Сравнение комплексных чисел онлайн. Модуль и аргумент комплексного числа

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).

Использование калькулятора

Для вычисления выражения необходимо ввести строку для вычисления. При вводе чисел, разделителем целой и дробной части является точка. Можно использовать скобки. Операциями над комплексными числами являются умножение (*), деление (/), сложение (+), вычитание (-), возведение в степень (^) и другие. В качестве записи комплексных чисел можно использовать показательную и алгебраическую форму. Вводить мнимую единицу i можно без знака умножения, в остальных случаях знак умножения обязателен, например, между скобками или между числом и константой. Также могут быть использованы константы: число π вводится как pi, экспонента e , любые выражения в показателе должны быть обрамлены скобками.

Пример строки для вычисления: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi) , что соответствует выражению \[\frac{(4{,}5 + i12)(3{,}2i-2{,}5)}{e^{i1{,}25\pi}}\]

В калькуляторе возможно использование констант, математических функций, дополнительных операций и более сложных выражений, ознакомиться с этими возможностями вы можете на странице общих правил использования калькуляторов на этом сайте.

Сайт находится в разработке, некоторые страницы могут быть недоступны.

Новости

07.07.2016
Добавлен калькулятор для решения систем нелинейных алгебраических уравнений: .

30.06.2016
На сайте реализован адаптивный дизайн, страницы адекватно отображаются как на больших мониторах, так и на мобильных устройствах.

Спонсор

РГРОнлайн.ru – мгновенное решение работ по электротехнике онлайн.

Занятие 12 . Комплексные числа.

12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.

12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Комплексным числом в алгебраической форме называется число

где
называется мнимой единицей и
- действительные числа:
называется действительной (вещественной) частью ;
- мнимой частью комплексного числа . Комплексные числа вида
называются чисто мнимыми числами . Множество всех комплексных чисел обозначается буквой .

По определению,

Множество всех действительных чисел является частью множества
: . С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству . Например,
и
, т.к.
.

Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример 1 . Решить уравнение
.

Решение. ,

Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни

,
.

Пример 2 . Найти действительную и мнимую части комплексных чисел

,

,
.

Соответственно вещественная и мнимая части числа ,

Любое комплексное число
изображается вектором на комплексной плоскости , представляющей плоскость с декартовой системой координат
. Начало вектора лежит в точке , а конец - в точке с координатами
(рис 1.) Ось
называется вещественной осью, а ось
- мнимой осью комплексной плоскости .

Комплексные числа сравниваются между собой только знаками
. . Если же хотя бы одно из равенств:
нарушено, то
. Записи типа
не имеют смысла .

По определению, комплексное число
называется комплексно сопряженным числу
. В этом случае пишут
. Очевидно, что
. Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.

Например, .

Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.

1. Сложение комплексных чисел производится так:

Свойства операции сложения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности.

Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел
означает сложение отвечающих им на плоскости векторов по правилу параллелограмма.

Операция вычитание числа из числа производится так:

2. Умножение комплексных чисел производится так:

Свойства операции умножения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности;

- закон дистрибутивности.

3. Деление комплексных чисел выполнимо только при
и производится так:

Пример 3 . Найти
, если .

Пример 4 . Вычислить
, если .

z, т.к.
.

.(ош!)

Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

Модуль, аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа
(модуль обозначается ) это - неотрицательное число
, т.е.
.

Геометрический смысл - длина вектора, представляющего число на комплексной плоскости . Уравнение
определяет множество всех чисел (векторов на ), концы которых лежат на единичной окружности
.

Аргумент комплексного числа
(аргумент обозначается
) это – угол в радианах между вещественной осью
и числом на комплексной плоскости , причем положителен, если он отсчитывается от
до против часовой стрелки, и отрицателен, если отсчитывается от оси
до по часовой стрелке .

Таким образом, аргумент числа определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого
, где
. Однозначно аргумент числа определяется в пределах одного обхода единичной окружности
на плоскости . Обычно требуется найти
в пределах интервала
, такое значение называется главным значением аргумента числа и обозначается
.

и
числа можно найти из уравнения
, при этом обязательно нужно учитывать , в какой четверти плоскости лежит конец вектора - точка
:

если
(1-я четверть плоскости ), то ;

если
(2-я четверть плоскости ), то;

если
(3-я четверть плоскости ), то ;

если
(4-я четверть плоскости ), то .

Фактически, модуль и аргумент числа
, это полярные координаты
точки
- конца вектора на плоскости .

Пример 5 . Найти модуль и главное значение аргумента чисел:

Аргументы чисел , лежащих осях
, разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости , находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости .

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа
имеет вид:

, (2)

где - модуль, - аргумент комплексного числа . Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств .

Показательная (экспоненциальная ) форма записи комплексного числа
имеет вид:

, (3)

где - модуль, - аргумент числа . Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:

. (4)

Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).

Пример 6 . Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел: из примера 5.

Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

Тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

Тригонометрическая форма числа ,

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма числа .

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел. Пусть
- показательные формы чисел
.

1. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются .

2. При делении комплексного числа на число получается комплексное число , модуль которого равен отношению модулей , а аргумент - разности
аргументов чисел
.

Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

По определению,

При возведении в целую степень комплексного числа
, следует действовать так: сначала найти модуль и аргумент этого числа; представить в показательной форме
; найти
, выполнив следующую последовательность действий