Lassen Sie uns zwei Arten von Lösungen für Gleichungssysteme analysieren:

1. Lösen des Systems mit der Substitutionsmethode.
2. Lösen des Systems durch termweise Addition (Subtraktion) der Systemgleichungen.

Um das Gleichungssystem zu lösen durch Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Express. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir setzen den resultierenden Wert anstelle der ausgedrückten Variablen in eine andere Gleichung ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Zu entscheiden System durch Term-für-Term-Additions- (Subtraktions-)Methode müssen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir identische Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren Gleichungen, was zu einer Gleichung mit einer Variablen führt.
3. Lösen Sie die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Funktionsgraphen.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel Nr. 1:

Lassen Sie uns mit der Substitutionsmethode lösen

Lösen eines Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. Express
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, was bedeutet, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nachdem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir 3+10y in der ersten Gleichung anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (öffnen Sie die Klammern)
6+20J+5J=1
25 Jahre = 1–6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, daher müssen wir x und y finden, da der Schnittpunkt aus x und y besteht. Suchen wir x, setzen wir dort am ersten Punkt ein, an dem wir es ausgedrückt haben .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, Punkte zu schreiben, an erster Stelle schreiben wir die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns das Problem mit der Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems mit der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wir wählen eine Variable, sagen wir, wir wählen x. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichung, um die Variable x zu entfernen. Lösen Sie die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir setzen das gefundene y in eine der Gleichungen ein, beispielsweise in die erste Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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In dieser Lektion werden wir uns weiterhin mit der Methode zur Lösung von Gleichungssystemen befassen, nämlich der Methode algebraische Addition. Schauen wir uns zunächst die Anwendung dieser Methode anhand eines Beispiels an lineare Gleichungen und sein Wesen. Erinnern wir uns auch daran, wie man Koeffizienten in Gleichungen ausgleicht. Und wir werden mit dieser Methode eine Reihe von Problemen lösen.

Thema: Gleichungssysteme

Lektion: Algebraische Additionsmethode

1. Methode der algebraischen Addition am Beispiel linearer Systeme

Lassen Sie uns überlegen algebraische Additionsmethode am Beispiel linearer Systeme.

Beispiel 1. Lösen Sie das System

Wenn wir diese beiden Gleichungen addieren, hebt sich y auf und es bleibt eine Gleichung für x übrig.

Wenn wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren, heben sich die x auf und wir erhalten eine Gleichung für y. Dies ist die Bedeutung der algebraischen Additionsmethode.

Wir haben das System gelöst und uns an die Methode der algebraischen Addition erinnert. Wiederholen wir das Wesentliche: Wir können Gleichungen addieren und subtrahieren, müssen aber sicherstellen, dass wir eine Gleichung mit nur einer Unbekannten erhalten.

2. Methode der algebraischen Addition mit vorläufigem Koeffizientenausgleich

Beispiel 2. Lösen Sie das System

Der Term ist in beiden Gleichungen vorhanden, daher ist die algebraische Additionsmethode praktisch. Subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung.

Antwort: (2; -1).

Nach der Analyse des Gleichungssystems können Sie also erkennen, dass die Methode der algebraischen Addition geeignet ist, und sie anwenden.

Betrachten wir ein anderes lineares System.

3. Lösung nichtlinearer Systeme

Beispiel 3. Lösen Sie das System

Wir wollen y loswerden, aber die Koeffizienten von y sind in den beiden Gleichungen unterschiedlich. Gleichen wir sie aus; dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3, die zweite mit 4.

Beispiel 4. Lösen Sie das System

Lassen Sie uns die Koeffizienten für x ausgleichen

Sie können es auch anders machen – gleichen Sie die Koeffizienten für y aus.

Wir haben das System gelöst, indem wir die algebraische Additionsmethode zweimal angewendet haben.

Die algebraische Additionsmethode ist auch auf die Lösung nichtlinearer Systeme anwendbar.

Beispiel 5. Lösen Sie das System

Addieren wir diese Gleichungen und wir werden y los.

Das gleiche System kann durch zweimaliges Anwenden der algebraischen Additionsmethode gelöst werden. Lassen Sie uns von einer Gleichung eine andere addieren und davon subtrahieren.

Beispiel 6. Lösen Sie das System

Antwort:

Beispiel 7. Lösen Sie das System

Mit der Methode der algebraischen Addition werden wir den xy-Term los. Lassen Sie uns die erste Gleichung mit multiplizieren.

Die erste Gleichung bleibt unverändert, statt der zweiten schreiben wir die algebraische Summe.

Antwort:

Beispiel 8. Lösen Sie das System

Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 2, um ein perfektes Quadrat zu isolieren.

Unsere Aufgabe beschränkte sich auf die Lösung von vier einfachen Systemen.

4. Fazit

Wir haben die Methode der algebraischen Addition am Beispiel der Lösung linearer und nichtlinearer Systeme untersucht. In der nächsten Lektion werden wir uns die Methode zur Einführung neuer Variablen ansehen.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Lehrbuch. Für die Allgemeinbildung Institutionen. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: Abb.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Schüler allgemeinbildender Einrichtungen / A.G. Mordkovich, T.N. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. Klasse: pädagogisch. für Studierende der Allgemeinbildung. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu., Sidorov V. Algebra. 9. Klasse. 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12. Aufl., gelöscht. - M.: 2010. - 224 S.: Abb.

6. Algebra. 9. Klasse. In 2 Teilen. Teil 2. Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. – 12. Auflage, rev. - M.: 2010.-223 S.: Abb.

1. College-Bereich. ru in Mathematik.

2. Internetprojekt „Aufgaben“.

3. Bildungsportal„ICH WERDE DIE VERWENDUNG LÖSEN.“

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Schüler allgemeinbildender Einrichtungen / A.G. Mordkovich, T.N. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 125 - 127.

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Regeln für die Eingabe von Gleichungen
Als Variable kann jeder lateinische Buchstabe fungieren.

Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) usw. Bei der Eingabe von Gleichungen Sie können Klammern verwenden
. In diesem Fall werden die Gleichungen zunächst vereinfacht.

Die Gleichungen nach Vereinfachungen müssen linear sein, d.h. der Form ax+by+c=0 mit der Genauigkeit der Reihenfolge der Elemente.

Zum Beispiel: 6x+1 = 5(x+y)+2
In Gleichungen können Sie nicht nur ganze Zahlen, sondern auch Brüche in Form von Dezimalzahlen und gewöhnlichen Brüchen verwenden. Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen. Ganzzahlige und gebrochene Teile in
Dezimalstellen

können entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Zum Beispiel: 2,1n + 3,5m = 55
Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren. Der Nenner darf nicht negativ sein. Beim Betreten /
numerischer Bruch &

Der Zähler wird vom Nenner durch ein Divisionszeichen getrennt:
Der ganze Teil wird durch das kaufmännische Und-Zeichen vom Bruch getrennt:
Beispiele.

Beispiel: 3x-4y = 5

Beispiel: 6x+1 = 5(x+y)+2
Gleichungssystem lösen
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Eine kleine Theorie.

Lösen linearer Gleichungssysteme. Substitutionsmethode

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode:
1) eine Variable aus einer Gleichung des Systems durch eine andere ausdrücken;
2) den resultierenden Ausdruck anstelle dieser Variablen in eine andere Gleichung des Systems einsetzen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Drücken wir y durch x aus der ersten Gleichung aus: y = 7-3x. Wenn wir den Ausdruck 7-3x anstelle von y in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir das System:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es ist leicht zu zeigen, dass das erste und das zweite System die gleichen Lösungen haben. Im zweiten System enthält die zweite Gleichung nur eine Variable. Lösen wir diese Gleichung:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Wenn wir 1 anstelle von x in die Gleichung y=7-3x einsetzen, finden wir den entsprechenden Wert von y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paar (1;4) - Lösung des Systems

Man nennt Gleichungssysteme in zwei Variablen, die die gleichen Lösungen haben Äquivalent. Als gleichwertig gelten auch Systeme, für die es keine Lösungen gibt.

Lösen linearer Gleichungssysteme durch Addition

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen – die Additionsmethode. Bei der Lösung von Systemen auf diese Weise sowie bei der Lösung durch Substitution wechseln wir von diesem System zu einem anderen, äquivalenten System, in dem eine der Gleichungen nur eine Variable enthält.

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Additionsmethode:
1) Multiplizieren Sie die Gleichungen des Systems Term für Term und wählen Sie Faktoren so aus, dass die Koeffizienten einer der Variablen entgegengesetzte Zahlen werden;
2) Addieren Sie die linke und rechte Seite der Systemgleichungen Term für Term;
3) Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen;
4) Finden Sie den entsprechenden Wert der zweiten Variablen.

Beispiel. Lösen wir das Gleichungssystem:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

In den Gleichungen dieses Systems sind die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen. Indem wir die linke und rechte Seite der Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 3x=33. Ersetzen wir eine der Gleichungen des Systems, zum Beispiel die erste, durch die Gleichung 3x=33. Holen wir uns das System
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Aus der Gleichung 3x=33 finden wir, dass x=11. Wenn wir diesen x-Wert in die Gleichung \(x-3y=38\) einsetzen, erhalten wir eine Gleichung mit der Variablen y: \(11-3y=38\). Lösen wir diese Gleichung:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Somit haben wir die Lösung des Gleichungssystems durch Addition gefunden: \(x=11; y=-9\) oder \((11;-9)\)

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass in den Gleichungen des Systems die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen sind, haben wir seine Lösung auf die Lösung eines äquivalenten Systems reduziert (indem wir beide Seiten jeder Gleichung des ursprünglichen Systems summierten), in dem eine der Gleichungen enthält nur eine Variable.

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Bei der Additionsmethode werden die Gleichungen eines Systems Term für Term addiert und eine oder beide (mehrere) Gleichungen können mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden. Dadurch kommen sie zu einem äquivalenten SLE, bei dem es in einer der Gleichungen nur eine Variable gibt.

Um das System zu lösen Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) Befolgen Sie diese Schritte:

1. Wählen Sie eine Variable aus, für die dieselben Koeffizienten erstellt werden.

2. Jetzt müssen Sie die Gleichungen addieren oder subtrahieren und erhalten eine Gleichung mit einer Variablen.

Systemlösung- das sind die Schnittpunkte der Funktionsgraphen.

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1.

Gegebenes System:

Nachdem Sie dieses System analysiert haben, können Sie feststellen, dass die Koeffizienten der Variablen gleich groß und unterschiedlich im Vorzeichen sind (-1 und 1). In diesem Fall können die Gleichungen Term für Term einfach hinzugefügt werden:

Die rot eingekreisten Handlungen führen wir gedanklich aus.

Das Ergebnis der Term-für-Term-Addition war das Verschwinden der Variablen j. Genau das ist die Bedeutung der Methode – eine der Variablen loszuwerden.

-4 - j + 5 = 0 → j = 1,

In Systemform sieht die Lösung etwa so aus:

Antwort: X = -4 , j = 1.

Beispiel 2.

Gegebenes System:

In diesem Beispiel können Sie die „Schul“-Methode verwenden, sie hat jedoch einen ziemlich großen Nachteil: Wenn Sie eine beliebige Variable aus einer beliebigen Gleichung ausdrücken, erhalten Sie eine Lösung in gewöhnlichen Brüchen. Aber das Lösen von Brüchen nimmt viel Zeit in Anspruch und die Wahrscheinlichkeit, Fehler zu machen, steigt.

Daher ist es besser, die Term-für-Term-Addition (Subtraktion) von Gleichungen zu verwenden. Analysieren wir die Koeffizienten der entsprechenden Variablen:

Sie müssen eine Zahl finden, durch die geteilt werden kann 3 und weiter 4 , und es ist notwendig, dass diese Zahl so gering wie möglich ist. Das kleinstes gemeinsames Vielfaches. Wenn es für Sie schwierig ist, eine passende Zahl zu finden, können Sie die Koeffizienten multiplizieren: .

Nächster Schritt:

Wir multiplizieren die 1. Gleichung mit ,

Wir multiplizieren die 3. Gleichung mit ,