Mahal na mga kaibigan! Ang pangkat ng mga gawain na nauugnay sa hinalaw ay kinabibilangan ng mga gawain - ang kundisyon ay nagbibigay ng isang graph ng isang function, ilang mga punto sa graph na ito at ang tanong ay:

Sa anong punto ang derivative na pinakamalaki (pinakamaliit)?

Ulitin natin sandali:

Ang derivative sa isang punto ay katumbas ng dalisdis padaplis na dumadaanang puntong ito sa graph.

UAng global coefficient ng tangent, sa turn, ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tangent na ito.

*Ito ay tumutukoy sa anggulo sa pagitan ng tangent at ng x-axis.

1. Sa pagitan ng pagtaas ng function, ang derivative ay may positibong halaga.

2. Sa pagitan ng pagbaba nito, ang derivative ay may negatibong halaga.

Isaalang-alang ang sumusunod na sketch:

Sa mga puntos na 1,2,4, ang derivative ng function ay may negatibong halaga, dahil ang mga puntong ito ay nabibilang sa mga nagpapababang pagitan.

Sa mga puntos na 3,5,6, ang derivative ng function ay may positibong halaga, dahil ang mga puntong ito ay nabibilang sa pagtaas ng mga pagitan.

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay malinaw sa kahulugan ng derivative, iyon ay, hindi mahirap matukoy kung anong palatandaan ang mayroon ito (positibo o negatibo) sa isang tiyak na punto sa graph.

Bukod dito, kung tayo ay bumuo ng mga tangent sa mga puntong ito, makikita natin na ang mga tuwid na linya na dumadaan sa mga punto 3, 5 at 6 ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 0 hanggang 90 o, at mga tuwid na linya na dumadaan sa mga punto 1, 2 at 4 na anyo. sa oX axis ang mga anggulo ay mula 90 o hanggang 180 o.

*Malinaw ang relasyon: ang mga tangent na dumadaan sa mga puntong kabilang sa mga pagitan ng pagtaas ng mga function ay bumubuo ng mga talamak na anggulo sa oX axis, ang mga tangent na dumadaan sa mga puntong kabilang sa mga pagitan ng bumababa na mga function ay bumubuo ng mga obtuse na anggulo sa oX axis.

Ngayon ang mahalagang tanong!

Paano nagbabago ang halaga ng derivative? Pagkatapos ng lahat, ang tangent sa iba't ibang mga punto sa graph ng isang tuluy-tuloy na function ay bumubuo ng iba't ibang mga anggulo, depende sa kung aling punto sa graph na dinadaanan nito.

*O, nagsasalita sa simpleng wika, ang tangent ay matatagpuan na parang "pahalang" o "patayo". Tingnan mo:

Ang mga tuwid na linya ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 0 hanggang 90 o

Ang mga tuwid na linya ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 90° hanggang 180°

Samakatuwid, kung mayroon kang anumang mga katanungan:

— alin sa mga ibinigay na punto sa graph ang derivative ang may pinakamaliit na halaga?

- alin sa mga ibinigay na punto sa graph ang derivative ang may pinakamalaking halaga?

pagkatapos ay upang sagutin ito ay kinakailangan upang maunawaan kung paano nagbabago ang halaga ng tangent ng tangent angle sa hanay mula 0 hanggang 180 o.

* Gaya ng nabanggit na, ang halaga ng derivative ng function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa oX axis.

Ang halaga ng tangent ay nagbabago tulad ng sumusunod:

Kapag ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya ay nagbabago mula 0° hanggang 90°, ang halaga ng tangent, at samakatuwid ang derivative, ay nagbabago nang naaayon mula 0 hanggang +∞;

Kapag ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya ay nagbabago mula 90° hanggang 180°, ang halaga ng tangent, at samakatuwid ang derivative, ay nagbabago nang naaayon -∞ hanggang 0.

Ito ay malinaw na makikita mula sa graph ng tangent function:

Sa simpleng termino:

Sa isang tangent inclination angle mula 0° hanggang 90°

Kung mas malapit ito sa 0 o, mas magiging malapit sa zero ang halaga ng derivative (sa positibong bahagi).

Kung mas malapit ang anggulo sa 90°, mas tataas ang derivative value patungo sa +∞.

Na may tangent inclination angle mula 90° hanggang 180°

Kapag mas malapit ito sa 90 o, mas bababa ang derivative value patungo sa –∞.

Kung mas malapit ang anggulo sa 180°, mas malaki ang halaga ng derivative na magiging malapit sa zero (sa negatibong bahagi).

317543. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y = f(x) at ang mga puntos ay minarkahan–2, –1, 1, 2. Alin sa mga puntong ito ang pinakadakilang derivative? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.

Mayroon kaming apat na puntos: dalawa sa mga ito ay nabibilang sa mga agwat kung saan bumababa ang function (ito ay mga punto -1 at 1) at dalawa sa mga pagitan kung saan tumataas ang function (ito ay mga punto -2 at 2).

Agad nating mahihinuha na sa mga punto -1 at 1 ang derivative ay may negatibong halaga, at sa mga puntos -2 at 2 ito ay may positibong halaga. Samakatuwid, sa kasong ito, kinakailangan upang pag-aralan ang mga puntos -2 at 2 at matukoy kung alin sa mga ito ang magkakaroon ng pinakamalaking halaga. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa ipinahiwatig na mga punto:

Ang halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya a at ng abscissa axis ay mas malaki kaysa sa halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya b at ng axis na ito. Nangangahulugan ito na ang halaga ng derivative sa punto -2 ay magiging pinakamalaki.

Sagutin natin ang sumusunod na tanong: saang punto –2, –1, 1 o 2 ang halaga ng derivative na pinaka-negatibo? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.

Ang derivative ay magkakaroon ng negatibong halaga sa mga puntong kabilang sa mga nagpapababang pagitan, kaya isaalang-alang natin ang mga punto -2 at 1. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa kanila:

Nakikita namin na ang obtuse angle sa pagitan ng tuwid na linya b at ang oX axis ay "mas malapit" sa 180 O , samakatuwid ang padaplis nito ay magiging mas malaki kaysa sa padaplis ng anggulo na nabuo ng tuwid na linya a at ng oX axis.

Kaya, sa puntong x = 1, ang halaga ng derivative ay magiging pinakamalaking negatibo.

317544. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y = f(x) at ang mga puntos ay minarkahan–2, –1, 1, 4. Alin sa mga puntong ito ang derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.

Mayroon kaming apat na puntos: dalawa sa mga ito ay nabibilang sa mga agwat kung saan bumababa ang function (ito ay mga punto –1 at 4) at dalawa sa mga pagitan kung saan tumataas ang function (ito ay mga puntos –2 at 1).

Agad nating mahihinuha na sa mga punto -1 at 4 ang derivative ay may negatibong halaga, at sa mga puntos -2 at 1 ito ay may positibong halaga. Samakatuwid, sa kasong ito, kinakailangan upang pag-aralan ang mga puntos -1 at 4 at matukoy kung alin sa mga ito ang magkakaroon ng pinakamaliit na halaga. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa ipinahiwatig na mga punto:

Ang halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya a at ng abscissa axis ay mas malaki kaysa sa halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya b at ng axis na ito. Nangangahulugan ito na ang halaga ng derivative sa puntong x = 4 ang magiging pinakamaliit.

Sagot: 4

Sana hindi kita "na-overload" sa dami ng sinusulat. Sa katunayan, ang lahat ay napaka-simple, kailangan mo lamang na maunawaan ang mga katangian ng derivative, ang geometric na kahulugan nito at kung paano nagbabago ang halaga ng tangent ng anggulo mula 0 hanggang 180 o.

1. Una, tukuyin ang mga senyales ng derivative sa mga puntong ito (+ o -) at piliin ang mga kinakailangang puntos (depende sa tanong na ibinibigay).

2. Bumuo ng mga tangent sa mga puntong ito.

3. Gamit ang tangesoid graph, markahan ng eskematiko ang mga anggulo at ipakitaAlexander.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.

Hello! Sagutan natin ang paparating na Unified State Exam na may mataas na kalidad na sistematikong paghahanda at pagpupursige sa paggiling ng granite ng agham!!! SAMay gawain sa kompetisyon sa dulo ng post, mauna ka! Sa isa sa mga artikulo sa seksyong ito, ikaw at ako, kung saan ibinigay ang graph ng function at iba't ibang tanong ang itinaas tungkol sa extrema, mga pagitan ng pagtaas (pagbaba) at iba pa.

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang kasama sa Unified State Examination sa matematika, kung saan ang isang graph ng derivative ng isang function ay ibinigay at ang mga sumusunod na tanong ay ibinibigay:

1. Sa anong punto ng isang partikular na segment na ang function ay tumatagal sa pinakamalaking (o pinakamaliit) na halaga.

2. Hanapin ang bilang ng maximum (o pinakamababa) na puntos ng function na kabilang sa isang partikular na segment.

3. Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function na kabilang sa isang partikular na segment.

4. Hanapin ang extremum point ng function na kabilang sa ibinigay na segment.

5. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas (o pagbaba) ng function at sa sagot ay ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga agwat na ito.

6. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas (o pagbaba) ng function. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa mga pagitan na ito.

7. Hanapin ang bilang ng mga puntos kung saan ang tangent sa graph ng function ay kahanay o tumutugma sa isang linya ng anyong y = kx + b.

8. Hanapin ang abscissa ng punto kung saan ang tangent sa graph ng function ay parallel sa abscissa axis o kasabay nito.

Maaaring may iba pang mga katanungan, ngunit hindi sila magdudulot sa iyo ng anumang mga paghihirap kung naiintindihan mo at (ibinibigay ang mga link sa mga artikulong nagbibigay ng impormasyong kinakailangan para sa solusyon, inirerekumenda kong ulitin ang mga ito).

Pangunahing impormasyon (maikli):

1. Ang derivative sa pagtaas ng mga pagitan ay may positibong senyales.

Kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa isang tiyak na pagitan ay may positibong halaga, kung gayon ang graph ng function sa pagitan na ito ay tumataas.

2. Sa pagbaba ng mga pagitan, ang derivative ay may negatibong tanda.

Kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa isang tiyak na pagitan ay may negatibong halaga, ang graph ng function ay bumababa sa pagitan na ito.

3. Ang derivative sa puntong x ay katumbas ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa parehong punto.

4. Sa mga punto ng extremum (maximum-minimum) ng function, ang derivative ay katumbas ng zero. Ang tangent sa graph ng function sa puntong ito ay parallel sa x axis.

Ito ay dapat na malinaw na maunawaan at tandaan!!!

Ang derivative graph ay "nakalilito" sa maraming tao. Ang ilang mga tao ay hindi sinasadyang nagkakamali na ito ay ang graph ng mismong function. Samakatuwid, sa gayong mga gusali, kung saan nakikita mong may ibinigay na graph, agad na ituon ang iyong pansin sa kundisyon sa kung ano ang ibinigay: ang graph ng function o ang graph ng derivative ng function?

Kung isa itong graph ng derivative ng isang function, ituring ito bilang isang "reflection" ng mismong function, na nagbibigay lang sa iyo ng impormasyon tungkol sa function na iyon.

Isaalang-alang ang gawain:

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–2;21).

Sasagutin namin ang mga sumusunod na katanungan:

1. Sa anong punto sa segment ay ang function f(X) tumatagal ng pinakamalaking halaga.

Sa isang ibinigay na agwat, ang derivative ng isang function ay negatibo, na nangangahulugan na ang pag-andar sa agwat na ito ay bumababa (ito ay bumababa mula sa kaliwang hangganan ng agwat sa kanan). Kaya, ang pinakamalaking halaga ng function ay nakakamit sa kaliwang hangganan ng segment, ibig sabihin, sa punto 7.

Sagot: 7

2. Sa anong punto sa segment ay ang function f(X)

Sa pamamagitan ng ang iskedyul na ito derivative masasabi natin ang mga sumusunod. Sa isang naibigay na agwat, ang derivative ng function ay positibo, na nangangahulugan na ang pag-andar sa agwat na ito ay tumataas (ito ay tumataas mula sa kaliwang hangganan ng agwat sa kanan). Kaya, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakamit sa kaliwang hangganan ng segment, iyon ay, sa puntong x = 3.

Sagot: 3

3. Hanapin ang bilang ng pinakamataas na puntos ng function f(X)

Ang pinakamataas na puntos ay tumutugma sa mga punto kung saan nagbabago ang derivative sign mula sa positibo patungo sa negatibo. Isaalang-alang natin kung saan nagbabago ang tanda sa ganitong paraan.

Sa segment (3;6) ang derivative ay positibo, sa segment (6;16) ito ay negatibo.

Sa segment (16;18) ang derivative ay positibo, sa segment (18;20) ito ay negatibo.

Kaya, sa isang ibinigay na segment ang function ay may dalawang pinakamataas na puntos x = 6 at x = 18.

Sagot: 2

4. Hanapin ang bilang ng pinakamababang punto ng function f(X), na kabilang sa segment.

Ang pinakamababang puntos ay tumutugma sa mga punto kung saan nagbabago ang derivative sign mula sa negatibo patungo sa positibo. Ang aming derivative ay negatibo sa pagitan (0;3), at positibo sa pagitan (3;4).

Kaya, sa segment ang function ay mayroon lamang isang minimum na punto x = 3.

*Mag-ingat sa pagsusulat ng sagot - ang bilang ng mga puntos ay naitala, hindi ang halaga ng x na maaaring gawin dahil sa hindi pansin.

Sagot: 1

5. Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function f(X), na kabilang sa segment.

Pakitandaan kung ano ang kailangan mong hanapin dami extremum point (ito ay parehong maximum at minimum na puntos).

Ang mga extremum point ay tumutugma sa mga punto kung saan nagbabago ang sign ng derivative (mula sa positibo patungo sa negatibo o vice versa). Sa graph na ibinigay sa kundisyon, ito ang mga zero ng function. Ang derivative ay naglalaho sa mga puntos na 3, 6, 16, 18.

Kaya, ang function ay may 4 na extremum point sa segment.

Sagot: 4

6. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f(X)

Mga agwat ng pagtaas ng function na ito f(X) tumutugma sa mga pagitan kung saan ang derivative nito ay positibo, iyon ay, ang mga pagitan (3;6) at (16;18). Pakitandaan na ang mga hangganan ng agwat ay hindi kasama dito (mga bilog na bracket - ang mga hangganan ay hindi kasama sa pagitan, mga square bracket - kasama). Ang mga pagitan na ito ay naglalaman ng mga integer na puntos 4, 5, 17. Ang kanilang kabuuan ay: 4 + 5 + 17 = 26

Sagot: 26

7. Hanapin ang mga pagitan ng pagpapababa ng function f(X) sa isang ibinigay na pagitan. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga agwat na ito.

Pagbaba ng mga pagitan ng isang function f(X) tumutugma sa mga pagitan kung saan negatibo ang derivative ng function. Sa problemang ito ito ang mga pagitan (–2;3), (6;16), (18:21).

Ang mga interval na ito ay naglalaman ng mga sumusunod na integer point: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ang kanilang kabuuan ay:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Sagot: 140

* Bigyang-pansin ang kondisyon: kung ang mga hangganan ay kasama sa pagitan o hindi. Kung ang mga hangganan ay kasama, pagkatapos ay sa mga pagitan na isinasaalang-alang sa proseso ng solusyon ang mga hangganan na ito ay dapat ding isaalang-alang.

8. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f(X)

Mga agwat ng pagtaas ng pag-andar f(X) tumutugma sa mga pagitan kung saan ang derivative ng function ay positibo. Naipahiwatig na natin ang mga ito: (3;6) at (16:18). Ang pinakamalaki sa kanila ay ang pagitan (3;6), ang haba nito ay 3.

Sagot: 3

9. Hanapin ang mga pagitan ng pagpapababa ng function f(X). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Pagbaba ng mga pagitan ng isang function f(X) tumutugma sa mga pagitan kung saan negatibo ang derivative ng function. Naipahiwatig na namin ang mga ito; ito ang mga pagitan (–2;3), (6;16), (18;21), ang kanilang mga haba ay ayon sa pagkakabanggit 5, 10, 3.

Ang haba ng pinakamalaki ay 10.

Sagot: 10

10. Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function f(X) kahanay o tumutugma sa tuwid na linya y = 2x + 3.

Ang halaga ng derivative sa punto ng tangency ay katumbas ng slope ng tangent. Dahil ang padaplis ay parallel sa tuwid na linya y = 2x + 3 o kasabay nito, ang kanilang mga angular coefficient ay katumbas ng 2. Nangangahulugan ito na kinakailangan upang mahanap ang bilang ng mga puntos kung saan ang y′(x 0) = 2. Sa geometriko, ito ay tumutugma sa bilang ng mga punto ng intersection ng derivative graph na may tuwid na linya na y = 2. Mayroong 4 na ganoong mga punto sa pagitan na ito.

Sagot: 4

11. Hanapin ang extremum point ng function f(X), na kabilang sa segment.

Ang extremum point ng isang function ay ang punto kung saan ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa paligid ng puntong ito ang derivative ay nagbabago ng sign (mula sa positibo patungo sa negatibo o vice versa). Sa segment, ang derivative graph ay nag-intersect sa x-axis, ang derivative ay nagbabago ng sign mula negatibo patungo sa positibo. Samakatuwid, ang puntong x = 3 ay isang extremum point.

Sagot: 3

12. Hanapin ang abscissas ng mga punto kung saan ang mga tangent sa graph na y = f (x) ay parallel sa abscissa axis o nag-tutugma dito. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang pinakamalaki sa kanila.

Ang tangent sa graph na y = f (x) ay maaaring maging parallel sa abscissa axis o kasabay nito, sa mga punto lamang kung saan ang derivative ay katumbas ng zero (ito ay maaaring maging extremum point o stationary point sa paligid kung saan ang derivative ay ginagawa. huwag baguhin ang tanda nito). Ipinapakita ng graph na ito na ang derivative ay zero sa mga puntos na 3, 6, 16,18. Ang pinakamalaki ay 18.

Maaari mong buuin ang iyong pangangatwiran sa ganitong paraan:

Ang halaga ng derivative sa punto ng tangency ay katumbas ng slope ng tangent. Dahil ang tangent ay parallel sa o coincides sa x-axis, ang slope nito ay 0 (sa katunayan, ang tangent ng isang anggulo ng zero degrees ay zero). Samakatuwid, hinahanap namin ang punto kung saan ang slope ay katumbas ng zero, at samakatuwid ang derivative ay katumbas ng zero. Ang derivative ay katumbas ng zero sa punto kung saan ang graph nito ay nag-intersect sa x-axis, at ito ay mga puntos na 3, 6, 16,18.

Sagot: 18

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–8;4). Sa anong punto ng segment [–7;–3] ang function f(X) kumukuha ng pinakamaliit na halaga.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–7;14). Hanapin ang bilang ng mga maximum na puntos ng function f(X), na kabilang sa segment [–6;9].

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–18;6). Hanapin ang bilang ng pinakamababang punto ng function f(X), na kabilang sa segment [–13;1].

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–11; –11). Hanapin ang bilang ng mga extremum point ng function f(X), kabilang sa segment [–10; –10].

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–7;4). Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f(X). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga agwat na ito.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–5;7). Hanapin ang mga pagitan ng pagpapababa ng function f(X). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integer na puntos na kasama sa mga agwat na ito.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y =f'(X)- derivative ng isang function f(X), tinukoy sa pagitan (–11;3). Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas ng function f(X). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

F Ang figure ay nagpapakita ng isang graph

Ang mga kondisyon ng problema ay pareho (na aming isinasaalang-alang). Hanapin ang kabuuan ng tatlong numero:

1. Ang kabuuan ng mga parisukat ng extrema ng function na f (x).

2. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng kabuuan ng pinakamataas na puntos at ang kabuuan ng pinakamababang puntos ng function na f (x).

3. Ang bilang ng mga tangent sa f (x) na kahanay sa tuwid na linya y = –3x + 5.

Ang unang magbibigay ng tamang sagot ay makakatanggap ng premyong insentibo na 150 rubles. Isulat ang iyong mga sagot sa mga komento. Kung ito ang iyong unang komento sa blog, hindi ito lalabas kaagad, ngunit ilang sandali pa (huwag mag-alala, ang oras na isinulat ang komento ay naitala).

Good luck sa iyo!

Pinakamahusay na pagbati, Alexander Krutitsikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.

(Fig.1)

Figure 1. Derivative graph

Mga katangian ng derivative graph

1. Sa pagtaas ng mga pagitan, ang derivative ay positibo. Kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa isang tiyak na pagitan ay may positibong halaga, kung gayon ang graph ng function sa pagitan na ito ay tumataas.
2. Sa pagbaba ng mga pagitan, ang derivative ay negatibo (na may minus sign). Kung ang derivative sa isang tiyak na punto mula sa isang tiyak na pagitan ay may negatibong halaga, ang graph ng function ay bumababa sa pagitan na ito.
3. Ang derivative sa point x ay katumbas ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function sa parehong punto.
4. Sa pinakamataas at pinakamababang punto ng function, ang derivative ay zero. Ang tangent sa graph ng function sa puntong ito ay parallel sa OX axis.

Halimbawa 1

Gamit ang graph (Fig. 2) ng derivative, tukuyin kung anong punto sa segment [-3; 5] function ay maximum.

Figure 2. Derivative graph

Solusyon: Sa segment na ito, ang derivative ay negatibo, na nangangahulugan na ang function ay bumababa mula kaliwa hanggang kanan, at ang pinakamalaking halaga ay nasa kaliwang bahagi sa punto -3.

Halimbawa 2

Gamit ang graph (Fig. 3) ng derivative, tukuyin ang bilang ng maximum na mga puntos sa segment [-11; 3].

Figure 3. Derivative graph

Solusyon: Ang pinakamataas na puntos ay tumutugma sa mga punto kung saan nagbabago ang tanda ng derivative mula sa positibo patungo sa negatibo. Sa pagitan na ito, binago ng function ang sign mula plus hanggang minus dalawang beses - sa punto -10 at sa punto -1. Nangangahulugan ito na ang bilang ng pinakamataas na puntos ay dalawa.

Halimbawa 3

Gamit ang graph (Fig. 3) ng derivative, tukuyin ang bilang ng pinakamababang puntos sa segment [-11; -1].

Solusyon: Ang pinakamababang puntos ay tumutugma sa mga punto kung saan ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa negatibo patungo sa positibo. Sa segment na ito, ang naturang punto ay -7 lamang. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga minimum na puntos sa isang partikular na segment ay isa.

Halimbawa 4

Gamit ang graph (Fig. 3) ng derivative, tukuyin ang bilang ng mga extremum point.

Solusyon: Ang mga matinding puntos ay parehong pinakamababa at pinakamataas na puntos. Hanapin natin ang bilang ng mga punto kung saan nag-sign ang derivative.

Entry level

Derivative ng isang function. Komprehensibong Gabay (2019)

Isipin natin ang isang tuwid na kalsada na dumadaan sa isang maburol na lugar. Ibig sabihin, ito ay pataas at pababa, ngunit hindi lumiliko sa kanan o kaliwa. Kung ang axis ay nakadirekta nang pahalang sa kahabaan ng kalsada at patayo, ang linya ng kalsada ay magiging halos kapareho sa graph ng ilang tuluy-tuloy na function:

Ang axis ay isang tiyak na antas ng zero altitude; sa buhay ginagamit natin ang antas ng dagat bilang ito.

Habang sumusulong tayo sa naturang kalsada, umuusad din tayo pataas o pababa. Masasabi rin natin: kapag nagbago ang argumento (movement along the abscissa axis), nagbabago ang value ng function (movement along the ordinate axis). Ngayon isipin natin kung paano matukoy ang "steepness" ng ating kalsada? Anong uri ng halaga kaya ito? Ito ay napaka-simple: kung gaano kalaki ang magbabago sa taas kapag sumusulong sa isang tiyak na distansya. Sa katunayan, sa iba't ibang bahagi ng kalsada, pasulong (sa x-axis) nang isang kilometro, tataas o babagsak tayo nang iba't ibang dami metro na may kaugnayan sa antas ng dagat (sa kahabaan ng ordinate axis).

Tukuyin natin ang pag-unlad (basahin ang "delta x").

Ang letrang Griyego (delta) ay karaniwang ginagamit sa matematika bilang prefix na nangangahulugang "pagbabago". Iyon ay, ito ay isang pagbabago sa dami, - isang pagbabago; tapos ano yun? Tama, isang pagbabago sa magnitude.

Mahalaga: ang isang expression ay isang solong kabuuan, isang variable. Huwag kailanman paghiwalayin ang "delta" mula sa "x" o anumang iba pang titik!

Iyon ay, halimbawa, .

Kaya, kami ay sumulong, pahalang, sa pamamagitan ng. Kung ihahambing natin ang linya ng kalsada sa graph ng function, kung gayon paano natin tinutukoy ang pagtaas? Tiyak, . Ibig sabihin, habang sumusulong tayo, tumataas tayo.

Ang halaga ay madaling kalkulahin: kung sa simula tayo ay nasa taas, at pagkatapos lumipat ay natagpuan natin ang ating sarili sa isang taas, kung gayon. Kung ang dulong punto ay mas mababa kaysa sa panimulang punto, ito ay magiging negatibo - nangangahulugan ito na hindi tayo pataas, ngunit pababa.

Bumalik tayo sa "steepness": ito ay isang halaga na nagpapakita kung gaano kalaki (matarik) ang pagtaas ng taas kapag sumusulong sa isang yunit ng distansya:

Ipagpalagay natin na sa ilang bahagi ng kalsada, kapag umuusad ng isang kilometro, ang kalsada ay tumaas ng isang kilometro. Pagkatapos ay pantay ang slope sa lugar na ito. At kung ang kalsada, habang sumusulong ng m, ay bumaba ng km? Pagkatapos ay pantay ang slope.

Ngayon tingnan natin ang tuktok ng isang burol. Kung kukuha ka sa simula ng seksyon kalahating kilometro bago ang summit, at ang dulo kalahating kilometro pagkatapos nito, makikita mo na ang taas ay halos pareho.

Iyon ay, ayon sa aming lohika, lumalabas na ang slope dito ay halos katumbas ng zero, na malinaw na hindi totoo. Sa paglipas lamang ng isang distansya ng mga kilometro marami ang maaaring magbago. Kinakailangang isaalang-alang ang mas maliliit na lugar para sa mas sapat at tumpak na pagtatasa ng steepness. Halimbawa, kung susukatin mo ang pagbabago sa taas habang gumagalaw ka ng isang metro, ang resulta ay magiging mas tumpak. Ngunit kahit na ang katumpakan na ito ay maaaring hindi sapat para sa atin - kung tutuusin, kung may poste sa gitna ng kalsada, maaari nating madaanan ito. Anong distansya ang dapat nating piliin kung gayon? sentimetro? milimetro? Mas kaunti pa! SA totoong buhay Ang pagsukat ng mga distansya sa pinakamalapit na milimetro ay higit pa sa sapat. Ngunit ang mga mathematician ay palaging nagsusumikap para sa pagiging perpekto. Samakatuwid, ang konsepto ay naimbento infinitesimal , ibig sabihin, ang absolute value ay mas mababa sa anumang numero na maaari naming pangalanan. Halimbawa, sasabihin mo: isang trilyon! gaano pa kaunti? At hinati mo ang numerong ito sa - at magiging mas kaunti pa ito. At iba pa. Kung gusto naming isulat na ang isang dami ay infinitesimal, sumusulat kami ng ganito: (basahin namin ang "x ay may posibilidad na zero"). Napakahalagang maunawaan na ang numerong ito ay hindi zero!

Ang konsepto na kabaligtaran ng infinitesimal ay walang hanggan malaki (). Malamang na nakita mo na ito noong gumagawa ka ng mga hindi pagkakapantay-pantay: ang numerong ito ay modulo na mas malaki kaysa sa anumang numerong maiisip mo. Kung makakaisip ka ng pinakamalaking bilang na posible, i-multiply lang ito sa dalawa at makakakuha ka ng mas malaking numero. At ang infinity ay mas malaki pa sa nangyayari. Sa katunayan, ang walang hanggan malaki at ang walang hanggan maliit ay ang kabaligtaran ng bawat isa, iyon ay, sa, at vice versa: at.

Ngayon bumalik tayo sa ating daan. Ang perpektong kinakalkula na slope ay ang slope na kinakalkula para sa isang infinitesimal na segment ng path, iyon ay:

Tandaan ko na sa isang infinitesimal displacement, ang pagbabago sa taas ay magiging infinitesimal din. Ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang infinitesimal ay hindi nangangahulugang katumbas ng zero. Kung hahatiin mo ang mga infinitesimal na numero sa isa't isa, maaari kang makakuha ng ganap na ordinaryong numero, halimbawa, . Iyon ay, ang isang maliit na halaga ay maaaring eksaktong beses na mas malaki kaysa sa isa pa.

Para saan ang lahat ng ito? Ang daan, ang tirik... We’re not going on a car rally, but we’re teaching mathematics. At sa matematika ang lahat ay eksaktong pareho, naiiba lamang ang tawag.

Konsepto ng derivative

Ang derivative ng isang function ay ang ratio ng increment ng function sa increment ng argument para sa infinitesimal na increment ng argument.

Paunti-unti sa matematika tinatawag nilang pagbabago. Tinatawag ang lawak kung saan nagbabago ang argumento () habang gumagalaw ito sa axis pagtaas ng argumento at itinalaga kung gaano kalaki ang nabago ng function (taas) kapag sumusulong sa axis sa pamamagitan ng isang distansya pagtaas ng function at itinalaga.

Kaya, ang derivative ng isang function ay ang ratio sa kung kailan. Tinutukoy namin ang derivative na may parehong titik bilang function, na may prime lang sa kanang tuktok: o simple. Kaya, isulat natin ang derivative formula gamit ang mga notasyong ito:

As in the analogy with the road, dito kapag tumaas ang function, positive ang derivative, at kapag bumaba, negative.

Maaari bang ang derivative ay katumbas ng zero? tiyak. Halimbawa, kung kami ay nagmamaneho sa isang patag na pahalang na kalsada, ang matarik ay zero. At totoo, hindi nagbabago ang taas. Gayon din sa derivative: ang derivative ng isang constant function (constant) ay katumbas ng zero:

dahil ang pagtaas ng naturang function ay katumbas ng zero para sa alinman.

Tandaan natin ang halimbawa sa tuktok ng burol. Ito ay naging posible na ayusin ang mga dulo ng segment sa magkabilang panig ng vertex sa paraang ang taas sa mga dulo ay magiging pareho, iyon ay, ang segment ay kahanay sa axis:

Ngunit ang malalaking segment ay tanda ng hindi tumpak na pagsukat. Itataas namin ang aming segment parallel sa sarili nito, pagkatapos ay bababa ang haba nito.

Sa kalaunan, kapag malapit na tayo sa tuktok, ang haba ng segment ay magiging infinitesimal. Ngunit sa parehong oras, nanatili itong kahanay sa axis, iyon ay, ang pagkakaiba sa taas sa mga dulo nito ay katumbas ng zero (hindi ito malamang, ngunit katumbas ng). Kaya ang derivative

Ito ay mauunawaan sa ganitong paraan: kapag tayo ay nakatayo sa pinakatuktok, ang isang maliit na paglipat sa kaliwa o kanan ay nagbabago sa ating taas nang bale-wala.

Mayroon ding purong algebraic na paliwanag: sa kaliwa ng vertex ang function ay tumataas, at sa kanan ay bumababa. Tulad ng nalaman natin kanina, kapag ang isang function ay tumaas, ang derivative ay positibo, at kapag ito ay bumaba, ito ay negatibo. Ngunit ito ay nagbabago nang maayos, nang walang pagtalon (dahil ang kalsada ay hindi nagbabago nang husto sa slope nito kahit saan). Samakatuwid, dapat mayroong pagitan ng negatibo at positibong mga halaga. Ito ay kung saan ang function ay hindi tumataas o bumababa - sa vertex point.

Ang parehong ay totoo para sa labangan (ang lugar kung saan ang function sa kaliwa ay bumababa at sa kanan ay tumataas):

Kaunti pa tungkol sa mga increment.

Kaya binago namin ang argumento sa magnitude. Nagbabago tayo mula sa anong halaga? Ano ang naging (ang argumento) ngayon? Maaari tayong pumili ng anumang punto, at ngayon ay sasayaw tayo mula rito.

Isaalang-alang ang isang punto na may coordinate. Ang halaga ng function sa loob nito ay pantay. Pagkatapos ay ginagawa namin ang parehong pagtaas: pinapataas namin ang coordinate ng. Ano ang argumento ngayon? Napakadali: . Ano ang halaga ng function ngayon? Kung saan napupunta ang argumento, ganoon din ang function na: . Paano ang tungkol sa pagtaas ng function? Walang bago: ito pa rin ang halaga kung saan nagbago ang function:

Magsanay sa paghahanap ng mga increment:

1. Hanapin ang increment ng function sa isang punto kung kailan ang increment ng argument ay katumbas ng.
2. Ang parehong napupunta para sa function sa isang punto.

Mga solusyon:

Sa iba't ibang punto na may parehong pagtaas ng argumento, mag-iiba ang pagdaragdag ng function. Nangangahulugan ito na ang derivative sa bawat punto ay magkakaiba (tinalakay namin ito sa pinakadulo simula - ang matarik na kalsada ay iba sa iba't ibang mga punto). Samakatuwid, kapag sumulat tayo ng isang derivative, dapat nating ipahiwatig kung anong punto:

Pag-andar ng kapangyarihan.

Ang power function ay isang function kung saan ang argument ay sa ilang antas (lohikal, tama?).

Bukod dito - sa anumang lawak: .

Ang pinakasimpleng kaso ay kapag ang exponent ay:

Hanapin natin ang derivative nito sa isang punto. Alalahanin natin ang kahulugan ng derivative:

Kaya ang argumento ay nagbabago mula sa. Ano ang increment ng function?

Increment ay ito. Ngunit ang isang function sa anumang punto ay katumbas ng argumento nito. kaya naman:

Ang derivative ay katumbas ng:

Ang derivative ng ay katumbas ng:

b) Ngayon isaalang-alang quadratic function (): .

Ngayon tandaan natin iyan. Nangangahulugan ito na ang halaga ng pagtaas ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay infinitesimal, at samakatuwid ay hindi gaanong mahalaga laban sa background ng ibang termino:

Kaya, nakabuo kami ng isa pang panuntunan:

c) Ipinagpapatuloy namin ang lohikal na serye: .

Ang expression na ito ay maaaring pasimplehin sa iba't ibang paraan: buksan ang unang bracket gamit ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng cube ng kabuuan, o i-factor ang buong expression gamit ang difference ng cube formula. Subukang gawin ito sa iyong sarili gamit ang alinman sa mga iminungkahing pamamaraan.

Kaya, nakuha ko ang sumusunod:

At muli tandaan natin iyon. Nangangahulugan ito na maaari nating pabayaan ang lahat ng mga terminong naglalaman ng:

Nakukuha namin ang: .

d) Ang mga katulad na tuntunin ay maaaring makuha para sa malalaking kapangyarihan:

e) Lumalabas na ang panuntunang ito ay maaaring gawing pangkalahatan para sa isang power function na may arbitrary exponent, hindi kahit isang integer:

(2)

Ang panuntunan ay maaaring buuin sa mga salitang: "ang antas ay dinadala bilang isang koepisyent, at pagkatapos ay binabawasan ng ."

Papatunayan natin ang panuntunang ito mamaya (halos sa pinakadulo). Ngayon tingnan natin ang ilang halimbawa. Hanapin ang derivative ng mga function:

1. (sa dalawang paraan: sa pamamagitan ng formula at paggamit ng kahulugan ng derivative - sa pamamagitan ng pagkalkula ng pagtaas ng function);

1. . Maniwala ka man o hindi, ito ay isang power function. Kung mayroon kang mga tanong tulad ng "Paano ito? Nasaan ang degree?", tandaan ang paksang ""!
   Oo, oo, ang ugat ay isang degree din, fractional lamang: .
   Kaya sa atin parisukat na ugat- ito ay isang degree lamang na may indicator:
   .
   Hinahanap namin ang derivative gamit ang kamakailang natutunang formula:

   Kung sa puntong ito ay naging malabo muli, ulitin ang paksang “”!!! (tungkol sa degree na may negatibong tagapagpahiwatig)

2. . Ngayon ang exponent:

   At ngayon sa pamamagitan ng kahulugan (nakalimutan mo na ba?):
   ;
   .
   Ngayon, gaya ng dati, napapabayaan namin ang terminong naglalaman ng:
   .

3. . Kumbinasyon ng mga nakaraang kaso: .

Trigonometric function.

Dito gagamitin natin ang isang katotohanan mula sa mas mataas na matematika:

Sa pagpapahayag.

Malalaman mo ang patunay sa unang taon ng institute (at para makarating doon, kailangan mong makapasa ng maayos sa Unified State Exam). Ngayon ay ipapakita ko lang ito nang graphical:

Nakikita namin na kapag ang function ay hindi umiiral - ang punto sa graph ay pinutol. Ngunit kung mas malapit sa halaga, mas malapit ang pag-andar na ito ang "layunin."

Bilang karagdagan, maaari mong suriin ang panuntunang ito gamit ang isang calculator. Oo, oo, huwag kang mahiya, kumuha ng calculator, wala pa tayo sa Unified State Exam.

Kaya, subukan natin: ;

Huwag kalimutang ilipat ang iyong calculator sa Radians mode!

atbp. Nakikita namin na ang mas maliit, mas malapit ang halaga ng ratio sa.

a) Isaalang-alang ang function. Gaya ng dati, hanapin natin ang pagtaas nito:

Gawin nating produkto ang pagkakaiba ng mga sine. Upang gawin ito, ginagamit namin ang formula (tandaan ang paksang ""): .

Ngayon ang derivative:

Gumawa tayo ng kapalit: . Pagkatapos para sa infinitesimal ito ay infinitesimal din: . Ang expression para sa ay tumatagal ng form:

At ngayon naaalala natin iyon sa ekspresyon. At gayundin, paano kung ang isang infinitesimal na dami ay maaaring mapabayaan sa kabuuan (iyon ay, sa).

Kaya, nakukuha namin ang sumusunod na panuntunan: ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine:

Ito ay mga pangunahing derivatives ("tabular"). Narito sila sa isang listahan:

Sa ibang pagkakataon ay magdaragdag kami ng ilan pa sa kanila, ngunit ito ang pinakamahalaga, dahil madalas silang ginagamit.

Pagsasanay:

1. Hanapin ang derivative ng function sa isang punto;
2. Hanapin ang derivative ng function.

Mga solusyon:

1. Una, hanapin natin ang derivative sa pangkalahatang pananaw, at pagkatapos ay palitan ang halaga nito:
   ;
   .
2. Narito mayroon kaming isang bagay na katulad ng isang function ng kapangyarihan. Subukan nating dalhin siya sa
   normal na view:
   .
   Mahusay, maaari mo na ngayong gamitin ang formula:
   .
   .
3. . Eeeeee.... Ano ito????

Okay, tama ka, hindi pa namin alam kung paano makahanap ng mga derivatives. Narito mayroon kaming isang kumbinasyon ng ilang mga uri ng mga pag-andar. Upang magtrabaho sa kanila, kailangan mong matuto ng ilang higit pang mga patakaran:

Exponent at natural logarithm.

Mayroong isang function sa matematika na ang derivative para sa anumang halaga ay katumbas ng halaga ng mismong function sa parehong oras. Ito ay tinatawag na "exponent", at isang exponential function

Ang batayan ng function na ito ay isang pare-pareho - ito ay walang hanggan decimal, iyon ay, isang hindi makatwirang numero (tulad ng). Ito ay tinatawag na "Euler number", kung kaya't ito ay tinutukoy ng isang titik.

Kaya, ang panuntunan:

Napakadaling tandaan.

Well, huwag na tayong lumayo, tingnan natin kaagad baligtad na pag-andar. Aling function ang kabaligtaran ng exponential function? Logarithm:

Sa aming kaso, ang base ay ang numero:

Ang ganitong logarithm (iyon ay, isang logarithm na may base) ay tinatawag na "natural", at gumagamit kami ng isang espesyal na notasyon para dito: sumulat kami sa halip.

Ano ang katumbas nito? Syempre.

Ang derivative ng natural logarithm ay napaka-simple din:

Mga halimbawa:

1. Hanapin ang derivative ng function.
2. Ano ang derivative ng function?

Mga sagot: Exhibitor at natural na logarithm- ang mga function ay katangi-tanging simple sa mga tuntunin ng mga derivatives. Ang mga exponential at logarithmic function sa anumang iba pang base ay magkakaroon ng ibang derivative, na susuriin natin mamaya, pagkatapos nating dumaan sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan

Panuntunan ng ano? Panibagong termino na naman?!...

Differentiation ay ang proseso ng paghahanap ng derivative.

Iyon lang. Ano pa ang matatawag mo sa prosesong ito sa isang salita? Hindi derivative... Tinatawag ng mga mathematician ang differential na parehong increment ng isang function at. Ang terminong ito ay nagmula sa Latin differentia - pagkakaiba. Dito.

Kapag nakuha ang lahat ng mga panuntunang ito, gagamit kami ng dalawang function, halimbawa, at. Kakailanganin din namin ang mga formula para sa kanilang mga increment:

Mayroong 5 panuntunan sa kabuuan.

Ang pare-pareho ay kinuha sa labas ng derivative sign.

Kung - ilang pare-parehong numero (constant), kung gayon.

Malinaw, gumagana din ang panuntunang ito para sa pagkakaiba: .

Patunayan natin. Hayaan ito, o mas simple.

Mga halimbawa.

Hanapin ang mga derivatives ng mga function:

1. sa isang punto;
2. sa isang punto;
3. sa isang punto;
4. sa punto.

Mga solusyon:

1. (ang derivative ay pareho sa lahat ng punto, dahil ito linear function, remember?);

Derivative ng produkto

Ang lahat ay magkatulad dito: ipakilala natin ang isang bagong function at hanapin ang pagtaas nito:

Derivative:

Mga halimbawa:

1. Hanapin ang mga derivatives ng mga function at;
2. Hanapin ang derivative ng function sa isang punto.

Mga solusyon:

Derivative ng isang exponential function

Ngayon ang iyong kaalaman ay sapat na upang matutunan kung paano hanapin ang derivative ng anumang exponential function, at hindi lamang mga exponent (nakalimutan mo na ba kung ano iyon?).

Kaya, nasaan ang ilang numero.

Alam na natin ang derivative ng function, kaya subukan nating bawasan ang ating function sa isang bagong base:

Para dito gagamitin natin simpleng tuntunin: . Pagkatapos:

Well, ito ay nagtrabaho. Ngayon subukang hanapin ang derivative, at huwag kalimutan na ang function na ito ay kumplikado.

gumana ba?

Dito, suriin ang iyong sarili:

Ang formula ay naging halos kapareho sa derivative ng isang exponent: tulad noon, nananatili itong pareho, isang kadahilanan lamang ang lumitaw, na isang numero lamang, ngunit hindi isang variable.

Mga halimbawa:
Hanapin ang mga derivatives ng mga function:

Mga sagot:

Ito ay isang numero lamang na hindi maaaring kalkulahin nang walang calculator, iyon ay, hindi na ito maaaring isulat sa anumang higit pa. sa simpleng anyo. Samakatuwid, iniiwan namin ito sa form na ito sa sagot.

Derivative ng isang logarithmic function

Ito ay katulad dito: alam mo na ang derivative ng natural logarithm:

Samakatuwid, upang makahanap ng isang di-makatwirang logarithm na may ibang base, halimbawa:

Kailangan nating bawasan ang logarithm na ito sa base. Paano mo babaguhin ang base ng isang logarithm? Sana ay tandaan mo ang formula na ito:

Ngayon lang kami magsusulat sa halip:

Ang denominator ay isang pare-pareho lamang (isang pare-parehong numero, walang variable). Ang derivative ay nakuha nang napakasimple:

Ang mga derivatives ng exponential at logarithmic function ay halos hindi makikita sa Unified State Examination, ngunit hindi magiging kalabisan na malaman ang mga ito.

Derivative ng isang kumplikadong function.

Anong nangyari" kumplikadong pag-andar"? Hindi, ito ay hindi isang logarithm, at hindi isang arctangent. Ang mga pag-andar na ito ay maaaring maging mahirap na maunawaan (bagaman kung nakita mong mahirap ang logarithm, basahin ang paksang "Logarithm" at magiging maayos ka), ngunit mula sa isang matematikal na pananaw, ang salitang "kumplikado" ay hindi nangangahulugang "mahirap".

Isipin ang isang maliit na conveyor belt: dalawang tao ang nakaupo at gumagawa ng ilang mga aksyon sa ilang mga bagay. Halimbawa, binabalot ng una ang isang chocolate bar sa isang wrapper, at tinatali ito ng pangalawa gamit ang isang laso. Ang resulta ay isang pinagsama-samang bagay: isang chocolate bar na nakabalot at nakatali ng isang laso. Upang kumain ng tsokolate, kailangan mong gawin baliktad na mga aksyon sa reverse order.

Gumawa tayo ng katulad na mathematical pipeline: unang makikita natin ang cosine ng isang numero, at pagkatapos ay parisukat ang resultang numero. So, binibigyan tayo ng number (chocolate), I find its cosine (wrapper), tapos i-square mo yung nakuha ko (itali mo ng ribbon). Anong nangyari? Function. Ito ay isang halimbawa ng isang kumplikadong function: kapag, upang mahanap ang halaga nito, ginagawa namin ang unang aksyon nang direkta sa variable, at pagkatapos ay isang pangalawang aksyon na may kung ano ang nagresulta mula sa una.

Madali nating magagawa ang parehong mga hakbang sa reverse order: una mong i-square ito, at pagkatapos ay hahanapin ko ang cosine ng resultang numero: . Madaling hulaan na ang resulta ay halos palaging naiiba. Mahalagang Tampok kumplikadong mga pag-andar: kapag nagbabago ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, nagbabago ang pag-andar.

Sa madaling salita, ang isang kumplikadong function ay isang function na ang argumento ay isa pang function: .

Para sa unang halimbawa, .

Pangalawang halimbawa: (parehong bagay). .

Ang aksyon na huli nating gagawin ay tatawagin "panlabas" na function, at ang aksyon na unang ginawa - ayon dito "panloob" na function(ito ay mga impormal na pangalan, ginagamit ko lamang ang mga ito upang ipaliwanag ang materyal sa simpleng wika).

Subukang tukuyin para sa iyong sarili kung aling function ang panlabas at kung aling panloob:

Mga sagot: Ang paghihiwalay ng panloob at panlabas na mga function ay halos kapareho sa pagbabago ng mga variable: halimbawa, sa isang function

1. Anong aksyon ang una nating gagawin? Una, kalkulahin natin ang sine, at pagkatapos ay i-cube ito. Nangangahulugan ito na ito ay isang panloob na pag-andar, ngunit isang panlabas.
   At ang orihinal na function ay ang kanilang komposisyon: .
2. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .
3. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .
4. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .
5. Panloob: ; panlabas: .
   Pagsusuri: .

Nagbabago kami ng mga variable at nakakakuha ng isang function.

Well, ngayon ay kukunin namin ang aming chocolate bar at hanapin ang derivative. Ang pamamaraan ay palaging baligtad: una ay hinahanap natin ang derivative ng panlabas na function, pagkatapos ay i-multiply natin ang resulta sa derivative ng panloob na function. Kaugnay ng orihinal na halimbawa, ganito ang hitsura:

Isa pang halimbawa:

Kaya, sa wakas ay bumalangkas tayo ng opisyal na tuntunin:

Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:

Parang simple lang diba?

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Mga solusyon:

1) Panloob: ;

Panlabas: ;

2) Panloob: ;

(Huwag mo lang subukang putulin ito ngayon! Walang lumalabas sa ilalim ng cosine, tandaan?)

3) Panloob: ;

Panlabas: ;

Kaagad na malinaw na ito ay isang tatlong antas na kumplikadong pag-andar: pagkatapos ng lahat, ito ay isang kumplikadong pag-andar sa sarili nito, at kinukuha din namin ang ugat mula dito, iyon ay, ginagawa namin ang pangatlong aksyon (ilagay ang tsokolate sa isang wrapper. at may laso sa portpolyo). Ngunit walang dahilan upang matakot: "i-unpack" pa rin namin ang function na ito sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng dati: mula sa dulo.

Iyon ay, una nating pinag-iiba ang ugat, pagkatapos ay ang cosine, at pagkatapos lamang ang expression sa mga bracket. At pagkatapos ay pinarami natin ang lahat.

Sa ganitong mga kaso, ito ay maginhawa upang bilangin ang mga aksyon. Ibig sabihin, isipin natin kung ano ang alam natin. Sa anong pagkakasunud-sunod namin magsasagawa ng mga aksyon upang makalkula ang halaga ng expression na ito? Tingnan natin ang isang halimbawa:

Sa paglaon ang aksyon ay ginanap, mas magiging "panlabas" ang kaukulang pag-andar. Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ay kapareho ng dati:

Dito karaniwang 4 na antas ang nesting. Tukuyin natin ang takbo ng aksyon.

1. Radikal na pagpapahayag. .

2. Ugat. .

3. Sine. .

4. Square. .

5. Pinagsasama-sama ang lahat:

DERIVATIVE. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Derivative ng isang function- ang ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento para sa isang infinitesimal na pagtaas ng argumento:

Mga pangunahing derivatives:

Panuntunan ng pagkakaiba-iba:

Ang pare-pareho ay kinuha mula sa derivative sign:

Derivative ng kabuuan:

Derivative ng produkto:

Derivative ng quotient:

Derivative ng isang kumplikadong function:

Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:

1. Tinukoy namin ang "internal" na function at hinahanap ang derivative nito.
2. Tinukoy namin ang "panlabas" na function at hinahanap ang derivative nito.
3. Pinaparami namin ang mga resulta ng una at pangalawang puntos.

Sa isang partikular na agwat, ang function ay may 2 maximum at 2 minimum, para sa kabuuang 4 na extrema. Takdang Aralin Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng derivative ng isang function na tinukoy sa isang pagitan. Solusyon Sa isang partikular na segment, positibo ang derivative ng function, kaya tumataas ang function sa segment na ito. Solusyon Kung ang derivative sa isang tiyak na punto ay katumbas ng zero, at sa paligid nito ay nagbabago ng tanda, kung gayon ito ay isang extremum point.

Pagkalkula ng derivative value. Dalawang punto na pamamaraan

1. Gamit ang derivative graph, suriin ang function. Ang function na y=f(x) ay bumababa sa mga pagitan (x1;x2) at (x3;x4). Gamit ang graph ng derivative na y=f ‘(x) maaari mo ring ihambing ang mga halaga ng function na y=f(x).

Tukuyin natin ang mga puntong ito bilang A (x1; y1) at B (x2; y2). Isulat nang tama ang mga coordinate - ito ay pangunahing punto mga solusyon, at anumang pagkakamali dito ay nagreresulta sa isang maling sagot.

Sa pisikal na kahulugan, ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng anumang proseso. Ang isang materyal na punto ay gumagalaw nang patuwid ayon sa batas x(t) = t²-13t+23, kung saan ang x ay ang distansya mula sa reference point sa metro, t ay ang oras sa mga segundo, na sinusukat mula sa simula ng paggalaw.

Tangent sa isang bilog, ellipse, hyperbola, parabola.

Ipaalala ko sa iyo na ganito ang tunog: ang isang function ay tinatawag na pagtaas/pagbaba sa isang pagitan kung ang isang mas malaking argumento ng function ay tumutugma sa isang mas malaki/mas maliit na halaga ng function. Ngunit mangyaring tingnan ang iyong solusyon sa problema 7089. Doon, kapag tinukoy ang pagtaas ng mga pagitan, ang mga hangganan ay hindi kasama. Pakitandaan na ang derivative graph ay ibinigay. Gaya ng dati: ang nabutas na punto ay hindi namamalagi sa graph, ang mga halaga sa loob nito ay hindi umiiral at hindi isinasaalang-alang. Ang mga bata na handang-handa ay nakikilala ang pagkakaiba sa pagitan ng mga konseptong "derivative" at "second derivative." Nakakalito ka: kung ang derivative ay 0, sa puntong ang function ay maaaring magkaroon ng minimum o maximum. Ang mga negatibong halaga ng derivative ay tumutugma sa mga agwat kung saan bumababa ang function na f(x).

Hanggang sa puntong ito, naging abala kami sa paghahanap ng mga equation para sa mga tangent sa mga graph ng single-valued na function ng form na y = f(x) sa iba't ibang punto.

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng tatlong aktwal na magkakaibang secants (mga puntos A at B ay magkaiba), ngunit sila ay nag-tutugma at binibigyan ng isang equation. Ngunit gayon pa man, kung magsisimula tayo sa kahulugan, kung gayon ang tuwid na linya at ang secant na linya nito ay magkakasabay. Simulan natin ang paghahanap ng mga coordinate ng mga tangent point. Mangyaring bigyang-pansin ito, dahil sa ibang pagkakataon ay gagamitin namin ito kapag kinakalkula ang mga ordinate ng mga tangent na punto. Isang hyperbola na may sentro sa isang punto at vertices at ibinibigay sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay (ang figure sa ibaba sa kaliwa), at may vertices at sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay (ang figure sa ibaba sa kanan). Isang lohikal na tanong ang lumitaw: kung paano matukoy kung aling function ang isang punto. Upang sagutin ito, pinapalitan namin ang mga coordinate sa bawat equation at tingnan kung alin sa mga pagkakapantay-pantay ang nagiging isang pagkakakilanlan.

Minsan tinatanong ng mga estudyante kung ano ang tangent sa graph ng isang function. Ito ay isang tuwid na linya na may iisang karaniwang punto na may graph sa seksyong ito, at tulad ng ipinapakita sa aming figure. Mukhang isang padaplis sa isang bilog. Hahanapin natin. Naaalala namin na ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Sa graph, ito ay tumutugma sa isang matalim na pahinga, kapag imposibleng gumuhit ng isang tangent sa isang naibigay na punto. Paano mahahanap ang derivative kung ang function ay hindi ibinigay ng isang graph, ngunit sa pamamagitan ng isang formula?