Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b *a c = a b+c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Exponenten. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo Sie umständliche Multiplikationen durch einfache Addition vereinfachen müssen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. In einfacher und zugänglicher Sprache.
Definition in der Mathematik
Ein Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus einer beliebigen nicht negativen (d. h. positiven) Zahl „b“ zu ihrer Basis „a“ wird als Potenz „c“ betrachtet ” auf die es notwendig ist, die Basis „a“ anzuheben, um letztendlich den Wert „b“ zu erhalten. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach: Sie müssen eine solche Potenz finden, dass Sie von 2 bis zur erforderlichen Potenz 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das stimmt, denn 2 hoch 3 ergibt eine 8.
Arten von Logarithmen
Für viele Schüler und Studenten erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Es gibt drei verschiedene Arten logarithmischer Ausdrücke:
- Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl ist (e = 2,7).
- Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
- Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.
Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen einzelnen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die richtigen Werte von Logarithmen zu erhalten, sollten Sie sich beim Lösen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.
Regeln und einige Einschränkungen
In der Mathematik gibt es mehrere Regeln und Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie unterliegen keiner Diskussion und sind die Wahrheit. Beispielsweise ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu dividieren, und es ist auch unmöglich, die gerade Wurzel negativer Zahlen zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:
- Die Basis „a“ muss immer größer als Null und nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, da „1“ und „0“ in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
- Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ ebenfalls größer als Null sein muss.
Wie löst man Logarithmen?
Zum Beispiel wird die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x = 100 zu finden. Das ist sehr einfach, Sie müssen eine Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 = 100.
Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun in logarithmischer Form darstellen. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen, um die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten.
Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht so aus:
Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über technisches Verständnis und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Für größere Werte benötigen Sie jedoch eine Leistungstabelle. Es kann auch von Personen verwendet werden, die überhaupt keine Ahnung von komplexen mathematischen Themen haben. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe gibt den Wert der Potenz c an, mit der die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt enthalten die Zellen die Zahlenwerte, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der wahrste Humanist es verstehen wird!
Gleichungen und Ungleichungen
Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichheit geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus zur Basis 3 von 81 gleich vier geschrieben werden (log 3 81 = 4). Für negative Mächte Die Regeln sind die gleichen: 2 -5 = 1/32, wir schreiben es als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden uns unten Beispiele und Lösungen der Gleichungen ansehen, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.
Gegeben sei ein Ausdruck der folgenden Form: log 2 (x-1) > 3 – das ist es logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gewünschten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.
Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während bei der Lösung einer Ungleichung beide Bereiche akzeptabel sind Werte und die Punkte werden durch Brechen dieser Funktion bestimmt. Folglich handelt es sich bei der Antwort nicht um eine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Antwort auf eine Gleichung, sondern um eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.
Grundlegende Sätze über Logarithmen
Bei der Lösung primitiver Aufgaben zur Ermittlung der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später Beispiele für Gleichungen ansehen; schauen wir uns zunächst jede Eigenschaft genauer an.
- Die Hauptidentität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
- Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In diesem Fall lautet die obligatorische Bedingung: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese logarithmische Formel mit Beispielen und Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2, dann a f1 = s 1, a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Eigenschaften von Grad ), und dann per Definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden musste.
- Der Logarithmus des Quotienten sieht folgendermaßen aus: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Der Satz in Form einer Formel übernimmt nächste Ansicht: log a q b n = n/q log a b.
Diese Formel wird „Eigenschaft des Logarithmusgrades“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf natürlichen Postulaten basiert. Schauen wir uns den Beweis an.
Sei log a b = t, es ergibt sich a t =b. Potenzieren wir beide Teile m: a tn = b n ;
aber da a tn = (a q) nt/q = b n, also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.
Beispiele für Probleme und Ungleichheiten
Die häufigsten Arten von Logarithmenproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch Pflichtbestandteil von Mathematikprüfungen. Für die Zulassung zum Studium oder das Bestehen Aufnahmeprüfungen In der Mathematik muss man wissen, wie man solche Probleme richtig löst.
Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zur Lösung und Bestimmung des unbekannten Wertes des Logarithmus, aber bestimmte Regeln können auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder vereinfacht werden kann allgemeines Erscheinungsbild. Vereinfachen Sie lange logarithmische Ausdrücke möglich, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig nutzen. Lernen wir sie schnell kennen.
Beim Lösen logarithmischer Gleichungen müssen wir bestimmen, um welche Art von Logarithmus es sich handelt: Ein Beispielausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.
Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass sie die Potenz bestimmen müssen, mit der die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Um natürliche Logarithmen zu lösen, müssen Sie logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Art an.
So verwenden Sie Logarithmusformeln: mit Beispielen und Lösungen
Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der grundlegenden Sätze über Logarithmen an.
- Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist großer Wert Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen können, ist es uns mithilfe der vierten Eigenschaft der Logarithmuspotenz gelungen, einen scheinbar komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Sie müssen lediglich die Basis faktorisieren und dann die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnehmen.
Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen
Logarithmen kommen häufig in Aufnahmeprüfungen vor, insbesondere viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabsolventen). Typischerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Prüfungsteil der Prüfung) enthalten, sondern auch in Teil C (die komplexesten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung erfordert genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“.
Beispiele und Problemlösungen stammen aus offiziellen Quellen Optionen für das einheitliche Staatsexamen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.
Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2, durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4, also 2x = 17; x = 8,5.
- Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
- Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn daher der Exponent eines Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht und dessen Basis ist, als Multiplikator herausgenommen wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.
Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (a>0, a ist ungleich 1) ist eine Zahl c mit a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Beachten Sie, dass der Logarithmus einer nicht positiven Zahl undefiniert ist. Außerdem muss die Basis des Logarithmus eine positive Zahl sein, die ungleich 1 ist. Wenn wir beispielsweise -2 quadrieren, erhalten wir die Zahl 4, aber das bedeutet nicht, dass der Logarithmus zur Basis -2 von 4 gleich ist bis 2.
Grundlegende logarithmische Identität
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Es ist wichtig, dass der Definitionsbereich der rechten und linken Seite dieser Formel unterschiedlich ist. Die linke Seite ist nur für b>0, a>0 und a ≠ 1 definiert. Die rechte Seite ist für jedes b definiert und hängt überhaupt nicht von a ab. Somit kann die Anwendung der grundlegenden logarithmischen „Identität“ beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen zu einer Änderung der OD führen.
Zwei offensichtliche Konsequenzen der Definition des Logarithmus
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Tatsächlich erhalten wir dieselbe Zahl, wenn wir die Zahl a auf die erste Potenz erhöhen, und wenn wir sie auf die Nullpotenz erhöhen, erhalten wir eins.
Logarithmus des Produkts und Logarithmus des Quotienten
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Ich möchte Schulkinder davor warnen, diese Formeln unbedacht beim Lösen logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen zu verwenden. Wenn man sie „von links nach rechts“ verwendet, verengt sich die ODZ, und wenn man von der Summe oder Differenz der Logarithmen zum Logarithmus des Produkts oder Quotienten übergeht, erweitert sich die ODZ.
Tatsächlich wird der Ausdruck log a (f (x) g (x)) in zwei Fällen definiert: wenn beide Funktionen streng positiv sind oder wenn f(x) und g(x) beide kleiner als Null sind.
Wenn wir diesen Ausdruck in die Summe log a f (x) + log a g (x) umwandeln, müssen wir uns nur auf den Fall beschränken, wenn f(x)>0 und g(x)>0. Es kommt zu einer Einengung des akzeptablen Wertebereichs, was grundsätzlich inakzeptabel ist, da es zum Lösungsverlust führen kann. Ein ähnliches Problem besteht für Formel (6).
Der Grad kann aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Und noch einmal möchte ich zur Genauigkeit aufrufen. Betrachten Sie das folgende Beispiel:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Die linke Seite der Gleichheit ist offensichtlich für alle Werte von f(x) außer Null definiert. Die rechte Seite gilt nur für f(x)>0! Indem wir den Grad aus dem Logarithmus herausnehmen, grenzen wir die ODZ erneut ein. Das umgekehrte Vorgehen führt zu einer Erweiterung des zulässigen Wertebereichs. Alle diese Bemerkungen gelten nicht nur für Potenz 2, sondern auch für jede gerade Potenz.
Formel für den Umzug in eine neue Stiftung
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Der seltene Fall, dass sich die ODZ während der Transformation nicht ändert. Wenn Sie die Basis c mit Bedacht gewählt haben (positiv und ungleich 1), ist die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis völlig sicher.
Wenn wir die Zahl b als neue Basis c wählen, erhalten wir eine wichtige Sonderfall Formeln (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Einige einfache Beispiele mit Logarithmen
Beispiel 1. Berechnen Sie: log2 + log50.
Lösung. log2 + log50 = log100 = 2. Wir haben die Formel für die Summe der Logarithmen (5) und die Definition des Dezimallogarithmus verwendet.
Beispiel 2. Berechnen Sie: lg125/lg5.
Lösung. log125/log5 = log 5 125 = 3. Wir haben die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis (8) verwendet.
Formeltabelle für Logarithmen
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Dies kann beispielsweise ein Taschenrechner aus der Grundausstattung an Programmen sein Betriebssystem Windows. Der Link zum Starten ist ganz versteckt im Hauptmenü des Betriebssystems – öffnen Sie es, indem Sie auf die Schaltfläche „Start“ klicken, öffnen Sie dann den Abschnitt „Programme“, gehen Sie zum Unterabschnitt „Standard“ und dann zu „Dienstprogramme“. Abschnitt und klicken Sie abschließend auf den Punkt „Rechner“ Anstatt die Maus zu verwenden und durch Menüs zu navigieren, können Sie die Tastatur und den Programmstartdialog verwenden – drücken Sie die Tastenkombination WIN + R, geben Sie calc ein (das ist der Name der ausführbaren Datei des Rechners) und drücken Sie die Eingabetaste.
Schalten Sie die Rechneroberfläche in den erweiterten Modus, sodass Sie Folgendes tun können: Standardmäßig wird es in der „normalen“ Ansicht geöffnet, Sie benötigen jedoch „Engineering“ oder „ “ (abhängig von der Version des Betriebssystems, das Sie verwenden). Erweitern Sie den Abschnitt „Ansicht“ im Menü und wählen Sie die entsprechende Zeile aus.
Geben Sie das Argument ein, dessen natürlicher Wert Sie bewerten möchten. Dies kann entweder über die Tastatur oder durch Klicken auf die entsprechenden Schaltflächen in der Rechneroberfläche auf dem Bildschirm erfolgen.
Klicken Sie auf die Schaltfläche „ln“ – das Programm berechnet den Logarithmus zur Basis e und zeigt das Ergebnis an.
Verwenden Sie einen der -Rechner als Alternative zur Berechnung des Werts des natürlichen Logarithmus. Zum Beispiel die, die sich unter befindet http://calc.org.ua. Die Benutzeroberfläche ist äußerst einfach – es gibt ein einziges Eingabefeld, in das Sie den Wert der Zahl eingeben müssen, deren Logarithmus Sie berechnen möchten. Suchen Sie unter den Schaltflächen die Schaltfläche mit der Aufschrift „ln“ und klicken Sie darauf. Das Skript dieses Rechners erfordert nicht das Senden von Daten an den Server und eine Antwort, sodass Sie das Berechnungsergebnis fast sofort erhalten. Die einzige Besonderheit, die berücksichtigt werden sollte, ist, dass das Trennzeichen zwischen dem gebrochenen und dem ganzzahligen Teil der eingegebenen Zahl ein Punkt und nicht sein muss.
Der Begriff „ Logarithmus„ kommt von zwei griechischen Wörtern, von denen eines „Zahl“ und das andere „Verhältnis“ bedeutet. Es bezeichnet die mathematische Operation zur Berechnung einer variablen Größe (Exponent), auf die ein konstanter Wert (Basis) erhöht werden muss, um die unter dem Vorzeichen angegebene Zahl zu erhalten Logarithmus A. Wenn die Basis einer mathematischen Konstante entspricht, die als Zahl „e“ bezeichnet wird, dann Logarithmus„natürlich“ genannt.
Sie werden brauchen
- Internetzugang, Microsoft Office Excel oder Taschenrechner.
Anweisungen
Nutzen Sie die vielen im Internet verfügbaren Rechner – dies ist möglicherweise eine einfache Möglichkeit, die natürliche a zu berechnen. Sie müssen nicht nach dem entsprechenden Dienst suchen, da viele Suchmaschinen und selbst haben eingebaute Taschenrechner, die sich gut zum Arbeiten eignen Logarithmus ami. Besuchen Sie beispielsweise die Hauptseite der größten Online-Suchmaschine – Google. Hier sind keine Schaltflächen zur Eingabe von Werten oder zur Auswahl von Funktionen erforderlich. Geben Sie einfach die gewünschte mathematische Aktion in das Abfrageeingabefeld ein. Sagen wir, um zu berechnen Logarithmus und die Zahl 457 in der Basis „e“, geben Sie ln 457 ein – dies reicht aus, damit Google mit einer Genauigkeit von acht Dezimalstellen (6.12468339) anzeigt, auch ohne die Schaltfläche zum Senden einer Anfrage an den Server zu drücken.
Verwenden Sie die entsprechende integrierte Funktion, wenn Sie den Wert eines natürlichen Werts berechnen müssen Logarithmus und tritt auf, wenn mit Daten im beliebten Tabellenkalkulationseditor Microsoft Office Excel gearbeitet wird. Diese Funktion wird hier in der üblichen Notation aufgerufen Logarithmus und in Großbuchstaben - LN. Wählen Sie die Zelle aus, in der das Berechnungsergebnis angezeigt werden soll, und geben Sie ein Gleichheitszeichen ein. So sollen in diesem Tabellenkalkulationseditor Datensätze in den Zellen beginnen, die sich im Unterabschnitt „Standard“ des Abschnitts „Alle Programme“ des Hauptmenüs befinden. Schalten Sie den Rechner in einen funktionaleren Modus, indem Sie die Tastenkombination Alt + 2 drücken. Geben Sie dann den Wert ein, natürlich Logarithmus die Sie berechnen möchten, und klicken Sie in der Programmoberfläche auf die mit den Symbolen ln gekennzeichnete Schaltfläche. Die Anwendung führt die Berechnung durch und zeigt das Ergebnis an.
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Nimm oft eine Nummer e = 2,718281828 . Auf dieser Basis basierende Logarithmen werden aufgerufen natürlich. Bei Berechnungen mit natürlichen Logarithmen wird üblicherweise mit dem Vorzeichen gearbeitet lN, nicht Protokoll; während die Zahl 2,718281828 , die die Basis definieren, sind nicht angegeben.
Mit anderen Worten, die Formulierung sieht so aus: natürlicher Logarithmus Zahlen X- Dies ist ein Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss e zu bekommen X.
Also, ln(7.389...)= 2, da e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e= 1 weil e 1 =e, und der natürliche Logarithmus der Einheit ist seitdem Null e 0 = 1.
Die Nummer selbst e definiert den Grenzwert einer monoton begrenzten Folge
das wird berechnet e = 2,7182818284... .
Um eine Zahl im Gedächtnis zu fixieren, werden die Ziffern der benötigten Zahl häufig mit einem ausstehenden Datum verknüpft. Geschwindigkeit beim Auswendiglernen der ersten neun Ziffern einer Zahl e Nachkomma wird erhöht, wenn Sie beachten, dass 1828 das Geburtsjahr von Leo Tolstoi ist!
Heutzutage gibt es ziemlich vollständige Tabellen natürlicher Logarithmen.
Natürliches Logarithmusdiagramm(Funktionen y=ln x) ist eine Folge des Exponentialgraphen als Spiegelbild der Geraden y = x und hat die Form:
Der natürliche Logarithmus lässt sich für jede positive reelle Zahl ermitteln A als Fläche unter der Kurve j = 1/X aus 1 Zu A.
Der elementare Charakter dieser Formulierung, der mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, in denen der natürliche Logarithmus eine Rolle spielt, war der Grund für die Namensbildung „natürlich“.
Wenn Sie analysieren natürlicher Logarithmus, als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann wirkt es Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion, die sich auf die Identitäten reduziert:
e ln(a) =a (a>0)
ln(ea) =a
Analog zu allen Logarithmen wandelt der natürliche Logarithmus Multiplikation in Addition und Division in Subtraktion um:
ln(xy) = ln(X) + ln(j)
ln(x/y)= lnx - lny
Der Logarithmus kann für jede positive Basis ungleich eins gefunden werden, nicht nur für e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich vom natürlichen Logarithmus nur um einen konstanten Faktor und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert.
Nach der Analyse natürlicher Logarithmus-Graph, Wir stellen fest, dass es für positive Werte der Variablen existiert X. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.
Bei X → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( -∞ ).Bei x → +∞ der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist plus unendlich ( + ∞ ). Im Großen und Ganzen X Der Logarithmus steigt recht langsam an. Jede Leistungsfunktion xa mit positivem Exponenten A steigt schneller als der Logarithmus. Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf.
Verwendung natürliche Logarithmen sehr rational beim Passieren Höhere Mathematik. Daher ist die Verwendung des Logarithmus praktisch, um die Antwort auf Gleichungen zu finden, in denen Unbekannte als Exponenten auftreten. Die Verwendung natürlicher Logarithmen in Berechnungen ermöglicht eine erhebliche Vereinfachung große Zahl mathematische Formeln. Logarithmen zur Basis e sind bei der Lösung einer erheblichen Anzahl physikalischer Probleme beteiligt und fließen selbstverständlich in die mathematische Beschreibung einzelner chemischer, biologischer und anderer Prozesse ein. Daher werden Logarithmen zur Berechnung der Zerfallskonstante für eine bekannte Halbwertszeit oder zur Berechnung der Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen verwendet. Sie spielen in vielen Bereichen der Mathematik und Mathematik eine führende Rolle praktische Wissenschaften Sie werden im Finanzbereich zur Lösung herangezogen große Zahl Aufgaben, einschließlich der Berechnung des Zinseszinses.
Gar nicht schlecht, oder? Während Mathematiker nach Wörtern suchen, um Ihnen eine lange, verwirrende Definition zu geben, schauen wir uns diese einfache und klare Definition genauer an.
Die Zahl e bedeutet Wachstum
Die Zahl e bedeutet kontinuierliches Wachstum. Wie wir im vorherigen Beispiel gesehen haben, ermöglicht uns e x, Zinsen und Zeit zu verknüpfen: 3 Jahre bei 100 % Wachstum sind dasselbe wie 1 Jahr bei 300 %, unter der Annahme eines „Zinseszinses“.
Sie können beliebige Prozent- und Zeitwerte ersetzen (50 % für 4 Jahre), aber der Einfachheit halber ist es besser, den Prozentsatz auf 100 % festzulegen (es ergibt 100 % für 2 Jahre). Durch den Übergang zu 100 % können wir uns ausschließlich auf die Zeitkomponente konzentrieren:
e x = e Prozent * Zeit = e 1,0 * Zeit = e Zeit
Offensichtlich bedeutet e x:
- Wie stark wird mein Beitrag nach x Zeiteinheiten wachsen (unter der Annahme eines kontinuierlichen Wachstums von 100 %)?
- zum Beispiel erhalte ich nach 3 Zeitintervallen e 3 = 20,08 mal mehr „Dinge“.
e x ist ein Skalierungsfaktor, der angibt, auf welches Niveau wir in x Zeitspanne wachsen werden.
Natürlicher Logarithmus bedeutet Zeit
Der natürliche Logarithmus ist der Kehrwert von e, ein schicker Begriff für Gegenteil. Apropos Macken; im Lateinischen heißt es logarithmus naturali, daher die Abkürzung ln.
Und was bedeutet diese Umkehrung oder das Gegenteil?
- e x ermöglicht es uns, Zeit zu ersetzen und Wachstum zu erzielen.
- ln(x) ermöglicht es uns, Wachstum oder Einkommen zu ermitteln und herauszufinden, wie lange es dauert, es zu generieren.
Zum Beispiel:
- e 3 entspricht 20,08. Nach drei Zeiträumen werden wir 20,08-mal mehr haben als zu Beginn.
- ln(08/20) wäre ungefähr 3. Wenn Sie an einem Wachstum um das 20,08-fache interessiert sind, benötigen Sie 3 Zeiträume (wiederum unter der Annahme eines kontinuierlichen Wachstums von 100 %).
Lesen Sie noch? Der natürliche Logarithmus zeigt die Zeit an, die benötigt wird, um das gewünschte Niveau zu erreichen.
Diese nicht standardmäßige logarithmische Zählung
Haben Sie Logarithmen durchgearbeitet? Es sind seltsame Kreaturen. Wie haben sie es geschafft, die Multiplikation in eine Addition umzuwandeln? Wie wäre es mit der Division durch Subtraktion? Mal sehen.
Was ist ln(1) gleich? Intuitiv stellt sich die Frage: Wie lange sollte ich warten, bis ich 1x mehr bekomme, als ich habe?
Null. Null. Gar nicht. Du hast es schon einmal. Es dauert nicht lange, von Level 1 auf Level 1 zu gelangen.
- ln(1) = 0
Okay, was ist mit dem Bruchwert? Wie lange wird es dauern, bis wir noch die Hälfte der verfügbaren Menge haben? Wir wissen, dass ln(2) bei 100 % kontinuierlichem Wachstum die Zeit bedeutet, die zur Verdoppelung benötigt wird. Wenn wir Lasst uns die Zeit zurückdrehen(d. h. eine negative Zeitspanne warten), dann erhalten wir die Hälfte von dem, was wir haben.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
Logisch, oder? Wenn wir auf 0,693 Sekunden zurückgehen (Zeit zurück), finden wir die Hälfte der verfügbaren Menge. Im Allgemeinen können Sie den Bruch umdrehen und einen negativen Wert annehmen: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Das heißt, wenn wir in der Zeit zurück zum 1,09-fachen gehen, werden wir nur ein Drittel der aktuellen Zahl finden.
Okay, was ist mit dem Logarithmus einer negativen Zahl? Wie lange dauert es, eine Bakterienkolonie von 1 auf -3 zu „züchten“?
Das ist unmöglich! Eine negative Bakterienzahl kann man doch nicht bekommen, oder? Sie können ein Maximum (ähm...Minimum) von Null erreichen, aber es gibt keine Möglichkeit, von diesen kleinen Kreaturen eine negative Zahl zu erhalten. IN negative Zahl Bakterien ergeben einfach keinen Sinn.
- ln(negative Zahl) = undefiniert
„Undefiniert“ bedeutet, dass nicht lange gewartet werden muss, bis ein negativer Wert angezeigt wird.
Die logarithmische Multiplikation ist einfach urkomisch
Wie lange wird es dauern, bis wir uns vervierfachen? Natürlich können Sie einfach ln(4) nehmen. Aber das ist zu einfach, wir gehen den anderen Weg.
Sie können sich ein vierfaches Wachstum als eine Verdoppelung (die ln(2) Zeiteinheiten erfordert) und eine anschließende erneute Verdoppelung (die weitere ln(2) Zeiteinheiten erfordert) vorstellen:
- Zeit zum 4-fachen Wachstum = ln(4) = Zeit zum Verdoppeln und dann wieder Verdoppeln = ln(2) + ln(2)
Interessant. Jede Wachstumsrate, sagen wir 20, kann direkt nach einer 10-fachen Steigerung als Verdoppelung betrachtet werden. Oder Wachstum um das Vierfache und dann um das Fünffache. Oder verdreifachen und dann um das 6,666-fache erhöhen. Sehen Sie das Muster?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
Der Logarithmus von A mal B ist log(A) + log(B). Diese Beziehung macht sofort Sinn, wenn man sie im Hinblick auf das Wachstum betrachtet.
Wenn Sie an einem 30-fachen Wachstum interessiert sind, können Sie ln(30) in einer Sitzung warten oder ln(3) auf die Verdreifachung warten und dann noch einmal ln(10) auf das 10-fache. Das Endergebnis ist dasselbe, daher muss die Zeit natürlich konstant bleiben (und das tut sie auch).
Was ist mit der Teilung? Konkret bedeutet ln(5/3): Wie lange dauert es, um das Fünffache zu wachsen und dann 1/3 davon zu erhalten?
Großartig, Wachstum um das Fünffache ist ln(5). Eine Erhöhung um das 1/3-fache dauert -ln(3) Zeiteinheiten. Also,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Das bedeutet: Lassen Sie es um das Fünffache wachsen und gehen Sie dann „in der Zeit zurück“, bis nur noch ein Drittel dieser Menge übrig ist, sodass Sie ein 5/3-Wachstum erhalten. Im Allgemeinen stellt sich heraus
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Ich hoffe, dass die seltsame Arithmetik der Logarithmen für Sie allmählich einen Sinn ergibt: Das Multiplizieren von Wachstumsraten wird zum Addieren von Wachstumszeiteinheiten, und das Dividieren wird zum Subtrahieren von Zeiteinheiten. Sie müssen sich die Regeln nicht merken, sondern versuchen, sie zu verstehen.
Verwendung des natürlichen Logarithmus für willkürliches Wachstum
„Na klar“, sagen Sie, „das ist alles gut, wenn das Wachstum 100 % beträgt, aber was ist mit den 5 %, die ich erhalte?“
Kein Problem. Die „Zeit“, die wir mit ln() berechnen, ist eigentlich eine Kombination aus Zinssatz und Zeit, das gleiche X aus der e x-Gleichung. Der Einfachheit halber haben wir uns entschieden, den Prozentsatz auf 100 % zu setzen, es steht uns jedoch frei, beliebige Zahlen zu verwenden.
Nehmen wir an, wir wollen ein 30-faches Wachstum erreichen: Nehmen Sie ln(30) und erhalten Sie 3,4. Das bedeutet:
- e x = Höhe
- e 3,4 = 30
Offensichtlich bedeutet diese Gleichung: „100 % Rendite über 3,4 Jahre ergeben ein 30-faches Wachstum.“ Wir können diese Gleichung wie folgt schreiben:
- e x = e Rate*Zeit
- e 100 % * 3,4 Jahre = 30
Wir können die Werte von „Bet“ und „Zeit“ ändern, solange der Einsatz * Zeit 3,4 bleibt. Wenn wir beispielsweise an einem 30-fachen Wachstum interessiert sind, wie lange müssen wir dann bei einem Zinssatz von 5 % warten?
- ln(30) = 3,4
- Rate * Zeit = 3,4
- 0,05 * Zeit = 3,4
- Zeit = 3,4 / 0,05 = 68 Jahre
Ich argumentiere so: „ln(30) = 3,4, also dauert es bei 100 % Wachstum 3,4 Jahre. Wenn ich die Wachstumsrate verdopple, halbiert sich die benötigte Zeit.“
- 100 % für 3,4 Jahre = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200 % in 1,7 Jahren = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 50 % für 6,8 Jahre = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 5 % über 68 Jahre = 0,05 * 68 = 3,4.
Großartig, oder? Der natürliche Logarithmus kann bei jedem Zinssatz und jeder Zeit verwendet werden, da ihr Produkt konstant bleibt. Sie können Variablenwerte beliebig verschieben.
Cooles Beispiel: Regel von zweiundsiebzig
Die Zweiundsiebzig-Regel ist eine mathematische Technik, mit der Sie abschätzen können, wie lange es dauern wird, bis sich Ihr Geld verdoppelt. Jetzt werden wir es ableiten (ja!) und darüber hinaus versuchen, sein Wesen zu verstehen.
Wie lange wird es dauern, Ihr Geld bei 100 % jährlicher Verzinsung zu verdoppeln?
Hoppla. Wir haben den natürlichen Logarithmus für den Fall des kontinuierlichen Wachstums verwendet, und jetzt sprechen Sie von der jährlichen Aufzinsung? Wäre diese Formel für einen solchen Fall nicht ungeeignet? Ja, das wird es, aber bei Realzinsen von 5 %, 6 % oder sogar 15 % wird der Unterschied zwischen jährlicher Aufzinsung und kontinuierlichem Wachstum gering sein. Die grobe Schätzung funktioniert also, ähm, ungefähr, wir gehen also davon aus, dass wir eine völlig kontinuierliche Rückstellung haben.
Die Frage ist nun einfach: Wie schnell können Sie Ihr Wachstum bei 100 % verdoppeln? ln(2) = 0,693. Es dauert 0,693 Zeiteinheiten (in unserem Fall Jahre), um unsere Menge bei einer kontinuierlichen Steigerung von 100 % zu verdoppeln.
Was also, wenn der Zinssatz nicht 100 %, sondern sagen wir 5 % oder 10 % beträgt?
Leicht! Da Einsatz * Zeit = 0,693, verdoppeln wir den Betrag:
- Rate * Zeit = 0,693
- Zeit = 0,693 / Einsatz
Es stellt sich heraus, dass es bei einem Wachstum von 10 % 0,693 / 0,10 = 6,93 Jahre dauern wird, bis es sich verdoppelt.
Um die Berechnungen zu vereinfachen, multiplizieren wir beide Seiten mit 100, dann können wir „10“ statt „0,10“ sagen:
- Zeit zum Verdoppeln = 69,3 / Einsatz, wobei der Einsatz als Prozentsatz ausgedrückt wird.
Jetzt ist es an der Zeit, sich mit einer Rate von 5 % zu verdoppeln, 69,3 / 5 = 13,86 Jahre. Allerdings ist 69,3 nicht die günstigste Dividende. Wählen wir eine naheliegende Zahl, 72, die sich bequem durch 2, 3, 4, 6, 8 und andere Zahlen dividieren lässt.
- Zeit zum Verdoppeln = 72 / Einsatz
Das ist die Regel von zweiundsiebzig. Alles ist abgedeckt.
Wenn Sie die Zeit zum Verdreifachen finden müssen, können Sie ln(3) ~ 109,8 verwenden und erhalten
- Zeit zum Verdreifachen = 110 / Einsatz
Was ist ein anderes nützliche Regel. Für die Körpergröße gilt die „Regel von 72“. Zinssätze, Bevölkerungswachstum, Bakterienkulturen und alles, was exponentiell wächst.
Was kommt als nächstes?
Ich hoffe, der natürliche Logarithmus macht für Sie jetzt Sinn – er zeigt die Zeit an, die eine beliebige Zahl benötigt, um exponentiell zu wachsen. Ich denke, man nennt es „natürlich“, weil e ein universelles Maß für das Wachstum ist und ln daher als universelle Methode zur Bestimmung der Wachstumsdauer angesehen werden kann.
Denken Sie jedes Mal, wenn Sie ln(x) sehen, an „die Zeit, die benötigt wird, um um das X-fache zu wachsen“. In einem kommenden Artikel werde ich e und ln in Verbindung beschreiben, damit der frische Duft der Mathematik die Luft erfüllt.
Nachtrag: Natürlicher Logarithmus von e
Kurzes Quiz: Was ist ln(e)?
- Ein Mathe-Roboter wird sagen: Da sie als Umkehrung zueinander definiert sind, ist es offensichtlich, dass ln(e) = 1.
- Verständnisvolle Person: ln(e) ist die Anzahl der Male, die nötig sind, um „e“-mal zu wachsen (ungefähr 2,718). Allerdings ist die Zahl e selbst ein Maß für das Wachstum um den Faktor 1, also ist ln(e) = 1.
Denken Sie klar.
9. September 2013
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