Ito ang pangalan para sa mga equation ng anyo kung saan ang hindi alam ay nasa exponent at base ng kapangyarihan.

Maaari mong tukuyin ang isang ganap na malinaw na algorithm para sa paglutas ng isang equation ng form. Upang gawin ito, kailangan mong bigyang-pansin ang katotohanan na kung kailan Oh) hindi katumbas ng zero, isa at minus isang pagkakapantay-pantay ng mga kapangyarihan sa sa parehong mga batayan(maging ito ay positibo o negatibo) ay posible lamang kung ang mga exponent ay pantay Iyon ay, ang lahat ng mga ugat ng equation ay magiging mga ugat ng equation f(x) = g(x) Ang kabaligtaran na pahayag ay hindi totoo, kung kailan Oh)< 0 at mga fractional na halaga f(x) At g(x) mga ekspresyon Oh) f(x) At

Oh) g(x) mawala ang kanilang kahulugan. Iyon ay, kapag lumipat mula sa f(x) = g(x)(para sa at mga extraneous na ugat ay maaaring lumitaw, na kailangang ibukod sa pamamagitan ng pagsuri laban sa orihinal na equation. At mga kaso a = 0, a = 1, a = -1 kailangang isaalang-alang nang hiwalay.

Kaya para sa kumpletong solusyon mga equation na isinasaalang-alang namin ang mga kaso:

a(x) = O f(x) At g(x) magiging mga positibong numero, kung gayon ito ang solusyon. Kung hindi, hindi

a(x) = 1. Ang mga ugat ng equation na ito ay mga ugat din ng orihinal na equation.

a(x) = -1. Kung, para sa isang halaga ng x na nakakatugon sa equation na ito, f(x) At g(x) ay mga integer ng parehong parity (alinman sa parehong kahit o parehong kakaiba), pagkatapos ito ay ang solusyon. Kung hindi, hindi

Kailan at malulutas natin ang equation f(x)= g(x) at sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nakuhang resulta sa orihinal na equation ay pinutol natin ang mga extraneous na ugat.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation ng exponential-power.

Halimbawa Blg. 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. dahil 3 > 0, at 3 2 > 0, pagkatapos x 1 = 3 ang solusyon.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Parehong pantay ang mga indicator. Ang solusyon na ito ay x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 at x? ± 1. x = x 2, x = 0 o x = 1. Para sa x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - tama ang solusyong ito: x 4 = 0. Para sa x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - tama ang solusyong ito x 5 = 1.

Sagot: 0, 1, 2, 3, 4.

Halimbawa Blg. 2.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng aritmetika parisukat na ugat: x - 1 ? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 o x = 1, = 0, 0 0 ay hindi solusyon.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 ay hindi kasya sa ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - walang mga ugat.

1º. Exponential equation ay tinatawag na mga equation na naglalaman ng variable sa isang exponent.

Ang paglutas ng mga exponential equation ay batay sa pag-aari ng mga kapangyarihan: dalawang kapangyarihan na may parehong base ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang mga exponent ay pantay.

2º. Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation:

1) ang pinakasimpleng equation ay may solusyon;

2) isang equation ng form na logarithmic sa base a bawasan sa anyo ;

3) ang isang equation ng form ay katumbas ng equation;

4) equation ng form ay katumbas ng equation.

5) ang isang equation ng form ay nabawasan sa pamamagitan ng pagpapalit sa isang equation, at pagkatapos ay isang set ng mga simpleng exponential equation ay malulutas;

6) equation na may reciprocals sa pamamagitan ng pagpapalit binabawasan nila sa isang equation, at pagkatapos ay malulutas ang isang hanay ng mga equation;

7) mga equation na homogenous na may paggalang sa isang g(x) At b g(x) ibinigay na mabait sa pamamagitan ng pagpapalit ay binabawasan sila sa isang equation, at pagkatapos ay isang set ng mga equation ay malulutas.

Pag-uuri ng mga exponential equation.

1. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng pagpunta sa isang base.

Halimbawa 18. Lutasin ang equation .

Solusyon: Samantalahin natin ang katotohanan na ang lahat ng mga base ng kapangyarihan ay mga kapangyarihan ng numero 5: .

2. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng pagpasa sa isang exponent.

Ang mga equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabago ng orihinal na equation sa anyo , na binabawasan sa pinakasimpleng gamit ang property ng proporsyon.

Halimbawa 19. Lutasin ang equation:

3. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket.

Kung ang bawat exponent sa isang equation ay naiiba mula sa isa sa pamamagitan ng isang tiyak na numero, ang mga equation ay malulutas sa pamamagitan ng paglalagay ng exponent na may pinakamaliit na exponent sa labas ng mga bracket.

Halimbawa 20. Lutasin ang equation.

Solusyon: Kunin natin ang degree na may pinakamaliit na exponent mula sa mga bracket sa kaliwang bahagi ng equation:

Halimbawa 21. Lutasin ang equation

Solusyon: Pagsama-samahin natin sa kaliwang bahagi ng equation ang mga terminong naglalaman ng mga kapangyarihan na may base 4, sa kanang bahagi - na may base 3, pagkatapos ay ilagay ang mga kapangyarihan na may pinakamaliit na exponent sa labas ng mga bracket:

4. Mga equation na bumababa sa quadratic (o cubic) equation.

SA quadratic equation may kinalaman sa bagong variable y ang mga sumusunod na equation ay binabawasan:

a) uri ng pagpapalit, sa kasong ito;

b) ang uri ng pagpapalit , at .

Halimbawa 22. Lutasin ang equation .

Solusyon: Gumawa tayo ng pagbabago ng variable at lutasin ang quadratic equation:

.

Sagot: 0; 1.

5. Mga equation na homogenous na may kinalaman sa exponential functions.

Ang isang equation ng form ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree na may paggalang sa mga hindi alam isang x At b x. Ang ganitong mga equation ay nababawasan sa pamamagitan ng unang paghahati sa magkabilang panig sa pamamagitan ng at pagkatapos ay pagpapalit sa kanila sa mga quadratic equation.

Halimbawa 23. Lutasin ang equation.

Solusyon: Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:

Sa paglalagay, nakakakuha tayo ng isang quadratic equation na may mga ugat.

Ngayon ang problema ay bumaba sa paglutas ng isang hanay ng mga equation . Mula sa unang equation nakita namin na . Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, dahil para sa anumang halaga x.

Sagot: -1/2.

6. Rational equation na may kinalaman sa exponential functions.

Halimbawa 24. Lutasin ang equation.

Solusyon: Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa 3 x at sa halip na dalawa ay nakakakuha tayo ng isang exponential function:

7. Mga equation ng form .

Ang ganitong mga equation na may isang hanay ng mga tinatanggap na halaga (APV), na tinutukoy ng kondisyon, sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm ng magkabilang panig ng equation ay nabawasan sa isang katumbas na equation, na kung saan ay katumbas ng isang set ng dalawang equation o.

Halimbawa 25. Lutasin ang equation: .

.

Didactic na materyal.

Lutasin ang mga equation:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Hanapin ang produkto ng mga ugat ng equation .

27. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation .

Hanapin ang kahulugan ng expression:

28. , saan x 0– ugat ng equation;

29. , saan x 0– buong ugat ng equation .

Lutasin ang equation:

31. ; 32. .

Mga sagot: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5.0; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Paksa Blg. 8.

Exponential inequalities.

1º. Ang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng variable sa exponent ay tinatawag exponential inequality.

2º. Solusyon exponential inequalities ang uri ay batay sa mga sumusunod na pahayag:

kung , kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng ;

kung , kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng .

Kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential, ang parehong mga diskarte ay ginagamit tulad ng kapag nilulutas ang mga exponential equation.

Halimbawa 26. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (paraan ng paglipat sa isang base).

Solusyon: Since , kung gayon ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat bilang: . Dahil ang , kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay .

Ang paglutas ng huling hindi pagkakapantay-pantay, nakukuha natin .

Halimbawa 27. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: ( sa pamamagitan ng pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket).

Solusyon: Alisin natin ang mga bracket sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay , sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng (-2), palitan ang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran:

Dahil , pagkatapos kapag lumipat sa hindi pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay muling nagbabago sa kabaligtaran. Nakukuha namin. Kaya, ang hanay ng lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang pagitan.

Halimbawa 28. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay ( sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable).

Solusyon: Hayaan . Pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay magkakaroon ng anyo: o , na ang solusyon ay ang pagitan.

Mula dito. Dahil ang pag-andar ay tumataas, kung gayon .

Didactic na materyal.

Tukuyin ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Sa anong mga halaga x Nasa ibaba ba ng tuwid na linya ang mga puntos sa function graph?

7. Sa anong mga halaga x Ang mga punto ba sa graph ng function ay namamalagi kahit hanggang sa tuwid na linya?

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Tukuyin ang pinakamalaking integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay .

14. Hanapin ang produkto ng pinakamalaking integer at pinakamaliit na integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay .

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Hanapin ang domain ng function:

27. ; 28. .

29. Hanapin ang hanay ng mga halaga ng argumento kung saan ang mga halaga ng bawat isa sa mga pag-andar ay higit sa 3:

At .

Mga sagot: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.

Idinagdag namin sa orihinal na equation:

Alisin natin ito sa mga bracket \

Ipahayag natin \

Dahil ang mga degree ay pareho, itinatapon namin ang mga ito:

Sagot: \

Saan ko malulutas ang isang exponential equation gamit ang isang online solver?

Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https://site. Ang libreng online solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga online na equation ng anumang kumplikado sa loob ng ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari ka ring manood ng mga tagubilin sa video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon ka pa ring mga katanungan, maaari mong tanungin ang mga ito sa aming VKontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.

Lecture: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation."

1 . Exponential equation.

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa mga exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan a > 0, a ≠ 1.

1) Sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may kakaibang ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan sa anyong b = aс, аx = bс ó x = c o x = logab.

Ang mga exponential equation sa pamamagitan ng algebraic transformations ay humahantong sa mga karaniwang equation, na nalulutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:

1) paraan ng pagbabawas sa isang base;

2) paraan ng pagtatasa;

3) graphic na paraan;

4) paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;

5) paraan ng factorization;

6) nagpapahiwatig - mga equation ng kapangyarihan;

7) demonstrative na may parameter.

2 . Paraan ng pagbawas sa isang base.

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na ari-arian degrees: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponent ay pantay, ibig sabihin, kailangan nating subukang bawasan ang equation sa anyo

Mga halimbawa. Lutasin ang equation:

1 . 3x = 81;

Katawanin natin ang kanang bahagi ng equation sa anyong 81 = 34 at isulat ang equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">at lumipat tayo sa equation para sa mga exponents na 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5 at 25 ay kumakatawan sa mga kapangyarihan ng 5. Samantalahin natin ito at baguhin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

, kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.

5. 3x = 5. Sa kahulugan ng logarithm x = log35. Sagot: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Isulat muli natin ang equation sa anyong 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, ibig sabihin..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x – 4 =0, x = 4. Sagot: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyo na 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 pagkatapos ay 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, ibig sabihin, x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.

Problema bangko No. 1.

Lutasin ang equation:

Pagsusulit Blg. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) walang ugat
	1) 7;1 2) walang ugat 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Pagsusulit Blg. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) walang ugat 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Paraan ng pagsusuri.

Root theorem: kung ang function na f(x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f(x) = a ay may iisang ugat sa interval I.

Kapag nilulutas ang mga equation gamit ang pamamaraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng function ay ginagamit.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga equation: 1. 4x = 5 – x.

Solusyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x +x = 5.

1. kung x = 1, kung gayon ang 41+1 = 5, 5 = 5 ay totoo, na nangangahulugang 1 ang ugat ng equation.

Function f(x) = 4x – tumataas sa R, at g(x) = x – tumataas sa R ​​=> h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R, bilang kabuuan ng pagtaas ng function, kung gayon ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.

2.

Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa anyo .

1. kung x = -1, kung gayon , 3 = 3 ay totoo, na nangangahulugang x = -1 ang ugat ng equation.

2. patunayan na siya lang.

3. Function f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x – bumababa sa R=> h(x) = f(x)+g(x) – bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Ibig sabihin, ayon sa root theorem, x = -1 ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.

Problema bangko No. 2. Lutasin ang equation

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable.

Ang pamamaraan ay inilarawan sa talata 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Tingnan natin ang mga halimbawa.

Mga halimbawa. R Lutasin ang equation: 1. .

Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan:

Italaga natin ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - hindi makatwirang equation. Pansinin namin na

Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, na nangangahulugang 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.

Solusyon. Muli nating isulat ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Ang mga ugat ng quadratic equation ay t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solusyon . Isulat muli natin ang equation sa anyo

at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.

Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin

Palitan natin ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Sagot: 0; 0.5.

Problema bangko No. 3. Lutasin ang equation

b)

G)

Pagsusulit Blg. 3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) walang ugat 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) walang ugat 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Pagsusulit Blg. 4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) walang ugat

5. Pamamaraan ng Factorization.

1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , saan galing

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solusyon. Maglagay tayo ng 6x sa mga bracket sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.

Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.

3.

Solusyon. Lutasin natin ang equation gamit ang factorization method.

Piliin natin ang parisukat ng binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ang ugat ng equation.

Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Pagsusulit Blg. 6 Pangkalahatang antas.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponential – mga equation ng kapangyarihan.

Katabi ng mga exponential equation ang tinatawag na exponential-power equation, ibig sabihin, mga equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).

Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, dapat nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang isang exponential equation.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Solusyon. x2 +2x-8 – makatuwiran para sa anumang x, dahil ito ay isang polynomial, na nangangahulugang ang equation ay katumbas ng kabuuan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponential equation na may mga parameter.

1. Para sa anong mga halaga ng parameter p ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) ay may natatanging solusyon?

Solusyon. Ipakilala natin ang kapalit na 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay magkakaroon ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminant ng equation (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.

1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay magkakaroon ng anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.

2. Kung p1, pagkatapos ay 9(p – 1)2 > 0, ang equation (2) ay may dalawang magkaibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang mga kondisyon ng problema ay natutugunan ng isang set ng mga sistema

Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11)" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solusyon. Hayaan pagkatapos ay ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)

Hanapin natin ang mga halaga ng parameter a kung saan ang hindi bababa sa isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kondisyon t > 0.

Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} quadratic trinomial f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kaso 2. Ang equation (4) ay may natatanging positibong solusyon kung

D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng anyo (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Kaya, para sa a 0, ang equation (4) ay may iisang positibong ugat . Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon

Kapag a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

kung a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;

kung a  0, kung gayon

Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag ang paglutas ng equation (1) ay binawasan sa isang quadratic equation, ang discriminant na kung saan ay isang perpektong parisukat; Kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay nabawasan sa isang quadratic equation (4), ang discriminant na kung saan ay hindi isang perpektong square, samakatuwid, kapag nilutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic trinomial at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem.

Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.

Problema 3: Lutasin ang equation

Solusyon. ODZ: x1, x2.

Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo ang equation ay kukuha ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin natin ang mga halaga ng a kung saan kahit isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Sagot: kung a > – 13, a  11, a  5, kung gayon kung a – 13,

a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.

Listahan ng ginamit na panitikan.

1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.

2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.

M. “Direktor ng Paaralan” Blg. 4, 1996

3. Guzeev at mga organisasyonal na anyo ng pagsasanay.

4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.

M. “Public Education”, 2001

5. Guzeev mula sa mga anyo ng isang aralin - seminar.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987 pp. 9 – 11.

6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Seleuko.

M. “Public Education”, 1998

7. Episheva mga mag-aaral na mag-aral ng matematika.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanova maghanda ng mga aralin - workshop.

Matematika sa paaralan No. 6, 1990 p. 37 – 40.

9. Modelo ng pagtuturo ng matematika ni Smirnov.

Matematika sa paaralan No. 1, 1997 p. 32 – 36.

10. Tarasenko paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.

Matematika sa paaralan No. 1, 1993 p. 27 – 28.

11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1994, pp. 63 – 64.

12. Khazankin pagkamalikhain mga mag-aaral.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1989 p. 10.

13. Scanavi. Publisher, 1997

14. at iba pa ang Algebra at ang simula ng pagsusuri. Mga materyal na didactic Para sa

15. Mga gawain ng Krivonogov sa matematika.

M. "Una ng Setyembre", 2002

16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at

pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002

17. Zhevnyak para sa mga pumapasok sa mga unibersidad.

Minsk at Russian Federation "Repasuhin", 1996

18. Nakasulat D. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999

19. atbp. Pag-aaral upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

M. "Intellect - Center", 2003

20. atbp. Mga materyales sa edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda para sa EGE.

M. "Intelligence - Center", 2003 at 2004.

21 at iba pa. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003.

22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.

Mathematics, 1997 No. 3.

24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Edukasyon, 1988

25. Yakimanskaya – nakatuon sa pag-aaral sa paaralan.

26. Nagtatrabaho si Liimets sa klase. M. Kaalaman, 1975