Allgemeine Eigenschaften von Brüchen. Die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs

Wenn man über Mathematik spricht, kommt man nicht umhin, sich an Brüche zu erinnern. Ihrem Studium wird viel Aufmerksamkeit und Zeit gewidmet. Denken Sie daran, wie viele Beispiele Sie lösen mussten, um bestimmte Regeln für die Arbeit mit Brüchen zu lernen, wie Sie sich die Haupteigenschaft eines Bruchs eingeprägt und angewendet haben. Wie viele Nerven wurden aufgewendet, um es zu finden gemeinsamer Nenner, insbesondere wenn die Beispiele mehr als zwei Begriffe hatten!

Erinnern wir uns daran, was es ist, und erfrischen wir die grundlegenden Informationen und Regeln für die Arbeit mit Brüchen.

Definition von Brüchen

Beginnen wir vielleicht mit dem Wichtigsten – der Definition. Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einem oder mehreren Teilen einer Einheit besteht. Eine Bruchzahl wird als zwei Zahlen geschrieben, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind. In diesem Fall wird der obere (oder erste) Zähler und der untere (zweite) Nenner genannt.

Es ist erwähnenswert, dass der Nenner angibt, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist, und der Zähler die Anzahl der genommenen Anteile oder Teile angibt. Oftmals sind Brüche, wenn sie richtig sind, kleiner als eins.

Schauen wir uns nun die Eigenschaften dieser Zahlen und die Grundregeln an, die bei der Arbeit mit ihnen verwendet werden. Aber bevor wir ein Konzept wie „die Haupteigenschaft eines rationalen Bruchs“ untersuchen, wollen wir über die Arten von Brüchen und ihre Merkmale sprechen.

Was sind Brüche?

Es gibt verschiedene Arten solcher Zahlen. Erstens sind dies gewöhnliche und dezimale Zahlen. Die ersten stellen die Art der Aufnahme dar, die wir bereits mit einem Horizontalen oder Schrägstrich angegeben haben. Die zweite Art von Brüchen wird mit der sogenannten Positionsschreibweise angegeben, bei der zuerst der ganzzahlige Teil der Zahl und dann nach dem Dezimalpunkt der Bruchteil angegeben wird.

Es ist hier erwähnenswert, dass in der Mathematik sowohl Dezimalzahlen als auch gemeinsame Brüche. Die Haupteigenschaft des Bruchs gilt nur für die zweite Option. Außerdem werden gewöhnliche Brüche in reguläre und unechte Zahlen unterteilt. Bei ersterem ist der Zähler immer kleiner als der Nenner. Beachten Sie auch, dass ein solcher Bruch kleiner als eins ist. Bei einem unechten Bruch hingegen ist der Zähler größer als der Nenner und der Bruch selbst ist größer als eins. In diesem Fall kann daraus eine ganze Zahl extrahiert werden. In diesem Artikel betrachten wir nur gewöhnliche Brüche.

Eigenschaften von Brüchen

Jedes Phänomen, ob chemisch, physikalisch oder mathematisch, hat seine eigenen Merkmale und Eigenschaften. Bruchzahlen waren keine Ausnahme. Sie verfügen über eine wichtige Funktion, mit deren Hilfe bestimmte Operationen an ihnen durchgeführt werden können. Was ist die Haupteigenschaft eines Bruchs? Die Regel besagt, dass wir, wenn Zähler und Nenner mit derselben rationalen Zahl multipliziert oder dividiert werden, einen neuen Bruch erhalten, dessen Wert dem Wert des ursprünglichen Bruchs entspricht. Das heißt, wenn wir zwei Teile der Bruchzahl 3/6 mit 2 multiplizieren, erhalten wir einen neuen Bruch 6/12, und sie werden gleich sein.

Basierend auf dieser Eigenschaft können Sie Brüche kürzen und gemeinsame Nenner für ein bestimmtes Zahlenpaar auswählen.

Operationen

Obwohl Brüche komplexer erscheinen, können sie auch zur Durchführung grundlegender mathematischer Operationen wie Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division verwendet werden. Darüber hinaus gibt es eine spezielle Aktion wie das Reduzieren von Brüchen. Natürlich wird jede dieser Aktionen nach bestimmten Regeln ausgeführt. Die Kenntnis dieser Gesetze macht die Arbeit mit Brüchen einfacher, einfacher und interessanter. Aus diesem Grund betrachten wir als nächstes die Grundregeln und den Aktionsalgorithmus bei der Arbeit mit solchen Zahlen.

Aber bevor wir über mathematische Operationen wie Addition und Subtraktion sprechen, schauen wir uns eine Operation wie die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner an. Hier ist es hilfreich zu wissen, welche Grundeigenschaft ein Bruch besitzt.

Gemeinsamer Nenner

Um eine Zahl auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren, müssen Sie zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner ermitteln. Das heißt kleinste Zahl, die gleichzeitig durch beide Nenner ohne Rest teilbar ist. Der einfachste Weg, das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) zu ermitteln, besteht darin, in einer Zeile den ersten Nenner und dann den zweiten aufzuschreiben und die entsprechende Zahl unter ihnen zu finden. Wenn das LCM nicht gefunden wird, das heißt, diese Zahlen kein gemeinsames Vielfaches haben, sollten Sie sie multiplizieren und der resultierende Wert wird als LCM betrachtet.

Wir haben also das LCM gefunden, jetzt müssen wir einen zusätzlichen Faktor finden. Dazu müssen Sie das LCM abwechselnd in die Nenner der Brüche dividieren und die resultierende Zahl über jeden von ihnen schreiben. Als nächstes sollten Sie Zähler und Nenner mit dem resultierenden zusätzlichen Faktor multiplizieren und die Ergebnisse als neuen Bruch schreiben. Wenn Sie bezweifeln, dass die erhaltene Zahl mit der vorherigen übereinstimmt, denken Sie an die Grundeigenschaft eines Bruchs.

Zusatz

Kommen wir nun direkt zu den mathematischen Operationen mit Bruchzahlen. Beginnen wir mit dem Einfachsten. Für die Addition von Brüchen gibt es mehrere Möglichkeiten. Im ersten Fall haben beide Zahlen den gleichen Nenner. In diesem Fall müssen nur noch die Zähler addiert werden. Aber der Nenner ändert sich nicht. Beispiel: 1/5 + 3/5 = 4/5.

Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren und erst dann die Addition durchführen. Wir haben etwas weiter oben besprochen, wie das geht. In dieser Situation wird die Grundeigenschaft eines Bruchs nützlich sein. Mit dieser Regel können Sie Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Der Wert wird sich in keiner Weise ändern.

Alternativ kann es vorkommen, dass die Fraktion gemischt wird. Dann sollten Sie zuerst die ganzen Teile addieren und dann die Bruchteile.

Multiplikation

Erfordert keine Tricks, und um es auszuführen diese Aktion, ist es nicht notwendig, die Grundeigenschaft eines Bruchs zu kennen. Es reicht aus, zunächst Zähler und Nenner miteinander zu multiplizieren. In diesem Fall wird das Produkt der Zähler zum neuen Zähler und die Nenner zum neuen Nenner. Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes.

Das Einzige, was von Ihnen verlangt wird, sind Kenntnisse der Multiplikationstabellen und Aufmerksamkeit. Darüber hinaus sollten Sie nach Erhalt des Ergebnisses unbedingt prüfen, ob diese Zahl reduziert werden kann oder nicht. Wir werden etwas später darüber sprechen, wie man Brüche reduziert.

Subtraktion

Bei der Durchführung sollten Sie sich an denselben Regeln orientieren wie beim Hinzufügen. Bei Zahlen mit gleichem Nenner reicht es also aus, den Zähler des Subtrahenden vom Zähler des Minuenden zu subtrahieren. Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren und dann diese Operation durchführen. Wie bei der Addition müssen Sie die Basiseigenschaft verwenden algebraischer Bruch sowie Fähigkeiten im Finden von LCM und gemeinsamen Faktoren für Brüche.

Division

Und die letzte und interessanteste Operation bei der Arbeit mit solchen Zahlen ist die Division. Es ist recht einfach und bereitet auch denjenigen keine besonderen Schwierigkeiten, die wenig Verständnis für den Umgang mit Brüchen, insbesondere Addition und Subtraktion, haben. Beim Dividieren gilt die gleiche Regel wie beim Multiplizieren mit einem Kehrwertbruch. Die Haupteigenschaft eines Bruchs, wie im Fall der Multiplikation, wird für diese Operation nicht verwendet. Schauen wir genauer hin.

Bei der Division von Zahlen bleibt die Dividende unverändert. Der Divisorbruch wird in seinen Kehrwert umgewandelt, d. h. Zähler und Nenner tauschen ihre Plätze. Anschließend werden die Zahlen miteinander multipliziert.

Reduktion

Wir haben also bereits die Definition und Struktur von Brüchen, ihre Typen und die Regeln für Operationen mit diesen Zahlen untersucht und die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs herausgefunden. Lassen Sie uns nun über einen solchen Vorgang wie die Reduktion sprechen. Beim Kürzen eines Bruchs handelt es sich um den Vorgang, ihn umzuwandeln – indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Somit wird der Bruch reduziert, ohne seine Eigenschaften zu ändern.

Normalerweise sollten Sie bei der Durchführung einer mathematischen Operation das resultierende Ergebnis sorgfältig prüfen und herausfinden, ob es möglich ist, den resultierenden Bruch zu reduzieren oder nicht. Denken Sie daran, dass das Endergebnis immer eine Bruchzahl enthält, die keiner Reduzierung bedarf.

Andere Operationen

Abschließend stellen wir fest, dass wir nicht alle Operationen mit Bruchzahlen aufgelistet haben, sondern nur die bekanntesten und notwendigsten erwähnen. Brüche können auch verglichen, in Dezimalzahlen umgewandelt und umgekehrt werden. In diesem Artikel haben wir diese Operationen jedoch nicht berücksichtigt, da sie in der Mathematik viel seltener ausgeführt werden als die oben vorgestellten.

Schlussfolgerungen

Wir haben mit ihnen über Bruchzahlen und Operationen gesprochen. Wir haben auch die Hauptimmobilie untersucht. Beachten wir jedoch, dass wir alle diese Fragen am Rande berücksichtigt haben. Wir haben nur die bekanntesten und am häufigsten verwendeten Regeln aufgeführt und die unserer Meinung nach wichtigsten Ratschläge gegeben.

Dieser Artikel soll Ihre vergessenen Informationen über Brüche auffrischen, anstatt neue Informationen bereitzustellen und Ihren Kopf mit endlosen Regeln und Formeln zu füllen, die Ihnen höchstwahrscheinlich nie nützlich sein werden.

Wir hoffen, dass das im Artikel präsentierte Material einfach und prägnant für Sie nützlich war.

Bruchteile einer Einheit und wird dargestellt als \frac(a)(b).

Zähler des Bruchs (a)- die Zahl über der Bruchlinie, die die Anzahl der Anteile angibt, in die die Einheit aufgeteilt wurde.

Bruchnenner (b)- die Zahl, die sich unter der Bruchlinie befindet und angibt, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist.

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Die Haupteigenschaft eines Bruchs

Wenn ad=bc, dann zwei Brüche \frac(a)(b) Und \frac(c)(d) gelten als gleichwertig. Beispielsweise sind die Brüche gleich \frac35 Und \frac(9)(15), da 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Und \frac(24)(14), da 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Aus der Definition der Gleichheit von Brüchen folgt, dass die Brüche gleich sind \frac(a)(b) Und \frac(am)(bm), da a(bm)=b(am) ein klares Beispiel für die Nutzung der assoziativen und kommutativen Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen in der Praxis ist.

Bedeutet \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- so sieht es aus Haupteigenschaft eines Bruchs.

Mit anderen Worten: Wir erhalten einen Bruch, der dem gegebenen Bruch gleich ist, indem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multiplizieren oder dividieren.

Einen Bruch kürzen ist der Vorgang des Ersetzens eines Bruchs, bei dem der neue Bruch gleich dem ursprünglichen ist, jedoch einen kleineren Zähler und Nenner aufweist.

Es ist üblich, Brüche basierend auf der Grundeigenschaft des Bruchs zu kürzen.

Zum Beispiel, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(Zähler und Nenner werden durch die Zahl 3 geteilt); der resultierende Bruch kann durch Division durch 5 wieder reduziert werden, d.h \frac(15)(20)=\frac 34.

Irreduzibler Bruch ist ein Bruchteil der Form \frac 34, wobei Zähler und Nenner gegenseitig Primzahlen sind. Der Hauptzweck der Reduktion eines Bruchs besteht darin, den Bruch irreduzibel zu machen.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Nehmen wir als Beispiel zwei Brüche: \frac(2)(3) Und \frac(5)(8) mit unterschiedlichen Nennern 3 und 8. Um diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, multiplizieren wir zunächst Zähler und Nenner des Bruchs \frac(2)(3) um 8. Wir erhalten folgendes Ergebnis: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Dann multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruchs \frac(5)(8) um 3. Als Ergebnis erhalten wir: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Die ursprünglichen Brüche werden also auf einen gemeinsamen Nenner 24 reduziert.

Arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen

Addition gewöhnlicher Brüche

a) Wenn die Nenner gleich sind, wird der Zähler des ersten Bruchs zum Zähler des zweiten Bruchs addiert, sodass der Nenner gleich bleibt. Wie Sie im Beispiel sehen können:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Wann verschiedene Nenner Brüche werden zunächst auf einen gemeinsamen Nenner reduziert und dann die Zähler gemäß Regel a) addiert:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Brüche subtrahieren

a) Wenn die Nenner gleich sind, subtrahieren Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und lassen Sie den Nenner gleich:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Sind die Nenner der Brüche unterschiedlich, werden zunächst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Aktionen wie in Punkt a) wiederholt.

Gemeinsame Brüche multiplizieren

Beim Multiplizieren von Brüchen gilt folgende Regel:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

das heißt, sie multiplizieren Zähler und Nenner getrennt.

Zum Beispiel:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Brüche dividieren

Brüche werden wie folgt geteilt:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

das heißt, ein Bruchteil \frac(a)(b) mit einem Bruch multipliziert \frac(d)(c).

Beispiel: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Reziproke Zahlen

Wenn ab=1 , dann ist die Zahl b reziproke Zahl für die Zahl a.

Beispiel: Für die Zahl 9 ist der Kehrwert \frac(1)(9), Weil 9\cdot\frac(1)(9)=1, für die Zahl 5 - \frac(1)(5), Weil 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Dezimalstellen

Dezimal wird als echter Bruch bezeichnet, dessen Nenner 10, 1000, 10\.000, ..., 10^n ist.

Zum Beispiel: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Unregelmäßige Zahlen mit dem Nenner 10^n oder gemischte Zahlen werden auf die gleiche Weise geschrieben.

Zum Beispiel: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Jeder gewöhnliche Bruch, dessen Nenner ein Teiler einer bestimmten Zehnerpotenz ist, wird als Dezimalbruch dargestellt.

Beispiel: 5 ist ein Teiler von 100, also ein Bruch \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Arithmetische Operationen mit Dezimalzahlen

Dezimalzahlen hinzufügen

Um zwei hinzuzufügen Dezimalstellen, müssen Sie sie so anordnen, dass identische Ziffern untereinander und ein Komma unter dem Komma stehen, und dann die Brüche als gewöhnliche Zahlen hinzufügen.

Dezimalzahlen subtrahieren

Die Durchführung erfolgt auf die gleiche Weise wie die Addition.

Dezimalzahlen multiplizieren

Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen reicht es aus, die angegebenen Zahlen zu multiplizieren, ohne auf Kommas zu achten (wie bei natürlichen Zahlen), und in der resultierenden Antwort trennt ein Komma auf der rechten Seite so viele Ziffern, wie es in beiden Faktoren nach dem Komma gibt in Summe.

Multiplizieren wir 2,7 mit 1,3. Wir haben 27 \cdot 13=351 . Zwei Ziffern auf der rechten Seite trennen wir durch ein Komma (die erste und die zweite Zahl haben eine Nachkommastelle; 1+1=2). Als Ergebnis erhalten wir 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Wenn das resultierende Ergebnis weniger Ziffern enthält, als durch ein Komma getrennt werden müssen, werden die fehlenden Nullen vorangestellt, zum Beispiel:

Um mit 10, 100, 1000 zu multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt um 1, 2, 3 Stellen nach rechts verschieben (ggf. werden nach rechts eine bestimmte Anzahl Nullen zugewiesen).

Beispiel: 1,47\cdot 10\.000 = 14.700.

Dezimaldivision

Die Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl erfolgt auf die gleiche Weise wie die Division einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl. Das Komma im Quotienten wird gesetzt, nachdem die Division des ganzen Teils abgeschlossen ist.

Wenn der ganzzahlige Teil der Dividende kleiner als Teiler, dann stellt sich heraus, dass die Antwort Null-Ganzzahlen sind, zum Beispiel:

Schauen wir uns die Division einer Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl an. Nehmen wir an, wir müssen 2,576 durch 1,12 teilen. Zunächst einmal multiplizieren wir den Dividenden und den Divisor des Bruchs mit 100, d , zwei). Dann müssen Sie den Bruch 257,6 durch die natürliche Zahl 112 dividieren, d. h. das Problem reduziert sich auf den bereits betrachteten Fall:

Es kommt vor, dass man den letzten Dezimalbruch nicht immer erhält, wenn man eine Zahl durch eine andere dividiert. Das Ergebnis ist ein unendlicher Dezimalbruch. In solchen Fällen gehen wir zu gewöhnlichen Brüchen über.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Vom Schulalgebrakurs gehen wir zu Einzelheiten über. In diesem Artikel werden wir einen speziellen Typ im Detail untersuchen rationale Ausdrücke – rationale Brüche, und überlegen Sie auch, welches Merkmal identisch ist Rationale Bruchumrechnungen stattfinden.

Wir stellen sofort fest, dass rationale Brüche in dem Sinne, in dem wir sie weiter unten definieren, in einigen Algebra-Lehrbüchern als algebraische Brüche bezeichnet werden. Das heißt, in diesem Artikel werden wir verstehen, dass rationale und algebraische Brüche dasselbe bedeuten.

Beginnen wir wie üblich mit einer Definition und Beispielen. Als nächstes sprechen wir darüber, einen rationalen Bruch auf einen neuen Nenner zu bringen und die Vorzeichen der Mitglieder des Bruchs zu ändern. Danach schauen wir uns an, wie man Brüche reduziert. Betrachten wir abschließend die Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe mehrerer Brüche. Alle Informationen stellen wir Ihnen mit Beispielen zur Verfügung detaillierte Beschreibungen Entscheidungen.

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Definition und Beispiele rationaler Brüche

Rationale Brüche werden im Algebraunterricht der 8. Klasse studiert. Wir verwenden die Definition eines rationalen Bruchs, die im Algebra-Lehrbuch für die 8. Klasse von Yu N. Makarychev et al. enthalten ist.

IN diese Definition Es ist nicht angegeben, ob die Polynome im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome sein müssen Standardansicht oder nicht. Daher gehen wir davon aus, dass die Notationen für rationale Brüche sowohl Standard- als auch Nicht-Standardpolynome enthalten können.

Hier sind einige Beispiele für rationale Brüche. Also, x/8 und - rationale Brüche. Und Brüche und passen nicht zur angegebenen Definition eines rationalen Bruchs, da im ersten von ihnen der Zähler kein Polynom enthält und im zweiten sowohl der Zähler als auch der Nenner Ausdrücke enthalten, die keine Polynome sind.

Konvertieren von Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs

Zähler und Nenner eines jeden Bruchs sind eigenständige mathematische Ausdrücke; bei rationalen Brüchen sind dies im Einzelfall Polynome und Zahlen; Daher können mit Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs wie mit jedem Ausdruck identische Transformationen durchgeführt werden. Mit anderen Worten: Der Ausdruck im Zähler eines rationalen Bruchs kann durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt werden, genau wie der Nenner.

Sie können identische Transformationen im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs durchführen. Beispielsweise können Sie im Zähler ähnliche Begriffe gruppieren und reduzieren und im Nenner das Produkt mehrerer Zahlen durch seinen Wert ersetzen. Und da Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome sind, ist es möglich, mit ihnen für Polynome charakteristische Transformationen durchzuführen, beispielsweise die Reduktion auf eine Standardform oder die Darstellung in Form eines Produkts.

Betrachten wir zur Verdeutlichung Lösungen für mehrere Beispiele.

Beispiel.

Rationalen Bruch umrechnen so dass der Zähler ein Polynom in Standardform enthält und der Nenner das Produkt von Polynomen enthält.

Lösung.

Die Reduktion rationaler Brüche auf einen neuen Nenner wird hauptsächlich beim Addieren und Subtrahieren rationaler Brüche verwendet.

Vorzeichenwechsel vor einem Bruch sowie in dessen Zähler und Nenner

Die Haupteigenschaft eines Bruchs kann verwendet werden, um die Vorzeichen der Mitglieder eines Bruchs zu ändern. Tatsächlich ist die Multiplikation von Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs mit -1 gleichbedeutend mit einer Änderung ihrer Vorzeichen, und das Ergebnis ist ein Bruch, der identisch mit dem gegebenen Bruch ist. Diese Transformation muss häufig verwendet werden, wenn mit rationalen Brüchen gearbeitet wird.

Wenn Sie also gleichzeitig die Vorzeichen von Zähler und Nenner eines Bruchs ändern, erhalten Sie einen Bruch, der dem ursprünglichen entspricht. Diese Aussage wird mit Gleichheit beantwortet.

Geben wir ein Beispiel. Ein rationaler Bruch kann durch einen identisch gleichen Bruch mit geänderten Vorzeichen von Zähler und Nenner der Form ersetzt werden.

Bei Brüchen können Sie eine weitere identische Transformation durchführen, bei der sich entweder das Vorzeichen des Zählers oder des Nenners ändert. Lassen Sie uns die entsprechende Regel formulieren. Wenn man das Vorzeichen eines Bruchs zusammen mit dem Vorzeichen des Zählers oder Nenners ersetzt, erhält man einen Bruch, der identisch mit dem ursprünglichen Bruch ist. Die schriftliche Stellungnahme entspricht den Gleichheiten und .

Der Nachweis dieser Gleichheiten ist nicht schwierig. Der Beweis basiert auf den Eigenschaften der Multiplikation von Zahlen. Lassen Sie uns die erste davon beweisen: . Mit ähnlichen Transformationen wird die Gleichheit bewiesen.

Beispielsweise kann ein Bruch durch den Ausdruck oder ersetzt werden.

Um diesen Punkt abzuschließen, präsentieren wir zwei weitere nützliche Gleichheiten und . Das heißt, wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert der Bruch sein Vorzeichen. Zum Beispiel, Und .

Die betrachteten Transformationen, die es ermöglichen, das Vorzeichen der Bruchglieder zu ändern, werden häufig bei der Transformation gebrochener rationaler Ausdrücke verwendet.

Rationale Brüche reduzieren

Die folgende Transformation rationaler Brüche, Reduktion rationaler Brüche genannt, basiert auf derselben Grundeigenschaft eines Bruchs. Diese Transformation entspricht der Gleichheit, wobei a, b und c einige Polynome sind und b und c ungleich Null sind.

Aus der obigen Gleichheit wird deutlich, dass die Reduzierung eines rationalen Bruchs das Entfernen des gemeinsamen Faktors in Zähler und Nenner bedeutet.

Beispiel.

Brechen Sie einen rationalen Bruch ab.

Lösung.

Der gemeinsame Faktor 2 ist sofort sichtbar, führen wir eine Reduktion damit durch (beim Schreiben ist es praktisch, die gemeinsamen Faktoren, um die reduziert wird, durchzustreichen). Wir haben . Da x 2 =x x und y 7 =y 3 y 4 (siehe ggf.), ist es klar, dass x ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs ist, ebenso wie y 3. Reduzieren wir um diese Faktoren: . Damit ist die Reduzierung abgeschlossen.

Oben haben wir die Reduktion rationaler Brüche nacheinander durchgeführt. Oder es war möglich, die Reduktion in einem Schritt durchzuführen und den Bruch sofort um 2 x y 3 zu reduzieren. In diesem Fall würde die Lösung so aussehen: .

Antwort:

.

Bei der Reduktion rationaler Brüche besteht das Hauptproblem darin, dass der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht immer sichtbar ist. Darüber hinaus existiert es nicht immer. Um einen gemeinsamen Faktor zu finden oder dessen Abwesenheit zu überprüfen, müssen Sie Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs faktorisieren. Wenn kein gemeinsamer Faktor vorhanden ist, muss der ursprüngliche rationale Bruch nicht reduziert werden, andernfalls wird eine Reduktion durchgeführt.

Bei der Reduktion rationaler Brüche können verschiedene Nuancen auftreten. Die wichtigsten Feinheiten werden im Artikel Algebraische Brüche reduzieren anhand von Beispielen und im Detail besprochen.

Zum Abschluss des Gesprächs über die Reduktion rationaler Brüche stellen wir fest, dass diese Transformation identisch ist und die Hauptschwierigkeit bei ihrer Umsetzung in der Faktorisierung der Polynome im Zähler und Nenner liegt.

Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe von Brüchen

Ganz spezifisch, aber in manchen Fällen sehr nützlich, ist die Transformation eines rationalen Bruchs, die in seiner Darstellung als Summe mehrerer Brüche oder als Summe eines ganzen Ausdrucks und eines Bruchs besteht.

Ein rationaler Bruch, dessen Zähler ein Polynom enthält, das die Summe mehrerer Monome darstellt, kann immer als Summe von Brüchen mit demselben Nenner geschrieben werden, deren Zähler die entsprechenden Monome enthalten. Zum Beispiel, . Diese Darstellung wird durch die Regel zum Addieren und Subtrahieren algebraischer Brüche mit gleichen Nennern erklärt.

Im Allgemeinen kann jeder rationale Bruch auf viele verschiedene Arten als Summe von Brüchen dargestellt werden. Beispielsweise kann der Bruch a/b als Summe zweier Brüche dargestellt werden – eines beliebigen Bruchs c/d und eines Bruchs, der der Differenz zwischen den Brüchen a/b und c/d entspricht. Diese Aussage ist wahr, da die Gleichheit gilt . Beispielsweise kann ein rationaler Bruch als Summe von Brüchen dargestellt werden auf verschiedene Weise: Stellen wir uns den ursprünglichen Bruch als Summe eines ganzzahligen Ausdrucks und eines Bruchs vor. Indem wir den Zähler durch den Nenner mit einer Spalte dividieren, erhalten wir die Gleichheit . Der Wert des Ausdrucks n 3 +4 für jede ganze Zahl n ist eine ganze Zahl. Und der Wert eines Bruchs ist genau dann eine ganze Zahl, wenn sein Nenner 1, −1, 3 oder −3 ist. Diese Werte entsprechen den Werten n=3, n=1, n=5 bzw. n=−1.

Antwort:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Referenzen.

• Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 13. Aufl., rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 Seiten: Abb. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Beim Studium gewöhnlicher Brüche stoßen wir auf die Konzepte der Grundeigenschaften eines Bruchs. Um Beispiele mit gewöhnlichen Brüchen zu lösen, ist eine vereinfachte Formulierung erforderlich. In diesem Artikel geht es um die Betrachtung algebraischer Brüche und die Anwendung einer Grundeigenschaft auf sie, die anhand von Beispielen für den Anwendungsbereich formuliert wird.

Formulierung und Begründung

Die Haupteigenschaft eines Bruchs hat die Form:

Definition 1

Wenn Zähler und Nenner gleichzeitig mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, bleibt der Wert des Bruchs unverändert.

Das heißt, wir erhalten, dass a · m b · m = a b und a: m b: m = a b äquivalent sind, wobei a b = a · m b · m und a b = a: m · b: m als fair angesehen werden. Die Werte a, b, m sind einige natürliche Zahlen.

Die Division von Zähler und Nenner durch eine Zahl kann als a · m b · m = a b dargestellt werden. Dies ähnelt der Lösung des Beispiels 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3. Beim Dividieren wird eine Gleichheit der Form a: m b verwendet: m = a b, dann 8 · 12 = 2 · 4 · 2 · 4 = 2 · 3. Es kann auch in der Form a · m b · m = a b dargestellt werden, also 8 · 12 = 2 · 4 · 3 · 4 = 2 · 3.

Das heißt, die Haupteigenschaft des Bruchs a · m b · m = a b und a b = a · m b · m wird im Gegensatz zu a: m b: m = a b und a b = a: m · b: m im Detail betrachtet.

Wenn Zähler und Nenner enthalten reelle Zahlen, dann ist die Eigenschaft anwendbar. Zuerst müssen Sie die Gültigkeit der geschriebenen Ungleichung für alle Zahlen beweisen. Das heißt, beweisen Sie die Existenz von a · m b · m = a b für alle reellen a , b , m , wobei b und m Werte ungleich Null sind, um eine Division durch Null zu vermeiden.

Beweis 1

Betrachtet man einen Bruchteil der Form a b als Teil des Datensatzes z, also a b = z, dann muss bewiesen werden, dass a · m b · m z entspricht, d. h. a · m b · m = z . Dann können wir damit die Existenz der Gleichung a · m · b · m = a · b beweisen.

Der Bruchstrich bedeutet das Divisionszeichen. Wenn wir den Zusammenhang mit Multiplikation und Division anwenden, finden wir, dass wir aus a b = z nach der Transformation a = b · z erhalten. Gemäß den Eigenschaften numerischer Ungleichungen sollten beide Seiten der Ungleichung mit einer Zahl ungleich Null multipliziert werden. Dann multiplizieren wir mit der Zahl m, wir erhalten a · m = (b · z) · m. Aufgrund der Eigenschaft haben wir das Recht, den Ausdruck in der Form a · m = (b · m) · z zu schreiben. Dies bedeutet, dass aus der Definition folgt, dass a b = z. Das ist der ganze Beweis des Ausdrucks a · m b · m = a b .

Gleichungen der Form a · m b · m = a b und a b = a · m b · m ergeben dann einen Sinn, wenn anstelle von a , b , m Polynome stehen und diese anstelle von b und m ungleich Null sind.

Die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs: Wenn wir Zähler und Nenner gleichzeitig mit derselben Zahl multiplizieren, erhalten wir einen Ausdruck, der mit dem Original identisch ist.

Die Eigenschaft gilt als gültig, da Aktionen mit Polynomen Aktionen mit Zahlen entsprechen.

Beispiel 1

Schauen wir uns das Beispiel des Bruchs 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 an. Es ist möglich, in die Form 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y) umzuwandeln.

Es wurde eine Multiplikation mit dem Polynom x 2 + 2 · x · y durchgeführt. Auf die gleiche Weise hilft die Haupteigenschaft dabei, x 2, das in einem bestimmten Bruchteil der Form 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) vorhanden ist, in die Form 5 x + 5 x 3 + umzuwandeln 3. Dies nennt man Vereinfachung.

Die Haupteigenschaft kann als Ausdrücke a · m b · m = a · b und a · b = a · m · b · m geschrieben werden, wenn a, b, m Polynome oder gewöhnliche Variablen sind und b und m ungleich Null sein müssen.

Anwendungsbereiche der Grundeigenschaft eines algebraischen Bruchs

Die Anwendung der Haupteigenschaft ist bei der Reduktion auf einen neuen Nenner oder bei der Reduktion eines Bruchs relevant.

Definition 2

Bei der Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner werden Zähler und Nenner mit einem ähnlichen Polynom multipliziert, um ein neues zu erhalten. Der resultierende Bruch ist gleich dem ursprünglichen.

Das heißt, ein Bruch der Form x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1, wenn er mit x 2 + 1 multipliziert und auf einen gemeinsamen Nenner (x + 1) · (x 2 + 1) reduziert wird ) erhält die Form x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Nachdem wir Operationen mit Polynomen durchgeführt haben, stellen wir fest, dass der algebraische Bruch in x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 umgewandelt wird.

Die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner erfolgt auch beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen. Wenn gebrochene Koeffizienten angegeben sind, muss zunächst eine Vereinfachung vorgenommen werden, die das Erscheinungsbild und die Bestimmung des gemeinsamen Nenners vereinfacht. Zum Beispiel: 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Die Anwendung der Eigenschaft beim Reduzieren von Brüchen erfolgt in 2 Schritten: Zerlegung des Zählers und Nenners in Faktoren, um das gemeinsame m zu finden, und dann Fortfahren mit der Art des Bruchs a b, basierend auf einer Gleichheit der Form a · m b · m = a b.

Wenn ein Bruchteil der Form 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 nach der Erweiterung in x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y umgewandelt wird, ist es offensichtlich, dass der allgemeine Multiplikator dies tun wird sei das Polynom 4 x 2 − y. Dann ist es möglich, den Bruch entsprechend seiner Haupteigenschaft zu reduzieren. Wir verstehen das

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Der Bruch wird vereinfacht, dann müssen beim Ersetzen von Werten viel weniger Aktionen ausgeführt werden als beim Ersetzen in den ursprünglichen.

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Besitzen Haupteigenschaft eines Bruchs:

Hinweis 1

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden, ist das Ergebnis ein Bruch, der dem Original entspricht:

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

Beispiel 1

Gegeben sei ein Quadrat, das in $4$ gleiche Teile geteilt sei. Wenn wir $2$ aus Teilen von $4$ schattieren, erhalten wir $\frac(2)(4)$ des gesamten Quadrats. Schaut man sich dieses Quadrat an, fällt auf, dass genau die Hälfte davon schattiert ist, also $(1)(2)$. Somit erhalten wir $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$. Lassen Sie uns die Zahlen $2$ und $4$ faktorisieren:

Setzen wir diese Erweiterungen in die Gleichheit ein:

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.

Beispiel 2

Ist es möglich, einen gleichen Bruch zu erhalten, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner eines bestimmten Bruchs mit 18 $ multipliziert und dann durch 3 $ dividiert werden?

Lösung.

Gegeben sei ein gewöhnlicher Bruch $\frac(a)(b)$. Gemäß der Bedingung, dass Zähler und Nenner dieses Bruchs mit $18$ multipliziert wurden, erhielten wir:

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

Gemäß der Grundeigenschaft eines Bruchs:

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

Somit war das Ergebnis ein Bruchteil, der dem ursprünglichen entspricht.

Antwort: Sie können einen Bruch erhalten, der dem Original entspricht.

Anwendung der Grundeigenschaft eines Bruchs

Die Haupteigenschaft eines Bruchs wird am häufigsten verwendet für:

• Brüche in einen neuen Nenner umwandeln:
• Reduktion von Brüchen.

Einen Bruch auf einen neuen Nenner reduzieren- Ersetzen eines bestimmten Bruchs durch einen Bruch, der ihm gleich ist, aber einen größeren Zähler und einen größeren Nenner hat. Dazu werden Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert, wodurch entsprechend der Grundeigenschaft des Bruchs ein Bruch erhalten wird, der dem ursprünglichen gleich, jedoch größer ist Zähler und Nenner.

Einen Bruch kürzen- Ersetzen eines bestimmten Bruchs durch einen Bruch, der ihm gleich ist, aber einen kleineren Zähler und einen kleineren Nenner hat. Dazu werden Zähler und Nenner des Bruchs durch das Positive dividiert gemeinsamer Teiler Zähler und Nenner ungleich Null, wodurch nach der Grundeigenschaft eines Bruchs ein Bruch erhalten wird, der dem ursprünglichen gleich ist, jedoch einen kleineren Zähler und Nenner hat.

Wenn wir Zähler und Nenner durch ihren gcd dividieren (reduzieren), ist das Ergebnis irreduzible Form des ursprünglichen Bruchs.

Brüche reduzieren

Wie Sie wissen, werden gewöhnliche Brüche in geteilt kontraktil Und irreduzibel.

Um einen Bruch zu reduzieren, müssen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren positiven gemeinsamen Teiler dividieren, der nicht Null ist. Beim Reduzieren eines Bruchs entsteht ein neuer Bruch mit kleinerem Zähler und Nenner, der in seinen Grundeigenschaften dem ursprünglichen Bruch entspricht.

Beispiel 3

Reduziere den Bruch $\frac(15)(25)$.

Lösung.

Lassen Sie uns den Bruch um 5 $ reduzieren (Zähler und Nenner durch 5 $ dividieren):

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

Antwort: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.

Erhalten eines irreduziblen Bruchs

Am häufigsten wird ein Bruch reduziert, um einen irreduziblen Bruch zu erhalten, der dem ursprünglichen reduzierten Bruch entspricht. Dieses Ergebnis kann erreicht werden, indem sowohl der Zähler als auch der Nenner des ursprünglichen Bruchs durch ihren gcd dividiert werden.

$\frac(a\div GCD (a,b))(b\div GCD (a,b))$ ist ein irreduzibler Bruch, weil Gemäß den Eigenschaften von gcd sind Zähler und Nenner eines bestimmten Bruchs gegenseitig Primzahlen.

GCD(a,b) ist die größte Zahl, durch die sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchs $\frac(a)(b)$ dividiert werden können. Um einen Bruch auf eine irreduzible Form zu reduzieren, ist es daher notwendig, seinen Zähler und Nenner durch ihren ggT zu dividieren.

Hinweis 2

Bruchreduktionsregel: 1. Finden Sie den gcd von zwei Zahlen, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen. 2. Teilen Sie Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen gcd.

Beispiel 4

Reduzieren Sie den Bruch $6/36$ auf seine irreduzible Form.

Lösung.

Reduzieren wir diesen Bruch um gcd$(6,36)=6$, weil $36\div 6=6$. Wir bekommen:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

Antwort: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.

In der Praxis impliziert der Ausdruck „einen Bruch reduzieren“, dass Sie den Bruch auf seine irreduzible Form reduzieren müssen.