Geometrische Definition von Eigenschaftswahrscheinlichkeitsbeispielen. Geometrische Wahrscheinlichkeiten

Ein weiteres Schema zur Beschreibung von Experimenten mit mehrdeutig vorhergesagten Ergebnissen, das es ermöglicht, ganz einfach ein quantitatives Merkmal der Durchführbarkeit eines bestimmten Ereignisses einzuführen, ist das Schema der geometrischen Wahrscheinlichkeiten, das wie das oben diskutierte Fallschema die Idee von nutzt ​​Gleichmöglichkeit der Ergebnisse des Experiments. Ähnlich wie im Falldiagramm wird ein quantitatives Merkmal der Durchführbarkeit eines Ereignisses – seine Wahrscheinlichkeit – als ein auf irgendeine Weise normalisierter Wert definiert, der proportional zum Bestand an Ergebnissen ist, die das Eintreten des Ereignisses begünstigen. Die Ergebnismenge des untersuchten Experiments kann als eine Menge von P Punkten eines „geometrischen Kontinuums“ beschrieben werden – jedes Ergebnis entspricht einem bestimmten Punkt und jeder Punkt entspricht einem bestimmten Ergebnis. Das „geometrische Kontinuum“ Q kann ein Segment auf einer Geraden, ein Bogen einer korrigierbaren Kurve auf einer Ebene oder im Raum, eine quadrierbare Menge auf einer Ebene (Dreieck, Rechteck, Kreis, Ellipse usw.) oder ein Teil davon sein eine quadrierbare Fläche, ein bestimmtes Volumen im Raum (Polyeder – Prisma, Pyramide, Kugel, Ellipsoid usw.) Ein Ereignis ist jede quadrierbare Teilmenge einer Menge. Wie im Fallschema besteht ein Ereignis jedoch aus Punkten und Konvergenzen. Nicht irgendeine Menge von Ergebnissen bildet ein Ereignis, sondern nur eines, dessen Maß (Länge, Fläche, Volumen) wir messen können. Unter der Annahme gleicher Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse nennen wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A eine Zahl, die proportional zum Maß der Teilmenge A der Menge P ist: Geometrische Wahrscheinlichkeiten Wenn 0 ein Ereignis ist, das in einem bestimmten Experiment unmöglich ist, und Q zuverlässig ist, dann setzen wir P(0) = O, = 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird zwischen Null – der Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses und Eins – der Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses4* geschlossen. Die Normalisierungsbedingung ermöglicht es uns, die Konstante k zu finden – den Proportionalitätskoeffizienten, der die Wahrscheinlichkeit angibt. Es stellt sich heraus, dass es gleich ist. Im Schema der geometrischen Wahrscheinlichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses definiert als das Verhältnis des Maßes der Teilmenge A, die das Ereignis beschreibt, zum Maß der Menge il, die das Experiment als Ganzes beschreibt : Beachten wir einige Eigenschaften dieser definierten Wahrscheinlichkeit: Die Eigenschaft ergibt sich offensichtlich aus der Tatsache, dass die Menge, die in einer anderen enthalten ist, nicht größer sein kann als diese. Wie im Schema der Fälle können Ereignisse im Schema der geometrischen Wahrscheinlichkeiten vereint, kombiniert und auf ihrer Grundlage die entgegengesetzten Ereignisse konstruiert werden – in diesem Fall werden im Allgemeinen Ereignisse erhalten, die sich von den ursprünglichen unterscheiden. Nächste Eigenschaft sehr wichtig. 3. Wenn Ereignisse inkompatibel sind, dann gilt insbesondere das Komplementaritätsprinzip: Diese Eigenschaft, üblicherweise Regel der Addition von Wahrscheinlichkeiten genannt, folgt offensichtlich aus der Additivität des Maßes5*. Zusammenfassend stellen wir fest, dass die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ergebnis im Schema der geometrischen Wahrscheinlichkeiten eintritt, immer gleich Null ist, genauso wie die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses, das durch eine „dünne“ Menge von Punkten beschrieben wird, gleich Null ist, d. h. eine Menge, deren Maß (Länge, Fläche bzw. Volumen) Null ist. Schauen wir uns einige Beispiele an, um die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten im geometrischen Wahrscheinlichkeitsschema zu veranschaulichen. Beispiel 1. Das Experiment besteht aus der zufälligen Auswahl eines Punktes aus dem Segment [a, 6|. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt ausgewählt wird, der in der linken Hälfte des betrachteten Segments liegt.