexamen muss man auf alles vorbereitet sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie ihre Lösungen, wenn Sie sie nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, in der Prüfung problemlos damit umzugehen!

Erweitern wir den Zahlenbereich, der als Exponent „geeignet“ ist, weiter.

Lassen Sie uns nun überlegen rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und ganze Zahlen sind und.

Um zu verstehen, was es ist „Bruchgrad“ Betrachten Sie den Bruch:

Potenzieren wir beide Seiten der Gleichung:

Erinnern wir uns nun an die Regel über „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um sie zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des th-Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel der Potenz ist die umgekehrte Operation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich das Sonderfall erweiterbar: .

Nun fügen wir den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort lässt sich leicht mit der Power-to-Power-Regel erhalten:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich lässt sich nicht aus allen Zahlen die Wurzel ziehen.

Keiner!

Erinnern wir uns an die Regel: Jede gerade Potenz ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, gerade Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen!

Dies bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner in eine gebrochene Potenz gebracht werden können, das heißt, der Ausdruck ergibt keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier entsteht ein Problem.

Die Zahl kann beispielsweise in Form anderer, reduzierbarer Brüche dargestellt werden, oder.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, sondern dass es sich nur um zwei verschiedene Datensätze derselben Nummer handelt.

Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber wenn wir den Indikator anders aufschreiben, geraten wir wieder in Schwierigkeiten: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis erhalten!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, überlegen wir nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Wenn also:

• — natürliche Zahl;
• - Ganzzahl;

Beispiele:

Rationale Exponenten sind sehr nützlich für die Transformation von Ausdrücken mit Wurzeln, zum Beispiel:

5 Beispiele zum Üben

Analyse von 5 Beispielen für das Training

Nun kommt der schwierigste Teil. Jetzt werden wir es herausfinden Grad mit irrationalem Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier mit einer Ausnahme genau die gleichen wie für einen Grad mit rationalem Exponenten

Schließlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).

Bei der Untersuchung von Graden mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten haben wir jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen erstellt.

Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl;

...Zahl hoch null- das ist sozusagen eine Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert wird, d. , nämlich eine Zahl;

...negativer ganzzahliger Grad- Es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

In der Wissenschaft wird übrigens oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, der Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie werden im Institut die Möglichkeit haben, diese neuen Konzepte zu verstehen.

WOHIN WIR SICHER SIND, WERDEN SIE GEHEN! (Wenn Sie lernen, solche Beispiele zu lösen :))

Zum Beispiel:

Entscheiden Sie selbst:

Analyse der Lösungen:

1. Beginnen wir mit der üblichen Regel zur Potenzsteigerung:

Schauen Sie sich nun den Indikator an. Erinnert er dich an nichts? Erinnern wir uns an die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Quadratdifferenz:

In diesem Fall,

Es stellt sich heraus, dass:

Antwort: .

2. Wir reduzieren Brüche in Exponenten auf die gleiche Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnlichen. Wir erhalten zum Beispiel:

Antwort: 16

3. Nichts Besonderes, wir verwenden die üblichen Eigenschaften von Graden:

FORTGESCHRITTENES NIVEAU

Bestimmung des Abschlusses

Ein Abschluss ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Abschlussbasis;
• - Exponent.

Abschluss mit natürlichem Indikator (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl auf die natürliche Potenz n zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Grad mit einem ganzzahligen Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Nummer:

Konstruktion bis zum Nullgrad:

Der Ausdruck ist unbestimmt, denn einerseits ist dies in jedem Grad der Fall, und andererseits ist dies jede Zahl im Th-Grad.

Wenn der Exponent ist negative ganze Zahl Nummer:

(weil man nicht durch teilen kann).

Noch einmal zu den Nullen: Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Potenz mit rationalem Exponenten

• — natürliche Zahl;
• - Ganzzahl;

Beispiele:

Eigenschaften von Graden

Um die Lösung von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Lassen Sie uns sie beweisen.

Mal sehen: Was ist und?

Per Definition:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhalten wir also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist es eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Lösung : .

Beispiel : Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Lösung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Unbedingt Es muss die gleichen Gründe geben. Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:

Noch etwas wichtiger Hinweis: das ist die Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf man auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Lassen Sie uns diese Arbeit wie folgt neu gruppieren:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze schaffen: !

Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das stimmt schließlich nicht.

Macht mit negativer Basis.

Bisher haben wir nur besprochen, wie es sein sollte Indikator Grad. Doch was soll die Grundlage sein? In Potenzen von natürlich Indikator die grundlage kann sein eine beliebige Zahl .

Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Grad positiver und negativer Zahlen haben werden.

Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ?

Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir - .

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Wir können Folgendes formulieren einfache Regeln:

1. sogar Grad, - Zahl positiv.
2. Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
4. Null zu jeder Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

Auch in Beispiel 5) ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Schließlich spielt es keine Rolle, welcher Basis gleich ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier gilt es herauszufinden, was weniger ist: oder? Wenn wir uns daran erinnern, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition des Grades:

Alles ist wie immer – wir schreiben die Definition der Grade auf und teilen sie durcheinander, teilen sie in Paare auf und erhalten:

Bevor wir uns die letzte Regel ansehen, lösen wir einige Beispiele.

Berechnen Sie die Ausdrücke:

Lösungen :

Was sehen wir hier, wenn wir die achte Potenz ignorieren? Erinnern wir uns an das Programm der 7. Klasse. Also, erinnerst du dich? Dies ist die Formel für die abgekürzte Multiplikation, nämlich die Differenz der Quadrate!

Wir bekommen:

Schauen wir uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Die Reihenfolge der Begriffe ist falsch. Wenn sie umgekehrt wären, könnte Regel 3 gelten. Aber wie? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.

Wenn man es mit multipliziert, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt kommt es so:

Auf magische Weise wechselten die Begriffe ihre Plätze. Dieses „Phänomen“ gilt in gleichem Maße für jeden Ausdruck: Wir können die Vorzeichen in Klammern leicht ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Zeichen ändern sich gleichzeitig! Sie können es nicht ersetzen, indem Sie nur einen Nachteil ändern, der uns nicht gefällt!

Kehren wir zum Beispiel zurück:

Und noch einmal die Formel:

Nun also die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich wie immer: Lassen Sie uns das Konzept des Abschlusses erweitern und vereinfachen:

Nun öffnen wir die Klammern. Wie viele Buchstaben gibt es insgesamt? mal durch Multiplikatoren - woran erinnert dich das? Dies ist nichts weiter als eine Definition einer Operation Multiplikation: Da gab es nur Multiplikatoren. Das heißt, dies ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Zusätzlich zu den Gradangaben für das Durchschnittsniveau analysieren wir den Grad mit einem irrationalen Exponenten. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d. h , irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).

Bei der Untersuchung von Graden mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten haben wir jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen erstellt. Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl; eine Zahl hoch null ist sozusagen eine mit sich selbst multiplizierte Zahl, d „Leerzahl“, nämlich eine Zahl; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten – es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen vierdimensionalen Raum vorzustellen). Es handelt sich vielmehr um ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept des Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

In der Wissenschaft wird übrigens oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, der Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie werden im Institut die Möglichkeit haben, diese neuen Konzepte zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, es loszuwerden :)

Zum Beispiel:

Entscheiden Sie selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

1. Erinnern wir uns an die Formel für die Differenz der Quadrate. Antwort: .
2. Wir reduzieren die Brüche auf die gleiche Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnlichen. Wir erhalten zum Beispiel: .
3. Nichts Besonderes, wir verwenden die üblichen Eigenschaften von Graden:

ZUSAMMENFASSUNG DES ABSCHNITTS UND GRUNDFORMELN

Grad wird als Ausdruck der Form bezeichnet: , wobei:

Grad mit einem ganzzahligen Exponenten

ein Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl (d. h. ganzzahlig und positiv) ist.

Potenz mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Exponent negative und gebrochene Zahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

ein Grad, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine unendliche Wurzel ist.

Eigenschaften von Graden

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf sogar Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

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In diesem Artikel werden wir herausfinden, was es ist Potenz einer Zahl. Hier geben wir Definitionen der Potenz einer Zahl und betrachten im Detail alle möglichen Exponenten, beginnend mit dem natürlichen Exponenten und endend mit dem irrationalen. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

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Potenz mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Potenz einer Zahl

Beginnen wir mit . Nehmen wir für die Zukunft an, dass die Definition der Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, die wir nennen werden Abschlussbasis, und n, die wir nennen werden Exponent. Wir weisen auch darauf hin, dass ein Grad mit einem natürlichen Exponenten durch ein Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also Kenntnisse über die Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n, dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist die Potenz einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 =a.

Erwähnenswert sind gleich die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Schreibweise a n lautet: „a hoch n“. In manchen Fällen sind auch die folgenden Optionen akzeptabel: „a hoch n-tel“ und „n-te Potenz a“. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölfte Potenz“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Sowohl die zweite Potenz einer Zahl als auch die dritte Potenz einer Zahl haben jeweils eigene Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt Quadriere die Zahl Beispielsweise wird 7 2 als „Sieben im Quadrat“ oder „das Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahlen Beispielsweise kann 5 3 als „fünf gewürfelt“ gelesen werden, oder man kann „Würfel der Zahl 5“ sagen.

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Grade mit natürlichen Exponenten. Beginnen wir mit dem Grad 5 7, hier ist 5 die Basis des Grades und 7 der Exponent. Geben wir ein weiteres Beispiel: 4,32 ist die Basis und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis der Potenz 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Unstimmigkeiten zu vermeiden, werden wir alle Basen der Potenz, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Grade mit natürlichen Exponenten an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, daher werden sie in Klammern geschrieben. Nun, der vollständigen Klarheit halber zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist eine Potenz von −2 mit einem natürlichen Exponenten von 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für die Potenz einer Zahl a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n außerdem eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind einige weitere Beispiele für die Schreibweise von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Gradschreibweise der Form a n .

Eines der umgekehrten Probleme zur Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten ist das Problem, die Basis der Potenz aus einem bekannten Wert der Potenz und einem bekannten Exponenten zu ermitteln. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Brüchen besteht und jeder Bruch als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher der Potenz der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n eine Bedeutung geben, wobei m ist eine ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl. Lass uns das machen.

Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir sie ermittelt haben, berücksichtigen, ist es logisch, sie zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck bei gegebenen m, n und a einen Sinn ergibt.

Es lässt sich leicht überprüfen, ob alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gültig sind (dies wurde im Abschnitt Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten durchgeführt).

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: Wenn m, n und a gegeben sind, ergibt der Ausdruck einen Sinn, dann heißt die Potenz von a mit einem gebrochenen Exponenten m/n die n-te Wurzel von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei welchen m, n und a der Ausdruck Sinn macht. Abhängig von den Einschränkungen für m, n und a gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg besteht darin, a eine Einschränkung aufzuerlegen, indem man a≥0 für positives m und a>0 für negatives m annimmt (da für m≤0 der Grad 0 von m nicht definiert ist). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit gebrochenem Exponenten m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die n-te Wurzel der Zahl a hoch m, also .

Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Einschränkung gibt: Für einige negative a und einige m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle durch die Einführung der Bedingung a≥0 verworfen. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll oder , und die oben gegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.

Ein anderer Ansatz zur Bestimmung eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Die Potenz der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Potenz der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (wir werden die Bedeutung dieser Bedingung weiter unten erklären). ). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m ist der Ausdruck für jedes nicht negative a sinnvoll (eine gerade Wurzel einer negativen Zahl macht keinen Sinn); für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (andernfalls kommt es zu einer Division). durch Null). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a beliebig sein (für jede wird eine ungerade Wurzel definiert). reelle Zahl), und für negatives m muss die Zahl a ungleich Null sein (damit es keine Division durch Null gibt).

Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz einer Zahl mit einem irreduziblen gebrochenen Exponenten m/n ist für



Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zunächst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt hinsichtlich der Irreduzibilität des Bruchs m/n machen würden, dann stünden wir vor Situationen ähnlich der folgenden: Da 6/10 = 3/5, muss die Gleichheit gelten , Aber , A .

Mit dem Rechner können Sie online schnell eine Zahl potenzieren. Die Basis des Grades kann eine beliebige Zahl sein (sowohl ganze Zahlen als auch reelle Zahlen). Der Exponent kann auch eine ganze Zahl oder reell sein und kann auch positiv oder negativ sein. Beachten Sie, dass bei negativen Zahlen die Potenzierung mit einer nicht ganzzahligen Zahl undefiniert ist, sodass der Rechner einen Fehler meldet, wenn Sie es versuchen.

Abschlussrechner

Aufstieg zur Macht

Potenzierungen: 20880

Was ist eine natürliche Potenz einer Zahl?

Die Zahl p heißt n-te Potenz einer Zahl, wenn p gleich der n-fach mit sich selbst multiplizierten Zahl a ist: p = a n = a·...·a
n - genannt Exponent, und die Zahl a ist Abschlussbasis.

Wie kann man eine Zahl auf eine natürliche Potenz erhöhen?

Um zu verstehen, wie man baut verschiedene Zahlen Betrachten Sie einige Beispiele für natürliche Kräfte:

Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl drei auf die vierte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 3 4 zu berechnen
Lösung: wie oben erwähnt, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Antwort: 3 4 = 81 .

Beispiel 2. Erhöhen Sie die Zahl fünf auf die fünfte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 5 5 zu berechnen
Lösung: ebenso 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Antwort: 5 5 = 3125 .

Um also eine Zahl auf eine natürliche Potenz zu erhöhen, müssen Sie sie nur n-mal mit sich selbst multiplizieren.

Was ist eine negative Potenz einer Zahl?

Die negative Potenz -n von a ist eins dividiert durch a hoch n: a -n = .

In diesem Fall existiert eine negative Potenz nur für Zahlen ungleich Null, da sonst eine Division durch Null erfolgen würde.

Wie kann man eine Zahl negativ potenzieren?

Um eine Zahl ungleich Null negativ zu potenzieren, müssen Sie den Wert dieser Zahl mit derselben positiven Potenz berechnen und eins durch das Ergebnis dividieren.

Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl zwei auf die negative vierte Potenz. Das heißt, Sie müssen 2 -4 berechnen

Lösung: wie oben angegeben, 2 -4 = = = 0,0625.

Antwort: 2 -4 = 0.0625 .