Lösen Sie logarithmische Ungleichungsbeispiele mit Lösung. Komplexe logarithmische Ungleichungen

Einführung

Logarithmen wurden erfunden, um Berechnungen zu beschleunigen und zu vereinfachen. Die Idee eines Logarithmus, also die Idee, Zahlen als Potenzen derselben Basis auszudrücken, stammt von Mikhail Stiefel. Aber zu Stiefels Zeiten war die Mathematik noch nicht so weit entwickelt und die Idee des Logarithmus war noch nicht entwickelt. Logarithmen wurden später gleichzeitig und unabhängig voneinander vom schottischen Wissenschaftler John Napier (1550–1617) erfunden, und der Schweizer Jobst Burgi (1552–1632) veröffentlichte das Werk 1614 als Erster. Mit dem Titel „Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentabelle“ wurde Napiers Logarithmentheorie ausreichend detailliert dargelegt vollständig, wird die Methode zur Berechnung von Logarithmen als die einfachste angegeben, daher sind Napiers Verdienste bei der Erfindung der Logarithmen größer als die von Bürgi. Bürgi arbeitete gleichzeitig mit Napier an den Tischen, aber für eine lange Zeit hielt sie geheim und veröffentlichte sie erst 1620. Napier beherrschte die Idee des Logarithmus um 1594. obwohl die Tabellen erst 20 Jahre später veröffentlicht wurden. Zuerst nannte er seine Logarithmen „künstliche Zahlen“ und schlug erst dann vor, diese „künstlichen Zahlen“ in einem Wort „Logarithmus“ zu nennen, was aus dem Griechischen übersetzt „korrelierte Zahlen“ bedeutet, eine aus einer arithmetischen Folge und die andere aus a speziell dafür ausgewählter geometrischer Verlauf. Die ersten Tabellen in russischer Sprache wurden 1703 veröffentlicht. unter Beteiligung eines wunderbaren Lehrers des 18. Jahrhunderts. L. F. Magnitsky. In der Entwicklung der Logarithmentheorie großer Wert besaß die Werke des St. Petersburger Akademikers Leonhard Euler. Er war der erste, der Logarithmen als die Umkehrung der Potenzierung betrachtete; er führte die Begriffe „Logarithmusbasis“ und „Mantisse“ ein. Briggs stellte Logarithmentabellen mit der Basis 10 zusammen. Dezimaltabellen sind ihrer Theorie nach praktischer einfacher als die von Napiers Logarithmen. Daher werden dezimale Logarithmen manchmal auch Briggs-Logarithmen genannt. Der Begriff „Charakterisierung“ wurde von Briggs eingeführt.

In jenen fernen Zeiten, als die Weisen zum ersten Mal über Gleichheiten mit unbekannten Mengen nachzudenken begannen, gab es wahrscheinlich weder Münzen noch Geldbörsen. Es gab aber auch Haufen sowie Töpfe und Körbe, die sich perfekt als Lagerräume eigneten, in denen eine unbekannte Anzahl von Gegenständen aufbewahrt werden konnte. In den antiken mathematischen Problemen Mesopotamiens, Indiens, Chinas und Griechenlands drückten unbekannte Größen die Anzahl der Pfauen im Garten, die Anzahl der Bullen in der Herde und die Gesamtheit der Dinge aus, die bei der Aufteilung des Eigentums berücksichtigt wurden. In das Geheimwissen eingeweihte Schriftgelehrte, Beamte und Priester, die in der Buchführungswissenschaft gut ausgebildet waren, bewältigten solche Aufgaben recht erfolgreich.

Quellen, die uns erreicht haben, weisen darauf hin, dass antike Wissenschaftler über einige allgemeine Techniken zur Lösung von Problemen mit unbekannten Größen verfügten. Allerdings enthält keine einzige Papyrus- oder Tontafel eine Beschreibung dieser Techniken. Die Autoren versahen ihre numerischen Berechnungen nur gelegentlich mit knappen Kommentaren wie: „Schau!“, „Mach das!“, „Du hast das Richtige gefunden.“ Eine Ausnahme bildet in diesem Sinne die „Arithmetik“ des griechischen Mathematikers Diophantus von Alexandria (III. Jahrhundert) – eine Sammlung von Problemen zum Aufstellen von Gleichungen mit einer systematischen Darstellung ihrer Lösungen.

Das erste Handbuch zur Problemlösung, das weithin bekannt wurde, war jedoch das Werk des Bagdader Wissenschaftlers aus dem 9. Jahrhundert. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Das Wort „al-jabr“ aus dem arabischen Namen dieser Abhandlung – „Kitab al-jaber wal-mukabala“ („Buch der Wiederherstellung und Opposition“) – verwandelte sich im Laufe der Zeit in das bekannte Wort „Algebra“ und das Werk von al-Khwarizmi selbst diente als Ausgangspunkt für die Entwicklung der Wissenschaft des Lösens von Gleichungen.

Logarithmische Gleichungen und Ungleichungen

1. Logarithmische Gleichungen

Eine Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Logarithmuszeichen oder an ihrer Basis enthält, wird logarithmische Gleichung genannt.

Die einfachste logarithmische Gleichung ist eine Gleichung der Form

Protokoll A X = B . (1)

Aussage 1. Wenn A > 0, A≠ 1, Gleichung (1) für jede reelle Zahl B hat eine einzigartige Lösung X = ein b .

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichungen:

a)log 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Lösung. Mit Aussage 1 erhalten wir a) X= 2 3 oder X= 8; B) X= 3 -1 oder X= 1 / 3 ; C)

oder X = 1.

Lassen Sie uns die grundlegenden Eigenschaften des Logarithmus vorstellen.

P1. Grundlegende logarithmische Identität:

Wo A > 0, A≠ 1 und B > 0.

P2. Logarithmus des Produkts positiver Faktoren gleich der Summe Logarithmen dieser Faktoren:

Protokoll A N 1 · N 2 = Protokoll A N 1 + Protokoll A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommentar. Wenn N 1 · N 2 > 0, dann nimmt die Eigenschaft P2 die Form an

Protokoll A N 1 · N 2 = Protokoll A |N 1 | + Protokoll A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Der Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors

(A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommentar. Wenn

, (was äquivalent ist N 1 N 2 > 0), dann nimmt die Eigenschaft P3 die Form an (A > 0, A ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Der Logarithmus der Potenz einer positiven Zahl ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus dieser Zahl:

Protokoll A N k = k Protokoll A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Kommentar. Wenn k- gerade Zahl ( k = 2S), Das

Protokoll A N 2S = 2S Protokoll A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formel für den Umzug zu einer anderen Basis:

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1, N > 0),

insbesondere wenn N = B, bekommen wir

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)

Mit den Eigenschaften P4 und P5 ist es leicht zu ermitteln folgende Eigenschaften

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (3) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (4) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (5)

und wenn in (5) C- gerade Zahl ( C = 2N), gilt

(B > 0, A ≠ 0, |A | ≠ 1). (6)

Lassen Sie uns die Haupteigenschaften der logarithmischen Funktion auflisten F (X) = log A X :

1. Der Definitionsbereich einer logarithmischen Funktion ist die Menge der positiven Zahlen.

2. Wertebereich der logarithmischen Funktion – eingestellt reelle Zahlen.

3. Wann A> 1 logarithmische Funktion ist streng steigend (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2) und bei 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > Protokoll A X 2).

4.log A 1 = 0 und log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Wenn A> 1, dann ist die logarithmische Funktion negativ, wenn X(0;1) und positiv bei X(1;+∞), und wenn 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) und negativ bei X (1;+∞).

6. Wenn A> 1, dann ist die logarithmische Funktion konvex nach oben, und wenn A(0;1) - konvex nach unten.

Die folgenden Aussagen (siehe zum Beispiel) werden beim Lösen logarithmischer Gleichungen verwendet.

Glauben Sie, dass bis zum Einheitlichen Staatsexamen noch Zeit ist und Sie Zeit haben werden, sich vorzubereiten? Vielleicht ist das so. Aber je früher ein Student mit der Vorbereitung beginnt, desto erfolgreicher besteht er die Prüfungen. Heute haben wir beschlossen, den logarithmischen Ungleichungen einen Artikel zu widmen. Dies ist eine der Aufgaben und bietet die Möglichkeit, zusätzliche Credits zu erhalten.

Wissen Sie schon, was ein Logarithmus ist? Das hoffen wir wirklich. Aber auch wenn Sie auf diese Frage keine Antwort haben, ist das kein Problem. Es ist sehr einfach zu verstehen, was ein Logarithmus ist.

Warum 4? Sie müssen die Zahl 3 auf diese Potenz erhöhen, um 81 zu erhalten. Sobald Sie das Prinzip verstanden haben, können Sie mit komplexeren Berechnungen fortfahren.

Sie haben vor ein paar Jahren Ungleichheiten erlebt. Und seitdem begegnet man ihnen in der Mathematik immer wieder. Wenn Sie Probleme beim Lösen von Ungleichungen haben, lesen Sie den entsprechenden Abschnitt.
Nachdem wir uns nun mit den Konzepten im Einzelnen vertraut gemacht haben, gehen wir dazu über, sie im Allgemeinen zu betrachten.

Die einfachste logarithmische Ungleichung.

Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen sind nicht auf dieses Beispiel beschränkt; es gibt noch drei weitere, nur mit unterschiedlichen Vorzeichen. Warum ist das notwendig? Um besser zu verstehen, wie man Ungleichungen mit Logarithmen löst. Lassen Sie uns nun ein anwendbareres Beispiel geben, das immer noch recht einfach ist. Wir werden komplexe logarithmische Ungleichungen für später aufheben.

Wie kann man das lösen? Alles beginnt mit ODZ. Es lohnt sich, mehr darüber zu wissen, wenn Sie Ungleichungen immer einfach lösen möchten.

Was ist ODZ? ODZ für logarithmische Ungleichungen

Die Abkürzung steht für den Bereich akzeptabler Werte. Diese Formulierung kommt häufig in Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen vor. ODZ wird Ihnen nicht nur bei logarithmischen Ungleichungen nützlich sein.

Schauen Sie sich noch einmal das obige Beispiel an. Wir werden die darauf basierende ODZ betrachten, damit Sie das Prinzip verstehen und die Lösung logarithmischer Ungleichungen keine Fragen aufwirft. Aus der Definition eines Logarithmus folgt, dass 2x+4 größer als Null sein muss. In unserem Fall bedeutet dies Folgendes.

Diese Zahl muss per Definition positiv sein. Lösen Sie die oben dargestellte Ungleichung. Dies kann sogar mündlich erfolgen; hier ist klar, dass X nicht kleiner als 2 sein kann. Die Lösung der Ungleichung wird die Definition des Bereichs akzeptabler Werte sein.
Kommen wir nun zur Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichung.

Wir verwerfen die Logarithmen selbst auf beiden Seiten der Ungleichung. Was bleibt uns als Ergebnis übrig? Einfache Ungleichheit.

Es ist nicht schwer zu lösen. X muss größer als -0,5 sein. Nun kombinieren wir die beiden erhaltenen Werte zu einem System. Daher,

Dies ist der Bereich akzeptabler Werte für die betrachtete logarithmische Ungleichung.

Warum brauchen wir überhaupt ODZ? Dies ist eine Gelegenheit, falsche und unmögliche Antworten auszusortieren. Wenn die Antwort nicht im Bereich akzeptabler Werte liegt, ergibt die Antwort einfach keinen Sinn. Daran sollte man sich noch lange erinnern, da im Einheitlichen Staatsexamen häufig nach ODZ gesucht werden muss und es sich dabei nicht nur um logarithmische Ungleichungen handelt.

Algorithmus zur Lösung logarithmischer Ungleichungen

Die Lösung besteht aus mehreren Schritten. Zunächst müssen Sie den Bereich akzeptabler Werte ermitteln. In der ODZ wird es zwei Bedeutungen geben, die wir oben besprochen haben. Als nächstes müssen wir die Ungleichung selbst lösen. Die Lösungsmethoden sind wie folgt:

• Multiplikator-Ersetzungsmethode;
• Zersetzung;
• Rationalisierungsmethode.

Je nach Situation lohnt es sich, eine der oben genannten Methoden anzuwenden. Kommen wir direkt zur Lösung. Lassen Sie uns die beliebteste Methode vorstellen, die in fast allen Fällen zur Lösung von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens geeignet ist. Als nächstes werden wir uns die Zerlegungsmethode ansehen. Es kann hilfreich sein, wenn Sie auf eine besonders knifflige Ungleichung stoßen. Also ein Algorithmus zur Lösung der logarithmischen Ungleichung.

Beispiele für Lösungen :

Nicht umsonst haben wir genau diese Ungleichung angenommen! Achten Sie auf die Basis. Denken Sie daran: Wenn er größer als eins ist, bleibt das Vorzeichen beim Ermitteln des Bereichs akzeptabler Werte gleich; Andernfalls müssen Sie das Ungleichheitszeichen ändern.

Als Ergebnis erhalten wir die Ungleichung:

Jetzt reduzieren wir die linke Seite auf die Form der Gleichung gleich Null. Anstelle des „kleiner als“-Zeichens setzen wir „gleich“ und lösen die Gleichung. Somit finden wir die ODZ. Wir hoffen, dass Sie keine Probleme haben werden, eine so einfache Gleichung zu lösen. Die Antworten sind -4 und -2. Das ist noch nicht alles. Sie müssen diese Punkte in der Grafik anzeigen, indem Sie „+“ und „-“ platzieren. Was muss hierfür getan werden? Setzen Sie die Zahlen aus den Intervallen in den Ausdruck ein. Bei positiven Werten setzen wir dort „+“.

Antwort: x kann nicht größer als -4 und kleiner als -2 sein.

Wir haben den Bereich akzeptabler Werte nur für die linke Seite gefunden, jetzt müssen wir den Bereich akzeptabler Werte für die rechte Seite ermitteln. Das ist viel einfacher. Antwort: -2. Wir schneiden beide resultierenden Bereiche.

Und erst jetzt beginnen wir, uns mit der Ungleichheit selbst zu befassen.

Vereinfachen wir es so weit wie möglich, damit es einfacher zu lösen ist.

Wir verwenden in der Lösung erneut die Intervallmethode. Lassen Sie uns die Berechnungen überspringen; aus dem vorherigen Beispiel ist bereits alles klar. Antwort.

Diese Methode ist jedoch geeignet, wenn die logarithmische Ungleichung die gleichen Basen hat.

Logarithmische Gleichungen und Ungleichungen lösen mit aus unterschiedlichen Gründen setzt eine anfängliche Reduktion auf eine Basis voraus. Als nächstes verwenden Sie die oben beschriebene Methode. Aber es gibt noch mehr schwieriger Fall. Betrachten wir eines der meisten komplexe Arten logarithmische Ungleichungen.

Logarithmische Ungleichungen mit variabler Basis

Wie löst man Ungleichungen mit solchen Merkmalen? Ja, und solche Leute können im Einheitlichen Staatsexamen gefunden werden. Die Lösung von Ungleichungen auf die folgende Weise wird auch Ihnen zugute kommen Bildungsprozess. Schauen wir uns das Problem im Detail an. Verwerfen wir die Theorie und gehen direkt zur Praxis über. Um logarithmische Ungleichungen zu lösen, genügt es, sich einmal mit dem Beispiel vertraut zu machen.

Um eine logarithmische Ungleichung der dargestellten Form zu lösen, ist es notwendig, die rechte Seite auf einen Logarithmus mit derselben Basis zu reduzieren. Das Prinzip ähnelt äquivalenten Übergängen. Infolgedessen wird die Ungleichung so aussehen.

Eigentlich bleibt nur noch die Schaffung eines Systems von Ungleichungen ohne Logarithmen. Mit der Rationalisierungsmethode gelangen wir zu einem äquivalenten Ungleichungssystem. Sie werden die Regel selbst verstehen, wenn Sie die entsprechenden Werte ersetzen und deren Änderungen verfolgen. Das System weist die folgenden Ungleichungen auf.

Wenn Sie beim Lösen von Ungleichungen die Rationalisierungsmethode verwenden, müssen Sie Folgendes beachten: Eins muss von der Basis subtrahiert werden, x wird per Definition des Logarithmus von beiden Seiten der Ungleichung (rechts von links) subtrahiert, zwei Ausdrücke werden multipliziert und unter das ursprüngliche Vorzeichen in Bezug auf Null gesetzt.

Die weitere Lösung erfolgt nach der Intervallmethode, hier ist alles einfach. Es ist wichtig, dass Sie die Unterschiede in den Lösungsmethoden verstehen, dann wird alles reibungslos funktionieren.

Bei logarithmischen Ungleichungen gibt es viele Nuancen. Die einfachsten davon sind recht einfach zu lösen. Wie können Sie jedes davon ohne Probleme lösen? Alle Antworten haben Sie bereits in diesem Artikel erhalten. Jetzt liegt eine lange Übung vor Ihnen. Üben Sie ständig das Lösen verschiedener Aufgaben in der Prüfung und Sie werden in der Lage sein, die höchste Punktzahl zu erreichen. Viel Glück bei Ihrer schwierigen Aufgabe!

Unter der ganzen Vielfalt logarithmischer Ungleichungen werden Ungleichungen mit variabler Basis gesondert untersucht. Sie werden mit einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund in der Schule selten gelehrt wird:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Anstelle des Kontrollkästchens „∨“ können Sie ein beliebiges Ungleichheitszeichen setzen: mehr oder weniger. Die Hauptsache ist, dass in beiden Ungleichungen die Vorzeichen gleich sind.

Auf diese Weise beseitigen wir Logarithmen und reduzieren das Problem auf eine rationale Ungleichung. Letzteres ist viel einfacher zu lösen, aber wenn Logarithmen verworfen werden, können zusätzliche Wurzeln entstehen. Um sie abzuschneiden, reicht es aus, den Bereich akzeptabler Werte zu ermitteln. Wenn Sie die ODZ eines Logarithmus vergessen haben, empfehle ich dringend, sie zu wiederholen – siehe „Was ist ein Logarithmus“.

Alles, was mit dem Bereich akzeptabler Werte zusammenhängt, muss separat aufgeschrieben und gelöst werden:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Diese vier Ungleichungen bilden ein System und müssen gleichzeitig erfüllt sein. Wenn der Bereich akzeptabler Werte gefunden ist, müssen Sie ihn nur noch mit der Lösung der rationalen Ungleichung schneiden – und schon ist die Antwort fertig.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Schreiben wir zunächst die ODZ des Logarithmus auf:

Die ersten beiden Ungleichungen werden automatisch erfüllt, die letzte muss jedoch ausgeschrieben werden. Da das Quadrat einer Zahl genau dann Null ist, wenn die Zahl selbst Null ist, gilt:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus alle Zahlen außer Null sind: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Jetzt lösen wir die Hauptungleichung:

Wir machen den Übergang von der logarithmischen zur rationalen Ungleichung. Die ursprüngliche Ungleichung hat ein „Kleiner-als“-Zeichen, was bedeutet, dass die resultierende Ungleichung auch ein „Kleiner-als“-Zeichen haben muss. Wir haben:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

Die Nullstellen dieses Ausdrucks sind: x = 3; x = −3; x = 0. Darüber hinaus ist x = 0 eine Wurzel der zweiten Multiplizität, was bedeutet, dass sich das Vorzeichen der Funktion beim Durchlaufen nicht ändert. Wir haben:

Wir erhalten x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Diese Menge ist vollständig in der ODZ des Logarithmus enthalten, was bedeutet, dass dies die Antwort ist.

Logarithmische Ungleichungen umwandeln

Oftmals unterscheidet sich die ursprüngliche Ungleichung von der oben genannten. Dies lässt sich leicht mit den Standardregeln für die Arbeit mit Logarithmen korrigieren – siehe „Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen“. Nämlich:

1. Jede Zahl kann als Logarithmus mit einer bestimmten Basis dargestellt werden;
2. Die Summe und Differenz von Logarithmen gleicher Basis kann durch einen Logarithmus ersetzt werden.

Unabhängig davon möchte ich Sie an den Bereich akzeptabler Werte erinnern. Da es in der ursprünglichen Ungleichung mehrere Logarithmen geben kann, ist es erforderlich, die VA für jeden von ihnen zu ermitteln. Daher, allgemeines Schema Lösungen für logarithmische Ungleichungen lauten wie folgt:

1. Finden Sie die VA jedes in der Ungleichung enthaltenen Logarithmus.
2. Reduzieren Sie die Ungleichung auf eine Standardungleichung, indem Sie die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen verwenden.
3. Lösen Sie die resultierende Ungleichung nach dem oben angegebenen Schema.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Finden wir den Definitionsbereich (DO) des ersten Logarithmus:

Wir lösen mit der Intervallmethode. Finden der Nullstellen des Zählers:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Dann - die Nullen des Nenners:

x − 1 = 0;
x = 1.

Wir markieren Nullen und Vorzeichen auf dem Koordinatenpfeil:

Wir erhalten x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Der zweite Logarithmus hat die gleiche VA. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen. Jetzt transformieren wir den zweiten Logarithmus so, dass die Basis zwei ist:

Wie Sie sehen, wurden die Dreien an der Basis und vor dem Logarithmus reduziert. Wir haben zwei Logarithmen mit derselben Basis. Addieren wir sie:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Wir haben die logarithmische Standardungleichung erhalten. Mit der Formel werden wir Logarithmen los. Da die ursprüngliche Ungleichung ein „Kleiner als“-Zeichen enthält, ergibt sich die resultierende rationaler Ausdruck muss ebenfalls kleiner als Null sein. Wir haben:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Wir haben zwei Sets bekommen:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatenantwort: x ∈ (−1; 3).

Es bleibt noch, diese Mengen zu schneiden – wir erhalten die eigentliche Antwort:

Uns interessiert der Schnittpunkt von Mengen, daher wählen wir Intervalle aus, die auf beiden Pfeilen schattiert sind. Wir erhalten x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – alle Punkte sind punktiert.

Logarithmische Ungleichungen

In früheren Lektionen haben wir uns mit logarithmischen Gleichungen vertraut gemacht und wissen jetzt, was sie sind und wie man sie löst. Die heutige Lektion ist dem Studium logarithmischer Ungleichungen gewidmet. Was sind diese Ungleichungen und was ist der Unterschied zwischen der Lösung einer logarithmischen Gleichung und einer Ungleichung?

Logarithmische Ungleichungen sind Ungleichungen, bei denen eine Variable unter dem Logarithmuszeichen oder an ihrer Basis erscheint.

Wir können auch sagen, dass eine logarithmische Ungleichung eine Ungleichung ist, bei der ihr unbekannter Wert, wie in einer logarithmischen Gleichung, unter dem Vorzeichen des Logarithmus erscheint.

Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen haben die folgende Form:

wobei f(x) und g(x) einige Ausdrücke sind, die von x abhängen.

Schauen wir uns das anhand dieses Beispiels an: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logarithmische Ungleichungen lösen

Bevor logarithmische Ungleichungen gelöst werden, ist es erwähnenswert, dass sie, wenn sie gelöst werden, ähnlich sind exponentielle Ungleichungen, nämlich:

Wenn wir von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Logarithmuszeichen übergehen, müssen wir zunächst auch die Basis des Logarithmus mit eins vergleichen;

Zweitens müssen wir beim Lösen einer logarithmischen Ungleichung mithilfe einer Variablenänderung Ungleichungen in Bezug auf die Änderung lösen, bis wir die einfachste Ungleichung erhalten.

Aber Sie und ich haben ähnliche Aspekte der Lösung logarithmischer Ungleichungen betrachtet. Lassen Sie uns nun auf einen ziemlich bedeutenden Unterschied achten. Sie und ich wissen, dass die logarithmische Funktion einen begrenzten Definitionsbereich hat. Daher müssen wir beim Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Logarithmuszeichen den Bereich zulässiger Werte (ADV) berücksichtigen.

Das heißt, es sollte berücksichtigt werden, dass Sie und ich beim Lösen einer logarithmischen Gleichung zunächst die Wurzeln der Gleichung finden und dann diese Lösung überprüfen können. Aber das Lösen einer logarithmischen Ungleichung wird auf diese Weise nicht funktionieren, da beim Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Logarithmuszeichen die ODZ der Ungleichung notiert werden muss.

Darüber hinaus ist zu bedenken, dass die Ungleichungstheorie aus reellen Zahlen besteht, die positiv sind und negative Zahlen, sowie die Zahl 0.

Wenn beispielsweise die Zahl „a“ positiv ist, müssen Sie die folgende Notation verwenden: a >0. In diesem Fall sind sowohl die Summe als auch das Produkt dieser Zahlen ebenfalls positiv.

Das Hauptprinzip zur Lösung einer Ungleichung besteht darin, sie durch eine einfachere Ungleichung zu ersetzen, aber die Hauptsache ist, dass sie der gegebenen Ungleichung äquivalent ist. Darüber hinaus haben wir auch eine Ungleichung erhalten und diese wiederum durch eine einfachere Form usw. ersetzt.

Wenn Sie Ungleichungen mit einer Variablen lösen, müssen Sie alle Lösungen finden. Wenn zwei Ungleichungen dieselbe Variable x haben, dann sind diese Ungleichungen äquivalent, sofern ihre Lösungen übereinstimmen.

Wenn Sie Aufgaben zur Lösung logarithmischer Ungleichungen lösen, müssen Sie bedenken, dass bei a > 1 die logarithmische Funktion zunimmt und bei 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Methoden zur Lösung logarithmischer Ungleichungen

Schauen wir uns nun einige der Methoden an, die bei der Lösung logarithmischer Ungleichungen zum Einsatz kommen. Für besseres Verständnis und Assimilation werden wir versuchen, sie anhand konkreter Beispiele zu verstehen.

Wir alle wissen, dass die einfachste logarithmische Ungleichung die folgende Form hat:

In dieser Ungleichung ist V – eines der folgenden Ungleichheitszeichen:<,>, ≤ oder ≥.

Wenn die Basis eines bestimmten Logarithmus größer als eins ist (a>1) und der Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Logarithmuszeichen erfolgt, bleibt in dieser Version das Ungleichheitszeichen erhalten und die Ungleichung hat die folgende Form:

was diesem System entspricht:

Wenn die Basis des Logarithmus größer als Null und kleiner als Eins ist (0

Dies entspricht diesem System:

Schauen wir uns weitere Beispiele für die Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichungen an, die im Bild unten gezeigt werden:

Beispiele lösen

Übung. Versuchen wir, diese Ungleichung zu lösen:

Lösung des Bereichs akzeptabler Werte.

Versuchen wir nun, die rechte Seite zu multiplizieren mit:

Mal sehen, was uns einfällt:

Kommen wir nun zur Konvertierung sublogarithmischer Ausdrücke. Aufgrund der Tatsache, dass die Basis des Logarithmus 0 ist< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Daraus folgt, dass das Intervall, das wir erhalten haben, vollständig zur ODZ gehört und eine Lösung für eine solche Ungleichung darstellt.

Hier ist die Antwort, die wir bekommen haben:

Was wird benötigt, um logarithmische Ungleichungen zu lösen?

Versuchen wir nun zu analysieren, was wir brauchen, um logarithmische Ungleichungen erfolgreich zu lösen?

Konzentrieren Sie zunächst Ihre ganze Aufmerksamkeit und versuchen Sie, bei der Durchführung der in dieser Ungleichung angegebenen Transformationen keine Fehler zu machen. Außerdem ist zu bedenken, dass bei der Lösung solcher Ungleichungen Erweiterungen und Kontraktionen der Ungleichungen vermieden werden müssen, die zum Verlust oder zur Übernahme fremder Lösungen führen können.

Zweitens müssen Sie beim Lösen logarithmischer Ungleichungen lernen, logisch zu denken und den Unterschied zwischen Konzepten wie einem System von Ungleichungen und einer Reihe von Ungleichungen zu verstehen, damit Sie leicht Lösungen für die Ungleichung auswählen können und sich dabei an deren DL orientieren können.

Drittens muss jeder von Ihnen alle Eigenschaften elementarer Funktionen genau kennen und ihre Bedeutung klar verstehen, um solche Ungleichungen erfolgreich zu lösen. Zu diesen Funktionen gehören nicht nur logarithmische, sondern auch rationale, Potenz-, trigonometrische usw., kurz gesagt, alle Funktionen, die Sie in der Algebra in der Schule gelernt haben.

Wie Sie sehen können, nachdem Sie sich mit dem Thema logarithmischer Ungleichungen befasst haben, ist die Lösung dieser Ungleichungen nicht schwierig, vorausgesetzt, Sie sind bei der Erreichung Ihrer Ziele vorsichtig und beharrlich. Um Probleme bei der Lösung von Ungleichungen zu vermeiden, müssen Sie so viel wie möglich üben, verschiedene Aufgaben lösen und sich gleichzeitig an die grundlegenden Methoden zur Lösung solcher Ungleichungen und deren Systeme erinnern. Wenn es Ihnen nicht gelingt, logarithmische Ungleichungen zu lösen, sollten Sie Ihre Fehler sorgfältig analysieren, um in Zukunft nicht noch einmal darauf zurückzukommen.

Hausaufgaben

Um das Thema besser zu verstehen und den behandelten Stoff zu festigen, lösen Sie die folgenden Ungleichungen:

Definition von Logarithmus Der einfachste Weg, es mathematisch zu schreiben, ist:

Die Definition des Logarithmus kann auch anders geschrieben werden:

Beachten Sie die Einschränkungen, die der Basis des Logarithmus unterliegen ( A) und zum sublogarithmischen Ausdruck ( X). In Zukunft werden diese Bedingungen zu wichtigen Einschränkungen für OD, die bei der Lösung von Gleichungen mit Logarithmen berücksichtigt werden müssen. Zusätzlich zu den Standardbedingungen, die zu Einschränkungen der ODZ führen (Positivität von Ausdrücken unter den Wurzeln gerader Potenzen, ungleicher Nenner zu Null usw.), müssen nun auch folgende Bedingungen berücksichtigt werden:

• Ein sublogarithmischer Ausdruck kann nur positiv sein.
• Die Basis des Logarithmus kann nur positiv und ungleich eins sein.

Beachten Sie, dass weder die Basis des Logarithmus noch der sublogarithmische Ausdruck gleich Null sein können. Bitte beachten Sie auch, dass der Logarithmuswert selbst alle möglichen Werte annehmen kann, d. h. Der Logarithmus kann positiv, negativ oder Null sein. Logarithmen haben viele verschiedene Eigenschaften, die sich aus den Potenzeigenschaften und der Definition eines Logarithmus ergeben. Lassen Sie uns sie auflisten. Also, die Eigenschaften von Logarithmen:

Logarithmus des Produkts:

Logarithmus eines Bruchs:

Den Grad aus dem Logarithmuszeichen ziehen:

Achten Sie besonders auf die zuletzt aufgeführten Eigenschaften, bei denen das Modulzeichen nach Abschluss des Abschlusses erscheint. Vergessen Sie nicht, dass Sie beim Platzieren einer geraden Potenz außerhalb des Logarithmuszeichens, unter dem Logarithmus oder an der Basis das Modulzeichen belassen müssen.

Weitere nützliche Eigenschaften von Logarithmen:

Die letzte Eigenschaft wird sehr häufig in komplexen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen verwendet. Er sollte wie alle anderen in Erinnerung bleiben, auch wenn er oft vergessen wird.

Die einfachsten logarithmischen Gleichungen sehen so aus:

Und ihre Lösung ergibt sich aus einer Formel, die sich direkt aus der Definition des Logarithmus ergibt:

Andere einfachste logarithmische Gleichungen sind solche, die mithilfe algebraischer Transformationen und der oben genannten Formeln und Eigenschaften von Logarithmen auf die Form reduziert werden können:

Die Lösung solcher Gleichungen unter Berücksichtigung der ODZ lautet wie folgt:

Einige andere logarithmische Gleichungen mit einer Variablen an der Basis lässt sich auf die Form reduzieren:

Bei solchen logarithmischen Gleichungen ergibt sich auch die allgemeine Form der Lösung direkt aus der Definition des Logarithmus. Nur in diesem Fall gibt es zusätzliche Einschränkungen für DZ, die berücksichtigt werden müssen. Um eine logarithmische Gleichung mit einer Variablen in der Basis zu lösen, müssen Sie daher das folgende System lösen:

Bei der Lösung komplexerer logarithmischer Gleichungen, die nicht auf eine der oben dargestellten Gleichungen reduziert werden können, wird es auch aktiv eingesetzt Variablenersetzungsmethode. Wie üblich müssen Sie bei dieser Methode bedenken, dass die Gleichung nach Einführung der Ersetzung vereinfacht werden sollte und die alte Unbekannte nicht mehr enthalten sollte. Sie müssen auch daran denken, die umgekehrte Substitution von Variablen durchzuführen.

Manchmal muss man beim Lösen logarithmischer Gleichungen auch verwenden grafische Methode. Diese Methode besteht darin, Funktionsgraphen auf der linken und rechten Seite der Gleichung so genau wie möglich auf einer Koordinatenebene zu konstruieren und dann die Koordinaten ihrer Schnittpunkte aus der Zeichnung zu ermitteln. Die so erhaltenen Wurzeln müssen durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft werden.

Bei der Lösung logarithmischer Gleichungen ist es oft auch nützlich Gruppierungsmethode. Bei dieser Methode ist vor allem Folgendes zu beachten: Damit das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist, muss mindestens einer von ihnen gleich Null sein. und der Rest existierte. Wenn die Faktoren Logarithmen oder Klammern mit Logarithmen sind und nicht nur Klammern mit Variablen wie in rationalen Gleichungen, können viele Fehler auftreten. Da Logarithmen viele Einschränkungen hinsichtlich der Region haben, in der sie vorkommen.

Bei der Entscheidung Systeme logarithmischer Gleichungen Am häufigsten müssen Sie entweder die Substitutionsmethode oder die Variablenersetzungsmethode verwenden. Wenn eine solche Möglichkeit besteht, muss man beim Lösen logarithmischer Gleichungssysteme darauf achten, dass jede der Gleichungen des Systems einzeln in eine Form gebracht wird, in der der Übergang von einer logarithmischen Gleichung zu a möglich ist rationale.

Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst wie ähnliche Gleichungen. Zunächst müssen wir mithilfe algebraischer Transformationen und der Eigenschaften von Logarithmen versuchen, diese in eine Form zu bringen, in der die Logarithmen auf der linken und rechten Seite der Ungleichung die gleichen Basen haben, d. h. Erhalten Sie eine Ungleichung der Form:

Danach müssen Sie zu einer rationalen Ungleichung übergehen und dabei berücksichtigen, dass dieser Übergang wie folgt durchgeführt werden sollte: Wenn die Basis des Logarithmus größer als eins ist, muss das Vorzeichen der Ungleichung nicht geändert werden, und wenn die Wenn die Basis des Logarithmus kleiner als eins ist, müssen Sie das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil ändern (das heißt, Sie ändern „weniger“ in „mehr“ oder umgekehrt). In diesem Fall ist es nicht erforderlich, die Minuszeichen unter Umgehung der zuvor erlernten Regeln in Pluszeichen zu ändern. Schreiben wir mathematisch auf, was wir als Ergebnis eines solchen Übergangs erhalten. Wenn die Basis größer als eins ist, erhalten wir:

Wenn die Basis des Logarithmus kleiner als eins ist, ändern wir das Vorzeichen der Ungleichung und erhalten das folgende System:

Wie wir sehen, wird bei der Lösung logarithmischer Ungleichungen wie üblich auch die ODZ berücksichtigt (dies ist die dritte Bedingung in den obigen Systemen). Darüber hinaus ist es in diesem Fall möglich, nicht die Positivität beider sublogarithmischer Ausdrücke zu fordern, sondern nur die Positivität des kleineren von ihnen.

Bei der Entscheidung logarithmische Ungleichungen mit einer Variablen an der Basis Logarithmus ist es notwendig, beide Optionen unabhängig voneinander zu betrachten (wenn die Basis kleiner als eins und größer als eins ist) und die Lösungen dieser Fälle zu einer Menge zusammenzufassen. Gleichzeitig dürfen wir DL nicht vergessen, d.h. über die Tatsache, dass sowohl die Basis als auch alle sublogarithmischen Ausdrücke positiv sein müssen. Wenn man also eine Ungleichung der Form löst:

Wir erhalten den folgenden Satz von Systemen:

Komplexere logarithmische Ungleichungen können auch durch Variablenänderungen gelöst werden. Einige andere logarithmische Ungleichungen (z. B. logarithmische Gleichungen) erfordern zur Lösung das Verfahren, den Logarithmus beider Seiten der Ungleichung oder Gleichung auf dieselbe Basis zu ziehen. Bei der Durchführung eines solchen Verfahrens mit logarithmischen Ungleichungen gibt es also eine Feinheit. Bitte beachten Sie, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert, wenn Logarithmen auf eine Basis größer als eins berechnet werden. Wenn die Basis jedoch kleiner als eins ist, wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt.

Wenn eine logarithmische Ungleichung nicht auf eine rationale reduziert oder durch eine Substitution gelöst werden kann, muss man in diesem Fall verwenden verallgemeinerte Intervallmethode, was wie folgt lautet:

• DL definieren;
• Transformieren Sie die Ungleichung so, dass auf der rechten Seite eine Null steht (auf der linken Seite, wenn möglich, auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, faktorisieren usw.);
• Finden Sie alle Wurzeln des Zählers und Nenners und tragen Sie sie auf der Zahlenachse ein. Wenn die Ungleichung nicht streng ist, übermalen Sie die Wurzeln des Zählers, lassen Sie aber auf jeden Fall die Wurzeln des Nenners gepunktet.
• Finden Sie das Vorzeichen des gesamten Ausdrucks in jedem der Intervalle, indem Sie eine Zahl aus einem bestimmten Intervall in die transformierte Ungleichung einsetzen. In diesem Fall ist ein Vorzeichenwechsel beim Durchfahren von Punkten auf der Achse nicht mehr möglich. Es ist notwendig, das Vorzeichen eines Ausdrucks in jedem Intervall zu bestimmen, indem der Wert aus dem Intervall in diesen Ausdruck eingesetzt wird usw. für jedes Intervall. Dies ist nicht mehr möglich (das ist im Großen und Ganzen der Unterschied zwischen der verallgemeinerten Intervallmethode und der üblichen);
• Finden Sie den Schnittpunkt der ODZ und der Intervalle, die die Ungleichung erfüllen, aber verlieren Sie nicht einzelne Punkte, die die Ungleichung erfüllen (die Wurzeln des Zählers in nicht strengen Ungleichungen), und vergessen Sie nicht, alle Wurzeln der Ungleichung aus der Antwort auszuschließen Nenner in allen Ungleichungen.

• Zurück
• Nach vorne

Wie bereitet man sich erfolgreich auf den CT in Physik und Mathematik vor?

Um sich erfolgreich auf den CT in Physik und Mathematik vorzubereiten, müssen unter anderem drei wichtige Voraussetzungen erfüllt sein:

1. Studieren Sie alle Themen und erledigen Sie alle Tests und Aufgaben, die in den Lehrmaterialien auf dieser Website aufgeführt sind. Dafür brauchen Sie gar nichts, nämlich: jeden Tag drei bis vier Stunden damit verbringen, sich auf den CT in Physik und Mathematik vorzubereiten, Theorie zu studieren und Probleme zu lösen. Tatsache ist, dass CT eine Prüfung ist, bei der es nicht ausreicht, nur Physik oder Mathematik zu kennen, sondern auch schnell und fehlerfrei lösen zu können große Zahl Aufgaben für verschiedene Themen und von unterschiedlicher Komplexität. Letzteres kann nur durch die Lösung tausender Probleme erlernt werden.
2. Lernen Sie alle Formeln und Gesetze der Physik sowie Formeln und Methoden der Mathematik. Tatsächlich ist dies auch sehr einfach; in der Physik gibt es nur etwa 200 notwendige Formeln, in der Mathematik sogar noch etwas weniger. In jedem dieser Fächer gibt es etwa ein Dutzend Standardmethoden zur Lösung von Problemen mit einem grundlegenden Komplexitätsgrad, die auch erlernt und somit völlig automatisch und problemlos zum richtigen Zeitpunkt gelöst werden können die meisten CT. Danach müssen Sie nur noch an die schwierigsten Aufgaben denken.
3. Nehmen Sie an allen drei Phasen der Probeprüfung in Physik und Mathematik teil. Jeder RT kann zweimal besucht werden, um sich für beide Optionen zu entscheiden. Auch hier müssen Sie beim CT neben der Fähigkeit, Probleme schnell und effizient zu lösen, und der Kenntnis von Formeln und Methoden auch in der Lage sein, die Zeit richtig zu planen, Kräfte zu verteilen und vor allem das Antwortformular korrekt auszufüllen, ohne Verwechseln Sie die Anzahl der Antworten und Probleme oder Ihren eigenen Nachnamen. Außerdem ist es während des RT wichtig, sich an den Stil des Fragenstellens bei Problemen zu gewöhnen, der für eine unvorbereitete Person beim DT sehr ungewöhnlich erscheinen kann.

Die erfolgreiche, sorgfältige und verantwortungsvolle Umsetzung dieser drei Punkte ermöglicht es Ihnen, beim CT ein hervorragendes Ergebnis zu zeigen, das Maximum Ihrer Leistungsfähigkeit.

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