Ang produkto ng sine at cosine ng isang anggulo. Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan, ang kanilang mga formulations at derivation

Ang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometriko function - sine, cosine, tangent at cotangent - ay ibinigay mga formula ng trigonometriko. At dahil napakaraming koneksyon sa pagitan ng mga function ng trigonometriko, ipinapaliwanag nito ang kasaganaan mga formula ng trigonometriko. Ang ilang mga formula ay kumonekta sa mga function ng trigonometriko ng parehong anggulo, ang iba - mga function ng isang maramihang anggulo, ang iba pa - nagbibigay-daan sa iyo upang bawasan ang antas, ika-apat - ipahayag ang lahat ng mga function sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo, atbp.

Sa artikulong ito ay ililista namin ang lahat ng mga pangunahing trigonometric formula, na sapat upang malutas ang karamihan ng mga problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng pagsasaulo at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito ayon sa layunin at ilalagay ang mga ito sa mga talahanayan.

Pag-navigate sa pahina.

Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko

Basic trigonometriko pagkakakilanlan tukuyin ang ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo. Sinusundan nila ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang konsepto ng unit circle. Pinapayagan ka nitong ipahayag ang isang trigonometric function sa mga tuntunin ng anumang iba pa.

Para sa isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometrya, ang kanilang hinango at mga halimbawa ng aplikasyon, tingnan ang artikulo.

Mga formula ng pagbabawas

Mga formula ng pagbabawas sumusunod mula sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent, iyon ay, sinasalamin nila ang ari-arian ng periodicity trigonometriko function, ang ari-arian ng mahusay na proporsyon, gayundin ang ari-arian ng paglilipat ng isang naibigay na anggulo. Binibigyang-daan ka ng mga trigonometrikong formula na ito na lumipat mula sa pagtatrabaho sa mga di-makatwirang anggulo patungo sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula sa zero hanggang 90 degrees.

Ang katwiran para sa mga formula na ito, isang mnemonic na panuntunan para sa pagsasaulo ng mga ito at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay maaaring pag-aralan sa artikulo.

Mga formula ng karagdagan

Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric ipakita kung paano ipinahahayag ang mga trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong iyon. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para makuha ang mga sumusunod na trigonometric formula.

Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo

Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo (tinatawag din silang mga formula ng maramihang anggulo) ay nagpapakita kung paano gumagana ang trigonometriko ng doble, triple, atbp. ang mga anggulo () ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function ng isang solong anggulo. Ang kanilang derivation ay batay sa mga formula ng karagdagan.

Ang mas detalyadong impormasyon ay kinokolekta sa mga formula ng artikulo para sa doble, triple, atbp. anggulo

Mga formula ng kalahating anggulo

Mga formula ng kalahating anggulo ipakita kung paano ipinahayag ang mga function ng trigonometriko ng kalahating anggulo sa mga tuntunin ng cosine ng isang buong anggulo. Ang mga trigonometrikong formula na ito ay sumusunod mula sa mga formula ng dobleng anggulo.

Ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay matatagpuan sa artikulo.

Mga formula ng pagbabawas ng degree

Trigonometric formula para sa pagbabawas ng mga degree ay nilayon upang mapadali ang paglipat mula sa natural na grado trigonometriko function sa mga sine at cosine sa unang antas, ngunit maramihang mga anggulo. Sa madaling salita, pinapayagan ka nitong bawasan ang mga kapangyarihan ng trigonometric function sa una.

Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function

Pangunahing layunin mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function ay upang pumunta sa produkto ng mga function, na kung saan ay lubhang kapaki-pakinabang kapag pinasimple ang trigonometriko expression. Ang mga formula na ito ay malawakang ginagamit din sa paglutas trigonometriko equation, dahil pinapayagan ka nitong i-factor ang kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine.

Mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine

Ang paglipat mula sa produkto ng trigonometriko function sa isang kabuuan o pagkakaiba ay isinasagawa gamit ang mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine.

Bashmakov M. I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook. para sa 10-11 baitang. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 1993. - 351 p.: may sakit. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - ika-14 na ed. - M.: Edukasyon, 2004. - 384 pp.: may sakit.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Copyright ng mga matalinong mag-aaral

Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng www.site, kasama ang panloob na materyales At panlabas na disenyo, ay hindi maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.

Ipinagpapatuloy namin ang aming pag-uusap tungkol sa mga pinaka ginagamit na formula sa trigonometrya. Ang pinakamahalaga sa kanila ay mga pormula ng karagdagan.

Kahulugan 1

Binibigyang-daan ka ng mga pormula ng karagdagan na ipahayag ang mga function ng pagkakaiba o kabuuan ng dalawang anggulo gamit ang mga trigonometric na function ng mga anggulong iyon.

Upang magsimula sa, kami ay magbibigay buong listahan mga pormula ng karagdagan, pagkatapos ay patunayan namin ang mga ito at susuriin ang ilang mga halimbawang nakapagpapakita.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mga pangunahing pormula ng karagdagan sa trigonometrya

Mayroong walong pangunahing pormula: sine ng kabuuan at sine ng pagkakaiba ng dalawang anggulo, mga cosine ng kabuuan at pagkakaiba, mga tangent at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba, ayon sa pagkakabanggit. Nasa ibaba ang kanilang mga karaniwang formulation at kalkulasyon.

1. Ang sine ng kabuuan ng dalawang anggulo ay maaaring makuha tulad ng sumusunod:

Kinakalkula namin ang produkto ng sine ng unang anggulo at ang cosine ng pangalawa;

I-multiply ang cosine ng unang anggulo sa sine ng una;

Magdagdag ng mga resultang halaga.

Ang graphical na pagsulat ng formula ay ganito ang hitsura: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Ang sine ng pagkakaiba ay kinakalkula sa halos parehong paraan, tanging ang mga resultang produkto ay hindi dapat idagdag, ngunit ibawas sa bawat isa. Kaya, kinakalkula namin ang mga produkto ng sine ng unang anggulo sa pamamagitan ng cosine ng pangalawa at ang cosine ng unang anggulo sa pamamagitan ng sine ng pangalawa at hanapin ang kanilang pagkakaiba. Ang formula ay nakasulat tulad nito: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Cosine ng kabuuan. Para dito, nakita namin ang mga produkto ng cosine ng unang anggulo sa pamamagitan ng cosine ng pangalawa at ang sine ng unang anggulo sa pamamagitan ng sine ng pangalawa, ayon sa pagkakabanggit, at hanapin ang kanilang pagkakaiba: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Cosine ng pagkakaiba: kalkulahin ang mga produkto ng mga sine at cosine ng mga anggulong ito, tulad ng dati, at idagdag ang mga ito. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangent ng kabuuan. Ang formula na ito ay ipinahayag bilang isang fraction, ang numerator kung saan ay ang kabuuan ng mga tangent ng mga kinakailangang anggulo, at ang denominator ay isang yunit kung saan ang produkto ng mga tangent ng mga nais na anggulo ay ibinabawas. Malinaw ang lahat sa graphical notation nito: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Tangent ng pagkakaiba. Kinakalkula namin ang mga halaga ng pagkakaiba at produkto ng mga tangent ng mga anggulong ito at magpatuloy sa kanila sa katulad na paraan. Sa denominator ay nagdaragdag tayo sa isa, at hindi kabaligtaran: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Cotangent ng halaga. Upang kalkulahin gamit ang formula na ito, kakailanganin namin ang produkto at ang kabuuan ng mga cotangent ng mga anggulong ito, na magpapatuloy kami bilang mga sumusunod: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Cotangent ng pagkakaiba . Ang formula ay katulad ng nauna, ngunit ang numerator at denominator ay minus, hindi plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Marahil ay napansin mo na ang mga formula na ito ay magkapareho sa mga pares. Gamit ang mga sign na ± (plus-minus) at ∓ (minus-plus), maaari naming pangkatin ang mga ito para sa kadalian ng pag-record:

kasalanan (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Alinsunod dito, mayroon kaming isang formula sa pag-record para sa kabuuan at pagkakaiba ng bawat halaga, sa isang kaso lang na binibigyang pansin namin itaas na tanda, sa isa pa – hanggang sa ibaba.

Kahulugan 2

Maaari tayong kumuha ng anumang mga anggulo α at β, at ang mga pormula ng karagdagan para sa cosine at sine ay gagana para sa kanila. Kung maaari nating matukoy nang tama ang mga halaga ng mga tangent at cotangent ng mga anggulong ito, kung gayon ang mga formula ng karagdagan para sa tangent at cotangent ay magiging wasto din para sa kanila.

Tulad ng karamihan sa mga konsepto sa algebra, ang mga pormula ng karagdagan ay maaaring mapatunayan. Ang unang formula na ating papatunayan ay ang difference cosine formula. Ang iba pang ebidensya ay madaling mahihinuha mula rito.

Linawin natin ang mga pangunahing konsepto. Kakailanganin namin ang isang bilog ng yunit. Gagana ito kung kukuha tayo ng isang tiyak na punto A at paikutin ang mga anggulo α at β sa paligid ng gitna (punto O). Pagkatapos ang anggulo sa pagitan ng mga vectors O A 1 → at O ​​A → 2 ay magiging katumbas ng (α - β) + 2 π · z o 2 π - (α - β) + 2 π · z (z ay anumang integer). Ang mga resultang vector ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng α - β o 2 π - (α - β), o maaaring naiiba ito sa mga halagang ito sa pamamagitan ng isang integer na bilang ng mga buong rebolusyon. Tingnan ang larawan:

Ginamit namin ang mga formula ng pagbabawas at nakuha ang mga sumusunod na resulta:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Resulta: ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors O A 1 → at O ​​A 2 → ay katumbas ng cosine ng anggulo α - β, samakatuwid, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Alalahanin natin ang mga kahulugan ng sine at cosine: ang sine ay isang function ng anggulo, katumbas ng ratio ng binti ng kabaligtaran na anggulo sa hypotenuse, ang cosine ay ang sine ng komplementaryong anggulo. Samakatuwid, ang mga puntos A 1 At A 2 may mga coordinate (cos α, sin α) at ​​(cos β, sin β).

Nakukuha namin ang sumusunod:

O A 1 → = (cos α, sin α) at ​​O ​​A 2 → = (cos β, sin β)

Kung hindi malinaw, tingnan ang mga coordinate ng mga punto na matatagpuan sa simula at dulo ng mga vector.

Ang mga haba ng mga vector ay katumbas ng 1, dahil Mayroon kaming bilog na unit.

Suriin natin ngayon ang scalar product ng mga vectors O A 1 → at O ​​A 2 → . Sa mga coordinate, ganito ang hitsura:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Mula dito maaari nating makuha ang pagkakapantay-pantay:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Kaya, ang pagkakaiba ng formula ng cosine ay napatunayan.

Ngayon ay patunayan natin ang sumusunod na formula - ang cosine ng kabuuan. Mas madali ito dahil magagamit natin ang mga nakaraang kalkulasyon. Kunin natin ang representasyon α + β = α - (- β) . Mayroon kaming:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Ito ang patunay ng formula ng cosine sum. Ang huling linya ay gumagamit ng pag-aari ng sine at cosine ng magkasalungat na anggulo.

Ang formula para sa sine ng isang kabuuan ay maaaring makuha mula sa formula para sa cosine ng isang pagkakaiba. Kunin natin ang formula ng pagbabawas para dito:

ng anyong sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Kaya
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

At narito ang patunay ng pagkakaiba ng sine formula:

kasalanan (α - β) = kasalanan (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Pansinin ang paggamit ng mga katangian ng sine at cosine ng magkasalungat na anggulo sa huling pagkalkula.

Susunod na kailangan namin ng mga patunay ng mga formula ng karagdagan para sa tangent at cotangent. Tandaan natin ang mga pangunahing kahulugan (ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine, at ang cotangent ay vice versa) at kunin ang mga formula na nakuha nang maaga. Mayroon kaming:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Ginawa namin kumplikadong fraction. Susunod, kailangan nating hatiin ang numerator at denominator nito sa cos α · cos β, dahil sa cos α ≠ 0 at cos β ≠ 0, nakukuha natin ang:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Ngayon binabawasan namin ang mga fraction at makuha ang formula ang sumusunod na uri: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Nakuha namin ang t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Ito ang patunay ng pormula ng tangent karagdagan.

Ang susunod na formula na ating papatunayan ay ang padaplis ng formula ng pagkakaiba. Ang lahat ay malinaw na ipinapakita sa mga kalkulasyon:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Ang mga formula para sa cotangent ay napatunayan sa katulad na paraan:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Susunod:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

– tiyak na magkakaroon ng mga gawain sa trigonometrya. Ang trigonometry ay kadalasang hindi nagustuhan dahil nangangailangan ito ng cramming malaking halaga mahirap na mga formula, puno ng mga sine, cosine, tangent at cotangent. Ang site ay minsan nang nagbigay ng payo kung paano matandaan ang isang nakalimutang formula, gamit ang halimbawa ng mga formula ng Euler at Peel.

At sa artikulong ito ay susubukan naming ipakita na sapat na upang matibay na malaman lamang ang limang simpleng mga formula ng trigonometriko, at magkaroon ng pangkalahatang pag-unawa sa iba at makuha ang mga ito habang nagpapatuloy ka. Ito ay tulad ng sa DNA: ang molekula ay hindi nag-iimbak ng kumpletong mga blueprint ng isang tapos na buhay na nilalang. Sa halip, naglalaman ito ng mga tagubilin para sa pag-assemble nito mula sa magagamit na mga amino acid. Kaya sa trigonometrya, alam ang ilan pangkalahatang mga prinsipyo, makukuha natin ang lahat ng kinakailangang formula mula sa isang maliit na hanay ng mga dapat tandaan.

Aasa kami sa mga sumusunod na formula:

Mula sa mga formula para sa mga sums ng sine at cosine, alam ang tungkol sa parity ng cosine function at ang kakaiba ng sine function, pinapalitan ang -b sa halip na b, nakakakuha tayo ng mga formula para sa mga pagkakaiba:

1. Sine ng pagkakaiba: kasalanan(a-b) = kasalananacos(-b)+cosakasalanan(-b) = kasalananacosb-cosakasalananb
2. Cosine ng pagkakaiba: cos(a-b) = cosacos(-b)-kasalananakasalanan(-b) = cosacosb+kasalananakasalananb

Ang paglalagay ng a = b sa parehong mga formula, nakuha namin ang mga formula para sa sine at cosine ng mga dobleng anggulo:

1. Sine ng dobleng anggulo: kasalanan2a = kasalanan(a+a) = kasalananacosa+cosakasalanana = 2kasalananacosa
2. Cosine ng dobleng anggulo: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-kasalananakasalanana = cos2 a-kasalanan2 a

Ang mga formula para sa iba pang maramihang mga anggulo ay nakuha nang katulad:

1. Sine ng isang triple anggulo: kasalanan3a = kasalanan(2a+a) = kasalanan2acosa+cos2akasalanana = (2kasalananacosa)cosa+(cos2 a-kasalanan2 a)kasalanana = 2kasalananacos2 a+kasalananacos2 a-kasalanan 3 a = 3 kasalananacos2 a-kasalanan 3 a = 3 kasalanana(1-kasalanan2 a)-kasalanan 3 a = 3 kasalanana-4kasalanan 3a
2. Cosine ng triple angle: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-kasalanan2akasalanana = (cos2 a-kasalanan2 a)cosa-(2kasalananacosa)kasalanana = cos 3 a- kasalanan2 acosa-2kasalanan2 acosa = cos 3 a-3 kasalanan2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Bago tayo magpatuloy, tingnan natin ang isang problema.
Given: ang anggulo ay talamak.
Hanapin ang cosine nito kung
Solusyon na ibinigay ng isang mag-aaral:
kasi , Iyon kasalanana= 3,a cosa = 4.
(Mula sa math humor)

Kaya, ang kahulugan ng tangent ay nauugnay ang function na ito sa parehong sine at cosine. Ngunit maaari kang makakuha ng isang formula na nag-uugnay sa tangent lamang sa cosine. Upang makuha ito, kinuha namin ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan: kasalanan 2 a+cos 2 a= 1 at hatiin ito sa pamamagitan ng cos 2 a. Nakukuha namin:

Kaya ang solusyon sa problemang ito ay:

(Dahil ang anggulo ay talamak, kapag kinukuha ang ugat, ang + sign ay kinuha)

Ang formula para sa tangent ng isang kabuuan ay isa pang mahirap tandaan. I-output natin ito ng ganito:

Agad na ipinakita at

Mula sa formula ng cosine para sa isang dobleng anggulo, maaari mong makuha ang mga formula ng sine at cosine para sa kalahating anggulo. Upang gawin ito, ilapat sa kaliwang bahagi ng double angle cosine formula:
cos2 a = cos 2 a-kasalanan 2 a
nagdaragdag kami ng isa, at sa kanan - isang trigonometric unit, i.e. ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine.
cos2a+1 = cos2 a-kasalanan2 a+cos2 a+kasalanan2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Nagpapahayag cosa sa pamamagitan ng cos2 a at nagsasagawa ng pagbabago ng mga variable, nakukuha namin ang:

Ang pag-sign ay kinuha depende sa kuwadrante.

Katulad nito, ang pagbabawas ng isa mula sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay at ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine mula sa kanan, nakukuha natin:
cos2a-1 = cos2 a-kasalanan2 a-cos2 a-kasalanan2 a
2kasalanan 2 a = 1-cos2 a

At sa wakas, upang i-convert ang kabuuan ng trigonometriko function sa isang produkto, ginagamit namin ang sumusunod na pamamaraan. Sabihin nating kailangan nating katawanin ang kabuuan ng mga sine bilang isang produkto kasalanana+kasalananb. Ipakilala natin ang mga variable na x at y na ang a = x+y, b+x-y. Pagkatapos
kasalanana+kasalananb = kasalanan(x+y)+ kasalanan(x-y) = kasalanan x cos y+ cos x kasalanan y+ kasalanan x cos y- cos x kasalanan y=2 kasalanan x cos y. Ipahayag natin ngayon ang x at y sa mga tuntunin ng a at b.

Dahil a = x+y, b = x-y, kung gayon . kaya lang

Maaari kang mag-withdraw kaagad

1. Formula para sa paghahati mga produkto ng sine at cosine V halaga: kasalananacosb = 0.5(kasalanan(a+b)+kasalanan(a-b))

Inirerekomenda namin na magsanay ka at kumuha ng mga formula nang mag-isa para sa pag-convert ng pagkakaiba ng mga sine at ng kabuuan at pagkakaiba ng mga cosine sa produkto, pati na rin para sa paghahati ng mga produkto ng mga sine at cosine sa kabuuan. Kapag nakumpleto mo na ang mga pagsasanay na ito, lubusan mong makakabisado ang kasanayan sa pagkuha ng mga trigonometric formula at hindi mawawala kahit sa pinakamahirap na pagsubok, olympiad o pagsubok.

Karamihan sa mga Madalas Itanong

Posible bang gumawa ng selyo sa isang dokumento ayon sa ibinigay na sample? Sagot Oo, posible. Magpadala ng na-scan na kopya o larawan sa aming email address magandang kalidad, at gagawin namin ang kinakailangang duplicate.

Anong mga uri ng pagbabayad ang tinatanggap mo? Sagot Maaari kang magbayad para sa dokumento kapag natanggap ng courier, pagkatapos suriin ang kawastuhan ng pagkumpleto at kalidad ng pagpapatupad ng diploma. Maaari rin itong gawin sa opisina ng mga kumpanyang pangkoreo na nag-aalok ng cash on delivery services.
Ang lahat ng mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad para sa mga dokumento ay inilarawan sa seksyong "Pagbabayad at Paghahatid". Handa rin kaming makinig sa iyong mga mungkahi tungkol sa mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad para sa dokumento.

Maaari ba akong makasigurado na pagkatapos mag-order ay hindi ka mawawala kasama ng aking pera? Sagot Mayroon kaming medyo mahabang karanasan sa larangan ng paggawa ng diploma. Mayroon kaming ilang mga website na patuloy na ina-update. Ang aming mga espesyalista ay nagtatrabaho sa iba't ibang bahagi ng bansa, na gumagawa ng higit sa 10 mga dokumento sa isang araw. Sa paglipas ng mga taon, nakatulong ang aming mga dokumento sa maraming tao na malutas ang mga problema sa trabaho o lumipat sa mga trabahong mas mataas ang suweldo. Nagkamit kami ng tiwala at pagkilala sa mga kliyente, kaya talagang walang dahilan para gawin namin ito. Bukod dito, imposibleng gawin ito nang pisikal: babayaran mo ang iyong order kapag natanggap mo ito sa iyong mga kamay, walang prepayment.

Maaari ba akong mag-order ng diploma mula sa anumang unibersidad? Sagot Sa pangkalahatan, oo. Halos 12 taon na kaming nagtatrabaho sa larangang ito. Sa panahong ito, nabuo ang halos kumpletong database ng mga dokumentong inisyu ng halos lahat ng unibersidad sa bansa at higit pa. magkaibang taon pagpapalabas. Ang kailangan mo lang ay pumili ng unibersidad, espesyalidad, dokumento, at punan ang order form.

Ano ang gagawin kung makakita ka ng mga typo at error sa isang dokumento? Sagot Kapag tumatanggap ng dokumento mula sa aming courier o kumpanya ng koreo, inirerekomenda namin na maingat mong suriin ang lahat ng mga detalye. Kung may nakitang typo, error o hindi tumpak, may karapatan kang hindi kunin ang diploma, at dapat mong personal na ipahiwatig ang mga nakitang depekto sa courier o sa sa pagsulat sa pamamagitan ng pagpapadala ng liham sa email.
Itatama namin ang dokumento sa lalong madaling panahon at muling ipapadala ito sa tinukoy na address. Siyempre, ang pagpapadala ay babayaran ng aming kumpanya.
Upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan, bago punan ang orihinal na form, mag-email kami sa customer ng mock-up ng hinaharap na dokumento para sa pagsusuri at pag-apruba ng huling bersyon. Bago magpadala ng dokumento sa pamamagitan ng courier o koreo, ginagawa din namin karagdagang larawan at video (kabilang ang ultraviolet light) para magkaroon ka ng malinaw na ideya kung ano ang makukuha mo sa huli.

Ano ang dapat kong gawin upang mag-order ng diploma mula sa iyong kumpanya? Sagot Upang mag-order ng isang dokumento (sertipiko, diploma, akademikong sertipiko atbp.) kailangan mong punan ang online order form sa aming website o ibigay ang iyong email para makapagpadala kami sa iyo ng application form na kailangan mong punan at ipadala pabalik sa amin.
Kung hindi mo alam kung ano ang ipahiwatig sa anumang field ng order form/kwestyoner, iwanang blangko ang mga ito. Samakatuwid, lilinawin namin ang lahat ng nawawalang impormasyon sa telepono.

Mga pinakabagong review

Alexey:

Kailangan kong kumuha ng diploma para makakuha ng trabaho bilang manager. At ang pinakamahalagang bagay ay mayroon akong parehong karanasan at kasanayan, ngunit hindi ako makakakuha ng trabaho nang walang dokumento. Kapag napunta ako sa iyong site, sa wakas ay nagpasya akong bumili ng diploma. Natapos ang diploma sa loob ng 2 araw!! Ngayon may trabaho na ako na hindi ko pinangarap dati!! salamat po!

Ang mga konsepto ng sine (), cosine (), tangent (), cotangent () ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa konsepto ng anggulo. Upang magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga ito, sa unang sulyap, kumplikadong mga konsepto (na nagiging sanhi ng isang estado ng katakutan sa maraming mga mag-aaral), at upang matiyak na "ang diyablo ay hindi kasing kahila-hilakbot bilang siya ay ipininta," magsimula tayo sa simula pa lamang at nauunawaan ang konsepto ng isang anggulo.

Konsepto ng anggulo: radian, degree

Tingnan natin ang larawan. Ang vector ay "bumaling" na may kaugnayan sa punto sa pamamagitan ng isang tiyak na halaga. Kaya ang sukat ng pag-ikot na ito na may kaugnayan sa paunang posisyon ay magiging sulok.

Ano pa ang kailangan mong malaman tungkol sa konsepto ng anggulo? Well, siyempre, angle units!

Ang anggulo, sa parehong geometry at trigonometry, ay maaaring masukat sa mga degree at radian.

Ang anggulo (isang degree) ay ang gitnang anggulo sa isang bilog na nasa ilalim ng isang pabilog na arko na katumbas ng bahagi ng bilog. Kaya, ang buong bilog ay binubuo ng "mga piraso" ng mga pabilog na arko, o ang anggulo na inilarawan ng bilog ay pantay.

Iyon ay, ang figure sa itaas ay nagpapakita ng isang anggulo na katumbas ng, iyon ay, ang anggulong ito ay nakasalalay sa isang pabilog na arko ang laki ng circumference.

Ang isang anggulo sa radians ay ang gitnang anggulo sa isang bilog na nasa ilalim ng isang pabilog na arko na ang haba ay katumbas ng radius ng bilog. Well, naisip mo ba ito? Kung hindi, pagkatapos ay alamin natin ito mula sa pagguhit.

Kaya, ang figure ay nagpapakita ng isang anggulo na katumbas ng isang radian, iyon ay, ang anggulong ito ay nakasalalay sa isang pabilog na arko, ang haba nito ay katumbas ng radius ng bilog (ang haba ay katumbas ng haba o ang radius ay katumbas ng haba ng arko). Kaya, ang haba ng arko ay kinakalkula ng formula:

Nasaan ang gitnang anggulo sa radians.

Buweno, alam mo ba ito, maaari mo bang sagutin kung gaano karaming mga radian ang nakapaloob sa anggulo na inilarawan ng bilog? Oo, para dito kailangan mong tandaan ang formula para sa circumference. Narito ito:

Ngayon, iugnay natin ang dalawang formula na ito at hanapin na ang anggulo na inilalarawan ng bilog ay pantay. Iyon ay, sa pamamagitan ng pag-uugnay ng halaga sa mga degree at radian, nakukuha natin iyon. Kaugnay nito, . Tulad ng nakikita mo, hindi tulad ng "degrees", ang salitang "radian" ay tinanggal, dahil ang yunit ng pagsukat ay karaniwang malinaw mula sa konteksto.

Ilang radian ang mayroon? tama yan!

Naintindihan mo? Pagkatapos ay magpatuloy at ayusin ito:

Nahihirapan? Tapos tignan mo mga sagot:

Kanang tatsulok: sine, cosine, tangent, cotangent ng anggulo

Kaya, nalaman namin ang konsepto ng isang anggulo. Ngunit ano ang sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang anggulo? Alamin natin ito. Upang gawin ito, makakatulong sa amin ang isang tamang tatsulok.

Ano ang tawag sa mga gilid ng right triangle? Tama iyon, hypotenuse at legs: ang hypotenuse ay ang gilid na nasa tapat ng tamang anggulo (sa aming halimbawa ito ang gilid); Ang mga binti ay ang dalawang natitirang panig at (yung mga katabi ng tamang anggulo), at, kung isasaalang-alang natin ang mga binti na may kaugnayan sa anggulo, kung gayon ang binti ay ang katabing binti, at ang binti ay ang kabaligtaran. Kaya, ngayon sagutin natin ang tanong: ano ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo?

Sine ng anggulo- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.

Sa ating tatsulok.

Cosine ng anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.

Sa ating tatsulok.

Tangent ng anggulo- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) gilid sa katabi (malapit).

Sa ating tatsulok.

Cotangent ng anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa kabaligtaran (malayo).

Sa ating tatsulok.

Ang mga kahulugang ito ay kinakailangan tandaan mo! Upang gawing mas madaling matandaan kung aling binti ang hahatiin sa kung ano, kailangan mong malinaw na maunawaan iyon padaplis At cotangent ang mga binti lamang ang nakaupo, at ang hypotenuse ay lilitaw lamang sa sinus At cosine. At pagkatapos ay maaari kang makabuo ng isang hanay ng mga asosasyon. Halimbawa, ito:

Cosine → touch → touch → katabi;

Cotangent → touch → touch → katabi.

Una sa lahat, kailangan mong tandaan na ang sine, cosine, tangent at cotangent dahil ang mga ratios ng mga gilid ng isang tatsulok ay hindi nakasalalay sa mga haba ng mga panig na ito (sa parehong anggulo). Huwag maniwala sa akin? Pagkatapos ay siguraduhin sa pamamagitan ng pagtingin sa larawan:

Isaalang-alang, halimbawa, ang cosine ng isang anggulo. Sa pamamagitan ng kahulugan, mula sa isang tatsulok: , ngunit maaari nating kalkulahin ang cosine ng isang anggulo mula sa isang tatsulok: . Nakikita mo, ang mga haba ng mga gilid ay iba, ngunit ang halaga ng cosine ng isang anggulo ay pareho. Kaya, ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.

Kung naiintindihan mo ang mga kahulugan, pagkatapos ay ipagpatuloy at pagsamahin ang mga ito!

Para sa tatsulok na ipinapakita sa figure sa ibaba, nakita namin.

Well, nakuha mo ba? Pagkatapos ay subukan ito sa iyong sarili: kalkulahin ang pareho para sa anggulo.

Unit (trigonometric) na bilog

Sa pag-unawa sa mga konsepto ng degree at radian, isinasaalang-alang namin ang isang bilog na may radius na katumbas ng. Ang ganitong bilog ay tinatawag walang asawa. Ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang kapag nag-aaral ng trigonometrya. Samakatuwid, tingnan natin ito nang mas detalyado.

Tulad ng nakikita mo, ang bilog na ito ay itinayo sa Cartesian coordinate system. Ang radius ng bilog ay katumbas ng isa, habang ang gitna ng bilog ay nasa pinagmulan ng mga coordinate, ang paunang posisyon ng radius vector ay naayos kasama ang positibong direksyon ng axis (sa aming halimbawa, ito ang radius).

Ang bawat punto sa bilog ay tumutugma sa dalawang numero: ang axis coordinate at ang axis coordinate. Ano ang mga coordinate number na ito? At sa pangkalahatan, ano ang kinalaman nila sa paksang nasa kamay? Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang tungkol sa itinuturing na tamang tatsulok. Sa figure sa itaas, makikita mo ang dalawang buong right triangle. Isaalang-alang ang isang tatsulok. Ito ay hugis-parihaba dahil ito ay patayo sa axis.

Ano ang katumbas ng tatsulok? tama yan. Bilang karagdagan, alam natin na iyon ang radius ng bilog ng yunit, na nangangahulugang . I-substitute natin ang value na ito sa ating formula para sa cosine. Narito kung ano ang mangyayari:

Ano ang katumbas ng tatsulok? Aba syempre! Palitan ang halaga ng radius sa formula na ito at makuha ang:

Kaya, masasabi mo ba kung anong mga coordinate ang mayroon ang isang puntong kabilang sa isang bilog? Well, hindi pwede? Paano kung napagtanto mo iyon at mga numero lamang? Saang coordinate ito tumutugma? Well, siyempre, ang mga coordinate! At sa anong coordinate ito tumutugma? Tama, mga coordinate! Kaya, panahon.

Ano kung gayon at katumbas? Tama, gamitin natin ang kaukulang kahulugan ng tangent at cotangent at makuha iyon, a.

Paano kung mas malaki ang anggulo? Halimbawa, tulad ng sa larawang ito:

Ano ang nagbago sa halimbawang ito? Alamin natin ito. Upang gawin ito, lumiko tayo muli sa isang kanang tatsulok. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok: anggulo (bilang katabi ng isang anggulo). Ano ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa isang anggulo? Tama, sumunod kami sa kaukulang mga kahulugan ng mga function ng trigonometriko:

Buweno, tulad ng nakikita mo, ang halaga ng sine ng anggulo ay tumutugma pa rin sa coordinate; ang halaga ng cosine ng anggulo - ang coordinate; at ang mga halaga ng tangent at cotangent sa kaukulang mga ratio. Kaya, ang mga relasyon na ito ay nalalapat sa anumang pag-ikot ng radius vector.

Nabanggit na na ang paunang posisyon ng radius vector ay kasama ang positibong direksyon ng axis. Sa ngayon ay pinaikot natin ang vector na ito nang pakaliwa, ngunit ano ang mangyayari kung paikutin natin ito nang pakanan? Walang kakaiba, makakakuha ka rin ng isang anggulo ng isang tiyak na halaga, ngunit ito lamang ang magiging negatibo. Kaya, kapag umiikot ang radius vector pakaliwa, nakukuha namin mga positibong anggulo, at kapag umiikot sa clockwise - negatibo.

Kaya, alam natin na ang isang buong rebolusyon ng radius vector sa paligid ng isang bilog ay o. Posible bang paikutin ang radius vector sa o sa? Well, siyempre kaya mo! Sa unang kaso, samakatuwid, ang radius vector ay gagawa ng isang buong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.

Sa pangalawang kaso, iyon ay, ang radius vector ay gagawa ng tatlong buong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.

Kaya, mula sa mga halimbawa sa itaas maaari nating tapusin na ang mga anggulo na naiiba sa pamamagitan ng o (kung saan ang anumang integer) ay tumutugma sa parehong posisyon ng radius vector.

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang anggulo. Ang parehong imahe ay tumutugma sa sulok, atbp. Maaaring ipagpatuloy ang listahang ito nang walang katapusan. Ang lahat ng mga anggulong ito ay maaaring isulat ng pangkalahatang formula o (kung saan ang anumang integer)

Ngayon, alam ang mga kahulugan ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko at gamit ang bilog ng yunit, subukang sagutin kung ano ang mga halaga:

Narito ang isang unit circle para tulungan ka:

Nahihirapan? Pagkatapos ay alamin natin ito. Kaya alam natin na:

Mula dito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto na naaayon sa ilang mga sukat ng anggulo. Well, magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod: ang anggulo sa ay tumutugma sa isang punto na may mga coordinate, samakatuwid:

Ay hindi umiiral;

Dagdag pa, ang pagsunod sa parehong lohika, nalaman namin na ang mga sulok ay tumutugma sa mga puntos na may mga coordinate, ayon sa pagkakabanggit. Alam ito, madaling matukoy ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa kaukulang mga punto. Subukan mo muna ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay suriin ang mga sagot.

Mga sagot:

ay hindi umiiral

ay hindi umiiral

ay hindi umiiral

ay hindi umiiral

Kaya, maaari naming gawin ang sumusunod na talahanayan:

Hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga halagang ito. Ito ay sapat na upang matandaan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos sa bilog ng yunit at ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko:

Ngunit ang mga halaga ng trigonometric function ng mga anggulo sa at, na ibinigay sa talahanayan sa ibaba, dapat tandaan:

Huwag matakot, ngayon ay magpapakita kami sa iyo ng isang halimbawa medyo simple upang matandaan ang kaukulang mga halaga:

Upang magamit ang pamamaraang ito, mahalagang tandaan ang mga halaga ng sine para sa lahat ng tatlong sukat ng anggulo (), pati na rin ang halaga ng tangent ng anggulo. Alam ang mga halagang ito, medyo simple upang maibalik ang buong talahanayan - ang mga halaga ng cosine ay inililipat alinsunod sa mga arrow, iyon ay:

Alam ito, maaari mong ibalik ang mga halaga para sa. Ang numerator na " " ay tutugma at ang denominator " " ay tutugma. Ang mga halaga ng cotangent ay inililipat alinsunod sa mga arrow na ipinahiwatig sa figure. Kung naiintindihan mo ito at naaalala ang diagram na may mga arrow, sapat na upang matandaan ang lahat ng mga halaga mula sa talahanayan.

Mga coordinate ng isang punto sa isang bilog

Posible bang makahanap ng isang punto (mga coordinate nito) sa isang bilog, alam ang mga coordinate ng sentro ng bilog, ang radius nito at anggulo ng pag-ikot?

Well, siyempre kaya mo! Ilabas na natin pangkalahatang pormula upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto.

Halimbawa, narito ang isang bilog sa harap namin:

Ibinigay sa amin na ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa pamamagitan ng mga degree.

Tulad ng makikita mula sa figure, ang coordinate ng punto ay tumutugma sa haba ng segment. Ang haba ng segment ay tumutugma sa coordinate ng gitna ng bilog, iyon ay, ito ay pantay. Ang haba ng isang segment ay maaaring ipahayag gamit ang kahulugan ng cosine:

Tapos meron tayo niyan para sa point coordinate.

Gamit ang parehong lohika, nakita namin ang y coordinate na halaga para sa punto. kaya,

Kaya, sa pangkalahatang pananaw Ang mga coordinate ng mga puntos ay tinutukoy ng mga formula:

Mga coordinate ng gitna ng bilog,

radius ng bilog,

Ang anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector.

Tulad ng nakikita mo, para sa bilog ng yunit na aming isinasaalang-alang, ang mga formula na ito ay makabuluhang nabawasan, dahil ang mga coordinate ng sentro ay katumbas ng zero at ang radius ay katumbas ng isa:

Well, subukan natin ang mga formula na ito sa pamamagitan ng pagsasanay sa paghahanap ng mga puntos sa isang bilog?

1. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.

2. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.

3. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.

4. Ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.

5. Ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.

Nagkakaproblema sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto sa isang bilog?

Lutasin ang limang halimbawang ito (o maging mahusay sa paglutas ng mga ito) at matututunan mong hanapin ang mga ito!

1.

Mapapansin mo yan. Ngunit alam natin kung ano ang tumutugma sa isang buong rebolusyon ng panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumingon sa. Sa pag-alam nito, nakita namin ang kinakailangang mga coordinate ng punto:

2. Ang bilog ng yunit ay nakasentro sa isang punto, na nangangahulugang maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:

Mapapansin mo yan. Alam natin kung ano ang tumutugma sa dalawang buong rebolusyon ng panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumingon sa. Sa pag-alam nito, nakita namin ang kinakailangang mga coordinate ng punto:

Sine at cosine ay mga halaga ng talahanayan. Naaalala namin ang kanilang mga kahulugan at nakuha:

Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.

3. Ang bilog ng yunit ay nakasentro sa isang punto, na nangangahulugang maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:

Mapapansin mo yan. Ilarawan natin ang halimbawang pinag-uusapan sa figure:

Ang radius ay gumagawa ng mga anggulo na katumbas ng at may axis. Ang pag-alam na ang mga halaga ng talahanayan ng cosine at sine ay pantay, at nang matukoy na ang cosine dito ay kumukuha ng negatibong halaga at ang sine ay kumukuha ng positibong halaga, mayroon tayo:

Ang mga ganitong halimbawa ay tinalakay nang mas detalyado kapag pinag-aaralan ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function ng trigonometriko sa paksa.

Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.

4.

Anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector (ayon sa kondisyon)

Upang matukoy ang kaukulang mga palatandaan ng sine at cosine, bumuo kami ng isang bilog at anggulo ng yunit:

Tulad ng makikita mo, ang halaga, iyon ay, ay positibo, at ang halaga, iyon ay, ay negatibo. Alam ang mga halaga ng tabular ng kaukulang mga function ng trigonometriko, nakuha namin na:

Palitan natin ang nakuha na mga halaga sa aming formula at hanapin ang mga coordinate:

Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.

5. Upang malutas ang problemang ito, gumagamit kami ng mga formula sa pangkalahatang anyo, kung saan

Mga coordinate ng gitna ng bilog (sa aming halimbawa,

Circle radius (ayon sa kondisyon)

Anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector (ayon sa kondisyon).

Palitan natin ang lahat ng mga halaga sa formula at makuha ang:

at - mga halaga ng talahanayan. Tandaan at palitan natin ang mga ito sa formula:

Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.

BUOD AT BATAYANG FORMULA

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.

Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayo) na bahagi sa katabing (malapit) na bahagi.

Ang cotangent ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na bahagi sa kabaligtaran (malayong) bahagi.