Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.

Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives ng pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga pag-andar sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng pagtaas sa pagtaas ng argumento, lumitaw ang isang talahanayan ng mga derivative at tiyak na tinukoy na mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. . Ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives ay sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi mo kailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, ngunit kailangan mo lamang gamitin ang talahanayan ng derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.

Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng prime sign hatiin ang mga simpleng function sa mga bahagi at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, kusyente) magkaugnay ang mga function na ito. Susunod, makikita natin ang mga derivatives ng elementary functions sa talahanayan ng derivatives, at ang mga formula para sa derivatives ng produkto, sum at quotient - sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ibinibigay ang derivative table at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.

Halimbawa 1. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang hinango ng isang kabuuan ng mga pag-andar ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga pag-andar, i.e.

Mula sa talahanayan ng mga derivative nalaman namin na ang derivative ng "X" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivatives at hanapin ang derivative na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 2. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Nag-iiba kami bilang isang derivative ng isang kabuuan kung saan ang pangalawang termino ay may pare-parehong kadahilanan;

Kung may mga tanong pa rin tungkol sa kung saan nagmumula ang isang bagay, kadalasang nililinaw ang mga ito pagkatapos ng pamilyar sa talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Kami ay lumipat sa kanila ngayon.

Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function

1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Palaging katumbas ng zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan
2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "X". Palaging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan sa mahabang panahon
3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa mga kapangyarihan.
4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan -1
5. Derivative parisukat na ugat
6. Derivative ng sine
7. Derivative ng cosine
8. Derivative ng padaplis
9. Derivative ng cotangent
10. Derivative ng arcsine
11. Derivative ng arccosine
12. Derivative ng arctangent
13. Derivative ng arc cotangent
14. Derivative ng natural logarithm
15. Derivative ng isang logarithmic function
16. Derivative ng exponent
17. Derivative ng isang exponential function

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan

1. Derivative ng isang kabuuan o pagkakaiba
2. Derivative ng produkto
2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan
3. Derivative ng quotient
4. Derivative ng isang kumplikadong function

Panuntunan 1.Kung ang mga function

ay naiba-iba sa isang punto, pagkatapos ang mga pag-andar ay naiba sa parehong punto

at

mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay katumbas ng algebraic sum ng derivatives ng mga function na ito.

Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa isang pare-parehong termino, kung gayon ang kanilang mga derivative ay pantay, ibig sabihin.

Panuntunan 2.Kung ang mga function

ay naiba-iba sa isang punto, pagkatapos ang kanilang produkto ay naiba sa parehong punto

at

mga. Ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.

Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:

Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat factor at lahat ng iba pa.

Halimbawa, para sa tatlong multiplier:

Panuntunan 3.Kung ang mga function

naiba sa isang punto At , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiableu/v , at

mga. ang derivative ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang numerator nito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng ang dating numerator.

Kung saan hahanapin ang mga bagay sa ibang mga pahina

Kapag naghahanap ng derivative ng isang produkto at isang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, samakatuwid higit pang mga halimbawa para sa mga derivatives na ito - sa artikulo"Derivative ng produkto at quotient ng mga function".

Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa isang kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng pare-parehong salik, ito ay inalis sa tanda ng mga derivatives. Ito tipikal na pagkakamali, na nangyayari sa paunang yugto nag-aaral ng mga derivatives, ngunit habang nilulutas nila ang ilang isa at dalawang bahagi na halimbawa, ang karaniwang mag-aaral ay hindi na gumagawa ng pagkakamaling ito.

At kung, kapag iniiba ang isang produkto o quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang kasong ito ay tinalakay sa halimbawa 10).

Iba pa karaniwang pagkakamali- mekanikal na solusyon ng derivative ng isang kumplikadong function bilang isang derivative ng isang simpleng function. kaya lang derivative ng isang kumplikadong function isang hiwalay na artikulo ay nakatuon. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives ng mga simpleng function.

Sa daan, hindi mo magagawa nang hindi binabago ang mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan ang manual sa mga bagong window. Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat At Mga operasyon na may mga fraction .

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivatives ng mga fraction na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ay sundan ang aralin na “Derivative of sums of fractions with powers and roots.”

Kung mayroon kang gawain tulad ng , pagkatapos ay kukunin mo ang aralin na "Derivatives ng mga simpleng trigonometric function".

Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative

Halimbawa 3. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng expression ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa isang produkto, at ang mga kadahilanan nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng isang pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito sa pamamagitan ng derivative ng isa pa:

Susunod, inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan: ang derivative ng isang algebraic na kabuuan ng mga function ay katumbas ng algebraic na kabuuan ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan ang pangalawang termino ay may minus sign. Sa bawat kabuuan makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (numero), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "X" ay nagiging isa, at ang minus 5 ay nagiging zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng mga derivatives:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivatives sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 4. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang formula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang numerator nito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin:

Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator sa kasalukuyang halimbawa, ay kinuha gamit ang minus sign:

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at kapangyarihan, tulad ng, halimbawa, , pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Derivative ng mga kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at mga ugat" .

Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng sines, cosines, tangents at iba pa trigonometriko function, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ay isang aral para sa iyo "Derivatives ng simpleng trigonometriko function" .

Halimbawa 5. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Sa function na ito nakikita natin ang isang produkto, isa sa mga kadahilanan kung saan ay ang square root ng independent variable, ang derivative kung saan pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Ayon sa tuntunin ng pagkita ng kaibhan ng produkto at halaga ng talahanayan derivative ng square root na nakukuha natin:

Halimbawa 6. Hanapin ang derivative ng isang function

Solusyon. Sa function na ito makikita natin ang isang quotient na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang tabulated na halaga ng derivative ng square root, nakuha namin:

Upang maalis ang isang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .

Mga nilalaman ng artikulo

DERIVATIVE– derivative ng function y = f(x), ibinigay sa isang tiyak na pagitan ( a, b) sa punto x ng agwat na ito ay tinatawag na limitasyon kung saan ang ratio ng pagtaas ng function ay may gawi f sa puntong ito sa katumbas na pagtaas ng argumento kapag ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero.

Ang derivative ay karaniwang tinutukoy bilang mga sumusunod:

Ang iba pang mga pagtatalaga ay malawakang ginagamit:

Mabilis na bilis.

Hayaan ang punto M gumagalaw sa isang tuwid na linya. Distansya s gumagalaw na punto, binibilang mula sa ilang paunang posisyon M 0 , depende sa oras t, ibig sabihin. s may function ng oras t: s= f(t). Hayaan sa isang punto ng oras t gumagalaw na punto M ay nasa malayo s mula sa panimulang posisyon M 0, at sa ilang susunod na sandali t+D t natagpuan ang kanyang sarili sa isang posisyon M 1 – sa malayo s+D s mula sa unang posisyon ( tingnan ang pic.).

Kaya, sa paglipas ng panahon D t distansya s binago ng halaga D s. Sa kasong ito, sinasabi nila na sa pagitan ng oras D t magnitude s nakatanggap ng dagdag D s.

Ang average na bilis ay hindi maaaring sa lahat ng pagkakataon ay tumpak na makilala ang bilis ng paggalaw ng isang punto M sa isang punto ng panahon t. Kung, halimbawa, ang katawan sa simula ng pagitan D t kumilos nang napakabilis, at sa dulo ay napakabagal, kung gayon ang average na bilis ay hindi maipapakita ang mga ipinahiwatig na tampok ng paggalaw ng punto at magbigay ng ideya ng totoong bilis ng paggalaw nito sa sandaling ito. t. Upang mas tumpak na maipahayag ang totoong bilis gamit ang average na bilis, kailangan mong kumuha ng mas maikling panahon D t. Karamihan sa mga ganap na nagpapakilala sa bilis ng paggalaw ng isang punto sa sandaling ito t ang limitasyon kung saan ang average na bilis ay nasa D t® 0. Ang limitasyong ito ay tinatawag na kasalukuyang bilis:

Kaya, ang bilis ng paggalaw sa isang naibigay na sandali ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng landas D s sa pagtaas ng oras D t, kapag ang pagtaas ng oras ay nagiging zero. kasi

Geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa graph ng isang function.

Ang pagtatayo ng mga tangent na linya ay isa sa mga problema na humantong sa pagsilang ng differential calculus. Ang unang nai-publish na gawain na may kaugnayan sa differential calculus, na isinulat ni Leibniz, ay pinamagatang Bagong paraan maxima at minima, pati na rin ang mga tangent, kung saan hindi ang fractional o irrational na dami, at isang espesyal na uri ng calculus para dito, ay nagsisilbing balakid.

Hayaang ang curve ang graph ng function y =f(x) V hugis-parihaba na sistema mga coordinate ( cm. bigas.).

Sa ilang halaga x mahalaga ang function y =f(x). Ang mga halagang ito x At y tumutugma ang punto sa kurba M 0(x, y). Kung ang argumento x magbigay pagtaas D x, pagkatapos ay ang bagong halaga ng argumento x+D x tumutugma sa bagong halaga ng function y+ D y = f(x + D x). Ang katumbas na punto ng kurba ay magiging punto M 1(x+D x,y+D y). Kung gumuhit ka ng isang secant M 0M 1 at tinutukoy ng j ang anggulo na nabuo ng isang transversal na may positibong direksyon ng axis baka, malinaw agad sa pigura na .

Kung ngayon D x may posibilidad na zero, pagkatapos ay ang punto M Ang 1 ay gumagalaw sa kahabaan ng kurba, papalapit sa punto M 0, at anggulo j mga pagbabago sa D x. Sa Dx® 0 ang anggulo j ay may posibilidad sa isang tiyak na limitasyon a at ang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 0 at ang bahagi na may positibong direksyon ng x-axis, anggulo a, ay ang nais na padaplis. kanya dalisdis:

Kaya naman, f´( x) = tga

mga. derivative value f´( x) para sa isang ibinigay na halaga ng argumento x katumbas ng tangent ng anggulo na nabuo ng tangent sa graph ng function f(x) sa kaukulang punto M 0(x,y) na may positibong direksyon ng axis baka.

Pagkakaiba ng mga pag-andar.

Kahulugan. Kung ang function y = f(x) ay may derivative sa punto x = x 0, kung gayon ang function ay naiba sa puntong ito.

Continuity ng isang function na may derivative. Teorama.

Kung ang function y = f(x) ay naiba sa isang punto x = x 0, pagkatapos ito ay tuloy-tuloy sa puntong ito.

Kaya, hindi maaaring magkaroon ng derivative ang function sa mga discontinuity point. Ang kabaligtaran na konklusyon ay hindi tama, i.e. mula sa katotohanan na sa ilang mga punto x = x 0 function y = f(x) ay tuloy-tuloy ay hindi nangangahulugan na ito ay naiba sa puntong ito. Halimbawa, ang function y = |x| tuloy-tuloy para sa lahat x(–Ґ x x = 0 ay walang derivative. Sa puntong ito ay walang padaplis sa graph. Mayroong kanang tangent at kaliwa, ngunit hindi sila nagtutugma.

Ilang theorems sa differentiable functions. Theorem sa mga ugat ng derivative (Rolle's theorem). Kung ang function f(x) ay tuloy-tuloy sa segment [a,b], ay naiba sa lahat ng panloob na punto ng segment na ito at sa mga dulo x = a At x = b napupunta sa zero ( f(a) = f(b) = 0), pagkatapos ay sa loob ng segment [ a,b] mayroong kahit isang punto x= Sa, a c b, kung saan ang derivative fў( x) napupunta sa zero, i.e. fў( c) = 0.

May hangganang increment theorem (Lagrange's theorem). Kung ang function f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b] at naiba sa lahat ng panloob na punto ng segment na ito, pagkatapos ay sa loob ng segment [ a, b] mayroong kahit isang punto Sa, a c b iyon

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Theorem sa ratio ng mga increment ng dalawang function (Cauchy's theorem). Kung f(x) At g(x) – dalawang function na tuloy-tuloy sa segment [a, b] at naiba sa lahat ng panloob na punto ng segment na ito, at gў( x) ay hindi naglalaho kahit saan sa loob ng segment na ito, pagkatapos ay sa loob ng segment [ a, b] may ganyang punto x = Sa, a c b iyon

Mga derivatives ng iba't ibang mga order.

Hayaan ang function y =f(x) ay naiba sa ilang pagitan [ a, b]. Mga derivative na halaga f ў( x), sa pangkalahatan, depende sa x, ibig sabihin. derivative f ў( x) ay isang function din ng x. Kapag iniiba ang function na ito, nakukuha natin ang tinatawag na pangalawang derivative ng function f(x), na tinutukoy f ўў ( x).

Derivative n- ika-uutos ng pag-andar f(x) ay tinatawag na (first order) derivative ng derivative n- 1- ika at ipinapahiwatig ng simbolo y(n) = (y(n– 1))ў.

Mga pagkakaiba ng iba't ibang mga order.

Pagkakaiba ng pag-andar y = f(x), Saan x– malayang variable, oo dy = f ў( x)dx, ilang function mula sa x, ngunit mula sa x ang unang salik lamang ang maaaring umasa f ў( x), ang pangalawang kadahilanan ( dx) ay ang pagtaas ng independent variable x at hindi nakadepende sa halaga ng variable na ito. kasi dy mayroong isang function mula sa x, pagkatapos ay matutukoy natin ang pagkakaiba ng function na ito. Ang differential ng differential ng isang function ay tinatawag na second differential o second-order differential ng function na ito at tinutukoy d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Differential n- ng unang pagkakasunud-sunod ay tinatawag na unang kaugalian ng kaugalian n- 1- ika-utos:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Bahagyang hinango.

Kung ang isang function ay hindi nakasalalay sa isa, ngunit sa ilang mga argumento x i(i nag-iiba mula 1 hanggang n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), pagkatapos ay sa differential calculus ang konsepto ng partial derivative ay ipinakilala, na nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng isang function ng ilang variable kapag isang argument lang ang nagbabago, halimbawa, x i. 1st order partial derivative na may kinalaman sa x i ay tinukoy bilang isang ordinaryong derivative, at ipinapalagay na ang lahat ng mga argumento maliban x i, panatilihin ang mga pare-parehong halaga. Para sa mga partial derivatives, ipinakilala ang notasyon

Ang 1st order partial derivatives na tinukoy sa ganitong paraan (bilang mga function ng parehong argumento) ay maaari ding magkaroon ng partial derivatives, ito ay second order partial derivatives, atbp. Ang ganitong mga derivatives na kinuha mula sa iba't ibang mga argumento ay tinatawag na mixed. Ang tuluy-tuloy na halo-halong mga derivatives ng parehong pagkakasunud-sunod ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng pagkita ng kaibhan at katumbas ng bawat isa.

Anna Chugainova

Ang paglutas ng mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika ay ganap na imposible nang walang kaalaman sa derivative at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa mathematical analysis. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal nito at geometriko na kahulugan paano makalkula ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?

Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative

Magkaroon ng function f(x) , na tinukoy sa isang tiyak na agwat (a, b) . Ang mga puntos na x at x0 ay kabilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - ang pagkakaiba sa mga halaga nito x-x0 . Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng isang function sa dalawang punto. Kahulugan ng derivative:

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa isang partikular na punto sa pagtaas ng argument kapag ang huli ay may posibilidad na zero.

Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:

Ano ang silbi ng paghahanap ng gayong limitasyon? At narito kung ano ito:

ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Pisikal na kahulugan ng derivative: ang derivative ng landas na may paggalang sa oras ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.

Sa katunayan, mula noong mga araw ng paaralan alam ng lahat na ang bilis ay isang partikular na landas x=f(t) at oras t . Average na bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon:

Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang sandali sa oras t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:

Unang panuntunan: magtakda ng pare-pareho

Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa derivative sign. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag nilulutas ang mga halimbawa sa matematika, kunin ito bilang panuntunan - Kung maaari mong gawing simple ang isang expression, siguraduhing pasimplehin ito .

Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:

Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function

Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.

Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit sa halip ay isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.

Hanapin ang derivative ng function:

Tatlong panuntunan: derivative ng produkto ng mga function

Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:

Solusyon:

Mahalagang pag-usapan ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function dito. Derivative kumplikadong pag-andar ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may kinalaman sa intermediate argument at ang derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Sa halimbawa sa itaas nakita natin ang expression:

Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, kalkulahin muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng intermediate argument mismo na may paggalang sa independent variable.

Ikaapat na panuntunan: derivative ng quotient ng dalawang function

Formula para sa pagtukoy ng derivative ng quotient ng dalawang function:

Sinubukan naming pag-usapan ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't bigyan ng babala: madalas na may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.

Sa anumang mga katanungan tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming malutas ang pinakamahirap na pagsubok at maunawaan ang mga gawain, kahit na hindi ka pa nakagawa ng mga derivative na kalkulasyon dati.

Derivative ng isang function ng isang variable.

Panimula.

totoo metodolohikal na pag-unlad nilayon para sa mga mag-aaral ng Faculty of Industrial and Civil Engineering. Ang mga ito ay pinagsama-sama kaugnay sa programa ng kurso sa matematika sa seksyong "Differential calculus ng mga function ng isang variable."

Ang mga pag-unlad ay kumakatawan sa isang gabay na pamamaraan, kabilang ang: maikling teoretikal na impormasyon; "karaniwang" mga problema at pagsasanay na may mga detalyadong solusyon at paliwanag para sa mga solusyong ito; mga opsyon sa pagsubok.

May mga karagdagang pagsasanay sa dulo ng bawat talata. Ang istruktura ng mga pag-unlad ay ginagawang angkop ang mga ito para sa independiyenteng karunungan ng seksyon na may kaunting tulong mula sa guro.

§1. Kahulugan ng derivative.

Mekanikal at geometriko na kahulugan

derivative.

Ang konsepto ng derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa mathematical analysis. Ito ay lumitaw noong ika-17 siglo. Ang pagbuo ng konsepto ng derivative ay nauugnay sa kasaysayan sa dalawang problema: ang problema ng bilis ng alternating motion at ang problema ng tangent sa isang curve.

Ang mga problemang ito, sa kabila ng magkaibang nilalaman nito, ay humahantong sa parehong operasyong matematika na dapat gawin sa isang function. Ang operasyong ito ay nakatanggap ng isang espesyal na pangalan sa matematika. Ito ay tinatawag na operasyon ng pagkita ng kaibhan ng isang function. Ang resulta ng operasyon ng pagkita ng kaibhan ay tinatawag na derivative.

Kaya, ang derivative ng function na y=f(x) sa puntong x0 ay ang limitasyon (kung mayroon) ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento
sa
.

Ang derivative ay karaniwang tinutukoy bilang mga sumusunod:
.

Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan

Ginagamit din ang mga simbolo upang tukuyin ang mga derivatives
.

Ang mekanikal na kahulugan ng derivative.

Kung ang s=s(t) ay ang batas ng rectilinear motion ng isang materyal na punto, kung gayon
ay ang bilis ng puntong ito sa oras t.

Geometric na kahulugan ng derivative.

Kung ang function na y=f(x) ay may derivative sa punto , pagkatapos ay ang angular coefficient ng tangent sa graph ng function sa punto
katumbas
.

Halimbawa.

Hanapin ang derivative ng function
sa punto =2:

1) Bigyan natin ito ng punto =2 pagtaas
. Tandaan na.

2) Hanapin ang pagtaas ng function sa punto =2:

3) Gumawa tayo ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento:

Hanapin natin ang limitasyon ng ratio sa
:

.

kaya,
.

§ 2. Derivatives ng ilan

pinakasimpleng function.

Kailangang matutunan ng mag-aaral kung paano kalkulahin ang mga derivatives ng mga partikular na function: y=x,y= at sa pangkalahatan= .

Hanapin natin ang derivative ng function na y=x.

mga. (x)′=1.

Hanapin natin ang derivative ng function

Derivative

Hayaan
Pagkatapos

Madaling mapansin ang isang pattern sa mga expression para sa mga derivatives ng power function
na may n=1,2,3.

Kaya naman,

. (1)

Ang formula na ito ay wasto para sa anumang tunay na n.

Sa partikular, gamit ang formula (1), mayroon kaming:

;

.

Halimbawa.

Hanapin ang derivative ng function

.

.

Ang function na ito ay isang espesyal na kaso ng isang function ng form

sa
.

Gamit ang formula (1), mayroon tayo

.

Derivatives ng mga function y=sin x at y=cos x.

Hayaan ang y=sinx.

Hatiin sa ∆x, nakukuha natin

Ang pagpasa sa limitasyon sa ∆x→0, mayroon tayo

Hayaan ang y=cosx.

Ang pagpasa sa limitasyon sa ∆x→0, nakuha namin

;
. (2)

§3. Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan.

Isaalang-alang natin ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.

Teorama1 . Kung ang mga function na u=u(x) at v=v(x) ay naiba-iba sa isang naibigay na pointx, sa puntong ito ang kanilang kabuuan ay naiba-iba din, at ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives ng mga termino : (u+v)"=u"+v".(3 )

Patunay: isaalang-alang ang function na y=f(x)=u(x)+v(x).

Ang increment na ∆x ng argumentong x ay tumutugma sa mga increment na ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ng mga function na u at v. Pagkatapos ay tataas ang function na y

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Kaya naman,

Kaya, (u+v)"=u"+v".

Teorama2. Kung ang mga function na u=u(x) at v=v(x) ay naiba-iba sa isang partikular na pointx, kung gayon ang kanilang produkto ay naiba-iba sa parehong punto Sa kasong ito, ang derivative ng produkto ay makikita ng sumusunod na formula: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Patunay: Hayaan ang y=uv, kung saan ang u at v ay ilang naiba-iba na function ng x. Bigyan natin ang x ng pagtaas ng ∆x; pagkatapos ay tatanggap ang u ng pagtaas ng ∆u, ang v ay tatanggap ng pagtaas ng ∆v, at ang y ay tatanggap ng pagtaas ng ∆y.

Mayroon kaming y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), o

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Samakatuwid, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Mula dito

Ang pagpasa sa limitasyon sa ∆x→0 at isinasaalang-alang na ang u at v ay hindi nakadepende sa ∆x, magkakaroon tayo ng

Teorama 3. Ang derivative ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang denominator nito ay katumbas ng square ng divisor, at ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng derivative ng dibidendo ng divisor at ang produkto ng dibidendo sa pamamagitan ng derivative ng divisor, i.e.

Kung
yun
(5)

Teorama 4. Ang derivative ng isang pare-pareho ay zero, i.e. kung y=C, kung saan C=const, pagkatapos ay y"=0.

Teorama 5. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng hinalaw, i.e. kung y=Cu(x), kung saan C=const, pagkatapos ay y"=Cu"(x).

Halimbawa 1.

Hanapin ang derivative ng function

.

Ang function na ito ay may form
, whereu=x,v=cosx. Ang paglalapat ng panuntunan sa pagkita ng kaibhan (4), makikita natin

.

Halimbawa 2.

Hanapin ang derivative ng function

.

Ilapat natin ang formula (5).

Dito
;
.

Mga gawain.

Hanapin ang mga derivatives ng mga sumusunod na function:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)