• 29.05.2016

  Ang isang oscillating circuit ay isang de-koryenteng circuit na naglalaman ng isang inductor, isang kapasitor at isang mapagkukunan ng elektrikal na enerhiya. Kapag ang mga elemento ng circuit ay konektado sa serye, ang oscillatory circuit ay tinatawag na serial, at kapag konektado sa parallel, ito ay tinatawag na parallel. Oscillatory circuit - pinakasimpleng sistema, kung saan maaaring mangyari ang mga libreng electromagnetic oscillations. Ang resonant frequency ng circuit ay tinutukoy ng tinatawag na Thomson formula: ƒ = 1/(2π√(LC)) Para sa ...

• 20.09.2014

  Ang receiver ay idinisenyo upang makatanggap ng mga signal sa hanay ng DV (150 kHz...300 kHz). Pangunahing tampok receiver sa isang antenna na may higit na inductance kaysa sa isang maginoo na magnetic antenna. Ginagawa nitong posible na gamitin ang kapasidad ng tuning capacitor sa hanay na 4...20 pF, at gayundin ang naturang receiver ay may katanggap-tanggap na sensitivity at isang bahagyang pakinabang sa RF path. Gumagana ang receiver para sa mga headphone (headphone), pinapagana...

• 24.09.2014

  Idinisenyo ang device na ito upang subaybayan ang antas ng likido sa mga tangke sa sandaling tumaas ang likido itinatag na antas Magsisimulang mag-beep nang tuluy-tuloy ang device kapag umabot na sa kritikal na level ang device. Ang indicator ay binubuo ng 2 generators, sila ay kinokontrol ng sensor element E. Ito ay inilalagay sa tangke sa isang antas hanggang sa ...

• 22.09.2014

  Ang KR1016VI1 ay isang digital multi-program timer na idinisenyo upang gumana sa indicator ng ILC3-5\7. Nagbibigay ito ng pagbibilang at pagpapakita ng kasalukuyang oras sa mga oras at minuto, araw ng linggo at control channel number (9 na alarma). Ang circuit ng alarm clock ay ipinapakita sa figure. Naka-clock ang microcircuit. resonator Q1 sa 32768Hz. Ang pagkain ay negatibo, ang kabuuang plus ay napupunta sa...

Pyramid. Pinutol na pyramid

Pyramid ay isang polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (Larawan 15). Ang pyramid ay tinatawag tama , kung ang base nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base (Larawan 16). Ang isang tatsulok na pyramid na ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag tetrahedron .

Lateral rib ng isang pyramid ay ang gilid ng gilid na mukha na hindi kabilang sa base taas Ang pyramid ay ang distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Lahat ng side ribs regular na pyramid pantay sa isa't isa, lahat ng panig na mukha ay pantay isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex ay tinatawag apothem . Diagonal na seksyon ay tinatawag na seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.

Lateral surface area Ang pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha. Lugar buong ibabaw ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na mukha at ang base.

Theorems

1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay na nakakiling sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakapaligid malapit sa base.

2. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay may pantay na haba, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base.

3. Kung ang lahat ng mga mukha sa isang pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng isang bilog na nakasulat sa base.

Upang kalkulahin ang dami ng isang arbitrary na pyramid, ang tamang formula ay:

saan V- dami;

S base- base na lugar;

H– taas ng pyramid.

Para sa isang regular na pyramid, tama ang mga sumusunod na formula:

saan p- base perimeter;

h a– apothem;

H- taas;

S puno

S gilid

S base- base na lugar;

V– dami ng isang regular na pyramid.

Pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Regular na pinutol na pyramid ay ang bahagi ng isang regular na pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na parallel sa base ng pyramid.

Grounds pinutol na pyramid - mga katulad na polygon. Mga mukha sa gilid - mga trapezoid. taas ng isang pinutol na pyramid ay ang distansya sa pagitan ng mga base nito. dayagonal ang pinutol na pyramid ay isang segment na nagdudugtong sa mga vertice nito na hindi nakahiga sa parehong mukha. Diagonal na seksyon ay isang seksyon ng pinutol na pyramid ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa iisang mukha.

Para sa isang pinutol na pyramid ang mga sumusunod na formula ay wasto:

(4)

saan S 1 , S 2 - mga lugar ng upper at lower base;

S puno- kabuuang lugar sa ibabaw;

S gilid- lateral surface area;

H- taas;

V– dami ng pinutol na pyramid.

Para sa isang regular na pinutol na pyramid ang formula ay tama:

saan p 1 , p 2 - mga perimeter ng mga base;

h a– apothem ng isang regular na pinutol na pyramid.

Halimbawa 1. Sa isang regular na triangular na pyramid, ang dihedral na anggulo sa base ay 60º. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 18).

Tama ang pyramid, ibig sabihin nasa base equilateral triangle at lahat ng panig na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na mukha ng pyramid sa eroplano ng base. Ang linear na anggulo ay ang anggulo a sa pagitan ng dalawang patayo: atbp. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang gitna ng bilog na bilog at nakasulat na bilog ng tatsulok ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng gilid ng gilid (halimbawa S.B.) ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang projection nito sa eroplano ng base. Para sa tadyang S.B. ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD. Upang mahanap ang tangent kailangan mong malaman ang mga binti KAYA At O.B.. Hayaan ang haba ng segment BD katumbas ng 3 A. Dot TUNGKOL SA segment BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa nakita natin KAYA: Mula sa nakita namin:

Sagot:

Halimbawa 2. Hanapin ang volume ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay katumbas ng cm at cm, at ang taas nito ay 4 cm.

Solusyon. Upang mahanap ang volume ng isang pinutol na pyramid, ginagamit namin ang formula (4). Upang mahanap ang lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng base square, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay katumbas ng 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit.

Sagot: 112 cm 3.

Halimbawa 3. Hanapin ang lugar ng lateral na mukha ng isang regular na triangular na pinutol na pyramid, ang mga gilid ng mga base nito ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 19).

Ang gilid na mukha ng pyramid na ito ay isang isosceles trapezoid. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang base at taas. Ang mga base ay ibinibigay ayon sa kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Hahanapin natin siya kung saan A 1 E patayo mula sa isang punto A 1 sa eroplano ng mas mababang base, A 1 D– patayo mula sa A 1 bawat AC. A 1 E= 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Para mahanap DE Gumawa tayo ng karagdagang pagguhit na nagpapakita ng tuktok na view (Larawan 20). Dot TUNGKOL SA– projection ng mga sentro ng upper at lower bases. mula noong (tingnan ang Fig. 20) at Sa kabilang banda OK– radius na nakasulat sa bilog at OM– radius na nakasulat sa isang bilog:

MK = DE.

Ayon sa Pythagorean theorem mula sa

Lugar ng mukha sa gilid:

Sagot:

Halimbawa 4. Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga base nito A At b (a> b). Ang bawat panig na mukha ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng eroplano ng base ng pyramid j. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 21). Kabuuang lugar ng ibabaw ng pyramid SABCD katumbas ng kabuuan ng mga lugar at ang lugar ng trapezoid ABCD.

Gamitin natin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, kung gayon ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Dot TUNGKOL SA– projection ng vertex S sa base ng pyramid. Tatsulok SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa eroplano ng base. Sa pamamagitan ng theorem sa lugar ng orthogonal projection patag na pigura makuha namin:

Gayundin ang ibig sabihin nito Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid ABCD. Gumuhit tayo ng trapezoid ABCD hiwalay (Larawan 22). Dot TUNGKOL SA– ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid.

Dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon o Mula sa Pythagorean theorem mayroon tayong

ay isang polyhedron na nabuo sa pamamagitan ng base ng pyramid at isang seksyon na kahanay nito. Masasabi nating ang pinutol na pyramid ay isang pyramid na may putol na tuktok. Ang figure na ito ay may maraming natatanging katangian:

• Ang mga lateral na mukha ng pyramid ay mga trapezoid;
• Ang mga lateral na gilid ng isang regular na pinutol na pyramid ay may parehong haba at nakahilig sa base sa parehong anggulo;
• Ang mga base ay magkatulad na polygons;
• Sa isang regular na pinutol na pyramid, ang mga mukha ay magkapareho isosceles trapezoids, na ang lugar ay pantay. Ang mga ito ay hilig din sa base sa isang anggulo.

Ang formula para sa lateral surface area ng isang pinutol na pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid nito:

Dahil ang mga gilid ng isang pinutol na pyramid ay mga trapezoid, upang kalkulahin ang mga parameter ay kailangan mong gamitin ang formula lugar ng trapezoid. Para sa isang regular na pinutol na pyramid, maaari kang maglapat ng ibang formula para sa pagkalkula ng lugar. Dahil ang lahat ng panig, mukha, at anggulo nito sa base ay pantay, posibleng ilapat ang mga perimeter ng base at apothem, at makuha din ang lugar sa pamamagitan ng anggulo sa base.

Kung, ayon sa mga kondisyon sa isang regular na pinutol na pyramid, ang apothem (taas ng gilid) at ang mga haba ng mga gilid ng base ay ibinigay, kung gayon ang lugar ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng kalahating produkto ng kabuuan ng mga perimeter ng ang mga batayan at ang apothem:

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lateral surface area ng isang pinutol na pyramid.
Nabigyan ng regular na pentagonal pyramid. Apothem l= 5 cm, ang haba ng gilid sa malaking base ay a= 6 cm, at ang gilid ay nasa mas maliit na base b= 4 cm Kalkulahin ang lugar ng pinutol na pyramid.

Una, hanapin natin ang mga perimeter ng mga base. Dahil binigyan tayo ng pentagonal pyramid, naiintindihan natin na ang mga base ay mga pentagon. Nangangahulugan ito na ang mga base ay naglalaman ng isang pigura na may limang magkaparehong panig. Hanapin natin ang perimeter ng mas malaking base:

Sa parehong paraan nakita namin ang perimeter ng mas maliit na base:

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang lugar ng isang regular na pinutol na pyramid. I-substitute ang data sa formula:

Kaya, kinakalkula namin ang lugar ng isang regular na pinutol na pyramid sa pamamagitan ng mga perimeter at apothem.

Ang isa pang paraan upang makalkula ang lateral surface area ng isang regular na pyramid ay ang formula sa pamamagitan ng mga anggulo sa base at sa lugar ng mismong mga baseng ito.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkalkula. Tandaan na ang formula na ito ay nalalapat lamang sa isang regular na pinutol na pyramid.

Hayaang magbigay ng regular na quadrangular pyramid. Ang gilid ng ibabang base ay a = 6 cm, at ang gilid ng itaas na base ay b = 4 cm Ang dihedral na anggulo sa base ay β = 60°. Hanapin ang lateral surface area ng isang regular na pinutol na pyramid.

Una, kalkulahin natin ang lugar ng mga base. Dahil ang pyramid ay regular, ang lahat ng mga gilid ng mga base ay pantay sa bawat isa. Isinasaalang-alang na ang base ay isang quadrilateral, naiintindihan namin na ito ay kinakailangan upang kalkulahin lugar ng parisukat. Ito ay produkto ng lapad at haba, ngunit kapag i-squad ang mga halagang ito ay pareho. Hanapin natin ang lugar ng mas malaking base:


Ngayon ginagamit namin ang mga nahanap na halaga upang kalkulahin ang lateral surface area.

Alam ang ilang simpleng mga formula, madali naming kinakalkula ang lugar ng lateral trapezoid ng isang pinutol na pyramid gamit ang iba't ibang mga halaga.

Ang isang polyhedron kung saan ang isa sa mga mukha nito ay isang polygon, at lahat ng iba pang mga mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex, ay tinatawag na isang pyramid.

Ang mga tatsulok na ito na bumubuo sa pyramid ay tinatawag mga mukha sa gilid, at ang natitirang polygon ay batayan mga pyramid.

Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang geometric figure - isang n-gon. Sa kasong ito, tinatawag din ang pyramid n-carbon.

Tinatawag na tatsulok na pyramid na ang mga gilid ay pantay-pantay tetrahedron.

Ang mga gilid ng pyramid na hindi kabilang sa base ay tinatawag lateral, at ang kanilang karaniwang punto ay kaitaasan mga pyramid. Ang iba pang mga gilid ng pyramid ay karaniwang tinatawag partido sa batayan.

Ang pyramid ay tinatawag tama, kung mayroon itong regular na polygon sa base nito at ang lahat ng lateral edge ay pantay sa isa't isa.

Ang distansya mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base ay tinatawag taas mga pyramid. Maaari nating sabihin na ang taas ng pyramid ay isang segment na patayo sa base, ang mga dulo nito ay nasa tuktok ng pyramid at sa eroplano ng base.

Para sa anumang pyramid ang mga sumusunod na formula ay nalalapat:

1) S puno = S gilid + S pangunahing, Saan

S kabuuang - lugar ng kabuuang ibabaw ng pyramid;

S side - lugar ng lateral surface, i.e. ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral na mukha ng pyramid;

S pangunahing - lugar ng base ng pyramid.

2) V = 1/3 S base N, Saan

V - dami ng pyramid;

H - taas ng pyramid.

Para sa regular na pyramid nagaganap:

S gilid = 1/2 P pangunahing h, Saan

P main – perimeter ng base ng pyramid;

h ay ang haba ng apothem, iyon ay, ang haba ng taas ng gilid na mukha na ibinaba mula sa tuktok ng pyramid.

Ang bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng dalawang eroplano - ang eroplano ng base at ang cutting plane na kahanay ng base ay tinatawag pinutol na pyramid.

Ang base ng pyramid at ang seksyon ng pyramid sa pamamagitan ng isang parallel na eroplano ay tinatawag mga dahilan pinutol na pyramid. Tinatawag ang natitirang mga mukha lateral. Ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base ay tinatawag taas pinutol na pyramid. Ang mga gilid na hindi kabilang sa mga base ay tinatawag lateral.

Bilang karagdagan, ang base ng pinutol na pyramid katulad n-gons. Kung ang mga base ng isang pinutol na pyramid ay mga regular na polygon, at ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay sa bawat isa, kung gayon ang naturang pinutol na pyramid ay tinatawag tama.

Para sa arbitrary na pinutol na pyramid naaangkop ang mga sumusunod na formula:

1) S full = S side + S 1 + S 2, Saan

S kabuuan - kabuuang lugar sa ibabaw;

S side - lugar ng lateral surface, i.e. ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral na mukha ng isang pinutol na pyramid, na mga trapezoid;

S 1, S 2 - mga base na lugar;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Saan

V - dami ng pinutol na pyramid;

H – taas ng pinutol na pyramid.

Para sa regular na pinutol na pyramid mayroon din kaming:

S gilid = 1/2(P 1 + P 2) h, saan

P 1, P 2 - mga perimeter ng mga base;

h – apothem (taas ng gilid ng mukha, na isang trapezoid).

Isaalang-alang natin ang ilang mga problema na kinasasangkutan ng pinutol na pyramid.

Gawain 1.

Sa isang triangular na pinutol na pyramid na may taas na katumbas ng 10, ang mga gilid ng isa sa mga base ay 27, 29 at 52. Tukuyin ang volume ng pinutol na pyramid kung ang perimeter ng kabilang base ay 72.

Solusyon.

Isaalang-alang ang pinutol na pyramid ABCA 1 B 1 C 1 na ipinapakita sa Larawan 1.

1. Ang dami ng isang pinutol na pyramid ay matatagpuan gamit ang formula

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), kung saan ang S 1 ay ang lugar ng isa sa mga base, ay matatagpuan gamit ang formula ni Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

kasi Ang problema ay nagbibigay ng mga haba ng tatlong panig ng isang tatsulok.

Mayroon kaming: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Ang pyramid ay pinutol, na nangangahulugan na ang mga katulad na polygon ay nakahiga sa mga base. Sa aming kaso tatsulok ABC katulad ng tatsulok A 1 B 1 C 1. Bilang karagdagan, ang koepisyent ng pagkakatulad ay matatagpuan bilang ratio ng mga perimeter ng mga tatsulok na isinasaalang-alang, at ang ratio ng kanilang mga lugar ay magiging katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakapareho. Kaya mayroon kaming:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Kaya S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Kaya, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Sagot: 1900.

Gawain 2.

Sa isang triangular na pinutol na pyramid sa gilid itaas na base ang isang eroplano ay iginuhit parallel sa tapat na gilid ng gilid. Sa anong ratio nahahati ang volume ng isang pinutol na pyramid kung ang mga kaukulang panig ng mga base ay nasa ratio na 1:2?

Solusyon.

Isaalang-alang ang ABCA 1 B 1 C 1 - isang pinutol na pyramid na ipinapakita sa kanin. 2.

Dahil ang mga gilid sa mga base ay nasa ratio na 1:2, ang mga lugar ng mga base ay nasa ratio na 1:4 (ang tatsulok na ABC ay katulad ng tatsulok A 1 B 1 C 1).

Kung gayon ang dami ng pinutol na pyramid ay:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, kung saan S 2 - lugar ng itaas na base, h - taas.

Ngunit ang volume ng prism ADEA 1 B 1 C 1 ay V 1 = S 2 h at, samakatuwid,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Kaya, V 2: V 1 = 3: 4.

Sagot: 3:4.

Gawain 3.

Ang mga gilid ng mga base ng isang regular na quadrangular truncated pyramid ay katumbas ng 2 at 1, at ang taas ay 3. Ang isang eroplano ay iginuhit sa pamamagitan ng intersection point ng mga diagonal ng pyramid, parallel sa mga base ng pyramid, na naghahati sa pyramid sa dalawang bahagi. Hanapin ang volume ng bawat isa sa kanila.

Solusyon.

Isaalang-alang ang pinutol na pyramid ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 na ipinapakita sa kanin. 3.

Ipahiwatig natin ang O 1 O 2 = x, pagkatapos ay OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Isaalang-alang ang tatsulok B 1 O 2 D 1 at ang tatsulok na BO 2 D:

ang anggulo B 1 O 2 D 1 ay katumbas ng anggulo BO 2 D bilang patayo;

Ang anggulo BDO 2 ay katumbas ng anggulo D 1 B 1 O 2 at ang anggulo O 2 ВD ay katumbas ng anggulo B 1 D 1 O 2 na nakahiga crosswise sa B 1 D 1 || BD at secants B₁D at BD₁, ayon sa pagkakabanggit.

Samakatuwid, ang tatsulok B 1 O 2 D 1 ay katulad ng tatsulok na BO 2 D at ang side ratio ay:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 o 1/2 = x/(x – 3), kung saan ang x = 1.

Isaalang-alang ang tatsulok B 1 D 1 B at ang tatsulok na LO 2 B: karaniwan ang anggulo B, at mayroon ding pares ng isang panig na anggulo sa B 1 D 1 || LM, na nangangahulugan na ang tatsulok B 1 D 1 B ay katulad ng tatsulok na LO 2 B, kung saan B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, i.e.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Pagkatapos S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Kaya, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Sagot: 152/27; 37/27.

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.