Ich hoffe, dass Sie nach dem Studium dieses Artikels lernen, wie man die Wurzeln einer vollständigen quadratischen Gleichung findet.
Mit der Diskriminante werden nur vollständige quadratische Gleichungen gelöst; quadratische Gleichungen Verwenden Sie andere Methoden, die Sie im Artikel „Unvollständige quadratische Gleichungen lösen“ finden.
Welche quadratischen Gleichungen nennt man vollständig? Das Gleichungen der Form ax 2 + b x + c = 0, wobei die Koeffizienten a, b und c ungleich Null sind. Um eine vollständige quadratische Gleichung zu lösen, müssen wir also die Diskriminante D berechnen.
D = b 2 – 4ac.
Abhängig vom Wert der Diskriminante schreiben wir die Antwort auf.
Wenn die Diskriminante eine negative Zahl ist (D< 0),то корней нет.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann ist x = (-b)/2a. Wenn die Diskriminante eine positive Zahl ist (D > 0),
dann ist x 1 = (-b - √D)/2a und x 2 = (-b + √D)/2a.
Zum Beispiel. Lösen Sie die Gleichung x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Antwort: 2.
Lösen Sie Gleichung 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Antwort: keine Wurzeln.
Lösen Sie Gleichung 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Antwort: – 3,5; 1.
Stellen wir uns also die Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen anhand des Diagramms in Abbildung 1 vor.
Mit diesen Formeln können Sie jede vollständige quadratische Gleichung lösen. Man muss nur vorsichtig sein Die Gleichung wurde als Polynom der Standardform geschrieben
A x 2 + bx + c, sonst kann es sein, dass Sie einen Fehler machen. Wenn Sie beispielsweise die Gleichung x + 3 + 2x 2 = 0 schreiben, können Sie das fälschlicherweise entscheiden
a = 1, b = 3 und c = 2. Dann
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 und dann hat die Gleichung zwei Wurzeln. Und das ist nicht wahr. (Siehe Lösung zu Beispiel 2 oben).
Wenn die Gleichung also nicht als Polynom der Standardform geschrieben wird, muss zunächst die vollständige quadratische Gleichung als Polynom der Standardform geschrieben werden (das heißt, das Monom mit dem größten Exponenten sollte zuerst kommen). A x 2 , dann mit weniger – bx und dann ein kostenloses Mitglied Mit.
Beim Lösen der reduzierten quadratischen Gleichung und einer quadratischen Gleichung mit einem geraden Koeffizienten im zweiten Term können Sie andere Formeln verwenden. Machen wir uns mit diesen Formeln vertraut. Wenn in einer vollständigen quadratischen Gleichung der zweite Term einen geraden Koeffizienten hat (b = 2k), können Sie die Gleichung mithilfe der im Diagramm in Abbildung 2 gezeigten Formeln lösen.
Eine vollständige quadratische Gleichung heißt reduziert, wenn der Koeffizient bei x 2 ist gleich eins und die Gleichung nimmt die Form an x 2 + px + q = 0. Eine solche Gleichung kann zur Lösung angegeben werden oder durch Division aller Koeffizienten der Gleichung durch den Koeffizienten erhalten werden A, stehend bei x 2 .
Abbildung 3 zeigt ein Diagramm zur Lösung des reduzierten Quadrats 
Gleichungen. Schauen wir uns ein Beispiel für die Anwendung der in diesem Artikel besprochenen Formeln an.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Lösen wir diese Gleichung mithilfe der im Diagramm in Abbildung 1 gezeigten Formeln.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Antwort: –1 – √3; –1 + √3
Sie können feststellen, dass der Koeffizient von x in dieser Gleichung eine gerade Zahl ist, also b = 6 oder b = 2k, woraus k = 3 ist. Versuchen wir dann, die Gleichung mit den im Diagramm der Abbildung D gezeigten Formeln zu lösen 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Antwort: –1 – √3; –1 + √3. Wenn wir beachten, dass alle Koeffizienten in dieser quadratischen Gleichung durch 3 teilbar sind, und die Division durchführen, erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung x 2 + 2x – 2 = 0. Lösen Sie diese Gleichung mit den Formeln für die reduzierte quadratische Gleichung 
Gleichungen Abbildung 3.
D 2 = 2 · 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Antwort: –1 – √3; –1 + √3.
Wie wir sehen, wird diese Gleichung durch gelöst verschiedene Formeln wir haben die gleiche Antwort erhalten. Wenn Sie die im Diagramm in Abbildung 1 dargestellten Formeln gründlich beherrschen, werden Sie daher immer in der Lage sein, jede vollständige quadratische Gleichung zu lösen.
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Nur. Nach Formeln und klaren, einfachen Regeln. In der ersten Phase
notwendig gegebene Gleichung führen zu Standardansicht, d.h. zum Formular:
Wenn Ihnen die Gleichung bereits in dieser Form vorliegt, müssen Sie den ersten Schritt nicht durchführen. Das Wichtigste ist, es richtig zu machen
Bestimmen Sie alle Koeffizienten, A, B Und C.
Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung.
Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt diskriminierend . Wie Sie sehen können, müssen wir X finden
wir nutzen nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus quadratische Gleichung. Einfach vorsichtig einführen
Werte a, b und c Wir rechnen nach dieser Formel. Wir ersetzen durch ihre Zeichen!
Zum Beispiel, in der Gleichung:
A =1; B = 3; C = -4.
Wir ersetzen die Werte und schreiben:
Das Beispiel ist fast gelöst:
Das ist die Antwort.
Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit Vorzeichenwerten a, b Und Mit. Oder besser gesagt, mit Substitution
negative Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln ein. Hier hilft eine detaillierte Aufzeichnung der Formel
mit bestimmten Nummern. Wenn Sie Probleme mit Berechnungen haben, tun Sie es!
Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:
Hier A = -6; B = -5; C = -1
Wir beschreiben alles ausführlich, sorgfältig, ohne mit all den Zeichen und Klammern etwas zu übersehen:
Quadratische Gleichungen sehen oft etwas anders aus. Zum Beispiel so:
Beachten Sie nun praktische Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren.
Erster Termin. Seien Sie vorher nicht faul Lösen einer quadratischen Gleichung Bringen Sie es in die Standardform.
Was bedeutet das?
Nehmen wir an, dass Sie nach allen Transformationen die folgende Gleichung erhalten:
Beeilen Sie sich nicht, die Grundformel zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c.
Konstruieren Sie das Beispiel richtig. Zuerst X quadriert, dann ohne Quadrat, dann der freie Term. So was:
Beseitigen Sie das Minus. Wie? Wir müssen die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:
Aber jetzt können Sie sicher die Formel für die Wurzeln aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel fertig lösen.
Entscheiden Sie selbst. Sie sollten jetzt Wurzeln 2 und -1 haben.
Zweiter Empfang.Überprüfen Sie die Wurzeln! Von Satz von Vieta.
Um die gegebenen quadratischen Gleichungen zu lösen, d.h. wenn der Koeffizient
x 2 +bx+c=0,
Dannx 1 x 2 =c
x 1 +x 2 =−B
Für eine vollständige quadratische Gleichung, in der a≠1:
x 2 +Bx+C=0,
Teilen Sie die gesamte Gleichung durch A:
→ 
→
Wo x 1 Und X 2 - Wurzeln der Gleichung.
Rezeption Dritter. Wenn Ihre Gleichung gebrochene Koeffizienten hat, entfernen Sie die Brüche! Multiplizieren
Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner.
Abschluss. Praktische Ratschläge:
1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.
2. Wenn vor dem X-Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir alles multiplizieren
Gleichungen um -1.
3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden multiplizieren
Faktor.
4. Wenn x im Quadrat rein ist und sein Koeffizient gleich eins ist, kann die Lösung leicht überprüft werden
Bibliografische Beschreibung: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen // Junger Wissenschaftler. 2016. Nr. 6.1. S. 17-20.02.2019).
In unserem Projekt geht es um Möglichkeiten zur Lösung quadratischer Gleichungen. Projektziel: Lernen, quadratische Gleichungen auf Arten zu lösen, die nicht im Lehrplan der Schule enthalten sind. Aufgabe: Alles finden mögliche Wege Lösen Sie quadratische Gleichungen und lernen Sie, sie selbst anzuwenden und stellen Sie diese Methoden Ihren Klassenkameraden vor.
Was sind „quadratische Gleichungen“?
Quadratische Gleichung- Gleichung der Form Axt2 + bx + c = 0, Wo A, B, C- einige Zahlen ( a ≠ 0), X- unbekannt.
Die Zahlen a, b, c heißen die Koeffizienten der quadratischen Gleichung.
- a heißt erster Koeffizient;
- b wird der zweite Koeffizient genannt;
- c – kostenloses Mitglied.
Wer war der Erste, der quadratische Gleichungen „erfand“?
Einige algebraische Techniken zur Lösung linearer und quadratischer Gleichungen waren bereits vor 4000 Jahren im antiken Babylon bekannt. Die Entdeckung alter babylonischer Tontafeln aus der Zeit zwischen 1800 und 1600 v. Chr. liefert den frühesten Beweis für das Studium quadratischer Gleichungen. Dieselben Tafeln enthalten Methoden zum Lösen bestimmter Arten quadratischer Gleichungen.
Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur ersten, sondern auch zweiten Grades zu lösen, wurde bereits in der Antike durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Ermittlung der Flächen von Grundstücken und Grundstücken zu lösen Erdarbeiten militärischer Natur sowie mit der Entwicklung der Astronomie und Mathematik selbst.
Die in den babylonischen Texten dargelegte Regel zur Lösung dieser Gleichungen stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, es ist jedoch nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel gelangten. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte bieten lediglich Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten, ohne Hinweise darauf, wie sie gefunden wurden. Trotz hohes Niveau Während der Entwicklung der Algebra in Babylon fehlt den keilschriftlichen Texten das Konzept negative Zahl Und allgemeine Methoden Lösen quadratischer Gleichungen.
Babylonische Mathematiker etwa ab dem 4. Jahrhundert v. Chr. verwendete die Quadratkomplementmethode, um Gleichungen mit positiven Wurzeln zu lösen. Um 300 v. Chr Euklid entwickelte eine allgemeinere geometrische Lösungsmethode. Der erste Mathematiker, der Lösungen für Gleichungen mit negativen Wurzeln in der Form fand algebraische Formel, war ein indischer Wissenschaftler Brahmagupta(Indien, 7. Jahrhundert n. Chr.).
Brahmagupta legte eine allgemeine Regel zur Lösung quadratischer Gleichungen fest, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden:
ax2 + bx = c, a>0
Die Koeffizienten in dieser Gleichung können auch negativ sein. Brahmaguptas Herrschaft ist im Wesentlichen dieselbe wie unsere.
Öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme waren in Indien üblich. In einem der alten indischen Bücher heißt es über solche Wettbewerbe: „Wie die Sonne mit ihrem Glanz die Sterne übertrifft, so wird ein gelehrter Mann in öffentlichen Versammlungen seinen Ruhm übertreffen, indem er algebraische Probleme vorschlägt und löst.“ Probleme wurden oft in poetischer Form dargestellt.
In einer algebraischen Abhandlung Al-Khwarizmi Es wird eine Klassifizierung linearer und quadratischer Gleichungen gegeben. Der Autor zählt 6 Arten von Gleichungen und drückt sie wie folgt aus:
1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d. h. ax2 = bx.
2) „Quadrate sind gleich Zahlen“, d. h. ax2 = c.
3) „Die Wurzeln sind gleich der Zahl“, d. h. ax2 = c.
4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d. h. ax2 + c = bx.
5) „Quadrate und Wurzeln sind gleich der Zahl“, d. h. ax2 + bx = c.
6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d. h. bx + c == ax2.
Für Al-Khwarizmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Addenden und keine Subtrahierbaren. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor stellt Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Techniken von al-jabr und al-mukabal vor. Seine Entscheidung stimmt natürlich nicht vollständig mit unserer überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sollte beispielsweise beachtet werden, dass Al-Khorezmi, wie alle Mathematiker bis zum 17. Jahrhundert, bei der Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung erster Art die Nulllösung nicht berücksichtigt. wahrscheinlich, weil es in bestimmten praktischen Aufgaben keine Rolle spielt. Bei der Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen legt Al-Khwarizmi die Lösungsregeln anhand bestimmter numerischer Beispiele und anschließend deren geometrischer Beweise dar.
Formen zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von Al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“ aus dem Jahr 1202 dargelegt. Italienischer Mathematiker Leonard Fibonacci. Der Autor entwickelte eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Lösung von Problemen und war der erste in Europa, der sich der Einführung negativer Zahlen näherte.
Dieses Buch trug zur Verbreitung algebraischer Kenntnisse nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Probleme aus diesem Buch wurden in fast allen europäischen Lehrbüchern des 14.-17. Jahrhunderts verwendet. Allgemeine Regel Die Lösung quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form x2 + bх = с für alle möglichen Kombinationen von Vorzeichen und Koeffizienten b, c, wurde 1544 in Europa formuliert. M. Stiefel.
Herleitung der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in Gesamtansicht Viet hat es, aber Viet erkannte nur positive Wurzeln. Italienische Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli zu den ersten im 16. Jahrhundert. Neben positiven werden auch negative Wurzeln berücksichtigt. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Bemühungen Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern nimmt die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form an.
Schauen wir uns verschiedene Möglichkeiten zur Lösung quadratischer Gleichungen an.
Standardmethoden zur Lösung quadratischer Gleichungen aus dem Schullehrplan:
- Faktorisieren der linken Seite der Gleichung.
- Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.
- Quadratische Gleichungen mit der Formel lösen.
- Grafische Lösung quadratische Gleichung.
- Lösen von Gleichungen mit dem Satz von Vieta.
Lassen Sie uns näher auf die Lösung reduzierter und nicht reduzierter quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta eingehen.
Denken Sie daran, dass es zur Lösung der obigen quadratischen Gleichungen ausreicht, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt gleich dem freien Term ist und deren Summe gleich dem zweiten Koeffizienten mit entgegengesetztem Vorzeichen ist.
Beispiel.X 2 -5x+6=0
Sie müssen Zahlen finden, deren Produkt 6 und deren Summe 5 ist. Diese Zahlen sind 3 und 2.
Antwort: x 1 =2, x 2 =3.
Sie können diese Methode jedoch für Gleichungen verwenden, bei denen der erste Koeffizient ungleich eins ist.
Beispiel.3x 2 +2x-5=0
Nehmen Sie den ersten Koeffizienten und multiplizieren Sie ihn mit dem freien Term: x 2 +2x-15=0
Die Wurzeln dieser Gleichung sind Zahlen, deren Produkt gleich - 15 und deren Summe gleich - 2 ist. Diese Zahlen sind 5 und 3. Um die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zu finden, dividieren Sie die resultierenden Wurzeln durch den ersten Koeffizienten.
Antwort: x 1 =-5/3, x 2 =1
6. Gleichungen mit der „Wurf“-Methode lösen.
Betrachten Sie die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, wobei a≠0.
Wenn wir beide Seiten mit a multiplizieren, erhalten wir die Gleichung a 2 x 2 + abx + ac = 0.
Sei ax = y, woraus x = y/a; dann erhalten wir die Gleichung y 2 + by + ac = 0, die der gegebenen entspricht. Wir finden seine Wurzeln für 1 und 2 mithilfe des Satzes von Vieta.
Wir erhalten schließlich x 1 = y 1 /a und x 2 = y 2 /a.
Bei dieser Methode wird der Koeffizient a mit dem freien Term multipliziert, als wäre er auf ihn „geworfen“, weshalb sie „Wurf“-Methode genannt wird. Diese Methode wird verwendet, wenn Sie die Wurzeln der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta leicht finden können und, was am wichtigsten ist, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.
Beispiel.2x 2 - 11x + 15 = 0.
Lassen Sie uns den Koeffizienten 2 auf den freien Term „werfen“, eine Substitution vornehmen und die Gleichung y 2 - 11y + 30 = 0 erhalten.
Nach dem Umkehrsatz von Vieta
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5;
Antwort: x 1 =2,5; X 2 = 3.
7. Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung.
Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
1. Wenn a+ b + c = 0 (d. h. die Summe der Koeffizienten der Gleichung ist Null), dann ist x 1 = 1.
2. Wenn a - b + c = 0 oder b = a + c, dann ist x 1 = - 1.
Beispiel.345x 2 - 137x - 208 = 0.
Da a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), dann ist x 1 = 1, x 2 = -208/345.
Antwort: x 1 =1; X 2 = -208/345 .
Beispiel.132x 2 + 247x + 115 = 0
Weil a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), dann x 1 = - 1, x 2 = - 115/132
Antwort: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132
Es gibt andere Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung. aber ihre Verwendung ist komplexer.
8. Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm.
Abb. 1. Nomogramm
Es ist alt und aktuell vergessener Weg Lösungen für quadratische Gleichungen, platziert auf S. 83 der Sammlung: Bradis V.M. Vierstellige Mathematiktabellen. - M., Bildung, 1990.
Tabelle XXII. Nomogramm zur Lösung der Gleichung z 2 + pz + q = 0. Dieses Nomogramm ermöglicht es, ohne eine quadratische Gleichung zu lösen, die Wurzeln der Gleichung aus ihren Koeffizienten zu bestimmen.
Die krummlinige Skala des Nomogramms wird nach den Formeln erstellt (Abb. 1):
Glauben OS = p, ED = q, OE = a(alles in cm), aus Abb. 1 Ähnlichkeiten von Dreiecken SAN Und CDF wir bekommen den Anteil
was nach Substitutionen und Vereinfachungen die Gleichung ergibt z 2 + pz + q = 0, und der Brief z bezeichnet die Markierung eines beliebigen Punktes auf einer gekrümmten Skala.
Reis. 2 Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm
Beispiele.
1) Für die Gleichung z 2 - 9z + 8 = 0 Das Nomogramm ergibt die Wurzeln z 1 = 8,0 und z 2 = 1,0
Antwort:8,0; 1,0.
2) Mithilfe eines Nomogramms lösen wir die Gleichung
2z 2 - 9z + 2 = 0.
Teilen Sie die Koeffizienten dieser Gleichung durch 2, wir erhalten die Gleichung z 2 - 4,5z + 1 = 0.
Das Nomogramm ergibt Wurzeln z 1 = 4 und z 2 = 0,5.
Antwort: 4; 0,5.
9. Geometrische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen.
Beispiel.X 2 + 10x = 39.
Im Original wird dieses Problem wie folgt formuliert: „Das Quadrat und die zehn Wurzeln sind gleich 39.“
Betrachten Sie ein Quadrat mit der Seite x. An seinen Seiten werden Rechtecke so konstruiert, dass die andere Seite von jedem von ihnen 2,5 beträgt, daher beträgt die Fläche von jedem 2,5x. Die resultierende Figur wird dann zu einem neuen Quadrat ABCD vervollständigt, wobei in den Ecken vier Quadrate hinzugefügt werden. gleiches Quadrat, die Seite von jedem von ihnen beträgt 2,5 und die Fläche beträgt 6,25
Reis. 3 Grafische Methode zur Lösung der Gleichung x 2 + 10x = 39
Die Fläche S des Quadrats ABCD kann als Summe der Flächen von: dem ursprünglichen Quadrat x 2, vier Rechtecken (4∙2,5x = 10x) und vier zusätzlichen Quadraten (6,25∙4 = 25) dargestellt werden, d. h. S = x 2 + 10x = 25. Wenn wir x 2 + 10x durch die Zahl 39 ersetzen, erhalten wir S = 39 + 25 = 64, was bedeutet, dass die Seite des Quadrats ABCD ist, d. h. Segment AB = 8. Für die benötigte Seite x des ursprünglichen Quadrats erhalten wir
10. Gleichungen mit dem Satz von Bezout lösen.
Satz von Bezout. Der Rest der Division des Polynoms P(x) durch das Binomial x - α ist gleich P(α) (d. h. der Wert von P(x) bei x = α).
Wenn die Zahl α die Wurzel des Polynoms P(x) ist, dann ist dieses Polynom ohne Rest durch x -α teilbar.
Beispiel.x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Teilen Sie P(x) durch (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1 oder x-3=0, x=3; Antwort: x1 =2, x2 =3.
Abschluss: Die Fähigkeit, quadratische Gleichungen schnell und rational zu lösen, ist einfach notwendig, um mehr zu lösen komplexe Gleichungen, Zum Beispiel, gebrochene rationale Gleichungen, Gleichungen höheren Grades, biquadratische Gleichungen und in der High School trigonometrische, exponentielle und logarithmische Gleichungen. Nachdem wir alle gefundenen Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen studiert haben, können wir unseren Klassenkameraden zusätzlich zu den Standardmethoden raten, nach der Übertragungsmethode (6) zu lösen und Gleichungen mithilfe der Koeffizienteneigenschaft (7) zu lösen, da diese leichter zugänglich sind zum Verständnis.
Literatur:
- Bradis V.M. Vierstellige Mathematiktabellen. - M., Bildung, 1990.
- Algebra 8. Klasse: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. Auflage, überarbeitet. - M.: Bildung, 2015
- https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Handbuch für Lehrer. / Ed. V.N. Jünger. - M.: Bildung, 1964.
IN moderne Gesellschaft Die Fähigkeit, Operationen mit Gleichungen durchzuführen, die eine quadrierte Variable enthalten, kann in vielen Tätigkeitsbereichen nützlich sein und wird in der Praxis in wissenschaftlichen und technischen Entwicklungen häufig eingesetzt. Ein Beweis dafür findet sich in der Gestaltung von Schiffen und Flussboote, Flugzeuge und Raketen. Mit solchen Berechnungen lassen sich die Bewegungsbahnen am besten ermitteln verschiedene Körper, einschließlich Weltraumobjekten. Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen werden nicht nur in Wirtschaftsprognosen, beim Entwurf und Bau von Gebäuden, sondern auch in den alltäglichen Alltagssituationen verwendet. Sie können auf Wanderungen, bei Sportveranstaltungen, in Geschäften beim Einkaufen und in anderen sehr häufigen Situationen benötigt werden.
Zerlegen wir den Ausdruck in seine Teilfaktoren
Der Grad einer Gleichung wird durch den Maximalwert des Grades der Variablen bestimmt, die der Ausdruck enthält. Wenn sie gleich 2 ist, heißt eine solche Gleichung quadratisch.
Wenn wir in der Sprache der Formeln sprechen, können die angegebenen Ausdrücke, egal wie sie aussehen, immer dann in die Form gebracht werden, wenn die linke Seite des Ausdrucks aus drei Termen besteht. Darunter: ax 2 (d. h. eine mit ihrem Koeffizienten quadrierte Variable), bx (eine Unbekannte ohne Quadrat mit ihrem Koeffizienten) und c (eine freie Komponente, d. h. eine gewöhnliche Zahl). All dies auf der rechten Seite ist gleich 0. Wenn einem solchen Polynom einer seiner konstituierenden Terme mit Ausnahme von Ax 2 fehlt, spricht man von einer unvollständigen quadratischen Gleichung. Zunächst sollten Beispiele zur Lösung solcher Probleme betrachtet werden, deren Werte der Variablen leicht zu finden sind.
Wenn der Ausdruck so aussieht, als hätte er zwei Terme auf der rechten Seite, genauer gesagt ax 2 und bx, ist der einfachste Weg, x zu finden, die Variable aus Klammern zu setzen. Jetzt sieht unsere Gleichung so aus: x(ax+b). Als nächstes wird deutlich, dass entweder x=0 ist oder das Problem darin besteht, eine Variable aus dem folgenden Ausdruck zu finden: ax+b=0. Dies wird durch eine der Eigenschaften der Multiplikation bestimmt. Die Regel besagt, dass das Produkt zweier Faktoren nur dann 0 ergibt, wenn einer von ihnen Null ist.
Beispiel
x=0 oder 8x - 3 = 0
Als Ergebnis erhalten wir zwei Wurzeln der Gleichung: 0 und 0,375.
Gleichungen dieser Art können die Bewegung von Körpern unter dem Einfluss der Schwerkraft beschreiben, die sich von einem bestimmten Punkt aus zu bewegen begannen, der als Koordinatenursprung genommen wurde. Hier hat die mathematische Notation die folgende Form: y = v 0 t + gt 2 /2. Indem Sie die erforderlichen Werte ersetzen, die rechte Seite mit 0 gleichsetzen und mögliche Unbekannte ermitteln, können Sie die Zeit ermitteln, die vom Aufstehen des Körpers bis zum Absinken vergeht, sowie viele andere Größen. Aber darüber reden wir später.
Faktorisieren eines Ausdrucks
Die oben beschriebene Regel ermöglicht die Lösung dieser Probleme in komplexeren Fällen. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung quadratischer Gleichungen dieses Typs an.
X 2 - 33x + 200 = 0
Das quadratisches Trinom ist abgeschlossen. Lassen Sie uns zunächst den Ausdruck transformieren und faktorisieren. Es gibt zwei davon: (x-8) und (x-25) = 0. Als Ergebnis haben wir zwei Wurzeln 8 und 25.
Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen in der 9. Klasse ermöglichen es dieser Methode, eine Variable nicht nur in Ausdrücken zweiter, sondern sogar dritter und vierter Ordnung zu finden.
Zum Beispiel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Bei der Faktorisierung der rechten Seite in Faktoren mit einer Variablen gibt es drei davon, nämlich (x+1), (x-3) und (x+ 3).
Dadurch wird deutlich, dass diese Gleichung drei Wurzeln hat: -3; -1; 3.
Quadratwurzel
Ein weiterer Fall einer unvollständigen Gleichung zweiter Ordnung ist ein Ausdruck, der in der Buchstabensprache so dargestellt wird, dass die rechte Seite aus den Komponenten ax 2 und c aufgebaut ist. Um den Wert der Variablen zu erhalten, wird hier der freie Term auf die rechte Seite übertragen und anschließend von beiden Seiten der Gleichheit extrahiert Quadratwurzel. Es ist zu beachten, dass es in diesem Fall normalerweise zwei Wurzeln der Gleichung gibt. Die einzigen Ausnahmen können Gleichheiten sein, die überhaupt keinen Term enthalten, bei denen die Variable gleich Null ist, sowie Varianten von Ausdrücken, bei denen die rechte Seite negativ ist. Im letzteren Fall gibt es überhaupt keine Lösungen, da die oben genannten Aktionen nicht mit Roots ausgeführt werden können. Beispiele für Lösungen für quadratische Gleichungen dieser Art sollten berücksichtigt werden.
In diesem Fall sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -4 und 4.
Berechnung der Landfläche
Die Notwendigkeit dieser Art von Berechnungen entstand bereits in der Antike, da die Entwicklung der Mathematik in jenen fernen Zeiten weitgehend von der Notwendigkeit bestimmt wurde, die Flächen und Umfänge von Grundstücken mit größter Genauigkeit zu bestimmen.
Wir sollten auch Beispiele für die Lösung quadratischer Gleichungen betrachten, die auf Problemen dieser Art basieren.
Nehmen wir an, es gibt ein rechteckiges Grundstück, dessen Länge 16 Meter größer ist als die Breite. Sie sollten die Länge, Breite und den Umfang des Geländes ermitteln, wenn Sie wissen, dass seine Fläche 612 m 2 beträgt.
Um zu beginnen, erstellen wir zunächst die erforderliche Gleichung. Bezeichnen wir mit x die Breite des Bereichs, dann beträgt seine Länge (x+16). Aus dem Geschriebenen folgt, dass die Fläche durch den Ausdruck x(x+16) bestimmt wird, der gemäß den Bedingungen unseres Problems 612 beträgt. Das bedeutet, dass x(x+16) = 612.
Das Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen – und dieser Ausdruck ist genau das – kann nicht auf die gleiche Weise erfolgen. Warum? Obwohl die linke Seite noch zwei Faktoren enthält, ist deren Produkt überhaupt nicht gleich 0, sodass hier unterschiedliche Methoden verwendet werden.
Diskriminant
Lassen Sie uns also zunächst die notwendigen Transformationen vornehmen Aussehen Dieser Ausdruck sieht folgendermaßen aus: x 2 + 16x - 612 = 0. Dies bedeutet, dass wir einen Ausdruck in einer Form erhalten haben, die dem zuvor angegebenen Standard entspricht, wobei a=1, b=16, c=-612.
Dies könnte ein Beispiel für die Lösung quadratischer Gleichungen mithilfe einer Diskriminante sein. Hier notwendigen Berechnungen werden nach dem Schema hergestellt: D = b 2 - 4ac. Diese Hilfsgröße ermöglicht nicht nur das Auffinden der benötigten Größen in einer Gleichung zweiter Ordnung, sie bestimmt auch die Menge mögliche Optionen. Wenn D>0, gibt es zwei davon; für D=0 gibt es eine Wurzel. Im Fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Über Wurzeln und ihre Formel
In unserem Fall ist die Diskriminante gleich: 256 – 4(-612) = 2704. Dies deutet darauf hin, dass unser Problem eine Antwort hat. Wenn Sie k kennen, muss die Lösung quadratischer Gleichungen mit der folgenden Formel fortgesetzt werden. Damit können Sie die Wurzeln berechnen.
Das bedeutet im dargestellten Fall: x 1 =18, x 2 =-34. Die zweite Option in diesem Dilemma kann keine Lösung sein, da die Abmessungen des Grundstücks nicht in negativen Größen gemessen werden können, was bedeutet, dass x (also die Breite des Grundstücks) 18 m beträgt. Daraus berechnen wir die Länge: 18 +16=34 und der Umfang 2(34+ 18)=104(m2).
Beispiele und Aufgaben
Wir setzen unser Studium quadratischer Gleichungen fort. Nachfolgend finden Sie Beispiele und detaillierte Lösungen für einige davon.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Verschieben wir alles auf die linke Seite der Gleichheit, führen eine Transformation durch, das heißt, wir erhalten die Art von Gleichung, die normalerweise als Standard bezeichnet wird, und setzen sie mit Null gleich.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Indem wir ähnliche addieren, bestimmen wir die Diskriminante: D = 49 - 48 = 1. Das bedeutet, dass unsere Gleichung zwei Wurzeln hat. Berechnen wir sie nach der obigen Formel, was bedeutet, dass der erste von ihnen 4/3 und der zweite 1 beträgt.
2) Lassen Sie uns nun Rätsel anderer Art lösen.
Lassen Sie uns herausfinden, ob es hier Wurzeln gibt x 2 - 4x + 5 = 1? Um eine umfassende Antwort zu erhalten, reduzieren wir das Polynom auf die entsprechende übliche Form und berechnen die Diskriminante. Im obigen Beispiel ist es nicht notwendig, die quadratische Gleichung zu lösen, da dies überhaupt nicht der Kern des Problems ist. In diesem Fall ist D = 16 - 20 = -4, was bedeutet, dass es wirklich keine Wurzeln gibt.
Satz von Vieta
Es ist praktisch, quadratische Gleichungen mit den obigen Formeln und der Diskriminante zu lösen, wenn aus deren Wert die Quadratwurzel gezogen wird. Aber das passiert nicht immer. Allerdings gibt es in diesem Fall viele Möglichkeiten, die Werte von Variablen zu erhalten. Beispiel: Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Sie ist nach jemandem benannt, der im Frankreich des 16. Jahrhunderts lebte und dank seines mathematischen Talents und seiner Verbindungen am Hof eine glänzende Karriere machte. Sein Porträt ist im Artikel zu sehen.
Das Muster, das dem berühmten Franzosen auffiel, war folgendes. Er bewies, dass sich die Wurzeln der Gleichung numerisch zu -p=b/a addieren und ihr Produkt q=c/a entspricht.
Schauen wir uns nun konkrete Aufgaben an.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Der Einfachheit halber transformieren wir den Ausdruck:
x 2 + 7x - 18 = 0
Verwenden wir den Satz von Vieta. Dies ergibt Folgendes: Die Summe der Wurzeln beträgt -7 und ihr Produkt beträgt -18. Von hier aus erhalten wir, dass die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -9 und 2 sind. Nach der Überprüfung stellen wir sicher, dass diese Variablenwerte wirklich in den Ausdruck passen.
Parabeldiagramm und Gleichung
Die Konzepte der quadratischen Funktion und der quadratischen Gleichungen sind eng miteinander verbunden. Beispiele hierfür wurden bereits früher genannt. Schauen wir uns nun einige mathematische Rätsel etwas genauer an. Jede Gleichung der beschriebenen Art kann visuell dargestellt werden. Eine solche Beziehung, als Diagramm dargestellt, wird Parabel genannt. Die verschiedenen Typen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt, also einen Punkt, von dem aus ihre Äste ausgehen. Wenn a>0, gehen sie hoch ins Unendliche, und wenn a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Visuelle Darstellungen von Funktionen helfen bei der Lösung beliebiger Gleichungen, auch quadratischer. Diese Methode wird als grafisch bezeichnet. Und der Wert der Variablen x ist die Abszissenkoordinate an den Punkten, an denen die Diagrammlinie 0x schneidet. Die Koordinaten des Scheitelpunkts können mit der gerade angegebenen Formel x 0 = -b/2a ermittelt werden. Und indem Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung der Funktion einsetzen, können Sie y 0 herausfinden, also die zweite Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel, die zur Ordinatenachse gehört.
Der Schnittpunkt der Äste einer Parabel mit der Abszissenachse
Es gibt viele Beispiele für die Lösung quadratischer Gleichungen, aber es gibt auch allgemeine Muster. Schauen wir sie uns an. Es ist klar, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der 0x-Achse für a>0 nur möglich ist, wenn 0 negative Werte annimmt. Und für einen<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ansonsten D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Aus dem Diagramm der Parabel können Sie auch die Wurzeln bestimmen. Das Gegenteil ist auch der Fall. Das heißt, wenn Sie ein visuelles Bild erhalten quadratische Funktion Es ist nicht einfach, Sie können die rechte Seite des Ausdrucks mit 0 gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen. Und wenn man die Schnittpunkte mit der 0x-Achse kennt, ist es einfacher, einen Graphen zu erstellen.
Aus der Geschichte
Mithilfe von Gleichungen, die eine quadrierte Variable enthielten, wurden früher nicht nur mathematische Berechnungen durchgeführt und die Flächen geometrischer Figuren bestimmt. Die Menschen der Antike brauchten solche Berechnungen für große Entdeckungen in der Physik und Astronomie sowie für astrologische Vorhersagen.
Wie moderne Wissenschaftler vermuten, gehörten die Bewohner Babylons zu den ersten, die quadratische Gleichungen lösten. Dies geschah vier Jahrhunderte vor unserer Zeitrechnung. Natürlich unterschieden sich ihre Berechnungen radikal von den derzeit akzeptierten und erwiesen sich als viel primitiver. Beispielsweise hatten die mesopotamischen Mathematiker keine Ahnung von der Existenz negativer Zahlen. Sie waren auch mit anderen Feinheiten nicht vertraut, die jedes moderne Schulkind kennt.
Vielleicht noch früher als die Wissenschaftler Babylons begann der Weise aus Indien Baudhayama, quadratische Gleichungen zu lösen. Dies geschah etwa acht Jahrhunderte vor der Ära Christi. Zwar waren die Gleichungen zweiter Ordnung und die von ihm angegebenen Lösungsmethoden die einfachsten. Außer ihm interessierten sich früher auch chinesische Mathematiker für ähnliche Fragen. In Europa begann man erst zu Beginn des 13. Jahrhunderts mit der Lösung quadratischer Gleichungen, später wurden sie jedoch von so großen Wissenschaftlern wie Newton, Descartes und vielen anderen in ihren Werken verwendet.
Quadratische Gleichung – einfach zu lösen! *Im Folgenden „KU“ genannt. Freunde, es scheint, dass es in der Mathematik nichts Einfacheres geben könnte, als eine solche Gleichung zu lösen. Aber irgendetwas sagte mir, dass viele Menschen Probleme mit ihm haben. Ich beschloss, zu sehen, wie viele On-Demand-Impressionen Yandex pro Monat ausgibt. Hier ist, was passiert ist, schauen Sie:
Was bedeutet es? Das bedeutet, dass monatlich etwa 70.000 Menschen nach diesen Informationen suchen, und dies ist Sommer und was im Laufe des Schuljahres passieren wird – es wird doppelt so viele Anfragen geben. Das ist nicht verwunderlich, denn nach diesen Informationen suchen die Jungs und Mädels, die schon vor langer Zeit ihren Schulabschluss gemacht haben und sich auf das Einheitliche Staatsexamen vorbereiten, und auch Schulkinder bemühen sich, ihr Gedächtnis aufzufrischen.
Trotz der Tatsache, dass es viele Websites gibt, die Ihnen erklären, wie Sie diese Gleichung lösen können, habe ich beschlossen, auch einen Beitrag zu leisten und das Material zu veröffentlichen. Erstens möchte ich, dass Besucher aufgrund dieser Anfrage auf meine Website gelangen. Zweitens werde ich in anderen Artikeln, wenn das Thema „KU“ auftaucht, einen Link zu diesem Artikel bereitstellen; Drittens erzähle ich Ihnen etwas mehr über seine Lösung, als normalerweise auf anderen Websites angegeben wird. Fangen wir an! Inhalt des Artikels:
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:
wo Koeffizienten ein,Bund c sind beliebige Zahlen mit a≠0.
Im Schulkurs wird der Stoff in folgender Form vermittelt – die Gleichungen sind in drei Klassen eingeteilt:
1. Sie haben zwei Wurzeln.
2. *Nur eine Wurzel haben.
3. Sie haben keine Wurzeln. Besonders hervorzuheben ist hier, dass sie keine wirklichen Wurzeln haben
Wie werden Wurzeln berechnet? Nur!
Wir berechnen die Diskriminante. Unter diesem „schrecklichen“ Wort verbirgt sich eine ganz einfache Formel:
Die Grundformeln lauten wie folgt:
*Sie müssen diese Formeln auswendig kennen.
Sie können sofort aufschreiben und lösen:
Beispiel:
1. Wenn D > 0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.
2. Wenn D = 0, dann hat die Gleichung eine Wurzel.
3. Wenn D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Schauen wir uns die Gleichung an:
Wenn die Diskriminante gleich Null ist, sagt der Schulkurs in diesem Zusammenhang, dass eine Wurzel erhalten wird, hier ist sie gleich neun. Alles ist richtig, es ist so, aber...
Diese Idee ist etwas falsch. Tatsächlich gibt es zwei Wurzeln. Ja, ja, wundern Sie sich nicht, es sind zwei gleiche Wurzeln, und um mathematisch genau zu sein, sollte die Antwort zwei Wurzeln enthalten:
x 1 = 3 x 2 = 3
Aber das ist so - ein kleiner Exkurs. In der Schule kann man es aufschreiben und sagen, dass es eine Wurzel gibt.
Nun das nächste Beispiel:
Wie wir wissen, kann die Wurzel einer negativen Zahl nicht gezogen werden, daher gibt es in diesem Fall keine Lösung.
Das ist der gesamte Entscheidungsprozess.
Quadratische Funktion.
Dies zeigt, wie die Lösung geometrisch aussieht. Es ist äußerst wichtig, dies zu verstehen (in einem der Artikel werden wir in Zukunft die Lösung der quadratischen Ungleichung im Detail analysieren).
Dies ist eine Funktion der Form:
wobei x und y Variablen sind
a, b, c – gegebene Zahlen, mit a ≠ 0
Der Graph ist eine Parabel:
Das heißt, es stellt sich heraus, dass wir durch Lösen einer quadratischen Gleichung mit „y“ gleich Null die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse finden. Es kann zwei dieser Punkte geben (die Diskriminante ist positiv), einen (die Diskriminante ist Null) und keinen (die Diskriminante ist negativ). Details zur quadratischen Funktion Du kannst schauen Artikel von Inna Feldman.
Schauen wir uns Beispiele an:
Beispiel 1: Lösen 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Antwort: x 1 = 8 x 2 = –12
*Es war möglich, die linke und rechte Seite der Gleichung sofort durch 2 zu dividieren, also zu vereinfachen. Die Berechnungen werden einfacher.
Beispiel 2: Entscheiden x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Wir haben herausgefunden, dass x 1 = 11 und x 2 = 11
Es ist zulässig, in der Antwort x = 11 zu schreiben.
Antwort: x = 11
Beispiel 3: Entscheiden x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Lösung in reellen Zahlen.
Antwort: keine Lösung
Die Diskriminante ist negativ. Es gibt eine Lösung!
Hier werden wir über die Lösung der Gleichung für den Fall sprechen, dass eine negative Diskriminante erhalten wird. Weißt du etwas darüber? komplexe Zahlen? Ich werde hier nicht im Detail darauf eingehen, warum und wo sie entstanden sind und welche spezifische Rolle und Notwendigkeit sie in der Mathematik haben. Dies ist ein Thema für einen großen separaten Artikel.
Das Konzept einer komplexen Zahl.
Eine kleine Theorie.
Eine komplexe Zahl z ist eine Zahl der Form
z = a + bi
wo a und b sind reelle Zahlen, i ist die sogenannte imaginäre Einheit.
a+bi – Dies ist eine EINZELNE ZAHL, keine Addition.
Die imaginäre Einheit ist gleich der Wurzel aus minus eins:
Betrachten Sie nun die Gleichung:
Wir erhalten zwei konjugierte Wurzeln.
Unvollständige quadratische Gleichung.
Betrachten wir Sonderfälle, in denen der Koeffizient „b“ oder „c“ gleich Null ist (oder beide gleich Null sind). Sie können leicht und ohne Diskriminanten gelöst werden.
Fall 1. Koeffizient b = 0.
Die Gleichung lautet:
Lassen Sie uns transformieren:
Beispiel:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Fall 2. Koeffizient c = 0.
Die Gleichung lautet:
Lassen Sie uns transformieren und faktorisieren:
*Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Beispiel:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 oder x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Fall 3. Koeffizienten b = 0 und c = 0.
Hier ist klar, dass die Lösung der Gleichung immer x = 0 sein wird.
Nützliche Eigenschaften und Muster von Koeffizienten.
Es gibt Eigenschaften, mit denen Sie Gleichungen mit großen Koeffizienten lösen können.
AX 2 + bx+ C=0 Gleichheit gilt
A + B+ c = 0, Das
- wenn für die Koeffizienten der Gleichung AX 2 + bx+ C=0 Gleichheit gilt
A+ c =B, Das
Diese Eigenschaften helfen bei der Lösung einer bestimmten Art von Gleichung.
Beispiel 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
Die Summe der Quoten beträgt 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, was bedeutet
Beispiel 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Gleichheit gilt A+ c =B, Bedeutet
Regelmäßigkeiten der Koeffizienten.
1. Wenn in der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 der Koeffizient „b“ gleich (a 2 +1) ist und der Koeffizient „c“ numerisch gleich dem Koeffizienten „a“ ist, dann sind seine Wurzeln gleich
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Wenn in der Gleichung ax 2 – bx + c = 0 der Koeffizient „b“ gleich (a 2 +1) ist und der Koeffizient „c“ numerisch gleich dem Koeffizienten „a“ ist, dann sind seine Wurzeln gleich
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Wenn in Gl. ax 2 + bx – c = 0 Koeffizient „b“ ist gleich (a 2 – 1) und Koeffizient „c“ ist numerisch gleich dem Koeffizienten „a“, dann sind seine Wurzeln gleich
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Wenn in der Gleichung ax 2 – bx – c = 0 der Koeffizient „b“ gleich (a 2 – 1) ist und der Koeffizient c numerisch gleich dem Koeffizienten „a“ ist, dann sind seine Wurzeln gleich
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Satz von Vieta.
Der Satz von Vieta ist nach dem berühmten französischen Mathematiker Francois Vieta benannt. Mit dem Satz von Vieta können wir die Summe und das Produkt der Wurzeln einer beliebigen KU durch ihre Koeffizienten ausdrücken.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Insgesamt ergibt die Zahl 14 nur 5 und 9. Das sind Wurzeln. Mit einer gewissen Geschicklichkeit können Sie mit dem vorgestellten Theorem viele quadratische Gleichungen sofort mündlich lösen.
Zusätzlich der Satz von Vieta. Dies ist praktisch, nachdem die quadratische Gleichung gelöst wurde in gewohnter Weise(durch die Diskriminante) können die resultierenden Wurzeln überprüft werden. Ich empfehle, dies immer zu tun.
TRANSPORTMETHODE
Bei dieser Methode wird der Koeffizient „a“ mit dem freien Term multipliziert, als ob er darauf „geworfen“ würde, weshalb er aufgerufen wird „Transfer“-Methode. Diese Methode wird verwendet, wenn Sie die Wurzeln der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta leicht finden können und, was am wichtigsten ist, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.
Wenn A± b+c≠ 0, dann kommt die Übertragungstechnik zum Einsatz, zum Beispiel:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Mit dem Satz von Vieta in Gleichung (2) lässt sich leicht bestimmen, dass x 1 = 10 x 2 = 1
Die resultierenden Wurzeln der Gleichung müssen durch 2 geteilt werden (da die beiden aus x 2 „geworfen“ wurden), erhalten wir
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Was ist die Begründung? Schauen Sie, was passiert.
Die Diskriminanten der Gleichungen (1) und (2) sind gleich:
Wenn man sich die Wurzeln der Gleichungen anschaut, erhält man nur unterschiedliche Nenner, und das Ergebnis hängt genau vom Koeffizienten von x 2 ab:
Der zweite (modifizierte) hat Wurzeln, die doppelt so groß sind.
Daher dividieren wir das Ergebnis durch 2.
*Wenn wir die Drei erneut würfeln, dividieren wir das Ergebnis durch 3 usw.
Antwort: x 1 = 5 x 2 = 0,5
Quadrat. ur-ie und Einheitliches Staatsexamen.
Ich erzähle Ihnen kurz, wie wichtig es ist – Sie müssen in der Lage sein, schnell und ohne nachzudenken zu entscheiden, Sie müssen die Formeln für Wurzeln und Diskriminanten auswendig kennen. Bei vielen Problemen, die in den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens enthalten sind, geht es darum, eine quadratische Gleichung (einschließlich geometrischer) zu lösen.
Etwas Erwähnenswertes!
1. Die Form des Schreibens einer Gleichung kann „implizit“ sein. Beispielsweise ist folgender Eintrag möglich:
15+ 9x 2 - 45x = 0 oder 15x+42+9x 2 - 45x=0 oder 15 -5x+10x 2 = 0.
Sie müssen es in eine Standardform bringen (um bei der Lösung nicht verwirrt zu werden).
2. Denken Sie daran, dass x eine unbekannte Größe ist und mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden kann – t, q, p, h und anderen.
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