Suriin natin ang dalawang uri ng mga solusyon sa mga sistema ng mga equation:

1. Paglutas ng sistema gamit ang paraan ng pagpapalit.
2. Paglutas ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) ng mga equation ng system.

Upang malutas ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit kailangan mong sundin ang isang simpleng algorithm:
1. Ipahayag. Mula sa anumang equation ipinapahayag namin ang isang variable.
2. Kapalit. Pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa isa pang equation sa halip na ang ipinahayag na variable.
3. Lutasin ang resultang equation na may isang variable. Nakahanap kami ng solusyon sa system.

Upang magpasya sistema sa pamamagitan ng term-by-term na paraan ng pagdaragdag (pagbabawas). kailangang:
1. Pumili ng variable kung saan gagawa tayo ng magkaparehong coefficient.
2. Nagdaragdag o nagbabawas tayo ng mga equation, na nagreresulta sa isang equation na may isang variable.
3. Lutasin ang resultang linear equation. Nakahanap kami ng solusyon sa system.

Ang solusyon sa system ay ang mga intersection point ng mga function graph.

Isaalang-alang natin nang detalyado ang solusyon ng mga system gamit ang mga halimbawa.

Halimbawa #1:

Lutasin natin sa paraan ng pagpapalit

Paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit

2x+5y=1 (1 equation)
x-10y=3 (2nd equation)

1. Ipahayag
Makikita na sa pangalawang equation ay mayroong variable x na may coefficient na 1, na nangangahulugang pinakamadaling ipahayag ang variable x mula sa pangalawang equation.
x=3+10y

2.Pagkatapos nating maipahayag ito, pinapalitan natin ang 3+10y sa unang equation sa halip na ang variable na x.
2(3+10y)+5y=1

3. Lutasin ang resultang equation na may isang variable.
2(3+10y)+5y=1 (buksan ang mga bracket)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

Ang solusyon sa sistema ng equation ay ang mga intersection point ng mga graph, kaya kailangan nating hanapin ang x at y, dahil ang intersection point ay binubuo ng x at y, sa unang punto kung saan natin ito ipinahayag, pinapalitan natin ang y doon .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Nakaugalian na isulat ang mga puntos sa unang lugar na isinusulat natin ang variable na x, at sa pangalawang lugar ang variable na y.
Sagot: (1; -0.2)

Halimbawa #2:

Lutasin natin gamit ang term-by-term na paraan ng pagdaragdag (pagbabawas).

Paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag

3x-2y=1 (1 equation)
2x-3y=-10 (2nd equation)

1. Pumili tayo ng variable, sabihin nating pipiliin natin ang x. Sa unang equation, ang variable x ay may coefficient na 3, sa pangalawa - 2. Kailangan nating gawin ang mga coefficient na pareho, para dito may karapatan tayong i-multiply ang mga equation o hatiin sa anumang numero. I-multiply namin ang unang equation sa pamamagitan ng 2, at ang pangalawa sa pamamagitan ng 3 at makakuha ng kabuuang koepisyent ng 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Ibawas ang pangalawa sa unang equation upang maalis ang variable na x.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Hanapin ang x. Pinapalitan natin ang nahanap na y sa alinman sa mga equation, sabihin natin sa unang equation.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Ang intersection point ay magiging x=4.6; y=6.4
Sagot: (4.6; 6.4)

Gusto mo bang maghanda para sa mga pagsusulit nang libre? Tutor online nang libre. Walang biro.

Sa araling ito ay patuloy nating pag-aaralan ang paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation, katulad ng: ang pamamaraan algebraic na karagdagan. Una, tingnan natin ang aplikasyon ng paraang ito gamit ang isang halimbawa mga linear na equation at ang kakanyahan nito. Tandaan din natin kung paano i-equalize ang mga coefficient sa mga equation. At malulutas namin ang isang bilang ng mga problema gamit ang pamamaraang ito.

Paksa: Mga sistema ng equation

Aralin: Algebraic na paraan ng pagdaragdag

1. Paraan ng algebraic addition gamit ang mga linear system bilang isang halimbawa

Isaalang-alang natin paraan ng pagdaragdag ng algebraic gamit ang halimbawa ng mga linear system.

Halimbawa 1. Lutasin ang sistema

Kung idaragdag natin ang dalawang equation na ito, pagkatapos ay kanselahin ang y, na nag-iiwan ng equation para sa x.

Kung ibawas natin ang pangalawa sa unang equation, kanselahin ng x ang isa't isa, at makakakuha tayo ng equation para sa y. Ito ang kahulugan ng paraan ng pagdaragdag ng algebraic.

Nalutas namin ang sistema at naalala ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic. Ulitin natin ang kakanyahan nito: maaari tayong magdagdag at magbawas ng mga equation, ngunit dapat nating tiyakin na makakakuha tayo ng isang equation na may isang hindi alam lamang.

2. Paraan ng algebraic na pagdaragdag na may paunang equalization ng coefficients

Halimbawa 2. Lutasin ang sistema

Ang termino ay naroroon sa parehong mga equation, kaya ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic ay maginhawa. Ibawas natin ang pangalawa sa unang equation.

Sagot: (2; -1).

Kaya, pagkatapos pag-aralan ang sistema ng mga equation, makikita mo na ito ay maginhawa para sa paraan ng algebraic na karagdagan, at ilapat ito.

Isaalang-alang natin ang isa pang linear system.

3. Solusyon ng mga nonlinear system

Halimbawa 3. Lutasin ang sistema

Nais naming alisin ang y, ngunit ang mga coefficient ng y ay naiiba sa dalawang equation. I-equalize natin ang mga ito; para magawa ito, i-multiply ang unang equation sa 3, ang pangalawa sa 4.

Halimbawa 4. Lutasin ang sistema

Equalize natin ang coefficients para sa x

Magagawa mo ito nang iba - ipantay ang mga coefficient para sa y.

Nalutas namin ang system sa pamamagitan ng paglalapat ng algebraic na paraan ng pagdaragdag nang dalawang beses.

Naaangkop din ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic sa paglutas ng mga nonlinear system.

Halimbawa 5. Lutasin ang sistema

Pagsamahin natin ang mga equation na ito at aalisin natin ang y.

Ang parehong sistema ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng algebraic na paraan ng pagdaragdag nang dalawang beses. Idagdag at ibawas natin sa isang equation ang isa pa.

Halimbawa 6. Lutasin ang sistema

Sagot:

Halimbawa 7. Lutasin ang sistema

Gamit ang paraan ng algebraic addition ay aalisin natin ang xy term. I-multiply natin ang unang equation sa .

Ang unang equation ay nananatiling hindi nagbabago, sa halip na ang pangalawa ay isusulat namin ang algebraic sum.

Sagot:

Halimbawa 8. Lutasin ang sistema

I-multiply ang pangalawang equation sa 2 upang ihiwalay ang isang perpektong parisukat.

Ang aming gawain ay nabawasan sa paglutas ng apat na simpleng sistema.

4. Konklusyon

Sinuri namin ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic gamit ang halimbawa ng paglutas ng mga linear at nonlinear system. Sa susunod na aralin ay titingnan natin ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable.

1. Mordkovich A.G. et al. Ika-9 na baitang: Teksbuk. Para sa pangkalahatang edukasyon Institusyon.- ika-4 na ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. et al. Ika-9 na baitang: Problema ng libro para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / A.G. Mordkovich, T.N. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu. Ika-9 na baitang: pang-edukasyon. para sa mga mag-aaral sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — ika-7 ed., rev. at karagdagang - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin M., Sidorov Yu. ika-9 na baitang. ika-16 na ed. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. ika-9 na baitang. Sa 2 oras Bahagi 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12th ed., nabura. - M.: 2010. - 224 p.: may sakit.

6. Algebra. ika-9 na baitang. Sa 2 bahagi. Bahagi 2. Libro ng problema para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina at iba pa; Ed. A. G. Mordkovich. — ika-12 na ed., rev. - M.: 2010.-223 p.: may sakit.

1. Seksyon ng kolehiyo. ru sa matematika.

2. Proyekto sa Internet na "Mga Gawain".

3. Portal na pang-edukasyon“AKING SOLUSYON ANG PAGGAMIT.”

1. Mordkovich A.G. et al 9th ​​grade: Problema ng libro para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyon ng edukasyon / A.G. Mordkovich, T.N. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. No. 125 - 127.

Kailangan mong mag-download ng isang lesson plan sa paksa » Algebraic na paraan ng pagdaragdag?

Gamit ang mathematical program na ito, maaari mong lutasin ang isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang variable gamit ang substitution method at ang addition method.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit nagbibigay din ng isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag ng mga hakbang sa solusyon sa dalawang paraan: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Ang programang ito Maaari itong maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school sa mga paaralan ng pangkalahatang edukasyon kapag naghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, at para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang-aralin

sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga equation
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.

Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), atbp. Kapag nagpapasok ng mga equation maaari kang gumamit ng panaklong
. Sa kasong ito, ang mga equation ay unang pinasimple.

Ang mga equation pagkatapos ng mga pagpapasimple ay dapat na linear, i.e. ng anyong ax+by+c=0 na may katumpakan ng pagkakasunud-sunod ng mga elemento.

Halimbawa: 6x+1 = 5(x+y)+2
Sa mga equation, maaari mong gamitin hindi lamang ang mga buong numero, kundi pati na rin ang mga fraction sa anyo ng mga decimal at ordinaryong mga fraction. Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction. Integer at fractional na mga bahagi sa
mga decimal

maaaring paghiwalayin ng tuldok o kuwit.
Halimbawa: 2.1n + 3.5m = 55
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction. Ang denominator ay hindi maaaring negatibo. Pag pasok /
numerical fraction &

Ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon:
Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign:
Mga halimbawa.

Halimbawa: 3x-4y = 5

Halimbawa: 6x+1 = 5(x+y)+2
Lutasin ang sistema ng mga equation
Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.

Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.

Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila. Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.

Mangyaring maghintay sec... Kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon.
, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng feedback magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Pamamaraan ng pagpapalit

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagpapalit:
1) ipahayag ang isang variable mula sa ilang equation ng system sa mga tuntunin ng isa pa;
2) palitan ang resultang expression sa isa pang equation ng system sa halip na ang variable na ito;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Ipahayag natin ang y sa mga tuntunin ng x mula sa unang equation: y = 7-3x. Ang pagpapalit ng expression na 7-3x sa pangalawang equation sa halip na y, nakuha namin ang system:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Madaling ipakita na ang una at pangalawang sistema ay may parehong mga solusyon. Sa pangalawang sistema, ang pangalawang equation ay naglalaman lamang ng isang variable. Lutasin natin ang equation na ito:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Ang pagpapalit ng 1 sa halip na x sa pagkakapantay-pantay na y=7-3x, makikita natin ang katumbas na halaga ng y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pares (1;4) - solusyon ng system

Ang mga sistema ng mga equation sa dalawang variable na may parehong mga solusyon ay tinatawag katumbas. Ang mga system na walang mga solusyon ay itinuturing din na katumbas.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng karagdagan

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation - ang paraan ng pagdaragdag. Kapag nilulutas ang mga sistema gamit ang pamamaraang ito, pati na rin kapag ang paglutas gamit ang paraan ng pagpapalit, lumilipat kami mula sa isang naibigay na sistema patungo sa isa pa, katumbas na sistema, kung saan ang isa sa mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:
1) paramihin ang mga equation ng term ng system sa pamamagitan ng term, pagpili ng mga salik upang ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay maging kabaligtaran na mga numero;
2) idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng term ng system equation sa pamamagitan ng termino;
3) lutasin ang resultang equation na may isang variable;
4) hanapin ang katumbas na halaga ng pangalawang variable.

Halimbawa. Lutasin natin ang sistema ng mga equation:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Sa mga equation ng sistemang ito, ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na numero. Ang pagdaragdag ng kaliwa at kanang bahagi ng equation term sa pamamagitan ng term, makakakuha tayo ng equation na may isang variable na 3x=33. Palitan natin ang isa sa mga equation ng system, halimbawa ang una, ng equation na 3x=33. Kunin natin ang sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Mula sa equation na 3x=33 nakita natin na x=11. Ang pagpapalit ng x value na ito sa equation \(x-3y=38\) ay makakakuha tayo ng equation na may variable na y: \(11-3y=38\). Lutasin natin ang equation na ito:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Kaya, natagpuan namin ang solusyon sa sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagdaragdag: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Sinasamantala ang katotohanan na sa mga equation ng system ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na mga numero, binawasan namin ang solusyon nito sa solusyon ng isang katumbas na sistema (sa pamamagitan ng pagsusuma sa magkabilang panig ng bawat isa sa mga equation ng orihinal na sistema), kung saan ang isa ng mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Mga aklat (mga aklat-aralin) Mga abstract Pinag-isang State Examination at Unified State Examination na mga pagsusulit online Mga laro, palaisipan Mga function ng graphing Diksyunaryo ng pagbabaybay ng wikang Ruso Diksyunaryo ng balbal ng kabataan Direktoryo ng mga paaralang Ruso Catalog ng pangalawang institusyong pang-edukasyon ng Russia Catalog ng mga Unibersidad ng Russia Listahan ng mga gawain

Gamit ang paraan ng pagdaragdag, ang mga equation ng isang sistema ay idinaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino, at ang isa o pareho (ilang) mga equation ay maaaring i-multiply sa anumang numero. Bilang isang resulta, dumating sila sa isang katumbas na SLE, kung saan sa isa sa mga equation mayroon lamang isang variable.

Upang malutas ang sistema paraan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) sundin ang mga hakbang na ito:

1. Pumili ng variable kung saan gagawin ang parehong coefficient.

2. Ngayon ay kailangan mong idagdag o ibawas ang mga equation at kumuha ng equation na may isang variable.

Solusyon ng system- ito ang mga intersection point ng mga function graph.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1.

Ibinigay na sistema:

Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa sistemang ito, mapapansin mo na ang mga coefficient ng variable ay pantay sa magnitude at naiiba sa sign (-1 at 1). Sa kasong ito, ang mga equation ay madaling maidagdag ng termino sa pamamagitan ng termino:

Ginagawa namin ang mga aksyon na binilog sa pula sa aming mga isipan.

Ang resulta ng termino-by-term na pagdaragdag ay ang pagkawala ng variable y. Ito ay tiyak ang kahulugan ng pamamaraan - upang mapupuksa ang isa sa mga variable.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Sa form ng system, ang solusyon ay ganito ang hitsura:

Sagot: x = -4 , y = 1.

Halimbawa 2.

Ibinigay na sistema:

Sa halimbawang ito, maaari mong gamitin ang pamamaraang "paaralan", ngunit mayroon itong isang malaking kawalan - kapag nagpahayag ka ng anumang variable mula sa anumang equation, makakakuha ka ng solusyon sa mga ordinaryong fraction. Ngunit ang paglutas ng mga fraction ay tumatagal ng maraming oras at ang posibilidad na magkamali ay tumataas.

Samakatuwid, mas mainam na gumamit ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation. Suriin natin ang mga coefficient ng mga kaukulang variable:

Kailangan mong maghanap ng numero na maaaring hatiin sa 3 at sa 4 , at kinakailangan na ang bilang na ito ay ang pinakamababang posible. Ito hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kung mahirap para sa iyo na makahanap ng angkop na numero, maaari mong i-multiply ang mga coefficient: .

Susunod na hakbang:

I-multiply namin ang 1st equation sa ,

I-multiply namin ang 3rd equation sa ,