Die Praxis des Einheitlichen Staatsexamens und des Staatsexamens im letzten Jahr zeigt, dass Geometrieprobleme vielen Schülern Schwierigkeiten bereiten. Sie können sie problemlos bewältigen, wenn Sie sich alle notwendigen Formeln merken und das Lösen von Problemen üben.
In diesem Artikel sehen Sie Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes sowie Beispiele für Probleme mit Lösungen. Sie können in KIMs bei Zertifizierungsprüfungen oder bei Olympiaden auf dieselben stoßen. Behandeln Sie sie daher sorgfältig.
Was müssen Sie über das Trapez wissen?
Erinnern wir uns zunächst einmal daran Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten, auch Basen genannt, parallel sind und die anderen beiden nicht.
Bei einem Trapez kann die Höhe (senkrecht zur Basis) auch abgesenkt werden. Die Mittellinie wird gezeichnet – das ist eine gerade Linie, die parallel zu den Basen verläuft und der Hälfte ihrer Summe entspricht. Sowie Diagonalen, die sich schneiden können und spitze und stumpfe Winkel bilden. Oder in manchen Fällen im rechten Winkel. Wenn das Trapez außerdem gleichschenklig ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden. Und beschreibe einen Kreis darum.
Trapezflächenformeln
Schauen wir uns zunächst die Standardformeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes an. Im Folgenden betrachten wir Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche von gleichschenkligen und krummlinigen Trapezen.
Stellen Sie sich also vor, Sie hätten ein Trapez mit den Grundflächen a und b, bei dem die Höhe h auf die größere Grundfläche abgesenkt ist. Die Flächenberechnung einer Figur ist in diesem Fall so einfach wie das Schälen von Birnen. Sie müssen lediglich die Summe der Längen der Basen durch zwei teilen und das Ergebnis mit der Höhe multiplizieren: S = 1/2(a + b)*h.
Nehmen wir einen anderen Fall: Angenommen, in einem Trapez gibt es zusätzlich zur Höhe eine Mittellinie m. Wir kennen die Formel zum Ermitteln der Länge der Mittellinie: m = 1/2(a + b). Daher können wir die Formel für die Fläche eines Trapezes zu Recht vereinfachen folgender Typ: S = m*h. Mit anderen Worten: Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Mittellinie mit der Höhe multiplizieren.
Betrachten wir eine andere Option: Das Trapez enthält Diagonalen d 1 und d 2, die sich nicht im rechten Winkel α schneiden. Um die Fläche eines solchen Trapezes zu berechnen, müssen Sie das Produkt der Diagonalen durch zwei teilen und das Ergebnis mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Betrachten Sie nun die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes, wenn außer den Längen aller seiner Seiten nichts darüber bekannt ist: a, b, c und d. Dies ist eine umständliche und komplexe Formel, aber es wird für Sie nützlich sein, sie sich für alle Fälle zu merken: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Die obigen Beispiele gelten übrigens auch für den Fall, dass Sie die Formel für die Fläche eines rechteckigen Trapezes benötigen. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen Seite im rechten Winkel an die Grundflächen angrenzt.
Gleichschenkliges Trapez
Ein Trapez, dessen Seiten gleich sind, heißt gleichschenklig. Wir werden mehrere Optionen für die Flächenformel betrachten gleichschenkliges Trapez.
Erste Option: für den Fall, dass ein Kreis mit dem Radius r in ein gleichschenkliges Trapez eingeschrieben ist und die Seite und die größere Basis einen spitzen Winkel α bilden. Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, vorausgesetzt, dass die Summe der Längen seiner Grundflächen gleich der Summe der Längen der Seiten ist.
Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie das Quadrat des Radius des eingeschriebenen Kreises mit vier und dividieren Sie alles durch sinα: S = 4r 2 /sinα. Eine andere Flächenformel ist ein Sonderfall für die Option, wenn der Winkel zwischen der großen Basis und der Seite 30 0 beträgt: S = 8r2.
Zweite Möglichkeit: Diesmal nehmen wir ein gleichschenkliges Trapez, in das zusätzlich die Diagonalen d 1 und d 2 eingezeichnet sind, sowie die Höhe h. Stehen die Diagonalen eines Trapezes senkrecht zueinander, ist die Höhe halb so groß wie die Summe der Grundflächen: h = 1/2(a + b). Mit diesem Wissen lässt sich die Ihnen bereits bekannte Formel für die Fläche eines Trapezes leicht in diese Form umwandeln: S = h 2.
Formel für die Fläche eines gebogenen Trapezes
Beginnen wir damit, herauszufinden, was ein gebogenes Trapez ist. Stellen Sie sich eine Koordinatenachse und einen Graphen einer stetigen und nicht negativen Funktion f vor, die innerhalb eines bestimmten Segments auf der x-Achse ihr Vorzeichen nicht ändert. Ein krummliniges Trapez wird durch den Graphen der Funktion y = f(x) gebildet - oben befindet sich die x-Achse unten (Segment) und an den Seiten - gerade Linien zwischen den Punkten a und b und dem Graphen von die Funktion.
Es ist unmöglich, die Fläche einer solchen nicht standardmäßigen Figur mit den oben genannten Methoden zu berechnen. Hier müssen Sie eine mathematische Analyse anwenden und das Integral verwenden. Nämlich: die Newton-Leibniz-Formel - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In dieser Formel ist F die Stammfunktion unserer Funktion auf dem ausgewählten Segment. Und die Fläche eines krummlinigen Trapezes entspricht dem Inkrement der Stammfunktion auf einem gegebenen Segment.
Beispiele für Probleme
Um Ihnen das Verständnis all dieser Formeln im Kopf zu erleichtern, finden Sie hier einige Beispiele für Aufgaben zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes. Am besten versuchen Sie zunächst, die Probleme selbst zu lösen und vergleichen erst dann die Antwort, die Sie erhalten, mit der fertigen Lösung.
Aufgabe Nr. 1: Gegeben sei ein Trapez. Seine größere Basis ist 11 cm, die kleinere 4 cm. Das Trapez hat Diagonalen, eine davon ist 12 cm lang, die zweite 9 cm.
Lösung: Konstruieren Sie ein trapezförmiges AMRS. Zeichnen Sie eine Gerade РХ durch den Scheitelpunkt P, sodass sie parallel zur Diagonale MC verläuft und die Gerade AC im Punkt X schneidet. Sie erhalten ein Dreieck APХ.
Wir betrachten zwei Figuren, die als Ergebnis dieser Manipulationen erhalten wurden: das Dreieck APX und das Parallelogramm CMRX.
Dank des Parallelogramms erfahren wir, dass PX = MC = 12 cm und CX = MR = 4 cm. Daraus können wir die Seite AX des Dreiecks ARX berechnen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Wir können auch beweisen, dass das Dreieck APX rechtwinklig ist (wenden Sie dazu den Satz des Pythagoras an – AX 2 = AP 2 + PX 2). Und berechnen Sie seine Fläche: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Als nächstes müssen Sie beweisen, dass die Dreiecke AMP und PCX flächengleich sind. Grundlage wird die Gleichheit der Parteien MR und CX sein (oben bereits nachgewiesen). Und auch die Höhen, die Sie auf diesen Seiten absenken – sie entsprechen der Höhe des AMRS-Trapezes.
All dies lässt uns sagen, dass S AMPC = S APX = 54 cm 2 ist.
Aufgabe #2: Gegeben ist das trapezförmige KRMS. Auf seinen lateralen Seiten befinden sich die Punkte O und E, während OE und KS parallel sind. Es ist auch bekannt, dass die Flächen der Trapeze ORME und OKSE im Verhältnis 1:5 stehen. RM = a und KS = b. Sie müssen OE finden.
Lösung: Zeichnen Sie eine Linie parallel zum RK durch den Punkt M und bezeichnen Sie den Schnittpunkt mit OE als T. A ist der Schnittpunkt der Linie, die parallel zum RK durch den Punkt E gezogen wird, mit der Basis KS.
Lassen Sie uns eine weitere Notation einführen – OE = x. Und auch die Höhe h 1 für das Dreieck TME und die Höhe h 2 für das Dreieck AEC (Sie können die Ähnlichkeit dieser Dreiecke unabhängig beweisen).
Wir gehen davon aus, dass b > a. Die Flächen der Trapeze ORME und OKSE stehen im Verhältnis 1:5, was uns das Recht gibt, die folgende Gleichung zu erstellen: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Lassen Sie uns transformieren und erhalten: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Da die Dreiecke TME und AEC ähnlich sind, gilt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinieren wir beide Einträge und erhalten: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Somit ist OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Abschluss
Geometrie ist nicht die einfachste Wissenschaft, aber mit den Prüfungsfragen kommt man durchaus zurecht. Es reicht aus, bei der Vorbereitung ein wenig Ausdauer an den Tag zu legen. Und denken Sie natürlich an alle notwendigen Formeln.
Wir haben versucht, alle Formeln zur Berechnung der Fläche eines Trapezes an einem Ort zu sammeln, damit Sie sie bei der Prüfungsvorbereitung und der Überarbeitung des Stoffes verwenden können.
Erzählen Sie Ihren Klassenkameraden und Freunden unbedingt von diesem Artikel. soziale Netzwerke. Lassen gute Noten es wird noch mehr für das Einheitliche Staatsexamen und den Staatsexamenstest geben!
blog.site: Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Originalquelle erforderlich.
Die Praxis des Einheitlichen Staatsexamens und des Staatsexamens im letzten Jahr zeigt, dass Geometrieprobleme vielen Schülern Schwierigkeiten bereiten. Sie können sie problemlos bewältigen, wenn Sie sich alle notwendigen Formeln merken und das Lösen von Problemen üben.
In diesem Artikel sehen Sie Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes sowie Beispiele für Probleme mit Lösungen. Sie können in KIMs bei Zertifizierungsprüfungen oder bei Olympiaden auf dieselben stoßen. Behandeln Sie sie daher sorgfältig.
Was müssen Sie über das Trapez wissen?
Erinnern wir uns zunächst einmal daran Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten, auch Basen genannt, parallel sind und die anderen beiden nicht.
Bei einem Trapez kann die Höhe (senkrecht zur Basis) auch abgesenkt werden. Die Mittellinie wird gezeichnet – das ist eine gerade Linie, die parallel zu den Basen verläuft und der Hälfte ihrer Summe entspricht. Sowie Diagonalen, die sich schneiden können und spitze und stumpfe Winkel bilden. Oder in manchen Fällen im rechten Winkel. Wenn das Trapez außerdem gleichschenklig ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden. Und beschreibe einen Kreis darum.
Trapezflächenformeln
Schauen wir uns zunächst die Standardformeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes an. Im Folgenden betrachten wir Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche von gleichschenkligen und krummlinigen Trapezen.
Stellen Sie sich also vor, Sie hätten ein Trapez mit den Grundflächen a und b, bei dem die Höhe h auf die größere Grundfläche abgesenkt ist. Die Flächenberechnung einer Figur ist in diesem Fall so einfach wie das Schälen von Birnen. Sie müssen lediglich die Summe der Längen der Basen durch zwei teilen und das Ergebnis mit der Höhe multiplizieren: S = 1/2(a + b)*h.
Nehmen wir einen anderen Fall: Angenommen, in einem Trapez gibt es zusätzlich zur Höhe eine Mittellinie m. Wir kennen die Formel zum Ermitteln der Länge der Mittellinie: m = 1/2(a + b). Daher können wir die Formel für die Fläche eines Trapezes zu Recht auf die folgende Form vereinfachen: S = m*h. Mit anderen Worten: Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Mittellinie mit der Höhe multiplizieren.
Betrachten wir eine andere Option: Das Trapez enthält Diagonalen d 1 und d 2, die sich nicht im rechten Winkel α schneiden. Um die Fläche eines solchen Trapezes zu berechnen, müssen Sie das Produkt der Diagonalen durch zwei teilen und das Ergebnis mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Betrachten Sie nun die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes, wenn außer den Längen aller seiner Seiten nichts darüber bekannt ist: a, b, c und d. Dies ist eine umständliche und komplexe Formel, aber es wird für Sie nützlich sein, sie sich für alle Fälle zu merken: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Die obigen Beispiele gelten übrigens auch für den Fall, dass Sie die Formel für die Fläche eines rechteckigen Trapezes benötigen. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen Seite im rechten Winkel an die Grundflächen angrenzt.
Gleichschenkliges Trapez
Ein Trapez, dessen Seiten gleich sind, heißt gleichschenklig. Wir werden mehrere Optionen für die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes betrachten.
Erste Option: für den Fall, dass ein Kreis mit dem Radius r in ein gleichschenkliges Trapez eingeschrieben ist und die Seite und die größere Basis einen spitzen Winkel α bilden. Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, vorausgesetzt, dass die Summe der Längen seiner Grundflächen gleich der Summe der Längen der Seiten ist.
Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie das Quadrat des Radius des eingeschriebenen Kreises mit vier und dividieren Sie alles durch sinα: S = 4r 2 /sinα. Eine andere Flächenformel ist ein Sonderfall für die Option, wenn der Winkel zwischen der großen Basis und der Seite 30 0 beträgt: S = 8r2.
Zweite Möglichkeit: Diesmal nehmen wir ein gleichschenkliges Trapez, in das zusätzlich die Diagonalen d 1 und d 2 eingezeichnet sind, sowie die Höhe h. Stehen die Diagonalen eines Trapezes senkrecht zueinander, ist die Höhe halb so groß wie die Summe der Grundflächen: h = 1/2(a + b). Mit diesem Wissen lässt sich die Ihnen bereits bekannte Formel für die Fläche eines Trapezes leicht in diese Form umwandeln: S = h 2.
Formel für die Fläche eines gebogenen Trapezes
Beginnen wir damit, herauszufinden, was ein gebogenes Trapez ist. Stellen Sie sich eine Koordinatenachse und einen Graphen einer stetigen und nicht negativen Funktion f vor, die innerhalb eines bestimmten Segments auf der x-Achse ihr Vorzeichen nicht ändert. Ein krummliniges Trapez wird durch den Graphen der Funktion y = f(x) gebildet - oben befindet sich die x-Achse unten (Segment) und an den Seiten - gerade Linien zwischen den Punkten a und b und dem Graphen von die Funktion.
Es ist unmöglich, die Fläche einer solchen nicht standardmäßigen Figur mit den oben genannten Methoden zu berechnen. Hier müssen Sie eine mathematische Analyse anwenden und das Integral verwenden. Nämlich: die Newton-Leibniz-Formel - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In dieser Formel ist F die Stammfunktion unserer Funktion auf dem ausgewählten Segment. Und die Fläche eines krummlinigen Trapezes entspricht dem Inkrement der Stammfunktion auf einem gegebenen Segment.
Beispiele für Probleme
Um Ihnen das Verständnis all dieser Formeln im Kopf zu erleichtern, finden Sie hier einige Beispiele für Aufgaben zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes. Am besten versuchen Sie zunächst, die Probleme selbst zu lösen und vergleichen erst dann die Antwort, die Sie erhalten, mit der fertigen Lösung.
Aufgabe Nr. 1: Gegeben sei ein Trapez. Seine größere Basis ist 11 cm, die kleinere 4 cm. Das Trapez hat Diagonalen, eine davon ist 12 cm lang, die zweite 9 cm.
Lösung: Konstruieren Sie ein trapezförmiges AMRS. Zeichnen Sie eine Gerade РХ durch den Scheitelpunkt P, sodass sie parallel zur Diagonale MC verläuft und die Gerade AC im Punkt X schneidet. Sie erhalten ein Dreieck APХ.
Wir betrachten zwei Figuren, die als Ergebnis dieser Manipulationen erhalten wurden: das Dreieck APX und das Parallelogramm CMRX.
Dank des Parallelogramms erfahren wir, dass PX = MC = 12 cm und CX = MR = 4 cm. Daraus können wir die Seite AX des Dreiecks ARX berechnen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Wir können auch beweisen, dass das Dreieck APX rechtwinklig ist (wenden Sie dazu den Satz des Pythagoras an – AX 2 = AP 2 + PX 2). Und berechnen Sie seine Fläche: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Als nächstes müssen Sie beweisen, dass die Dreiecke AMP und PCX flächengleich sind. Grundlage wird die Gleichheit der Parteien MR und CX sein (oben bereits nachgewiesen). Und auch die Höhen, die Sie auf diesen Seiten absenken – sie entsprechen der Höhe des AMRS-Trapezes.
All dies lässt uns sagen, dass S AMPC = S APX = 54 cm 2 ist.
Aufgabe #2: Gegeben ist das trapezförmige KRMS. Auf seinen lateralen Seiten befinden sich die Punkte O und E, während OE und KS parallel sind. Es ist auch bekannt, dass die Flächen der Trapeze ORME und OKSE im Verhältnis 1:5 stehen. RM = a und KS = b. Sie müssen OE finden.
Lösung: Zeichnen Sie eine Linie parallel zum RK durch den Punkt M und bezeichnen Sie den Schnittpunkt mit OE als T. A ist der Schnittpunkt der Linie, die parallel zum RK durch den Punkt E gezogen wird, mit der Basis KS.
Lassen Sie uns eine weitere Notation einführen – OE = x. Und auch die Höhe h 1 für das Dreieck TME und die Höhe h 2 für das Dreieck AEC (Sie können die Ähnlichkeit dieser Dreiecke unabhängig beweisen).
Wir gehen davon aus, dass b > a. Die Flächen der Trapeze ORME und OKSE stehen im Verhältnis 1:5, was uns das Recht gibt, die folgende Gleichung zu erstellen: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Lassen Sie uns transformieren und erhalten: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Da die Dreiecke TME und AEC ähnlich sind, gilt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinieren wir beide Einträge und erhalten: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Somit ist OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Abschluss
Geometrie ist nicht die einfachste Wissenschaft, aber mit den Prüfungsfragen kommt man durchaus zurecht. Es reicht aus, bei der Vorbereitung ein wenig Ausdauer an den Tag zu legen. Und denken Sie natürlich an alle notwendigen Formeln.
Wir haben versucht, alle Formeln zur Berechnung der Fläche eines Trapezes an einem Ort zu sammeln, damit Sie sie bei der Prüfungsvorbereitung und der Überarbeitung des Stoffes verwenden können.
Erzählen Sie unbedingt Ihren Klassenkameraden und Freunden in sozialen Netzwerken von diesem Artikel. Mögen es noch mehr gute Noten für das Einheitliche Staatsexamen und die Staatsexamen geben!
Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Quelle erforderlich.
Um sich im Geometrieunterricht sicher zu fühlen und Probleme erfolgreich zu lösen, reicht es nicht aus, die Formeln zu lernen. Sie müssen zuerst verstanden werden. Angst zu haben und noch mehr Formeln zu hassen, ist unproduktiv. In diesem Artikel zugängliche Sprache wird analysiert verschiedene Möglichkeiten Ermitteln der Fläche eines Trapezes. Um die entsprechenden Regeln und Theoreme besser zu verstehen, werden wir ihren Eigenschaften etwas Aufmerksamkeit schenken. Dies hilft Ihnen zu verstehen, wie die Regeln funktionieren und in welchen Fällen bestimmte Formeln angewendet werden sollten.
Ein Trapez definieren
Was ist das insgesamt für eine Figur? Ein Trapez ist ein Polygon mit vier Ecken und zwei parallelen Seiten. Die anderen beiden Seiten des Trapezes können geneigt werden verschiedene Winkel. Seine parallelen Seiten werden Basen genannt, und für nichtparallele Seiten wird die Bezeichnung „Seiten“ oder „Hüften“ verwendet. Solche Figuren sind im Alltag durchaus üblich. Die Konturen des Trapezes sind in den Silhouetten von Kleidung, Einrichtungsgegenständen, Möbeln, Geschirr und vielem mehr zu sehen. Trapez passiert verschiedene Typen: ungleichseitig, gleichseitig und rechteckig. Wir werden ihre Typen und Eigenschaften später in diesem Artikel genauer untersuchen.
Eigenschaften eines Trapezes
Lassen Sie uns kurz auf die Eigenschaften dieser Figur eingehen. Die Summe der an jede Seite angrenzenden Winkel beträgt immer 180°. Dabei ist zu beachten, dass sich alle Winkel eines Trapezes zu 360° addieren. Das Trapez hat das Konzept einer Mittellinie. Wenn Sie die Mittelpunkte der Seiten mit einem Segment verbinden, ist dies die Mittellinie. Es wird mit m bezeichnet. Die Mittellinie hat wichtige Eigenschaften: Es ist immer parallel zu den Basen (wir erinnern uns, dass die Basen auch parallel zueinander sind) und gleich ihrer Halbsumme:
Diese Definition muss gelernt und verstanden werden, denn sie ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme!
Bei einem Trapez können Sie die Höhe jederzeit bis zur Basis senken. Eine Höhe ist eine Senkrechte, oft mit dem Symbol h bezeichnet, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zu einer anderen Basis oder deren Verlängerung verläuft. Mithilfe der Mittellinie und der Höhe können Sie die Fläche des Trapezes ermitteln. Solche Probleme treten im schulischen Geometrieunterricht am häufigsten auf und tauchen regelmäßig bei Prüfungs- und Prüfungsarbeiten auf.
Die einfachsten Formeln für die Fläche eines Trapezes
Schauen wir uns die beiden beliebtesten und einfachsten Formeln an, mit denen die Fläche eines Trapezes ermittelt wird. Es reicht aus, die Höhe mit der halben Summe der Grundflächen zu multiplizieren, um leicht zu finden, was Sie suchen:
S = h*(a + b)/2.
In dieser Formel bezeichnen a, b die Basen des Trapezes, h die Höhe. Zur besseren Lesbarkeit werden in diesem Artikel Multiplikationszeichen in Formeln mit einem Symbol (*) gekennzeichnet, obwohl in offiziellen Nachschlagewerken das Multiplikationszeichen normalerweise weggelassen wird.
Schauen wir uns ein Beispiel an.
Gegeben: Ein Trapez mit zwei Grundflächen gleich 10 und 14 cm, die Höhe beträgt 7 cm. Wie groß ist die Fläche des Trapezes?
Schauen wir uns die Lösung für dieses Problem an. Mit dieser Formel müssen Sie zunächst die Halbsumme der Basen ermitteln: (10+14)/2 = 12. Die Halbsumme ist also gleich 12 cm. Jetzt multiplizieren wir die Halbsumme mit der Höhe: 12*7 = 84. Was wir suchen, ist gefunden. Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 84 Quadratmeter. cm.
Die zweite bekannte Formel besagt: Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus Mittellinie und Höhe des Trapezes. Das heißt, es folgt tatsächlich aus dem vorherigen Konzept der Mittellinie: S=m*h.
Verwendung von Diagonalen für Berechnungen
Eine andere Möglichkeit, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, ist eigentlich nicht so kompliziert. Es ist mit seinen Diagonalen verbunden. Um die Fläche zu ermitteln, müssen Sie mit dieser Formel das Halbprodukt seiner Diagonalen (d 1 d 2) mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren:
S = ½ d 1 d 2 sin A.
Betrachten wir ein Problem, das die Anwendung dieser Methode zeigt. Gegeben: ein Trapez mit einer Diagonalenlänge von 8 bzw. 13 cm. Der Winkel a zwischen den Diagonalen beträgt 30°. Finden Sie die Fläche des Trapezes.
Lösung. Mit der obigen Formel lässt sich der Bedarf leicht berechnen. Wie Sie wissen, beträgt sin 30° 0,5. Daher ist S = 8*13*0,5=52. Antwort: Die Fläche beträgt 52 Quadratmeter. cm.
Ermitteln der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes
Ein Trapez kann gleichschenklig (gleichschenklig) sein. Seine Seiten sind gleich und die Winkel an den Basen sind gleich, was durch die Abbildung gut veranschaulicht wird. Ein gleichschenkliges Trapez hat die gleichen Eigenschaften wie ein normales Trapez, zusätzlich zu einigen besonderen Eigenschaften. Um ein gleichschenkliges Trapez lässt sich ein Kreis umschreiben und darin kann ein Kreis eingeschrieben werden.
Welche Methoden gibt es, die Fläche einer solchen Figur zu berechnen? Die folgende Methode erfordert viele Berechnungen. Um es verwenden zu können, müssen Sie die Werte des Sinus (sin) und des Kosinus (cos) des Winkels an der Basis des Trapezes kennen. Um sie zu berechnen, benötigen Sie entweder Bradis-Tabellen oder einen technischen Taschenrechner. Hier ist die Formel:
S= C*Sünde A*(A - C*cos A),
Wo Mit- seitlicher Oberschenkel, A- Winkel an der unteren Basis.
Ein gleichseitiges Trapez hat gleich lange Diagonalen. Das Umgekehrte gilt auch: Wenn ein Trapez gleiche Diagonalen hat, dann ist es gleichschenklig. Daher die folgende Formel, um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln – das halbe Produkt aus dem Quadrat der Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen: S = ½ d 2 sin A.
Ermitteln der Fläche eines rechteckigen Trapezes
Bekannt Sonderfall rechteckiges Trapez. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen eine Seite (sein Schenkel) im rechten Winkel an die Grundflächen angrenzt. Es hat die Eigenschaften eines regelmäßigen Trapezes. Darüber hinaus hat sie sehr interessante Funktion. Der Unterschied in den Quadraten der Diagonalen eines solchen Trapezes ist gleich dem Unterschied in den Quadraten seiner Grundflächen. Dabei kommen alle zuvor beschriebenen Methoden zur Flächenberechnung zum Einsatz.
Wir nutzen Einfallsreichtum
Es gibt einen Trick, der helfen kann, wenn Sie bestimmte Formeln vergessen. Schauen wir uns genauer an, was ein Trapez ist. Wenn wir es gedanklich in Teile aufteilen, werden wir vertraut und verständlich geometrische Formen: Quadrat oder Rechteck und Dreieck (eins oder zwei). Wenn Höhe und Seiten des Trapezes bekannt sind, können Sie die Formeln verwenden Bereich des Dreiecks und ein Rechteck, dann addieren Sie alle resultierenden Werte.
Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen. Gegeben sei ein rechteckiges Trapez. Winkel C = 45°, Winkel A, D betragen 90°. Oberer Sockel Das Trapez ist 20 cm groß, die Höhe beträgt 16 cm. Sie müssen die Fläche der Figur berechnen.
Diese Figur besteht offensichtlich aus einem Rechteck (wenn zwei Winkel gleich 90° sind) und einem Dreieck. Da das Trapez rechteckig ist, entspricht seine Höhe seiner Seite, also 16 cm. Wir haben ein Rechteck mit Seitenlängen von 20 bzw. 16 cm. Betrachten Sie nun ein Dreieck, dessen Winkel 45° beträgt. Wir wissen, dass eine Seite davon 16 cm beträgt. Da diese Seite auch die Höhe des Trapezes ist (und wir wissen, dass die Höhe im rechten Winkel zur Basis abfällt), beträgt der zweite Winkel des Dreiecks 90°. Daher beträgt der verbleibende Winkel des Dreiecks 45°. Als Konsequenz daraus erhalten wir ein Rechteck gleichschenkliges Dreieck, dessen beide Seiten gleich sind. Dies bedeutet, dass die andere Seite des Dreiecks gleich der Höhe ist, also 16 cm. Es bleibt die Fläche des Dreiecks und des Rechtecks zu berechnen und die resultierenden Werte zu addieren.
Quadrat rechtwinkliges Dreieck ist gleich dem halben Produkt seiner Schenkel: S = (16*16)/2 = 128. Die Fläche des Rechtecks ist gleich dem Produkt aus seiner Breite und Länge: S = 20*16 = 320. Wir haben gefunden die erforderliche: Fläche des Trapezes S = 128 + 320 = 448 qm. Sehen Sie, Sie können sich anhand der oben genannten Formeln leicht selbst überprüfen, die Antwort wird identisch sein.
Wir verwenden die Pick-Formel
Abschließend stellen wir eine weitere Originalformel vor, die dabei hilft, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Sie wird als Pick-Formel bezeichnet. Es ist praktisch, wenn das Trapez auf kariertem Papier gezeichnet wird. Ähnliche Probleme treten häufig bei GIA-Materialien auf. Es sieht so aus:
S = M/2 + N - 1,
In dieser Formel ist M die Anzahl der Knoten, d.h. Schnittpunkte der Linien der Figur mit den Linien der Zelle an den Grenzen des Trapezes (orange Punkte in der Abbildung), N ist die Anzahl der Knoten innerhalb der Figur (blaue Punkte). Es ist am bequemsten, es zu verwenden, wenn Sie die Fläche eines unregelmäßigen Polygons ermitteln. Allerdings gilt: Je größer das Arsenal der eingesetzten Techniken, desto mehr weniger Fehler und bessere Ergebnisse.
Die bereitgestellten Informationen erschöpfen natürlich nicht die Arten und Eigenschaften eines Trapezes sowie Methoden zur Bestimmung seiner Fläche. Dieser Artikel gibt einen Überblick über seine wichtigsten Eigenschaften. In der Entscheidung geometrische Probleme Es ist wichtig, schrittweise vorzugehen, mit einfachen Formeln und Problemen zu beginnen, das Verständnis konsequent zu festigen und zu einer anderen Komplexitätsebene überzugehen.
Die zusammengestellten gängigsten Formeln helfen den Schülern bei der Navigation auf vielfältige Weise Berechnen Sie die Fläche eines Trapezes und bereiten Sie sich besser auf Tests und Tests zu diesem Thema vor.
UND . Jetzt können wir mit der Frage beginnen, wie man die Fläche eines Trapezes findet. Diese Aufgabe stellt sich im Alltag sehr selten, aber manchmal erweist es sich als notwendig, beispielsweise die Fläche eines Raumes in Form eines Trapezes zu finden, die zunehmend im Bauwesen eingesetzt werden moderne Wohnungen oder bei Renovierungsprojekten.
Ein Trapez ist eine geometrische Figur, die aus vier sich schneidenden Segmenten besteht, von denen zwei parallel zueinander sind und als Basis des Trapezes bezeichnet werden. Die anderen beiden Segmente werden als Seiten des Trapezes bezeichnet. Darüber hinaus werden wir später noch eine weitere Definition benötigen. Dies ist die Mittellinie des Trapezes, ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten und die Höhe des Trapezes verbindet, die dem Abstand zwischen den Basen entspricht.
Wie bei Dreiecken gibt es auch bei Trapezen spezielle Typen: ein gleichschenkliges (gleichseitiges) Trapez, bei dem die Seitenlängen gleich sind, und ein rechteckiges Trapez, bei dem eine der Seiten einen rechten Winkel mit den Grundflächen bildet.
Trapeze haben einige interessante Eigenschaften:
- Die Mittellinie des Trapezes entspricht der Hälfte der Summe der Grundflächen und verläuft parallel zu diesen.
- Gleichschenklige Trapeze haben gleiche Seiten und die gleichen Winkel, die sie mit den Grundflächen bilden.
- Die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes und der Schnittpunkt seiner Diagonalen liegen auf derselben Geraden.
- Wenn die Summe der Seiten eines Trapezes gleich der Summe der Grundflächen ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden
- Wenn die Summe der Winkel, die die Seiten eines Trapezes an einer seiner Basen bilden, 90 beträgt, dann ist die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Basen verbindet, gleich ihrer halben Differenz.
- Ein gleichschenkliges Trapez kann durch einen Kreis beschrieben werden. Und umgekehrt. Passt ein Trapez in einen Kreis, dann ist es gleichschenklig.
- Das Segment, das durch die Mittelpunkte der Basen eines gleichschenkligen Trapezes verläuft, steht senkrecht zu seinen Basen und stellt die Symmetrieachse dar.
So finden Sie die Fläche eines Trapezes.
Die Fläche des Trapezes entspricht der Hälfte der Summe seiner Grundflächen multipliziert mit seiner Höhe. In Formelform wird dies als Ausdruck geschrieben:
Dabei ist S die Fläche des Trapezes, a, b die Länge jeder Basis des Trapezes und h die Höhe des Trapezes.
Sie können diese Formel wie folgt verstehen und sich merken. Wie aus der folgenden Abbildung hervorgeht, kann mithilfe der Mittellinie ein Trapez in ein Rechteck umgewandelt werden, dessen Länge der Hälfte der Summe der Grundflächen entspricht.
Sie können jedes Trapez auch zu mehr erweitern einfache Figuren: ein Rechteck und ein oder zwei Dreiecke, und wenn es für Sie einfacher ist, dann ermitteln Sie die Fläche des Trapezes als Summe der Flächen seiner Bestandteile.
Es gibt eine weitere einfache Formel zur Berechnung seiner Fläche. Demnach ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt seiner Mittellinie mit der Höhe des Trapezes und wird in der Form geschrieben: S = m*h, wobei S die Fläche und m die Länge des Trapezes ist Mittellinie, h ist die Höhe des Trapezes. Diese Formel eignet sich eher für mathematische Probleme als für alltägliche Aufgaben, da Sie unter realen Bedingungen die Länge der Mittellinie ohne vorherige Berechnungen nicht kennen. Und Sie kennen nur die Längen der Basen und Seiten.
In diesem Fall lässt sich die Fläche des Trapezes mit der Formel ermitteln:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
Dabei ist S die Fläche, a, b die Basen und c, d die Seiten des Trapezes.
Es gibt mehrere andere Möglichkeiten, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Aber sie sind ungefähr so unbequem wie die letzte Formel, was bedeutet, dass es keinen Sinn macht, sich weiter mit ihnen zu befassen. Daher empfehlen wir Ihnen, die erste Formel aus dem Artikel zu verwenden und wünschen Ihnen stets genaue Ergebnisse.
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