Diskriminante quadratische Gleichungsformel. Quadratische Gleichungen mit einer Diskriminante lösen

Lass uns mit arbeiten quadratische Gleichungen. Das sind sehr beliebte Gleichungen! Im sehr Gesamtansicht die quadratische Gleichung sieht so aus:

Zum Beispiel:

Hier A =1; B = 3; C = -4

Hier A =2; B = -0,5; C = 2,2

Hier A =-3; B = 6; C = -18

Nun ja, du verstehst...

Wie man sich entscheidet quadratische Gleichungen? Wenn Sie eine quadratische Gleichung in dieser Form vor sich haben, dann ist alles einfach. Erinnere dich an das Zauberwort diskriminierend . Selten hat ein Gymnasiast dieses Wort nicht gehört! Der Satz „Wir lösen eine Lösung durch eine Diskriminante“ weckt Vertrauen und Sicherheit. Denn vom Diskriminanten sind keine Tricks zu erwarten! Die Anwendung ist einfach und problemlos. Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht also so aus:

Der Ausdruck unter dem Zeichen der Wurzel ist der Eine diskriminierend. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um X zu finden nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus einer quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c Dies ist die Formel, die wir berechnen. Lasst uns ersetzen mit Ihren eigenen Schildern! Zum Beispiel für die erste Gleichung A =1; B = 3; C= -4. Hier schreiben wir es auf:

Das Beispiel ist fast gelöst:

Das ist es.

Welche Fälle sind bei Verwendung dieser Formel möglich? Es gibt nur drei Fälle.

1. Die Diskriminante ist positiv. Das bedeutet, dass die Wurzel daraus gezogen werden kann. Ob die Wurzel gut oder schlecht extrahiert wird, ist eine andere Frage. Wichtig ist, was grundsätzlich extrahiert wird. Dann hat Ihre quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Streng genommen ist dies nicht eine Wurzel, sondern zwei identisch. Dies spielt jedoch bei Ungleichheiten eine Rolle, wo wir uns näher mit dem Thema befassen werden.

3. Die Diskriminante ist negativ. Die Quadratwurzel einer negativen Zahl kann nicht gezogen werden. Nun ja. Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Es ist ganz einfach. Und was, Sie denken, dass es unmöglich ist, einen Fehler zu machen? Nun ja, wie...
Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit Vorzeichenwerten a, b und c. Oder besser gesagt, nicht mit ihren Vorzeichen (wo kann man das verwechseln?), sondern mit dem Einsetzen negativer Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier hilft eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Zahlen. Wenn es Probleme mit Berechnungen gibt, Mach das!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier a = -6; b = -5; c = -1

Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie selten beim ersten Mal Antworten erhalten.

Nun, seien Sie nicht faul. Das Schreiben einer zusätzlichen Zeile dauert etwa 30 Sekunden und die Anzahl der Fehler wird stark abnehmen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig aufzuschreiben. Aber es scheint nur so. Probieren Sie es aus. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile wird es nicht mehr nötig sein, alles so sorgfältig aufzuschreiben. Es wird schon von alleine klappen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit vielen Minuspunkten lässt sich einfach und fehlerfrei lösen!

Also, wie man quadratische Gleichungen löst durch die Diskriminante, an die wir uns erinnerten. Oder sie haben es gelernt, was auch gut ist. Sie wissen, wie man richtig bestimmt a, b und c. Wissen Sie wie? aufmerksam setze sie in die Wurzelformel ein und aufmerksam Zähle das Ergebnis. hast Du das verstanden Stichwort Hier - aufmerksam?

Allerdings sehen quadratische Gleichungen oft etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Das unvollständige quadratische Gleichungen . Sie können auch durch eine Diskriminante gelöst werden. Sie müssen nur richtig verstehen, was sie hier bedeuten. a, b und c.

Hast du es herausgefunden? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; A C? Es ist überhaupt nicht da! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet das das c = 0 ! Das ist es. Ersetzen Sie stattdessen Null in der Formel C, und wir werden Erfolg haben. Das Gleiche gilt für das zweite Beispiel. Nur haben wir hier keine Null Mit, A B !

Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ohne jegliche Diskriminierung. Betrachten wir das erste unvollständige Gleichung. Was können Sie auf der linken Seite tun? Sie können X aus Klammern entfernen! Nehmen wir es raus.

Was ist also damit? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist! Glauben Sie mir nicht? Okay, dann überlegen Sie sich zwei Zahlen ungleich Null, deren Multiplikation Null ergibt!
Funktioniert nicht? Das ist es...
Daher können wir getrost schreiben: x = 0, oder x = 4

Alle. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide sind geeignet. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen, ist die Lösung viel einfacher als die Verwendung einer Diskriminante.

Auch die zweite Gleichung lässt sich einfach lösen. Bewegen Sie 9 nach rechts. Wir bekommen:

Es bleibt nur noch, die Wurzel aus 9 zu ziehen, und das war's. Es wird sich herausstellen:

Auch zwei Wurzeln . x = +3 und x = -3.

Auf diese Weise werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder indem man X aus Klammern setzt oder indem man einfach die Zahl nach rechts verschiebt und dann die Wurzel zieht.
Es ist äußerst schwierig, diese Techniken zu verwechseln. Ganz einfach, weil man im ersten Fall die Wurzel von

Beachten Sie nun praktische Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Die gleichen, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind... Was später schmerzhaft und beleidigend wird...

Erster Termin. Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen und auf den Punkt bringen Standardansicht. Was bedeutet das?
Nehmen wir an, dass Sie nach allen Transformationen die folgende Gleichung erhalten:

Beeilen Sie sich nicht, die Grundformel zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen durcheinander bringen a, b und c. Konstruieren Sie das Beispiel richtig. Zuerst X quadriert, dann ohne Quadrat, dann der freie Term. So was:

Und noch einmal: Beeilen Sie sich nicht! Ein Minus vor einem X im Quadrat kann Sie wirklich verärgern. Es ist leicht zu vergessen... Beseitigen Sie das Minus. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Aber jetzt können Sie sicher die Formel für die Wurzeln aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel fertig lösen. Entscheiden Sie selbst. Sie sollten jetzt Wurzeln 2 und -1 haben.

Zweiter Empfang.Überprüfen Sie die Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Hab keine Angst, ich erkläre dir alles! Überprüfung zuletzt Gleichung. Diese. diejenige, mit der wir die Grundformel aufgeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1, ist die Überprüfung der Wurzeln einfach. Es reicht aus, sie zu vervielfachen. Das Ergebnis sollte ein kostenloses Mitglied sein, d.h. in unserem Fall -2. Bitte beachten Sie, nicht 2, sondern -2! Kostenloses Mitglied mit Deinem Schild . Wenn es nicht klappt, bedeutet das, dass Sie bereits irgendwo einen Fehler gemacht haben. Suchen Sie nach dem Fehler. Wenn es funktioniert, müssen Sie die Wurzeln hinzufügen. Letzte und letzte Kontrolle. Der Koeffizient sollte sein B Mit Gegenteil vertraut. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient B, das vor dem X steht, ist gleich -1. Also alles richtig!
Schade, dass dies nur für Beispiele so einfach ist, bei denen x im Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1. Aber überprüfen Sie zumindest solche Gleichungen! Alle weniger Fehler Wille.

Rezeption Dritter. Wenn Ihre Gleichung gebrochene Koeffizienten hat, entfernen Sie die Brüche! Multiplizieren Sie die Gleichung mit gemeinsamer Nenner, wie im vorherigen Abschnitt beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen schleichen sich aus irgendeinem Grund immer wieder Fehler ein ...

Übrigens habe ich versprochen, das böse Beispiel durch ein paar Minuspunkte zu vereinfachen. Bitte! Hier ist er.

Um uns nicht durch die Minuspunkte verwirren zu lassen, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:

Das ist es! Das Lösen macht Freude!

Fassen wir also das Thema zusammen.

Praktische Ratschläge:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem X-Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

4. Wenn x im Quadrat rein ist und sein Koeffizient gleich eins ist, kann die Lösung leicht mit dem Satz von Vieta verifiziert werden. Mach es!

Bruchgleichungen. ODZ.

Wir beherrschen weiterhin die Gleichungen. Wir wissen bereits, wie man mit linearen und quadratischen Gleichungen arbeitet. Der letzte verbleibende Blick - Bruchgleichungen. Oder sie werden auch viel seriöser genannt - gebrochene rationale Gleichungen. Es ist dasselbe.

Bruchgleichungen.

Wie der Name schon sagt, enthalten diese Gleichungen zwangsläufig Brüche. Aber nicht nur Brüche, sondern Brüche, die haben im Nenner unbekannt. Zumindest in einem. Zum Beispiel:

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es nur Nenner gibt Zahlen, das sind lineare Gleichungen.

Wie man sich entscheidet Bruchgleichungen? Beseitigen Sie zunächst Brüche! Danach geht die Gleichung meist in eine lineare oder quadratische Gleichung über. Und dann wissen wir, was zu tun ist ... In manchen Fällen kann daraus eine Identität werden, wie zum Beispiel 5=5 oder ein falscher Ausdruck, wie zum Beispiel 7=2. Aber das kommt selten vor. Ich werde dies weiter unten erwähnen.

Aber wie wird man Brüche los? Ganz einfach. Anwenden der gleichen identischen Transformationen.

Wir müssen die gesamte Gleichung mit demselben Ausdruck multiplizieren. Damit alle Nenner reduziert werden! Alles wird sofort einfacher. Lassen Sie es mich anhand eines Beispiels erklären. Lassen Sie uns die Gleichung lösen:

Wie wurden Sie in der Grundschule unterrichtet? Wir verschieben alles auf eine Seite, bringen es auf einen gemeinsamen Nenner usw. Vergiss wie böser Traum! Dies müssen Sie tun, wenn Sie Brüche addieren oder subtrahieren. Oder Sie arbeiten mit Ungleichheiten. Und in Gleichungen multiplizieren wir beide Seiten sofort mit einem Ausdruck, der uns die Möglichkeit gibt, alle Nenner zu reduzieren (d. h. im Wesentlichen um einen gemeinsamen Nenner). Und was ist dieser Ausdruck?

Auf der linken Seite erfordert die Reduzierung des Nenners eine Multiplikation mit x+2. Und rechts ist eine Multiplikation mit 2 erforderlich. Das bedeutet, dass die Gleichung mit multipliziert werden muss 2(x+2). Multiplizieren:

Dies ist eine übliche Multiplikation von Brüchen, aber ich beschreibe sie im Detail:

Bitte beachten Sie, dass ich die Klammer noch nicht öffne (x + 2)! Im Großen und Ganzen schreibe ich es also:

Auf der linken Seite zieht es sich vollständig zusammen (x+2), und rechts 2. Welches war erforderlich! Nach der Reduktion erhalten wir linear Gleichung:

Und jeder kann diese Gleichung lösen! x = 2.

Lassen Sie uns ein anderes, etwas komplizierteres Beispiel lösen:

Wenn wir uns daran erinnern, dass 3 = 3/1 und 2x = 2x/ 1 können wir schreiben:

Und wieder werden wir los, was uns nicht wirklich gefällt – Brüche.

Wir sehen, dass wir den Bruch mit multiplizieren müssen, um den Nenner mit X zu reduzieren (x – 2). Und einige sind für uns kein Hindernis. Nun, lasst uns multiplizieren. Alle linke Seite und alle rechte Seite:

Wieder Klammern (x – 2) Ich verrate es nicht. Ich arbeite mit der Klammer als Ganzes, als wäre es eine Zahl! Dies muss immer erfolgen, sonst wird nichts reduziert.

Mit einem Gefühl tiefer Zufriedenheit reduzieren wir (x – 2) und wir erhalten eine Gleichung ohne Brüche, mit einem Lineal!

Öffnen wir nun die Klammern:

Wir bringen ähnliche mit, verschieben alles auf die linke Seite und erhalten:

Klassische quadratische Gleichung. Aber das Minus vor uns ist nicht gut. Sie können es jederzeit entfernen, indem Sie mit -1 multiplizieren oder dividieren. Wenn Sie sich das Beispiel jedoch genau ansehen, werden Sie feststellen, dass es am besten ist, diese Gleichung durch -2 zu dividieren! Auf einen Schlag wird das Minus verschwinden und die Chancen werden attraktiver! Teilen Sie durch -2. Auf der linken Seite – Term für Term und auf der rechten Seite – dividieren Sie einfach Null durch -2, Null und wir erhalten:

Wir lösen durch die Diskriminante und prüfen mit dem Satz von Vieta. Wir bekommen x = 1 und x = 3. Zwei Wurzeln.

Wie Sie sehen, wurde die Gleichung nach der Transformation im ersten Fall linear, hier jedoch quadratisch. Es kommt vor, dass nach dem Entfernen von Brüchen alle X reduziert werden. Es bleibt etwas übrig, etwa 5=5. Das bedeutet das x kann alles sein. Was auch immer es ist, es wird immer noch reduziert. Und es stellt sich als reine Wahrheit heraus, 5=5. Aber nachdem man die Brüche entfernt hat, könnte sich herausstellen, dass es völlig falsch ist, wie zum Beispiel 2=7. Und das bedeutet das keine Lösungen! Jedes X erweist sich als unwahr.

Die Hauptlösung wurde realisiert Bruchgleichungen ? Es ist einfach und logisch. Wir ändern den ursprünglichen Ausdruck so, dass alles, was uns nicht gefällt, verschwindet. Oder es stört. In diesem Fall handelt es sich um Brüche. Wir werden das Gleiche mit allen Arten von tun komplexe Beispiele mit Logarithmen, Sinus und anderen Schrecken. Wir Stets Lasst uns das alles loswerden.

Allerdings müssen wir den ursprünglichen Ausdruck in die gewünschte Richtung ändern nach den Regeln, ja... Deren Beherrschung ist die Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik. Also meistern wir es.

Jetzt lernen wir, wie man eines davon umgeht Hauptüberfälle beim Einheitlichen Staatsexamen! Aber zuerst wollen wir sehen, ob Sie darauf reinfallen oder nicht?

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an:

Die Sache ist schon bekannt, wir multiplizieren beide Seiten mit (x – 2), wir erhalten:

Ich erinnere Sie daran, mit Klammern (x – 2) Wir arbeiten wie mit einem, ganzheitlichen Ausdruck!

Hier habe ich nicht mehr eins in die Nenner geschrieben, das ist unwürdig... Und ich habe keine Klammern in die Nenner gesetzt, außer x – 2 Es gibt nichts, man muss nicht zeichnen. Kürzen wir:

Öffnen Sie die Klammern, verschieben Sie alles nach links und geben Sie ähnliche ein:

Wir lösen, prüfen, wir bekommen zwei Wurzeln. x = 2 Und x = 3. Großartig.

Angenommen, in der Aufgabe heißt es, die Wurzel aufzuschreiben, oder deren Summe, wenn es mehr als eine Wurzel gibt. Was werden wir schreiben?

Wenn Sie entscheiden, dass die Antwort 5 ist, dann Sie wurden überfallen. Und die Aufgabe wird Ihnen nicht gutgeschrieben. Sie haben vergeblich gearbeitet... Die richtige Antwort ist 3.

Was ist los?! Und Sie versuchen, eine Überprüfung durchzuführen. Ersetzen Sie die Werte des Unbekannten durch Original Beispiel. Und wenn bei x = 3 alles wird wunderbar zusammenwachsen, wir bekommen 9 = 9, dann wann x = 2 Es wird eine Division durch Null sein! Was Sie absolut nicht tun können. Bedeutet x = 2 ist keine Lösung und wird in der Antwort nicht berücksichtigt. Dies ist die sogenannte Fremd- oder Extrawurzel. Wir verwerfen es einfach. Die letzte Wurzel ist eins. x = 3.

Wie so?! – Ich höre empörte Ausrufe. Uns wurde beigebracht, dass eine Gleichung mit einem Ausdruck multipliziert werden kann! Dies ist eine identische Transformation!

Ja, identisch. Bei kleiner Zustand– der Ausdruck, mit dem wir multiplizieren (dividieren) – verschieden von Null. A x – 2 bei x = 2 gleich Null! Also alles ist fair.

Was sollen wir also jetzt tun?! Nicht mit Ausdruck multiplizieren? Sollte ich jedes Mal nachsehen? Wieder ist es unklar!

Ruhig! Keine Panik!

In dieser schwierigen Situation werden uns drei magische Buchstaben retten. Ich weiß, was du denkst. Rechts! Das ODZ . Bereich akzeptabler Werte.

Es ist bekannt, dass es sich um eine besondere Version der Gleichheit ax 2 + bx + c = o handelt, wobei a, b und c reelle Koeffizienten für das unbekannte x sind und a ≠ o ist und b und c Nullen sind – gleichzeitig oder separat. Zum Beispiel c = o, b ≠ o oder umgekehrt. Wir erinnerten uns fast an die Definition einer quadratischen Gleichung.

Das Trinom zweiten Grades ist Null. Sein erster Koeffizient a ≠ o, b und c kann beliebige Werte annehmen. Der Wert der Variablen x wird dann sein, wenn die Substitution sie in eine korrekte numerische Gleichheit umwandelt. Konzentrieren wir uns auf reale Wurzeln, obwohl die Gleichungen auch Lösungen sein können. Es ist üblich, eine Gleichung als vollständig zu bezeichnen, bei der keiner der Koeffizienten gleich o ist, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Lassen Sie uns ein Beispiel lösen. 2x 2 -9x-5 = oh, wir finden
D = 81+40 = 121,
D ist positiv, was bedeutet, dass es Wurzeln gibt, x 1 = (9+√121):4 = 5 und die zweite x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Eine Überprüfung hilft dabei, sicherzustellen, dass sie korrekt sind.

Hier ist eine schrittweise Lösung der quadratischen Gleichung

Mithilfe der Diskriminante können Sie jede Gleichung lösen, auf deren linker Seite ein bekanntes quadratisches Trinom für a ≠ o existiert. In unserem Beispiel. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Betrachten wir, was unvollständige Gleichungen zweiten Grades sind

1. Axt 2 +in = o. Der freie Term, der Koeffizient c bei x 0, ist hier gleich Null, in ≠ o.
   Wie löst man eine unvollständige quadratische Gleichung dieser Art? Nehmen wir x aus Klammern. Erinnern wir uns daran, wann das Produkt zweier Faktoren gleich Null ist.
   x(ax+b) = o, dies kann der Fall sein, wenn x = o oder wenn ax+b = o.
   Nachdem wir den 2. gelöst haben, haben wir x = -в/а.
   Als Ergebnis haben wir Wurzeln x 1 = 0, nach Berechnungen x 2 = -b/a.
2. Nun ist der Koeffizient von x gleich o, aber c ist nicht gleich (≠) o.
   x 2 +c = o. Verschieben wir c auf die rechte Seite der Gleichheit, erhalten wir x 2 = -с. Diese Gleichung hat nur dann reelle Wurzeln, wenn -c eine positive Zahl ist (c ‹ o),
   x 1 ist dann gleich √(-c) bzw. x 2 ist -√(-c). Ansonsten hat die Gleichung überhaupt keine Wurzeln.
3. Die letzte Option: b = c = o, also ax 2 = o. Natürlich hat eine solche einfache Gleichung eine Wurzel, x = o.

Sonderfälle

Wir haben uns angeschaut, wie man eine unvollständige quadratische Gleichung löst, und nun nehmen wir beliebige Typen.

• In einer vollständigen quadratischen Gleichung ist der zweite Koeffizient von x eine gerade Zahl.
  Sei k = o.5b. Wir haben Formeln zur Berechnung der Diskriminante und Wurzeln.
  D/4 = k 2 - ac, die Wurzeln werden berechnet als x 1,2 = (-k±√(D/4))/a für D › o.
  x = -k/a bei D = o.
  Es gibt keine Wurzeln für D‹o.
• Es gibt quadratische Gleichungen, wenn der Koeffizient von x im Quadrat gleich 1 ist, werden sie normalerweise geschrieben x 2 + рх + q = o. Für sie gelten alle oben genannten Formeln, die Berechnungen sind jedoch etwas einfacher.
  Beispiel: x 2 -4x-9 = 0. Berechnen Sie D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Darüber hinaus lässt es sich leicht auf die gegebenen Gleichungen anwenden. Es besagt, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich -p ist, der zweite Koeffizient mit einem Minus (was das entgegengesetzte Vorzeichen bedeutet) und das Produkt dieser gleichen Wurzeln ist sei gleich q, dem freien Term. Sehen Sie, wie einfach es wäre, die Wurzeln dieser Gleichung verbal zu bestimmen. Für nichtreduzierte Koeffizienten (für alle Koeffizienten ungleich Null) gilt dieser Satz wie folgt: Die Summe x 1 + x 2 ist gleich -b/a, das Produkt x 1 · x 2 ist gleich c/a.

Die Summe aus dem freien Term c und dem ersten Koeffizienten a ist gleich dem Koeffizienten b. In dieser Situation hat die Gleichung mindestens eine Wurzel (leicht zu beweisen), die erste ist notwendigerweise gleich -1 und die zweite -c/a, falls vorhanden. Sie können selbst überprüfen, wie Sie eine unvollständige quadratische Gleichung lösen können. Es könnte nicht einfacher sein. Die Koeffizienten können in bestimmten Beziehungen zueinander stehen

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Die Summe aller Koeffizienten ist gleich o.
  Die Wurzeln einer solchen Gleichung sind 1 und c/a. Beispiel: 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Es gibt eine Reihe anderer Möglichkeiten, verschiedene Gleichungen zweiten Grades zu lösen. Hier ist zum Beispiel eine Methode zum Extrahieren eines vollständigen Quadrats aus einem gegebenen Polynom. Grafische Methoden manche. Wenn Sie sich oft mit solchen Beispielen befassen, werden Sie lernen, sie wie Samen anzuklicken, weil Ihnen alle Methoden automatisch in den Sinn kommen.

Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Berücksichtigt werden die Fälle reeller, multipler und komplexer Wurzeln. Faktorisierung quadratisches Trinom. Geometrische Interpretation. Beispiele zur Bestimmung von Wurzeln und Faktorisierung.

Grundformeln

Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1) .
Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Wenn die Wurzeln einer quadratischen Gleichung bekannt sind, kann ein Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren (faktorisiert) dargestellt werden:
.

Wir gehen weiterhin davon aus, dass - reelle Zahlen.
Lassen Sie uns überlegen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
; .
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante gleich Null ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation

Wenn Sie bauen Graph einer Funktion
,
das ist eine Parabel, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Bei schneidet der Graph die x-Achse (Achse) an zwei Punkten.
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt.
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.

Nützliche Formeln im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:




,
Wo
; .

Wir haben also die Formel für ein Polynom zweiten Grades in der Form erhalten:
.
Dies zeigt, dass die Gleichung

durchgeführt bei
Und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.

Beispiele für die Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1

(1.1) .

Lösung

.
Im Vergleich mit unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.

Daraus erhalten wir die Faktorisierung des quadratischen Trinoms:

.

Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse in zwei Punkten.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es schneidet die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten:
Und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).

Antwort

;
;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.

Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.

Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse in einem Punkt.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) in einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann wird eine solche Wurzel üblicherweise als Vielfaches bezeichnet. Das heißt, sie glauben, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.

Antwort

;
.

Beispiel 3

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1) .
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Die Diskriminante ist negativ, .

Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.
;
;
.

Sie können komplexe Wurzeln finden:


.

Dann

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht. Es gibt keine wirklichen Wurzeln.

Antwort

Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es schneidet die x-Achse (Achse) nicht. Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.
;
;
.

Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln: Mehr auf einfache Weise

. Setzen Sie dazu z aus Klammern. Sie erhalten: z(az + b) = 0. Die Faktoren können wie folgt geschrieben werden: z=0 und az + b = 0, da beide zu Null führen können. In der Notation az + b = 0 verschieben wir den zweiten mit einem anderen Vorzeichen nach rechts. Von hier aus erhalten wir z1 = 0 und z2 = -b/a. Das sind die Wurzeln des Originals.

Wenn es eine unvollständige Gleichung der Form az² + c = 0 gibt, werden sie in diesem Fall gefunden, indem man einfach den freien Term auf die rechte Seite der Gleichung verschiebt. Ändern Sie auch das Vorzeichen. Das Ergebnis ist az² = -с. Drücken Sie z² = -c/a aus. Ziehen Sie die Wurzel und schreiben Sie zwei Lösungen auf – eine positive und eine negative Quadratwurzel.

bitte beachten Sie

Wenn die Gleichung gebrochene Koeffizienten enthält, multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor, um die Brüche zu entfernen.

Kenntnisse über das Lösen quadratischer Gleichungen sind sowohl für Schüler als auch für Studenten notwendig; manchmal kann dies auch einem Erwachsenen im Alltag helfen. Es gibt mehrere spezifische Lösungsmethoden.

Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichung der Form a*x^2+b*x+c=0. Koeffizient x ist die gewünschte Variable, a, b, c sind numerische Koeffizienten. Denken Sie daran, dass sich das „+“-Zeichen in ein „-“-Zeichen ändern kann.

Um die Diskriminante (D) zu finden, müssen Sie die Formel D=b^2 - 4*a*c schreiben. Der D-Wert kann größer, kleiner oder gleich Null sein. Wenn D größer oder kleiner als Null ist, gibt es zwei Wurzeln. Wenn D = 0, bleibt nur eine Wurzel übrig. Genauer gesagt können wir sagen, dass D in diesem Fall zwei äquivalente Wurzeln hat. Setzen Sie die bekannten Koeffizienten a, b, c in die Formel ein und berechnen Sie den Wert.

Nachdem Sie die Diskriminante gefunden haben, verwenden Sie die Formeln, um x zu finden: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a wobei sqrt eine Funktion mit der Bedeutung „Extrakt“ ist Quadratwurzel von dieser Nummer. Nach der Berechnung dieser Ausdrücke finden Sie zwei Wurzeln Ihrer Gleichung, wonach die Gleichung als gelöst gilt.

Wenn D kleiner als Null ist, hat es immer noch Wurzeln. Dieser Abschnitt wird in der Schule praktisch nicht studiert. Universitätsstudenten sollten sich darüber im Klaren sein, was auf sie zukommt negative Zahl unter der Wurzel. Sie beseitigen es, indem sie den Imaginärteil hervorheben, das heißt, -1 unter der Wurzel ist immer gleich dem Imaginärelement „i“, das mit der Wurzel mit derselben positiven Zahl multipliziert wird. Wenn beispielsweise D=sqrt(-20) ist, erhalten wir nach der Transformation D=sqrt(20)*i. Nach dieser Transformation reduziert sich die Lösung der Gleichung auf die gleiche Wurzelfindung wie oben beschrieben.

Der Satz von Vieta besteht aus der Auswahl der Werte von x(1) und x(2). Es werden zwei identische Gleichungen verwendet: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Und sehr wichtiger Punkt ist das Vorzeichen vor dem Koeffizienten b. Denken Sie daran, dass dieses Vorzeichen dem in der Gleichung entgegengesetzt ist. Auf den ersten Blick scheint die Berechnung von x(1) und x(2) sehr einfach zu sein, doch beim Lösen werden Sie mit der Tatsache konfrontiert, dass Sie die Zahlen auswählen müssen.

Elemente zur Lösung quadratischer Gleichungen

Nach den Regeln der Mathematik können einige davon faktorisiert werden: (a+x(1))*(b-x(2))=0. Wenn Sie es geschafft haben, diese quadratische Gleichung auf ähnliche Weise mithilfe mathematischer Formeln umzuwandeln, können Sie dies gerne tun Schreibe die Antwort auf. x(1) und x(2) sind gleich den benachbarten Koeffizienten in Klammern, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen.

Vergessen Sie auch nicht unvollständige quadratische Gleichungen. Möglicherweise fehlen Ihnen einige Terme. Wenn ja, sind alle Koeffizienten einfach gleich Null. Wenn vor x^2 oder x nichts steht, dann sind die Koeffizienten a und b gleich 1.

Die Transformation einer vollständigen quadratischen Gleichung in eine unvollständige sieht folgendermaßen aus (für den Fall \(b=0\)):

Für den Fall, dass \(c=0\) oder beide Koeffizienten gleich Null sind, ist alles ähnlich.

Bitte beachten Sie, dass \(a\) nicht gleich Null sein kann; in diesem Fall wird es zu:

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen.

Zunächst müssen Sie verstehen, dass eine unvollständige quadratische Gleichung immer noch eine ist und daher auf die gleiche Weise wie eine gewöhnliche quadratische Gleichung (über ) gelöst werden kann. Dazu addieren wir einfach die fehlende Komponente der Gleichung mit einem Koeffizienten von Null.

Beispiel : Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(3x^2-27=0\)
Lösung :

		Wir haben eine unvollständige quadratische Gleichung mit dem Koeffizienten \(b=0\). Das heißt, wir können die Gleichung hineinschreiben das folgende Formular:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Tatsächlich ist dies die gleiche Gleichung wie am Anfang, aber jetzt kann sie als gewöhnliche quadratische Gleichung gelöst werden. Zuerst schreiben wir die Koeffizienten aus.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Berechnen wir die Diskriminante mit der Formel \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Finden wir die Wurzeln der Gleichung mithilfe der Formeln \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) und \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Schreiben Sie die Antwort auf

Antwort : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Beispiel : Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(-x^2+x=0\)
Lösung :

		Wieder eine unvollständige quadratische Gleichung, aber jetzt ist der Koeffizient \(c\) gleich Null. Wir schreiben die Gleichung als vollständig.