Mga pagkakaiba sa isosceles at equilateral triangle. Isosceles triangle

Sasaklawin ng araling ito ang paksang “Isosceles triangle at ang mga katangian nito.” Malalaman mo kung ano ang isosceles at equilateral triangle At. Patunayan ang theorem sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base ng isang isosceles triangle. Isaalang-alang din ang theorem tungkol sa bisector (median at altitude) na iginuhit sa base ng isang isosceles triangle. Sa pagtatapos ng aralin, malulutas mo ang dalawang problema gamit ang kahulugan at katangian ng isang isosceles triangle.

Kahulugan:Isosceles ay tinatawag na tatsulok na ang dalawang panig ay pantay.

kanin. 1. Isosceles triangle

AB = AC - mga gilid. BC - pundasyon.

Ang lugar ng isang isosceles triangle ay katumbas ng kalahati ng produkto ng base at taas nito.

Kahulugan:Equilateral ay tinatawag na tatsulok kung saan ang lahat ng tatlong panig ay pantay.

kanin. 2. Equilateral triangle

AB = BC = SA.

Teorama 1: Sa isang isosceles triangle, ang mga base na anggulo ay pantay.

Ibinigay: AB = AC.

Patunayan:∠B =∠C.

kanin. 3. Pagguhit para sa teorama

Patunay: tatsulok ABC = tatsulok ACB ayon sa unang palatandaan (dalawang pantay na panig at ang anggulo sa pagitan nila). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod na ang lahat ng kaukulang elemento ay pantay. Nangangahulugan ito na ∠B = ∠C, na siyang kailangang patunayan.

Teorama 2: Sa isang isosceles triangle bisector iginuhit sa base ay panggitna At taas.

Ibinigay: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Patunayan:ВD = DC, AD patayo sa BC.

kanin. 4. Pagguhit para sa Theorem 2

Patunay: tatsulok ADB = tatsulok ADC ayon sa unang palatandaan (AD - pangkalahatan, AB = AC ayon sa kondisyon, ∠BAD = ∠DAC). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod na ang lahat ng kaukulang elemento ay pantay. BD = DC dahil ang mga ito ay nasa tapat ng pantay na mga anggulo. Kaya AD ang median. Gayundin ∠3 = ∠4, dahil ang mga ito ay nasa tapat ng magkabilang panig. Ngunit, bukod sa, sila ay pantay-pantay sa kabuuan. Samakatuwid, ∠3 = ∠4 = . Nangangahulugan ito na ang AD ay ang taas ng tatsulok, na kung ano ang kailangan naming patunayan.

Sa tanging kaso a = b = . Sa kasong ito, ang mga linyang AC at BD ay tinatawag na patayo.

Dahil ang bisector, height at median ay magkaparehong segment, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo rin:

Ang altitude ng isosceles triangle na iginuhit sa base ay ang median at bisector.

Ang median ng isang isosceles triangle na iginuhit sa base ay ang altitude at bisector.

Halimbawa 1: Sa isang isosceles triangle, ang base ay kalahati ng laki ng gilid, at ang perimeter ay 50 cm. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok.

Ibinigay: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Hanapin: BC, AC, AB.

Solusyon:

kanin. 5. Pagguhit halimbawa 1

Tukuyin natin ang batayang BC bilang a, pagkatapos AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Sagot: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Halimbawa 2: Patunayan na sa isang equilateral triangle ang lahat ng mga anggulo ay pantay.

Ibinigay: AB = BC = SA.

Patunayan:∠A = ∠B = ∠C.

Patunay:

kanin. 6. Pagguhit halimbawa

∠B = ∠C, dahil AB = AC, at ∠A = ∠B, dahil AC = BC.

Samakatuwid, ∠A = ∠B = ∠C, na siyang kailangang patunayan.

Sagot: Napatunayan.

Sa aralin ngayon ay tumingin tayo sa isang isosceles triangle at pinag-aralan ang mga pangunahing katangian nito. Sa susunod na aralin ay malulutas natin ang mga problema sa paksa ng isosceles triangles, sa pagkalkula ng lugar ng isang isosceles at equilateral triangle.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. at iba pa Geometry 7. - M.: Edukasyon.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. at iba pa Geometry 7. 5th ed. - M.: Enlightenment.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometry 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Edukasyon, 2010.

1. Mga diksyunaryo at encyclopedia sa Academician ().
2. Festival pedagogical na ideya « Buksan ang aralin» ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. No. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometry 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Edukasyon, 2010.

2. Ang perimeter ng isang isosceles triangle ay 35 cm, at ang base ay tatlong beses na mas maliit kaysa sa gilid. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok.

3. Ibinigay: AB = BC. Patunayan na ∠1 = ∠2.

4. Ang perimeter ng isang isosceles triangle ay 20 cm, ang isa sa mga gilid nito ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa isa. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok. Ilang solusyon mayroon ang problema?

Isosceles triangle ay isang tatsulok kung saan ang dalawang panig ay magkapareho ang haba. Ang pantay na panig ay tinatawag na lateral, at ang huli ay tinatawag na base. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang isang regular na tatsulok ay isosceles din, ngunit ang kabaligtaran ay hindi totoo.

Mga Katangian

• Ang mga anggulo sa tapat ng pantay na panig ng isang isosceles triangle ay pantay sa bawat isa. Ang mga bisector, median at altitude na iginuhit mula sa mga anggulong ito ay pantay din.
• Ang bisector, median, taas at perpendicular bisector na iginuhit sa base ay nag-tutugma sa bawat isa. Ang mga sentro ng naka-inscribe at naka-circumscribe na mga bilog ay nasa linyang ito.
• Ang mga anggulo sa tapat ng pantay na panig ay palaging talamak (sumusunod mula sa kanilang pagkakapantay-pantay).

Hayaan a- ang haba ng dalawang magkapantay na gilid ng isang isosceles triangle, b- haba ng ikatlong panig, α At β - kaukulang mga anggulo, R- radius ng circumscribed na bilog, r- radius ng inscribed .

Ang mga panig ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Ang mga anggulo ay maaaring ipahayag sa mga sumusunod na paraan:

Ang perimeter ng isang isosceles triangle ay maaaring kalkulahin sa alinman sa mga sumusunod na paraan:

Ang lugar ng isang tatsulok ay maaaring kalkulahin sa isa sa mga sumusunod na paraan:

(Formula ni Heron).

Mga palatandaan

• Dalawang anggulo ng isang tatsulok ay pantay.
• Ang taas ay sumasabay sa median.
• Ang taas ay sumasabay sa bisector.
• Ang panggitnang bahagi ay tumutugma sa median.
• Magkapantay ang dalawang taas.
• Ang dalawang median ay pantay.
• Dalawang bisector ay pantay (Steiner-Lemus theorem).

Tingnan din

Wikimedia Foundation.

• 2010.
• Ang munisipal na distrito ng Gremyachinsky ng rehiyon ng Perm

Detective (propesyon)

Tingnan kung ano ang "Isosceles triangle" sa iba pang mga diksyunaryo: ISOSceles TRIANGLE - ISOSceles TRIANGLE, TRIANGLE na may dalawang panig na magkapareho ang haba; ang mga anggulo sa mga panig na ito ay pantay din...

Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo TRIANGLE - at (simple) trigon, tatsulok, tao. 1. Isang geometric na pigura na nililigiran ng tatlong magkasalungat na linya na bumubuo ng tatlo panloob na sulok (banig.). Mapurol na tatsulok. Talamak na tatsulok. Kanang tatsulok...... Diksyunaryo

Ushakova ISOSCELES - ISOSceles, aya, oh: isang isosceles triangle na may dalawang magkapantay na gilid. | pangngalan isosceles, at, babae Ang paliwanag na diksyunaryo ni Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 …

Ozhegov's Explanatory Dictionary- ▲ isang polygon na may tatlong anggulo, isang tatsulok, ang pinakasimpleng polygon; ay tinukoy ng 3 puntos na hindi nakahiga sa parehong linya. tatsulok. matinding anggulo. acute-angled. kanang tatsulok: binti. hypotenuse. isosceles triangle. ▼…… Ideographic Dictionary ng Wikang Ruso

Ozhegov's Explanatory Dictionary- TRIANGLE1, a, m ng ano o may def. Isang bagay sa hugis ng isang geometric na pigura na napapalibutan ng tatlong intersecting na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo. Inayos niya ang mga sulat ng kanyang asawa, mga dilaw na tatsulok mula sa harapan. TRIANGLE2, a, m... ... Paliwanag na diksyunaryo ng mga pangngalan ng Ruso

Tatsulok- Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Triangle (mga kahulugan). Ang isang tatsulok (sa Euclidean space) ay isang geometric na pigura na nabuo ng tatlong mga segment na nag-uugnay sa tatlong mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Tatlong tuldok,... ... Wikipedia

Triangle (polygon)- Triangles: 1 acute, rectangular at obtuse; 2 regular (equilateral) at isosceles; 3 bisector; 4 median at sentro ng grabidad; 5 taas; 6 orthocenter; 7 gitnang linya. TRIANGLE, isang polygon na may 3 gilid. Minsan sa ilalim... ... Illustrated Encyclopedic Dictionary

Ozhegov's Explanatory Dictionary Encyclopedic Dictionary

Ozhegov's Explanatory Dictionary- A; m. 1) a) Isang geometric na pigura na nililigiran ng tatlong magkasalubong na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo. Parihabang, isosceles triangle. Kalkulahin ang lugar ng tatsulok. b) ott. ano o may def. Isang pigura o bagay ng ganitong hugis... ... Diksyunaryo ng maraming expression

Tatsulok- A; m. 1. Isang geometric na pigura na may hangganan ng tatlong intersecting na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo. Parihaba, isosceles t. // ano o may def. Isang pigura o bagay ng ganitong hugis. T. mga bubong. T.…… Encyclopedic Dictionary

Paksa ng aralin

Isosceles triangle

Layunin ng aralin

Ipakilala ang mga mag-aaral sa isang isosceles triangle;
Patuloy na bumuo ng mga kasanayan sa pagbuo ng mga tamang tatsulok;
Palawakin ang kaalaman ng mga mag-aaral tungkol sa mga katangian ng isosceles triangles;
Palakasin ang teoretikal na kaalaman sa paglutas ng mga problema.

Mga Layunin ng Aralin

Magagawang bumalangkas, patunayan at gamitin ang theorem sa mga katangian ng isang isosceles triangle sa proseso ng paglutas ng mga problema;
Patuloy na bumuo ng kamalayan na pang-unawa materyal na pang-edukasyon, lohikal na pag-iisip, pagpipigil sa sarili at mga kasanayan sa pagpapahalaga sa sarili;
Pukawin ang nagbibigay-malay na interes sa mga aralin sa matematika;
Pagyamanin ang aktibidad, pagkamausisa at organisasyon.

Lesson Plan

1. Pangkalahatang konsepto at mga kahulugan ng isang isosceles triangle.
2. Mga katangian ng isang isosceles triangle.
3. Mga palatandaan ng isang isosceles triangle.
4. Mga tanong at gawain.

Isosceles triangle

Ang isosceles triangle ay isang tatsulok na may dalawang magkapantay na panig, na tinatawag na mga gilid ng isang isosceles triangle, at ang ikatlong panig nito ay tinatawag na base.

Ang tuktok ng isang naibigay na figure ay ang isa na matatagpuan sa tapat ng base nito.

Ang anggulo na nasa tapat ng base ay tinatawag na vertex angle ng tatsulok na ito, at ang iba pang dalawang anggulo ay tinatawag na base angle ng isang isosceles triangle.

Mga uri ng isosceles triangles

Ang isang isosceles triangle, tulad ng ibang mga figure, ay maaaring magkaroon iba't ibang uri. Kabilang sa mga isosceles triangle ay may mga acute, rectangular, obtuse at equilateral triangles.

Ang isang talamak na tatsulok ay may lahat ng talamak na anggulo.
Ang isang tamang tatsulok ay may isang tuwid na anggulo sa tuktok nito at matalim na mga anggulo sa base nito.
Ang isang obtuse angle ay may obtuse angle sa tuktok, at ang mga anggulo sa base nito ay acute.
Ang isang equilateral na bagay ay ang lahat ng mga anggulo at panig nito ay pantay.

Mga katangian ng isang isosceles triangle

Ang magkasalungat na mga anggulo na may kaugnayan sa pantay na panig ng isang isosceles triangle ay katumbas ng bawat isa;

Ang mga bisector, median at altitude na iginuhit mula sa mga anggulo sa tapat ng magkapantay na panig ng isang tatsulok ay pantay sa isa't isa.

Ang bisector, median at taas, na nakadirekta at iginuhit sa base ng tatsulok, ay nag-tutugma sa bawat isa.

Ang mga sentro ng inscribed at circumscribed na mga bilog ay nasa taas, bisector at median (nagtutugma ang mga ito) na iginuhit sa base.

Palaging talamak ang mga anggulo na magkatapat sa magkabilang panig ng isang isosceles triangle.

Ang mga katangiang ito ng isang isosceles triangle ay ginagamit sa paglutas ng mga problema.

Takdang-Aralin

1. Tukuyin ang isang isosceles triangle.
2. Ano ang espesyal sa tatsulok na ito?
3. Paano naiiba ang isosceles triangle sa right triangle?
4. Pangalanan ang mga katangian ng isang isosceles triangle na alam mo.
5. Sa palagay mo ba posible sa pagsasanay na suriin ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base at kung paano ito gagawin?

Mag-ehersisyo

Ngayon, magsagawa tayo ng maikling survey at alamin kung paano mo natutunan ang bagong materyal.

Pakinggang mabuti ang mga tanong at sagutin kung totoo ang sumusunod na pahayag:

1. Maaari bang ituring na isosceles ang isang tatsulok kung magkapantay ang dalawang panig nito?
2. Ang bisector ay isang segment na nag-uugnay sa vertex ng isang tatsulok na may gitnang punto ng kabaligtaran?
3. Ang bisector ay isang segment na naghahati sa isang anggulo na nag-uugnay sa isang vertex na may isang punto sa kabilang panig?

Mga tip para sa paglutas ng mga problema sa isosceles triangle:

1. Upang matukoy ang perimeter ng isang isosceles triangle, sapat na upang i-multiply ang haba ng gilid sa pamamagitan ng 2 at idagdag ang produktong ito sa haba ng base ng tatsulok.
2. Kung ang perimeter at haba ng base ng isang isosceles triangle ay kilala sa problema, kung gayon upang mahanap ang haba ng gilid ay sapat na upang ibawas ang haba ng base mula sa perimeter at hatiin ang natagpuang pagkakaiba sa 2.
3. At upang mahanap ang haba ng base ng isang isosceles triangle, alam ang parehong perimeter at ang haba ng gilid, kailangan mo lamang i-multiply ang gilid sa dalawa at ibawas ang produktong ito mula sa perimeter ng aming tatsulok.

Mga gawain:

1. Sa mga tatsulok sa figure, tukuyin ang isa pang dagdag at ipaliwanag ang iyong pinili:

2. Tukuyin kung alin sa mga tatsulok na ipinapakita sa figure ang isosceles, pangalanan ang kanilang mga base at gilid, at kalkulahin din ang kanilang perimeter.

3. Ang perimeter ng isang isosceles triangle ay 21 cm Hanapin ang mga gilid ng tatsulok na ito kung ang isa sa kanila ay 3 cm ang mas malaki.

4. Ito ay kilala na kung ang pag-ilid na bahagi at ang anggulo sa tapat ng base ng isang isosceles na tatsulok ay katumbas ng lateral na bahagi at ang anggulo ng isa pa, ang mga tatsulok na ito ay magiging pantay. Patunayan ang pahayag na ito.

5. Isipin at sabihin kung ang alinmang isosceles triangle ay equilateral? At ang anumang equilateral triangle ay magiging isosceles?

6. Kung ang mga gilid ng isang isosceles triangle ay 4 m at 5 m, ano ang magiging perimeter nito? Gaano karaming mga solusyon ang maaaring magkaroon ng problemang ito?

7. Kung ang isa sa mga anggulo ng isosceles triangle ay katumbas ng 91 degrees, ano ang katumbas ng iba pang mga anggulo?

8. Isipin at sagutin, anong mga anggulo ang dapat magkaroon ng isang tatsulok upang ito ay maging parihaba at isosceles?

Ilan sa inyo ang nakakaalam kung ano ang tatsulok ni Pascal? Ang problema sa pagbuo ng tatsulok ni Pascal ay madalas na hinihiling na subukan ang mga pangunahing kasanayan sa programming. Sa pangkalahatan, ang tatsulok ni Pascal ay nauugnay sa combinatorics at probability theory. Kaya anong uri ng tatsulok ito?

Ang tatsulok ng Pascal ay isang walang katapusang arithmetic triangle o hugis tatsulok na talahanayan na nabuo gamit ang binomial coefficients. Sa simpleng salita, ang vertex at mga gilid ng tatsulok na ito ay mga yunit, at ito mismo ay puno ng mga kabuuan ng dalawang numero na matatagpuan sa itaas. Ang gayong tatsulok ay maaaring itiklop ng ad infinitum, ngunit kung binabalangkas natin ito, makakakuha tayo ng isosceles triangle na may simetriko na mga linya na nauugnay sa vertical axis nito.

Isipin kung saan araw-araw na buhay Nakatagpo ka na ba ng isosceles triangles? Hindi ba totoo na ang mga bubong ng mga bahay at mga sinaunang istruktura ng arkitektura ay napaka-reminiscent sa kanila? Naaalala mo ba kung ano ang batayan ng Egyptian pyramids? Saan ka pa nakatagpo ng isosceles triangle?

Mula noong sinaunang panahon, ang mga isosceles triangle ay nakatulong sa mga Greek at Egyptian sa pagtukoy ng mga distansya at taas. Halimbawa, ginamit ito ng mga sinaunang Griyego upang matukoy mula sa malayo ang distansya sa isang barko sa dagat. At tinukoy ng mga sinaunang Egyptian ang taas ng kanilang mga pyramid batay sa haba ng anino ng cast, dahil... ito ay isang isosceles triangle.

Mula noong sinaunang panahon, pinahahalagahan na ng mga tao ang kagandahan at pagiging praktiko ng figure na ito, dahil ang mga hugis ng mga tatsulok ay pumapalibot sa amin sa lahat ng dako. Sa paglipat sa iba't ibang mga nayon, nakikita namin ang mga bubong ng mga bahay at iba pang mga gusali na nagpapaalala sa amin ng isang isosceles triangle na papasok sa isang tindahan, nakikita namin ang mga pakete ng pagkain at mga juice hugis tatsulok at kahit ilang mukha ng tao ay hugis tatsulok. Ang figure na ito ay napakapopular na makikita mo ito sa bawat hakbang.

Subjects > Mathematics > Mathematics ika-7 baitang

Sasaklawin ng araling ito ang paksang “Isosceles triangle at ang mga katangian nito.” Malalaman mo kung ano ang hitsura ng isosceles at equilateral triangles at kung ano ang kanilang mga katangian. Patunayan ang theorem sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base ng isang isosceles triangle. Isaalang-alang din ang theorem tungkol sa bisector (median at altitude) na iginuhit sa base ng isang isosceles triangle. Sa pagtatapos ng aralin, malulutas mo ang dalawang problema gamit ang kahulugan at katangian ng isang isosceles triangle.

Kahulugan:Isosceles ay tinatawag na tatsulok na ang dalawang panig ay pantay.

kanin. 1. Isosceles triangle

AB = AC - mga gilid. BC - pundasyon.

Ang lugar ng isang isosceles triangle ay katumbas ng kalahati ng produkto ng base at taas nito.

Kahulugan:Equilateral ay tinatawag na tatsulok kung saan ang lahat ng tatlong panig ay pantay.

kanin. 2. Equilateral triangle

AB = BC = SA.

Teorama 1: Sa isang isosceles triangle, ang mga base na anggulo ay pantay.

Ibinigay: AB = AC.

Patunayan:∠B =∠C.

kanin. 3. Pagguhit para sa teorama

Patunay: tatsulok ABC = tatsulok ACB ayon sa unang palatandaan (dalawang pantay na panig at ang anggulo sa pagitan nila). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod na ang lahat ng kaukulang elemento ay pantay. Nangangahulugan ito na ∠B = ∠C, na siyang kailangang patunayan.

Teorama 2: Sa isang isosceles triangle bisector iginuhit sa base ay panggitna At taas.

Ibinigay: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Patunayan:ВD = DC, AD patayo sa BC.

kanin. 4. Pagguhit para sa Theorem 2

Patunay: tatsulok ADB = tatsulok ADC ayon sa unang palatandaan (AD - pangkalahatan, AB = AC ayon sa kondisyon, ∠BAD = ∠DAC). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod na ang lahat ng kaukulang elemento ay pantay. BD = DC dahil ang mga ito ay nasa tapat ng pantay na mga anggulo. Kaya AD ang median. Gayundin ∠3 = ∠4, dahil ang mga ito ay nasa tapat ng magkabilang panig. Ngunit, bukod sa, sila ay pantay-pantay sa kabuuan. Samakatuwid, ∠3 = ∠4 = . Nangangahulugan ito na ang AD ay ang taas ng tatsulok, na kung ano ang kailangan naming patunayan.

Sa tanging kaso a = b = . Sa kasong ito, ang mga linyang AC at BD ay tinatawag na patayo.

Dahil ang bisector, height at median ay magkaparehong segment, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo rin:

Ang altitude ng isosceles triangle na iginuhit sa base ay ang median at bisector.

Ang median ng isang isosceles triangle na iginuhit sa base ay ang altitude at bisector.

Halimbawa 1: Sa isang isosceles triangle, ang base ay kalahati ng laki ng gilid, at ang perimeter ay 50 cm. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok.

Ibinigay: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Hanapin: BC, AC, AB.

Solusyon:

kanin. 5. Pagguhit halimbawa 1

Tukuyin natin ang batayang BC bilang a, pagkatapos AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Sagot: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Halimbawa 2: Patunayan na sa isang equilateral triangle ang lahat ng mga anggulo ay pantay.

Ibinigay: AB = BC = SA.

Patunayan:∠A = ∠B = ∠C.

Patunay:

kanin. 6. Pagguhit halimbawa

∠B = ∠C, dahil AB = AC, at ∠A = ∠B, dahil AC = BC.

Samakatuwid, ∠A = ∠B = ∠C, na siyang kailangang patunayan.

Sagot: Napatunayan.

Sa aralin ngayon ay tumingin tayo sa isang isosceles triangle at pinag-aralan ang mga pangunahing katangian nito. Sa susunod na aralin ay malulutas natin ang mga problema sa paksa ng isosceles triangles, sa pagkalkula ng lugar ng isang isosceles at equilateral triangle.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. at iba pa Geometry 7. - M.: Edukasyon.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. at iba pa Geometry 7. 5th ed. - M.: Enlightenment.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometry 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Edukasyon, 2010.

1. Mga diksyunaryo at encyclopedia sa Academician ().
2. Pagdiriwang ng mga ideya sa pedagogical "Open Lesson" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. No. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometry 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Edukasyon, 2010.

2. Ang perimeter ng isang isosceles triangle ay 35 cm, at ang base ay tatlong beses na mas maliit kaysa sa gilid. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok.

3. Ibinigay: AB = BC. Patunayan na ∠1 = ∠2.

4. Ang perimeter ng isang isosceles triangle ay 20 cm, ang isa sa mga gilid nito ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa isa. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok. Ilang solusyon mayroon ang problema?

Ang isang tatsulok kung saan ang dalawang panig ay pantay sa isa't isa ay tinatawag na isosceles. Ang mga panig na ito ay tinatawag na lateral, at ang ikatlong panig ay tinatawag na base. Sa artikulong ito sasabihin namin sa iyo ang tungkol sa mga katangian ng isang isosceles triangle.

Teorama 1

Ang mga anggulo na malapit sa base ng isang isosceles triangle ay katumbas ng bawat isa

Katibayan ng teorama.

Sabihin nating mayroon tayong isosceles triangle ABC na ang base ay AB. Tingnan natin ang tatsulok na BAC. Ang mga tatsulok na ito, sa pamamagitan ng unang tanda, ay katumbas ng bawat isa. Ito ay totoo, dahil BC = AC, AC = BC, anggulo ACB = anggulo ACB. Sinusundan nito ang anggulong BAC = anggulong ABC, dahil ito ang mga katumbas na anggulo ng ating mga pantay na tatsulok. Narito ang katangian ng mga anggulo ng isang isosceles triangle.

Teorama 2

Ang median sa isang isosceles triangle, na iginuhit sa base nito, ay ang taas at bisector din

Katibayan ng teorama.

Sabihin nating mayroon tayong isosceles triangle ABC, ang base nito ay AB, at ang CD ay ang median na iginuhit natin sa base nito. Sa mga tatsulok na ACD at BCD, anggulo CAD = anggulo CBD, bilang ang mga kaukulang anggulo sa base ng isang isosceles triangle (Theorem 1). At side AC = side BC (sa kahulugan ng isang isosceles triangle). Side AD = side BD, dahil hinahati ng point D ang segment AB sa pantay na bahagi. Sinusundan nito ang tatsulok na ACD = tatsulok na BCD.

Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay mayroon tayong pagkakapantay-pantay ng mga kaukulang anggulo. Iyon ay, anggulo ACD = anggulo BCD at anggulo ADC = anggulo BDC. Mula sa pagkakapantay-pantay 1 sumusunod na ang CD ay isang bisector. At ang anggulong ADC at anggulong BDC ay magkatabing mga anggulo, at mula sa pagkakapantay-pantay 2 sumusunod na pareho silang mga tamang anggulo. Ito ay lumalabas na ang CD ay ang taas ng tatsulok. Ito ang pag-aari ng median ng isang isosceles triangle.

At ngayon ng kaunti tungkol sa mga palatandaan ng isang isosceles triangle.

Teorama 3

Kung ang dalawang anggulo sa isang tatsulok ay pantay sa bawat isa, kung gayon ang tatsulok ay isosceles

Katibayan ng teorama.

Sabihin nating mayroon tayong tatsulok na ABC kung saan ang anggulo CAB = anggulo CBA. Triangle ABC = triangle BAC ayon sa pangalawang criterion ng pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga triangles. Ito ay totoo, dahil AB = BA; anggulo CBA = anggulo CAB, anggulo CAB = anggulo CBA. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok mayroon kaming pagkakapantay-pantay ng mga kaukulang panig ng tatsulok - AC = BC. Pagkatapos ay lumalabas na ang tatsulok na ABC ay isosceles.

Teorama 4

Kung sa anumang tatsulok ang median nito ay ang altitude din nito, kung gayon ang naturang tatsulok ay isosceles

Katibayan ng teorama.

Sa tatsulok na ABC ay iguguhit natin ang median na CD. Ito rin ang magiging taas. Right triangle ACD = right triangle BCD, dahil ang leg CD ay karaniwan sa kanila, at leg AD = leg BD. Ito ay sumusunod mula dito na ang kanilang mga hypotenuse ay pantay-pantay sa bawat isa, tulad ng kaukulang mga bahagi pantay na tatsulok. Nangangahulugan ito na AB = BC.

Teorama 5

Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay magkapareho

Katibayan ng teorama.

Ipagpalagay na mayroon kaming isang tatsulok na ABC at isang tatsulok na A1B1C1 na ang mga gilid AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Isaalang-alang natin ang patunay ng teorama na ito sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Ipagpalagay natin na ang mga tatsulok na ito ay hindi pantay sa isa't isa. Mula dito mayroon kaming anggulong BAC ay hindi katumbas ng anggulo B1A1C1, ang anggulong ABC ay hindi katumbas ng anggulo A1B1C1, ang anggulo ng ACB ay hindi katumbas ng anggulo A1C1B1 sa parehong oras. Kung hindi, ang mga tatsulok na ito ay magiging pantay ayon sa pamantayang tinalakay sa itaas.

Ipagpalagay natin na ang tatsulok na A1B1C2 = tatsulok na ABC. Sa isang tatsulok, ang vertex C2 ay namamalagi sa vertex C1 na may kaugnayan sa tuwid na linya A1B1 sa parehong kalahating eroplano. Ipinapalagay namin na ang mga vertices C2 at C1 ay hindi nagtutugma. Ipagpalagay natin na ang puntong D ay ang gitna ng segment na C1C2. Kaya mayroon kaming isosceles triangles B1C1C2 at A1C1C2, na may isang karaniwang base C1C2. Ang mga median B1D at A1D din pala nila ang heights nila. Nangangahulugan ito na ang tuwid na linya B1D at tuwid na linya A1D ay patayo sa tuwid na linya C1C2.

Ang B1D at A1D ay may magkaibang puntos na B1 at A1, at naaayon ay hindi maaaring magkasabay. Ngunit sa pamamagitan ng punto D ng linya C1C2 maaari tayong gumuhit lamang ng isang linya patayo dito. May kontradiksyon tayo.

Ngayon alam mo na kung ano ang mga katangian ng isang isosceles triangle!